[obm-l] Re: [obm-l] cadeira de 3 pés

[Eduardo Wagner]

O banco de 3 pernas não balança porque nosso mundo é tridimensional.
Não tem nada a ver com plano ou triângulo. Um banco de 3 pernas não balança
se for colocado
no teto de um carro.
No mundo 2D um banco de 2 pernas não balança, mas um de 3 pernas pode
balançar.
Em um mundo 4D uma cadeira de 4 pernas não balança.
Wbs
Wagner


Em dom., 22 de jan. de 2023 às 23:24, Claudio Buffara <
claudio.buff...@gmail.com> escreveu:

> Achei na internet duas explicações distintas para a estabilidade de uma
> cadeira (ou mesa ou banco) de 3 pés.
> Aqui estão:
> https://www.somatematica.com.br/curiosidades/c98.php
>
> http://colegiofarroupilha.com.br/site/qual-cadeira-e-mais-firme-a-que-tem-tres-ou-quatro-pes/
>
> Qual das duas é a explicação correta?
> Ou nenhuma das duas? E, nesse caso, qual a explicação?
>
> []s,
> Claudio.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Algo errado com o enunciado?

[Eduardo Wagner]

Prezado Pedro:

Relaxe. Não há nenhum conjunto obrigatório para os naturais. Cada um adota
o que quiser, com o zero ou sem o zero.
Em sequências costuma-se adotar o conjunto dos naturais sem o zero, pois
quando estamos contando elementos
de algum conjunto, a maioria das pessoas normais não começa a contar pelo
zero.
Em aritmética o zero deve ser incluído como elemento neutro da adição.
Oberve que nos axiomas de Peano, o zero não está incluído. Isso é
conveniente pois o axioma 4 é a base para o
Princípio da indução.
Enfim, essas questões de nomenclatura não são importantes.
Adote a que for mais conveniente ao objeto que você está estudando.
Att,
E, Wagner.

Em sáb, 16 de mar de 2019 às 14:41, Pedro José 
escreveu:

> Boa tarde!
>
> Já questionei uma vez aqui no sítio sobre um fato, para mim curioso.
> Estudara no ginásio e também no científico que os inteiros positivos,
> representado por um Z estilizado e um sinal de adição eram elementos do
> conjunto {0, 1, 2, 3,...} e os inteiros estritamente positivos teriam a
> representação por um Z estilizado um sinal de adição e um asterisco e
> seriam elementos de {1, 2, 3, 4, 5,...} Então havia interseção entre os
> conjuntos dos inteiros positivos e negativos que seria obviamente o {0}. O
> mesmo acontecia com os reais positivos.
> Ainda relembro Miguel Jorge e Dona Frida chamando a atenção entre positivo
> e estritamente positivo.
> Futuramente deparei-me com esse novo conceito.
> Outra coisa Miguel Jorge costumava começar seus livros com o capítulo 0
> para frisar que ele considerava zero natural, hoje não encontro uma posição
> pacífica, já vi livros onde o zero não é considerado natural. Todavia,
> nunca mais vi quem considere zero um interior positivo.
> Gostaria de saber a razão da mudança. Se a corrente que estudei era uma
> dissidência que não pegou ou se de fato ocorreu alguma mudança para nos
> adequarmos a um entendimento mais global??
>
> Saudações,
> PJMS
>
>
>
>
>
>
>
> Em qui, 7 de mar de 2019 às 06:10, Anderson Torres <
> torres.anderson...@gmail.com> escreveu:
>
>> Em qua, 6 de mar de 2019 às 16:41, marcone augusto araújo borges
>>  escreveu:
>> >
>> > Seja f uma função definida para todo inteiro positivo tal que
>> >
>> > i) f(0) = 1
>> > ii) f(2n + 1) =  2f(n) + 1
>> > iii) f(2n) = 3f(n)
>> > .
>> > .
>> > .
>> >
>> > se vale para todo inteiro POSITIVO, porque começa com f(0)?
>>
>> Qual é a origem do problema?
>> Talvez tenha sido um mero ato-falho do examinador. Afinal, não me
>> parece que o problema prossegue insolúvel se supusermos "naturais" em
>> vez de "inteiros positivos".
>>
>> >
>> > --
>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> > acredita-se estar livre de perigo.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>  acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> =
>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> =
>>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] TRIÂNGULO

[Eduardo Wagner]

Analítica. Adote AE como unidade de comprimento.
Resp: PQ/QR = 7/5

Em sáb, 9 de mar de 2019 às 12:40, Anderson Torres <
torres.anderson...@gmail.com> escreveu:

>
>
>
> Em qui, 7 de mar de 2019 às 07:47, Vanderlei Nemitz 
> escreveu:
>
>> Só enxerguei uma saída usando geometria analítica. Alguma ideia?
>> Muito obrigado!
>>
>> *Dado um triângulo ABC, com Â= 90º, D é o ponto médio de BC, F é o ponto
>> médio de AB, E é o ponto médio de AF e G o ponto médio de FB. AD intersecta
>> CE, CF, CG em P, Q e R respectivamente. Determine a razão PQ/QR.*
>>
>>
> A ideia que pensei foi usar Razão Cruzada.
>
> https://www.cut-the-knot.org/pythagoras/Cross-Ratio.shtml
> Mas só isso não vai adiantar.
>
>
>
>>
>>
>>
>>
>> 
>>  Livre
>> de vírus. www.avast.com
>> .
>>
>> <#m_5191055488509645045_m_3774298393707173559_m_6555290746475537769_DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Dúvida conceitual (equações)

[Eduardo Wagner]

Considere multiplicidades.

Em dom, 14 de out de 2018 às 06:38, Vanderlei Nemitz 
escreveu:

> Bom dia!
> Na seguinte questão, que me foi apresentada por um aluno, a resposta
> proposta é a alternativa C (1/2). Eu sempre pensei que apenas
> considerávamos multiplicidades em equações polinomiais. Como essa é uma
> equação exponencial, obtive a resposta B (-1/2). O que é correto pensar?
>
> O produto das raízes da equação 16.4^3x - 40.4^2x + 17.4^x - 2 = 0 é igual
> a:
> A) 1
> B) - 0,5
> C) 0,5
> D) - 1
> E) 0
>
> Muito obrigado!
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Geometria Esferica

[Eduardo Wagner]

Uma pergunta off mas pertinente:
Quem assina esta mensagem é o famoso professor Zoroastro,
que fez a sensacional demonstração do Teorema de Euler dos
poliedros e pai de Zoroastro Azambuja Filho, nosso também
importante jovem matemático?

--
From: Zoroastro Azambuja [EMAIL PROTECTED]
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Geometria Esferica
Date: Thu, May 3, 2007, 9:00 PM


Alguém poderia me dizer quais são os axiomas válidos na geometria esferica
(ou eliptica)?



obrigado.
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Re: [obm-l] RES: [obm-l] Livro de Á lgebra Linear

[Eduardo Wagner]

Algebra Linear, Elon Lages Lima, SBM.

--
From: Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED]
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] RES: [obm-l] Livro de Álgebra Linear
Date: Tue, Mar 27, 2007, 6:31 PM


Um excelente eh o do Serge Lang, Linear Algebra
-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de
Leonardo Borges Avelino
Enviada em: terça-feira, 27 de março de 2007 17:14
Para: obm-l
Assunto: [obm-l] Livro de Álgebra Linear

Gostaria d saber bons livros d álgebra linear em teoria...

Re: [obm-l] Uma Curva Interessante

[Eduardo Wagner]

Oi Paulo:
Oi Pessoal:

Esta eh facil. Faça um primeiro trecho quase, mais 
quase mesmo, horizontal e o restante do comprimento
caindo abruptamente até B. Como nesse primeiro trecho
a inclinação pode ser tão pequena quanto se queira,
o tempo que a bolinha demora para percorre-lo pode ser
arbitrariamente grande.
Logo, não existe a curva do tempo máximo.

Abraços,

Wagner.

--
From: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED]
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Uma Curva Interessante
Date: Tue, Feb 7, 2006, 2:14 PM


 Ola Pessoal,

 Alguem me propos o seguinte problema :

 Dentre todas as curvas de mesmo comprimento L que ligam dois pontos A e B
 de um plano, determinar aquela em que um corpo submetido exclusivamente ao
 campo gravitacional da terra (suposto constante ) gasta o tempo maximo para
 ir de A para B.

 NOTA : Se A=(Xa,Ya) e B=(Xb,Yb) sao as coordenadas de A e B suponha que Xb 
 Xa e
 Yb  Ya. Tambem suponha que :

 distancia entre A e BL   (Xb - Xa) + (Ya - Yb)

 Parece ser um problema interessante, nao trivial. Como estou sem tempo pra
 pensar nele, estou passando pra voces.

 Um Abraco a Todos
 Paulo Santa Rita
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Re: [obm-l] lidski

[Eduardo Wagner]

Nunca soube que tenha sido publicado aqui.
O meu Lidski eh publicado pela MIR em 1972
na edicao em espanhol.

--
From: marcio aparecido [EMAIL PROTECTED]
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] lidski
Date: Fri, Oct 28, 2005, 5:38 PM


 Oieee galera
 queria pergintar se alguem aqui da lista tem o lidski, e em que línguas
 ele foi publicado aqui no brasil ??

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Re: [obm-l] sistemas lineares

[Eduardo Wagner]

Title: Re: [obm-l] sistemas lineares



Michele:
Em primeiro lugar se voce examinar a demonstracao da
regra de Cramer, voce vera que o resultado so vale se 
o determinante do sistema for diferente de zero. A regra
de Cramer, portanto, nao se dedica a discutir nada.
Em segundo lugar, mesmo que algumas pessoas insistam
em discutir um sistema linear usando os tais determinantes
Dx, Dy, etc, elas devem saber que a conclusao pode ser falsa.
Por exemplo, considere o simples sistema:
x + y + z = 1
2x + 2y + 2z = 3
3x + 3y + 3z = 5
Neste sistema, D = 0, Dx = Dy = Dz = 0. Os que usam erradamente
a regra de Cramer para discutir sistemas devem dizer que este
sistema eh indeterminado. Mas nao eh. Este sistema eh impossivel!
Em terceiro lugar, determinante eh coisa muito pouco pratica.
Quando o sistema tem 3 incognitas, ainda se admite que se possa
usar determinantes para resolver, mas, na vida real, sistemas 
lineares costumam ser muito maiores. Engenharia eletrica e Economia
sao areas que costumam lidar com sistemas grandes. E ninguem
eh doido o suficiente para pensar em usar determinantes.
Ha algum tempo, um conhecido meu do IMPA calculou o tempo
que um computador comum como o meu ou o seu levaria para
calcular um determinante 20X20. E o resultado foi: 1 ano,
1 mes e 17 dias.

Abraco,

W.


--
From: Michele Calefe [EMAIL PROTECTED]
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: Re: [obm-l] sistemas lineares
Date: Sat, Jul 16, 2005, 2:26 PM


Eduardo, mas quando o sistema tem o número de incógnitas igual ao número de equações, e, o determinante é zero, dá pra dizer que se todos os Dx, Dy,...forem nulos, o sistema é SPI? Além disso, se pelo menos um deles é diferente de zero o sistema é SI? Por que não faz sentido discutir dessa maneira?
michele

Eduardo Wagner [EMAIL PROTECTED] escreveu:
MIchele:

A regra de Cramer eh um metodo que permite
explicitar cada incognita de um sistema linear com
mesmo numero de equacoes e incognitas quando o
determinante do sistema eh diferente de zero.
Tem interesse teorico mas, na pratica eh terrivelmente
ineficiente.
A regra de Cramer nao serve para discutir sistemas.
A melhor forma de discutir um sistema linear com m
equacoes e n incognitas eh o escalonamento.

Abraco.

W.

--
From: Michele Calefe [EMAIL PROTECTED]
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] sistemas lineares
Date: Fri, Jul 15, 2005, 3:52 PM


Pessoal, eu gostaria de saber se é possível discutir um sistema linear utilizando a regra de Cramer. Sei que não é possível encontrar a solução do SPI, mas, é possível afirmar quando o sistema é SI ou SPI?

obrigada,

michele
__
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Re: [obm-l] sistemas lineares

[Eduardo Wagner]

Title: Re: [obm-l] sistemas lineares



MIchele:

A regra de Cramer eh um metodo que permite
explicitar cada incognita de um sistema linear com
mesmo numero de equacoes e incognitas quando o
determinante do sistema eh diferente de zero.
Tem interesse teorico mas, na pratica eh terrivelmente
ineficiente.
A regra de Cramer nao serve para discutir sistemas.
A melhor forma de discutir um sistema linear com m
equacoes e n incognitas eh o escalonamento.

Abraco.

W.

--
From: Michele Calefe [EMAIL PROTECTED]
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] sistemas lineares
Date: Fri, Jul 15, 2005, 3:52 PM


Pessoal, eu gostaria de saber se é possível discutir um sistema linear utilizando a regra de Cramer. Sei que não é possível encontrar a solução do SPI, mas, é possível afirmar quando o sistema é SI ou SPI?

obrigada,

michele
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Re: [obm-l] Mais construcoes [era: Quadrilatero Inscritivel]

[Eduardo Wagner]

Oi Luiz e amigos da lista:

1) A solucao que conhecia do quadrilatero inscritivel
eh a mesma do livro do Natan.
2) Para os amigos da lista que nao entenderam nada do
comentario de Luiz Lopes sobre Petersen explico:
Julius Petersen foi um personagem do inicio do sec.20
que escreveu um livro sobre construcoes geometricas que
nao tem uma unica figura. Eh muito dificil de entender.
Dai o seu comentario sobre expert.
3) Eu sei fazer o problema que Luiz propos tirado do
fundo do bau. Mas, eh claro, nao vou mandar a solucao
agora.

Abracos,

Wagner.

--
From: Luís Lopes [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: [obm-l] Mais construcoes [era: Quadrilatero Inscritivel]
Date: Wed, Nov 10, 2004, 3:34 PM


 Sauda,c~oes,

 Oi Wagner,

Declaro resolvida a questao do quadrilatero inscritivel.
 Qual seria a sua solução? A mesma? Pesquisando ontem no
 Petersen ele apresenta (ou melhor, sugere) uma mas não
 entendi, como foi quase sempre o caso nas soluções desse livro.

Para os que nao conhecem, Luiz Lopes eh um expert em construcoes
geometricas.
 Obrigado pelo elogio mas experts são aqueles que conseguem entender
 e reproduzir as soluções do Petersen. Ou bolar outras para os
 problemas que ele apresenta. Ou para este aqui, tirado de
 Alexandroff (Aleksandrov), Ivan, Problèmes de Géométrie Élémentaire,
 Hermann, Paris, 1899 (mais do fundo do baú ainda!!! :))

 Construir um quad. ABCD dados os ângulos e as diagonais.

Ele eh um excelente matematico e publicou varios livros
sobre diversos assuntos. Um deles se chama
Manual de construcao de Triangulos que eh uma verdadeira
preciosidade.
 Este livro foi publicado em francês e está esgotado. Ah, não
 foi best seller não, só imprimi 40 exemplares. Pretendo publicá-lo
 em português também, ocasião em que farei diversas alterações
 e apresentarei soluções que me escaparam. Algumas
 delas por falta de uma investigação mais intensa mas outras
 somente após consultar um livro em alemão que me foi oferecido
 recentemente por um membro de uma outra lista.

 []'s
 Luis


From: Eduardo Wagner [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: [obm-l] Mais construcoes [era: Quadrilatero Inscritivel] Date:
Tue, 09 Nov 2004 23:42:35 -0200

Declaro resolvida a questao do quadrilatero inscritivel.
Para os que nao conhecem, Luiz Lopes eh um expert em construcoes
geometricas. Ele eh um excelente matematico e publicou varios livros
sobre diversos assuntos. Um deles se chama
Manual de construcao de Triangulos que eh uma verdadeira
preciosidade.
Vai ser dificil achar um livro sobre o assunto que ele ainda
nao tenha, mas vou procurar descobrir.
Abracos,
Wagner.


--
 From: Luís Lopes [EMAIL PROTECTED]
 To: [EMAIL PROTECTED]
 Subject: [obm-l] Mais construcoes [era: Quadrilatero Inscritivel]
 Date: Tue, Nov 9, 2004, 6:41 PM
 

  Sauda,c~oes,
 
  Oi Claudio,
 
  ===
 O problema estah morto e acho que voce acabou de ganhar um livro do
Eduardo
 Wagner.
  ===
  Poderia ser o caso se não tivesse enviado a solução de
  Altshiller-Court, Nathan, College Geometry, 1952.
 
  Talvez esse problema esteja no FG-M também. Não olhei.
 
  As primeiras tentativas de solução da lista para este problema
  baseavam-se na construção de elementos obtidos algebricamente
  (diagonais e circumraio, se me lembro bem).
  Pergunto: tendo-se mostrado que o problema tem uma solução
  algébrica, será que SEMPRE podemos obter uma solução
  geométrica? Penso que sim, depois de ver soluções
  geométricas para muitos problemas onde achava que só a
  solução bruta algébrica seria possível.
 
  Proponho então dois problemas para os quais tenho somente
  sols. algébricas. Será que existiriam sols. geom. também???
 
  Construir o triângulo ABC dados:
 
  1) A, m_a, r
  2) A, m_a, r_a
 
  A=ângulo, m_a = mediana que parte de A; r (in-raio) r_a (ex-raio).
 
  Amanhã proponho mais um de quadrilátero.
 
  []'s
  Luis
 


 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
 =

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Mais construcoes [era: Quadrilatero Inscritivel]

[Eduardo Wagner]

Declaro resolvida a questao do quadrilatero inscritivel.
Para os que nao conhecem, Luiz Lopes eh um expert em construcoes
geometricas. Ele eh um excelente matematico e publicou varios livros
sobre diversos assuntos. Um deles se chama
Manual de construcao de Triangulos que eh uma verdadeira
preciosidade.
Vai ser dificil achar um livro sobre o assunto que ele ainda
nao tenha, mas vou procurar descobrir.
Abracos,
Wagner.


--
From: Luís Lopes [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] Mais construcoes [era: Quadrilatero Inscritivel]
Date: Tue, Nov 9, 2004, 6:41 PM


 Sauda,c~oes,

 Oi Claudio,

 ===
O problema estah morto e acho que voce acabou de ganhar um livro do Eduardo
Wagner.
 ===
 Poderia ser o caso se não tivesse enviado a solução de
 Altshiller-Court, Nathan, College Geometry, 1952.

 Talvez esse problema esteja no FG-M também. Não olhei.

 As primeiras tentativas de solução da lista para este problema
 baseavam-se na construção de elementos obtidos algebricamente
 (diagonais e circumraio, se me lembro bem).
 Pergunto: tendo-se mostrado que o problema tem uma solução
 algébrica, será que SEMPRE podemos obter uma solução
 geométrica? Penso que sim, depois de ver soluções
 geométricas para muitos problemas onde achava que só a
 solução bruta algébrica seria possível.

 Proponho então dois problemas para os quais tenho somente
 sols. algébricas. Será que existiriam sols. geom. também???

 Construir o triângulo ABC dados:

 1) A, m_a, r
 2) A, m_a, r_a

 A=ângulo, m_a = mediana que parte de A; r (in-raio) r_a (ex-raio).

 Amanhã proponho mais um de quadrilátero.

 []'s
 Luis


From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: [obm-l] Quadrilatero Incritivel
Date: Tue, 09 Nov 2004 17:36:58 -0200

on 08.11.04 12:35, Luís Lopes at [EMAIL PROTECTED] wrote:
 
  Sejam AB=a, BC=b, CD=c, DA=d, AC=x, BD=y e seja m a reta
  simétrica do lado AD com relação à bissetriz do ângulo BAC.
 
  Lema: a reta m contém um e somente um ponto O tal que o /_ AOB = /_ ACD
.
  O ponto O \in m pertence ao lado BC sss ABCD é cíclico.
 
Agora faz sentido!

  Dos triângulos ACD e AOB, temos /_ ABO = /_ ADC .
 
