Re: [obm-l] Combinatória

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

Bem, ja adianto uma ideia:escolha a e b e ccom abc.Entao se {a,b,c} sao os caras procurados basta que a+b+c=0 modulo 3.O problema e garantir a nao-repetiçao...
Uma boa ideia e testar ideias sobre funçoes geratrizes.Talvez dando uma lida no artigo do Tengan na Eureka! voce tenha uma luz.E claro,ce teria que aprender como usar combinatoria com raizes da unidade...Como no momento so estou rascunhando,depoisw eu escrevo algo decente.Em breve...

Por enquanto faça isso:separe oi conjunto em classes modulo tres
A0={caras com resto0 mod 3}
A1={caras com resto 1 mod 3}
A2={caras com resto 2 mod 3}

Agora veja que se a,b,c forem de classes que somem 0 mod 3,acabamos.
Por exemplo 

0,0,0
1,1,1
2,2,2
0,1,2

Ai e so escolher quem de cada classe serve!
Pedro Costa [EMAIL PROTECTED] wrote:





De quantas maneiras se podem escolher 3 números distintos do conjunto E ={ 1 , 2 , 3 .100}
de modo que sua soma seja um múltiplo de 3 ?-- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. Central anti-spam do Yahoo! Mail: com dicas, dúvidas e curiosidades!

Re: [obm-l] questao combinatoria

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

Devo informar que esta questao nao e combinatoria.E mais uma manipulaçao com polinomios.Vou resolver uma questao parecida para te dar a ideia...Seja aCb o numero a escolhe b
Seja a soma nC0+nC4+nC8+nC12+(ela e finita pois nC(n+t)=0).

Ela nao te lembra alguma coisa?Algo como

(1+x)^n=nC0+nC1*x+nC2*x^2+nC3*x^3+...

Pois e, a ideia e filtrar os multiplos de 4 dessa joça.Nada melhor que uma raiz quarta de 1, o numero i, para tal.
Substitua x por i,i^2,i^3 e i^4 para ver o que ocorre...Ai soma tudo!Alguns caras se cancelam, e os que sobrevivem dao uma expressao boa de calcular.,

Outro modo e :esta questao e de marcarX (ou seria ch?).Pegue unsvalores pequenos e faça um PIF.Central anti-spam do Yahoo! Mail: com dicas, dúvidas e curiosidades!

Re: [obm-l] Tentei ,tentei.....

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

Essa e mais uma forma do problema de Catalan.Talvez uma pesquisa na lista faça alguma luz...

Pedro Costa [EMAIL PROTECTED] wrote:




oi, turma 
me dê uma ajuda nesta questão:

2n pessoas foram ao cinema. Metade dessas pessoas trazia consigo apenas uma nota de cinco reais cada uma, a outra metade trazia consigo apenas uma nota de dez reais cada uma. O ingresso custa cinco rais e, inicialmente, o caixa está absolutamente sem dinheiro. A respeito dessa situação, existem exatamente quantas maneiras possíveis de se ordenar as 2n pessoas na fila de modo que sempre haja troco-- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. Central anti-spam do Yahoo! Mail: com dicas, dúvidas e curiosidades!

Re: [obm-l] Divisão da matemática...

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

Isto depende do que voce pretende.
O que seria aritmetica e algebra por exemplo?Isto sem contar que varios problemas pertencem a mais de uma area, por exemplo, 5,IMO 1996.Mas mais util seria dar definiçoes e nao apenas uma "divisao em topicos ou campos".
Eduardo de Melo Beltrão [EMAIL PROTECTED] wrote:
Olá caros amigos da lista. Estou fazendo um arquivo de questões resolvidas da Lista, e para não misturá-las estou tentando organizá-las por tópicos (campos) da matemática. Gostaria de saber como vocês dividiriam a matemática? Uma divisão bem simplória seria a Aritmética, a Álgebra e a Geometria, mas não estou conseguindo separar as questões. Se a divisão for realmente esta, gostaria de saber quais os assuntos que fazem parte de cada um deles. Aguardo respostas e sugestões. Agradeço antecipadamente pela vossa atenção. Abraços Eduardo Beltrão _Voce quer um iGMail protegido contra vírus e spams? Clique aqui: http://www.igmailseguro.ig.com.brOfertas imperdíveis! Link:
 http://www.americanas.com.br/ig/=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Central anti-spam do Yahoo! Mail: com dicas, dúvidas e curiosidades!

Re: [obm-l] re:Inequação do 3o grau

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

sqrt3(2x) - sqrt3(4)  5x -25 
Vamos trocar as notaçoes para algo menos estupido:
(2x)^(1/3) -(4)^(1/3)  5x -25 Se 2x^1/3=y, entao y-4^(1/3)5/2*y^3-25ou existe d0 tal que 

5y^3-2y+(32^(1/3)-50+d)=0

Agora se tiver algium modo plausivel poderiamos resolver a cubica.Mas isto seria inutil[EMAIL PROTECTED] wrote:
Essa eu fiz assim: sqrt3(2x) - sqrt3(4)  5x -25 Antes de mais nada eu prefiro a notacao: sqrt(a) = raiz quadrada (ingl. square root) cbrt(a) = raiz cubica (ing. cubic root) Entao a inequacao eh: cbrt(2x) - cbrt(4)  5x - 25 (2x)^(1/3) - 4^(1/3)  5(x - 5) ((2x)^(1/6))^2 - (2^(1/3)^)^2  5(x - 5) Temos uma diferenca de quadrados, entao: ((2x)^(1/6) - 2^(1/3)) * ((2x)^(1/6) + 2^(1/3))  5(x - 5) O primeiro membro eh multiplo de 5, logo terminara em 0 ou em 5! Vamos analisar por inspecao, comecando com o caso 0 e pegando o primeiro fator depois eh soh verificar: ((2x)^(1/6) - 2^(1/3)) = 0 ((2x)^(1/6) = 2^(1/3)) (2^(1/6))*(x^(1/6)) = 2^(1/3) (x^(1/6)) = (2^(1/3)) / (2^(1/6)) (x^(1/6)) = 2^(1/6)
 x=2 Substituindo na inequacao temos uma solucao sendo satisfeita !  Sent: Monday, December 29, 2003 8:05 AM Subject: [obm-l] Inequação do 3o gráu Qual a solução de sqrt3(2x) - sqrt3(4)  5x -25 sqrt3(2x) = raiz cúbica de 2x Central anti-spam do Yahoo! Mail: com dicas, dúvidas e curiosidades!

Re: [obm-l] como provar isso?

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

Temos 
k^5-k=k(k^4-1)=k(k^2-1)(k^2+1)=k(k-1)(k+1)(k^2+1)
30=2*3*5Modulo 2, ou k ou k-1 e par
Modulo 3, ou k ou k+1 ou k-1 da certo
Modulo 5, e mais chato...

k^2+1=k^2+1-5=k^2-2^2=(k-2)(k+2) (MOD 5)
logo k^5-k=k(k-1)(k+1)(k-2)(k+2) (MOD 5)
E acabou!

Will [EMAIL PROTECTED] wrote:
O que me lembra de um dos primeiros exercicios que resolvi no livro deTeoria dos Numeros da Colecao Matematica Universitaria. Prove que N^5 - N édivisível por 30 :-))Will- Original Message -From: "Ricardo Bittencourt" <[EMAIL PROTECTED]>To: <[EMAIL PROTECTED]>Sent: Fridaay, December 19, 2003 12:52 AMSubject: Re: [obm-l] como provar isso?Robson Jr wrote: Provar que para qualquer número inteiro k, os números k e k^5 terminam sempre com o mesmo algarismo (algarismo das unidades).Isso em base 10 né ?Se você não souber o pequeno teorema de Fermat,então dá pra demonstrar isso por indução finita. Se vocêsouber, então fica bem mais fácil!k^5=k (mod 10) é igual às duas afirmações abaixo:k^5=k (mod 2) e k^5=k (mod 5)A parte com mod 2 é simples, se k for
 ímpar,então k^5 é ímpar também e o mesmo vale pra pares.Pelo pequeno teorema de Fermat, k^(p-1)=1 (mod p)sempre que p for primo. Mas 5 é primo, então:k^(5-1)=1 (mod 5)k^4=1 (mod 5) e portanto:k^5=k (mod 5)Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk[EMAIL PROTECTED] "tenki ga ii kara sanpo shimashou"-- União contra o forward - crie suas proprias piadas --=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html==Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista
 emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Central anti-spam do Yahoo! Mail: com dicas, dúvidas e curiosidades!

Re: [obm-l] Números_Pitagóricos

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

Va na Eureka! [EMAIL PROTECTED] wrote:
No livro: Episódios da História Antiga da Matemática, de Asger Aaboe,traduzido por João Pitomberia de Carvalho, SBM, há em sua pág.32 o seguinteteorema:Se p e q tomam todos os valores inteiros, restritos somente pelasseguintes condições:1) p  q  0;2) p e q não possuem divisor comum (distinto de 1) e3) p e q não são ambos ímpares.Então as expressões: x=p^2 ? q^2; y=2pq e z=p^2 + q^2 fornecerãotodos os ternos pitagóricos reduzidos, e cada terno somente uma vez.Pergunto: Como demonstrar tal teorema?Nas notas de rodapé, há afirmação que uma demonstração para talteorema está em H.Rademacher e O.Toeplitz, secção 14, p.88, porém, nãotenho tal livro.Assim, solicito, por obséquio, uma demonstração.ATT. João
 Carlos=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Central anti-spam do Yahoo! Mail: com dicas, dúvidas e curiosidades!

Re: [obm-l] um artigo de Kvant

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

Eu tenho este artigo em ingles.Ce deve saber que nao tenho ´paciencia de escrever muito, logo apenas para que voce saiba a demo da revista e longa e sem muita imaginaçao.Trata-se de considerar o polinomio cujas raizes sao os cossenos, e usando algumas formulas de Girard-Cardano-Viete, determinar o polinomio cujas raizes sao as raizes cubicas destes mesmos cossenos.O artigo e otimo!
Depois talvez eu mande...
PS.:Se for o caso pegue o tradutor do Altavista!Luis Lopes [EMAIL PROTECTED] wrote:
Sauda,c~oes,Numa pergunta sobre a origem da fórmulacos(2Pi/7)^(1/3) + cos(4Pi/7)^(1/3) + cos(8Pi/7)^(1/3) == ((5-3*7^(1/3))/2)^(1/3)Sergei Markelov mandou-me a msg que segueabaixo. A fórmula em questão é a (2) na p.52.Sendo de Ramanujan, alguém teria uma referênciaonde ele a demonstra?O artigo está em russo e para mim e para muitosserve apenas como curiosidade. O engraçado éque pensava no Paulo Santa Rita (acho que elelê russo) e quase ao mesmo tempo da chegadada msg do Sergei chegava uma dele para umoutro grupo do qual também faço parte( [EMAIL PROTECTED] ).[]'sLuis===I took this formula from magazine "Kvant" (well-known in Russiamagazine for students, who love mathematics), number 6, year 1988,page 52-55.We in our archive have scanned copies of (almost)
 all articles fromKvant. This article can be found at:http://kvant.mccme.ru/1988/06/tri_formuly_ramanudzhana.htmWell, article is in Russian, but anyway you can have a look at theformulas (there about 10 like this inside the article).According to the author (Shevelev V.), first 3 formulas are due toSrinivasa Ramanujan, while the other formulas were made by authorhimself.Sergei=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Central anti-spam do Yahoo! Mail: com dicas, dúvidas e curiosidades!

Re: [obm-l] ITA - AJUDA

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

E mais ou menos isto.Se eu achar algo do ITA eu aviso.
Mas nao ha muito o que fazer no vestibular a nao ser MUITA dedicaçaoe disposiçao mesmo.LEANDRO L RECOVA [EMAIL PROTECTED] wrote:





Douglas,

Uma otima dica seria voce resolver o maximo de provas anteriores do ITA. Isso vai te dar uma ideia de onde voce precisa atacar mais. 

Leandro

- Original Message - 
From: Douglas Xavier 
To: [EMAIL PROTECTED] 
Sent: Sunday, December 14, 2003 8:46 AM
Subject: [obm-l] ITA - AJUDA
Bom, meu nome é Douglas, estou estudando desde já para o ITA de 2004, andei lendo alguns comentários anteriores da obm-l referentes ao assunto, mas gostaria de saber se alguém tem alguma prova anterior a 1990. Estou estudando pelos livros Matemática - (Versão Progressões de José Ruby Giovanni e José Roberto Bonjorno - tenho ós 3 volumes), Física - (Paraná de Djalma Nunes da Silva Paraná e Anglo Latino), Química - (5ª Edição - Feltre, tenho os 3 volumes). Gostaria de saber se esses livros são adequados e se alguém conhece algum melhor pra recomendar. Obrigado pela atenção.Douglas Xavier. -- POP. Nem parece internet grátis. Seja POP você também!Acesse: http://www.pop.com.br/discador.html e baixe o POPdiscador.=Instruções
 para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Central anti-spam do Yahoo! Mail: com dicas, dúvidas e curiosidades!

Re: [obm-l] Preparação para ITA/IME

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

Minha melhor dica ainda e a Eureka!wwrmesquita [EMAIL PROTECTED] wrote:
Meu nome é Wesley, estudante de ensino médio (2ª p/ 3ª série), e desde certo tempo tenho pensado em ingressar em instituicoes como ita e ime por suas caracterisricas academicas. Porém, como nao passei ainda por instituicoes de elite, nao tenho uma base solida de conhecimento para ter sucesso em exames vestibulares tao disputados, apesar do estudo paralelo que faço. Assim, meu objetivo ao entrar nesta lista foi justamente poder ter contato com pessoas mais experientes que possam gradualmente me orientar sobre as maneiras mais eficientes de absorver o conteudo e treinar o raciocinio para enfrentar tais prova. Agradeco qualquer sugestao. (indicação de livros, por exemplo). Obrigado.__Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela.AntiPop-up
 UOL - É grátis!http://antipopup.uol.com.br/=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Central anti-spam do Yahoo! Mail: com dicas, dúvidas e curiosidades!

Re: [obm-l] Geometria Plana

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

O ITA nao faz mais provas de DG como antes(talvez uma questao ou outra...).Bem,agora o Shine lançou o melhor artigo de geometria de toda a Eureka! e voces podem se divertir com os poderes da geometria paulista
Te mais!!!
Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] wrote:
Oi, pessoal:Aqui vao minhas dicas pra quem quer se preparar pra provas de geometriaplana:Eu gosto muito do vol. 9 (Geometria Plana) da colecao Fundamentos daMatematica Elementar, o qual, por sinal, nao foi escrito pelo Iezzi, mas simpor Osvaldo Dolce e Jose Nicolau Pompeo. Acho uma otima introducao aoassunto, razoavelmente completa e com muitos problemas. Minha unica criticaeh que o livro tem exercicios rotineiros demais e problemas-desafio demenos.Essa deficiencia pode ser compensada com o excelente "Geometry Revisited",de autoria de H.S.M.Coxeter e S.L.Greitzer e publicado pela MathematicalAssociation of America. Eh uma grande ajuda pra quem vai prestar IME ou ITAe imprescindivel pra quem vai participar de alguma olimpiada. Desvantagens:eh em ingles e tem que ser importado - custa US$ 18,95 (+ frete) na
 livrariavirtual da MAA. Veja o site:http://mirror.math.nankai.edu.cn/mirror/www.maa.org/pubs/books/nml19.htmlNao sei se o ITA ainda tem a prova de desenho geometrico, mas se aindativer, o livro Construcoes Geometricas, do Eduardo Wagner - publicado pelaSBM (Colecao Professor de Matematica) - eh o que voce precisa pra sepreparar. O unico problema eh que o livro nao tem solucoes pros problemaspropostos. Mas isso nao deve ser um grande empecilho. Se voce estiverempacado em algum problema (e isso significa que voce passou pelo menos uns3 dias tentando, sem sucesso, resolve-lo), mande uma mensagem pra lista queha uma boa chance de alguem (inclusive o proprio autor) te dar alguma dica.Uma vez que voce tenha dominado o conteudo desses tres livros, voce estarahapto a testar suas habilidades com os problemas de geometria contidos nasEurekas (todos de nivel olimpico), alem de complementar sua formacao com osotimos artigos lah
 contidos. Pra quem nao sabe (vergonha!), a Eureka! eh umapublicacao da OBM devotada a preparacao de candidatos para olimpiadas dematematica. Veja o site:http://www.obm.org.br/eureka.htmUm abraco,Claudio.=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Central anti-spam do Yahoo! Mail: com dicas, dúvidas e curiosidades!

Re: [obm-l] Quais_os_livros_ideiais__para_a_admissão_no_ITA/IME

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

Bem,este e mais ou menos o lugar certo...No ITA o conteudo (normalmente) nao foge muito ao que se ensina o colegio mesmo...Pelo menos em matematica eles exigem muita paciencia para resolver contas gigantes (ou saber uns truquinhos sujos para as contas irem mais rapido...)

De vez em quando algo cabuloso nas outras materias mas nada que um bom treino nao resolva...
Allan Al Haj Naves Pereira [EMAIL PROTECTED] wrote:




Não sei se é bem este o propósito da lista, mas entrei no google e procurei por "livros ITA e IME" e os primeiros resultados foram retirados desta lista.Por isso, creio que aqui é o lugar onde devo fazer as seguintes perguntas:
1-)Quais os livros são ideais para estudar Matematica, Física e Química para ingressar no ITA ou IME?

2-)Qual o conteúdo programático cobrado no ITA/IME?

Atenciosamente,
Allan

P.S. Desculpem-me se este não for o propósito da lista, mas por favorrespondam-me pois o único lugar que mencionam algo a respeito de livros para a admissão no ITA/IME foi nesta lista.Central anti-spam do Yahoo! Mail: com dicas, dúvidas e curiosidades!

Re: [obm-l] Números quase perfeitos!

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

Tente uma contagem dupla ou algo assim...Central anti-spam do Yahoo! Mail: com dicas, dúvidas e curiosidades!

