[obm-l] Série
Olá, Tentando encontrar a seguinte soma infinita dos inversos de todos os naturais cuja decomposição em fatores primos contém apenas os dígitos 2 e 3: 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/6 + 1/8 + 1/9 + 1/12 + ... encontrei como resposta o valor 3. Alguém poderia confirmá-lo? []s Eduardo Novos endereços, o Yahoo! que você conhece. Crie um email novo com a sua cara @ymail.com ou @rocketmail.com. http://br.new.mail.yahoo.com/addresses
[obm-l] Res: [obm-l] Série
É a primeira, Marcelo, obrigado! - Mensagem original De: Maurício Collares [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Sábado, 12 de Julho de 2008 9:32:55 Assunto: Re: [obm-l] Série Se a decomposição em fatores primos só contiver os fatores 2 e 3, a resposta está correta (basta fazer um somatório duplo em 1/2^m*3^n, jogar um dos termos pra fora do somatório e usar a expressão para soma de uma progressão geométrica duas vezes). Agora, contendo apenas os *dígitos* 2 e 3, o problema parece muito mais complicado (por exemplo, o número primo 23 poderia aparecer na decomposição). Qual das duas versões do problema é a proposta? -- Abraços, Maurício 2008/7/12 Eduardo Estrada [EMAIL PROTECTED]: Olá, Tentando encontrar a seguinte soma infinita dos inversos de todos os naturais cuja decomposição em fatores primos contém apenas os dígitos 2 e 3: 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/6 + 1/8 + 1/9 + 1/12 + ... encontrei como resposta o valor 3. Alguém poderia confirmá-lo? []s Eduardo Novos endereços, o Yahoo! que você conhece. Crie um email novo com a sua cara @ymail.com ou @rocketmail.com. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = Novos endereços, o Yahoo! que você conhece. Crie um email novo com a sua cara @ymail.com ou @rocketmail.com. http://br.new.mail.yahoo.com/addresses
Res: [obm-l] FATORIAL DE ZERO
Olá, Penso que (embora penso que deva ser sempre evitada em qualquer argumentação matemática...) o fatorial de 0, ou 0!, é igual a 1, em essência, por convenção, assim como também convencionamos que todo número não nulo elevado a zero é, também, igual a 1. Desse modo, qualquer argumentação que mostre que 0!=1, por exemplo, é, na verdade, uma simples evidência de que a convenção imposta não gera conflitos com a teoria já construída, ou seja, é como se se ganhassem argumentos para defender que a convenção é coerente. Talvez seja um pouco de viagem de minha parte, mas me parece que existe em matemática, também, como que a idéia de modelo que existe nas ciências empíricas. Afinal, nos fundamentos da matemática, tudo não passa de uma série de convenções, definições e axiomas que, diga-se de passagem, não deixam de tornar bela a matemática. Aí vem toda aquela história de que não se há como provar que um corpo de axiomas é coerente ou não, de que existem verdades e falsidades que não podem ser provadas, que existem afirmações que não são nem verdadeiras nem falsas etc., como argumentou Gödel... Em suma, parece que a matemática também não deixa de ser uma invenção humana (mas uma das maiores, sem dúvida)... Um abraço, Eduardo Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! http://br.mail.yahoo.com/
Res: [obm-l] DESAFIO 2
Olá, Fernando, Espero dar conta desse desafio, já que só aprendi com o outro. Suponha que a chance de ganhar no i-ésimo mês seja P(Mi) = p. Pelo enunciado, temos: 20% = Probabilidade de ser contemplado no primeiro ano = P(M1uM2uM3u...uM12) = C(12,1)P(Mi) - C(12,2)P(Mi^Mj) + C(12,3)P(Mi^Mj^Mk) - ... - C(12,12)P(M1^M2^...^M12), donde vem 12p - 66p^2 + 220p^3 - ... - p^12 = 0,2 Daqui vem p = 0.018423470126248 = 1,8423%, aproximadamente. Como a probabilidade é aumentada em cinco vezes caso se dê um lance, temos que a nova probabilidade mensal é próxima de p' = p*5 = 0.09211735063124 = 9,2117%. Portanto, temos que a probabilidade desejada é: 12p' - 66p'^2 + 220p'^3 - ... - p'^12 = 0.68641405012294 = 68,6414%, aproximadamente. Bom, cheguei a esta resposta! De qualquer modo, é uma tentativa. Sobre a esperança, fico devendo... Só um comentário, acredito que não seja tão condizente assumir que a probabilidade é sempre igual, a cada ano, já que o número de pessoas que participa dos sorteios é cada vez menor. Um abraço, Eduardo - Mensagem original De: Fernando Lima Gama Junior [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Quarta-feira, 21 de Maio de 2008 17:27:00 Assunto: [obm-l] DESAFIO 2 Consórcio. Suponha que existe um grupo de consórcio formado para a aquisição de um veículo zero quilômetro. Neste grupo, de duração de 60 meses, existem 300 participantes. A cada mês são contempladas 5 quotas de modo que ao final dos 60 meses, todos os 300 participantes são contemplados. Considerando que cada quota tem a mesma chance de ser sorteada, a chance de você ser sorteado no primeiro ano é igual a do segundo ano e, portanto, também igual aos dos demais anos, ou seja, 20%. Entretanto, sabe-se que ao dar um lance, a chance de ser sorteado contemplado é 5 vezes maior do que a contemplação por sorteio (por que apenas uma parcela das pessoas dão lances). Calcule a chance de você ser sorteado no primeiro ano, caso dê lances em todos as assembléias. Calcule também a esperança do valor do mês em que se espera ser sorteado dando lances todos os meses (sabe-se que sem lances a expectativa ou esperança é de 30 meses). Fernando Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! http://br.mail.yahoo.com/
Res: [obm-l] DESAFIO
Olá, Ralph!
Vivendo e aprendendo. Se eu fosse engenheiro, eu diria: bom, mas as minhas 190
caixas vão, certamente, garantir a probabilidade desejada. (rsrs) Mas o
enunciado é claro no sentido de pedir o número mínimo de caixas. Entendi a
questão dos eventos não equiprováveis. Afinal, comprando 2 caixas, por exemplo,
a probabilidade de se ter dois brindes diferentes é bem maior do que a de se
ter dois iguais. Então, precisou utilizar o Princípio da Inclusão e Exclusão.