  Assim, se ABCD é cíclico, o ponto O está no lado BC; e somente nesse
caso,
  pois, reciprocamente, se O está em BC então ABCD é cíclico.
 
  Teorema: (Ptolomeu) xy = ac + bd sss ABCD é cíclico.
 
  Na dem. do lema acima mostra-se que OB = ac/d e que AO/AC = a/d.
 
Pois os triangulos OBA e CDA sao semelhantes.

  Daí a const. que segue:
 
  1) Numa reta r marque CB = b e construa O tal que BO = ac/d
  (com B entre O e  C). Isso implica que OC = (ac + bd)/d = xy/d.
 
  2) um lg para A é o círculo (B,a). O outro é um círc. de Apolônio
  considerando os pontos O e C.
 
Ou seja, A pertence ao l.g. dos pontos X tais que |XO|/|XC| = a/d.

Legal, com A construido, basta tracar os circulos (A,d) e (C,c), cujo ponto
de interseccao no interior do angulo ABC eh justamente D.

O problema estah morto e acho que voce acabou de ganhar um livro do Eduardo
Wagner.

[]s,
Claudio.



 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
 =

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Olimpíadas Brasileiras de Matemática, 1ª a 8ª

[Eduardo Wagner]

Eu tenho Fabio.
Entre em contato comigo [EMAIL PROTECTED].

--
From: Fabio Dias Moreira [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: [obm-l] Olimpíadas Brasileiras de Matemática, 1ª a 8ª
Date: Sat, Oct 30, 2004, 11:48 AM



 machado said:
 Olá pessoal,
 alguém tem esse livro ? Olimpíadas Brasileiras de Matemática, 1ª a 8ª -
 Élio Mega e Renate Watanabe ?

 Preciso muito.
 Serve xerox ou original.
 [...]

 Veja o site da SBM:

 http://www.sbm.org.br/

 []s,

 --
 Fábio ctg \pi Dias Moreira


 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
 =

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Quadrilatero Incritivel

[Eduardo Wagner]

Vamos com calma minha gente.
Para os que nao estao habituados com as construcoes
geometricas em toda a sua pureza e sofisticacao,
o enunciado do problema eh o seguinte:

Na sua folha de papel existem 4 segmentos que sao os
lados AB, BC, CD e DA do quadrilatero inscritivel ABCD.
Pede-se desenhar o quadrilatero possuindo uma regua nao
graduada e compasso.
OBS: Para facilitar, admite-se o uso de esquadros para
o tracado de paralelas e perpendiculares. Na verdade,
esses instrumentos nao sao necessarios pois com regua
nao graduada e compasso podemos fazer essas construcoes.

Engana-se o colega que afirma que com uma pesquisa se pode
responder a qualquer coisa. Neste caso, estamos propondo
um problema onde nao ha nenhum instrumento de medida.
Formulas sao permitidas, eh claro, mas devem ser construidas
com regua nao graduada e compasso para terem validade.

Para saber mais: As primeiras propriedades do quadrilatero
inscritivel apareceram no livro Almajesto de Ptolomeu
no sec.2 dC. O problema em questao, de construir um
quadrilatero inscritivel conhecendo os 4 lados nao tem pai,
mas foi objeto de atencao por muita gente durante muito tempo.
A primeira solucao foi dada por Francois Viete em 1540.

Abracos,

Wagner.


--
From: Qwert Smith [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: [obm-l] Quadrilatero Incritivel
Date: Thu, Oct 28, 2004, 4:53 PM


From: Eduardo Wagner [EMAIL PROTECTED]
 From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED]
  Aqui vai um problema proposto ha tempos pelo Eduardo Wagner e que nunca
foi
  resolvido na lista:
 
  Construir um quadrilatero inscritivel ABCD dados AB e os comprimentos de
BC,
  CD e DA.
 
  []s,
  Claudio.
 
Boa Claudio! Vamos botar esse pessoal para pensar. Como eh um problema de
enunciado absolutamente lindo vou oferecer um livro para a primeira solucao
correta que aparecer na lista.

Abracos a todos.

 Nos dias de hj qualquer um responde qualquer pergunta com uma simples
 pesquisa
 na net.

 Veja o link:
 http://mathworld.wolfram.com/CyclicQuadrilateral.html

 Ele te da a formula das diagonais do quadrilatero incritivel em funcao dos
 lados.
 Ai vc faz assim:
 de A traca com um compasso a diagonal AC, de B traca o lado BC
 a intercao eh o ponto C.
 O ponto D eh analogo e acabou.

 Uma resposta quase 'Dirichlet'lesca.
 []s,
 Auggy

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 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Re: [obm-l] Quadrilatero Incritivel

[Eduardo Wagner]

--
From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED]
To: Lista OBM [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] Quadrilatero Incritivel
Date: Fri, Jan 1, 1904, 12:37 PM


 Aqui vai um problema proposto ha tempos pelo Eduardo Wagner e que nunca foi
 resolvido na lista:

 Construir um quadrilatero inscritivel ABCD dados AB e os comprimentos de BC,
 CD e DA.

 []s,
 Claudio.

Boa Claudio! Vamos botar esse pessoal para pensar. Como eh um problema de
enunciado absolutamente lindo vou oferecer um livro para a primeira solucao
correta que aparecer na lista.

Abracos a todos.
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 InstruÁžes para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Re: [obm-l] Classificação de Grupos

[Eduardo Wagner]

Epa! Mensagens do Nicolau que sempre chegaram claras
estao chegando com simbolos ininteligiveis.
O que ocorre?

--
From: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: [obm-l] Classificação de Grupos
Date: Sat, Jul 3, 2004, 6:36 PM


 On Sat, Jul 03, 2004 at 03:33:16PM -0300, Lista OBM wrote:
 estou com dificuldades em classificar todos os grupos de ordem at� 11.
 Gostaria de saber se algu�m poderia me ajudar.

 Al�m de um grupo c�clico de cada ordem, temos Z/(2) + Z/(2),
 Z/(4) + Z/(2), Z/(2) + Z/(2) + Z/(2), Z/(3) + Z/(3),
 os grupo diedrais de ordens 6, 8 e 10 e o grupo {+-1,+-i,+-j,+-k}
 dos quat�rnios. N�o � muito dif�cil provar que estes s�o os
�nicos.

 � mais interessante classificar os grupos de ordem 12: h� 5 deles.

 []s, N.

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[obm-l] parabola

[Eduardo Wagner]

Title: parabola





--
From: 
Date: Wed, Feb 18, 2004, 4:00 PM


Alguem sabe como se resolve:

- Seja um triângulo ABC cujos lados são tangentes a uma parabola. Prove que o circulo circunscrito ao triângulo passa pelo foco.


Vamos la. Voces vao ter que fazer uma figura para acompanhar.
Seja ABC o triangulo. Uma parabola de foco F eh tangente em M
ao lado BC e tangente em N e P aos prolongamentos dos lados
AB e AC, respectivamente.
A semi-reta FX eh o eixo da parabola.
Trace por A e B as semi-retas AY e BZ paralelas a FX.
Pelo teorema de Poncelet, ang(NBZ) = ang(CBF).
Como BZ e AY sao paralelas, ang(NBZ) = ang(NAY).
Pelo teorema de Poncelet, ang(NAY) = ang(BAY) = ang(PAF) 
= ang(CAF).
Se ang(CBF) = ang(CAF) entao F pertence a circunferencia
circunscrita ao triangulo ABC.

Abraco,

Wagner.






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Re: [obm-l] Matrizes Inversiveis

[Eduardo Wagner]

--
From: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: [obm-l] Matrizes Inversiveis
Date: Mon, Feb 9, 2004, 1:31 PM


 On Sun, Feb 08, 2004 at 08:39:13PM -0200, Claudio Buffara wrote:
 Sua solucao me gerou outra duvida. Qual a grafia correta: inversivel ou
 invertivel ou ambas sao aceitaveis?

 Quase todo mundo fala e escreve inversível. Algumas pessoas,
 entre elas o Elon, falam e escrevem invertível, argumentando
 que a palavra vem do verbo inverter e portanto o 't' não tem pq
 virar um 's'. O argumento é discutível, pois dizemos conversível
 e reversível apesar dos verbos serem converter e reverter.

 []s, N.

A questao nao tem maior importancia, mas o Aurelio registra:
intertivel = o que se pode inverter.


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Re: [obm-l] rea Lateral de Pir mide

[Eduardo Wagner]

Title: Re: [obm-l] rea Lateral de Pirmide



Para mim chegou ilegivel.

--
From: Cludio \(Prtica\) [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] rea Lateral de Pirmide
Date: Tue, Nov 11, 2003, 16:56


Oi, Pessoal:

O problema abaixo  baseado numa questo da Olimpada Paulista de Matemtica desse ano.

Dado um quadrado ABCD, de lado a, determine o lugar geomtrico dos vrtices das pirmides que tm ABCD como base e rea lateral constante e igual a S.
(a, S: reais positivos).

Um abrao,
Claudio.
[EMAIL PROTECTED];s+ [EMAIL PROTECTED],Ak9Yt{T~tkTtO'T~UI/'E4YDwl Ea2c/G xYR +c%w= [EMAIL PROTECTED],ucz]*sYXF]fcuXGuc)Y2 ]ffu]2*uc/uc+]cW]2T]l+]f1ucvuX]WFu+]X*u*]W/]WcY+A]c*YWvY!Y2,ucbucwY*F]fcu*{YWb]2+]2]2TY]WZYcYWcY*2]*u,Y*+]X*W]fZ]WF]2 uXcu*]WZY*W]c+Y],ucz]*sYXF]fcuXGuc)Y2 ]ffu]2*uc/uc+]cW]2T]l+]f1ucvuX]WFu+]X*u*]W/]WcY+A]c+YW,Y*z:[EMAIL PROTECTED]@[EMAIL PROTECTED]@ 

Re: [obm-l] teorema de dandelin

[Eduardo Wagner]

Title: Re: [obm-l] teorema de dandelin



Epa! 
Um engano na mensagem abaixo. O certo eh:
a) se o plano for paralelo a uma das geratrizes obtemos uma
parabola.
b) se cortar apenas uma das partes do duplo cone obtemos uma
elipse (ou uma circunferencia)
c) se cortar as duas partes do duplo cone obtemos uma hiperbole.

--
From: Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] teorema de dandelin
Date: Mon, Aug 25, 2003, 6:09 PM



O Teorema de Dandelin eh aquela que trata das chamadas conicas, ou seja das curvas que se obtem ao se seccionar um cone reto com um plano. Se o plano for paralelo ao eixo do cone, obtemos uma parabola; se for paralelo a uma de suas geratrizes, obtemos uma hiperbole; e se cortar toda a supeficie lateral do cone, obtemos uma elipse (que eh um circulo se o plano for perpendicular ao eixo do cone). A demonstracao eh muito bonita e pode ser encontrada nos bons livros de geometria. 

Abracos
Artur


OPEN Internet
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Re: [obm-l] BELEZA: belgas e pontos.

[Eduardo Wagner]

--
From: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: [obm-l]  BELEZA: belgas e pontos.
Date: Sun, Aug 10, 2003, 8:23 AM


 On Sun, Aug 10, 2003 at 02:08:56AM -0300, Eduardo Wagner wrote:
 Nao ha duvida sobre o que esta escrito acima. Entretanto, ha um pedaco de
 frase assim: e ja sabemos o que estas curvas sao.
 Sim! Nos sabemos, mas os alunos provavelmente nao.

 Como não? No ensino médio eles sabem. Eu estranho a idéia de estudar
 cônicas de forma puramente grega, sem mencionar que estas são as curvas
 de grau 2.

Eu nao disse isto. Os alunos conhecem as curvas do segundo grau mas
nao sao capazes de identificar as secoes no cone com elas uma vez que
a geometria analitica no espaco nao faz parte do programa de matematica
do ensino medio do nosso pais. Coordenadas no R3 so existe aqui no Rio de
Janeiro e, ainda assim, de forma muito elementar; equacao da reta e do
plano e nada mais.

 Ja que fui citado (ou provocado) em mensagem anterior, quero dizer que
 os alunos podem perfeitamente conhecer as conicas muito antes de estarem
 familiarizados com a geometria analitica no espaco, translacoes e rotacoes.
 E isto eh muito bom. Conhecer desde cedo as curvas e suas diversas formas,
 definidas por um unico numero chamado excentricidade.
 A demonstracao legal que usa as esferas eh totalmente elementar e permite
 obter um resultado surpreendente que vai agora para a beleza matematica
 da lista.

 Só para pacificar um pouco, eu também gosto muito da demonstração com
 as esferas, não estou de forma alguma querendo sugerir que a demonstração
 que apresentei (de natureza algébrica) deva eliminar a demonstração de
 natureza mais geométrica. Mas eu me lembro de, ao descobrir a demonstração
 algébrica, ter tido aquela sensação de isto é tão simples, pq me esconderam
 isso durante tanto tempo?...

Para pacificar totalmente eu talvez diria que voce deve ter tido bons
professores. Eles tiveram a nocao do que um aluno do ensino medio pode
compreender com as ferramentas que possuem na ocasiao, e deixar um mundo
de decobertas surpreendentes para depois, quando tiveram mais maturidade e
conhecimento.
E isto foi muito bom.

Abraco,

Wagner.


 []s, N.
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Re: [obm-l] BELEZA: belgas e pontos.

[Eduardo Wagner]

--
From: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: [obm-l]  BELEZA: belgas e pontos.
Date: Sat, Aug 9, 2003, 10:37 PM


 On Sat, Aug 09, 2003 at 08:42:04PM -0300, Augusto Cesar de Oliveira Morgado
 wrote:
 Os teoremas a respeito de as seçoes do cone por planos que nao contem o
 vertice serem elipses, parabolas ou hiperboles foram demonstrados por dois
 belgas, Quetelet e Dandelin, e sao conhecidos por muitos como os teoremas
 belgas. As demonstraçoes sao particularmente elegantes e surpreendentemente
 simples, principalmente se expostas no quadro-negro pelo Wagner.

 Ok. A demonstração do Wagner deve ser uma que envolve desenhar umas esferas.
 É legal, mas não é minha demonstração favorita deste fato.
 Por mim a demonstração certa consiste em observar que o cone tem equação
 de grau 2 (x^2 + y^2 = z^2) e rodar ou transladar não altera o grau.
 Tomar a interseção com um plano, digamos o plano z=0, já que rodamos,
 também não altera o grau (só estamos eliminando os termos que envolvem z).
 Logo a interseção é uma curva de grau 2 e já sabemos o que estas curvas são.

 Observe que assim também demonstramos que a interseção de um parabolóide
 ou um hiperbolóide com um plano também é uma cônica. Em particular,
 a interseção de um hiperbolóide de revolução de uma folha (x^2 + y^2 = 1 +
z^2)
 com um plano tangente tem um ponto duplo, logo é um par de retas.

 []s, N.

Nao ha duvida sobre o que esta escrito acima. Entretanto, ha um pedaco de
frase assim: e ja sabemos o que estas curvas sao.
Sim! Nos sabemos, mas os alunos provavelmente nao.

Ja que fui citado (ou provocado) em mensagem anterior, quero dizer que
os alunos podem perfeitamente conhecer as conicas muito antes de estarem
familiarizados com a geometria analitica no espaco, translacoes e rotacoes.
E isto eh muito bom. Conhecer desde cedo as curvas e suas diversas formas,
definidas por um unico numero chamado excentricidade.
A demonstracao legal que usa as esferas eh totalmente elementar e permite
obter um resultado surpreendente que vai agora para a beleza matematica
da lista.

Em um cone (duplo) as geratrizes fazem angulo X com o eixo do cone e um
plano corta esse cone fazendo angulo Y com o eixo. Entao a secao do plano
com o cone eh uma curva cuja excentricidade eh cosY/cosX.

Abracos.

E. Wagner.









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[obm-l] Re: no subject

[Eduardo Wagner]

--
From: 
Date: Mon, Aug 11, 2003, 5:06 PM


 Na minha opiniao o Porisma de poncelet e que e
 contra-intuitivo:como e que e que uma coisa tao
 bonita pode ter uma demonstraçao tao feia???

 Dois problemas que nao resolvi mas acho legais
 neste ponto de vista:
 1)Existe uma funçao continua apenas nos
 racionais?

Nao.

 2)Existe uma funçao continua apenas nos
 irracionais?

Sim. Se x = p/q (irredutivel com p e q inteiros, q  0),
seja f(x) = 1/q se x eh racional e f(x) = 0 se x eh irracional.




  --- Claudio Buffara
 [EMAIL PROTECTED] escreveu:  on
 10.08.03 00:50, Artur Costa Steiner at
 [EMAIL PROTECTED] wrote:

  Aproveito a oportunidade para perguntar:
 Existe alguma conclusao da
  matematica que vc considere contraria aa
 intuicao? Eu, por exemplo, acho um
  tanto contra intuitivo que o fato de f ser
 diferenciavel  em R e apresentar
  limite no infinito nao implique que f'
 apresente limite zero no infinito.
  Algumas pessoas acham contra intuitivo que a
 serie harmonica seja
  divergente.
  Artur
 
 Oi, Artur:

 Gostaria de ver que exemplos outras pessoas da
 lista vao dar, mas assim de
 bate-pronto eu diria que acho contra-intuitivo:

 1) que existam funcoes continuas em toda a reta
 mas sem derivada em nenhum
 ponto;

 2) o fato de, sendo a irracional, o conjunto {
 m + na ; m, n inteiros } ser
 denso em R;

 3) que Pi tenha alguma relacao com a soma dos
 inversos dos quadrados dos
 naturais;

 4) que um problema tao simples como o de 3
 corpos sujeitos a atracao
 gravitacional mutua possa ter uma solucao
 caotica;

 5) que um conjunto nao enumeravel possa ter
 medida nula;

 6) que exista uma bijecao entre R e R^2;

 7) a maioria dos resultados quase-milagrosos de
 analise complexa;

 8) que R possa ser bem-ordenado e que isso seja
 consequencia de um negocio
 tao intuitivo como o axioma da escolha.

 9) que o porisma de Poncelet nao possa ser
 provado apenas por geometria
 Euclidiana.

 Mas acho que todos esses sao pinto se
 comparados ao

 10) paradoxo de Banach-Tarski - voce pode
 decompor uma esfera do tamanho de
 uma ervilha em no maximo 5 pedacos e re-montar
 esses pedacos de modo a
 formar uma esfera do tamanho do Sol

 E com essa, vou dormir...

 Um abraco,
 Claudio.


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Re: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMATICA

[Eduardo Wagner]

Caros amigos:

A enquete sobre a beleza matematica ja produziu uma lista
grande de belos teoremas.
Mas ficou faltando um na minha opiniao;

o teorema de Euler dos poliedros convexos: V - A + F = 2.

Nao eh uma coisa linda e inesperada? Eu, quando tive contato
com esse resultado pela primeira vez, fiquei pasmo, fascinado
pela sua simplicidade e beleza.
Eh tambem surpreendente pelas demonstracoes erradas ou incompletas
que apareceram durante cerca de 200 anos de historia.

Abracos,

E. Wagner.

--
From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED]
To: Lista OBM [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMATICA
Date: Sat, Aug 9, 2003, 10:24 AM


 Caros colegas da lista:

 Gostaria de contar com sua participacao numa enquete sobre beleza
 matematica.

 O que eu precisao eh que cada um de voces me envie uma lista contendo algo
 como 5 a 10 problemas/teoremas que voces consideram os mais bonitos e cujas
 solucoes/demonstracoes sao as mais elegantes e/ou inusitadas e/ou
 engenhosas. Nao precisa incluir a solucao/demonstracao, apenas o enunciado.
 No entanto, se voce tiver em mente uma solucao/demonstracao especifica
 (entre varias existentes) nao deixe de mencionar pelo menos o metodo
 utilizado.

 A unica restricao eh que estes resultados devem ser de um nivel acessivel a
 um aluno normal de 2o. grau (ou seja, o Ultimo Teorema de Fermat e o Porisma
 de Poncelet estao fora, mas o caso n = 4 do UTF e a versao para triangulos
 do Porisma poderiam ser incluidos).