Re: [obm-l] a utilidade das desigualdades

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

Ah ta, e verdade
Valeu por adiantar meu trabalho

9(p+2c)+c=100 
Veja que 100 deixa resto um por 9.Logo c deixa resto 1 por 9.Ou seja, e um cara do tipo c=9K+1.Agora continue, e so substituir!
[EMAIL PROTECTED] wrote:
Tem certeza que t+10p+20c=1000 ? Nao seria t+10p+20c= 200 ? Se vc errou nessa parte entao ficaria: t+p+c=100 t+10p+20c=200 Agora isole o t Temos 100-p-c=200-10p-20c 9p+19c=100 9p+18c+c=100 9(p+2c)+c=100 E agora como continuar ? Pois minha duvida estah na parte de colocar os produtos no set-up, no caso de sua resolucao foi o 9K, ja na solucao que enviei foi o 10s e 19 s. Nao precisa resolver a questao apenas me diga de onde vem estes elementos ? Qual o raciocinio ? Por favor ! Em uma mensagem de 11/12/2003 19:41:18 Hor. de verão leste da Am. Su, [EMAIL PROTECTED] escreveu: 
Na verdade isto e uma equaçao diofantina linear tartarugas R$0,5 porcos R$5,00 cavalos R$10,00 Voce tem que gastar exatamente 100 reais e comprar 100 animais. t+p+c=100 t+10p+20c=1000 Agora isole o t Temos 100-p-c=1000-10p-20c 9p+19c=900 9p+18c+c=900 9(p+2c)+c=900 c=9k com k inteiro. Logo p+18k+k=100 p=100-19k c=9k t=200-10k Este e um dos metodos de resolver diofantinas. Pelo que eu ja vi ai ele usou desigualdades no inicio,para limitar as soluçoes. Como nao tem la muito sentido um porco negativo(a nao ser que seja um porco feito de antimateria ) temos que p,t e c sao positivos. Ai continue! [EMAIL PROTECTED] wrote: 
Ola pessoal, A questao abaixo nao eh nem um pouco original para mim, pois ja tinha visto varias formas dela por ai. O que eh bastante novo para mim, foi a maneira como ela foi resolvida, visto que em qualquer canto que eu encontro uma parecida eu vejo uma solucao utilizando sistemas lineares, determinantes e afins. Desta vez vi uma solucao utilizando desigualdades. Minha duvida esta no corpo da mensagem em maiuscula. Questao: Ha tartarugas, porcos and cavalos para venda. tartarugas R$0,5 porcos R$5,00 cavalos R$10,00 Voce tem que gastar exatamente 100 reais e comprar 100 animais. Solucao: Vamos arbitrar as incognitas, sendo: t: tartarugas, p: porcos, c= (100-p-t): cavalos. Entao, 0,5t+5p+10(100-p-t)=100 5t+50p+100(100-p-t)=1000 95t+50t=9000 19t+10p=1800
  Enquanto, 19(-1)+10(2)= 1 19(-1800)+10(3600)=1800 19(-1800+10s)+10(3600-19s)=1800 (DÚVIDA: POR QUE NA EQUACAO ACIMA APARECEU AS PARCELAS 10s E 19s ? EU SEI QUE t, p e c ESTAO ENTRE 0 E 100, LOGO DEVE HAVER UM CORRETIVO DENTRO DOS PARENTESES PARA CORRIGIR O SINAL NEGATIVO-TRANSFORMANDO-O EM POSITIVO- PARA ADEQUAR A EQUACAO AO PROBLEMA. MAS MINHA DUVIDA EH: POR QUE FOI SOMADO AO -1800 O 10S ? QUAL SERIA A IMPROPRIEDADE DE SOMA-LO COM O 19S? A MESMA PERGUNTA REFERENTE AO 3600. POR QUE NAO SUBTRAIR DO 3600 O 10S AO INVES DO-19 COMO FOI FEITO ?)  Logo  100=(t=-1800+10s)=0 (I) 100=(p=3600-19s)=0 (II)  1900=(10s)=1800(I) 3600=(19s)=3500(II) 190=(s)=180(I) (3600/19)=(s)=(3500/19)(II) 189=(s)=185(I and II)  Por outro lado, 100=(c=100-p-t=100-(-1800+10s)-(3600-19s))=0
 200=s=189  Entretanto, s=189.And t=-1800+1890=90, p=3600-19*189=9 c=1 Resp: 90 tartarugas, 9 porcos, and 1 cavalo. Yahoo! Mail - 6MB, anti-spam e antivírus gratuito. Crie sua conta agora!

Re: [obm-l] a utilidade das desigualdades

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

Na verdade isto e uma equaçao diofantina lineartartarugas R$0,5 porcos R$5,00 cavalos R$10,00 Voce tem que gastar exatamente 100 reais e comprar 100 animais. 
t+p+c=100
t+10p+20c=1000
Agora isole o t
Temos
100-p-c=1000-10p-20c
9p+19c=900
9p+18c+c=900
9(p+2c)+c=900
c=9k com k inteiro.
Logo p+18k+k=100
p=100-19k
c=9k
t=200-10k

Este e um dos metodos de resolver diofantinas.

Pelo que eu ja vi ai ele usou desigualdades no inicio,para limitar as soluçoes.
Como nao tem la muito sentido um porco negativo(a nao ser que seja um porco feito de antimateria ) temos que p,t e c sao positivos.
Ai continue![EMAIL PROTECTED] wrote:
Ola pessoal, A questao abaixo nao eh nem um pouco original para mim, pois ja tinha visto varias formas dela por ai. O que eh bastante novo para mim, foi a maneira como ela foi resolvida, visto que em qualquer canto que eu encontro uma parecida eu vejo uma solucao utilizando sistemas lineares, determinantes e afins. Desta vez vi uma solucao utilizando desigualdades. Minha duvida esta no corpo da mensagem em maiuscula. Questao: Ha tartarugas, porcos and cavalos para venda. tartarugas R$0,5 porcos R$5,00 cavalos R$10,00 Voce tem que gastar exatamente 100 reais e comprar 100 animais. Solucao: Vamos arbitrar as incognitas, sendo: t: tartarugas, p: porcos, c= (100-p-t): cavalos. Entao, 0,5t+5p+10(100-p-t)=100 5t+50p+100(100-p-t)=1000 95t+50t=9000
 19t+10p=1800  Enquanto, 19(-1)+10(2)= 1 19(-1800)+10(3600)=1800 19(-1800+10s)+10(3600-19s)=1800 (DÚVIDA: POR QUE NA EQUACAO ACIMA APARECEU AS PARCELAS 10s E 19s ? EU SEI QUE t, p e c ESTAO ENTRE 0 E 100, LOGO DEVE HAVER UM CORRETIVO DENTRO DOS PARENTESES PARA CORRIGIR O SINAL NEGATIVO-TRANSFORMANDO-O EM POSITIVO- PARA ADEQUAR A EQUACAO AO PROBLEMA. MAS MINHA DUVIDA EH: POR QUE FOI SOMADO AO -1800 O 10S ? QUAL SERIA A IMPROPRIEDADE DE SOMA-LO COM O 19S? A MESMA PERGUNTA REFERENTE AO 3600. POR QUE NAO SUBTRAIR DO 3600 O 10S AO INVES DO-19 COMO FOI FEITO ?)  Logo  100=(t=-1800+10s)=0 (I) 100=(p=3600-19s)=0 (II)  1900=(10s)=1800(I) 3600=(19s)=3500(II) 190=(s)=180(I) (3600/19)=(s)=(3500/19)(II) 189=(s)=185(I and II)  Por outro lado, 100=(c=100-p-t=100-(-1800+10s)-(3600-19s))=0
 200=s=189  Entretanto, s=189.And t=-1800+1890=90, p=3600-19*189=9 c=1 Resp: 90 tartarugas, 9 porcos, and 1 cavalo. Yahoo! Mail - 6MB, anti-spam e antivírus gratuito. Crie sua conta agora!

Re: [obm-l] MDC de Impares

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

Por metra imposiçao sem muitas especificaçoes.Da pra dividir por dois e nada muda mesmo...Anderson [EMAIL PROTECTED] wrote:
Pq da restricao a e b impares? Parece que a demonstracao vale tambem para pares. Carlos Maçaranduba wrote:   Como provo que , dado a e b tais que  a e b impares  positivos e a  b, sendo d = mdc(a,b) , entao d tambem  poderá ser   d = mdc(a - b , b)  Se d=mdc(a,b), então a=Ad e b=Bd, e mdc(A,B)=1.  Logo mdc(a-b,b)=mdc(Ad-Bd,Bd)=d.mdc(A-B,B)  Vamos agora por contradição: Suponha que mdc(A-B,B)=k, com k diferente de 1.  Então A-B=rk e B=sk. Mas isso implica em  A=rk+B=rk+sk=(r+s)k. Logo k é fator comum de A e B, portanto mdc(A,B)=k, o que contradiz a hipótese de mdc(A,B)=1. Logo mdc(A-B,B)=1 e com isso concluímos que
 mdc(a-b,b)=d.1=d__Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela.AntiPop-up UOL - É grátis!http://antipopup.uol.com.br/=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Yahoo! Mail - 6MB, anti-spam e antivírus gratuito. Crie sua conta agora!

Re: [obm-l] Re: [obm-l] Permutaçoes com pilhas.

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

O Nicolau ja mandou uma referencia completissima.se quiser uma citaçao rapida va na Eureka!Guilherme Carlos Moreira e Silva [EMAIL PROTECTED] wrote:

eu ouco vc's falarem em numeros de cetalan sem saber o q eh.
alguem poderia explicar ou dar um link onde eu possa encontrar uma dissertacao sobre eles ?

desde jeh agradeco.[EMAIL PROTECTED] wrote:
Se nao me engano isto e um numero de Catalan.Tente criar uma bijeçaocomo problema dos trenzinhos que o Helder suzuki postou na lista.Qiue tal a gente colecionar na lista varios problemas de Catalan?-- Mensagem original --Em uma aula de computação me deparei com o seguinte problema :"Suponha que  os inteiros 1, 2, 3 e 4 são lidos nesta ordem. Considerandotodas as possíveis seqüências de operações de empilhar e desempilhar, decida quais da 4! (=24) permutações de 1,2,3,4 podem ser obtidas na saída de uma pilha. Por exemplo, a permutação 2,3,1,4 pode ser obtida daseguinte forma: empilha 1, empilha 2, desempilha 2, empilha 3, desempilha 3, desempilha 1, empilha 4, desempilha 4. "Fiz na força bruta. Me parece que são 10 permutacoes possiveis.Pergunto m! ais
 genericamente agora...se eu tivesse os inteiros 1,2...n lidos nesta ordem, QUANTAS das n! permutacoes de 1,2,3...n podem ser obtidas na saida de uma pilha ?* Definição de pilha :Uma pilha é uma estrutura de dados que admite remoção de elementos e inserção de novos elementos. Mais especificamente, uma pilha (= stack) é uma estrutura sujeita à seguinte regra de operação: sempre que houver uma remoção, o elemento removido é o que está na estrutura há menos tempo.Em outras palavras, o primeiro objeto a ser inserido na pilha é o últimoa ser removido. Essa política é conhecida pela sigla LIFO (= Last-In-First-Out).=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista
 emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=--Use o melhor sistema de busca da InternetRadar UOL - http://www.radaruol.comm.br=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=


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Re: [obm-l] duvida/matriz

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

O jeito e demonstrar na porrada mesmo!Tente ver o caso 2*2 pra se habituar, veja no caso 3*3n e depois tente generalizar.
Da pra usar algelin mais pesada mas nao e necessario[EMAIL PROTECTED] wrote:
OláTenho a seguinte dúvida:Como provo o seguinte teorema?A . adj (A) = det (A) . IGratoDouglas--Use o melhor sistema de busca da InternetRadar UOL - http://www.radaruol.comm.br=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Yahoo! Mail - 6MB, anti-spam e antivírus gratuito. Crie sua conta agora!

Re: [obm-l] duvida/matriz

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

O jeito e demonstrar na porrada mesmo!Tente ver o caso 2*2 pra se habituar, veja no caso 3*3 e depois tente generalizar.
Da pra usar algelin mais pesada mas nao e necessario[EMAIL PROTECTED] wrote:
OláTenho a seguinte dúvida:Como provo o seguinte teorema?A . adj (A) = det (A) . IGratoDouglas--Use o melhor sistema de busca da InternetRadar UOL - http://www.radaruol.comm.br=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Yahoo! Mail - 6MB, anti-spam e antivírus gratuito. Crie sua conta agora!

Re: [obm-l] Demonstração

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

Bem,primeiro provar que (sen x)/x1 e facil,olhe o ciclo trigonometrico com sen xx
A outra parte nao parece tao cabulosa...cos x/sen x1/x ou tg xx que e obvio no cicloCloves Jr [EMAIL PROTECTED] wrote:







Olá pessoal,

Estou tendo problemas na resolução da seguinte demonstração:

Preciso demonstrar que cos(x)  sen(x)/x  1

A demonstração de que o cos(x) e o sen(x)/x são menor do que 1 eu consegui fazer, o problema é quando preciso provar que cos(x)  sen(x)/x.

Desde já agradeço qualquer ajuda.

Abraços

Cloves JrYahoo! Mail - 6MB, anti-spam e antivírus gratuito. Crie sua conta agora!

Re: [obm-l] dúvida 2

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

Bem,quem ta a fim de calcular cos pi/17?Rafael [EMAIL PROTECTED] wrote:
Achei a minha resolução:Sabendo que:cos 3x = 4cos³ x - 3cos xsen 3x = 3sen x - 4sen³ xPodemos fazer:= cos 5x= cos (3x + 2x)= (cos 3x).(cos 2x) - (sen 3x).(sen 2x)= (4cos³ x - 3cos x).(cos² x - sen² x) - (3sen x -4sen³ x).[2.(sen x).(cos x)]= 4.(cos x)^5 - 4.(cos³ x).(sen² x) - 3cos³ x + 3.(cosx).(sen² x) - [6.(sen² x).(cos x) - 8.(cos x).(senx)^4]= 4.(cos x)^5 - 4cos³ x + 4.(cos x)^5 - 3cos³ x + 3cosx - 3cos³ x - [6cos x - 6cos³ x - 8.(cos x).(1 - cos²x)²]= 8.(cos x)^5 - 10cos³ x + 3cos x - {6cos x - 6cos³ x- 8.(cos x).[1 - 2cos² x + (cos x)^4]}= 8.(cos x)^5 - 10cos³ x + 3cos x - [6cos x - 6cos³ x- 8cos x + 16cos³ x - 8.(cos x)^5]= 8.(cos x)^5 - 10cos³ x + 3cos x - [10cos³ x - 2cos x- 8.(cos x)^5]= 8.(cos x)^5 - 10cos³ x + 3cos x - 10cos³ x + 2cos x+ 8.(cos x)^5= 16.(cos x)^5 -
 20cos³ x + 5cos xE resolvemos a equação:x = 18°cos 5x = cos 90°cos 5x = 016.(cos x)^5 - 20cos³ x + 5cos x = 0(cos x).[16.(cos x)^4 - 20cos² x + 5] = 0Ou cos x = 0, que é falso no caso de 18°, ou:16.(cos x)^4 - 20cos² x + 5 = 0cos² x = [10 +- raiz(20)]/16cos x = raiz[10 +- 2raiz(5)]/4Precisamos descobrir o sinal dentro da raiz. Como 18está próximo de 15° e o cosseno de 15° é:cos 15 = [raiz(2) + raiz(6)]/4cos 15 = 0,966O valor de cos 18 tem que estar próximo disso:cos 18 = raiz[10 +- 2raiz(5)]/4raiz[10 + 2raiz(5)]/4 = 0,951raiz[10 - 2raiz(5)]/4 = 0,588Daí concluímos que:cos 18 = raiz[10 + 2raiz(5)]/4E podemos achar o seno de 18° também:sen² 18° = 1 - cos² 18°sen² 18° = 1 - [10 + 2raiz(5)]/16sen² 18° = [6 - 2raiz(5)]/16sen 18° = raiz[6 - 2raiz(5)]/4sen 18° = raiz{[raiz(5) - 1]²}/4sen 18° = [raiz(5) - 1]/4Abraços,Rafael.---
 Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet<[EMAIL PROTECTED]>escreveu: Verdade...E bem mais fazcil do que eu imaginava... Mas a ideia e de que quase sempre e possivel ver um poligono regular...E eu estava tentando uma resposta cearense  Rafael <[EMAIL PROTECTED]>wrote: Peter,  Você que gosta, uma vez eu achei esse valor usando trigonometria assim: Ache o cos 5x em função do cos x cos 5x = (cos 2x).(cos 3x) - (sen 3x).(sen 2x)  E quando chegar numa expressão só em função de cos x você iguala cos 5x = cos 90°  Não foi tão difícil...  Abraços,  Rafael.  --- Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet  escreveu:  Nao faço muita ideia mas acho que usa o fatoo de que  o angulo central e o angulo externo de um 20-agono e  de dezoito
 graus.Isto tem a ver com o problema que  Gauss resolveu com Galois  Talvez usando trigonometria saia...Tente assim:faça  um desenho e calcule o lado de um 20-agono de raio  1.Talvez seja facil ver que para construir esta  coisa e mais facil ver um pentagono ou um  decagono...[EMAIL PROTECTED] wrote:  quanto vale o sen18º como calculo __Yahoo! Mail: 6MB, anti-spam e antivírus gratuito! Crie sua conta agora:http://mail.yahoo.com.br=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Yahoo! Mail - 6MB, anti-spam e antivírus gratuito. Crie sua conta agora!

RE: [obm-l] Permutacoes Caoticas

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

O modo mais facil de ver o belo nome e pensando no problema que Euler resolveu:de quantos modos um carteiro com n cartas erra o endereço de todas?E claro que tudo entre essas casasArtur Coste Steiner [EMAIL PROTECTED] wrote:
Obrigado, Claudio!O nome permutacao caotica eh um tanto estranho, certo?ArturCorrecao: abaixo, onde eu disse funcao, deveria ter dito BIJECAO...assim, uma permutacao caotica de [n] eh uma bijecao F: [n] - [n] sempontosfixos. ===Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Yahoo! Mail - 6MB, anti-spam e antivírus gratuito. Crie sua conta
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Re: [obm-l] dúvida 2

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

Verdade...E bem mais fazcil do que eu imaginava...
Mas a ideia e de que quase sempre e possivel ver um poligono regular...E eu estava tentando uma resposta cearenseRafael [EMAIL PROTECTED] wrote:
Peter,Você que gosta, uma vez eu achei esse valor usandotrigonometria assim:Ache o cos 5x em função do cos xcos 5x = (cos 2x).(cos 3x) - (sen 3x).(sen 2x)E quando chegar numa expressão só em função de cos xvocê iguala cos 5x = cos 90°Não foi tão difícil...Abraços,Rafael.--- Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet<[EMAIL PROTECTED]>escreveu:  Nao façomuita ideia mas acho  que usa o fato de que o angulo central e o angulo externo de um 20-agono e de dezoito graus.Isto tem a ver com o problema que Gauss resolveu com Galois Talvez usando trigonometria saia...Tente assim:faça um desenho e calcule o lado de um 20-agono de raio 1.Talvez seja facil ver que para construir esta coisa e mais facil ver um pentagono ou um decagono...
  [EMAIL PROTECTED] wrote: quanto vale o sen18º como calculo __Yahoo! Mail: 6MB, anti-spam e antivírus gratuito! Crie sua conta agora:http://mail.yahoo.com.br=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Yahoo! Mail - 6MB, anti-spam e antivírus gratuito. Crie sua conta agora!

Re: [obm-l] dúvida 2

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

Ah,ja contei como o Gauss construiu o poligono de 17 lados?Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet [EMAIL PROTECTED] wrote:

Verdade...E bem mais fazcil do que eu imaginava...
Mas a ideia e de que quase sempre e possivel ver um poligono regular...E eu estava tentando uma resposta cearenseRafael [EMAIL PROTECTED] wrote:
Peter,Você que gosta, uma vez eu achei esse valor usandotrigonometria assim:Ache o cos 5x em função do cos xcos 5x = (cos 2x).(cos 3x) - (sen 3x).(sen 2x)E quando chegar numa expressão só em função de cos xvocê iguala cos 5x = cos 90°Não foi tão difícil...Abraços,Rafael.--- Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet<[EMAIL PROTECTED]>escreveu:  Nao façomuita ideia mas acho  que usa o fato de que o angulo central e o angulo externo de um 20-agono e de dezoito graus.Isto tem a ver com o problema que Gauss resolveu com Galois Talvez usando trigonometria saia...Tente assim:faça um desenho e calcule o lado de um 20-agono de raio 1.Talvez seja facil ver que para construir esta coisa e mais facil ver um pentagono ou um decagono...
  [EMAIL PROTECTED] wrote: quanto vale o sen18º como calculo __Yahoo! Mail: 6MB, anti-spam e antivírus gratuito! Crie sua conta agora:http://mail.yahoo.com.br=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=


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Re: [obm-l] Permutacoes Caoticas

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

Eu ja propus isto ha algum tempo!
Sera que a serie formal da permutaçao caotica e mais legal do que parece?
Aqui vai mais um problema dificil (pra mim!):Seja D(n) = numero de permutacoes caoticas do conjunto {1,2,...,n}.Ou seja, D(1) = 0, D(2) = 1, D(3) = 2, D(4) = 9, D(5) = 44, ...De uma demonstracao COMBINATORIA de que D(n) = n*D(n-1) + (-1)^n.Um abraco,Claudio.=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Yahoo! Mail - 6MB, anti-spam e antivírus gratuito. Crie sua conta agora!