Enfim, valeu por dizer que a solução apresentada foi muito bela!
Um abraço,
Eduardo
- Mensagem original
De: Ralph Teixeira [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Segunda-feira, 19 de Maio de 2008 15:24:11
Assunto: Re: [obm-l] DESAFIO
Desculpa, Eduardo, mas eu vou ser muito muito chato e inserir minha fala
probabilística favorita (quem me conhece não me aguenta mais com isso):
Mas os eventos contados são igualmente prováveis?
(Neste caso, não são!!, então sua solução, apesar de muito bela, infelizmente
não funciona.)
---///---
Vamos tentar outra solução... Comprei n caixas. Vou supor que
i) As probabilidades dos brinquedos estão igualmente distribuídos (isto é, não
há, a priori, figurinha difícil); isto significa que a probabilidade de uma
determinada caixa conter o brinquedo 1 é 1/5=0.2, assim como o brinquedo 2, 3,
4 ou 5.
ii) Caixas distintas são independentes entre si; esta é uma suposição
razoável se, por exemplo, as caixas são bem distribuídas geograficamente, ou se
você compra de vários lugares aleatoriamente, e se o número de caixas que você
compra é bem menor que o produzido... Tem outros jeitos de esta suposição ser
razoável também, então fico com ela.
Então vamos lá: sejam N1, N2, N3, N4 e N5 as probabilidades de você NÃO ter os
brinquedos 1, 2, 3, 4, 5 respectivamente, depois de comprar as n caixas. Temos
(para i, j, k, l em {1,2,3,4,5} distintos dois a dois):
Pr(Ni)=(0.8)^n ((i) garante o 0.8; (ii) garante o ^n; há 5 termos deste
tipo)
Pr(Ni e Nj)=(0.6)^n (há C(5,2)=10 termos destes)
Pr(Ni e Nj e Nk)=(0.4)^n (C(5,3)=10 termos assim)
Pr(Ni e Nj e Nk e Nl)=(0.2)^n (C(5,4)=5 termos assim)
Pr(N1 e N2 e N3 e N4 e N5)=0^n=0 (se n=1)
O evento que me interessa é N1 ou N2 ou N3 ou N4 ou N5 (este é o evento não
completei a coleção, algum dos brinquedos me faltou). Usando aquelas leis de
De Morgan (argh!):
Pr(Não completar coleção) = Pr(N1 ou N2 ou N3 ou N4 ou N5) =
= Soma(Pr(Ni))-Soma(Pr(Ni e Nj))+Soma(Pr(Ni e Nj e Nk))-Soma(Pr(Ni e Nj e Nk e
Nl)) + Pr(N1 e N2 e ... e N5) =
= 5(0.8)^n - 10(0.6)^n + 10(0.4)^n - 5(0.2)^n
(Deixa eu fazer um reality check: fazendo as contas com esta expressão aí dá
P(1)=P(2)=P(3)=P(4)=1 e P(5)=601/625... Isto reflete que é impossível completar
a coleção com 1,2,3 ou 4 caixas, e a chance de fechar a coleção com 5 caixas é
5!/5^6=24/625. Ok!)
Eu quero que isso seja menor que 10%, então a equação a resolver é:
P(n)=5(0.8)^n-10(0.6)^n+10(0.4)^n-5(0.2)^n 0.1
Argh, não tenho idéia de que método algébrico usar nesta caca Vou dar um
bicão só com o primeiro termo para obter uma primeira aproximação (na esperança
de que os outros sejam bem menores, afinal, olhe as bases deles!):
5(0.8)^n 0.1
(0.8)^n 0.02
n ln(0.02)/ln(0.8) = 17.53 (usei uma calculadora; talvez desse para estimar
isso de outro jeito, mas eu vou na calculadora daqui para a frente)
Da natureza do problema, é claro que P(n) é não-crescente nos inteiros
positivos. Vamos experimentar alguns valores por perto do 17.53:
P(17)=5(0.8)^17-10(0.6)^17+19(0.4)^17-5(0.2)^17 ~= 11.090%
P(18)=5(0.8)^18-10(0.6)^18+19(0.4)^18-5(0.2)^18 ~= 8.9057%
Então é isso aí, a resposta é n=18 caixas!
Abraço,
Ralph
2008/5/19 Eduardo Estrada [EMAIL PROTECTED]:
Olá, Fernando,
Podemos considerar que a pessoa tenha comprado n caixas do produto, sendo que,
destas, b1 caixas contendo o brinde 1, b2 caixas contendo o brinde 2, e assim
por diante, de tal modo que:
b1 + b2 + b3 + b4 + b5 = n
O total de compras em que todos os brindes são contemplados corresponde ao
número de soluções inteiras positivas da equação acima, e o total irrestrito de
compras corresponde ao número de soluções inteiras não negativas. Esses valores
são, respectivamente, os binomiais C(n-1,5-1) = C(n-1,4) e C(n+5-1,5-1) =
C(n+4,4). Para que se cumpra o enunciado, façamos:
C(n-1,4)/C(n+4,4) = 0,9,
ou, expandindo,
(1/240)n^4 - (19/24)n^3 + (7/48)n^2 - (95/24)n + 1/10 = 0
A equação acima admite uma raiz real próxima de zero, que não convém, pois
devemos certamente comprar ao menos 5 caixas, e outra em torno de 189,84. Logo,
basta comprar 190 caixas para se garantir a probabilidade de 90 % de se
adquirir os cinco brindes.