 Importante: os resultados devem ser acessiveis a um aluno normal de 2o.
 grau, mas nao necessariamente fazer parte do curriculo normal do 2o. grau.

 Tambem nao precisa responder hoje ou amanha ou mesmo na semana que vem. Acho
 que vale a pena pensar por um tempo e consultar a literatura - as vezes pode
 ter um resultado belissimo do qual voce simplesmente se esqueceu por nao
 encontra-lo ha muito tempo. As Eurekas sao uma otima referencia. O Proofs
 from the Book tambem, apesar de nem tudo lah ter nivel de 2o. grau.

 Se houver um numero suficiente de respostas, eu me comprometo a publicar uma
 compilacao dos problemas e teoremas mais votados.

 Desde jah a gradeco o interesse de quem quiser participar.

 Um abraco,
 Claudio.


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Re: [obm-l] Problemas da IMO

[Eduardo Wagner]

Parabens Gugu!

Voce eh realmente f (no bom sentido).
Eu ja carimbei alguns na OIM, mas na IMO,
sequer tentei.

Um grande abraco,

E. Wagner.

--
From: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] Problemas da IMO
Date: Mon, Jul 14, 2003, 3:38 PM




 Prova da IMO retirada do Site http://www.mathlinks.go.ro/

 O Problema 1 é nois que mandou...


 First Day - 44th IMO 2003 Japan

 1. Let A be a 101-element subset of the set S={1,2,3,...,100}. Prove that
 there exist numbers t_1, t_2, ..., t_{100} in S such that the sets

 Aj = { x + tj | x is in A } for each j = 1, 2, ..., 100

 are pairwise disjoint.


 2. Find all pairs of positive integers (a,b) such that the number

 a^2 / ( 2ab^2-b^3+1) is also a positive integer.

 3. Given is a convex hexagon with the property that the segment connecting the
 middle points of each pair of opposite sides in the hexagon is  sqrt(3) / 2
 times the sum of those sides' sum.

 Prove that the hexagon has all its angles equal to 120.


 Second Day - 44th IMO 2003 Japan

 4. Given is a cyclic quadrilateral ABCD and let P, Q, R be feet of the
 altitudes from D to AB, BC and CA respectively. Prove that if PR = RQ then the
 interior angle bisectors of the angles  ABC and  ADC are concurrent on AC.

 5. Let x1 = x2 = ... = xn be real numbers, n2.

 a) Prove the following inequality:

 (sum  ni,j=1 | xi - xj | ) 2 = 2/3 ( n^2 - 1 )sum ni,j=1 ( xi - xj)^2

 b) Prove that the equality in the inequality above is obtained if and only if
 the sequence (xk) is an arithemetical progression.

 6. Prove that for each given prime p there exists a prime q such that n^p - p
 is not divisible by q for each positive integer n.



 -
 This mail sent through IMP: http://horde.org/imp/
 =
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=

Re: [obm-l] Fw: Lista OBM

[Eduardo Wagner]

Title: Re: [obm-l] Fw: Lista OBM



O que eh isso minha gente?
A lista nao pode conter mensagens deste tipo!

--
From: J.Paulo roxer ´til the end [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] Fw: Lista OBM
Date: Sun, Jul 13, 2003, 10:04 PM


Por q vc não sai da teoria,constrói alguma coisa útil com matemática e explica o q vc sabe em vez de enviar besteiras pra mim?

- Original Message - 
From: Sérgio Martins mailto:[EMAIL PROTECTED] 
To: [EMAIL PROTECTED] mailto:[EMAIL PROTECTED] 
Sent: Sunday, July 13, 2003 9:17 PM
Subject: Lista OBM

Cara, você é chato. E bobo. Feio. Cara de mamão.

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Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Paulo e suas ...

[Eduardo Wagner]

Title: Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Paulo e suas ... 



Atencao usuarios:

A lista absolutamente nao pode receber mensagens
deste tipo.
Diferencas pessoais devem ser resolvidas pessoalmente.
Por favor, nao enviem mais mensagens deste teor.



--
From: J.Paulo roxer ´til the end [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Paulo e suas ... 
Date: Sun, Jul 13, 2003, 5:37 PM


Se reclamar e questionar fosse chatice,os filósofos seriam assassinados.

Em vez de me chamar de chato,por q não sugere algum lugar pra colocar minhas dúvidas?Vc contribuiria mais.

João Paulo
- Original Message - 
From: [EMAIL PROTECTED] mailto:[EMAIL PROTECTED] 
To: [EMAIL PROTECTED] mailto:[EMAIL PROTECTED] 
Sent: Sunday, July 13, 2003 4:12 PM
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Paulo e suas ... 

Vc só consegue me chamar de idiota,porq sou o único leigo.Se a maioria
aqui
não fosse campeão de olimpíadas,teriam a minha reação,pediriam mais explicação
para tantas questões entediantes,que a maioria não entende(Os normais).

.. vc não está vendo que está reclamando no lugar errado ?
deixa de ser chato !!


Mathematicus nascitur, non fit
Matemáticos não são feitos, eles nascem
---
Gabriel Haeser
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Re: [obm-l] Duvidas

[Eduardo Wagner]

Porismo nao consta dos nossos dicionarios.
Porismo vem do frances porisme que significa
uma afirmacao muito facil de demonstrar. Pode ser um lema
ou um corolario, algo que nao tem o status de teorema.

Abracos,

Wagner.

--
From: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: [obm-l] Duvidas
Date: Tue, Jun 3, 2003, 4:52 PM


 On Tue, Jun 03, 2003 at 07:44:31PM +, Antonio Neto wrote:
E haveria alguem da minha prisca geracao que lembrasse o que eh um
 escohlio? Abracos, olavo.

 Bem lembrado, um escólio é algo que segue facilmente não do *enunciado*
 de um teorema (como um corolário) mas da *demonstração* do teorema.

 E porismo? Eu conheço o porismo de Poncelet.

 []s, N.
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Re: [obm-l] Negocio da China !

[Eduardo Wagner]

Ha um pequeno engano no problema 2.
Na verdade, deve-se provar que 
OY e' perpendicular a XY.

Abracos,
Wagner.


--
From: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] Negocio da China !
Date: Wed, Feb 19, 2003, 12:09 PM


 Ola Pessoal,

 Seguem abaixo as traduçoes ( do ingles ) de tres problemas de Olimpiadas da
 China.

 (1 - CHINA 1990 ) S e o conjunto de todos os sub-conjuntos de um dado
 conjunto X que teem um mesmo numero de elementos e F e uma funcao real
 definida sobre S tal que F(A)  1990 para algum elemento A de S. Sabe-se
 tambem que : F(B uniao C)=F(B)+ F(C)-1990 para todos elementos B e C de
 S que sejam disjuntos. Mostre que nos podemos encontrar um
 sub-conjunto Y de X tal que :

 F(D)   1990 para todo D contido em Y
 F(D) = 1990 para todo D contido em X-Y

 (2 - CHINA 1992 ) As diagonais de um quadrilatero ciclico (inscritivel)
 encontram-se em X. O circulo circunscrito ao triangulo ABX encontra o
 circulo circunscrito ao triangulo CDX em X e Y. Se O e o centro do circulo
 circunscrito ao quadrilatero ABCD e O,X e Y sao distintos dois a dois,
 mostre que OY e perpendicular a OX.

 (3 - CHINA 1994 ) Seja p(z)= z^N + An-1*z^(N-1) + ... + A0 um polinomio com
 coeficientes complexos. Mostre que nos podemos encontrar um ponto (numero
 complexo) z com modulo(z') = 1 e tal que
 modulo(p(z')) = 1 + modulo(A0).

 Um Abraco a Todos
 Paulo Santa Rita
 4,1209,190203






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Re: [obm-l] Olá- Construção Geométrica

[Eduardo Wagner]

Caro Edu:

Este eh o problema 89 do livro da Olimpiada Brasileira
de Matematica, 1a a 8a.
Adquira este livro. Voce vai ver a solucao detalhada
desta problema e vai conhecer muitos outros problemas
interessantes. Entre em contato com a secretaria da
OBM pelo e-mail [EMAIL PROTECTED] ou pelo telefone
25295077.


--
From: Eduardo [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] Olá- Construção Geométrica
Date: Thu, Feb 6, 2003, 9:29 PM


 Olá, pessoas

 Acabo de ingressar na lista e gostaria de propor um problema:

 Dados dois segmentos a e b, construir um segmento de medida (a^4+b^4)^1/4

 Se alguém puder me ajudar...

 abraços

 Edu
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Re: [obm-l] Livro Geometria

[Eduardo Wagner]

Title: Re: [obm-l] Livro Geometria



Geometria II foi um livro que escrevemos em 1974 (quando muito jovens)
e editado pela Livraria Francisco Alves. Ficou bom, esgotou-se rapidamente
e a editora faliu. Durante as duas ultimas decadas esse livro foi intensamente
pirateado, xerocado e vendido por oportunistas, bandidos, biltres, trapaceiros,
ladroes e toda a classe de gente que se aproveita do trabalho alheio para 
ganhar algum dinheiro.
Resolvemos entao no fim do ano passado, fazer uma nova impressao do
livro original, que deve aparecer nas livrarias no proximo mes.
O livro Geometria II trata de geometria metrica. Respondendo a sua
pergunta (que eh perfeitamente logica), existiu sim o Geometria I, que
tratava de geometria de posicao. Este esta realmente desaparecido.
Na verdade, nao era tao bom (eu acho).

Abracos,

E. Wagner. 

--
From: Leonardo Borges Avelino [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] Livro Geometria
Date: Thu, Jan 16, 2003, 10:07 PM


Caros amigos:

Estava na casa de meu amigo e ele me mostrou um livro impressionante, que se chama: Geometria II dos prof.s Eduardo Wagner, Augusto Morgado e Miguel.
Pergunta:

Onde consigo este livro? e (desculpem-me se a pergunta for idiota) se existe o Geometria I?


Valeu!!
Leonardo Borges

Re: [obm-l] Re: [obm-l] Triângulos Isósceles e Bissetrizes

[Eduardo Wagner]

Title: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Triângulos Isósceles e Bissetrizes





--
From: Cláudio \(Prática\) [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Triângulos Isósceles e Bissetrizes
Date: Thu, Jan 9, 2003, 11:42 AM


Caro Eduardo:

Obviamente, esta é a solução que vai para o LIVRO.

No entanto, pelo menos para mim, a maior dificuldade que existe em problemas de geometria é determinar a construção auxiliar (no caso, o segmento EF e, por conseguinte, paralelogramo BDFE) que mata o problema.

Existe alguma maneira sistemática de se buscar estas construções auxiliares ou infelizmente, só podemos contar com a experiência e a esperança de algum insight genial? E se, por acaso, existir tal maneira, você recomenda alguma bibliografia em particular?

A resposta eh nao. Se existisse, a atividade de resolver problemas nao teria
a menor graca. Mas as tentativas em obter construcoes auxiliares nao ocorrem inteiramente ao acaso. Tracar uma paralela, uma perpendicular, fazer uma rotacao,
uma simetria (entre outras coisas), frequentemente permitem reunir os dados
do problema em outra posicao, permitindo encontrar uma relacao entre eles.
Observe na resolucao deste problema, qual foi a ideia da criacao do paralelogramo:
conectar as bissetrizes iguais formando um triangulo isosceles! Isto eh algum
metodo. Se em algum problema ha dois segmentos iguais, devemos imaginar
uma maneira de conecta-los.
A melhor fonte para conseguir construcoes auxiliares eh certamente a experiencia.
Conhecer muitos problemas e observar cuidadosamente o porque da construcao.

Eu pergunto isso porque tenho observado que muitos problemas (possivelmente todos) que são resolvidos via estas construções auxiliares podem também ser resolvidos via trigonometria, apesar destas soluções serem muito mais longas e deselegantes, envolvendo uma quantidade razoável de álgebra. Minha suspeita é que talvez haja alguma relação profunda e geral entre soluções via construção auxiliar e soluções trigonométricas.

Sua suspeita nao eh so sua. Muitas vezes se consegue obter a solucao via 
construcoes auxiliares depois da solucao trigonometrica. Mas, nem sempre.

Um abraço,
Claudio Buffara. 
- Original Message - 
From: Eduardo Wagner mailto:[EMAIL PROTECTED] 
To: [EMAIL PROTECTED] mailto:[EMAIL PROTECTED] 
Sent: Saturday, January 11, 2003 12:27 AM
Subject: Re: [obm-l] Triângulos Isósceles e Bissetrizes



O problema é: Prove que se um triângulo tem duas bissetrizes internas iguais, então ele é isósceles.


Solucao:

Desenhe o triangulo ABC e as bissetrizes BD e CE.
Construa o paralelogramo BDFE e trace CF.

Assinale os angulos:
ABC = 2b, ACB = 2c, EFD = b, DFC = x, DCF = y.

EF = BD = EC. Logo, b + x = c + y.

Suponha que os angulos B e C sejam desiguais,
B  C, por exemplo, e observe as implicacoes:

B  C
b  c
x  y
DC  DF
DC  BE
DBC = b  c = EBC (contradicao).

Logo, os angulos B e C sao iguais.

Abracos,

E. Wagner.

Re: [obm-l] Diversos

[Eduardo Wagner]

Title: Re: [obm-l] Diversos





--
From: Leonardo Borges Avelino [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] Diversos
Date: Sun, Jan 12, 2003, 10:15 PM




Caros amigos da lista:

1)Estava um dia em minha casa e comecei a estudar construções geométricas( com régua lisa e compasso, somente) e bolei alguns exercícios para eu mesmo resolver. Por exemplo: construir duas retas perpendiculares, logo após contruir um ângulo de 30º, logo após, contruir um ângulo de 15º, logo após contruir um triângulo retângulo de ângulos agudos 30 e 60 graus, isso como incentivo para continuação no estudo de construções que auxiliam na geometria. A questão é: Se não me engano, vi um livro que se chama Contruções Geométricas do prof. Eduardo Wagner, da Coleção do professor de Matemática. Este livro é completo para o estudo de questões sobre este tema da OBM?
Sem duvida.
Obs: Estas questões para vocês são moleza, mas só citei pois comecei a estudar tal assunto somente agora.

2) Caro Faelccmm, vc estava perguntando sobre exercícios de geometria, né? Então gostaria de citar uns livrinhos que ajudam para começar: Geometria do Oswaldo Marcondes e Ed. do Brasil de 1969; Geometria plana Vol9 da coleção do Iezzi.
Gostaria de dizer também, que eu acho legal se vc pegasse algumas provas de matemática do Colégio Naval, pois tem exercícios de geometria que eu considero interessantes.

Obs: Citei estes livros pois tratam de assuntos importantes e demonstram alguns teoremas, mas não são base total para a OBM.

Re: [obm-l] Triângulos Isósceles e Bissetrizes

[Eduardo Wagner]

Title: Re: [obm-l] Triângulos Isósceles e Bissetrizes





O problema é: Prove que se um triângulo tem duas bissetrizes internas iguais, então ele é isósceles.


Solucao:

Desenhe o triangulo ABC e as bissetrizes BD e CE.
Construa o paralelogramo BDFE e trace CF.

Assinale os angulos:
ABC = 2b, ACB = 2c, EFD = b, DFC = x, DCF = y.

EF = BD = EC. Logo, b + x = c + y.

Suponha que os angulos B e C sejam desiguais,
B  C, por exemplo, e observe as implicacoes:

B  C
b  c
x  y
DC  DF
DC  BE
DBC = b  c = EBC (contradicao).

Logo, os angulos B e C sao iguais.

Abracos,

E. Wagner.

Re: [obm-l] composição de simetrias

[Eduardo Wagner]

Title: Re: [obm-l] composição de simetrias 



Penso que voce esta curioso em conhecer transformacoes
no plano que preservam a forma e o tamanho das figuras.
Para comecar, leia o livro Isometrias, publicado pela
SBM (Sociedade Brasileira de Matematica [EMAIL PROTECTED]).


--
From: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] composição de simetrias 
Date: Thu, Jan 2, 2003, 5:42 AM


Que área da matemática estuda composição de simetrias: Álgebra, geometria...? 

[obm-l] Iberoamericana

[Eduardo Wagner]

Title: Iberoamericana






Caro Helder:

Entre em contato com a secretaria da Olimpiada Brasileira de
Matematica. Fale com a nossa secretaria, a Nelly, pelo telefone
25295077 no Rio de Janeiro ou pelo e-mail [EMAIL PROTECTED].

Abraco,

Wagner.

Re: [obm-l] Revista do Professor

[Eduardo Wagner]

Title: Re: [obm-l] Revista do Professor



Caro Fernando:

A Revista do Professor de Matematica (RPM) e a Eureka!
sao publicacoes da Sociedade Brasileira de Matematica .
Mas, para responder sua pergunta, a Eureka! esta vinculada
a Olimpiada Brasileira de Matematica, que financia sua 
publicacao e distribuicao para milhares de colegios de todo
Brasil. Por outro lado, a RPM atualmente so conta com a
contribuicao dos leitores para permanecer viva. E isto e'
fantastico pois estaremos publicando agora o numero 50
da RPM. 

Abracos,

Wagner.

--
From: Fernando [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] Revista do Professor
Date: Thu, Jan 1, 1998, 3:23 AM



Por que vocês não disponibilizam alguns exemplares da revista do professor de matematica, assim como fazem com a revista eureka
Atenciosamente,
Fernando

Re: [obm-l] Problema de Tabuleiro

[Eduardo Wagner]

Na secretaria da OBM voce pode encontrar o livro das
10 primeiras Olimpiadas Iberoamericanas com todas
as solucoes bem detalhadas. Voce podera encantrar
este problema e dezenas de outros muito interessantes.

--
From: Helder Oliveira de Castro [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] Problema de Tabuleiro
Date: Mon, Dec 23, 2002, 3:49 PM


 Estou com um problema da Iberoamericana de 1990 que não consigo resolver.
 Será que alguém pode me dar alguma dica? Lá vai o enunciado:

 A e B são cantos opostos de um tabuleiro n x n, dividido em n^2
 quadradinhos por linhas paralelas a seus lados. Em cada quadradinho é
 traçada sua diagonal paralela a AB, tal que o  tabuleiro fica dividido em
 2n^2 triângulinhos. O tabuleiro tem (n + 1)^2 pontos que são vértices dos
 quadrinhos e um qrande número de segmentos, cada qual medindo 1 ou sqrt2.
 Uma peça move-se de A até B através dos segmentos. Ela nunca passa duas
 vezes pelo mesmo segmento e seu caminho inclui exatamente dois lados de cada
 triângulinho. Para qual n isto é possível?

 Valeus,
Helder

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Re: [obm-l] Re:

[Eduardo Wagner]

Title: Re: [obm-l] Re:



Esclarecimento aos membros da lista:

O Wagner que participa ativamente da lista
nao e' Eduardo Wagner , mas sim Andre' T.

Abracos,

E. Wagner.

--
From: A. C. Morgado [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: [obm-l] Re:
Date: Fri, Dec 20, 2002, 5:12 PM




Wagner wrote:
Oi pessoal !

2)Vou supor que a,b,c,x sejam números reais e que a é diferente de zero.
Prove que se p(x)=x não tem nenhuma raiz real, então o módulo da ordenada do máximo ou do mínimo de f(x)=p(p(x)) é maior que o módulo da ordenada do máximo ou do mínimo de g(x)=p(x) -x e depois prove que o sinal da derivada de segunda ordem de f(x)=p(p(x)) e de g(x)=p(x) -x é o mesmo, assim se a segunda função não tem raiz real a primeira também não tem.