Re: [obm-l] dúvida

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

Tente usar a ideia do gauss de soma de PA[EMAIL PROTECTED] wrote:
(Ime-RJ) Considere todos os numeros de cinco algarismos formados pela justaposiçao de 1,3,5,7 e 9 em qualquer ordem, sem repetiçao. A soma de todos esses numeros está entre: a)5.10^6 e 6.10^6 b)6.10^6 e 7.10^6 c)7.10^6 e 8.10^6 d)9.10^6 e 10.10^6 e)10.10^6 e 11.10^6 _Voce quer um iGMail protegido contra vírus e spams? Clique aqui: http://www.igmailseguro.ig.com.brOfertas imperdíveis! Link: http://www.americanas.com.br/ig/=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Yahoo! Mail - 6MB, anti-spam e antivírus gratuito. Crie sua conta agora!

Re: [obm-l] dúvida 2

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

Nao faço muita ideia mas acho que usa o fato de que o angulo central e o angulo externode um 20-agono e de dezoito graus.Isto tem a ver com o problema que Gauss resolveu com Galois
Talvez usando trigonometria saia...Tente assim:faça um desenho e calcule o lado de um 20-agono de raio 1.Talvez seja facil ver que para construir esta coisa e mais facil ver um pentagono ou um decagono...[EMAIL PROTECTED] wrote:
quanto vale o sen18º como calculo  _Voce quer um iGMail protegido contra vírus e spams? Clique aqui: http://www.igmailseguro.ig.com.brOfertas imperdíveis! Link: http://www.americanas.com.br/ig/=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Yahoo! Mail - 6MB, anti-spam e antivírus gratuito. Crie sua conta agora!

Re: [obm-l] AJUDA?????

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

Reversas sao retas que nao podem estar num mesmo plano[EMAIL PROTECTED] wrote:
PODERIA DEFINIR OQUE É RETAS REVERSAS. QUANTAS RETAS REVERSAS TEM UM CUBO ? _Voce quer um iGMail protegido contra vírus e spams? Clique aqui: http://www.igmailseguro.ig.com.brOfertas imperdíveis! Link: http://www.americanas.com.br/ig/=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Yahoo! Mail - 6MB, anti-spam e antivírus gratuito. Crie sua conta agora!

Re: [obm-l] Re:[obm-l]_RE:Re:_[obm-l]_Radiciação_em_Complexos

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

E, todo esse resumo teorico e util quando se acha Ro e Theta logo de cara...jaofisica [EMAIL PROTECTED] wrote:
Pô, acho q dá pra fazer mais tranquilamente pela radiciação da forma trigonométrica, não?Tipo, usando:[Raiz[n](Rô)]*cis[(2kpi+THETA)/n]Sendo q "n" é o índice da radiciação, "Rô" é o módulo do numero complexo, "THETA" é o argumento do número complexo, e "k" assume valores de 0 até n-1 ( no caso da raiz cúbica, assume: 0,1 e 2, para possuir 3 raízes ).Certo?Se eu tiver falado alguma besteira me corrijam.Abraços,João Paulo Carvalho AveiroVestibulando, Engenharia Eletrônica. Caro Fábio, obrigado por sua atenção em responder a minha dúvida. O item b,  tudo bem, este eu entendi direitinho, mas no item a, desculpe-me se eu  estiver errado, vc considerou a, b E Z(a e b pertencentes aos inteiros), o  que foi bastante útil, pois resolveu a questão. O caso é: vc fez isso tipo 
 considerando uma hipótese? Poderei fazer o mesmo em questões semelhantes? Há  uma outra saída para esta questão?  Desde já grato, engdacomp   From: Fabio Dias Moreira <[EMAIL PROTECTED].br Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Radiciação em Complexos Date: Sat, 29 Nov 2003 18:21:38 -0200   On 11/29/03 12:24:34, Raniere Luna Silva wrote: Por gentileza, se alguem puder me ajudar ficarei grato. Tenho o seguinte problema: ... Calcule: a) raiz_cúbica( -11 - 2i)
 [...]  (a + bi)^2 = -11-2i (a^3 - 3ab^2) + i(3a^2b - b^3) = -11-2i  Logo  a(a^2 - 3b^2) = -11 b(3a^2 - b^2) = -2  Note que inverter o sinal de a ou de b só afeta o sinal de uma equação;  logo basta resolver o sistema em módulo.  Olhando para a primeira equação, e usando o fato de que 11 é primo, |a| só  pode valer 1 ou 11. Se |a| = 11, |a^2 -3b^2| = 1, que é impossível. Logo  |a| = 1 e |3b^2 -1| = 11 = |b| = 2. Não é muito difícil concluir que a =  1, b = 2. Logo (1+2i)^3 = -11-2i; as outras raízes cúbicas podem ser  encontradas muliplicando por cis 120.  [...] b) raiz_quarta(28 - 96i) [...]  Tire duas raízes quadradas em sucessão.  sqrt(28
 - 96i) = 2*sqrt(7 - 24i).  (a+bi)^2 = 7 - 24i (a^2 - b^2) + 2abi = 7 - 24i  a^2 - b^2 = 7 ab = -12  Existem duas soluções (a, b) = (-4, 3) ou (a, b) = (4, -3). Podemos tomar  qualquer uma delas (por exemplo, 4 - 3i).  sqrt(2 * (4 - 3i)) = sqrt(8 - 6i)  a^2 - b^2 = 8 ab = -3  Tome uma solução qualquer (por exemplo, (a, b) = (3, -1)). Então  (3-i)^4 = 28 -96i. Gere as outras raízes quadradas multiplicando por cis  90 = i.  []s,  -- Fábio "ctg \pi" Dias Moreira GPG key ID: 6A539016BBF3190A (available at wwwkeys.pgp.net)  attach3   _ MSN Messenger:
 converse com os seus amigos online.  http://messenger.msn.com.br  = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar alista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela.AntiPop-up UOL - É grátis!http://antipopup.uol.com.br/=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Yahoo! Mail - 6MB, anti-spam e antivírus gratuito. Crie sua conta agora!

Re: [obm-l] RE:Re: [obm-l] Radiciação em Complexos

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

Bem, posso dizer que as vezes confiar na sorte ajuda...
Ele supos inteiros para tentar agilizar apenas.
Geralnmente quando apresentam questoesb e se resolve assim muita gente pergunta:tem outro jeiuto de fazer sem usar isso?
ai eu respondo:tente voce!Por exemplo, isoleb nas duas e veja aonde isto vai dar...Raniere Luna Silva [EMAIL PROTECTED] wrote:
Caro Fábio, obrigado por sua atenção em responder a minha dúvida. O item b, tudo bem, este eu entendi direitinho, mas no item a, desculpe-me se eu estiver errado, vc considerou a, b E Z(a e b pertencentes aos inteiros), o que foi bastante útil, pois resolveu a questão. O caso é: vc fez isso tipo considerando uma hipótese? Poderei fazer o mesmo em questões semelhantes? Há uma outra saída para esta questão?Desde já grato,engdacompFrom: Fabio Dias Moreira <[EMAIL PROTECTED]>Reply-To: [EMAIL PROTECTED]To: [EMAIL PROTECTED]Subject: Re: [obm-l] Radiciação em ComplexosDate: Sat, 29 Nov 2003 18:21:38 -0200On 11/29/03 12:24:34,
 Raniere Luna Silva wrote:Por gentileza, se alguem puder me ajudar ficarei grato.Tenho o seguinte problema:...Calcule:a) raiz_cúbica( -11 - 2i)[...](a + bi)^2 = -11-2i(a^3 - 3ab^2) + i(3a^2b - b^3) = -11-2iLogoa(a^2 - 3b^2) = -11b(3a^2 - b^2) = -2Note que inverter o sinal de a ou de b só afeta o sinal de uma equação; logo basta resolver o sistema em módulo.Olhando para a primeira equação, e usando o fato de que 11 é primo, |a| só pode valer 1 ou 11. Se |a| = 11, |a^2 - 3b^2| = 1, que é impossível. Logo |a| = 1 e |3b^2 - 1| = 11 = |b| = 2. Não é muito difícil concluir que a = 1, b = 2. Logo (1+2i)^3 = -11-2i; as outras raízes cúbicas podem ser encontradas muliplicando por cis
 120.[...]b) raiz_quarta(28 - 96i)[...]Tire duas raízes quadradas em sucessão.sqrt(28 - 96i) = 2*sqrt(7 - 24i).(a+bi)^2 = 7 - 24i(a^2 - b^2) + 2abi = 7 - 24ia^2 - b^2 = 7ab = -12Existem duas soluções (a, b) = (-4, 3) ou (a, b) = (4, -3). Podemos tomar qualquer uma delas (por exemplo, 4 - 3i).sqrt(2 * (4 - 3i)) = sqrt(8 - 6i)a^2 - b^2 = 8ab = -3Tome uma solução qualquer (por exemplo, (a, b) = (3, -1)). Então(3-i)^4 = 28 - 96i. Gere as outras raízes quadradas multiplicando por cis 90 = i.[]s,--Fábio "ctg \pi" Dias MoreiraGPG key ID: 6A539016BBF3190A (available at wwwkeys.pgp.net) attaach3 _MSN Messenger: converse com
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[obm-l] Primeira OBM,1979

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

Oi turma!
Atendendo a inumeros mas enumeraveispedidos, ouvindo Light My Fire do The Doors, sofrendo muito, estou passando a prova da primeira OBM.
Divirtam-se!Talvez eu mande as outras...

1ª OLIMPIADA BRASILEIRA DE MATEMATICA -1979


01-Sejam a,b reais tais que

0=2a=pi e 0=2b=pi

Se ab prove que a-sen ab-sen b

A ultima desigualdade continua valida se ab mas 2*pi=a=3*pi e 2*pi=b=3*pi?

02-Seja R(x)=mx+n o resto da divisao de um certo polinomio P(x)
por T(x)=x2-(a+b)x+ab com a e b constantes distintas.

(i)Determine m e n em funçao de a e b;
(ii)Determine m e n com P(x)=x^200, a=-1, b=2
(iii)Prove que no caso (ii) m e n sao inteiros.


03-Um triangulo ABC tem abase AB fixa sobre a reta r e o vertice C desloca-seao longo de uma reta s paralela a r e a distancia h de r.
Determine a curva descrita pelo ponto de encontro das alturas de ABC enquanto C percorre s.

04-Prove que o numero de soluçoes inteiras positivas de 


x_1+8x_2+27x_3+...+1000x_10=3025 (*)

e igual ao numero de soluçoes inteiras nao negativas de 

y_1+8y_2+27y_3+...+1000y_10=0

Usando este fato conclua que a equaçao (*) tem apenas uma soluçao e determine-a.

05-

(i)ABCD e um quadrado unitario, M e ponto medio de AB N e medio de BC e I o ponto comum a DN e CM.Calcule a area do triangulo NIC.
(ii)Seja um paralelogramo ABCD e sejam M, N, P, Q medios de AB,BC,CD,DA respectinamente.Prove que a area do octogono estrelado ANDMCQBPA e 60% da area do paralelogramo.

(iii)Considere um triangulo isosceles ABC e sejam AM,BN,CP suas medianas e G seu centroide.Prove que a area de AGBC e 2/3 da area de ABC.

(iv)a propriedade demonstrada em (ii) e valida para outros quadrilateros ou apenas para o paralelogramo?Yahoo! Mail - 6MB, anti-spam e antivírus gratuito. Crie sua conta agora!

Re: [obm-l] Curso de Geometria Projetiva no IMPA

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

DROGA!!Por que nunca tem algo interessante em Sao PauloFabio Dias Moreira [EMAIL PROTECTED] wrote:
Oi pessoal,O professor Luciano Castro pediu que eu avisasse que ele iniciará um curso de Geometria Projetiva nas suas aulas de treinamento para olimpíadas, e convida todos os cariocas interessados a comparecerem.A primeira aula ocorrerá na próxima segunda-feira, primeiro de dezembro, às duas horas da tarde, no Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada (IMPA). As outras aulas ocorrerão em segundas-feiras alternadas, no mesmo horário e local.Para aqueles que não sabem como chegar ao IMPA, visitemhttp://www.impa.br/AboutImpa/localizacao.html.[]s,-- Fábio "ctg \pi" Dias MoreiraGPG key ID: 6A539016BBF3190A (available at wwwkeys.pgp.net) ATTACHMENT  part 2 application/pgp-signature Yahoo! Mail - 6MB, anti-spam e antivírus gratuito. Crie sua conta agora!

Re: [obm-l] Numeros de Catalan

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

Uma vez o Helder Suzuki propos esta coisa parecida com Catalan de algo com trenzinhos da alegria...
No artigo de series formais do ET tem uma interpretaçao bem legal..."Nicolau C. Saldanha" [EMAIL PROTECTED] wrote:
On Mon, Nov 24, 2003 at 07:05:55PM -0200, Claudio Buffara wrote: Nao sei se foi discutido ou nao, mas me parece que esse problema estah relacionado aos numeros de Catalan.  Eh facil ver que o jogo soh pode parar apos um numero impar de lancamentos. Se o jogo para no (2m+1)-esimo lancamento, entao terao sido obtidas m+1 caras e m coroas. Alem disso, ateh o 2m-esimo lancamento (que tem que ter dado cara), as caras nunca estiveram na frente. O numero de maneiras disso acontecer eh Binom(2m,m)/(m+1) = m-esimo numero de Catalan. Logo, a probabilidade do jogo acabar no (2m+1)-esimo lancamento eh igual a P(2m+1) = Binom(2m,m)/(m+1) * p^m * (1-p)^(m+1).  A probabilidade do jogo nao terminar nunca serah igual a: 1 - (P(1) + P(3) + P(5) + ... )De fato, números de Catalan aparecem em
 muitíssimos problemas.Eu recomendo a leitura dehttp://www-math.mit.edu/~rstan/ec/catadd.ps.gzonde há 36 páginas de interpretações combinatórias diferentespara esta seqüência. O autor é Richard Stanley e este materialestá relacionado com os excelentes livros Enumerative Combinatorics, vols 1, 2. Eh interessante observar que, para p = 1/2: P(1) + P(3) + P(5) + ... = (1-p)/p  Ou seja, que: (1-p) * SOMA(m=0) Binom(2m,m)/(m+1) * (p*(1-p))^m = (1-p)/p ==  Quando p varia de 1/2 a 1, p*(1-p) varia de 1/4 a 0. Fazendo b = p*(1-p) obtemos um resultado que talvez seja interessante por si soh (o que voce acha, Luis Lopes?):  Para 0 = b = 1/4: SOMA(m=0) Binom(2m,m)/(m+1) * b^m = (1 - raiz(1 - 4b))/2  Para b  1/4, o termo geral nao tende a zero (teste da razao ou Stirling) e a serie diverge.  Uma outra
 consequencia eh que se expandirmos (1 - raiz(1 - 4x))/2 em serie, obteremos justamente a serie formal cujos coeficientes sao os numeros de Catalan.Esta é uma das maneiras clássicas de obter uma fórmula para os números deCatalan: faça a expansão de (1+x)^(1/2) usando o binômio de Newton:(1+x)^(1/2) = 1 + binom(1/2,1) x + ... + binom(1/2,k) x^k + ...ondebinom(1/2,k) = (1/2)(1/2 - 1)(1/2 - 2)...(1/2 - (k-1))/k!= (-1)^(k-1)/2^k 1*3*5*...*(2k-3)/k!= (-1)^(k-1)/2^(2k-1) (2k-2)!/((k-1)!k!)= (-1)^(k-1)/2^(2k-1) binom(2k-2,k-1)/ke os números de Catalan apareceram...[]s, N.=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Yahoo! Mail - 6MB, anti-spam e antivírus gratuito. Crie sua conta agora!

Re: [obm-l] polinomios

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

Porrada!
Escreva tudo como A(x)=B(x)*q(x)+r(x) e veja aonde vai dar...ax^2 [EMAIL PROTECTED] wrote:

Determine o resto da divisão de um polinômio A(z) por B(z) = z² + 1,conhecendo A(i) e A(-i), em que i é a unidade imaginária.
Um polinômio P(x) é divisível por x + 1, e, dividido por x² + 1, dáquociente x² - 4 e resto R(x). Se R(2) = 9, escreva P(x).Decomponha em fatores do primeiro grau:6x² - 5xy + y²Dá (2x - y)(3x - y), mas como que faz?=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Yahoo! Mail - 6MB, anti-spam e antivírus gratuito. Crie sua conta agora!

Re: [obm-l] polinomios

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

Pode-se fazer sem tanta tosqueira...
Interprete como uma funcao do segundo grau em y:
y^2+(-5x)y+(6x^2).agora resoçlve como deltas e vai em frente!Ricardo Bittencourt [EMAIL PROTECTED] wrote:
ax^2 wrote: Decomponha em fatores do primeiro grau: 6x² - 5xy + y² Dá (2x - y)(3x - y), mas como que faz?O jeito mais fácil é fazer usando a intuição, você dáuma olhadinha, fatora uns números aqui, faz soma e produto ali,e manda ver. Mas se você não quiser pensar, então você usa álgebra:(ax+by+c)(dx+ey+f)=6xx+5xy+yyAbrindo a expressão você tem 6 equações e 6 variáveis:ad=6be=1ae+bd=-5af+cd=0bf+ce=0cf=0Aí é só arregaçar as mangas e resolver!Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk[EMAIL PROTECTED] "Vitrum edere possum, mihi non nocet"-- União contra o forward - crie suas proprias piadas --=Instruções para
 entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Yahoo! Mail - 6MB, anti-spam e antivírus gratuito. Crie sua conta agora!

[obm-l] Uma prova da transcedencia de e

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

Vou dar um esquete de uma demo de que e e transcedental.
Suponha que e e algebrico(por que sera?..?), ou seja 
c(n)*e^n+...+c(1)*e+c(0)=0 para alguns reais convenientes.


1)Seja P(x) um polinomio de grau r e defina 

F(x)=P(x)+P'(x)+P''(x)+...+P^(r)(x)

Prove que 
-e^(-x)*P(x)=d/dx (e^(-x)*F(x))

2)Usando teorema do valor medio prove que para todo k0 vale 

F(k)-e^k*F(0)= -k*e^(k(1-t(k)))*P(kt(k)) :=y(k)

em que 0t(k)1.

3)Seja p um primo, pn, pc(0) e seja um polinomoio P tal que

P(x)*(p-1)!=x^(p-1)*(1-x)^p...(n-x)^p

Vamos tentar demonstrar que nisto Pe um inteiro nao multiplo de P e ao mesmo tempo menor que 1.E a mesma coisa que achar um inteiro entre zero e um.

Prove que c(0)F(0)+...+c(n)F(n)=c(1)y(1)+...+c(n)y(n)

4)Seja Q(x)=soma de 0 ate r de {a(j)x^j} um polinomio em Z e pr.