Um abraço,
Eduardo Luis Estrada
- Mensagem original
De: Fernando Lima Gama Junior [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Domingo, 18 de Maio de 2008 23:41:10
Assunto: [obm-l] DESAFIO
Suponha que uma indústria alimentícia coloque em seus produtos um brinde
Res: [obm-l] DESAFIO
Olá, Fernando, Podemos considerar que a pessoa tenha comprado n caixas do produto, sendo que, destas, b1 caixas contendo o brinde 1, b2 caixas contendo o brinde 2, e assim por diante, de tal modo que: b1 + b2 + b3 + b4 + b5 = n O total de compras em que todos os brindes são contemplados corresponde ao número de soluções inteiras positivas da equação acima, e o total irrestrito de compras corresponde ao número de soluções inteiras não negativas. Esses valores são, respectivamente, os binomiais C(n-1,5-1) = C(n-1,4) e C(n+5-1,5-1) = C(n+4,4). Para que se cumpra o enunciado, façamos: C(n-1,4)/C(n+4,4) = 0,9, ou, expandindo, (1/240)n^4 - (19/24)n^3 + (7/48)n^2 - (95/24)n + 1/10 = 0 A equação acima admite uma raiz real próxima de zero, que não convém, pois devemos certamente comprar ao menos 5 caixas, e outra em torno de 189,84. Logo, basta comprar 190 caixas para se garantir a probabilidade de 90 % de se adquirir os cinco brindes. Um abraço, Eduardo Luis Estrada - Mensagem original De: Fernando Lima Gama Junior [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Domingo, 18 de Maio de 2008 23:41:10 Assunto: [obm-l] DESAFIO Suponha que uma indústria alimentícia coloque em seus produtos um brinde para incentivar as vendas para crianças. São 5 tipos de brindes possível e a idéia é fazer com que a pessoa colecione os brindes, mas será impossível descobrir qual brinde tem em uma determinada caixa antes de abrir o produto. Nesse caso, um colecionador dos brindes sortudo será aquele que ao comprar 5 caixas do produto, cada uma com um brinde diferente. Acontece que como ele não sabe qual brinde tem dentro de cada caixa ele pode ter que comprar mais de 5 caixas para completar a coleção, já que podem vir brindes repetidos. Qual seria o número mínimo de caixas que a pessoa teria que comprar para assegurar, com 90% de chances, de que ela terá os 5 brindes? Fernando Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! http://br.mail.yahoo.com/
Res: [obm-l] Probabilidades e o Primeiro Lema de Kaplansky
Façamos o seguinte, Ulysses: Queremos que haja pelo menos um par de números consecutivos sorteados. Então vamos contar os sorteios que não contêm números consecutivos. Para tanto, consideremos seqüências de 60 dígitos formadas por 54 0's e 6 1's, de tal maneira que, se o i-ésimo dígito for 0, então o número i não foi sorteado e, caso cotrário, foi sorteado. Por exemplo: 10001000.001 Na seqüência acima, foram sorteados os números 5, 9, 60 etc., pois essas posições são ocupadas por 1's. Assim, se imaginarmos os 54 0's emparelhados, temos: _0_0_0_0_0_..._0_0_0_ Onde os 55 traços _ indicam posições candidatas a serem ocupadas por 6 1's, ou seja, definem os números sorteados. Logo, podemos selecioná-las de C(55,6) maneiras. Como o total de sorteios é C(60,6), segue que a probabilidade de não haver números consecutivos é C(55,6)/C(60,6). Portanto, a probabilidade de haver números consecutivos é: 1-C(55,6)/C(60,6) que, após algumas manipulações, nos leva à alternativa E. Um abraço, Eduardo Estrada - Mensagem original De: Ulysses Coelho de Souza Jr. [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Sábado, 22 de Março de 2008 20:58:56 Assunto: [obm-l] Probabilidades e o Primeiro Lema de Kaplansky Olá a todos, A questão abaixo é de um vestibular recente. Acredito que o examinador quis dizer pelo menos um par ao invés de um par. Comentários serão bem-vindos. No Concurso da Mega-Sena são sorteados 6 números de 01 a 60. Por exemplo, o concurso 924 teve como números sorteados 02,20,21,27,51 e 60, ou seja, houve um par de números consecutivos, 20 e 21. A probabilidade de que no jogo da Mega-Sena haja um par de números consecutivos sorteados é: (A) 54!/60! (B) 53!/59! (C) 1-(56!55!)/(49!60!) (D) 1-(54!53!)/(48!60!) (E) 1-(55!54!)/(49!60!) Um abraço, Ulysses C. de Souza. Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! http://br.mail.yahoo.com/
[obm-l] Res: [obm-l] soma de série
Note bem o que está dizendo, Gustavo: no meu ponto de vista, qdo demonstramos que diverge, ou seja, tende aoinfinito, automaticamente demonstramos q não pode ser inteiro. Tenderao infinito é uma forma de indeterminação. Infelizmente (ou felizmente, a meu ver), a matemática não se constitui de pontos de vista, e sim de verdades aceitas, chamadas postulados, e outras demontráveis a partir das aceitas, chamadas teoremas. Assim, não acho bom utilizar o termo no meu ponto de vista para explicar matemática. De fato, o que você disse não procede, e para isso considere a soma divergente bem simples que é: 1+2+3+4+...+n. Esta, para cada n, é sempre um inteiro, embora também seja divergente... Um abraço, Eduardo - Mensagem original De: Claudio Gustavo [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Terça-feira, 11 de Março de 2008 11:34:12 Assunto: Re: [obm-l] soma de série Entendi sua pergunta. Cara, no meu ponto de vista, qdo demonstramos que diverge, ou seja, tende ao infinito, automaticamente demonstramos q não pode ser inteiro. Tender ao infinito é uma forma de indeterminação. Não sei se existe uma outra interpretação/demonstração... Abraço. MauZ [EMAIL PROTECTED] escreveu: eu acabei de ver que é a serie harmonica... mas como faço pra demonstrar que nunca é inteiro? pq vai pro infinito, beleza... mas pode passar por algum inteiro, oque tem q provar q nunca acontece... se eu usar uma desigualdade como você msotrou e como achei outras aqui em livros eu saio um pouco do foco que é provar q não é inteiro... ou tou errado? se eu tiver falando besteira por favor me corrija! Obrigado Claudio, []s Maurizio Em 10/03/08, Claudio Gustavo [EMAIL PROTECTED] escreveu: Essa é, na verdade, a série harmônica, que diverge. Vc pode demonstrar usando integrais ou usando a desigualdade 1+1/2+...+1/(2^n-1)n/2. Vc encontra essas demonstrações no livro de Análise do Elon. Abraço. MauZ [EMAIL PROTECTED] escreveu: mostrar que 1+1/2+1/3+...+1/n não é inteiro pra qquer N1. Obrigado! Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! http://br.mail.yahoo.com/
[obm-l] Problema das Vigas
Olá, Alguém conhece uma solução simples para o Problema das Vigas? Consiste no seguinte: Imagine a seguinte figura: || A || || || || D || || |__| B C AC = 30 m, BD = 20 m, AC e BD interceptam-se em P, que dista 8 m de BC. Pede-se, calcular o tamanho de BC. Aparentemente simples, para resolver este problema, caímos numa equação de grau maior do que 2. Então, a pergunta, existe alguma solução simples? Um abraço, Eduardo Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! http://br.mail.yahoo.com/
