RES: [obm-l] Desigualdade com complexos
|e^z - 1| = |z + z^2/2 + z^3/3! + | e^|z| - 1 = |z| + |z|^2/2 + |z|^3/3! + ... Truncando-se as somas, usando desigualdade triangular e tomando o limite, obtem-se o resultado. Poderia omitir o -1 nesse caso? Um abraço. Pedro. -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira Enviada em: Monday, July 25, 2005 12:47 PM Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] Desigualdade com complexos Caro Danilo, Fazendo z=a+bi, queremos provar que (e^a.cosb-1)^2+(e^a.senb)^2=(e^((a^2+b^2)^(1/2)-1)^2, o que equivale a e^(2a)-2e^a.cosb=e^(2(a^2+b^2)^(1/2))-2e^((a^2+b^2)^(1/2)). Vamos mostrar que 0=x=y implica e^(2y)-2e^y-(e^(2x)-2e^x=e^x(y^2-x^2). Escrevendo y=x+h, isso equivale a e^(x+2h)-2e^h-e^x+2=h^2+2hx (apss dividir por e^x). Isso pode ser escrito como e^x(e^h-1)(e^h+1)-2(e^h-1)=h(h+2x), ou seja, (e^h-1)(e^(x+h)+e^x-2)=h(h+2x), mas e^h-1=h,e^x-1=x e e^(x+h)-1=x+h, donde e^(x+h)+e^x-2=2x+h e (e^h-1)(e^(x+h)+e^x-2)=h(h+2x). Agora, usamos isso para y=(a^2+b^2)^(1/2) e x=a, obtendo e^(2(a^2+b^2)^(1/2))-2e^((a^2+b^2)^(1/2))-(e^(2a)-2e^a)=e^a.b^2. Queremos provar que o lado esquerdo e' =2e^a.(1-cosb), e logo (dividindo por e^a) basta mostrar que b^2=2(1-cosb), mas 1-cosb=2(sen(b/2))^2=2.(b/2)^2=b^2/2, donde b^2=2(1-cosb), cqd. Abragos, Gugu Pessoal , alguem sabe fazer essa ? prove que para todo numero complexo z , vale |e^z-1| menor ou igual a e^|z|-1 Abs. = Instrugues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RES: [obm-l] Segunda prova da IMO - Solucoes
Gugu, Acho que tenho uma solução mais simples para o 4. Seja p um primo impar. Fazendo tudo modulo p temos, 2^(p-2)=a e 3^(p-2)=b onde 2a=1 e 3b=1. Então 6(2^(p-2)+3^(p-2)+6^(p-2)-1)=3+2+1-6=0. Isso mostra que para obtermos um múltiplo de p na seqüência, basta fazer n=p-2. Estranha essa solução, pois aí o problema fica trivial. Um abraço. Pedro. -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira Enviada em: Sunday, July 24, 2005 12:13 AM Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] Segunda prova da IMO - Solucoes Oi pessoal, Am vco minhas solugues do segundo dia, como mencionado na mensagem anterior. Abragos, Gugu Oi gente, la vai o segundo dia da IMO. Como a primeira prova de ontem, eu mesmo traduzi agora. Ainda nco pensei nos problemas de hoje, mas eles parecem ser bem legais! Os de ontem foram bem legais tambim. No comego, achei que os problemas eram difmceis porque nem tinha muita idiia de como resolver, mas depois que parei para pensar com mais calma consegui resolver dois problemas (1 e 2). 4. Determine todos os inteiros positivos relativamente primos com todos os termos da seq|jncia infinita a_n = 2^n + 3^n + 6^n - 1, n = 1. 