Prove que Q(i)(X)=soma de i ate r de{j(j-1)(j-2)(j-3)...(j-i+1)*a(j)(x^(j-i))}
e que Q(i)(X)/(p-1)! com ipe um polinomio de coeficientes multiplos de p.

5)Prove que o polinomioP e da forma 

P(x)=(n!)^p/(p-1)!*x^(p-1)+b(0)/(p-1)!*x^p+...

Prove queP^(i)(k)=0 com ip, k=1,2,3,...n; e tambem P^(p-1)(0)=(n!)^p e se ip-1 entao P^(i)(0)=0.

6)Prove que p nao divide F(0) mas p divide F(k) para k=1,2,...n.

7)Se precisar prove isto:se d(i), i=0,1,...,r sao inteiros tais que p nao divide apenas o d(0) entao a soma nao e multipla de p.

8)Ja que 0c(0)p, use o que voce ja fez pra ver que p nao divide 
c(0)F(0)+...+c(n)F(n).

9)Prove que se k=n entao (p-1)!*|y(k)|=e^n*n^p*(n!)^p, bastando escrever o y adequadamente...

10)Agora e so fazer o primo p crescer muito para que 
|c(1)y(1)+...+c(n)y(n)|1

E acabou, nao?Confiram se nao errei nada...
Agora tenho que ir pra casaAte amanha (e bons sonhos...uah)...

ate mais!!!Ass.:JohannYahoo! Mail - 6MB, anti-spam e antivírus gratuito. Crie sua conta agora!

Re: [obm-l] Eureka 17 , trigonometria

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

Tem uma parte que ta errada...cossenos nao somam deste jeito que ta ai...Na verdade e so usar uma induçao e uma formula basica,
2*sen t*cos t=sen 2t.
Agora acabou!"guilherme S." [EMAIL PROTECTED] wrote:
beleza pessoal , sera que podem me ajudar ademonstrar o segundo membro da identidade abaixo:cos(A)cos(2A)cos(2^2*A)cos(2^3*A)...cos(2^n*A)==cos(A)+cos(2*A)+cos(2^2*A)+cos(2^3*A)+...+cos(2^(2^n)*A)==sen(2^(n+1)*A)/[2^(n+1)*sen(A)] valeu...Yahoo! Mail - 6MB, anti-spam e antivírus gratuito. Crie sua conta agora:http://mail.yahoo.com.br=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Yahoo! Mail - 6MB, anti-spam e antivírus gratuito. Crie sua conta agora!

Re: [obm-l] Bruno-Triângulo_Isósceles

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

Nao entendi.Mas voce pode ir ao arquivo da lista.Explicite-se melhor na sua proxima carta (ou e-mail)O que significa usar arcos?
Carlos Sergio Carvalho [EMAIL PROTECTED] wrote:
Gostaria de saber se a solução (metralhadora giratória ) está correta. Senão,aguardo outra.De preferência sem usar trigonometria,ou Arcos.Obrigado.=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Yahoo! Mail - 6MB, anti-spam e antivírus gratuito. Crie sua conta agora!

Re: [obm-l] 3 2's.

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

Bem, se voce coloca o 2 no simbolo de raiz quadradaAlves Dias [EMAIL PROTECTED] wrote:




Caro colega, no problema dos quatro quatros, voce menciona raizes quadradas, acho que uzando raixes quadradas nao satisfaz o problema, pois usando radical com indice 2 , estaremos usando um algarismo diferente de quatro!
AURI

- Original Message - 
From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet 
To: [EMAIL PROTECTED] 
Sent: Tuesday, October 28, 2003 1:31 PM
Subject: Re: [obm-l] 3 2's.

AHA!!!
Ai e que voce se engana!!!Para o caso dos quatro quatros, ha tambem uma formula geral, cheia de raizes quadradas.Tente voce fazer!
E a dos 1,2,3,4,5,6,7,8,9,0 tambem.
PS.:Tente com 2,0,0,0 nessa ordem.Qual e o maior possivel de se obter?
Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] wrote:
No problema dos 4 4's, cada numero tinha uma formula diferente:1 = (4+4)/(4+4)2 = 4*4/(4+4)3 = (4+4+4)/44 = 4*4^(4-4)5 = (4*4 + 4)/4...9 = 4 + 4 + 4/4...15 = 4*4 - 4/4...20 = 4! - 4*4/4...Nesse todos os numeros tem a mesma lei de formacao. A unica coisa que varia eh o numero de raizes quadradas.on 27.10.03 17:27, Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet at [EMAIL PROTECTED] wrote:
O que voce quis dizer com "ao inves do caso a caso do problema dos quatro "4" " se com um raciocinio analogo e possivel resolver o caso dos quatro numeros 4?Acho que esse caiu na Crux Mathematicorum, a Eureka! do Canada(alias seu antigo nome era Eureka):Escrever todos os naturais usando os algarismos 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 nesta ordem e com as mesmas regras.
Ah, mas voce colocou log na sua lista de operacoes permitidas!Alem disso, acho que o maior inteiro que pode ser expresso com tres "2" e apenas operacoes algebricas elementares (excluindo fatorial) eh 2^22. Soh que o enunciado falava em "todos os inteiros". Logo, comecei a desconfiar que talvez houvesse uma lei de formacao geral (ao inves do caso a caso do problema dos quatro "4"). A minha impressao eh de que o fatorial iria deixar muitos buracos (numeros nao atingiveis). Qualquer coisa acima disso teria que usar exp ou log ou alguma funcao transcendente. E qualquer uso de exp iria precisar do log pra voltar a ser inteiro. Alem disso, pra minimizar o numero de buracos, seria precisao usar alguma funcao concava, e o log era a mais obvia. E como eu gosto de teoria dos numeros e combinatoria, tenho sempre em mente expressoes envolvendo o log do log... Um pouco de tentativa e er! ro e eu cheguei lah.Um abraco,Claudio.on 24.10.03 00:04, Marcio Afo! nso
 A. Cohen at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Eh! Legal, neh? Nao achei que fossem resolver tao rapido! Eu ainda fiz questao de nao colocar nada com log nos exemplos para nao dar a dica.. :) Abraco,Marcio
- Original Message - From: Claudio Buffara mailto:[EMAIL PROTECTED] To:> [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, October 23, 2003 10:52 PMSubject: Re: [obm-l] 3 2's.on 23.10.03 20:53, Marcio Afonso A. Cohen at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Mostre como escrever qualquer inteiro n utilizando-se exatamente 3 algarismos, todos iguais a 2, e operações elementares (soma, subtração, multiplicação, divisão, log, exponencial, etc...).Por exemplo, 1 = 2^(2-2), 2 = 2+ 2 - 2, 3 = 2+(2/2), ..., generalize.Abraços, MarcioN = -log_2(log_2(raiz(raiz(...raiz(raiz(2)).. onde existem N raizes quadradas sucessivas. 

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Re: [obm-l] Duas Cincunferencias

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

Eu vou dar um caminho de resoluçao:
Pegue os dois pontos comuns, ligue-os aos centros e veja quma figura que seria algo como uma soma de setores menos a area de uns triangulosQuando eu tiver paciencia escrevo tudoGiselle [EMAIL PROTECTED] wrote:
Qual foi a resposta que vc encontrou?- Original Message - From: "Bruno Souza" <[EMAIL PROTECTED]>To: <[EMAIL PROTECTED]>Sent: Wednesday, Novvember 19, 2003 6:20 PMSubject: Re: [obm-l] Duas Cincunferencias Olá , Eu até resolvi esse problema mas ficou uma expressão bem feia. "Bruno - Original Message - From: "Giselle" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Wednesday, November 19, 2003 2:12 PM Subject: Re: [obm-l] Duas Cincunferencias Pensei muito a respeito deste problema, mas não consegui encontrar uma solução... A resposta sempre fica em função de alfa (ângulo formado com o arco da interseção das duas circunferências). Vc tem a resposta poracaso?? - Original Message
 - From: "Daniel Faria" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Tuesday, November  04, 2003 2:05 AM Subject: [obm-l] Duas Cincunferencias  Nao consegui resolver este problema, gostaria por favor de uma ajudinhade  vcs.   Dadas duas circunferencia com raios R1 e R2 que se cruzam e dado tb a  distancia entre os centros destas duas circunferencias D. Determine aárea  de interseccao entre ambas em funcao de R1, R2 e D.   _  MSN Messenger: converse com os seus amigos online.  http://messenger.msn.com.br  =  Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em 
 http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =  = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html ==Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista
 emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Yahoo! Mail - 6MB, anti-spam e antivírus gratuito. Crie sua conta agora!

Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l]_Herança

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

Verdade...Ainda tem que levar isto em contaMas a soluçao do Nicolau parece ser correta.O problema agora e ver se pode haver acordos e aliançasAugusto Cesar de Oliveira Morgado [EMAIL PROTECTED] wrote:
Se A e B estiverem mancomunados, A faz o primeiro corte dividindo a pizza em 90% e 10%; b decide que a fica com os 90% No final, A e B dividem os 90% entre si e C ferrou-se.Seu sistema, infelizmente, nao funciona.--CIP WebMAIL - Nova Geração - v. 2.1CentroIn Internet Provider http://www.centroin.com.brTel: (21) 2542-4849, (211) 2295-3331 Fax: (21) 2295-2978Empresa 100% Brasileira - Desde 1992-- Original Message ---From: "Rogerio Ponce" <[EMAIL PROTECTED]>To: [EMAIL PROTECTED]Sent: Tue, 18 Nov 2003 21:10:48 +Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l]_Herança Então poderia ser assim: "a" faz o primeiro corte dividindo em 2 pedaços : 1/3  2/3 . "b" escolhe ficar com o 1/3 e deixa o jogo , ou decide que "a"  fique com o 1/3 , e "a" deixa o jogo .
 Entre esses dois , o que  permaneceu no jogo faz a próxima divisão ( 2/3 ao meio ) "c" decide  com qual pedaço vai ficar.  Generalizando para N participantes , dispostos em fila : 1) o 1o. da fila separa 1/N da pizza , e o 2o. escolhe se fica com o  pedaço de 1/N , ou se o 1o. é que deve ficar com o pedaço. 2) quem  ficou com o pedaço sai da fila. Repete-se esse processo até que a  pizza esteja distribuída.  []´s Rogério.   Agora entendi... Este problema e parecido com este aqui:"como dividir uma pizza (ou bolo, ou  qualquer coisa assim) para tres sem cometer injustiças?" Na verdade isto pode ser bem geral no sentido que o Saldanha esta  apontando:pode ser que uma pessoa(no caso da pizza de varios sabores para  ficar mais facil) por exemplo goste mais da parte com calabresa, o outro  goste
 de bastante queijo e um nao goste de bordas recheadas. No caso de duas pessoas o melhor a fazer e "voce corta e eu escolho". O caso geral e meio chato...o Saldanha so disse o caso n=3.Mas e necessario  definir bem as regras...  "Nicolau C. Saldanha" <[EMAIL PROTECTED]>wrote: On Mon, Nov 17, 2003 at 09:55:13PM -0200, Giselle wrote: Como dividir uma herança entre três filhos de modo que cada um tenha a   impressão de, pelo menos, estar recebendo 1/3 da herança? Bom, como o problema não impõe nenhuma condição eu diria que dividindo a   herança realmente em 3 partes...  Acho que tem a ver com o fato de cada um dos três irmãos ter uma  perspectiva diferente quanto a o que vale mais (se tudo fosse dinheiro seria fácil, mas provavelmente a
 herança inclui bens de vários tipos diferentes).  Uma solução é a seguinte. Os três irmãos A, B e C convidam você para ajudar. Você então declara que vai separar um dos lotes: o lote começará vazio e irá sendo incrementado até um dos três irmãos gritar "Pare!". Neste momento aquele que gritou (digamos A) fica com o lote, um dos outros dois (B) divide o que restou em duas partes e o terceiro (C) escolhe qual destas duas partes ele quer.  Não é difícil ver que isto satisfaz as condições do problema: ninguém vai gritar até ver o primeiro lote valer 1/3 do total.  []s, N.  _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com  = Instruções para entrar na
 lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =--- End of Original Message ---=Innstruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Yahoo! Mail - 6MB, anti-spam e antivírus gratuito. Crie sua conta agora!

Re: [obm-l] Probabilidade 1/3

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

Parece divertido...Vou fazer em casa!"Nicolau C. Saldanha" [EMAIL PROTECTED] wrote:
On Wed, Nov 19, 2003 at 01:54:15AM -0200, Claudio Buffara wrote: Esse problema da divisao em 3 partes me faz lembrar um outro:  Dispondo-se apenas de uma moeda honesta, como simular uma variavel aleatoria que pode assumir 3 valores distintos, cada um com probabilidade = 1/3?Temos três jogadores A, B, C.Se sair cara na primeira jogada, C já está fora.Se sair coroa na primeira jogada, A já está fora.No caso de sair cara na primeira jogada o jogo continua assim:Se cair cara na segunda jogada, A ganha.Caso contrário, se cair coroa na terceira jogada, B ganha.Caso contrário, se cair cara na quarta jogada, A ganhaNo caso de sair coroa na primeira jogada o jogo continua assim:Se cair coroa na segunda jogada, C ganha.Caso contrário, se cair cara na terceira jogada, B ganha.Caso contrário, se
 cair coroa na quarta jogada, C ganhaEm outras palavras, eles jogam a moeda interpretanto cara como 0,coroa como 1 e a seqüência de algarismos como a expansão base 2de um número real entre 0 e 1. A ganha se o número for menor do que1/3 = .0101010101010...; C ganha se o número for maior do que 2/3 = .1010101010101...; B ganha se o número cair entre 1/3 e 2/3.Isto deixa bem claro que cada um tem probabilidade 1/3 de ganhar.É imediato generalizar este método para conseguir quaisquer probabilidades.[]s, N.=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Yahoo! Mail - 6MB, anti-spam e antivírus
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Re: [obm-l] Sistema Linear

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

2m^3+10m^2+14m-26=0
Vamos ver:

m^3+5m^2+7m-13=0.

Recordaremos algumas coisas uteis:
Sejam a,b,c as raizes disto ai.
Pelo Teorema Fundamental daAlgebra
P(m)=:m^3+5m^2+7m-13=(m-a)(m-b)(m-c)
abrindo tudo e comparando temos as relaçoes de Girard:

a+b+c=-5
ab+ac+bc=7
abc=13

Uma ideia sempre muito boa e ver raizes inteiras e algumas racionais.
Por exemplo, se abc=13,vamos ver se 1 ou 13 dao certo:
1+5+7-13=0

Legal,o 1e raiz!
Ai podemos fatorar ou ver no Girard ali em cima:
WLOG c=1
ab=13 e a+b=-5
Agora e resolver!
PS.:Confira as contas!Anderson Sales Pereira [EMAIL PROTECTED] wrote:
Bom dia a todos (OBM,Poli e Pedrinho), Mais uma de Sistema (Apolo 8 - Nivel 2), nao consigo resolver o item b:1. (FUVEST) Considere o sistema de equacoes lineares:x+y+z=-2mx-y-2z=2m2x+y-2z=3m+5a)Para cada valor de m, determine a solucao (Xm,Ym,Zm)do sistema.b)Determine todos os valores de n, reais ou complexos para os quais o produto (Xm.Ym.Zm) e igual a 32.Resolvendo o item a:(I) x+y+z=-2m(II) x-y-2z=2m(III) 2x+y-2z=3m+5(I) + (II):x+y+z=-2mx-y-2z=2m-2x-z=0 = z=2x(II) + (III)x-y-2(2x)=2m2x+y-2(2x)=3m+5---3x-8x=5m+5 = -5x=5m+5 = x=-m-1Substituindo x e z em (I):x+y+z=-2m-m-1+y+2(-m-1) = -2m-m-1+y-2m-2=-2m = y=m+3S={(-m-1;m+3;-2m-2)}Resolvendo o item b:Xm.Ym.Zm=32(-m-1)(m+3)(-2m-2)=32(-m^2-3m-m-3)(-2m-2)=32(-m^2-4m-3)(-2m-2)=322m^3+10m^2+14m-26=0Travei aqui.A apostila nao traz a solucao. Acho que teria que atribuir alguma outra variavel a m^3 mas nao consegui. Agradeco qualquer ajuda.[]'sAnderson - F04---Outgoing mail is certified Virus Free.Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com).Version: 6.0.5442 / Virus Database: 336 - Release Date: 18/11/2003Yahoo! Mail - 6MB, anti-spam e antivírus gratuito. Crie sua conta agora!

Re: [obm-l] Re: [obm-l]_Herança

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

Agora entendi...
Este problema e parecido com este aqui:"como dividir umapizza (ou bolo, ou qualquer coisa assim) para tres sem cometer injustiças?"Na verdade isto pode ser bem geral no sentido que o Saldanha esta apontando:pode ser que uma pessoa(no caso da pizza de variossaborespara ficar mais facil) por exemplo goste mais da parte com calabresa, o outro goste de bastante queijo e um nao goste de bordas recheadas.
No caso de duas pessoas o melhor a fazer e "voce corta e eu escolho".
O caso geral e meio chato...o Saldanha so disse o caso n=3.Mas e necessario definir bem as regras...
"Nicolau C. Saldanha" [EMAIL PROTECTED] wrote:
On Mon, Nov 17, 2003 at 09:55:13PM -0200, Giselle wrote:  Como dividir uma herança entre três filhos de modo que cada um tenha a impressão de, pelo menos, estar recebendo 1/3 da herança?  Bom, como o problema não impõe nenhuma condição eu diria que dividindo a herança realmente em 3 partes...Acho que tem a ver com o fato de cada um dos três irmãos ter uma perspectivadiferente quanto a o que vale mais (se tudo fosse dinheiro seria fácil,mas provavelmente a herança inclui bens de vários tipos diferentes).Uma solução é a seguinte. Os três irmãos A, B e C convidam você para ajudar. Você então declara que vai separar um dos lotes:o lote começará vazio e irá sendo incrementado até um dos três irmãosgritar "Pare!". Neste momento aquele que gritou (digamos A) fica como lote, um dos outros dois (B) divide o
 que restou em duas partese o terceiro (C) escolhe qual destas duas partes ele quer.Não é difícil ver que isto satisfaz as condições do problema:ninguém vai gritar até ver o primeiro lote valer 1/3 do total.[]s, N.=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Yahoo! Mail - 6MB, anti-spam e antivírus gratuito. Crie sua conta agora!

[obm-l] Problemas da Eureka!

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

 
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Re: [obm-l] RPM

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

Compre na USP ou tente se informar como comprar na USPDaniel Melo Wanzeller [EMAIL PROTECTED] wrote:




Pessoal,

 Gostaria de saber onde conseguir as RPMs antigas, eu tenho a partir do numero 49.
 Grato

  DanielYahoo! Mail - 6MB, anti-spam e antivírus gratuito. Crie sua conta agora!

Re: RES: [obm-l] Geometria

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

Parece que nao tem um angulo muito certinho para exprimir este angulo mas com certeza ele existeMarcos [EMAIL PROTECTED] wrote:


Suas contas estão corretas com certeza. Fiz uma figura ilustrando o provável caminho que te levou até essa solução. (Eu tentei enviar da outra vez mas num deu.. sei lá o que houve ..)

[]'s MP


-Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nnome de Claudio BuffaraEnviada em: segunda-feira, 10 de novembro de 2003 22:45Para: [EMAIL PROTECTED]Assunto: Re: [obm-l] Geometriaon 10.11.03 17:43, Bruno Souza at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Olá a todos,Há muito tempo tenho esse problema que não consigo resolver.Gostaria de qualquer ajuda ou sugestão.Penso, utilmamente, que esse ângulo não eh determinado, porém não consigo provar.P.S: Esse problema "parece" elementar.Até,BrunoFazendo m(EID) = x, eu obtive a equacao:tg(x - 50) = tg(60) - tg(50), o que implica que x = 78,38 graus.Serah que eu errei alguma conta? 
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Re: [obm-l] quociente de funcoes continuas é_continua?