Res: [obm-l] Problema das Vigas
Não, pois os ângulos inferiores, na figura, são retos. - Mensagem original De: Joao Victor Brasil [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Quinta-feira, 6 de Março de 2008 15:46:26 Assunto: Re: [obm-l] Problema das Vigas AB=CD??? On 3/6/08, Eduardo Estrada [EMAIL PROTECTED] wrote:Olá, Alguém conhece uma solução simples para o Problema das Vigas? Consiste no seguinte: Imagine a seguinte figura: || A || || || || D || || |__| B C AC = 30 m, BD = 20 m, AC e BD interceptam-se em P, que dista 8 m de BC. Pede-se, calcular o tamanho de BC. Aparentemente simples, para resolver este problema, caímos numa equação de grau maior do que 2. Então, a pergunta, existe alguma solução simples? Um abraço, Eduardo Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! http://br.mail.yahoo.com/
[obm-l] Res: [obm-l] Questão de Probabilidade
Olá, Adriano, Chame de x1 o número de bolas azuis, x2 o número de bolas verdes, e assim por diante, até x5, o número de bolas brancas. Na verdade, o número de possíveis seleções equivale ao número de soluções inteiras não negativas da equação: x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 12, que pode ser calculado como C(12+5-1,5-1) = C(16,4) = 1.820. Observe que, nesse caso, estamos considerando a possibilidade de não serem selecionadas bolas de uma dada cor. Caso não se permita isso, isto é, se desejarmos selecionar pelo menos uma bola de cada cor, o resultado se torna C(12-1,4-1) = C(11,3) = 165, reduzindo bastante o nosso universo. Essas são as chamadas Combinações com Repetição. Para mais detalhes, consulte o livro Introdução à Análise Combinatória, da Ed. Ciência Moderna. Lá, tem tudo explicadinho. Um abraço, Eduardo - Mensagem original De: Adriano Dutra Teixeira [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Quarta-feira, 5 de Março de 2008 12:19:42 Assunto: [obm-l] Questão de Probabilidade Olá pessoal, Um probleminha de Probabilidade: Considere uma urna com 5 bolas: uma azul, uma verde, uma amarela, uma vermelha e uma branca. Sabe-se que há reposição das bolas e a ordem que sai as cores não importa, o que importa é quantas bolas saem de cada cor. De quantas maneiras podemos selecionar 12(doze) bolas? Desde já, muito obrigado. Adriano. Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! http://br.mail.yahoo.com/
Res: [obm-l] Derivada errada?
Também estou curioso para saber... Um abraço Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! http://br.mail.yahoo.com/
Res: [obm-l] PONTO SELECIONADO
Olá, Trace um círculo de raio 1 em cada um dos três vértices do triângulo. Cada um destes, determina um setor circular, interno ao triângulo, de 60º e raio 1, cada um dos quais com área pi/6. Logo, temos o conjunto de pontos, dentro do triângulo, com distância aos vértices menor do que ou igual a 1, igual a 3*pi/6 = pi/2. Portanto, como a área total do triângulo é 9sqrt3/4, donde os pontos que tem distância maior do que 1 formam área 9sqrt3/4-pi/2. Logo, a probabilidade é essa área sobre a área total: (9sqrt3/4-pi/2)/9sqrt3/4 = 1-2pisqrt3/27, após algumas simplificações e manipulações algébricas. Um abraço, Eduardo - Mensagem original De: arkon [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Sábado, 1 de Março de 2008 8:07:51 Assunto: [obm-l] PONTO SELECIONADO ALGUÉM PODE RESOLVER ESSA, POR FAVOR (AFA-93/94) Um ponto é selecionado aleatoriamente dentro de um triângulo eqüilátero de lado L = 3. A probabilidade de a distância desse ponto a qualquer vértice ser maior do que 1 é: a) 1 – (2pisqrt3/9). b) 1 – (pisqrt3/9). c) 1 – (2pisqrt3/27). d) 1 – (pisqrt3/27). Considerar pisqrt3 = pi vezes a raiz quadrada de três GABARITO LETRA C DESDE JÁ AGRADEÇO Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! http://br.mail.yahoo.com/
[obm-l] Res: [obm-l] Re: [obm-l] Eq. do 2º Grau de Coef. Inteiros
Olá, Consegui uma outra solução, que, por sinal, tem certa semelhança: Suponha a equação na forma ax^2+bx+c = 0, com discriminante b^2-4ac = 39. Como 39 é ímpar e 4ac é par, devemos ter b^2 ímpar, donde b, também, ímpar. Logo, suponhamos b = 2k+1, com k inteiro. Então, temos: b^2-4ac = 39 - (2k+1)^2-4ac = 39 - 4k^2+4k+1-4ac = 39 - 4(k^2+k-ac) = 38, e, como k^2+k-ac é inteiro, segue que 38 deve ser múltiplo de 4, o que sabemos não ser verdade. Um abraço, Eduardo - Mensagem original De: Rafael Cano [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Sexta-feira, 29 de Fevereiro de 2008 2:24:53 Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Eq. do 2º Grau de Coef. Inteiros Olá Primeiro é útil usar o seguinte fato: todo inteiro elevado ao quadrado deixa resto 0 ou 1 na divisão por 3 ou por 4 (tente provar isso...se não der mande outro email). Seja ax^2+bx+c com a, b, c inteiros. O discriminante é: b^2 - 4ac. Suponha por absurdo que b^2 - 4ac = 39. Então: b^2=39+4ac. Veja que dividindo os dois lados por 4 temos: (b^2)/4=39/4 + ac. Se fosse possível encontrar inteiros que satisfazem a igualdade, o resto do lado direito deveria ser 0 ou 1. Mas 39/4 deixa resto 3. Logo é impossível encontrar inteiros que satisfazem a igualdade, ou seja, o discriminante não pode ser 39. Abraços - Original Message - From: Pedro Júnior To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, February 28, 2008 11:17 PM Subject: [obm-l] Eq. do 2º Grau de Coef. Inteiros Dada uma equação do 2º Grau, com coeficientes inteiros, mostre que seu discriminante não pode ser igual a 39. Agradeço desde já... Atenciosamente Pedro Jr (João Pessoa) Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! http://br.mail.yahoo.com/
[obm-l] Res: [obm-l] continuidade para funções de 2 vari áveis
Cesar,
Em primeiro lugar, é importante observar que continuidade de funções de várias
variáveis é diferente da de funções de uma só variável. Isso ocorre porque
podemos nos aproximar do ponto em questão de infinitas maneiras, no caso de
mais variáveis, e somente de duas, no caso de uma variável, a saber, pela
esquerda e pela direita. Por exemplo, na função que você comentou:
Seja f(x,y) = {2xy/(x²+y²) para (x,y) diferente de (0,0)
f(x,y) = 0 se (x,y) = (0,0)
Se aproximamos de (0,0) pelo eixo x ou pelo eixo y, ou seja, pelos pontos da
forma (x,0) ou (y,0), a função tende a 0. Por outro lado, se nos aproximamos ao
longo de uma reta da forma y = mx, com m diferente de 0, então temos os pontos
aproximantes da forma (x,mx). Como vc disse, substituindo na função, temos
f(x,mx) = 2m/(1+m²), que é diferente de 0. Ora, então, por caminhos diferentes,
chegamos a valores diferentes para o limite da função em (0,0), o que contradiz
o fato de se haver um limite, pois que o mesmo deveria ser único.