Prova: Primeiro vou provar a segunda hipótese: g '' (x) =2a ; f(x)= a(ax^2 +bx +c)^2 +b(ax^2 +bx +c) +c = 
f ' (x) =2a(ax^2 +bx +c)(2ax +b) +b(2ax +b) = f '' (x) =4(a^2)(ax^2 +bx +c) +2a(2ax +b)^2 +2ab.
Se a segunda hipótese é verdadeira então f '' (x)/g '' (x)  0 = 2a(ax^2 +bx +c) +(2ax +b)^2 +b  0 = 
2(a^2)(x^2) +2abx +2ac + 4(a^2)(x^2) +4abx +b^2 +b  0 = h(x) = 6(a^2)(x^2) +6abx +b^2 +2ac +b  0.
Como o coeficiente dominante de h(x) é positivo, devemos apenas provar que h(x) não possui raízes reais.
Se h(x) não possui raízes reais então : 36(a^2)(b^2) -24{(a^2)(b^2) + 2(a^3)c + (a^2)b}  0 =
12(a^2)(b^2) -48(a^3)c -24(a^2)b  0 = 12b^2 -48ac -24b 0 = b^2 -4ac -2b  0 = b^2-4ac  2b ( 1 )

Para provar ( 1 ) vou fazer algumas considerações:
Devemos ter que p(x)=x não tem raízes reais. Logo (b-1)^2 -4ac  0 = b^2 -2b +1 -4ac  0 = b^2 -4ac  2b -1,
logo ( 1 ) é verdadeira se p(x) = x não possui raízes reais CQD.

Devemos provar agora a primeira hipótese. g ' (x) = 0 = 2ax +b-1 =0 = x = (1-b)/2a = g ((1-b)/2a) =((b^2-2b+1)/4a) +(-b^2/2a) +c =
=c +(-b^2-2b+1)/4a = (4ac -b^2-2b+1)/4a =
módulo da ordenada de máximo ou mínimo de g (x) é | {-(b^2+2b-1-4ac)/(4a)} | = y
f ' (x) = 2a(ax^2 +bx +c)(2ax+b) +b(2ax +b) = f ' (x) = (2ax +b)(2(a^2)(x^2) +2abx +2ac +b) ; f ' (x) =0 =
(2ax +b) =0 ou (2(a^2)(x^2) +2abx +2ac +b) =0.
O primeiro caso implica em: x= -b/2a
O segundo caso implica em: delta= 4(a^2)(b^2) -4(4(a^3)c + 2(a^2)b).
Vamos provar que delta  0 : 4(a^2)(b^2) -4(4(a^3)c +2(a^2)b)  0 = b^2 -4ac -2b  0 = b^2-4ac  2b ( 1 ).
Como ( 1 ) já foi provado, então ficamos só com o caso x= -b/2a =
f(-b/2a) = a((b^2/4a) -(b^2/2a) +c)^2 +b((b^2/4a) -(b^2/2a) +c) +c = a(c -(b^2/4a))^2 +b(c -(b^2/4a)) +c =
=a{c^2 -c(b^2)/2a +(b^4/16a^2)}+b(c -(b^2/4a)) +c = a(c^2) -c(b^2)/2 +b^4/16a +bc -b^3/4a +c =
módulo da ordenada de máximo ou mínimo de f (x) é | {a(c^2) -c(b^2)/2 +b^4/16a +bc -b^3/4a +c} | = z.
Como a segunda hipótese é verdadeira então se g(x) tem máximo definido f(x) também tem, e se g(x)
tem mínimo definido f(x) também tem. Temos que se p(x) =x não tem raiz real f '(x) e g'(x) só tem uma
raiz real, note que se a  0, g(x) tem mínimo e se a  0, g(x) tem máximo. Logo para provar a primeira hipótese, temos
que considerar 2 casos : a  0 e a  0.
Suponha que a primeira hipótese seja falsa:
a  0 = y  z e y,z  0 = g((1-b)/2a)  f(-b/2a) = -b^2/4a -b/2a +1/4a +c  a(c^2) -c(b^2)/2 +b^4/16a +bc -b^3/4a +c =
-4b^2 -8b +4  16(a^2)(c^2) -8ac(b^2) +b^4 +16bc -4b^3 = 16(a^2)(c^2) -8ac(b^2) +b^4 +16bc -4b^3 +4b^2 -8b +4 =h(a)  0
Considere ( 2 ) uma função do 2º grau de variável a. Temos a  0, logo:
64(b^4)(c^2) -64(b^4)(c^2) -64(c^2)(16bc -4b^3 +4b^2 -8b +4)  0 = 16bc -4b^3 +4b^2 -8b +4 0 ( 3 ).
De ( 2 ) vem que: (b^2 -4ac)^2  -(16bc -4b^3 +4b^2 -8b +4)  0 . Absurdo !
Para o caso a  0 = y  z, temos um raciocínio análogo, provamos que se a  0, então h(a)  0, logo o delta de h(a)
é negativo, o que nos leva a conclusão de que (b^2 -4ac)^2  0 Absurdo !
Logo a primeira hipótese é verdadeira, porque é absurdo que ela seja falsa se a segunda hipótese é verdadeira,
Logo p(x)=x não ter raízes reais implica na segunda hipótese qua implica na primeira.
Se a primeira e a segunda hipóteses são ambas verdadeiras, isso implica que p(p(x))=0 não tem nenhuma raiz real
CQD.
Isso eh falso. Se p(x) = x^2 +3x+2, a equaçao p(p(x))=0 tem uma raiz real entre -1 e 0.

OBS:Me desculpem pelo e-mail que eu mandei sem querer antes, ele estava com a resposta pela metade.


André T.

- Original Message - 
From: Eder mailto:[EMAIL PROTECTED] 
To: [EMAIL PROTECTED] mailto:[EMAIL PROTECTED] 
Sent: Thursday, December 19, 2002 5:32 PM

Gostaria da ajuda de vcs nestes problemas russos:


1)Um triângulo tem área 1 e lados a  = b  = c.Prove que b²  = 2.

2)Defina p(x)=ax²+bx+c.Se p(x)=x não tem nenhuma raiz real, prove que p(p(x)) = 0 também não tem nenhuma raiz real.

Grato pela ajuda.

Eder

Re: [obm-l] livro raro

[Eduardo Wagner]

Title: Re: [obm-l] livro raro



Tem na biblioteca do IMPA.

--
From: Daniel Pini [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] livro raro
Date: Tue, Dec 10, 2002, 3:09 PM


Alguém aqui tem ou sabe quem tem o livro do POGORELOV, A.V. Geometria Elemental. Moscou, Mir, 1974. 

Re: [obm-l] quadrilátero

[Eduardo Wagner]

Title: Re: [obm-l] quadrilátero



Prolongue os lados AD e BC. Assim voce forma um 
triangulo equilatero e as s coisas ficam mais faceis.

--
From: Daniel Pini [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] quadrilátero
Date: Thu, Dec 5, 2002, 6:51 PM


ABCD é um quadrilátero no qual o ângulo D é reto e A=B=60º.
Demonstrar que AB + BC=2AD.

Por favor me ajudem demonstrar essa afirmação.

Re: [obm-l] livro

[Eduardo Wagner]

Title: Re: [obm-l] livro



Caronnet escreveu uma famosa colecao chamada
Exercicios de Geometria em 9 volumes, publicada
na Franca pela Librairie Vuibert e publicada em
portugues nos anos 50 do seculo passado pela
editora Ao Livro Tecnico. 
Todos sao otimos, mas eh dificil encontrar hoje.
Em sebos do Rio ou S.Paulo voce ainda pode encontrar
alguma coisa.

--
From: Daniel Pini [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] livro
Date: Wed, Dec 4, 2002, 12:31 AM


Alguém aqui conhece algum bom livro do Carounet?, de preferencia com exercícios de geometria.

Re: [obm-l] Congruencia de triangulos ...

[Eduardo Wagner]

Title: Re: [obm-l] Congruencia de triangulos ... 



Nao eh verdade;
Lembre que sen(180 - x) = senx.

--
From: Jose Augusto [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] Congruencia de triangulos ... 
Date: Sun, Aug 18, 2002, 4:08 PM


Ola .. eu estava estudando congruencia de triangulos e quando vc tem dois lados iguais em cada triangulo sendo q o angulo formado pelo lado desconhecido e um dos lados conhecidos vc tbm conhece. Enquanto estudava vi que esse caso nao constitui congruencia a nao ser que o triangulo seja retangulo ( de acordo com o que li ) ... no entanto, acho estranho, pois se vc tem o angulo conhecido que vai ser oposto a um lado conhecido e tbm tem outro lado, conhecido, que vai ser oposto a outro angulo que podera ser determinado nos dois triangulos pela lei dos senos, assim vc tera dois triangulos semelhantes, e como os lados opostos aos angulos correspondentes serao iguais, os triangulos deveriam ser congruentes , nao ???
Obrigado desde ja , 
Jose A. Tavares.

Re: [obm-l] problemas

[Eduardo Wagner]

So se pode determinar se alguma das afirmacoes abaixo
eh verdadeira ou falsa tendo definicoes em que se apoiar.
Considere entao as seguntes definicoes:
1) Dois planos sao paralelos quando nao possuem ponto comum.
2) Uma reta e um plano sao paralelos quando nao possuem ponto comum.
Com estas definicoes temos:
a) Falsa como ja explicou David.
b) Verdadeira.
c) Verdadeira.
d) Verdadeira.
e) Falsa. A reta pode estar contida em um dos planos.

Como voce pode ver, tudo depende de que definicao adotamos para
paralelismo de planos e de reta e plano.


2.Qual das proposições abaixo é falsa?
a) As intersecções de dois planos paralelos, com um
tereciro plano,são retas paralelas.

 Isso já é falso, pois não se sabe se o terceiro plano é distinto dos outros
 dois.
 David

b) Se dois planos distintos são paralelos, toda reta
contida em um deles é paralela ao outro plano.
c) Um plano B , paralelo a outro plano X por um ponto
x não pertencente a X, é único.
d) dois planos distintos paralelos a um terceiro são
paralelos entre si.
e) se dois planos sÃo paralelos, toda reta paralela a
um deles é paralela ao outro.

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Re: [obm-l] dois problemas

[Eduardo Wagner]

Caro Luis:

O seu problema 1 so tem solucao se M coincide com A.
Neste caso, se BC = a, o raio da circunferencia
circunscrita ao triangulo ATN eh a/4.


--
From: Luis Lopes [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] dois problemas
Date: Wed, Jul 3, 2002, 12:20 PM


 Sauda,c~oes,

 Acabo de receber estes dois problemas
 por fax. Alguém saberia resolvê-los?

 1) No triângulo ABC desenhado abaixo,
 A=90, B=60.

B



   MN



   ATC

 T é ponto médio de AC

 O triângulo MNT é equilátero. Calcule a área
 do círculo circunscrito ao triângulo MNT.

 2) Calcule S = 1 / (1+n)^n =
 = 1 + 1/2 + 1/3^2 + 1/4^3 + 

 []'s
 Luís


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Re: [obm-l] Geometria interssante

[Eduardo Wagner]

Title: Re: [obm-l] Geometria interssante



Caro Caio:

O problema que sugeri nao necessita de nenhuma curva.
Ele se resolve com a seguinte propriedade:
Em um triângulo ABC, a circunferência exinscrita relativa
ao lado BC tangencia a reta AB em D. Então AD é igual
ao semiperímetro do triângulo ABC.

Abraco,

W.

--
From: Caio H. Voznak [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: [obm-l] Geometria interssante
Date: Tue, Jun 25, 2002, 10:26 PM


Eduardo Wagner,

Infelizmente tenetei resolver o problema indicado, mas não estou chegando a solução utilizando regua e compasso. Você poderia me indicar materiais de referencia no uso desta curva, pois procurei mas só achei esboços de sua forma.

Abraço,

Caio. 
- Original Message - 
From: Eduardo Wagner mailto:[EMAIL PROTECTED] 
To: [EMAIL PROTECTED] mailto:[EMAIL PROTECTED] 
Sent: Tuesday, June 25, 2002 10:54 PM
Subject: Re: [obm-l] Geometria interssante

Caio:

Seu problema nao tem solucao com regua e compasso. Ele envolve
uma curva chamada conchoide de Nicomedes.
Agora, um problema muito interessante e que tem solucao com
regua e compasso eh o seguinte.
Determinar a semi-reta de origem P que, ao cortar os lados
do angulo dado, forme um triangulo de perimetro d (dado).

Abraco,

Wagner.

--
From: Caio H. Voznak [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] Geometria interssante
Date: Sat, Jun 22, 2002, 3:45 PM


Por favor será que alguem conhece um solução para a seguinte questão:

São dadas duas retas convergentes em um ponto O que formam um angulo agudo teta entre si, também é dado um ponto P localizado abaixo das retas, ambos fixos, e uma medida d. É pedido uma semireta com início em P e que corte ambas as retas convergentes obtendo a medida d entre as retas. Segue um esboço em anexo. 

Um abraço,
Caio Voznak


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Re: [obm-l] Geometria interssante

[Eduardo Wagner]

Title: Re: [obm-l] Geometria interssante



Caio:

Seu problema nao tem solucao com regua e compasso. Ele envolve
uma curva chamada conchoide de Nicomedes.
Agora, um problema muito interessante e que tem solucao com
regua e compasso eh o seguinte.
Determinar a semi-reta de origem P que, ao cortar os lados
do angulo dado, forme um triangulo de perimetro d (dado).

Abraco,

Wagner.

--
From: Caio H. Voznak [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] Geometria interssante
Date: Sat, Jun 22, 2002, 3:45 PM


Por favor será que alguem conhece um solução para a seguinte questão:

São dadas duas retas convergentes em um ponto O que formam um angulo agudo teta entre si, também é dado um ponto P localizado abaixo das retas, ambos fixos, e uma medida d. É pedido uma semireta com início em P e que corte ambas as retas convergentes obtendo a medida d entre as retas. Segue um esboço em anexo. 

Um abraço,
Caio Voznak


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Re: [obm-l] plana ajuda por favor urgente

[Eduardo Wagner]

--
From: Augusto César Morgado [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: [obm-l] plana ajuda por favor urgente
Date: Fri, Jun 7, 2002, 6:48 PM


 Nao tem maximo demais no problema 3?

Claro que tem. A pergunta deve ser: qual eh a area
do triangulo sabendo que o angulo ABC tem a maior
medida possivel.




 Olá,gostaria da ajuda de vcs nas seguintes questões:
 1.Os pontos P1,P2,... estão sobre uma circunferencia e são tais que o
 arco q
 une cada ponto ao seguinte mede 35º.O menor valor de n1 tal que Pn
 coincide
 com P1 é?

 2.Para cada ponto pertencente ao interior e aos lados de um triangulo
 acutangulo ABC,considere a soma das suas distancias aos 3 lados do
 triangulo.O valor maximo desta soma é?

 3.No triangulo ABC,AB=5 e BC=6.Qual a area maxima do triangulo ABC
 ,sabendo
 q o angulo C tem  a maior medida possivel?

 Muito obrigado!
 té +
 Adherbal



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Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RES: [obm-l] valor mínimo

[Eduardo Wagner]

--
From: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RES: [obm-l] valor mínimo
Date: Tue, May 21, 2002, 9:13 AM


 On Mon, May 20, 2002 at 06:58:24PM -0300, Eder wrote:
 Valeu Ralph,


 Essa expressão surgiu do seguinte problema: detrerminar o menor caminho que
 uma formiguinha pode fazer por sobre a superfície de um cubo de aresta 1,de
 um vértice a outro diagonalmente oposto.

 Não acompanhei a conversa toda, posso estar repetindo o que alguém já falou,
 mas o problema da formiguinha pode ser resolvido usando simplesmente que
 a distância mais curta entre dois pontos é a linha reta, sem conta nenhuma.

 Imagine o cubo pendurado por um vértice (que fica em cima).
 Imagine que a formiga inicialmente está no vértice de cima e deseja
 chegar no vértice de baixo. Há três faces em cima e três em baixo
 e um hexágono não planar em zigue-zague de arestas separando as três
 faces de cima das três de baixo. Claramente que a distância mais curta
 de um qualquer ponto do zigue-zague até o vértice de cima é uma linha
 reta que só toca o zigue-zague na ponta; idem para o vértice de baixo.
 Claramente a formiga cruza o zigue-zague; como ela segue o caminho mais
 curto, ela cruza o zigue-zague em um único ponto; este ponto está sobre
 uma das seis arestas (talvez na ponta). Como as seis arestas são exatamente
 iguais (ou melhor, há isometrias do cubo preservando os vértices de cima
 e de baixo que levam qualquer aresta em qualquer outra) podemos escolher
 uma aresta e supor que a formiga passa por ali. Mas agora a formiga está
 resolvendo um problema essencialmente planar: há dois quadrados colados
 por um lado comum e desdobrar a superfície para colocar os dois quadrados
 no plano não muda em nada a vida da formiga. Moral: a formiga anda em linha
 reta (no seu ponto de vista) e passa pelo meio de uma das seis arestas
 do zigue-zague.

 []s, N.

Eu tambem nao acompanhei a conversa, mas se voce conseguir um cubo de
plastico ou de acrilico (as escolas costumam ter), experimente pendura-lo
por um vertice e pingar no vertice superior uma gota (grande) de mel.
Observe o mel escorrendo na superficie do cubo ate pingar pelo vertice
inferior. Voce vera tudo o que o Nicolau falou.

Abraco,

Wagner.
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Re: [obm-l] cÌrculos

[Eduardo Wagner]

O eixo radical de duas circunferências eh o conjunto
dos pontos que possuem mesma potencia em relacao a
essas circunferencias.
Dada uma circunferencia de centro O e raio R, e um
ponto P do seu plano, a potencia de P em relacao a
essa circunferencia eh definida por OP^2 - R^2.


--
From: Rafael WC [EMAIL PROTECTED]
To: OBM [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] cÌrculos
Date: Mon, May 13, 2002, 6:42 PM


 Oi Pessoal!

 Me perguntaram como se resolve esta quest“o, (que
 parece que È de um livro do Machado) sÛ que eu nunca
 ouvi falar de eixo radical:

 Considere os cÌrculos da figura de raios 10 e 4 e seu
 eixo radical. Se AT È tangente em J ao cÌrculo menor,
 calcule a ·rea do tri’ngulo ATH. AB = 5. (segue uma
 figura anexada)

 Pela resposta do problema, que È 11881/150, eu
 descobri que a dist’ncia da reta TH atÈ o cÌrculo
 maior (CH) È 0,9.

 Se eu soubesse essa dist’ncia CH eu saberia resolver,
 mas parece que para isso preciso saber a definiÁ“o de
 eixo radical. AlguÈm sabe?

 Um abraÁo,

 Rafael.

 =
 Rafael Werneck Cinoto
ICQ# 107011599
  [EMAIL PROTECTED]
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Re: [obm-l] Re: [obm-l] números

[Eduardo Wagner]

--
From: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] números
Date: Sat, Apr 27, 2002, 3:24 PM


 On Sat, Apr 27, 2002 at 02:38:19PM -0300, adr.scr.m wrote:
 Tenho algumas dúvidas sobre certos números que
 normalmente ninguém sabe responder e ficam enrolando:
 1)O nº 0 é natural ?

 Isto é puramente uma questão de definição/linguagem.
 A definição que me parece ser a mais útil e talvez a mais comum
 é incluir 0 entre os naturais. Se você desejar evitar ambiguidades
 fale do conjunto dos inteiros positivos ou dos inteiros não negativos.

Os livros didaticos brasileiros incluem o 0 no conjunto dos naturais.
Mas nao sao coerentes com essa definicao. Quando abordam as progressoes,
aritmetica e geometrica, falam de uma sequencia cujo termo geral eh
a_n onde n eh natural. Mas sempre comecam a sequencia por a_1.
Como disse o Nicolau, isto eh apenas uma questao de definicao.
A duvida dos alunos se deve ao fato que os livros consideram os
naturais ora com o zero, ora sem o zero.

 2)vi no livro curso de análise vol.1 do Elon Lages
 Lima pág.164 falando que os números +infinito e
 -infinito não são reais.Eu queria saber o que que eles
 são então ?

 De fato, +infinito e -infinito não são números reais.
 Para algumas perguntas é entretanto conveniente aumentar
 o conjunto dos reais com estes dois objetos.

 []s, N.
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Re: [obm-l] Duvidas, L.G. por favor...

[Eduardo Wagner]

Title: Re: [obm-l] Duvidas, L.G. por favor... 