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

E claro, se o denominador nao zerar.
Na semana Olimpica deve ter algo parecido com isto...niski [EMAIL PROTECTED] wrote:
O quociente de funcoes continuas é continua? Se sim, sempre mesmo?obrigado.niski=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Yahoo! Mail - 6MB, anti-spam e antivírus gratuito. Crie sua conta agora!

Re: [obm-l] Quadrado da Soma = Soma de Cubos

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

Induçao.Daniel Faria [EMAIL PROTECTED] wrote:
Vi a pouco tempo isto e me chamou a atençao:( 1 )^2 = 1^3( 1 + 2 )^2 = 1^3 + 2^3( 1 + 2 + 3 )^2 = 1^3 + 2^3 + 3^3.. .. .. ...( 1 + 2 + 3 + 4 + + n )^2 = 1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + .+ n^3Série iniciada por 1 com todos os termos naturais.Gostaria de uma demonstraçao simples deste fato.Obrigado._MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Yahoo! Mail - 6MB, anti-spam e antivírus gratuito. Crie sua conta agora!

Re: [obm-l] a^3+b^3+c^3 = 3abc

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

Sua resoluçao esta certissima.Alias isto ja e meio famoso, mas que historia e essa de caminho inverso?Daniel Faria [EMAIL PROTECTED] wrote:
Gostaria de tentar uma resoluçao sobre o enunciado, só que fazendo um caminho inverso:Dado a+b+c=0,quero chegar ema^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 0.Partindo de:a^3 + b^3 + c^3 - 3abcFarei a linha acima por determinante:a b cc a bb c aA soma de cada linha deste deteminante eh a+b+c que como jah eh sabido eh zero.logo o determinante acima eh igual a zero.Assim temos:a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 0ea^3 + b^3 + c^3 = 3abcPor favor me corrijam se eu estiver errado.Obrigado.-- Mensagem original -- Ola pessoal,  Depois de alguns meses afastado da lista e ssem estudar matematica, pois estava estudando para um concurso e acabei de faze-lo. Agora eh esperaransioso 
 pelo resultado que sairah em menos de 2 semanas. Para nao ficar off-topic vou re-comecar a postar minhas duvidas. Vamos la:  1) Prove que se a + b + c = 0, entao a^3 + b^3 + c^3 = 3abc  Obs: Como estou voltando agora, desculpem me se o problema for trivial. Preciso me desenferrujar aos poucos ;-) em matematica e pegar o ritmo de novo.   --Use o melhor sistema de busca da InternetRadar UOL - http://www.radaaruol.com.br=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista
 emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=_MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Yahoo! Mail - 6MB, anti-spam e antivírus gratuito. Crie sua conta agora!

Re: [obm-l] probabilidade......

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

Eu estou meio sem tempo de discutir isto completamente, mas veja que isto e equivalente ao seguint:qual a probabilidade de que entre n pessoas num amigo secreto alguem tire o proprio nome?
O maximo que posso dizer e que isto e pertinho de n!*e^(-1)niski [EMAIL PROTECTED] wrote:
Ola pessoal, alguem pode me ajudar?um carteiro tem que entregar 8 cartas em 8 diferentes endereços, ele se confundiu e acabou entregando aleatoriamente as correspondencias.Se cada endereço recebeu uma carta, qual é a probabilidade de que pelo menos um deles tenha recebido a carta correta?valeu=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Yahoo! Mail - o melhor webmail do Brasil. Saiba mais!

Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_Área_de_quadrados

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

Nao necessariamente...Talvez o que voce nao tenha entendido e a forma de cobrir...
Por exemplo, e impossivel voce usar uma tira de papel 1 por 100 para cobrir completamente um quadrado 10 por 10, mesmo que as areas sejam iguais.Entendeu agora o drama?Giselle [EMAIL PROTECTED] wrote:




Mais difícil?!?! Eu não devo estar entendendo nada mesmo. Pra mim é óbvio que vários quadrados de área total4 conseguem cobrir um de área 1... (4 u.a.  1 u.a.)

- Original Message - 
From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet 
To: [EMAIL PROTECTED] 
Sent: Monday, October 27, 2003 4:18 PM
Subject: Re: [obm-l] Área_de_quadrados

Em minha opiniao este foi o problema mais dificil da prova!!!

Tente exibir uma cobertura que satisfaça as condiçoes.Nao ha nada obscuro, pelo menos nao para mim...


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Re: [obm-l] 3 2's.

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

AHA!!!
Ai e que voce se engana!!!Para o caso dos quatro quatros, ha tambem uma formula geral, cheia de raizes quadradas.Tente voce fazer!
E a dos 1,2,3,4,5,6,7,8,9,0 tambem.
PS.:Tente com 2,0,0,0 nessa ordem.Qual e o maior possivel de se obter?
Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] wrote:
No problema dos 4 4's, cada numero tinha uma formula diferente:1 = (4+4)/(4+4)2 = 4*4/(4+4)3 = (4+4+4)/44 = 4*4^(4-4)5 = (4*4 + 4)/4...9 = 4 + 4 + 4/4...15 = 4*4 - 4/4...20 = 4! - 4*4/4...Nesse todos os numeros tem a mesma lei de formacao. A unica coisa que varia eh o numero de raizes quadradas.on 27.10.03 17:27, Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet at [EMAIL PROTECTED] wrote:
O que voce quis dizer com "ao inves do caso a caso do problema dos quatro "4" " se com um raciocinio analogo e possivel resolver o caso dos quatro numeros 4?Acho que esse caiu na Crux Mathematicorum, a Eureka! do Canada(alias seu antigo nome era Eureka):Escrever todos os naturais usando os algarismos 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 nesta ordem e com as mesmas regras.
Ah, mas voce colocou log na sua lista de operacoes permitidas!Alem disso, acho que o maior inteiro que pode ser expresso com tres "2" e apenas operacoes algebricas elementares (excluindo fatorial) eh 2^22. Soh que o enunciado falava em "todos os inteiros". Logo, comecei a desconfiar que talvez houvesse uma lei de formacao geral (ao inves do caso a caso do problema dos quatro "4"). A minha impressao eh de que o fatorial iria deixar muitos buracos (numeros nao atingiveis). Qualquer coisa acima disso teria que usar exp ou log ou alguma funcao transcendente. E qualquer uso de exp iria precisar do log pra voltar a ser inteiro. Alem disso, pra minimizar o numero de buracos, seria precisao usar alguma funcao concava, e o log era a mais obvia. E como eu gosto de teoria dos numeros e combinatoria, tenho sempre em mente expressoes envolvendo o log do log... Um pouco de tentativa e er! ro e eu cheguei lah.Um abraco,Claudio.on 24.10.03 00:04, Marcio Afonso A.
 Cohen at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Eh! Legal, neh? Nao achei que fossem resolver tao rapido! Eu ainda fiz questao de nao colocar nada com log nos exemplos para nao dar a dica.. :) Abraco,Marcio
- Original Message - From: Claudio Buffara mailto:[EMAIL PROTECTED] To:> [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, October 23, 2003 10:52 PMSubject: Re: [obm-l] 3 2's.on 23.10.03 20:53, Marcio Afonso A. Cohen at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Mostre como escrever qualquer inteiro n utilizando-se exatamente 3 algarismos, todos iguais a 2, e operações elementares (soma, subtração, multiplicação, divisão, log, exponencial, etc...).Por exemplo, 1 = 2^(2-2), 2 = 2+ 2 - 2, 3 = 2+(2/2), ..., generalize.Abraços, MarcioN = -log_2(log_2(raiz(raiz(...raiz(raiz(2)).. onde existem N raizes quadradas sucessivas. 

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Re: [obm-l] equação!!

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

Antes uma coisa:nao e toda equaçao que pode ser resolvida algebricamente(seja la o que isso signifique).Vou tentar algo que pode ajudar:comece a procurar raizes inteiras usando congruencias.Se x e uma soluçao inteira entao, modulo x, temos
727=0 mod x, ou x|727.Ou seja x e 1 ou 727 (acho que essa joça e prima).Ai teste e ve no que da!

Outro jeito e fatorar:x^4+x^3+x^2+x= x*(x^4-1)/(x-1).Veja no que vai dar!
Marco Sales [EMAIL PROTECTED] wrote:

como posso resolver a seguinte equação?

(x^4) + (x^3) + (x^2) + (x) = 727

(consegui fazer na máquina, pois ainda naum tive muito tempo para resolvê-la algebricamente).



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Re: [obm-l] Geometria_Analítica

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

Ponto equidistante e CIRCUNCENTRO.Se voce achar um jeito de usar o baricentro,boa sorte.Claudio [EMAIL PROTECTED] wrote:




Pessoal nesta questão simples de GA, posso usar o baricentro para calcular o ponto equidistante?

Veja.

O Unico ponto que é equidistante de (0,0) (1,2) e (3,-1) é?

Desde ja agradeço.Yahoo! Mail - o melhor webmail do Brasil. Saiba mais!

Re: [obm-l] equação diofantina

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

isso ja e meio manjado...Voce pode usar Euclides.Veja um caso particular:

7x+18y=1
7x+14y+4y=1
Se x+2y:=a, temos 
7a+4y=1
3a+4a+4y=1
a+y:=b
3a+4b=1
3a+3b+b=1
a+b:=c
3b+c=1c=1-3b

volte substituindoluiz frança [EMAIL PROTECTED] wrote:
se (a,b)=1 ax +by = k , x, y e k inteirosporvar que sempre existe uma soluma solução x,yque satisfaça a equação para qualquer k escolhido.será mesmo verdade? bom... a principio seax +by = 1 tiver solução, então terá pra qualquer K.pois basta pegarmos Kx e Ky. Mas como provar que valepra k=1 ???__Do you Yahoo!?The New Yahoo! Shopping - with improved product searchhttp://shopping.yahoo.com=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Yahoo! Mail - o
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Re: [obm-l] Área_de_quadrados

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

Em minha opiniao este foi o problema mais dificil da prova!!!

Tente exibir uma cobertura que satisfaça as condiçoes.Nao ha nada obscuro, pelo menos nao para mim...Yahoo! Mail - o melhor webmail do Brasil. Saiba mais!

Re: [obm-l] 3 2's.

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

O que voce quis dizer com "ao inves do caso a caso do problema dos quatro "4" " se com um raciocinio analogo e possivel resolver o caso dos quatro numeros 4?
Acho que esse caiu na Crux Mathematicorum, a Eureka! do Canada(alias seu antigo nome era Eureka):

Escrever todos os naturais usando os algarismos 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 nesta ordem e com as mesmas regras.
Ah, mas voce colocou log na sua lista de operacoes permitidas!Alem disso, acho que o maior inteiro que pode ser expresso com tres "2" e apenas operacoes algebricas elementares (excluindo fatorial) eh 2^22. Soh que o enunciado falava em "todos os inteiros". Logo, comecei a desconfiar que talvez houvesse uma lei de formacao geral (ao inves do caso a caso do problema dos quatro "4"). A minha impressao eh de que o fatorial iria deixar muitos buracos (numeros nao atingiveis). Qualquer coisa acima disso teria que usar exp ou log ou alguma funcao transcendente. E qualquer uso de exp iria precisar do log pra voltar a ser inteiro. Alem disso, pra minimizar o numero de buracos, seria precisao usar alguma funcao concava, e o log era a mais obvia. E como eu gosto de teoria dos numeros e combinatoria, tenho sempre em mente expressoes envolvendo o log do log... Um pouco de tentativa e erro e eu
 cheguei lah.Um abraco,Claudio.on 24.10.03 00:04, Marcio Afonso A. Cohen at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Eh! Legal, neh? Nao achei que fossem resolver tao rapido! Eu ainda fiz questao de nao colocar nada com log nos exemplos para nao dar a dica.. :) Abraco,Marcio
- Original Message - From: Claudio Buffara mailto:[EMAIL PROTECTED] To:> [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, October 23, 2003 10:52 PMSubject: Re: [obm-l] 3 2's.on 23.10.03 20:53, Marcio Afonso A. Cohen at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Mostre como escrever qualquer inteiro n utilizando-se exatamente 3 algarismos, todos iguais a 2, e operações elementares (soma, subtração, multiplicação, divisão, log, exponencial, etc...).Por exemplo, 1 = 2^(2-2), 2 = 2+ 2 - 2, 3 = 2+(2/2), ..., generalize.Abraços, MarcioN = -log_2(log_2(raiz(raiz(...raiz(raiz(2)).. onde existem N raizes quadradas sucessivas. Yahoo! Mail - o melhor webmail do Brasil. Saiba mais!

Re: [obm-l] 3 2's.

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

O que voce quis dizer com "ao inves do caso a caso do problema dos quatro "4" " se com um raciocinio analogo e possivel resolver o caso dos quatro numeros 4?
Acho que esse caiu na Crux Mathematicorum, a Eureka! do Canada(alias seu antigo nome era Eureka):

Escrever todos os naturais usando os algarismos 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 nesta ordem e com as mesmas regras.
Ah, mas voce colocou log na sua lista de operacoes permitidas!Alem disso, acho que o maior inteiro que pode ser expresso com tres "2" e apenas operacoes algebricas elementares (excluindo fatorial) eh 2^22. Soh que o enunciado falava em "todos os inteiros". Logo, comecei a desconfiar que talvez houvesse uma lei de formacao geral (ao inves do caso a caso do problema dos quatro "4"). A minha impressao eh de que o fatorial iria deixar muitos buracos (numeros nao atingiveis). Qualquer coisa acima disso teria que usar exp ou log ou alguma funcao transcendente. E qualquer uso de exp iria precisar do log pra voltar a ser inteiro. Alem disso, pra minimizar o numero de buracos, seria precisao usar alguma funcao concava, e o log era a mais obvia. E como eu gosto de teoria dos numeros e combinatoria, tenho sempre em mente expressoes envolvendo o log do log... Um pouco de tentativa e erro e eu
 cheguei lah.Um abraco,Claudio.on 24.10.03 00:04, Marcio Afonso A. Cohen at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Eh! Legal, neh? Nao achei que fossem resolver tao rapido! Eu ainda fiz questao de nao colocar nada com log nos exemplos para nao dar a dica.. :) Abraco,Marcio
- Original Message - From: Claudio Buffara mailto:[EMAIL PROTECTED] To:> [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, October 23, 2003 10:52 PMSubject: Re: [obm-l] 3 2's.on 23.10.03 20:53, Marcio Afonso A. Cohen at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Mostre como escrever qualquer inteiro n utilizando-se exatamente 3 algarismos, todos iguais a 2, e operações elementares (soma, subtração, multiplicação, divisão, log, exponencial, etc...).Por exemplo, 1 = 2^(2-2), 2 = 2+ 2 - 2, 3 = 2+(2/2), ..., generalize.Abraços, MarcioN = -log_2(log_2(raiz(raiz(...raiz(raiz(2)).. onde existem N raizes quadradas sucessivas. Yahoo! Mail - o melhor webmail do Brasil. Saiba mais!

Re: Fwd:_[obm-l]_GMAT_/_Dúvidas_.

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

Puxa, como ele adivinhou??
Tudo bem, acho que o Claudio sabe.Augusto Cesar de Oliveira Morgado [EMAIL PROTECTED] wrote:
Fica tranquilo que daqui a alguns dias o JP vai te responder:"Nao, eu nao conheço".Agora, falando serio: em portugues eh dificil.Em ingles, entre num google desses procurando por gmat que voce vai encontrar alguma coisa, inclusive um arquivo para baixar com uma prova simulada.MorgadoEm Thu, 23 Oct 2003 18:08:11 -0200, Marcos Braga <[EMAIL PROTECTED]>disse:   Caramba !! Fui totalmente ignorado , ninguém respondeu ...  Tá bom , não pergunto mais ...:))  Mesmo assim se alguma alma caridosa puder me respoder ficarei muito feliz.  Marcos .   X-Sender: [EMAIL PROTECTED] X-Mailer: QUALCOMM Windows Eudora Version 5.2.1 Date: Wed, 22 Oct 2003 18:20:56 -0200 To: [EMAIL PROTECTED] From: Marcos
 Braga <[EMAIL PROTECTED]> Subject: [obm-l] GMAT X-MIME-Autoconverted: from quoted-printable to 8bit by  sucuri.mat.puc-rio.br id RAA14433 Sender: [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED]  Oi Galera ,  Sou novo na lista e uma apaixonado por Matemática e Filosofia . Com  certeza meu conhecimento de matemática não é tão bom como de vcs, e sendo  assim prometo não fazer perguntas idiotas . :))  Estou para prestar uma prova no estilo GMAT , alguém conhece alguma  literatura , em português se possível, com características das questões GMAT ?  Abraços .  Marcos .   = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista
 em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =   = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =  =Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html===Yahoo! Mail - o melhor webmail do Brasil. Saiba mais!

Re: [obm-l] OBM-2 e 3 - problema da divisibilidade

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

Bem, da pra usar a reciprocidade quadratica.Completando quadrado vemos que nosso polinomio deixa algo como 
(2x)^2+2*5*(2x)++25-25+4*23=0 mod p, ou como quiser 
(2x+5)^2=67mod p ou seja67 e residuo quadratico mod p e assim, lendo a Eureka e possivel ver que p e quadrado modulo 67.

Agora e ir a luta mesmo!

"Domingos Jr." [EMAIL PROTECTED] wrote:
"Determine o menor primo positivo que divide x^2 + 5x + 23 para alguminteiro x."q(x) = x² + 5x + 23note que 23 é divisor de q(0)em segundo lugar veja que se para um dado x p|q(x), enntão existe um valor r p tal que p|q(r), basta ver que pelo algoritmo da divisão temos x = pm + rcom 0 = r  p para algum m inteiro, logoq(x) = q(pm + r) = (pm + r)² + 5(pm + r) + 23 = p²m² + 2pm(r + 5) + r² + 5r+ 23como p|q(pm + r), p|[p²m² + 2pm(r + 5) + r² + 5r + 23], logop|(r² + 5r + 23), p|q(r)então você vai testar no máximo os primeiros 23 valores do polinômio :-)tá, ok, não deixa de ser uma tarefa massante, mas dá pra fazer issofacilmenteq(x+1) = (x+1)² + 5(x+1) + 23 = x² + 7x + 29q(x+1) - q(x) = 2x + 6q(0) = 23q(1) = 23 + 2.1 + 6 = 31q(2) = 31 + 2.2 + 6 = 41q(3) = 41 + 2.3 + 6 =
 53q(4) = 53 + 2.4 + 6 = 67...se você quer ser metódico, monte uma tabela com os primeiros valores de 2x +6 e vá calculando os valores do polinômio dessa forma (duvido que vc percamais do que 5 minutos pra chegar na solução).não sei se respondi seu item (a) satisfatoriamente, mas não veio nenhumaidéia de como resolver isso facilmente (resolver os polinômios mod p não émuito divertido).item (b)se q(x) = a0 + a1x + a2x² + ... + a[n]x^n é um polinômio de coef. inteiros(se forem racionais, multiplique o pol. por um inteiro que transforme todosos coef. em inteiros) então r = u/v é uma raiz racional desse polinômiosomente se u divide a0 e v divide a[n].item (c)a lista é para todos os níveis[ ]'s=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista
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Re: [obm-l] Equação Biquadrada

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

Sera que vale dizer zero?Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] wrote:
on 23.10.03 23:58, Fábio Bernardo at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Pessoal, como posso resolver essa questão, sem resolver a equação?Determine a soma das duas raízes positivas da equação1992.x^4+1993.x^2+1994=0Desde já agradeço.Seja f(x) = 1992x^4 + 1993x^2 + 1994.Eh facil ver que, para x real, o valor minimo de f(x) eh 1994, obtido quando x = 0.Logo, f(x) nao tem raizes reais.Portanto, nao faz sentido falar em raizes positivas da sua equacao, pois as 4 raizes sao complexaYahoo! Mail - o melhor webmail do Brasil. Saiba mais!