Um abraço,
Eduardo
- Mensagem original
De: César Santos [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Quarta-feira, 27 de Fevereiro de 2008 18:44:00
Assunto: [obm-l] continuidade para funções de 2 variáveis
Pessoal, estava estudando continuidade para funções de duas variáveis no livro
do Thomas e não entendi uma passagem na explicação, pode ser algo bobo, mas se
alguém puder me ajudar ficaria agradecido.
Seja f(x,y) = {2xy/(x²+y²) para (x,y) diferente de (0,0)
f(x,y) = 0 se (x,y) = (0,0)
Para provar que f(x,y) não é contínua em (0,0) adota-se y = mx (Por quê???)
e com isso lim f(x,y) com (x,y) --(0,0) = 2m/(1+m²) e como m é variável a
função não é contínua. (Isso eu entendi).
Mas a questão é: por que se adotou y =mx? Qual o critério?
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[obm-l] Res: [obm-l] Números algébricos
Só um comentário/dúvida: Sabe-se, porém, que sen1 é transcendente (não sen(1º), mas sen(1rad)). Alguém saberia responder, se é que já foi encontrada uma resposta geral para essa pergunta, quando sen x é transcendente, para x, agora, natural e dado em radianos. Um abraço, Eduardo - Mensagem original De: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Terça-feira, 19 de Fevereiro de 2008 12:22:14 Assunto: Re: [obm-l] Números algébricos Temos que sen(x graus) é algébrico para todo x racional. De fato, z = exp(2 pi i p/q) é algébrico para quaisquer inteiros p, q (q 0) pois z satisfaz a equação z^q = 1. Analogamente o conjugado conj(z) de z também é algébrico. Temos a = sen(2 pi p/q) = (z - conj(z))/(2i). Supondo que você saiba que a soma e o produto de números algébricos também é algébrico temos que a é algébrico, que é o que você queria. N. On Feb 18, 2008 8:22 PM, Carlos Gomes [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá amigos... Quais são os valores naturais de x para os quais senx° é um número algébrico? Cgomes = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! http://br.mail.yahoo.com/
[obm-l] Res: [obm-l] Álgebra linear
Olá, João Paulo,
Observe que um valor em R^n é, na verdade, um vetor de n coordenadas. Assim,
tomando X={1,2,3,...,n}, estaremos associando, à primeira ordenada, qualquer
valor real, idem para a segunda, e assim por diante, até a n-ésima coordenada.
Com essa explicação, fica fácil de entender também o caso X=N (naturais), que
se corresponde com R^(infinito). E, se X é o prouto cartesiano de {1,2,3,...,n}
por {1,2,3,...,m}, cada um dos (m x n) elementos de X pode ser associado com um
número real, o que estabelece uma correpondência com o conjunto das matrizes
M(mxn).
Espero ter ajudado, um abraço,
Eduardo
- Mensagem original
De: João Paulo V. Bonifácio [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Terça-feira, 19 de Fevereiro de 2008 11:49:31
Assunto: [obm-l] Álgebra linear
Boa tarde a todos!
Encontrei isso aqui no livro de álgebra linear do Elon Lages Lima e não
consegui entender, espero que alguém possa me ajudar.
Seja X um conjunto não vazio. O símbolo F(X;R) representa o conjunto de todas
as funções reais f,g: X-R. Ele se torna um espaço vetorial quando se define a
soma f+g de duas funções e o produto a*f da seguinte maneira:
(f+g)(x) = f(x)+g(x), (a*f)(x) = a*f(x).
Eis aqui a parte que não entendi:
Variando o conjunto X, obtêm-se diversos exemplos de espaços vetoriais na forma
F(X;R). Por exemplo, se X = {1,...,n} então
F(X;R) = R^n, se X = N então F(X;R) = R^∞; se X é o produto cartesiano dos
conjuntos {1,...,n} e {1,...,n} então F(X;R) = M(mxn).
Alguém pode me explicar porque estas afirmações são verdadeiras?