Igor:

Em primeiro lugar, nao trate geometria (sintetica) e geometria analitica
como coisas distintas e impenetraveis. Se voce tem um problema de
geometria para resolver e nao consegue uma boa ideia - que frequentemente
eh um truque - o metodo de introduzir coordenadas eh uma opcao.
Veja o que fez Nicolau para calcular o raio da esfera inscrita em um 
dodecaedro. Ele introduziu coordenadas para os vertices e as coisas
ficaram mais simples.

Problemas que tratam de somas (ou diferencas) de quadrados ficam
mais simples quando se estabelece um sistema de coordenadas
adequado.

Entretanto, se voce quiser resolver seus problemas sinteticamente
vou dar as dicas:

1) Os pontos A e B sao dados e a constante k eh dada.
Seja C o ponto que divide AB na razao CA/CB = 3/1.
No triangulo PAB com a ceviana PC aplique a relacao de Stewart.
Voce vai descobrir que CP eh constante, o que mostra que o LG
eh uma circunferencia de centro C.

2) Seja M o ponto medio de AB e H a projecao de P sobre a reta AB.
Aplique a lei dos cossenos nos triangulos PMA e PMB para calcular
PA^2 e PB^2. Faca a diferenca e conclua que MH eh constante,
ou seja, o LG eh uma reta perpendicular a AB passando por H.

Abraco,

Wagner.

--
From: Igor Castro [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] Duvidas, L.G. por favor... 
Date: Wed, Apr 24, 2002, 20:53


Estava dando uma lida sobre lugares geométricos e tive umas aulas, mas sempre relacionado a geo analítica, até aí nenhum grande problema... o problema foi ao ver um problema de LG num livro de geo plana, não consegui formular uma resposta utilizando somente a geometria plana, nem ao menos prova-la efetivamente( provar que este seria o unico conjunto de pontos que satisfaz a propriedade) bem, aqui vão os problemas, se alguém puder ajudar...

1) Determine o lugar geométrico dos pontos P tais que PA^2 + 3PB^2 = K^2 , K constante...
ps: PA e PB são segmentos...


2) Determinar o lugar geométrico dos pontos cuja diferença dos quadrados das distâncias a dois pontos fixos A e B é constante e igual a K^2.

Agradeço desde já...
[]'s

Re: [obm-l] Estudos sobre Equações

[Eduardo Wagner]

 4-
 A diferença entre a maior e a menor raiz da equação
 (x² + x + 1)(2x² + 2x + 3 ) = 3(1 - x - x²)

Escreva a equacao assim:

(x^2 + x + 1)(2x^2 + 2x + 2 + 1) = -3(x^2 + x + 1 - 2)

Fazendo x^2 + x + 1 = y  ficamos com

y(2y + 1) = -3(y - 2)

e agora eh facil continuar.


Abraco,

Wagner.
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Re: [obm-l] Estudos sobre Equações

[Eduardo Wagner]

--
From: Alexandre Tessarollo [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: [obm-l] Estudos sobre Equações
Date: Tue, Apr 23, 2002, 5:37




 [EMAIL PROTECTED] wrote:

 Olá amigos..
 Ai vão alguns problemas interessantes de equações..
 Se puderem me dar uma luz...

 1-
 O número de raízes reais da equação
 x.(x + 1).(x² + x + 1) = 42


Observe que x = 2 eh raiz (2.3.7 = 42)
Dividindo o polinomio x(x + 1)(x^2 + x + 1) -42 por
(x - 2) obtemos x^3 + 4x^2 + 10x + 21.
Observando os coeficientes e o termo independente
percebemos que x = -3 tambem eh raiz. Dividindo este
ultimo polinomio por (x + 3) encontramos x^2 + x + 7
que nao tem raiz real.









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[obm-l] Problema do Rafael

[Eduardo Wagner]

Rafael eh aluno da primeira serie do ensino medio
do Colegio Princesa Isabel, no Rio de Janeiro.
Ele me pediu que enviasse a voces o seguinte
problema que ele inventou.
O numero x eh formado por 2n algarismos iguais a 1.
O numero y eh formado por n algarismos iguais a 4.
Mostre que x + y + 1 eh um quadrado perfeito.
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Re: [obm-l] qual é a saída?

[Eduardo Wagner]

Title: Re: [obm-l] qual é a saída?





--
From: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] qual é a saída?
Date: Sat, Apr 13, 2002, 20:42



Se um triângulo ABC satisfaz a relação [cos ( B - C ) ] dividido por [sen A + sen ( B - C )] = tg B, então podemos
afirmar o que, a respeito da natureza do triângulo? 

A saida eh se livrar logo de senA.
Como senA = sen(Pi - (B + C)) = sen(B + C) o denominador do lado esquerdo se
torna igual a 2senBcosC. O lado esquerdo fica assim:
(cosBcosC + senBsenC)/2senBcosC que eh igual a 1/2tgB + (tgC)/2.
Assim, a relacao dada eh equivalente a tgC = 2tgB - 1/tgB.
Portanto nada se pode concluir sobre a natureza do triangulo. 

Re: [obm-l] Problema

[Eduardo Wagner]

Tem algum erro. Se AA' = CC' o triangulo eh isosceles.

--
From: André [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] Problema
Date: Wed, Mar 6, 2002, 8:02


 Saudacoes,

 Alguem pode me ajudar na solucao do problema abaixo?

 Dado um triangulo ABC, seja AA' e CC' as bissetrizes dos angulos angA e angC
 respectivamente. Sabendo que angA  angB  angC e AA' = CC', prove que:

 c*sen((angA-angB)/2)=a*sen((angB-angC)/2).

 Agradeco...

 Andre/RJ.

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Re: [obm-l] Divisibilidade

[Eduardo Wagner]

--
From: Angelo Barone Netto [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: [obm-l] Divisibilidade
Date: Thu, Feb 28, 2002, 19:51




 Angelo Barone{\ --\ }Netto   Universidade de Sao Paulo
 Departamento de Matematica Aplicada  Instituto de Matematica e Estatistica
 Rua do Matao, 1010   Butanta - Cidade Universitaria
 Caixa Postal 66 281  phone +55-11-3091-6162/6224/6136
 05311-970 - Sao Paulo - SP   fax +55-11-3091-6131
 Agencia Cidade de Sao Paulo
 .

 2^48 - 1 = 63 * 65 * (2^12 + 1)(2^24 + 1).
 2^12 + 1=3^2*5*7*13
 2^24 + 1=3^2*5*7*13*17*241
 63=3^2*7
 65=5*13
 2^48 - 1=3^6*5^3*7^3*13^3*17*241 tem
 7*4*4*4*2=896 divisores:
   1   3  9  27  81 ...
   5  15 45 135 ...
  25  75 ...
 125  ...
   7  21 35  63 105 ...
  49 147 ...
 343 ...
  13  39 65 91 ...
 169 ...
 ...
  17  51 85 ...
 241 ...
 (onde ... indica divisores estritamente maiores do que 70)

  Logo, 63 e 65 sao os unicos números procurados.
 Deve haver modo mais inteligente de mostrar qur 61, 67 e 69 nao
 dividem 2^48 - 1.

De fato. 61 eh primo. 2^48 - 1 == 33(mod.61).
67 tambem eh primo, ...

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Re: [obm-l] problemas

[Eduardo Wagner]

   Considere 3 círculos concêntricos e um triângulo onde cada vértice 
 pertence a uma circunferência. Para que o perímetro deste triângulo seja
 máximo o centro C das circunferências deve ser o que? (incentro,
 ortocentro, etc...)
Valeu
  []´s
   Fê

Hummm... (como diz Ralph)
Seja XYZ o triangulo. CX, CY e CZ sao constantes. Mantendo Y e Z fixos e
movendo X sobre sua circunferencia ate uma posicao X' tal que CX' seja
perpendicular a YZ (e C no interior do triangulo X'YZ) a area de X'YZ
eh maior que a area de XYZ.
Isto nos da a pista para concluir que se XYZ tem area maxima entao C eh
seu ortocentro.
De fato, se C eh o ortocentro de XYZ, qualquer movimento de um de seus
vertices produz um triangulo de area menor que a de XYZ.

Abraco,

Wagner.

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Re: [obm-l] geometria-ajuda

[Eduardo Wagner]

Title: Re: [obm-l] geometria-ajuda



Sinto muito, mas essa propriedade nao é verdadeira.

O que é verdade eh o seguinte: Sendo O o centro de um
octógono regular e se P pertence a uma circunferência de
centro O então a soma dos quadrados das distâncias de P
aos vértices do octógono é constante.

Alias, essa propriedade é valida para qualquer polígono regular.

Abraco,

Wagner.



From: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] geometria-ajuda
Date: Sun, Feb 24, 2002, 13:34


Mostre que num octógono regular a soma dos quadrados das distâncias de um ponto qualquer no interior do octógono aos vértices é constante. 

Re: [obm-l] problema

[Eduardo Wagner]

Oi Fred:

Considerando 0  b  a  1, a relacao eh
(a^2)(c^2 + d^2)  (1 - a^2)(a^2 - b^2).
Vou conferir as contas e em seguida mando
a solucao completa. Nesse meio tempo, outros
membros da lista devem se manifestar.

Abraco,

Wagner.

--
From: Carlos Frederico Borges Palmeira [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] problema
Date: Thu, Feb 14, 2002, 17:05


 um problema aparentemente simples: considere uma elipse de semi-eixos a
 ,b, centrada em um ponto (c,d) do plano. Determinar condicoes em a,b,c,d
 para que a elipse esteja toda contida no interior do disco x^2+y^2 1.

 Fred palmeira

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Re: [obm-l] Re:

[Eduardo Wagner]

 voltando ao problema sen A/2.Sen B/2. sen C/2= 1/8
 sabendo que sen A/2.   sen B/2 . sen C/2 = r/4R,pergunto: podemos demonstrar
 a desigualdade acima sem usar cálculo . SEdemonstrarmos que r/R=1/2. Como?
 onde r é o raio do círculo inscrito e R o raio do círculo circunscrito ao
 triangulo.

Ha algumas maneiras de demonstrar isso. Nenhuma eh muito facil.
Por exemplo, pode-se calcular a distancia do incentro ao circuncentro
de um triangulo. Essa distancia eh sqrt(R^2 - 2Rr). Como devemos ter
R^2 - 2Rr = 0 entao r/R = 1/2.

Abracos,
W.
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Re: [obm-l] Livros importantes

[Eduardo Wagner]

Title: Re: [obm-l] Livros importantes



Prezado Pedro:

Eu tenho os livros 3, 4, 5 e 6.
De que cidade voce eh?
Se for do Rio fica facil. Venha consulta-los
aqui em casa.

Abraco,

Wagner.

--
From: Pedro Costa [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] Livros importantes
Date: Sat, Feb 9, 2002, 18:30


Alguém da lista tem esses livros: 



1º ENGEL, Artur 

Mathematische Olympiade-aufgaben aus der UDSSR 

Ernst Klett Verlag, Stuttgart, 1979 



2º ENEL, Wolfgang e PIRL, Udo 

Mathematische Olympiade-Aufgaben mit lösungen 

Aulis Verlag Deubner,Köln,1979 



3º FADDEEV, D. e SOMINSKY 

Problems in Higher Algebra 

Mir Pubilshers, Moscow,1968 



4º KRECHMAR,V. A 

A Problem Book in Álgebra 

Mir Publishes,Moscou,1974 



5º KUTEPOV,A. e RUBANOV, A 

Problems in Geometry 

Mir Publishers,Moscow, 1975 



6º SHKLYARSKY, D.O. e outros 

Selected Problems and Theorems in Elememtary Mathematics (Arithmetic and Álgebra) 

Mir Publishers,Moscow,1979 





Se alguém tiver, por favor entre em contato no E-mail [EMAIL PROTECTED]

Re: [obm-l] analitica

[Eduardo Wagner]

Title: Re: [obm-l] analitica



Voce tem que explicar melhor qual eh o problema.
Pontos das subnormais (?).
Wagner.

--
From: [EMAIL PROTECTED] (Hugo Iver Vasconcelos Goncalves)
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] analitica
Date: Wed, Jan 23, 2002, 18:06


Será q dava pra alguém mostrar o resultado da questão abaixo?

ime-2002

Considere uma parábola de eixo foca OX que passe pelo ponto (0,0). Define-se a subnormal em um ponto P da parábola como o segmento de reta ortogonal à tangente da curva, limitado pelo ponto p e o eixo focal. Determine a equação e identifique o lugar geométrico dos pontos das subnormais dessa parábola.

desde jah agradeço,

hugo

Re: triângulo

[Eduardo Wagner]

Um pedido simples:
Quando voces forem mostrar a solucao de um problema
seria bom deixar o enunciado incluido para que os
leitores da lista possam acompanhar.
Abracos.

--
From: Ralph Teixeira [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: triângulo
Date: Fri, Jan 11, 2002, 18:36


 Acho que a solução do Ricardo tem um probleminha algébrico (que,
 infelizmente, destrói a solução). Tem lá:

  a^(9^a)=b^a
  log(a) b^a = 9a -- log de (b^a) na base a

 O lado direito tinha de ser 9^a e então o resto do raciocínio não
 pode ser feito. Eu mantenho a minha conjectura que não sai algebricamente
 (aliás, eu cheguei a resolvê-la... aí descobri que eu tinha errado
 álgebra)... Alguma outra idéia?

 Aliás, eu achei que já tinha mandado algo sobre estas questões para a
 lista Ah, estou vendo aqui, eu acabei mandando um Reply só para o Eder.
 Então copio aqui minhas observações do E-mail que só o Eder viu :)

 ---///---

 1)No triângulo ABC  C=3A (ângulos),a=27 e c=48.Quanto mede b?

 Ideia geral: use a Lei dos Senos para escrever uma equacao envolvendo
 sinA e sinC=sin3A (a e c sao conhecidos); desenvolva sin3A em funcao do
 sinA e resolva a equacao em sinA. Tendo o sinA (e portanto o cosA) voce
 conhece o triangulo todo, em particular conhece B=180-4A; entao use a
 Lei dos Senos de novo (agora b/sinB=a/sinA) para matar o problema.

 --//--

 Detalhes: usando a lei dos senos,

 asinC=csinA
 27sin3A=48sinA
 27(3sinA-4(sinA)^3)=48sinA
 sinA=0 ou 81-108(sinA)^2=48

 sinA=0 nao presta num triangulo... Entao:

 108(sinA)^2=36
 (sinA)^2=36/108=1/3
 sinA=sqrt(3)/3 (num triangulo, sinA tem de ser positivo)

 Tambem, (cosA)^2=2/3 e entao cosA=sqrt(6)/3 (note que A tem de ser agudo
 pois C=3AA).

 Bom, entao B=180-4A... Quero o sinB... Vejamos:

 sinB=sin4A=2sin2Acos2A
 Como sin2A=2sinAcosA=2sqrt(2)/3 e cos2A=2(cosA)^2-1=1/3, temos
 sinB=4sqrt(2)/9

 Enfim, b=sinB*(a/sinA)=4sqrt(2)/9*27sqrt(3) = 12sqrt(6).

 Vale a pena notar que este triangulo existe, jah que 4827+12sqrt(6)~56.

 2) Se (a^b)=(b^a) e b=(9^a),qual o valor de a?

 Essa eu nao sei Consegui mostrar que nao ha solucao com a=b (de
 fato, pode-se mostrar que a=x^a implica x=a^(1/a) e entao x=e^(1/e)9).
 Mas via graficos, ou numericamente, ve-se que hah uma solucao no outro
 ramo de a^b-b^a=0, que fica por volta de:

 a=1.246882666; b=15.48204923

 que nao sei encontrar algebricamente se eh que eh possivel. Meu
 palpite eh que nao dah nao, mas de repente hah um truque qualquer...

 Abraco,
 Ralph
 

Re: Pergunta intrigante

[Eduardo Wagner]

Title: Re: Pergunta intrigante



Na referencia abaixo, no lugar de some entenda multiplique.

--
From: Luis Lopes [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: Pergunta intrigante
Date: Thu, Nov 29, 2001, 21:00


Sauda,c~oes,

Esta questão teria sido uma ótima ocasião para o candidato ganhar os
pontos rapidamente.

A demonstração que segue já apareceu numa RPM.

Considere a desigualdade (pulo do gato para este nível) e^x = 1 + x, (*) para
todo x em R. E e^x = 1 + x == x=0.

Substitua x por a_i/A - 1, com i = 1,2,...,n em (*) e some os n resultados.
Você chegará a 1 = G^n / A^n ou A = G.

[]'s
Luis

Re: ajuda em geometria analítica.

[Eduardo Wagner]

Title: Re: ajuda em geometria analítica.



Seja ABC o triangulo isosceles de base BC. Construa a circunferencia
passando por B e C e tangente em B e C as retas AB e AC. O centro
dessa circunferencia eh o ponto O tal que os angulos OBA e OCA sao
retos.
Prove entao que todo ponto dessa circunferencia satistaz a condicao
do enunciado.

--
From: haroldo [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: ajuda em geometria analítica.
Date: Wed, Oct 31, 2001, 14:44


GOSTARIA DE UMA AJUDA NA SOLUÇÃO DO SEGUINTE PROBLEMA:

UM PONTO SE MOVE DE MODO QUE , O QUADRADO DE SUA DISTÂNCIA À BASE DE UM TRIÂNGULO ISÓSCELES É IGUAL AO PRODUTO DE SUAS DISTÂNCIAS AOS OUTROS DOIS LADOS DO TRIÂNGULO . DETERMINE A EQUAÇÃO DA TRAJETÓRIA DESTE PONTO ; INDETIFICANDO A CURVA DESCRITA E RESPECTIVOS PARÂMETROS.

UM ABRAÇO AOS PARTICIPANTES DA LISTA

Re: biografia (fwd)

[Eduardo Wagner]

Caro Mmorgghaddo: eu tambem.

W.

--
From: Augusto Cesar de Oliveira Morgado [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: RES: biografia (fwd)
Date: Wed, Oct 31, 2001, 9:09


 Não aguento:
 1)chamar a fórmula que resolve a equação quadrática de fórmula de Báscara.
 2)escrever Bhaskara.
 Mmorgghaddo


 Em Thu, 01 Nov 2001 23:53:22 -0200, Eduardo Wagner [EMAIL PROTECTED] disse:

 Quero dar os parabens ao Eric pelas informacoes
 que deu a todos sobre Bhaskara e acrescentar o seguinte.
 A regra para calcular as solucoes da equacao do segundo grau
 era conhecida muitissimo antes da epoca de Bhaskara.
 Os babilonios ja a conheciam.
 Eh curioso que os livros didaticos atuais se refiram a
 esta formula com o nome de Bhaskara. Todos os que tem mais
 de 40 anos hoje, nao aprenderam na escola este nome, e
 nos livros didaticos de outros paises que consultei, nao
 encontrei essa referencia. Parece que aqui, em algum momento,
 acho que nos anos 80, algum autor inventou isso e todos os
 outros copiaram. Quando sera que isso comecou?

 Abraco,

 Wagner.

 --
 From: Eric Campos Bastos Guedes [EMAIL PROTECTED]
 To: [EMAIL PROTECTED]
 Subject: RES: biografia (fwd)
 Date: Tue, Oct 30, 2001, 14:31
 

  A seguinte biografia de Bhaskara foi retirada do site
 
  http://www.somatematica.com.br
 
  Abracos,
 
  Eric.
 
  Biografia:
 
  Bhaskara viveu de 1114 a 1185 aproximadamente, na India.
 
  Nascido numa tradicional família de astrólogos indianos, seguiu a tradição
  profissional da família, porém com uma orientação científica, dedicando-se
  mais à parte matemática e astronômica ( tais como o cálculo do dia e hora
da
  ocorrência de eclipses ou das posições e conjunções dos planetas ) que dá
  sustentação à Astrologia.
  Seus méritos foram logo reconhecidos e muito cedo atingiu o posto de
diretor
  do Observatório de Ujjain, o maior centro de pesquisas matemáticas e
  astronômicas da India, na época.
 