Re: [obm-l] Nºs Complexos (Mr. Crowley)

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

Isto e meio classico:
Z1=a+bi,e Z2=c+diZ1barra=a-bi e Z2=c-di
(Z1+Z2)barra=(a+c+(b+d)i)barra=a-bi+c-di paraisodovestibulando [EMAIL PROTECTED] wrote:
Olá Pessoal,Me ajudem nesta questaum:Prove que *(Z[1] + Z[2]) = *Z[1] + *Z[2], onde Z[1] e Z[2] E C.obs: *(Z[1] + Z[2]) = le-se conjugado de Z[1] mais Z[2]*Z[1] + *Z[2] = le-se conjugado de Z[1] mais conjugado de Z[2]GratoMr. Crowley__Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela.AntiPop-up UOL - É grátis!http://antipopup.uol.com.br/=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html===Yahoo! Mail - o melhor webmail do Brasil. Saiba mais!

Re: [obm-l] Geometria (Mr. Crowley)

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

Num triangulo retangulo a hipotenusa e o maior lado logo nao ha resposta pois AB-AC=0paraisodovestibulando [EMAIL PROTECTED] wrote:
Olá Pessoal,Me ajudem nesta questaum:Sejam ABC e ACD dois triângulos retângulos isósceles com o lado AC comum, e os vértices B e D situados em semiplanos distintos em relação ao lado AC. Nestes triângulos AB = AC = a e AD = CD.a) Calcule a diagonal BD, do quadrilátero ABCD.b) Seja E o ponto de interseção de AC com BD. Calcule BE e ED.c) Seja F a interseção da circunferência de diâmetro BC com a diagonal BD. Calcule DF e EF.GratoMr. Crowley__Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela.AntiPop-up UOL - É grátis!http://antipopup.uol.com.br/=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista
 emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Yahoo! Mail - o melhor webmail do Brasil. Saiba mais!

Re: [obm-l] Provas da OBM

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

Por enquanto em lugar nenhum.Mas eu poderia lhe passar pessoalmente (digo,e-mailmente) para voce.So uma coisa:eu sou altamente preguiçoso e te mandaria duas vezes por mes uma prova.E outra:nao tenho a de 1996 mas deixei a de 1995 na lista (e ninguem tinha se mexido!)
Enfim e isso.Posso deixar algumas na lista mas nao sempre...Douglas Ribeiro Silva [EMAIL PROTECTED] wrote:







Olá pessoal, gostaria de saber se algum de vocês sabe me dizer onde há para download na Internet as provas da OBM anteriores ao ano de 1998. Eu realmente ficaria muito grato. Abraços...Yahoo! Mail - o melhor webmail do Brasil. Saiba mais!

Re: [obm-l] Como se Resolve?

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

Rapido!Antes vou TeXar sua mensagem:
(18-8*(2)^1/2)^1/2=a+b*(2)^1/2
Agora, eleva ao quadrado:
18-8*(2)^1/2=(a^2+2*b^2)+(2*ab)*(2)^1/2

agora e so fazer 18=a^2+2*b^2 e 2*ab=8Carlos Alberto [EMAIL PROTECTED] wrote:

Como faço para resolver os exercícios abaixo?

Mostre que existem "a" e "b" racionais tais que, raiz quadrada (18-8.raiz quadrada de (2)) = a + b.raiz quadrada (2).

-

Prove que, dado um número racional a/b e um número natural n = 2, nem sempre raiz n de (a/b) é racional.

-

Eu sempre acabo me enrolando com exercícios do tipo, prove..., demonstre..., Existe algumas dicas que vocês possam estar me dando?


Sou novo na lista, e estou aprendendo muito com vocês!!!

Desde já agradeço a atenção de todos.
CARLOS



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Re: [obm-l] Sobre a Revista Eureka

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

NOSSA!Nao precisa ser tao estupido e rispido.Ja faz um tempo que esta parte tem sido deixada parada.E por um motivo simples:e mais facilpegar a revista inteira para ler na rede.
Qualquer coisa fale com o pessoal por carta,oras!Ou diretamente por e-mail.
Carlos Maçaranduba [EMAIL PROTECTED] wrote:
Quem for responsavel pela divulgaçao onde estapresente os artigos em separado da Revista Eureka,poderia pelo menos dar uma atualizadinha e por osartigos mais recentes...:)Yahoo! Mail - o melhor webmail do Brasilhttp://mail.yahoo.com.br=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Yahoo! Mail - o melhor webmail do Brasil. Saiba mais!

[obm-l] OBM terceira fase

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

LEGAL
Impulso Pelvico!
A prova do nivel tres tava um nabo mas acho que este ano ainda to no pareo pra mençao.Alias ces viram os problemas?Estavam bem legais.
O dois eu zerei feio,nao fiz nada inteiro no primeiro dia (apesar de o 1 ser ridiculo), cheguei muito perto do tres, fiz o 4 com geometria cearense, o cinco nao fiz muito, e o seis gastei tres folhas dec almaçpo para so ter a ideia de acabar no final.
E o pior e que o seis nao era dificil mesmoEra so uma estimativa adequada perto de um numero grande o bastante para garantir uma desigualdade.

E o nivel dos paulistas aumentou mum pouco...o Hirama deve ter fechado o dia 1 e o Telmo deve ter fechado o dia dois.E Sao Paulo recuperara a hegemonia na proxima IMO!

Depois eu confiro.Te mais

PS.:Vamos pensar na vingança olimpica agora?E claro que tudo sera fora da lista pois os professores podem le-la...Alias Sao Paulo sera 
representado por Carlos Shine,ja que ele acabou de sair do nivel Ucomoaluno e agora esta no nivel P de Professor.

ass.:JohannYahoo! Mail - o melhor webmail do Brasil. Saiba mais!

Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_Interpretaçao_do_corpo_R[x]/(x^2_+_1)

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

Eu ja ouvi falar desta adjunçao ha algum tempo...Basicamente os complexos sao comparados aos polinomios modulo 1+X^2.
Esta abordagem e facil mas a demo de que ele e algebricamente fechado pode ser achada nos livros do Milne sobre GaloisCarlos Maçaranduba [EMAIL PROTECTED] wrote:
Nao consegui ver essa magica que vc diz vê na mensagemabaixo. agora a mágica da coisa... tome o elemento x + , veja que esse elemento é raiz do polinômio x² + 1, pois (x + )² = (x² + 1) + = 0!Isso aqui"x + "nao é x+f(x)*(x^2+1)??? Pq vceleva ao quadrado e como chega em (x² + 1)+ ???  (que na verdade é um corpo pois x²+1 é irredutível) são representados por polinômios de grau 1 em x, logo são da forma ax + b, sabendo que o x e o i são a mesma coisa, vemos que os elementos desse corpo são da forma ai + b, com a e b reais... preciso ser mais formal que isso?Vc define que x e i sao a mesma coisa???Eu entendi queos elementos representantes devem ser os restospossiveis da divisao por x^2 + 1 que no caso
 ,acardinalidade é igual a dos Reais. O que vinha antes dessa mensagem eu entendidireitinhoValeu pela explicacaosimples.Aproveitando, o Teorema de Lagrange paraGrupos vale tambem para polinomios, como o grupoaditivo de R[x]/(x^2 + 1)??E se x^2 + 1 nao fosseirredutivel em R[x] quais subgrupos existiriam???Yahoo! Mail - o melhor webmail do Brasilhttp://mail.yahoo.com.br=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html===Yahoo! Mail - o melhor webmail do Brasil. Saiba mais!

Re: [obm-l] teo. simpsom

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

Nao sei direito...Se for o Teorema de Simson-Wallace, ele diz o seguinte:
"Num quadrilatero ciclico as projeçoes de um dos vertices sobre as retas suportes dos lados e diagonais do quadrilatero que nao sao incidentes ao dito vertice sao colineares"Tentre demonstrar em casa!Voce pode usar GA ou geometria cearense...Isaac FJV [EMAIL PROTECTED] wrote:




POR ACASO ALGUÉM CONHECE O TEOREMA DE SIMPSOM???Yahoo! Mail - o melhor webmail do Brasil. Saiba mais!

[obm-l] Sobre o somatorio que a Renata enviou ha algum tempo para a Lista

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

Ola pessoas e maquinas!!!Essa e so para relatar a minha ultima proeza de falta do que fazer...

Certa vez a Renata R. (esqueci esta parte do nome...) pediu para calcularem este belo somatorio...

1*A^1+2*A^2+3*A^3+...+n*A^n=S(n)

Arranjei um jeito mais ou menos facil de fazer!Vejam so:
S(n)-S(n-1)=n*A^n.
S(n+1)-S(n)=(n+1)*A^(n+1)=A*(n*A^n)+A^(n+1)
S(n+1)-S(n)=A*(S(n)-S(n-1))+A^(n+1)
Agora adivinhem como vou continuar?Yahoo! Mail - o melhor webmail do Brasil. Saiba mais!

Re: [obm-l] P.G.

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

1)Pode ser o que voce quiserSimplesmente napo ha nada que me impeça de colocar qualquer coisa ai...
2)Escreve tudo em funçao do primeiro termo e da razao.Yahoo! Mail - o melhor webmail do Brasil. Saiba mais!

Re: [obm-l] Re: Polinômio quadrado

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

Ah esse UTF polinomial e muito chapado!!
Se eu nao me engano caiu na Ibero universitaria.Certa vez o Evandro, o Telmo e minha interface humana estavamos olhando a prova e o Evandro estava comentando:
-E, esse ultimo problema parece legal.
Nisso o Telmo fala:-Mas no caso acho que neste problema os polinomios sao nao constantes...
E eu de idiota ainda pergunto por que...Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] wrote:
Oi, Artur:Eh isso mesmo!De fato ha paralelos interessantes entre numeros inteiros e polinomios reais(alias, era de se esperar jah que ambos sao exemplos de dominioseuclidianos).Por exemplo, um inteiro positivo pode ser expresso como uma soma de doisquadrados de inteiros se e somente se todos os seus fatores primos da forma4k+3 tiverem expoente par.Outro resultado interessantissimo eh o Ultimo Teorema de Fermat parapolinomios: Se n  2, entao nao existem polinomios x(t), y(t) e z(t) taisque grau(x(t)*y(t)*z(t))  0 e x(t)^n + y(t)^n = z(t)^n.Valeu pela atencao ao problema e parabens pela solucao.Um abraco,Claudio. on 08.10.03 13:52, Artur Costa Steiner at [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá a todos!  O Claudio mandou para a lista alguns problemas bem interessantes
 sobre polinomios quadrados. O primeiro deles, na minha opiniao, eh um daqueles lindos nao de morrer mas de ressuscitar:  =0 para todo x real, entao existem polinomios R e S tais que P(x) = S^2(x) + R^2(x).  Eh facil ver que o grau de P tem que ser par (de outra forma, P assumiria em R valores positivos e negativos) e que o coeficiente de mais alto grau eh positivo. Sem perda de generalidade, podemos assumir que P eh monico.  Vejamos agora o seguinte lema: "Se r eh raiz real de P, entao r tem multiplicidade par" Para todo x real ou complexo, temos que P(x) = (x-r)^p * Q(x), onde Q tem coeficientes reais e Q(r)0. Em virtude da continuidade da funcao polinomial, existe uma vizinhanca de r na qual a restricao de Q aos reais nao muda de sinal. Escolhendo-se uma vizinhanca
 de r de amplitude suficientemente pequena, obtemos um intervalo na reta real no qual Q nao muda de sinal mas x-r o faz. Logo, se p for impar, entao (x-r)^p -- e, portanto, o proprio P --- , tambem mudam de sinal em tal intervalo, contrariamente aa hipotese do teoremma. Temos portanto que p eh necessariamente par.  Outra forma de chegarmos a esta mesma conclusao eh observando que, nos reais, P apresenta um minimo absoluto, logo relativo, em r. Da diferenciabilidade das funcoes exponenciais para todas as ordens, segue-se que existe um numero par p tal que as primeiras p-1 derivadas de P em r sao nulas e a de ordem p eh positiva. Dado que cada vez que derivamos um um polinomio reduzimos de uma unidade a multiplicidade de suas raizes, segue-se necessariamente que r tem multiplicidade p --- numero par.  Corolário --- se todas as raizes de P forem reais, entao P = R^2
 para algum polinomio R.  No caso geral, temos, para todo complexo x, que P(x) = (x-r_1)^p_1..*..(x-r_k)^p_k * Q(x) (Eq. 1) , onde r_1, ...r_k sao raizes reais de P (caso existam) e os p_1,...p_k sao pares, podendo cada um deles ser nulo. Dado que P tem grau par, Q tem grau tambem par. Alem disto, Q nao apresenta nenhuma raiz real. Como os coeficientes de Q sao reais, as raizes de Q sao pares de complexos conjugados com parte imaginaria nao nula. Logo, Q eh dado por um produto de trinomios do segundo grau, irredutiveis, cujas raizes sao da forma a+ bi e a- bi., b0. Da Algebra sabemos que cada um deste trinomios eh da forma (x-u)^2 + v^2, com u e v reais, v0. Tambem da Algebra, temos que o produto de duas somas de quadrados eh, por sua vez, uma soma de quadrados. De fato, no corpo dos complexos temos a identidade (a^2+ b^2)*(c^2+d^2) = (ac+bd)^2 + (ad
 - bc)^2, a qual eh facilmente demonstrada. Alicando-se esta ultima identidade aos pares aos fatores irredutiveis de Q, concluimos que Q eh dado pela soma dos quadrados de 2 polinomios de coeficientes reais. E considerando-se a Eq.1, a demonstracao do teorema fica completa.  Uma outra forma, talvez um pouco mais dificil, de concluirmos que Q eh dado pela soma de dois quadrados eh fatorar Q como o produto de dois polinomios de coeficientes complexos, o primeiro formado por produtos de monomios do tipo (x-z) e o segundo por monomios do tipo (x-z'), sendo z' o conjugado de z. Temos entao que Q eh dado por dois polinomios conjugados, isto eh A + Bi e A- Bi, onde A e B sao polinomios de coeficientes reais. Segue-se portanto que Q = A^2 + B^2.  Havia ainda dois outros problemas sobre polinomios. Um deles nao eh dificil, basta mostrar que o polinomio em questao tem um
 minimo absoluto positivo. O ultimo, de fato, parece ser bem dificil  -- Claudio, aquele outro problema que vc mandou, o da sequencia, eh tambem muito bonito. Ainda nao pude tentar resolver. Um abraco   OPEN Internet @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no 

Re: [obm-l] 3a fase

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

Achpo que e a tarde por volta das duasEduardo Henrique Leitner [EMAIL PROTECTED] wrote:
alguem sabe que horas serão as provas da terceira fase? no site soh diz os dias...obrigado=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Yahoo! Mail - o melhor webmail do Brasil. Saiba mais!

Re: [obm-l] _Solução_de_problemas

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

O Claudio ja respondeu,e so ir na lista e caçar!Yahoo! Mail - o melhor webmail do Brasil. Saiba mais!

Re: [obm-l] Problema da (segunda fase) obm-u 2002

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

E,eu fiz isso na segunda fase...Foi muito engraçado
Na segunda fase nivel 3 nem escrevi direito na do Fibonacci,destrui todas a s minhas forças na seis errando varias contas,a dos biquadrados consegui acabar no ultimo segundo da prova e ainda deu pra levar uma nos dois de geometria!E poderia ter feito o mais facil, enquanto todos se mataram nos que eu poderia ter feito..."Marcio Afonso A. Cohen" [EMAIL PROTECTED] wrote:
Oi Domingos. Nao cheguei a ler a sua solucao toda, apenas dei uma olhadaem diagonal, mas ela parece estar certa. Inclusive, essa generalizacao foiexatamente a solucao do Carlos na prova do ano passado (pelo que euconversei com ele), com uma abordagem extremamente parecida com a sua. Bemlegal.Quanto a concentrar os esforcoes numa unica questao, minha estrategia emgeral eh dar uma esbocada em 2 ou ateh nos 3 problemas no inicio da prova(umas meia hora) e depois concentrar meus esforcos no que eu acho que tenhomais chances...Mas as vezes eu julgo mal.. Por exemplo, na prova do ano retrasadofiquei umas 3hs na questao de combinatoria (4) e ainda errei algumascontas.. Depois, na 1h30m restante eu consegui fazer a questao 5..Claramente dei sorte.. Se eu tivesse perdido mais tempo na 4, provavelmentenao teria esquentado nem um pouco e teria
 deixado a 5 em branco, pq naprimeira lida eu julguei que ela era mais complicada (a minha sorte eh queeu sabia que tinha que escrever algo nela, pq ela tinha uma letra a facilque certamente valeria pontos).Abracos,Marcio- Original Message -From: "Domingos Jr." <[EMAIL PROTECTED]>To: <[EMAIL PROTECTED]>Sent: Wednesday, Occtober 08, 2003 2:58 PMSubject: [obm-l] Problema da (segunda fase) obm-u 2002 Olá! Estava vendo os problemas do ano passado (segunda fase) pra treinar pra segunda fase deste ano (eu passei!!!) e peguei pra resolver o problema 2,de matrizes. Acho que consegui resolver uma generalização do problema... gostaria que o povo da lista desse uma olhada: http://www.linux.ime.usp.br/~domingos/obm-u-p2.pdf A propósito, qual seria a estratégia para a segunda fase, concentrar esforços num único problema? (se resolver um
 inteiro já é algo notável?) [ ]'s = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html ==Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Yahoo! Mail - o melhor webmail do Brasil. Saiba mais!

Re: [obm-l] Contagem

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

Seu problema so nao e igual ao da OBM por tres motivos:as cores dos oculos e o fato de nao se ter certeza sobre o primeiro dia.De novo, Eureka!andré_luiz_rodrigues_chaves [EMAIL PROTECTED] wrote:




Uma pessoa possui três óculos: um azul, um preto e o outro cinza. Ela sempre usa umóculos em cada dia do mês. Num mês de 30 dias, de quantas maneiras diferentes ela poderá usar os referidos óculos de modo quenão haja repetição de cor em dias consecutivos e que o óculos cinza seja usado nos dias 1 e 30.Yahoo! Mail - o melhor webmail do Brasil. Saiba mais!

Re: [obm-l] numero racional.

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

Simples:m^2=2*n^2 acarreta que m e par pois senao 
(impar)^2=2*(qualquer coisa),falso.Analogamente no outro casoHely [EMAIL PROTECTED] wrote:
Pessoal, vejam se esta demonstração esta certa:Provar que sqrt(2) é irracional.Por contradição digo que sqrt(2) é racional.Logo sqrt(2) = m/n que é uma fração irredutível, e 'm' e 'n' são primosentre si.Da relação acima digo que m^2 = 2 n^2.Posso afirmar que m^2 é par. m também deve ser par, logo m = 2k, com kpertencente a Z.(2k)^2 = 2n^2, onde concluo que n^2 tambem é par. n tambem deve ser par.Se m e n são pares existe uma contradição pois sqrt(2) não é uma fraçãoirredutível, e logo não é racional.Minha dúvida é, como posso dizer que m e n são pares?=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista
 emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Yahoo! Mail - o melhor webmail do Brasil. Saiba mais!