Obrigado
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[obm-l] Res: [obm-l] Radiciação 8ª série
Olá, De fato, se pensarmos bem, racionalizar um denominador significa torná-lo racional. Por exemplo, em vez de se escrever 1/raiz(2), escreve-se raiz(2)/2. Todavia, responda-me, com sinceridade, existe algum impedimento para que as raízes fiquem no denominador? De qualquer modo, creio que saber racionalizar, é, na verdade, importante, pois que quando assim o fazemos estamos treinando o conceito de raiz quadrada, cúbica, etc, no sentido de que um número, para sair da raiz n-ésima, precisa estar elevado à n-ésima potência. Talvez seja uma justificativa. O problema é que, em sala de aula, sempre vão ter aqueles que perguntam: Professor, mas se eu não racionalizar fica errado? E você, como matemático, não pode dizer que fica. Outra pergunta do tipo é: Professor, mas precisa sempre simplificar a fração? Enfim, talvez uma outra justificativa seja a elegância, pois que a matemática precisa ser elegante. Assim sendo, diga ao aluno: Precisa, para ficar mais elegante... Um abraço, Eduardo - Mensagem original De: vitoriogauss [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Terça-feira, 19 de Fevereiro de 2008 14:03:02 Assunto: [obm-l] Radiciação 8ª série Olá colegas, Estou ensinando radiciação na 8ª. Vou entrar em racionalização de denominadores, porém no site do BIGODE, o mesmo diz que racionalização só é importante para a prova de radiciação.. . Ou seja, não é interessante ensinar racionalização, pois não há mudança no resultado. Eu não concordo, particulamente, porque a matemática não é feita de coisas sem uso, digamos assim. Deve existir uma aplicabilidade. Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! http://br.mail.yahoo.com/
[obm-l] Res: [obm-l] Questões do livro Álgebra I
3ª) 7^0 termina em 1, 7^1 termina em 7, 7^2 termina em 9, 7^3 termina em 3, 7^4
termina em 1, 7^5 termina em 7, depois, recomeça o ciclo de terminações das
potências de 7: 1,7,9,3,1,7,9,3,... Observe que tal ciclo possui 4 valores que
se repetem sucessivamente. Agora, observe que 5837 termina em 7 e que 649 = 4 x
162 + 1, ou seja, 649 possui resto 1 na divisão por 4, que é o tamanho dos
ciclos. Logo, o 5837^649 termina em 7
Resp.: Alt. D.
Abraço,
Eduardo
- Mensagem original
De: Alex pereira Bezerra [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Terça-feira, 29 de Janeiro de 2008 20:00:08
Assunto: Re: [obm-l] Questões do livro Álgebra I
1)Seja N = abc o número procurado temos cba - abc = 100c+ 10b + a - 100a - 10b
- c =99a - 99c = ..4, 99(a-c) = ..4,logo a -c = 6, temos 99 x 6 = 594
Em 29/01/08, [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] escreveu:
Olá,
Me chamo Gabriel e estou estudando por um livro antigo chamado Álgebra
I dos professores Augusto César Morgado, Eduardo Wagner e Miguel
Jorge. Ainda no primeiro capítulo intitulado Os Inteiros e aborda o
conjunto dos inteiros, ordem dos inteiros, princípio da boa
ordenação, divisibilidade, números primos, mmc, mdc, algoritmo de
euclides, função de euler, bases de numeração e congruências. Tive
dúvidas em resolver as seguintes questões:
1ª) Um número de três algarismos a, b e c (ac) é tal que, quando
invertemos a ordem de seus algarismos e subtraímos o novo número do
original, encontramos, na diferença, um número terminado em 4. Essa
diferença é igual a:
a) 954 b) 594 c) 454 d) 544 e) Impossível calcular
2ª) Se x pertence a {0, 1, 2, ..., 25}, para quantos valores de x, x2 +
3x + 2 é múltiplo de 6?
3ª) O algarismo das unidades do número (5837) elevado a 649 é:
a) 1 b)3 c)5 d) 7 e) 9
Conto c/ a ajuda de vcs.
Obrigado
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Res: [obm-l] probalilidades
Olá, pessoal, Desculpem-me a franqueza, mas nenhuma das soluções apresentadas coincide com a real. Tem-se um universo de 60 números, dos quais consideram-se escolhidos 6 e deseja-se acertar 4. Deste modo, basta que, dos 6 números, selecionemos os 4 que iremos acertar de C(6,4) maneiras. Em seguida, dos 54 números restantes, escolhemos os 2 que não iremos acertar de C(54,2) maneiras. O espaço amostral, de fato, é C(60,6). Logo, nossa probabilidade é: C(6,4)*C(54,2)/C(60,6) = 4.293/10.012.772. Um abraço, Eduardo Estrada - Mensagem original De: fagner almeida [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Terça-feira, 15 de Janeiro de 2008 0:12:44 Assunto: Re: [obm-l] probalilidades a figura é outra questão , achei que dava pra ver claramente por isso não especifiquei . ''Com boa vontade e um pouquinho de imaginação, eu reescreveria o problema dizendo que num concurso em que 4 números seriam sorteados'' se vc reescreve-se assim mudaria o espaço amostra que seria C60,4 a solução perfeita como já disse ,seria essa evento favoravel : C54,4*C6,4 = 21465 ai estaria todo grupo de 6 numeros com 4 dos numeros escolhidos espaço amostral : C60,6 = 50063860 todo resultado possivel P(X) = 21465/50063860 beleza fernandobarcel [EMAIL PROTECTED] escreveu: E o que é que o enunciado está pedindo??? São quantos palpites para acertar os 4 números? 4,10,50 palpites para cada número? Com boa vontade e um pouquinho de imaginação, eu reescreveria o problema dizendo que num concurso em que 4 números seriam sorteados (de um universo de 60), você poderia escolher 6 números (algo semelhante à mega-sena). E a questão seria qual a probabilidade de se acertar o resultado (os 4 números sorteados) com os 6 números escolhidos. Achei isso condizente com a solução do Ponce. Entretanto o problema é nebuloso, pois além de muito mal escrito (a começar pelo próprio título), o texto não tem nada a ver com a figura enviada. Faça-nos um favor: se organize aí, e reescreva o problema! -- Início da mensagem original --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br On 01/12/08, fagner almeida wrote: sua solução não tem nada ver com que o enunciado está pedindo . tentando aqui eu consegui ver uma solução , acho que é isso evento favoravel : C54,4*C6,4 = 21465 espaço amostral : C60,6 = 50063860 P(X) = 21465/50063860 Rogerio Ponce [EMAIL PROTECTED] escreveu: Ola' pessoal, os 6 numeros escolhidos fornecem C(6,4) combinacoes para o apostador, ou seja, 6! / ( 4! * 2! ) = 6*5/2 = 15 combinacoes. O universo de combinacoes possiveis e' composto por C(60,4) combinacoes possiveis, ou seja, 60! / ( 4! * 56! ) = 60*59*58*57 / 24 = 5*59*29*57 A probabilidade de acertar e' a relacao entre as duas quantidades, ou seja, 15 / (5*59*29*57) = 1 / (59*29*19) = 1/ 32509 []'s Rogerio Ponce PS: interpretei conforme o enunciado apenas, sem olhar a figura enviada (estou sem acesso ao site da figura). Assim, pode ser que minha solucao nao faca nenhum sentido. 2008/1/9, fagner almeida : Escolhe 6 números entre os 60 que existem e deseja saber qual a probabilidade de acertar quatro destes seis números escolhidos ? http://img112.imageshack.us/my.php?image=316pz1.gif = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! http://br.mail.yahoo.com/