 
  Seu livro mais famoso é o Lilavati, um livro bem elementar e dedicado a
  problemas simples de Aritmética, Geometria Plana (medidas e trigonometria
  elementar ) e Combinatória. A palavra Lilavati é um nome próprio de mulher
  (a tradução é Graciosa), e a razão de ter dado esse título a seu livro é
  porque, provavelmente, teria desejado fazer um trocadilho comparando a
  elegância de uma mulher da nobreza com a elegância dos métodos da
  Aritmética. Numa tradução turca desse livro, 400 anos depois, foi inventada
  a história de que o livro seria uma homenagem à filha que não pode se
casar.
  Justamente essa invenção é que tornou-o famoso entre as pessoas de pouco
  conhecimento de Matemática e de História da Matemática. Parece, também, que
  os professores estão muito dispostos a aceitarem estórias românticas em uma
  área tão abstrata e difícil como a Matemática; isso parece humanizá-la
mais.
 
 
  Ele escreveu dois livros matematicamente importantes e devido a isso
  tornou-se o matemático mais famoso de sua época. Esses livros são:
 
  Equações INDETERMINADAS ou diofantinas:
  chamamos assim às equações (polinomiais e de coeficientes inteiros) com
  infinitas soluções inteiras, como é o caso de:
 
  y - x = 1 que aceita todos os x = a e y = a + 1 como soluções , qualquer
que
  seja o valor de a
  a famosa equação de Pell x2 = N y2 + 1
  Bhaskara foi o primeiro a ter sucesso na resolução dessa equação, para isso
  introduzindo o método do chakravala (ou pulverizador).
 
  Mas, e a fórmula de Bhaskara ?
 
  EXEMPLO:
  para resolver as equações quadráticas da forma ax2 + bx = c, os indianos
  usavam a seguinte regra:
  multiplique ambos os membros da equação pelo número que vale quatro vezes
o
  coeficiente do quadrado e some a eles um número igual ao quadrado do
  coeficiente original da incógnita. A solução desejada é a raiz quadrada
  disso.
  É também muito importante observar que a falta de uma notação algébrica,
bem
  como o uso de métodos geométricos para deduzir as regras, faziam os
  matemáticos da Era das Regras terem de usar varias regras para resolver
  equações do segundo grau. Por exemplo, precisavam de regras diferentes para
  resolver x2 = px + q e x2 + px = q. Foi só na Era das Fórmulas que
iniciaram
  as tentativas de dar um procedimento único para resolver todas as equações
  de um grau dado.
 
  Bhaskara conhecia a regra acima, porém, a regra não foi descoberta por ele.
  A regra já era do conhecimento de, no mínimo, o matemático Sridara, que
  viveu há mais de 100 anos antes de Bhaskara.
 
 
 
  Resumindo o envolvimento de Bhaskara com equações do segundo grau
 
  Quanto a equações DETERMINADAS do segundo grau:
  No Lilavati, Bhaskara não trata de equações quadráticas determinadas e o
que
  ele faz sobre isso no Bijaganita é mera cópia do que já tinham escrito
  outros matemáticos.
  Quanto a equações INDETERMINADAS do segundo grau:
  Aí ele realmente fez grandes contribuições e essas estão expostas no
  Bijaganita. Pode-se dizer que essas contribuições, principalmente

Re: RES: biografia (fwd)

[Eduardo Wagner]

Quero dar os parabens ao Eric pelas informacoes
que deu a todos sobre Bhaskara e acrescentar o seguinte.
A regra para calcular as solucoes da equacao do segundo grau
era conhecida muitissimo antes da epoca de Bhaskara.
Os babilonios ja a conheciam.
Eh curioso que os livros didaticos atuais se refiram a
esta formula com o nome de Bhaskara. Todos os que tem mais
de 40 anos hoje, nao aprenderam na escola este nome, e
nos livros didaticos de outros paises que consultei, nao
encontrei essa referencia. Parece que aqui, em algum momento,
acho que nos anos 80, algum autor inventou isso e todos os
outros copiaram. Quando sera que isso comecou?

Abraco,

Wagner.

--
From: Eric Campos Bastos Guedes [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: RES: biografia (fwd)
Date: Tue, Oct 30, 2001, 14:31


 A seguinte biografia de Bhaskara foi retirada do site

 http://www.somatematica.com.br

 Abracos,

 Eric.

 Biografia:

 Bhaskara viveu de 1114 a 1185 aproximadamente, na India.

 Nascido numa tradicional família de astrólogos indianos, seguiu a tradição
 profissional da família, porém com uma orientação científica, dedicando-se
 mais à parte matemática e astronômica ( tais como o cálculo do dia e hora da
 ocorrência de eclipses ou das posições e conjunções dos planetas ) que dá
 sustentação à Astrologia.
 Seus méritos foram logo reconhecidos e muito cedo atingiu o posto de diretor
 do Observatório de Ujjain, o maior centro de pesquisas matemáticas e
 astronômicas da India, na época.


 Seu livro mais famoso é o Lilavati, um livro bem elementar e dedicado a
 problemas simples de Aritmética, Geometria Plana (medidas e trigonometria
 elementar ) e Combinatória. A palavra Lilavati é um nome próprio de mulher
 (a tradução é Graciosa), e a razão de ter dado esse título a seu livro é
 porque, provavelmente, teria desejado fazer um trocadilho comparando a
 elegância de uma mulher da nobreza com a elegância dos métodos da
 Aritmética. Numa tradução turca desse livro, 400 anos depois, foi inventada
 a história de que o livro seria uma homenagem à filha que não pode se casar.
 Justamente essa invenção é que tornou-o famoso entre as pessoas de pouco
 conhecimento de Matemática e de História da Matemática. Parece, também, que
 os professores estão muito dispostos a aceitarem estórias românticas em uma
 área tão abstrata e difícil como a Matemática; isso parece humanizá-la mais.


 Ele escreveu dois livros matematicamente importantes e devido a isso
 tornou-se o matemático mais famoso de sua época. Esses livros são:

 Equações INDETERMINADAS ou diofantinas:
 chamamos assim às equações (polinomiais e de coeficientes inteiros) com
 infinitas soluções inteiras, como é o caso de:

 y - x = 1 que aceita todos os x = a e y = a + 1 como soluções , qualquer que
 seja o valor de a
 a famosa equação de Pell x2 = N y2 + 1
 Bhaskara foi o primeiro a ter sucesso na resolução dessa equação, para isso
 introduzindo o método do chakravala (ou pulverizador).

 Mas, e a fórmula de Bhaskara ?

 EXEMPLO:
 para resolver as equações quadráticas da forma ax2 + bx = c, os indianos
 usavam a seguinte regra:
 multiplique ambos os membros da equação pelo número que vale quatro vezes o
 coeficiente do quadrado e some a eles um número igual ao quadrado do
 coeficiente original da incógnita. A solução desejada é a raiz quadrada
 disso.
 É também muito importante observar que a falta de uma notação algébrica, bem
 como o uso de métodos geométricos para deduzir as regras, faziam os
 matemáticos da Era das Regras terem de usar varias regras para resolver
 equações do segundo grau. Por exemplo, precisavam de regras diferentes para
 resolver x2 = px + q e x2 + px = q. Foi só na Era das Fórmulas que iniciaram
 as tentativas de dar um procedimento único para resolver todas as equações
 de um grau dado.

 Bhaskara conhecia a regra acima, porém, a regra não foi descoberta por ele.
 A regra já era do conhecimento de, no mínimo, o matemático Sridara, que
 viveu há mais de 100 anos antes de Bhaskara.



 Resumindo o envolvimento de Bhaskara com equações do segundo grau

 Quanto a equações DETERMINADAS do segundo grau:
 No Lilavati, Bhaskara não trata de equações quadráticas determinadas e o que
 ele faz sobre isso no Bijaganita é mera cópia do que já tinham escrito
 outros matemáticos.
 Quanto a equações INDETERMINADAS do segundo grau:
 Aí ele realmente fez grandes contribuições e essas estão expostas no
 Bijaganita. Pode-se dizer que essas contribuições, principalmente a invenção
 do método iterativo do chakravala e sua modificação do clássico método
 kuttaka correspondem ao ápice da matemática indiana clássica, podendo-se
 acrescentar que é somente com Euler e Lagrange que voltaremos a encontrar
 desenvoltura técnica e fertilidade de idéias de porte comparáveis.


 Bibliografia: Informações do site da UFRGS.
 

Re: biografia (fwd)

[Eduardo Wagner]

A Historia da Matematica de Carl Boyer editado pela USP
tem muitas coisas interessantes sobre Baskara.


--
From: Carlos Frederico Borges Palmeira [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: biografia (fwd)
Date: Mon, Oct 29, 2001, 9:03


 repasso aos colegas da lista o pedido abaixo.
 Fred

 -- Forwarded message --
 Date: Mon, 29 Oct 2001 09:23:03 -0200
 From: Antonio Fagnani Junior [EMAIL PROTECTED]
 To: [EMAIL PROTECTED]
 Subject: biografia

 Necessito para meu neto,biografia de

 Omar Rachid Murad Báscara , não

 consegui achar.

 Caso possa-me obter , fico-lhe muito

 grato.

 Cordialmente:

 Antonio Fagnani Junior
 

Re: Lugar Geométrico

[Eduardo Wagner]

--
From: Luis Lopes [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: Lugar Geométrico
Date: Mon, Oct 22, 2001, 17:59


 Sauda,c~oes,

 Obrigado, Wagner.

 Seja O o centro de C e seja A sobre OM tal que MA = MO/3.
 A eh fixo e AQ = OP/3 = R/3.

 Se Q é tal que MQ = MP/3, então Q pertence ao lg.  OK pois os
 triângulos MAQ e MOP são semelhantes.

 Agora,

 Se Q pertence ao lg, então MQ = MP/3. Como provar sinteticamente?

Nao entendi bem qual eh a duvida. MQ = MP/3 eh hipotese. Se P percorre
a circunferencia de centro O e raio R, entao Q percorre sua homotetica
de centro M e razao 1/3.
Abraco,
W.

 []'s
 Luís


 -Mensagem Original-
 De: Eduardo Wagner [EMAIL PROTECTED]
 Para: [EMAIL PROTECTED]
 Enviada em: Domingo, 21 de Outubro de 2001 22:57
 Assunto: Re: Lugar Geométrico




 --
 From: Luis Lopes [EMAIL PROTECTED]
 To: [EMAIL PROTECTED]
 Subject: Lugar Geométrico
 Date: Fri, Oct 19, 2001, 17:10
 

  Sauda,c~oes,
 
  Sejam M um ponto fixo no interior de um círculo C e P um ponto variando
  na circunferência deste círculo.
 
  O lg dos pontos Q tais que MQ = MP/3 é um círculo.
 
  Alguém pode provar isso?

 Seja O o centro de C e seja A sobre OM tal que MA = MO/3.
 A eh fixo e AQ = OP/3 = R/3.
 
  Aplicação: sejam M=M_c e C o círculo circunscrito. Então G pertence ao
 lg.
 
  Assim podemos resolver o seguinte problema: construa o triângulo
  ABC dados o lado AB e a reta de Euler.
 
  []'s
  Luís
 
 

 

Re: Construção Geométrica

[Eduardo Wagner]

--
From: Araújo [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Construção Geométrica
Date: Thu, Oct 18, 2001, 22:13


 Saudações,

 Gostaria q alguém me ajudasse na solução do seguinte problema:

 Sejam P e Q os pontos de interseção de dois círculos. Construir o segmento
 APB, tal que AP=PB.(A pertence a um círculo e B ao outro).

Sejam X e Y os centros das circunferencias que contem A e B respec.
Seja Z medio de XY.
Sejam M e N medios de PA e PB respec.
PZ e' base media do trapezio retangulo XMNY pois PM = PN.
Logo, construa Z e trace por P uma reta perpendicular a PZ.

Abraco,

W.

 Araújo.
 

Re: Lugar Geométrico

[Eduardo Wagner]

--
From: Luis Lopes [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Lugar Geométrico
Date: Fri, Oct 19, 2001, 17:10


 Sauda,c~oes,

 Sejam M um ponto fixo no interior de um círculo C e P um ponto variando
 na circunferência deste círculo.

 O lg dos pontos Q tais que MQ = MP/3 é um círculo.

 Alguém pode provar isso?

Seja O o centro de C e seja A sobre OM tal que MA = MO/3.
A eh fixo e AQ = OP/3 = R/3.

 Aplicação: sejam M=M_c e C o círculo circunscrito. Então G pertence ao lg.

 Assim podemos resolver o seguinte problema: construa o triângulo
 ABC dados o lado AB e a reta de Euler.

 []'s
 Luís

 

Re: Dois problemas de Construção Geométrica

[Eduardo Wagner]

Title: Re: Dois problemas de Construção Geométrica



Vamos ver as dicas!
1) Desenhe o triangulo ABC e a mediana BM = m. 
Prolongue o lado CB de um comprimento BD = a. 
Desta forma, DA = 2m.
Construcao: Ponha BC = a, determine o ponto D
e construa o arco capaz do angulo A sobre BC.
A circunfererencia de centro D e raio 2m corta
o arco capaz em A.

2) Desenhe o triangulo ABC, a altura AH = h, a
mediana AM = m e a altura BD = n. Trace MN
perpendicular a AC. Temos MN = n/2. O ponto
N e' a chave do problema.
Construcao: Trace uma reta r e sobre ela um ponto H.
Trace HA = h perpendicular a r. Determine M sobre r
tal que AM = m. O triangulo AHM esta construido.
Seja C1 a circunferencia de diametro AM.
Seja C2 a circunferencia de centro M e raio n/2.
A intersecao de C1 e C2 e' o ponto N.
A reta AN determina C sobre r, etc.

Abraco,
Wagner.


--
From: Edmilson [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Dois problemas de Construção Geométrica
Date: Tue, Sep 18, 2001, 16:55


Caros amigos,

Gostaria de dicas para solucionar os seguintes problemas do livro do Prof. Eduardo Wagner. 

1) Construir o triângulo ABC conhecendo o lado a , o ângulo A e a mediana relativa ao lado b.

2) Construir o triângulo ABC conhecendo a mediana relativa ao lado a e as alturas relativas aos lados a e b.

Muito Obrigado.
Atenciosamente,
Edmilson
http://www.edmilsonaleixo.cjb.net

Re: Geometria

[Eduardo Wagner]

Considere todas as esferas que contenham a circunferencia dada.
Apenas uma delas tambem contem Q. O centro C dessa esfera e'
equidistante de todos os pontos: Q, P1, ...,Pn. Logo C e'
comum a todos os planos mediadores dos segmentos QPi.
Abraco,
Wagner.

--
From: Arnaldo [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED][EMAIL PROTECTED]
Subject: Geometria
Date: Mon, Sep 17, 2001, 11:25


 Gostaria de ver uma solução para este problema.

 É dado em um plano pi, uma circunferência sobre a qual marcam-se
 n (Pi, com 1=i=n)pontos. Toma-se um ponto Q fora do plano pi, a partir daí
 tomamos os planos que passam por Pi e é perpendicular ao segmento determinado
 por Pi e Q. Prove que todos os n planos determinados possuem um ponto comum.


 http://www.ieg.com.br

Re: isometria

[Eduardo Wagner]

O livro Isometrias de Elon Lages Lima e' o indicado.
Este livro e' editado pela SBM e voce pode adquiri-lo
entrando em contato com a Telma, secretaria da SBM
no endereco [EMAIL PROTECTED]. Vale a pena.

--
From: Caio Augusto [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: isometria
Date: Wed, Sep 5, 2001, 16:51


 Ola pessoal,

 Alguem sabe algum site e/ou livro bom sobre ismetria plana e espacial, e sua
 relacao com algebra linear?

 Obrigado,
 Caio Augusto
 

Re: olimpiada estadual do Rio de janeiro 2001

[Eduardo Wagner]

OK  Fred.

Envie a estrutura da prova. Serao 3 niveis?
Quantos problemas tera a prova?
Abraco,
Wagner.

--
From: Carlos Frederico Borges Palmeira [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: olimpiada estadual do Rio de janeiro 2001
Date: Thu, Aug 30, 2001, 14:42


 Gostaria de receber sugestoes de questoes para compor a prova da olimpiada
 estadual do Rio de janeiro. as sugestoes nao devem ser enviadas para a
 lista e sim diretamente para [EMAIL PROTECTED]
 Depois da olimpiada a gente divulga e parabeniza os autores das questoes.

 []s, Fred
 

Re: tri-tangentes

[Eduardo Wagner]

Title: Re: tri-tangentes



Consulte
http://cedar.evansville.edu/~ck6/encyclopedia/
Tem tudo.
Abraco,
Wagner.
--
From: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: tri-tangentes
Date: Mon, Aug 6, 2001, 23:23


Gostaria de receber uma indeicação de lugar na internet que fale sobre os 
assuntos: 
- círculo de 9 pontos 
- tri-tangentes 

Re: O próximo número é ...

[Eduardo Wagner]

Continuando o besteirol (veja abaixo) temos que as
diferencas sao -4, 12 e 45. Somando 4 a cada uma delas
obtemos 0, 16 e 49 que sao 0^2, 4^2 e 7^2. Assim, podemos
imaginar que a proxima diferenca seja 9^2 -4 = 77
(Afinal, 0, 4, 7, 9, ... eh uma sequencia manjada).
Posso entao defender que o proximo numero sera -50.
Como voces podem ver, podemos passar o resto dos nossos
anos pesquisando regras para continuar a sequencia dada.
Mas, com certeza, isto nao vale a pena.
Fora com este tipo de questao.
Abracos,
W.


--
From: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: O próximo número é ...
Date: Sat, Jul 21, 2001, 10:56


 On Fri, Jul 20, 2001 at 10:01:12AM -0400, [EMAIL PROTECTED] wrote:
Bom dia a todos !!

Agradeço pela atenção dada a questão e gostaria de entender melhor
 porque devemos repudiar esse tipo de questão. Eu entendi o exemplo dado pelo
 Bruno de como completar 4, 6, 8, 10 com números diferentes de 12 e seguindo
 uma regra. Mas será que completando com um número diferente de 12 vc não
 estaria criando uma regra que não estava completamente definida
 anteriormente ?
Hoje recebi como resposta da seqüência 80, 84, 72, 27 a alternativa c
 ( -81 ) e não descobri nenhuma regra. Tentei o site indicado pelo prof.
 Nicolau mas obtive como resposta : I am sorry, but the terms 80, 84, 72, 27,
 do not match anything in the table.
Desculpe se insisto em algo banal, mas gostaria de mais explicações de
 como essa questão é ridícula pois terei que explicá-la para alguns alunos que
 me perguntaram.
Obrigado pela atenção,
  Raul

 Uma possibilidade é interpolar por um polinômio, o que,
 com a ajuda do maple, nos daria a resposta:

   P:=interp([1,2,3,4], [80, 84, 72, 27], z);
3  2
   P := - 17/6 z  + 9 z  - 19/6 z + 77

   subs(z=5,P);
   -68

 E a resposta fica sendo -68.

 Outra possibilidade é observar que

 80 = 3^0 * 80
 84 = 3^1 * 28
 72 = 3^2 *  8
 27 = 3^3 *  1

 Então vamos supor que a seqüência é da forma 3^(n-1)*P(n)
 onde P é um polinômio. Teríamos:

   P:=interp([1,2,3,4], [80, 28, 8, 1], z);
  3   2
 P := - 19/6 z  + 35 z  - 809/6 z + 183

   subs(z=5,P);
   -12


 e a resposta seria -12*81 = -972.

 Outra possibilidade é olharmos para diferenças sucessivas:

 80 - 84 = -4; 84 - 72 = 12; 72 - 27 = 45;

 Agora observamos que estes números são múltiplos de 1, 2 e 5,
 que são números de Catalan! Dividindo temos -4, 6, 9 que é
 claramente uma PG, exceto pelos sinais. Assim a próxima *diferença*
 seria +- 14*27/2 = +- 189 e o próximo termo pode ser ou
 27 + 189 = 216 ou 27 - 189 = -162.
 O padrão de sinais está mais difícil, temos apenas -, +, +.
 Eu conjecturo que isto tem a ver com a expansão decimal de pi:

 3 1 4 1 5 9 2 ...

 - + + + - + - ...

 Os sinais de + aparecem abaixo dos algarismos que são quadrados perfeitos
 e portanto eu tendo a favorecer a resposta 216.