Re: [obm-l] recíprocas

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

O que significa a palavra esquecíh?Eduardo Henrique Leitner [EMAIL PROTECTED] wrote:
"Não existem equações recíprocas de segunda espécie e grau par, salvo quando -1 é uma das raízes com multiplicidade ímpar"esquecíh de considerar este fato...=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Yahoo! Mail - o melhor webmail do Brasil. Saiba mais!

Re: [obm-l] Re[2]: [obm-l] 3a. fase olímpiada da obm

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

Realmente,escrever e uma profissao extremamente dificil e espinhosa...Se voces entenderam mal a minha mensagem a culpa ja nao e minha...

"ja que voce e adepto de uma piada sarcastica,aqui vai:

[nivel1] [nivel2] ... [nivelU]Sugiro mais uma:[Mensagens do Peter que não contribuem em nada para o debate]"
Eu tambem coloco minha sugestao sem-graça...

[sem comentarios] e de vez em quando [offtopics]_
|APAGAR|
|_|
Igor GomeZZ [EMAIL PROTECTED] wrote:
Em 6/10/2003, 14:23, Johann ([EMAIL PROTECTED]) disse: Sera que voce nunca ouviu falar da Eureka! nao? Alias por que voce nao tenta fazer sozinho?Voce podeAcrescentando à idéia de ordenação que rolou na lista há pouco tempo:[nivel1] [nivel2] ... [nivelU]Sugiro mais uma:[Mensagens do Peter que não contribuem em nada para o debate]Desculpe-me Nicolau e todos da lista, sei que eh offline... Mas o Cláudiojah comentou isso com ele, outros jah falaram e não adiantaAteh Igor GomeZZ ICQ#: 29249895Vitória, Espírito Santo, BrasilCriação: 7/10/2003 (00:14)#Pare para pensar:"Quem controla o passado, controla o futuro. Quem controla o presente, controla o passado." (George
 Orwell)#=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Yahoo! Mail - o melhor webmail do Brasil. Saiba mais!

Re: [obm-l] EQ. RECÍPROCAS - CONSERTO

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

Simplesmente nao tem essa historia de simetricos!Jorge Paulino [EMAIL PROTECTED] wrote:
Faltou digitar a palavra SIMÉTRICOS na mensagemanterior.."Galera,tô estudando equações recíprocas pelo livro do Iezzi,mas acho que a teoria não fica de acordo em exemplosdo tipo x^2+x-1=0. Pelo livro é recíproca, pois oscoeficientes equidistantes dos extremos sãoSIMÉTRICOS,mas as raízes são (-1 mais/menos sqrt(5))/2, não sendoinversas uma da outra.Alguém conhece um material diferente para estudaresse assunto?Jorge"Yahoo! Mail - o melhor webmail do Brasilhttp://mail.yahoo.com.br=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Yahoo! Mail - o melhor webmail do Brasil. Saiba mais!

Re: [obm-l] Tabuleiro 3 x 2n com dominos 2x1

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

Este problema ja caiu numa olimpiada bulgara.Depois eu confiro a resposta mas esta coisa de autovalores e melhor com algumas coisas que ninguem aprende sobre o poder da algebra linear...Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] wrote:
Oi, Nicolau:Eu calculei o no. de maneiras de se cobrir um tabuleiro 3 x 2n com dominos2x1 e achei a recorrencia:f(n) = 3*f(n-1) + g(n-1)g(n) = 2*f(n-1) + g(n-1)f(1) = 3, g(1) = 2onde f(n) = no. desejado e g(n) = no. de maneiras de se chegar a casa 2n com2 dominos deitados.Eliminando g(n): f(n) = 4*f(n-1) - f(n-2); f(1) = 3; f(2) = 11.f(n) = 3, 11, 41, 153, 571, 2131, ...Resolvendo eu achei a formula explicita para f(n):f(n) = (1/6)*[(3+raiz(3))*(2+raiz(3))^n + (3-raiz(3))*(2-raiz(3))^n]Minha duvida: Existe alguma razao para os autovalores (2+ou-raiz(3)) seremos mesmos que no caso do pilar ou foi soh coincidencia? Qual o papel (ouinterpretacao) dos autovalores nesse tipo de problema?Um abraco,Claudio.on 05.10.03 23:12, Claudio Buffara at [EMAIL PROTECTED]
 wrote: on 04.10.03 11:44, Nicolau C. Saldanha at [EMAIL PROTECTED] wrote:  On Thu, Oct 02, 2003 at 09:11:23PM -0300, [EMAIL PROTECTED] wrote: De quantas maneiras pode ser construído um pilar 2x2xn com tijolos 2x1x1?  Calculei os primeiros termos desta seqüência:  1,2,9,32,121,450,1681,6272,23409,87362,326041,1216800,...  e procurei na enciclopédia de seqüências de inteiros:  http://www.research.att.com/~njas/sequences/Seis.html  A enciclopédia conhece a seqüência, ela se chama A006253. A enciclopédia também indica que este problema está no Concrete Mathematics, de Graham, Knuth e Patashnik, página 360. A página também dá uma fórmula bem simples que eu não vou copiar (para que vocês possam tentar obter sozinhos e tb para que olhem as
 referências).   Oi, Nicolau:  Depois de umas 5 tentativas frustradas (onde eu invariavelmente esquecia de levar em conta alguma alternativa), finalmente consegui descobrir a relacao de recorrencia para esse problema.  Sejam: f(n) = no. de maneiras de se construir um pilar de altura n; g(n) = no. de maneiras de se chegar ao n-esimo andar com 2 tijolos colocados verticalmente (apoiados no (n-2)-esimo andar) e lado a lado.  Por enumeracao direta obtemos: f(1) = 2 e f(2) = 9 g(1) = 0 e g(2) = 4  As relacoes de recorrencia sao: g(n) = 4*f(n-2) + g(n-1) f(n) = 2*f(n-1) + f(n-2) + g(n)  Justificativa: g(n): Se temos um plateau no (n-2)-esimo andar, entao podemos colocar 2 tijolos verticalmente e lado a lado para chegar ao n-esimo andar de 4 maneiras (em cada uma das 4 faces do pilar). Esse
 eh o termo 4*f(n-2) Se ja existem 2 tijolos verticais no (n-1)-esimo andar (portanto, apoiados no (n-3)-esimo andar), entao, soh teremos 1 maneira de apoiar tijolos verticais no (n-2)-esimo andar. Esse eh o termo g(n-1).  f(n): Se temos um plateau no (n-1)-esimo andar, entao podemos colocar 2 tijolos horizontais de 2 maneiras para completar o n-esimo andar (norte-sul ou leste-oeste). Esse eh o termo 2*f(n-1). Se temos um plateau no (n-2)-esimo andar, entao podemos colocar 4 tijolos verticais e chegar ao n-esimo andar. Esse eh o termo f(n-2) Se temos dois tijolos verticais lado a lado no n-esimo andar (portanto, apoiados no (n-2)-esimo andar), soh teremos uma maneira de colocar o tijolo restante e completar o n-esimo andar. Esse eh o termo g(n).  *  Calculando, obtemos: n g(n) f(n) 1 0 2 2 4 9 3 12 32 4 48
 121 5 176 450 6 660 1681 7 2460 6272 8 9184 23409 9 34272 87362 10 127908 326041  *  Pondo X(n) = (g(n),f(n),f(n-1))^transposto, a recorrencia se torna: X(n) = P*X(n-1) onde P eh a matriz: 1 0 4 1 2 5 0 1 0 cujos autovalores sao -1, 2+raiz(3) e 2-raiz(3).  Supondo uma solucao da forma: f(n) = a*(-1)^(n-1) + b*(2+raiz(3))^(n-1) + c*(2-raiz(3))^(n-1) e resolvendo o sistema resultante pela substituicao de n = 1, 2 e 3, eu achei a expressao:  f(n) = (-1)^n/3 + [(2+raiz(3))^(n+1) + (2-raiz(3))^(n+1)]/6  *  De fato, o problema acabou sendo mais sutil do que eu pensava inicialmente. Agora eu entendo o que voce disse sobre a dificuldade de se resolver o caso de um paralelepipedo m x n x p.   Um abraco,
 Claudio. =Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Yahoo! Mail - o melhor webmail do Brasil. Saiba mais!

Re: [obm-l] 3a. fase olímpiada da obm

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

Sera que voce nunca ouviu falar da Eureka! nao?
Alias por que voce nao tenta fazer sozinho?Voce pode obter soluçoes diferentes ou melhores que a da revista...Luís Felipe Silva [EMAIL PROTECTED] wrote:
oi pessoalEstou fazendo uns exercícios da 3a. fase da obm dosanos anteriores para treinar para a 3a. fase da obmdeste ano, e não sei aonde acho os resultados deles,se alguem souber onde posso achá-los ou quiserresolver pelo menos alguns deles e me mandar osresultados para conferir eu agradeceria.Os exercícios são do ano de 2001, nível 2, 3a. fase...[]´sLuís FelipeYahoo! Mail - o melhor webmail do Brasilhttp://mail.yahoo.com.br=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Yahoo! Mail - o
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Re: [obm-l] RES:_[obm-l]_Re:_[obm-l]_Sugestão_para_a_lista

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

Eu nao tenho a mesma paciencia que voce.Rodrigo_Maranhão [EMAIL PROTECTED] wrote:
Sinceramente, isso não é difícil de controlar. Seria só se cadastrar nalista no qual desejasse participar. E enviar os e-mails apenas para alista correspondente ao assunto. Se vc quer participar da lista de nívelu e das outras, é só se cadastrar nelas (é muito simples fazer isso).-Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED][mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de<[EMAIL PROTECTED]Enviada em: sexta-feira, 3 de outubro de 2003 13:53Para: [EMAIL PROTECTED]Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Sugestão para a listaSo alguns comentarios:1-Fale sobre mudanças na lista diretamente com o Saldanha.2-Opiniao pessoal,isto e muito inutil.Por exemplo,eu estudo muita coisade nivel U,e assim teria que me cadastrar em duas listas.E ainda porcimacomo controlar tudo isso?-- Mensagem
 original --Oi.Gostaria de sugerir que dividissem a lista em níveis. Isso facilitariamuito. Por exemmplo, poderia dividir a lista entre Lista1 (assuntos dequinta e sexta séries) Lista2 (Assuntos de sétima e oitava séries)Lista3 (assuntos de segundo grau) e ListaU (Assuntos de níveluniversitário), assim pessoas que estejam cursando o primeiro grau nãoprecisarão receber e-mail sobre assuntos ?muito complicados? queprovavelmente não irão entender nada. Isso seria de grande utilidade.  Rodrigo--Use o melhor sistema de busca da InternetRadar UOL - http://www.radaruol.com.br=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista
 emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html==Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Yahoo! Mail - o melhor webmail do Brasil. Saiba mais!

Re: [obm-l] Ajudem-me !!!

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

Este ultimo nao tem a menor graça...E duvido que este cara que te propos tenha feito sozinho.Alias sera que voce percebeu que N nao precisa da restriçao de ser inteiro?e so ter uma calculadora em maos e fazer as contas!
Na verdade a coisa mais interessante nele e que uma certa conjectura dizia que uma t-esima potencia nao poderia ser decomposta em uma soma com menos de t t-esimas potencias.e este e um contraexemplo explicito.

3) Seja n^5= 133^5 + 110^5 + 84^5 + 27^5 sendo n inteiro. Determine o valor de n n = 144.Yahoo! Mail - o melhor webmail do Brasil. Saiba mais!

Re: [obm-l] Questão_muito_boa_de_geometria_do_IME

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

Hoje estou com preguiça,va na Eureka que tem um problema igualAlexandre Daibert [EMAIL PROTECTED] wrote:
Calma gente, é só mais uma questãozinha do IME (vcs estão me devendo as respostas das outras questões ainda heim =) )Figurinha do IMEQuatro restas se interceptam formando quatro triângulos conforme figura abaixo (acima!!). Prove que os círculos circunscritos aos quatro triângulos possuem um ponto em comum.Alexandre DaibertYahoo! Mail - o melhor webmail do Brasil. Saiba mais!

Re: [obm-l] Matrizes, bolos e tortas...

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

Agora sou obrigado a escrever aqui:eu por acaso disse alguma vez que sou um decorador de formulinhas e algoritmos?Quando foi que disse algo parecido?
E alias ce acha que eu resolvo os problemas de geometria que aparecem por ai e ninguem faz apenas decorando formulas e algoritmos?Ce acha que eu resolvo problemas de olimpiada com formulinhas e algoritmos?
Eu so disse que nem sempre as coisas sao parecidas com o que a gente quer...por exemplo,se voice estudar a teoria dos corpos e coisas do tipo,a multiplicaçao e bem mais esclarecedora e util, e nao apenas um jeito curto de somar.Por exemplo,tente definir uma multiplicaçao a partir da soma de matrizes so pra ver pos pepinos enormes que aparecem...E alias definiçoes sao mesmo indiscutiveis.As utilidades,ai ja e outra historia...
Johann,Não estou querendo reinventar a matemática... Apenas por meio da curiosidade e imaginação, indagando e encontrando sentido nas definições.Se você prefere apenas decorar as formulas e algoritmos, faça bom proveito.[]s,Uílton O. DutraMail: [EMAIL PROTECTED]Web: http://uilton.person.dk"...Temos guardado um silêncio bastanteparecido com a estupidez..."%*** REPLY SEPARATOR ***%%On 29/09/03 at 16:40 Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet wrote:%E claro que nao e so definiçao.Maqs o cara quer que eu responda o porque%algo nao ser do jeito que ele quer.E claro que tudo tem o seu porque, mas%nao o SEU porque.%%niski <[EMAIL PROTECTED]>wrote: %Acredito que a multiplicacao de matrizes foi definida para com ela ser%possivel construir sistemas lineares.Yahoo! Mail - o melhor webmail do Brasil. Saiba mais!

Re: [obm-l] Metodo Geral de Racionalizaçao

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

Apesar de isto ser considerado "usar bazuca pra matar formiga", mostra que a ideia e na verdade simples.Tente os livros que o Tengan recomendou na Semana Olimpica.Carlos Maçaranduba [EMAIL PROTECTED] wrote:
Pessoal esse metodo que Dirichlet "quase" mostrou(naose preocupe Dirichlet, eu entendo sua falta detempo..hehe), eu entendi , mas parece que existe outromais elegante , que usa teorema do isomorfismo entreaneis e extensao de corpos conhecido como metodo deCauchy-Kronecker de achar inversos multiplicativos.Euestou tentando entender isso, tentando encaixar todasessas ideias mais ainda nao vi a luz.Inclusive asugestao da questao abaixo tem tudo a ver com essemetodo.Tentem fazer pela sugestao: PROBLEMARacionalizar o denominador da fraçao (1 - 2^1/3) / (1 + 2^1/3 + 4^1/3), isto é,escrever afraçao dada na forma "a + b*(2^1/3) + c*(4^1/3)" coma, b,c pertencente aos racionais.(Sugestão: Determinar o polinomio minimo de 2^1/3sobre os Racionais e usar o algoritmo de divisaoeuclidiana
 apropriadamente.)--- Claudio Buffara <[EMAIL PROTECTED]>escreveu:  on 24.09.03 15:02, Carlos Maçaranduba at [EMAIL PROTECTED] wrote:   --- Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet  <[EMAIL PROTECTED]>escreveu:  Esse  assunto ja foi muito discutido ha um ano nessa  lista e entao nao vou falar muito.  Basicamente a ideia e obter o polinomio minimal do  denominador e fazer o numerador inteiro.Por exemplo  pegue 1/(2^1/2+2^1/3).  Se x e o denominador entao x-2^1/3=2^1/2 ou  (x-2^1/3)^2=2, e assim sendo x^2 -2*2^1/3*x+2^2/3=2  A partir dai voce tenta destruir as potencias uma a  uma:isola de um lado e eleva loucamente!sim ai eu acho uma equacao e como concluo???  O
 artigo de shine esta em latex e eu nao tenho  visualizadorEnfim e isso...  PS:se voce estudar um pouco de polinomios no atrigo  do Shine na Semana Olimpica,vai entender um pouco  disso.   Oi, Macaranduba:  Como sempre, somos obrigados a aguentar as mensagens cripticas e pela metade do Dirichlet...  O artigo do Shine tem um exercicio que pede para: i) achar o polinomio minimal de a = 2^(1/2) + 3^(1/3); ii) racionalizar o denominador de 1/(2^(1/2) + 3^(1/3))  Esse exercicio ilustra bem a tecnica.  i) O polinomio minimal pedido eh obtido elevando-se ao cubo a equacao: x - 2^(1/2) = 3^(1/3), depois agrupando os termos com 2^(1/2) de um lado e elevando-se ao quadrado. No fim, voce chega em: x^6 - 6x^4 - 6x^3
 + 12x^2 - 36x + 1 = 0, ou seja, o polinomio minimal eh: p(x) = x^6 - 6x^4 - 6x^3 + 12x^2 - 36x + 1  ii) a eh raiz desse polinomio. Logo: a^6 - 6a^4 - 6a^3 + 12a^2 - 36a + 1 = 0 ==  1/a = -a^5 + 6a^3 + 6a^2 - 12a + 36  Repare que o lado esquerdo eh justamente o que queremos racionalizar e o lado direito eh uma FUNCAO RACIONAL de a (de fato, um polinomio) COM DENOMINADOR RACIONAL (de fato, igual a 1).  Dah um pouco de trabalho pra calcular, mas resolve o problema...   Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=
 =Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=

Re: [obm-l] Matrizes, bolos e tortas...

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

E claro que nao e so definiçao.Maqs o cara quer que eu responda o porque algo nao ser do jeito que ele quer.E claro que tudo tem o seu porque, mas nao o SEU porque.niski [EMAIL PROTECTED] wrote:
Acredito que a multiplicacao de matrizes foi definida para com ela ser possivel construir sistemas lineares.Henrique Patrício Sant'Anna Branco wrote:
Dirichlet,
Não sei, mas para mim a regra de multiplicação de matrizes não é
simplesmente uma "definição". Ela é feita com base em composição (produto)
de aplicações lineares.
Uílton, se você quiser entender um pouco mais sobre produto de matrizes, dá
uma olhada em livros de Algebra Linear, como o do Elon. Mas aí você vai ter
que estudar um bocado... Desde espaços vetoriais, sub-espaços até composição
de transformações lineares.
Abraço,
Henrique.

  
Isto tem a ver com a ultima declaração que fiz.Mas lembre-se:definições
são indiscutiveis!E o que seria logico pra voce?
  
E ha o problema das unidades...

  
"Uílton_O._Dutra" [EMAIL PROTECTED] wrote:
Johann,

Minha dúvida é: Porque a regra da multiplicação de matrizes manda somar as
colunas?
  
O resultado da multiplicação do meu exemplo é:

Quantidade Total
Farinha|170|
Açucar |80 |

Gostaria de saber porque não é:

Torta|Bolo|
Farinha |50 | 120 |
Açucar |40 | 40 |

Fazendo uma analogia a multiplicação de escalares,
a regra das matrizes não parece lógica.

[]s,

UOD

PS: Não entendo nada de culinária... :-)

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=


  

Re: [obm-l] Matrizes, bolos e tortas...