[obm-l] Res: [obm-l] off-topic: (relação entre deriv abilidade e integrabilidade)
Olá, Cabri, Pensei numa possibilidade. Se uma função é derivável, então ela é contínua. E, se uma função é contínua, ela é integrável (no sentido mais comum que temos para integração, que geralmente vemos em cursos iniciais de Cálculo). Logo, se uma função é derivável, então ela também é integrável. Observe-se que, tanto para se falar em diferenciabilidade quanto em integrabilidade, estamos considerando-os em relação a intervalos. De fato, é importante observar isso, pois é possível definir uma função diferenciável num ponto, mas não se define, em geral, integral de uma função em um ponto específico. Um abraço, Eduardo - Mensagem original De: Tio Cabri st [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Quarta-feira, 16 de Janeiro de 2008 7:49:46 Assunto: [obm-l] off-topic: (relação entre derivabilidade e integrabilidade) Amigos, bom dia. Antes de incomodá-los com mais uma dúvida (dívida), quero agradecer a todos os que participam dela. Lendo a lista aprendo muito. Agora a minha d(Í)vida: Quando uma função é derivável, o que posso dizer sobre ser integrável? Eu acho que não posso afirmar nada, mas não sei dar um exemplo (ou contra-exemplo). Obrigado Cabri = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! http://br.mail.yahoo.com/
Res: [obm-l] boa de combinatoria
Ok, Ralph,
Respondi dizendo que atentei para minha distração logo que enviei a resposta
anterior. Mas não conhecia essa solução que você apresentou. De fato, muito
interessante.
Um abraço,
Eduardo
- Mensagem original
De: Ralph Teixeira [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Sexta-feira, 7 de Dezembro de 2007 17:01:06
Assunto: Re: [obm-l] boa de combinatoria
Hmmm... infelizmente, uma função não-decrescente não é o mesmo que uma
função que não é decrescente -- é, eu concordo que é uma péssima péssima
péssima denominação, mas foi assim que os matemáticos convencionaram...
Uma função decrescente é uma que satisfaz f(x)f(y) sempre que xy.
Uma função não-decrescente é uma que satisfaz f(x)=f(y) sempre que xy.
Por exemplo, se f(1)=3, f(2)=1 e f(3)=2 então a função não é decrescente (pois
cresce de f(2) para f(3)) nem não-decrescente (pois decresce de f(1)=3 para
f(2)=1). Denominação horrível, né?
Solução de (b): imagine bolinhas numeradas de 1 a m. Vamos colocar, entre as
bolinhas, barras indicando onde está cada um dos valores f(1), f(2), ..., f(n).
Por exemplo, se for n=3 e m=9 e escolhermos a função f(1)=2, f(2)=5 e f(3)=5,
temos o seguinte diagrama:
oo|ooo||
A primeira barra diz que f(1)=2 (bolinhas à esquerda dela); a segunda indica
f(2)=5; a terceira indica f(3)=5 também.
Afirmamos que definir uma função não-decrescente é equivalente a escrever uma
sucessão de bolinhas e barras como acima -- dada uma função existe uma única
maneira de escrevê-la com bolas e barras, e dada uma seqüência de n+m bolas e
barras com m bolas e n barras existe uma única função. Bom, para ser exato não
vale começar com uma barra (pois não vale f(1)=0), mas fora isso vale tudo.
Vale até terminar com uma barra (seria f(n)=m) ou várias (f(n)=f(n-1)=...=m).
Uma função constante, por exemplo, teria todas as barras juntas entre duas
bolinhas.
Então a pergunta é: quantas seqüências de (m-1) bolas e n barras existem
(descartei a primeira bola que não pode ser mexida)? Ora, são m+n-1 posições,
das quais tenho de escolher n posições para colocar n barras (os outros lugares
terão de conter as bolas), então a resposta é C(m+n-1,n).
Abraço,
Ralph
P.S.: não é coinciência que este raciocínio se parece com a contagem do número
de soluções inteiras não-negativas de x1+x2+...+xn+x(n+1)=m -- basta
identificar x1=f(1), x(i)=f(i)-f(i-1) para i=2,3,...,n e finalmente
x(n+1)=m-f(n). Cada solução (x1,x2,...,x(n+1)) corresponde a uma única f, e
vice-versa.
On Dec 7, 2007 9:53 AM, Eduardo Estrada [EMAIL PROTECTED] wrote:
Olá, Vitório,
Me parece que a resolução é a seguinte:
a) Funções crescentes;
Basta que, do contradomínio com m elementos, selecionem-se n. A cada seleção,
associa-se uma única função crescente, e vice-versa. Asim, a resposta é Cm,n.
Observe que, quando mn, o valor obtido é zero, o que é perfeitamente coerente.
b) Funções não decrescentes;
Analogamente, o total de funções decrescentes é Cm,n (de fato, observe que, a
cada função crescente, associa-se uma única função decrescente, e vice-versa).
Como o total de funções (de qualquer tipo) é m^n, temos que o valor procurado é
m^n - Cm,n.
Espero ter ajudado, um abraço!
Eduardo L. Estrada
- Mensagem original
De: vitoriogauss [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Quinta-feira, 6 de Dezembro de 2007 17:01:58
Assunto: [obm-l] boa de combinatoria
Caros colegas...
Seja In = {1,2,...,n}, analogamente Im, determinar o número de funções f: In
-- Im tais que:
a) f seja crescente
b) f seja não-decrescente
desde já grato
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Res: [obm-l] boa de combinatoria
Olá, Vitório,
Me parece que a resolução é a seguinte:
a) Funções crescentes;
Basta que, do contradomínio com m elementos, selecionem-se n. A cada seleção,
associa-se uma única função crescente, e vice-versa. Asim, a resposta é Cm,n.