 Desculpem pelo besteirol. Estou só tentando dar uma idéia de que uma
 seqüência pode ser continuada de infinitas maneiras.
 Para uma seqüência tão curta quanto este então...

 []s, N.

Re: olá e problemas (ainda)

[Eduardo Wagner]

   3.As bissetrizes dos angulos A e B do triangulo ABC intersectam os
lados
 BC e AC nos pontos D e E respectivamente. Supondo que AE+BD=AB,determine
a
 medida do angulo C.

Sejam AB = c, BC = a e CA = b. Usando o teorema da bissetriz encontramos
BD = ac/(b+c) e AE = bc/(a+c). Se AE + BD = AB concluimos que
a^2 + b^2 - c^2 = ab. Usando agora a lei dos cossenos para o lado c,
temos que cosC = (a^2 + b^2 - c^2)/2ab.
Logo, cosC = 1/2 e C = 60 graus.

Agracos,
W.

Re: Bibliografia de Probabilidade GeomÈtrica

[Eduardo Wagner]

Saiu na RPM numero ? um artigo basico sobre probabilidade
geometrica de Nelson Tunala. Tem a agulha de Buffon e
outras coisas interessantes.
Abraco,
Wagner.

--
From: Augusto Morgado [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: Bibliografia de Probabilidade GeomÈtrica
Date: Tue, Jul 10, 2001, 9:07


 Alguma coisa você encontra no volume 2 da Matemática do Ensino Médio.

 Edmilson wrote:

 Caros amigos,
  
 Eu estou precisando de material para um trabalho sobre probabilidade
 geométrica básica. Referências sobre os problemas : do Encontro, da
 agulha de Buffon, de áreas, e outros problemas.Pode ser  livros,
 periódicos ou páginas na Web.Um pouco de história também ajudaria.
  
 Obrigado a todos.
  
 Atenciosamente,
 Edmilson
 http://www.edmilsonaleixo.cjb.net

Re: Ceviana

[Eduardo Wagner]

Nao devemos usar o termo cevia neste caso.
Abracos.
W.


--
From: josimat [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: Ceviana
Date: Thu, Jul 5, 2001, 23:31


 Mas nem sempre a bissetriz externa intercepta a reta suporte do lado oposto.
 As bissetrizes externas de um triangulo equilatero eh uma ceviana?
 []s, Josimar

 -Mensagem original-
 De: Eduardo Wagner [EMAIL PROTECTED]
 Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]
 Data: Quinta-feira, 5 de Julho de 2001 21:51
 Assunto: Re: Ceviana


A questao esta claramente mal formulada. Tradicionalmente usamos
o termo ceviana para um segmento que tem uma extremidade em
um vertice de um triangulo e outra na reta suporte do lado oposto.
Assim, as alturas de triangulos sao cevianas e bissetrizes externas
tambem sao. Por isso, tem sentido calcular o comprimento da bissetriz
externa relativa ao vertice A em um triangulo ABC.
Na questao proposta, a definicao esta ruim e eu tambem marcaria a
alternativa (e).
Abraco,
E. Wagner.
--
From: João Paulo Paterniani da Silva [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Ceviana
Date: Thu, Jul 5, 2001, 11:42



Olá. No último vestibular da Unimep havia a seguinte questão:

Ceviana de um triângulo é um segmento que liga um vértice a um ponto
 qualquer do lado oposto a esse vértice. São cevianas:
 a) bissetriz, mediana e mediatriz
 b) altura, bissetriz e mediatriz
 c) altura, bissetriz e mediana
 d) altura, mediana e mediatriz
 e) nenhuma das alternativas anteriores

Bem, o que eu pensei: bissetriz e mediana são certamente cevianas.
 Mediatriz não é necessariamente uma ceviana, pois nem sempre passa pelo
 vértice de um triângulo. E a altura? Eu lembrei que em um triângulo
 obtusângulo uma das alturas não intercepta o lado oposto ao vértice, mas
 sim
 a reta suporte desse lado. Concluí, então que a alternativa e era a
 correta, e no entanto o gabarito diz que a correta é a c. Alguém pode
 me
 explicar?

   Muito obrigado

 João Paulo Paterniani da Silva

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Re: Ceviana

[Eduardo Wagner]

A questao esta claramente mal formulada. Tradicionalmente usamos
o termo ceviana para um segmento que tem uma extremidade em
um vertice de um triangulo e outra na reta suporte do lado oposto.
Assim, as alturas de triangulos sao cevianas e bissetrizes externas
tambem sao. Por isso, tem sentido calcular o comprimento da bissetriz
externa relativa ao vertice A em um triangulo ABC.
Na questao proposta, a definicao esta ruim e eu tambem marcaria a
alternativa (e).
Abraco,
E. Wagner.
--
From: João Paulo Paterniani da Silva [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Ceviana
Date: Thu, Jul 5, 2001, 11:42



Olá. No último vestibular da Unimep havia a seguinte questão:

Ceviana de um triângulo é um segmento que liga um vértice a um ponto
 qualquer do lado oposto a esse vértice. São cevianas:
 a) bissetriz, mediana e mediatriz
 b) altura, bissetriz e mediatriz
 c) altura, bissetriz e mediana
 d) altura, mediana e mediatriz
 e) nenhuma das alternativas anteriores

Bem, o que eu pensei: bissetriz e mediana são certamente cevianas.
 Mediatriz não é necessariamente uma ceviana, pois nem sempre passa pelo
 vértice de um triângulo. E a altura? Eu lembrei que em um triângulo
 obtusângulo uma das alturas não intercepta o lado oposto ao vértice, mas sim
 a reta suporte desse lado. Concluí, então que a alternativa e era a
 correta, e no entanto o gabarito diz que a correta é a c. Alguém pode me
 explicar?

   Muito obrigado

 João Paulo Paterniani da Silva

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Re: O time chegou bem

[Eduardo Wagner]

Um esclarecimento acerca de mulher de Cesar.
Nao basta a mulher de Cesar ser honesta.
Ela precisa parecer ser honesta.
Abracos,
Wagner.

--
From: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: O time chegou bem
Date: Thu, Jul 5, 2001, 14:47


 On Thu, Jul 05, 2001 at 12:14:46PM -0400, [EMAIL PROTECTED]
wrote:
 Oi Nicolau,
 Vcs(lideres) sabem que todos os participantes da IMO tb tem acesso `a
e-mail
 Isso nao oferece nemhum perigo de vasamento de prova
 Toda a equipe foi a favor que fizessemos esta pergunta.
 Espero resposta.
 Equipe Brasileira da IMO 2001.

 Claro que oferece perigo. A id'eia 'e que se algu'em tivesse inten,c~ao
 de roubar poderia usar telefone, telefone celular, pager, ou tantas
 outras mil maneiras que nem vale a pena tentar impedir.

 De qualquer forma, pe,co que n~ao haja comunica,c~ao entre n'os
 (exceto talvez via obm-l) at'e o final do segundo dia para
 preservar o pouco de apar^encia de honestidade que a mulher de C'esar
 ainda tem. Estou mandando c'opia para obm-l.

 Boa sorte, []s, N.

Re: O time chegou bem

[Eduardo Wagner]

Pergunta: Podemos nos comunicar com o vice-lider?
Gostaria de enviar uma mensagem de apoio aos alunos.
Que tudo corra bem.
Abraco,

Wagner.

--
From: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED], [EMAIL PROTECTED]
Subject: O time chegou bem
Date: Wed, Jul 4, 2001, 12:28



 S'o para confirmar que o time chegou bem. []s, N.

Re: esclarecimento

[Eduardo Wagner]

Uma outra forma de ver a questao eh a seguinte.
Considere um ponto F e uma reta d.
Para cada real positivo e, o lugar geometrico
do ponto P tal que PF/Pd = e, eh uma conica.
Aqui, Pd eh a distancia de P a reta d.
Se 0  e  1, uma elipse.
Se e = 1, uma parabola.
Se e  1 uma hiperbole.
Este numero e chama-se excentricidade da conica.

Abracos.

Wagner.

--
From: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: esclarecimento
Date: Wed, Jun 27, 2001, 10:31


 Na geometria analítica, definimos excentricidade:
 elipse  : excentricidade = distância focal / eixo maior = c / a
 hipérbole : excentricidade = distância focal / eixo real = c / a
 parábola : excentricidade = ??  sei que a excentricidade da parábola
 é 1
 mas, como a defino??

Re: dúvidas banais Hipérboles

[Eduardo Wagner]

Title: Re: dúvidas banais Hipérboles



Caros amigos:

Cilindro equilatero e aquele que tem diametro igual a altura.
Este cilindro eh importante pois dado o volume de um cilindro,
o equilatero eh o que possui area total minima (eh um bom
problema verificar isto). Por isso eh o preferido para as
embalagens de diversos produtos. Veja, por exemplo a
lata do leite condensado ou creme de leite da Nestle.
Eh um cilindro perfeitamente equilatero.

A hiperbole equilatera eh a que possui eixos transverso
e nao transverso iguais, ou seja, eh a hiperbole que possui
assintotas perpendiculares. Na forma canonica, a 
hiperbole equilatera tem equacao x^2 - y^2 = a^2. 
Fazendo uma rotacao de 45 graus nos eixos, ela toma
a forma xy = k.

Abraco,

Wagner.

--
From: Luis Lopes [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: dúvidas banais Hipérboles
Date: Tue, May 29, 2001, 18:20


Sauda,c~oes,

Se não estou enganado, cilindro equilátero é aquele no
qual a relação entre o diâmetro e a altura é a mesma que
os lados e a altura de um triângulo equilátero.

Hipérbole equilátera eu esqueci mas acho que a hipérbole
y = 1/x é equilátera.

E tem também a hipérbole retangular??

A propósito desta hipérbole, ver o email abaixo. Ele veio de
uma outra lista.

[ ]'s
Lu'is


From: [EMAIL PROTECTED] mailto:[EMAIL PROTECTED] 
Reply-To: [EMAIL PROTECTED] mailto:[EMAIL PROTECTED] 
To: [EMAIL PROTECTED] mailto:[EMAIL PROTECTED] 
Subject: [EMHL] Re: Altitude problem
Date: Tue, 29 May 2001 18:45:34 -

Dear Antreas,


[APH]:
Let ABC be a triangle and AD the altitude from A.

 DC AC
If BC is fixed, and -- = (--)^2, which is the locus of A ?
 DB AB


[PY]:
The locus of A is the circle with BC as diameter. This is the
converse of Euclid's proof of Pythagoras theorem.

Dear Paul,

That's at first glance.

At second glance, the locus is something more:

 (circle with diam BC) + (perp. bis. of BC)

That is what you call an ``impure'' locus.


and at third glance, the locus is something more !

[PY]And the rectangular hyperbola with B and C as vertices!

Best regards
Sincerely
Paul

APH

-Mensagem Original- 
De: Alexandre F. Terezan mailto:[EMAIL PROTECTED] 
Para: OBM mailto:[EMAIL PROTECTED] 
Enviada em: Terça-feira, 29 de Maio de 2001 09:35
Assunto: dúvidas banais

Estou com 2 dúvidas banais, mas que nao consigo solucioná-las por nao ter a possibilidade de consultar um livro do ensino médio. Sao elas:

O que define uma hipérbole EQUILÁTERA?

O que define um cilindro EQUILÁTERO?

Re: Fórmula de Heron

[Eduardo Wagner]

Title: Re: Fórmula de Heron



Pontape inicial para a formula de Heron.
Considere um triangulo ABC de lados AB = c, BC = a, CA = b
e area S.
Calcule cosA pela lei dos cossenos.
Calcule senA pela relacao fundamental da trigonometria.
Calcule S = (1/2)bc.senA.
Eh preciso alguma habilidade nas fatoracoes lembrando
sempre que 2p = a + b + c.

--
From: [EMAIL PROTECTED] (Hugo Iver Vasconcelos Goncalves)
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Fórmula de Heron
Date: Tue, May 29, 2001, 14:12


Olá colegas da lista, 
Na minha aula de matemática hj pela manhã surgiu uma discussão sobre a fórmula de Heron para o cálculo da área de triângulos... meu prof. disse que nunca havia visto a dedução dessa fórmula e q também nunca havia tentado deduzi-la... será q vcs podem mostrar a dedução dessa fórmula aqui na lista ou pelo menos dar o pontapé inicial???
Ahhh, e jah li aqui na lista algo q dizia q a fórmula de Heron pode ser usada analogamente para qualquer poligono inscritível em uma circunferência... será q vcs poderiam mostrar como fazer isso, pois eu tentei e nao deu certo...???
Desde jah agradeço a vcs e peço desculpas se minhas duvidas foram triviais e pouco empolgantes :PPP até mais

Hugo

Re: Assuntos que caem nas olimpíadas 2

[Eduardo Wagner]

Caros amigos:
O gosto pela matematica e o talento para a matematica nao dependem
da regiao do pais onde estao os jovens nem de sua classe social.
Imaginamos que no passado, inumeros alunos que gostavam de matematica
nao tiveram oportunidade de se desenvolver nessa materia e acabaram
por se dedicar a outras atividades. Eh duro para todos saber que uma
quantidade expressiva de jovens nao tiveram alguma chance de mostrar
seu talento em matematica.
Pois bem, a OBM atualmente esta presente em grande parte do pais
com os seguintes objetivos principais:
- estimular o estudo de matematica entre os jovens.
- estimular o estudo de matematica alem do curriculo escolar.
- estimular o desenvolvimento dos professores.
- detectar alunos especialmente talentosos.
Por isso, uma prova de Olimpiada nao pode ser algo similar a uma
afericao escolar com programa determinado. Uma prova de Olimpiada
eh algo, digamos, imprevisivel onde o aluno devera utilizar alem
das ferramentas que possui, sua criatividade e engenhosidade em
abordar e resolver um problema. Eh claro que nao ha como fugir
do fato que alunos mais treinados tenham mais chances de conseguir
melhores resultados. Afinal, o esforco deve valer alguma coisa.
Entretanto, temos que relatar que muitos jovens mesmo com pouco
conteudo matematico tiveram resultados expressivos na OBM usando
o raciocinio e a criatividade.
A OBM nao tem portanto um programa de materia para cada nivel.
Procuramos respeitar (mais ou menos) o conteudo de cada nivel
de escolaridade mas sabemos que muitos jovens estudam mais do
que a escola oferece. Por isso, cada prova da OBM eh naturalmente
polemica, despertando as mais diversas opinioes em todo o publico
em que ela atinge. E isto eh bom.
Como disse o prof. Marcelo, o Brasil possui varias realidades.
Isto eh certo. Mas tambem eh certo que uma boa matematica pode
ser praticada em qualquer regiao do pais que tenha um aluno
interessado e um professor dedicado.
Abracos,
Wagner.

--
From: Marcelo Rufino de Oliveira [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: Assuntos que caem nas olimpíadas 2
Date: Fri, May 25, 2001, 23:14


 Prezado professor, respeito seu ponto de vista, entretanto acredito que a
 introdução destes assuntos não tradicionais pode gerar algumas injustiças,
 principalmente por estarmos tratando de uma olimpíada nacional realizada em
 um país como o Brasil, que possui várias realidades. Nos exemplos
 apresentados pelo senhor (Estados Unidos, São Paulo e Ceará) os alunos
 participantes possuem um formação não muito heterogênea.

 Os Estados Unidos possuem um ensino médio organizadíssimo quando comparado
 com o Brasil. Os alunos participantes da USAMO pelo estado da Flórida não
 são muito diferentes dos alunos do estado da Califórnia. Para dizer a
 verdade, da forma que a matemática é ensinada no ensino médio dos Estados
 Unidos qualquer olimpíada faria sucesso, pois eu nunca vi um ensino de
 matemática tão vagabundo quanto lá. Ensina-se somente o básico do básico do
 que é ensinado no Brasil. Eu queria entender como é que todo ano na IMO os
 alunos americanos conseguem destaque, pois o que eu reparei é que a maior
 preocupação dos americanos é ensinar aula de teatro, literatura
 internacional, filosofia, sociologia, etc. O destaque para matemática é
 quase nenhum quando comparado ao destaque que damos no Brasil.

 Para São Paulo, certamente teríamos uma diferença entre os alunos de escola
 pública e particular, pois sabemos a realidade brasileira, entretanto a
 própia olimpíada paulista separa os candidatos, com os alunos de escola
 pública competindo somente entre eles, diminuindo assim as injustiças.

 Quanto a olimpíada do estado do Ceará, realmente de uns 2 anos para cá a
 prova ficou bastante técnica. Eu possuo umas seis provas de lá (1o. e 2o.
 graus entre 1995 e 1998) e no mais tinha alguma questão de polinômios em
 alguns anos (abaixo eu acabei incluindo algumas questões que achei nas
 minhas provas). Nas provas de 1999 e 2000 temos questões de complexos,
 geometria espacial e geometria analítica. Agora dá só uma olhada no
 resultado destas olimpíadas?! Só deu Farias Brito, 7 de Setembro, Geo,
 etc... Sabe porque? Por que cobrando assuntos técnicos acabamos beneficiando
 os alunos dos melhores colégios (que inegavelmente hoje são os
 particulares), em detrimento a alunos que possuem até mais capacidade, mas
 que deram azar de nascer em uma família humilde, que não tem condições de
 pagar uma boa escola particular.

 Vou dar um exemplo mais concreto. Dois anos atrás apareceu aqui no meu
 colégio em Belém um aluno de colégio público (denominado Paulo de Almeida
 Neto) proveniente de uma cidade do interior do Pará que talvez o senhor não
 conheça, chamada Ananindeua. Ele participou de uma concurso de bolsa que
 passamos todos os alunos que ingressavam no primeiro ano do ensino médio. A
 prova era só raciocínio e ele acertou tudo, logicamente pegou bolsa
 integral. Fomos ver o seu nível de conhecimento. Para você ter 

Re: A importancia dos Mestres

[Eduardo Wagner]

Oi gente:
Oi Paulo:
Estou meio sumido por absoluta falta de tempo, mas estou atento
a nossa lista.
O Luis Lopes que voce citou eh o mesmo que participa da lista.
Conheco Luis ha muito tempo, desde quando morava no Canada. Nessa
epoca, trocavamos correspondencia (via correio) sobre problemas.
A colecao de livros que voce descobriu eh otima mas, o melhor,
acho que voce ainda nao conhece: o Manual de Construcao de Triangulos.
Tem tudo o que se possa imaginar sobre o tema e mais ainda. Sao 371
problemas de construcao de triangulos com solucoes detalhadas.
Obra prima.
Abraco,
Wagner.


--
From: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: A importancia dos Mestres
Date: Wed, May 9, 2001, 7:08


 Ola Pessoal,

 Nao sei se voces perceberam, mas os Prof que comumente orientam a Nossa
 Lista estao sumidos ... Faz bastante tempo que nao vemos uma mensagem
 matematica dos Prof´s Nicolau, Wagner,Jose Paulo, Ralph, Morgado, Gustavo
 Tamm e muitos outros ...

 Estes nossos Mestres trazem, com suas mensagens, as centelhas que ativam o
 nosso interesse. Eles conhecem questoes interessantes que congregam os
 interesses de quase todos ... A presenca deles e suas opinioes sao
 fundamentais : sem elas, parece ate o sol se pos e que so nos resta dormir
 ... O que esta havendo ? Onde estao nossos orientadores ?

 O Prof Nicolau falou sobre o Problema 3N+1, O prof Ralph propos a questao
 sobre campeonatos, Prof Jose Paulo falou sobre os numeros de jacobi, Prof
 Wagner sobre a reta de Euler etc etc. Eu realmente sinto falta desses
 Mestres Legais, verdaeiro amigos que nos esclarecem e nos incentivam !

 Mudando de assunto :

 Ontem, na hora do almoco, fui visitar uma livraria. La encontrei alguns
 livros de um autor chamado Luis Lopes. Nao sei se o Luis Lopes, colega nosso
 desta lista e o mesmo Luis Lopes autor dos Livros.