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

Isto tem a ver com a ultima declaração que fiz.Mas lembre-se:definições são indiscutiveis!E o que seria logico pra voce?E ha o problema das unidades..."Uílton_O._Dutra" [EMAIL PROTECTED] wrote:
Johann,Minha dúvida é: Porque a regra da multiplicação de matrizes manda somar as colunas?O resultado da multiplicação do meu exemplo é: Quantidade TotalFarinha|170|Açucar |80 |Gostaria de saber porque não é: Torta|Bolo|Farinha |50 | 120 |Açucar |40 | 40 |Fazendo uma analogia a multiplicação de escalares, a regra das matrizes não parece lógica.[]s,UODPS: Não entendo nada de culinária... :-)%*** REPLY SEPARATOR ***%%On 25/09/03 at 16:39 Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet wrote:%Nao entendi sua duvida mas vou tentar explicar:%Para uma torta vao 5 de farinha e 4 de açucar (deve ser so a massa...).%Para 10 tortas vao 5*10 de
 farinha e 4*10 de açucar.%Para um bolo vao 6 de farinha e 2 de açucar (coloca mais açucar nisso!)%Para 20 bolos vao 6*20 de farinha e 2*20 de açucar.%Para esses dois atrativos gastronomicos voce vai gastar 5*10+6*20 de%farinha e 4*10+2*20 de açucar.%Mas se voce quiser saber quanto vai pros bolos e pras tortas%individualmente (e nao saber o rombo que isso dara em seu orçamento e por%quanto tempo ce ficarta sem mesada), a multiplicaçao e outra.Tente ver%isso:(farinha e açucar X torta e bolo) vezes (torta e bolo X porçoes)%da farinha e açucar X porçoes%"Uílton O. Dutra" <[EMAIL PROTECTED]>wrote:%Olá Pessoal,%%Vou exemplificar minha dúvida.%% |Torta|Bolo|%Farinha| 5Kg |6Kg |%Açucar | 4Kg |2Kg |%% |Porções|%Torta| 10 |%Bolo | 20 |%%Se eu aplicar a multiplicação entre duas matrizes, obterei uma matriz %resultado com o total de farinha e o total e açucar a ser comprado.%%Porque a
 matriz resultado não é igual ao total de farinha e açucar para a %torta e o total de farinha e açucar para o bolo?%%[]s,%%UOD%%=%Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em%http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html%Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=

Re: [obm-l]soma infinita

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

Primeiro:x^y e x elevado a y
Segundo:qual a lei de formação?Gabriel Ribeiro Orlandini [EMAIL PROTECTED] wrote:


Alguém pode resolver esta para mim?
Seja a soma infinita:

1/2 + 1/3 + 1/m + m²/30 + 2/m² + m4/300 + ... =29/6

ali m4 é m elevado a quarta potencia

Calcule o valor de m.

Re: [obm-l] De onde vieram: Dij, Cof(Aij) e Laplace

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

A historia das matrizes e determinantes e comprida demais para alguns e-mails.Mas se quiser pesquise no livro de Carl Benjamin Boyer, Historia da Matematica,Ed,Edgar Blucher"Uílton O. Dutra" [EMAIL PROTECTED] wrote:
Amigos,Gostaria de saber de onde saíram o menor complementar, o cofator e o teoremade Laplace.[]s,UOD=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=

Re: [obm-l] Metodo Geral de Racionalizaçao

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

Puxa,eu nao pensei que voce nao pudesseconcluir esse raciocinio...
Vamos voltar da estaca zero.
Vamos ver de um modo mais simples:
x^2-2=0 e o polinomio minimal de 2^1/2.Isto significa que x^2=2, ou como quiser x*x=2.Assim x=2/x e portanto racionalizamos 2/x, concorda?
Para racionalizar (1mol)/x,nao deve ser dificil...Afinal voce ja racionalizou 2/x,certo?
Se fosse x^2-2x+3=0,teriamos x^2-2x=-3,e assim -3/x=x-2.Entendeu?Carlos Maçaranduba [EMAIL PROTECTED] wrote:
--- Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet<[EMAIL PROTECTED]>escreveu:  Esseassunto ja foi muito disccutido ha um ano nessa lista e entao nao vou falar muito. Basicamente a ideia e obter o polinomio minimal do denominador e fazer o numerador inteiro.Por exemplo pegue 1/(2^1/2+2^1/3). Se x e o denominador entao x-2^1/3=2^1/2 ou (x-2^1/3)^2=2, e assim sendo x^2 -2*2^1/3*x+2^2/3=2 A partir dai voce tenta destruir as potencias uma a uma:isola de um lado e eleva loucamente!sim ai eu acho uma equacao e como concluo???O artigo de shine esta em latex e eu nao tenhovisualizador Enfim e isso... PS:se voce estudar um pouco de polinomios no atrigo do Shine na Semana Olimpica,vai entender um pouco
 disso.___Desafio AntiZona: participe do jogo de perguntas e respostas que vaidar um Renault Clio, computadores, câmeras digitais, videogames e muitomais! www.cade.com.br/antizona=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=

Re: [obm-l] Matrizes, bolos e tortas...

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

Nao entendi sua duvida mas vou tentar explicar:
Para uma torta vao 5 de farinha e 4 de açucar (deve ser so a massa...).
Para 10 tortas vao 5*10 de farinha e 4*10 de açucar.
Para um bolo vao 6 de farinha e 2 de açucar (coloca mais açucar nisso!)
Para 20 bolos vao 6*20 de farinha e 2*20 de açucar.Para esses dois atrativos gastronomicos voce vai gastar 5*10+6*20 de farinha e 4*10+2*20 de açucar.
Mas se voce quiser saber quanto vai pros bolos e pras tortas individualmente (e nao saber o rombo que isso dara em seu orçamento e por quanto tempo ce ficarta sem mesada), a multiplicaçao e outra.Tente ver isso:(farinha e açucar Xtorta e bolo) vezes (torta e bolo X porçoes)
da farinha e açucar X porçoes"Uílton O. Dutra" [EMAIL PROTECTED] wrote:
Olá Pessoal,Vou exemplificar minha dúvida. |Torta|Bolo|Farinha| 5Kg |6Kg |Açucar | 4Kg |2Kg ||Porções|Torta| 10 |Bolo | 20 |Se eu aplicar a multiplicação entre duas matrizes, obterei uma matriz resultado com o total de farinha e o total e açucar a ser comprado.Porque a matriz resultado não é igual ao total de farinha e açucar para a torta e o total de farinha e açucar para o bolo?[]s,UOD=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista
 emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html===

Re: [obm-l] Metodo Geral de Racionalizaçao

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

Pois e nao e...Da proxima vez vou render os seguranças do meu colegio como refense exigir como resgate uma TV no meu "ambiente de trabalho"para eu nao precisar ir para casa toda vez que estiver passando "As aventuras de Tin-Tin".
Apenas para encerrar:por que e que eu tenho que dar detalhes quando meu tempo e curto e, como eu disse antes, esse assunto ja foi abordado na lista,e (teoricamente) nao necessito me alongar em explicaçoes?
E alias, se te perguntarem pra que serve racionalizar denominador, o que e que voces respondem?Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] wrote:
on 24.09.03 15:02, Carlos Maçaranduba at [EMAIL PROTECTED] wrote: --- Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet <[EMAIL PROTECTED]>escreveu:  Esse assunto ja foi  muito discutido ha um ano nessa lista e entao nao vou falar muito. Basicamente a ideia e obter o polinomio minimal do denominador e fazer o numerador inteiro.Por exemplo pegue 1/(2^1/2+2^1/3). Se x e o denominador entao x-2^1/3=2^1/2 ou (x-2^1/3)^2=2, e assim sendo x^2 -2*2^1/3*x+2^2/3=2 A partir dai voce tenta destruir as potencias uma a uma:isola de um lado e eleva loucamente!  sim ai eu acho uma equacao e como concluo??? O artigo de shine esta em latex e eu nao tenho visualizador  Enfim e isso... PS:se voce
 estudar um pouco de polinomios no atrigo do Shine na Semana Olimpica,vai entender um pouco disso. Oi, Macaranduba:Como sempre, somos obrigados a aguentar as mensagens cripticas e pela metadedo Dirichlet...O artigo do Shine tem um exercicio que pede para:i) achar o polinomio minimal de a = 2^(1/2) + 3^(1/3);ii) racionalizar o denominador de 1/(2^(1/2) + 3^(1/3))Esse exercicio ilustra bem a tecnica.i) O polinomio minimal pedido eh obtido elevando-se ao cubo a equacao:x - 2^(1/2) = 3^(1/3),depois agrupando os termos com 2^(1/2) de um lado e elevando-se ao quadrado.No fim, voce chega em:x^6 - 6x^4 - 6x^3 + 12x^2 - 36x + 1 = 0, ou seja, o polinomio minimal eh:p(x) = x^6 - 6x^4 - 6x^3 + 12x^2 - 36x + 1ii) a eh raiz desse polinomio. Logo:a^6 - 6a^4 - 6a^3 + 12a^2 - 36a + 1 = 0 ==1/a = -a^5 + 6a^3 + 6a^2 - 12a + 36Repare que o lado esquerdo eh justamente o que
 queremos racionalizar e olado direito eh uma FUNCAO RACIONAL de a (de fato, um polinomio) COMDENOMINADOR RACIONAL (de fato, igual a 1).Dah um pouco de trabalho pra calcular, mas resolve o problema...Um abraco,Claudio.=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=

Re: [obm-l] Torneio de tenis

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

Valeu por maios essa Claudio!!!
Ass.:JohannClaudio Buffara [EMAIL PROTECTED] wrote:
on 22.09.03 13:49, Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Oi turma, estou tentando resolver esse problema pra fechar a soluçao de um problema da IMO:"Considere n inteiro positivo, e um torneio de tenis no qual todos os n jogadores jogam contra todos.Sabe-se que e possivel distribuir as partidas em n-1 dias de modo que cada jogador jogue exatamente uma vez por dia.Ache todos os possiveis valores de n."Se cada jogador joga exatamente 1 vez ao dia e todas as n(n-1)/2 partidas podem ser distribuidas em n-1 dias, entao, a cada dia, sao jogadas n/2 partidas == n eh par.Por inspecao vemos que n = 2 e n = 4 servem:{1,2}e{1,2} {3,4}{1,3} {2,4}{1,4} {2,3}.Agora eh soh usar o metodo tradicional de se organizar um campeonato de "round-robin" (todo mundo joga contra todo mundo):Consideremos um campeonato com 2m jogadores (m = 3).Removendo um dos jogadores, podemos associar cada um dos 2m-1 jogadores restantes a um dos vertices de um
 (2m-1)-gono regular.Cada aresta desse (2m-1)-gono possui (2m-1 - 3)/2 = m-2 diagonais paralelas a ela.Para cada aresta, as extremidades dela e de cada uma das m-2 diagonais paralelas a ela determina uma partida. Sub-total = m-1 partidas (envolvendo 2m-2 jogadores = vertices).O jogador (vertice) restante joga com aquele que ficou de fora, completando a tabela do dia (Total = m partidas).Como existem 2m-1 arestas, obtemos as tabelas dos 2m-1 dias. Eh facil verificar que cada jogador joga exatamente uma vez com cada um dos outros.Essa construcao independe do valor de m. Logo, vale para todo m = 3.Como verificamos por inspecao que m = 1 e m = 2 tambem servem, concluimos que qualquer valor par de n serve.Um abraco,Claudio.

Re: [obm-l] Grau de um numero algebrico

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

Talvez se alguem demonstrar isto aqui o problema saia..."Um numero e algebrico se e somente se e autovalor de alguma matriz racional".
Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] wrote:
Pensando um pouco neste problema observei que, se a eh algebrico de grau n eP eh um polinomio de grau n que admite a como raiz, entao a eh raiz demultiplicidade 1. Mas nao estou vendo como esta observacao, certamente muitoconhecida dos que estudam teoria dos numeros, pode ajudar a resolver oproblema.ArturOi, pessoal:O problema do Macaranduba me deu uma ideia:Sabemos que um numero "a" eh dito algebrico de grau n (n = 1) se "a" ehraiz de um polinomio de grau n e coeficientes inteiros mas nao eh raiz denenhum polinomio de coeficientes inteiros e grau  n.Sejam a e b numeros algebricos de graus m e n, respectivamente.Sabemos que a+b e a*b tambem sao algebricos.O que podemos afirmar sobre os graus de a+b e a*b?Eu diria que os graus de ambos sao sempre = MMC(m,n), com igualdade se esomente se a e
 b sao L.I. sobre os racionais (ou seja, se r*a + s*b = 0, comr e s racionais, entao r = s = 0), mas nao tenho uma demonstracao disso (enem um contra-exemplo).Alguem se habilita?Um abraco,Claudio.=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=OPENInternet@ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=

Re: [obm-l] Metodo Geral de Racionalizaçao

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

Esse assunto ja foi muito discutido ha um ano nessa listae entao nao vou falar muito.
Basicamente a ideia e obter o polinomio minimal do denominador e fazer o numerador inteiro.Por exemplo pegue 1/(2^1/2+2^1/3).Se x e o denominador entao x-2^1/3=2^1/2 ou (x-2^1/3)^2=2, e assim sendo x^2 -2*2^1/3*x+2^2/3=2
A partir dai voce tenta destruir as potencias uma a uma:isola de um lado e eleva loucamente!
Enfim e isso...
PS:se voce estudar um pouco de polinomios no atrigo do Shine na Semana Olimpica,vai entender um pouco disso.Carlos Maçaranduba [EMAIL PROTECTED] wrote:
Alguem sabe um metodo geral de racionalizaçao de denominadores??___Desafio AntiZona: participe do jogo de perguntas e respostas que vaidar um Renault Clio, computadores, câmeras digitais, videogames e muitomais! www.cade.com.br/antizona=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Desafio AntiZona: participe do jogo de perguntas e respostas que vai dar 1 Renault Clio, computadores, câmeras digitais, videogames e muito mais!

Re: [obm-l] Resultados da Ibero 2003

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

Eu nao acredito muito nisso pois senao tirariam ponto no seis.Mas mesmo assim parabens aos caras, principalmente o estreante Fabio.Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] wrote:
Parabens a todos, especialmente Fabio e Alex que gabaritaram a prova (oponto que "la banquita" tirou do Alex na no. 2 deve ter sido soh pra nao ter2 brasileiros com nota maxima - aposto que o Morgado quase bateu em algum"hermano porte~no" por causa disso - sou bairrista, sim, e dai?...)Um abraco,Claudio.on 18.09.03 19:59, Fábio Dias Moreira at [EMAIL PROTECTED]wrote: Oi pessoal,  Já saíram os resultados da Ibero 2003:  Aluno Problema 1 2 3 4 5 6 Total  BRA1 (Alex) 7 6 7 7 7 7 41 BRA2 (Davi) 5 7 6 2 7 7 34 BRA3 (Fábio) 7 7 7 7 7 7 42 BRA4 (Samuel) 7 7 0 5 7 3 29  Vocês podem ver a prova em http://www.campus-oei.org/oim/xviiioim.htm  []s do Alex, Davi, Fábio, Samuel, Morgado e
 Luzinalva,=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Desafio AntiZona: participe do jogo de perguntas e respostas que vai dar 1 Renault Clio, computadores, câmeras digitais, videogames e muito mais!

Re: [obm-l] Resultados da Ibero 2003

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

Falando nisso,vamos ver a prova,como deveria ser tradiçao na lista.Digamos que ultimamente geometria tem sido mais decente em olimpiadas.ainda estou tentando os problemas de geometria da prova.qualquer coisa,quando voltar minha criatividade,eu mando algo.Augusto Cesar de Oliveira Morgado [EMAIL PROTECTED] wrote:
Não, a correçao foi muito bem feita e o Alex bobeou. Eh claro que, matematicamente, nao ha diferença entre o 42 do Fabio e o 41 do Alex. Mas o Alex bobeou. Trocou um sinal, o que eh extremamente natural, e na hora de fazer a conta final, em que teria a oportunidade de perceber que havia um erro de sinal e, portanto, teria a oportunidade de corrigi-lo, nao fez a conta final e escreveu o que deveria aparecer no final (se nao tivesse errado), cometendo, portanto, um segundo erro de sinal.Uma coisa importante desta olimpiada foi o ingresso de Porto Rico no grupo dos paises dourados, ou seja, que ganharam alguma medalha de ouro em Iberos. Considero isso uma das melhores coisas desta Ibero. A outra foi a bailarina de vermelho.Agora, falando serio(?): a festa de encerramento teve dois casais dançando (ah, a bailarina de vermelho) e, para surpresa total, dançando nao o tango e sim
 salsa, merengue, rumba, etc. Dizem as mas linguas que isso eh para convencer a todos que a Argentina eh um pais caribenho e, portanto, pode disputar a Centro-americana. A Olimpiada foi muito bem organizada, as condiçoes de hospedagem foram luxuosas, nuestros hermanos portenos la hicieran muy bien.Como gozar argentinos eh, para nos, um esporte nacional, viva a seleçao brasileira de polo. Passamos uma semana com a televisao enchendo nosso saco com a propaganda do polo: assista a partida Argentina x Brasil e conheça o melhor polo do mundo, o polo argentino.Resultado do jogo: Brasil 9x7.O que vou dizer agora eh o meu ponto de vista pessoal e nao deve nem pode de modo algum ser interpretado como uma posiçao da Comissao de Olimpiadas. O ponto fraco da Olimpiada, como sempre, eh o Jurado (conjunto dos chefes de delegaçao). Escolheu mal a prova: o problema 6 nao eh um problema olimpico (ou seja, um problema que necessite de mais engenho do que de conhecimentos especificos
 para sua resoluçao), facilitando a vida de paises que fizeram um treinamento aprofundado, como Brasil e Argentina. O problema 1 tambem nao era suficientemente facil para evitar a crueldade de levar um menino a uma Olimpiada e fazer com que ele volte para casa carregando seis notas zero.O desempenho do Brasil foi muito, muito bom. Sempre havera alguem que diga: como, se houve um 0 numa questao? Isso acontece. Premido pelo tempo, fica-se nervoso e aih eh que nao sai nada. Poderiamos ter tido um desempenho melhor no problema 4. O resto, ateh o 0, eh da vida.Havia um problema absolutamente lindo no banco, mas nao foi selecionado.Abraços a todos.MorgadoEm Fri, 19 Sep 2003 09:14:01 -0300, Claudio Buffara <[EMAIL PROTECTED]>disse: Parabens a todos, especialmente Fabio e Alex que gabaritaram a prova (o ponto que "la banquita" tirou do Alex na no. 2 deve ter sido soh pra nao ter 2 brasileiros com nota maxima - aposto que o
 Morgado quase bateu em algum "hermano porte~no" por causa disso - sou bairrista, sim, e dai?...)  Um abraco, Claudio.  on 18.09.03 19:59, Fábio Dias Moreira at [EMAIL PROTECTED] wrote:   Oi pessoal,Já saíram os resultados da Ibero 2003:Aluno Problema 1 2 3 4 5 6 TotalBRA1 (Alex) 7 6 7 7 7 7 41  BRA2 (Davi) 5 7 6 2 7 7 34  BRA3 (Fábio) 7 7 7 7 7 7 42  BRA4 (Samuel) 7 7 0 5 7 3 29Vocês podem ver a prova em http://www.campus-oei.org/oim/xviiioim.htm[]s do Alex, Davi, Fábio, Samuel, Morgado e Luzinalva,  = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =  =Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Desafio AntiZona: participe do jogo de perguntas e respostas que vai dar 1 Renault Clio, computadores, câmeras digitais, videogames e muito mais!