Observe que, quando mn, o valor obtido é zero, o que é perfeitamente coerente.
b) Funções não decrescentes;
Analogamente, o total de funções decrescentes é Cm,n (de fato, observe que, a
cada função crescente, associa-se uma única função decrescente, e vice-versa).
Como o total de funções (de qualquer tipo) é m^n, temos que o valor procurado é
m^n - Cm,n.
Espero ter ajudado, um abraço!
Eduardo L. Estrada
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De: vitoriogauss [EMAIL PROTECTED]
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Enviadas: Quinta-feira, 6 de Dezembro de 2007 17:01:58
Assunto: [obm-l] boa de combinatoria
Caros colegas...
Seja In = {1,2,...,n}, analogamente Im, determinar o número de funções f: In
-- Im tais que:
a) f seja crescente
b) f seja não-decrescente
desde já grato
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Re: [obm-l] complexos
Olá, Rafael, Se z = i + 1/(1+i), então z = i + 1(1-i)/[(1+i)(1-i)] = i + (1-i)/2 = i/2 + 1/2 Logo, |z| = sqrt(1/4+1/4) = sqrt(1/2) = [sqrt(2)]/2 . Pelo menos foi o resultado ao qual cheguei Ah, e com relação a questão sobre o que significa uma função recorrente, é o seguinte: é uma função que é ela própria utilizada em sua definição. Por exemplo, temos a função fatorial. Isto é, f : N - N f(n):=n*f(n-1) ; f(0):=1. Note que precisamos definir um caso base e que utilizamos f na própria def. de f: f(0) = 0! f(1) = 1*f(0) = 1*1 = 1! f(2) = 2*f(1) = 2*1 = 2! f(3) = 3*f(2) = 3*2 = 3! Abraços, Abraços, Eduardo P.S.: Gostaria de dizer ao André que os pontos de tangência da circunferência inscrita num triângulo são realmente as intersecções citadas e que isso não implica, de modo algum, que um dado triângulo é isósceles ou eqüilátero, já que é uma regra geral. Com relação a questão de alinhamento de pontos, o que ocorre é o seguinte: " Num triângulo isósceles, os quatro pontos notáveis (baricentro, circuncentro, ...) estão alinhados e, no eqüilátero, eles coincidem." [EMAIL PROTECTED] wrote: Se z = i + 1/(1 + i) calcule o módulo de Z: Ps: No meu caderno de exercícios a resposta é sqrt10/2 mas eu só estou chegando no resultado sqrt10/4. Eu estou multiplicando a parcela com denominador imaginário pelo seu conjugado, tirando o mmc, separando a de b e aplicando a fórmula sqrta(a^2 +b^2) mas não chego na resposta do gabarito. Busca Yahoo! O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internet
[obm-l] Triângulos-cont.
Olá, larryp, Não conferi passo a passo sua demonstração,mas creio que ela deve sair também algebricamente, digamos, isto é, fazendo mais contas. Por isso, ela é também correta, dado que você chegou naquilo que queria demonstrar sem assumir nenhuma hipótese errônea. Entretanto, a dem. do Luiz Henrique, pela sua síntese, é mais elegante, na minha opinião. Ah, e gostaria de dizer que se duas bissetrizes se interceptam num ponto, a terceira também se intercepta com as outras no mesmo ponto. Além disso, os pontos de intersecção dessas bissetrizes com as bases são sim os pontos de tangência da circunferência inscrita no triângulo. Ah, também gostaria de dizer que todo triângulo tem uma circ. inscrita, o que é garantido pelo que disse acima e que, numa outra oportunidade, poderia reproduzir aqui essas demonstrações. Atenciosamente, EduardoBusca Yahoo! O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internet
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Triângulos-continuação
Luiz Henrique, Com essa observação de que o ponto de encontro das bissetrizes de um triângulo é também o centro da circunferência inscrita no triângulo (a qual não me tinha ocorrido) ficou bem legal a demonstração. Agora, sim, estou convencido da veracidade do Teorema! Saudações, EduardoBusca Yahoo! O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internet
Re: [obm-l] Equação irracional
Na verdade, x=1 também é solução. Não confirmei direito, mas creio que qq. x t.q. 5-2x0 - x5/2=2.5 é solução. EduardoBusca Yahoo! O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internet
Re: [obm-l] Re: Questão da unicamp (geometria)
Olá, Na verdade, o baricentro de qualquer triânguloestá à 2/3 do vértice mais distante. Tal propriedade pode ser assimresumida: " O baricentro de um triângulo divide suas medianas relativasaos lados em dois segmentos tais que o que vai do baricentro ao vértice é o dobro do que vai do mesmo ponto ao lado oposto." EduardoBusca Yahoo! O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internet
[obm-l] Triângulos-continuação
Olá, Asdemonstrações aqui apresentadas do Teorema de que, dado um triângulo ABC, este é isósceles se, e só se, suas bissetrizes são iguais não foram totalmente completas. Isto é, foi demonstrado que, se um triângulo é isósceles, então suas bissetrizes BD e CE são iguais. Agora,falta demonstrar a recíproca, ainda nãoprovada: 1) Tomem-se os triângulos ABD e AEC (adotando o mesmo esquema); 2) BD = CE (hip.); 3) BÂD = CÂE (comum); 4) A partir daqui, não consegui enxergar mais muita coisa e queria também ajuda, lembrando que, na verdade, temos que concluir que AB = AC; Obrigado, EduardoBusca Yahoo! O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internet
Re: [obm-l] Sequências_de_Cauchy
Olá, Não sei se entendi bem a pergunta do André, mas me parece que a seguinte soma satisfaz suas condições: Pi/4 = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - ... Um abraço, EduardoBusca Yahoo! O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internet
Re: [obm-l] [obm-l] polinômios
Olá, sou novo na lista, mas estive pensando numa demonstração para esse Teorema de D'alambert, o qual o prof. Morgado utilizou num e-mail anterior. Temos P(x) dividido por x+a. Pelo algoritmo de Euclides, vem: P(x) = (x+a)*q + r, onde q é o quociente da divisão e r é o resto. Então, tomando x = -a, vem P(-a) = (-a+a)*q + r = 0*q + r = r. Logo, de fato, o resto da divisão é P(-a). Se tiver alguma falha, por favor, peço que me corrijam. Abraço, Eduardo EstradaBusca Yahoo! O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internet