 O certo e que os Livros tem uma virtude inegavel : uma extensa lista de
 exercicios nao-triviais. Para quem quer se preparar para vestibulares,
 concursos e olimpiadas, os livros me pareceram muito bons. Vale a pena
 compra-los ( para quem puder ). O tempo era curto e nao pude ver a parte
 teorica. Alguns livros estao em frances. Como o frances e facil de ler, nao
 acho que isto constitui um problema.

 Ainda nesta vertente, todos sabem que existe uma colecao : Fundamentos de
 Matematica Elementar, MUITO BOA PARA INICIANTES. Para quem quer se
 aprofundar, nao. Por que os Professores desta Lista nao se reunem e lancam
 uma colecao : APROFUNDAMENTOS DE MATEMATICA ELEMENTAR ? isto implica em
 deixar o trivial para OS FUNDAMENTOS e, quem quiser se aprofundar, compra OS
 APROFUNDAMENTOS. E apenas uma ideia.

 Um abraco a Todos
 Paulo Santa Rita
 4,1108,09052001
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Re: Geometria plana

[Eduardo Wagner]

Title: Re: Geometria plana



Oi pessoal da lista.
O problema proposto pelo Alex eh famoso.
Alguem se habilita em mostrar uma solucao?

--
From: Alex Vieira [EMAIL PROTECTED]
To: OBM [EMAIL PROTECTED]
Subject: Geometria plana
Date: Wed, Apr 11, 2001, 14:29


Ola meus amigos,

Sera que alguem poderia me dar uma luz neste exercicio de geometria (ver fig. gif em anexo), onde se quer descobrir o angulo x, sabendo-se que o triangulo ABC eh isoceles?


Um abraço,

Alex.

Re: Constução de triângulos

[Eduardo Wagner]

Ola Marcio:
Benvindo a lista. 
Seu problema nao eh nada chuleh. Veja uma solucao.
Sejam A, B e C os angulos do triangulo ABC e seja h
a altura relativa ao vertice A.
Desenhe um triangulo ABC com BC horizontal e vertice
A acima.
Sobre a reta BC assinale:
P a esquerda de B tal que BP = BA.
Q a direita de C tal que CQ = CA.
Portanto PQ eh o perimetro de ABC.
Examine os triangulos isosceles formados e conclua que
o angulo PAQ mede X = (180+A)/2.
Se voce conhece PQ e o angulo X, o vertice A estara no
arco capaz do angulo X construido sobre PQ.
Como a altura do triangulo eh conhecida, a reta paralela
a PQ distando h de PQ determina sobre o arco capaz o ponto A.
As mediatrizes de AP e AQ determinam sobre a reta PQ os
vertices B e C.
Abraco,
Wagner.

--
From: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Constuo de tringulos
Date: Tue, Apr 10, 2001, 7:22


 Sou novo na lista (mais um) e, apesar de conhec-la do arquivo ainda no
 me acostumei com o nmero de mensagens recebidas diariamente.
 No entanto, dvidas no faltam e a vai uma das mais recentes:
 Construir um tringulo ABC, conhecendo o seu permetro, o ngulo  e a altura
 relativa ao vrtice A.
 Agradeo previamente solues para esse problema chul.
 Mrcio


 

Re: ajuda

[Eduardo Wagner]

Title: Re: ajuda



Oi gente:

Voces sabem quanto vale a distância entre o 
circuncentro O e o ortocentro H de um triângulo?
A relacao eh
(OH)^2 = 9R^2 - (a^2 + b^2 + c^2).
O problema implica de imediato que o ortocentro
coincide com o circuncentro e, consequentemente,
o triangulo eh equilatero.
Chamar isto de solucao eh uma covardia uma vez que
a demonstracao da formula acima dah um grande
trabalho. Quase tanto quanto o Carlos Victor teve.
Mas, eh uma curiosidade interessante.
Abraco,

Wagner.

--
From: Carlos Victor [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED], [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: ajuda
Date: Sat, Mar 3, 2001, 11:28



Oi Filho ,

Vamos a uma solução no braço . 

Como a= 2RsenA , b =2RsenB e c = 2RsenC , temos que (senA)^2 + (senB)^2 + (senC)^2 = 9/4 .

Observe que fazendo senA = sen(B+C) = senBcosC + senCcosB , a igualdade acima será 

equivalente a cosA.cosB.cosC = 1/8 , ou seja o triângulo é acutângulo. Usando a Lei dos co-senos

teremos que : (b^2+c^2-a^2).(c^2+a^2-b^2).(a^2+b^2-c^2)= a^2.b^2.c^2 e tomando 

x = b^2+c^2-a^2 , y = c^2+a^2-b^2 e z = a^2+b^2-c^2 , chegamos a 

8x.y.z = (y + z).(x +z).(x + y) ou ( y/x + z/x).( x/y + z/y).(x/z + y/z ) = 8 . Observe que o lado 

esquerdo da igualdade é : 2 + x/z + z/x +y/x +x/y +z/y + y/z e, como x,y e z são números 

positivos temos 2 + x/z + z/x +y/x +x/y +z/y + y/z  8 e a igualdade ocorre quando x=y=z ; ou 

seja a =b =c .

Confira as contas , ok ?

Abraços , Carlos Victor 


At 21:59 1/3/2001 -0300, filho wrote:
Prove que se num triângulo vale a relação a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 = 9 R ^ 2, então a = b = c , onde R é o raio da circunferência circunscrita ).

Re: ime 2001

[Eduardo Wagner]

O endereco eh www.gpi.g12.br

--
From: "josimat" [EMAIL PROTECTED]
To: "OBM" [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: ime 2001
Date: Fri, Mar 2, 2001, 9:55


 Basta mostrar que k^2 - k  termina em zero, ou seja, eh um multiplo de 10.
 V ao site do GPI. Esta prova estah resolvida lah. Nao tenho mais o
 endereco, porem alguem da lista deve ter.
 []s, JOSIMAR
 -Mensagem original-
 De: Exercicio~ [EMAIL PROTECTED]
 Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]
 Data: Sexta-feira, 2 de Maro de 2001 01:32
 Assunto: ime 2001




 Ol pessoal!

 Essa questo foi do ltimo vestibular do ime. Algum poderia apresentar
uma resoluo formal para essa questo?


 ( IME - 2001 )

 Prove que para qualquer nmero inteiro K, os nmeros K e K^5 terminam
sempre com o mesmo algarismo ( algarismo das unidades).

 Eu faria assim:

K =  R_n onde n varia de 0 a 9 e R  qq nmero inteiro.

K =  R_0
K^5 = R_0  R_0  R_0  R_0  R_0 = T_0, onde T  qq nmero inteiro

 K = R_1
 K^5 = R_1 R_1 R_1 R_1 R_1  = T_1, onde T  qq nmero inteiro.

 K = R_2
 K^5 = R_2 R_2 R_2 R_2 R_2  = T_2, onde T  qq nmero inteiro.
.
.
.
.
.
.
 K = R_9
 K^5 = R_9 R_9 R_9 R_9 R_9 = T_9, onde T  qq nmero inteiro.


 Agora fica a minha dvida: Se num problema de demostraao, caso eu
consiga expor para o examinador TODOS os casos existentes(desde q seja
vivel, como nesse problema) para tal demostraao, eu preciso
necessariamente utilizar variveis literais?

 No caso, se eu estivesse fazendo essa prova, eu escreveria de R_0 at
R_9, integralmente, ou seja, nao existiria as reticencias q eu coloquei
entre R_2 e R_9 para poupar um pco + meu tempo..

 Obrigado.


 Falow's

 Exercicio~

 http://members.nbci.com/exercicio
 ICQ # 102856897






 

Re: Problema com compasso

[Eduardo Wagner]

JP:
O nobre compasso so traca uma circunferencia com 
centro dado e passando por um ponto dado ou
ja construido. A sua duvida em C5(D,2) se deve a
notacao ingenua que utilizei. Como D eh simetrico
de A em relacao a B entao C5 eh a circunferencia
de centro D que passa por A. Nao ha necessidade
de nenhuma construcao auxiliar.
Veja a figura do Nicolau.
Abraco,
Wagner.

--
From: Jos Paulo Carneiro [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: Problema com compasso
Date: Thu, Mar 1, 2001, 17:43


 Wagner:
 Quais sao as regras deste compasso?
 Ele so pode tracar uma circunferencia com centro dado e passando por um
 ponto dado?
 Neste caso, tenho dificuldade com o passo "trace C5(D,2)", pois ainda nao
 sei que os pontos D e ... (nao me lembro agora, pois nao tenho a figura na
 feente) sao diametralmente opostos.
 Por outro lado, se o compasso permite tracar um circulo de centro dado e
 raio igual a distancia entre dois pontos dados, vou ter que construir
 primeiro um ponto que diste 2 de um conhecido. Alem disto, vou ter um
 problema no cabri, pois o "compasso" do Cabri exige um segmento previamente
 tracado (regua...) ou entao o uso de uma medida numerica, que eh feio.
 Nao sei se fui claro na minha duvida.
 Abracos.
 JP


 -Mensagem Original-
 De: "Eduardo Wagner" [EMAIL PROTECTED]
 Para: [EMAIL PROTECTED]
 Enviada em: Sexta-feira, 2 de Maro de 2001 06:39
 Assunto: Re: Problema com compasso


 Nas construcoes com regua e compasso devemos perceber
 que o compasso eh, de certa forma, um instrumento mais
 nobre que a regua. Ele traca uma circunferencia perfeita
 enquanto que a regua depende da precisao de sua fabricacao.

 O Nicolau lembrou um belo teorema que afirma que qualquer
 construcao que pode ser realizada com regua e compasso
 pode ser tambem realizada apenas com o compasso.
 Este teorema se deve a um matematico dinamarques
 chamado Georg Mohr(1640-1697) e foi publicado em 1672,
 mas, aparentemente, ninguem deu importancia.
 Mais de um seculo depois, Lorenzo Mascheroni redescobriu
 esta perola e publicou um livro sobre construcoes geometricas
 apenas com o compasso e dai este tema passou a ser conhecido e
 apreciado.

 Vamos resolver o problema de encontrar o ponto medio
 de um segmento AB usando apenas o compasso.
 Na notacao que vamos utilizar, C(P,r) indica uma
 circunferencia de centro P e raio r, e C1 X C2
 indica um dos pontos de intersecao entre as circunferencias
 C1 e C2.

 Seja AB = 1.
 Trace C1(A,1)
 Trace C2(B,1)
 P = C1 X C2
 Trace C3(P,1)
 Q = C3 X C2
 Trace C4(Q,1)
 D = C4 X C2
 Trace C5(D,2)
 E,F = C5 X C1
 Trace C6(E,1)
 Trace C7(F,1)
 M = C6 X C7 eh o ponto medio de AB. Prove!

 Abraco,
 Wagner.

 --
 From: "Nicolau C. Saldanha" [EMAIL PROTECTED]
 To: [EMAIL PROTECTED]
 Subject: Re: Problema com compasso
 Date: Tue, Feb 27, 2001, 4:55
 

 
 
  On Mon, 26 Feb 2001, Bruno F. C. Leite wrote:
 
  Dado o segmento AB, ache o ponto mdio de AB, USANDO SOMENTE O
 COMPASSO.
 
  Bruno Leite
 
 
  No vou resolver, mas quero chamar a ateno de que este problema
   caso particular do seguinte:
 
  Dados pontos A, B, C e D no plano encontre a interseo entre
  as retas AB e CD usando apenas compasso.
 
  O seu problema se reduz facilmente a este:
  basta traar um crculo de centro A e raio AB e outro
  de centro B e mesmo raio. Chame as duas intersees de C e D.
 
  Outro problema:
 
  Dados pontos A, B, C e D no plano encontre as intersees
  entre o crculo de centro A e raio AB e a reta CD,
  novamente usando apenas compasso.
 
  Dados estes dois problemas, no  difcil provar que
  *qualquer* construo que pode ser realizada com rgua e compasso
  pode ser tambm realizada apenas com compasso.
 
  []s, N.
 
 
 

 

Re: Teo de Geo

[Eduardo Wagner]

Title: Re: Teo de Geo



Use o teorema das bissetrizes para calcular os segmentos
em que cada lado fica dividido pelo pé da bissetriz do ângulo
oposto. Sendo A1 e A2 as áreas dos triângulos que têm o
vértice A em comum, você vai encontrar 
A1/A2 = (a + c)/(a + b).
Analogamente teremos
A3/A4 = (b + c)/(a + c)
A5/A6 = (a + b)/(b + c).
Multiplicando estas 3 razões o resultado fica demonstrado.
Abraço,
W.

--
From: Rodrigo Villard Milet [EMAIL PROTECTED]
To: Obm [EMAIL PROTECTED]
Subject: Teo de Geo
Date: Sat, Dec 9, 2000, 19:10


E aí, pessoal ?? Estava mexendo num problema q o Eduardo me mostrou, aí sem querer querendo descobri ( ou melhor, vi q existia ) um teorema na geometria. É o seguinte :
Dado um triângulo, traçe as bissetrizes... Daí, ficam formados 6 triângulos. Sejam A1,A2,A3,A4,A5,A6 as áreas dos triangulos no sentido horário. Prove q
(A1)*(A3)*(A5) = (A2)*(A4)*(A6) pelo menos acho q é isso...

Abraços, 
¡ Villard ! 

Re: Questão de Geometria Plana

[Eduardo Wagner]

Title: Re: Questão de Geometria Plana



Dois triangulos sao semelhantes quando possuem os mesmos 
angulos. No seu problema, CAP eh um angulo de segmento e,
portanto, sua medida eh a metade da medida do arco AP.
O angulo PBA eh um angulo inscrito e, portanto, sua medida
eh a matade da medida do arco AP. Logo, esses angulos 
sao iguais e os triangulos PAC e PBE sao semelhantes.
Da mesma forma, os triangulos PBD e PAE sao tambem
semelhantes.
Como PC/PE = PA/PB = PE/PD, temos PE^2 = 36 e PE = 6.

--
From: Igor Castro [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: Questão de Geometria Plana
Date: Tue, Dec 5, 2000, 14:57


Desculpe, mas não entendi porque eles são semelhantes, se puder explicar agradeço... obrigado...
- Original Message - 
From: Eduardo Wagner mailto:[EMAIL PROTECTED] 
To: [EMAIL PROTECTED] mailto:[EMAIL PROTECTED] 
Sent: Thursday, December 07, 2000 1:58 AM
Subject: Re: Questão de Geometria Plana

http://ads2.hpg.com.br/RealMedia/ads/click_nx.cgi/mail.ieg.com.br/incoming@TopLeft Sejam:
PC a perpendicular a tangente por A,
PD a perpendicular a tangente por B,
PE a perpendicular a AB.
Os triangulos PAC e PBE são semelhantes.
Os triangulos PAE e PBD sao semelhantes.
Conclua que PE^2 = PC.PD = 6.

--
From: Igor Castro [EMAIL PROTECTED] mailto:[EMAIL PROTECTED] 
To: obm lista [EMAIL PROTECTED] mailto:[EMAIL PROTECTED] 
Subject: Questão de Geometria Plana
Date: Tue, Dec 5, 2000, 5:13


Gostaria de saber a resolução de uma questão de geometria plana do livro Questões de Geometria Plana de Edgar de Alencar, a página é 80 o número é 78, fala sobre uma corda AB e traça-se duas tangentes(uma de cada ponto da corda) q se encontram em um ponto C depois pega-se um ponto do arco delimitado pela corda tal que a distancia desse ponto até uma das tangentes é 9 e até a outra é 4, ele pede a distancia desse ponto até a corda AB..

Re: contagem

[Eduardo Wagner]

Title: Re: contagem



Cuidado! O problema não é simples. Nesse monte de segmentos orientados
existem classes de segmentos equipolentes. Por exemplo, as arestas
laterais do prisma fornecem apenas dois segmentos orientados
distintos. Vamos pensar mais um pouco.
Abraços,
Wagner.

--
From: Rodrigo Villard Milet [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: contagem
Date: Tue, Nov 21, 2000, 19:11


Como são duas bases, então temos n vértices ao todo. Então, temos que saber quantos pares de vértices temos ao todo. Para escolhermos o primeiro vértice, temos n possibilidades. Para o segundo, temos n-1, pois já usamos 1. Note que a ordem não está sendo levada em conta, pois queremos segmentos orientados.
Daí, temos n(n-1) segmentos orientados.
Abraços, 
¡ Villard !
-Mensagem original-
De: filho [EMAIL PROTECTED] mailto:[EMAIL PROTECTED] 
Para: discussão de problemas [EMAIL PROTECTED] mailto:[EMAIL PROTECTED] 
Data: Terça-feira, 21 de Novembro de 2000 13:30
Assunto: contagem

Quantos segmentos de retas orientados são determinados pelos vértices de um prisma cuja base é um polígono de n/2 lados?

Re: Geometria das Areias...

[Eduardo Wagner]

G. Papelier foi um matematico frances do inicio do seculo. Grande geometra,
publicou em 1926 "Exercices de Géométrie moderne" em 3 volumes.
Posteriormente, a livraria Vuibert separou os capitulos e os publicou em
pequenos livros com os titulos: geometria dirigida, transversais, divisao
harmonica, polo e polar, razao anarmonica, inversao, homografia, involucao,
e geometria projetiva. O seu livro de geometria analitica em duas e tres
dimensoes, publicado em 1930 eh um tratado completo do assunto. Tem tudo
o que se posa imaginar. Creio que este livro deve ter sido um sucesso, pois
em 1937 foi publicada sua nona edicao.
Papelier publicou junto com M. Aubert livros de exercicios de algebra,
analise, trigonometria, mecanica e geometria descritiva. Uma farta e
incrivel producao.

Wagner.

--
From: Augusto Morgado [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: Geometria das Areias...
Date: Sat, Nov 4, 2000, 16:48


 Wilson Areias foi um professor de geometria de muitos cursos
 vestibulares do Rio de Janeiro. Faleceu prematuramente, vítima de um
 acidente de carro. Foi um grande resolvedor de problemas, tendo tido
 muitas de suas soluções publicadas na Crux Mathematicorum.
 Acho que ele trabalhou no GPI ou no MV1 e o livro a que você se refere
 deve ser a apostila do curso.
 Um possível leitor dessa mensagem e que foi um grande amigo do Areias é
 o Antonio Luis Santos, que deve conhecer o livro a que você se refere.
 Morgado
 wrote:

 Alguém ae conhece um livro de geometria q se chama
 geometria das areias ou só geometria mas q o autor
 tenha areias no nome?  e sabem se existe um livro de
 geometria do PAPELIER? se alguém souber de algo por
 favor me contate... obrigado... [EMAIL PROTECTED]

 __
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Re: ângulos

[Eduardo Wagner]

Title: Re: ângulos



Caros amigos: 
Não se preocupem em obter uma solução limpa para o problema.
O menor ângulo deste triângulo mede, aproximadamente, 25,1 graus,
e a solução do Victor está simples e direta.

--
From: Carlos Victor [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED], [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: ângulos
Date: Sat, Oct 28, 2000, 9:18


At 00:17 28/10/2000 -0200, josimat wrote:
Oi pessoal!
Este problema já foi colocado na lista pelo Luís Lopes, mas ninguém apresentou solução. Quem gostaria de dizer algo?

As medianas relativas aos catetos de um triângulo retângulo se encontram formando um ângulo de 30 graus. Determine as medidas dos ângulos agudos desse triângulo.

[]'s JOSIMAR

Vejamos uma solução no braço :

Seja ABC com ângulo reto em A . Sejam M , N os pontos médios respectivamente de AC e AB e, P o baricentro . Façamos PM = k e PN= t ; logo PB = 2k e PC = 2t . A área do triângulo PMC é 1/6 de ABC ; portanto kt = bc/6 e como k= (sqrt( 4c^2+b^2))/6 e t = (sqrt(4b^2+c^2))/6 , chegamos a seguinte igualdade :

4c^4+4b^4 = 19b^2.c^2 . Dividindo por b^2.c^2 , teremos 4x+4/x =19 onde x= c^2/b^2 . Fazendo z = ânguloACB teremos que tgz = c/b = sqrt(x) , ok? .

nota : sqrt = raiz quadrada

Confere as contas , ok ?

Abraços , Carlos Victor