5. Seja ABCD um quadrilatero convexo e fixado com BC = DA e BC nco paralelo a DA. Sejam E e F dois pontos variaveis sobre BC e DA, respectivamente, tais que BE = DF. As retas AC e BD cortam-se em P; as retas BD e EF cortam-se em Q; as retas EF e AC cortam-se em R. Quando variamos E e F, obtemos diferentes tribngulos PQR. Prove que os circuncmrculos desses tribngulos tjm um ponto comum diferente de P. 6. Numa competigco de matematica na qual foram propostos 6 problemas, quaisquer dois problemas foram resolvidos por mais de 2/5 dos estudantes. Alim disso, nenhum estudante resolveu todos os 6 problemas. Mostre que existem pelo menos 2 estudantes que resolveram 5 problemas cada um. []'s Shine Start your day with Yahoo! - make it your home page http://www.yahoo.com/r/hs = Instrugues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Solugues: 4) Vamos achar os primos que dividem algum a_n, com n=1 (esses nco podem dividir nenhum elemento desse conjunto de inteiros positivos em questco). Temos que 2 divide a_1=2+3+6-1=10, e 3 divide a_2=2^2+3^2+6^2-1=48. Alim disso, como (x-1)(x-2)(x-3)(x-6)=x^4-12x^3+47x^2-72x+36, a seq|jncia satisfaz a recorrjncia a_(n+4)=12.a_(n+3)-47.a_(n+2)+72.a_(n+1)-36.a_n (isso pode ser verificado diretamente, mas vejam tambim o artigo sobre recorrjncias na Eureka 9). Se p i um primo diferente de 2 e 3, 36 e' inversmvel msdulo p, e a recorrjncia i reversmvel (msdulo p): a_n=(36)^(-1).(72.a_(n+1)-47.a_(n+2)+12.a_(n+3)-a_(n+4)) (mod p). Assim, a seq|jncia a_n msdulo p i puramente perisdica (tem que ser perisdica a partir de um certo ponto pois tjm que existir naturais distintos k e m com a_(k+j)=a_(m+j) (mod p) para j=0,1,2,3 (pois (Z/pZ)^4 i finito), donde a_(k+j)=a(m+j) (mod p) para todo j natural e, pela reversibilidade, para todo j inteiro. Como a_(-1)=1/2+1/3+1/6-1=0, devemos entco ter a_n=0 (mod p) para infinitos valores naturais de n. Assim, todo primo divide a_n para algum inteiro positivo n, donde o znico inteiro positivo que satisfaz a condigco do enunciado i o 1. 5) Nesse eu fiz B=(0,0), C=(1,0), D=(c,d) e A=(c+cos(a),d+sen(a)). Se E=(t,0), F=(c+t.cos(a),d+t.sen(a)), e am as equagues das retas AC, BD e EF sco: AC: y=(d+sen(a))(x-1)/(c+cos(a)-1), BD: y=dx/c, EF: y=(d+t.sen(a))(x-t)/(c+t.(cos(a)-1)). Achamos entco P,Q e R: fazendo w=c.sen(a)-d(cos(a)-1), temos P=(c(d+sen(a)),d(d+sen(a)))/w, Q=P+(1-t)u, R=P+tv, onde u=-sen(a).(c,d)/w e v=sen(a).(c+cos(a)-1,d+sen(a))/w (nco vou me preocupar com denominadores que eventualmente se anulem - esses casos seguem por continuidade). Agora, via uma homotetia, podemos supor que P=(0,0), Q=(1-t,0) e R=(tm,th). O circuncmrculo de PQR tem equagco C+tL=0, onde C=x^2-x+y^2-my/h e L=x-(m^2+h^2+m)/h. Assim, todos eles passam pelos dois pontos de intersegco de (C=0) e (L=0), que sco (0,0)=P e s.(m^2+m+h^2,h), onde s=(m^2+h^2)/(h^2+(m^2+m+h^2)^2). E acabou, ni ? 6) Nesse a gente faz assim: seja A_i, 1=i=6 o conjunto dos caras que fizeram o problema i. Temos |A_i.A_j|2n/5 (vou representar intersegues por produtos), qq i,j. Peguemos 3 pares, por exemplo A1A2, A3A4 e A5A6. A intersegco dos 3 i vazia, por hipstese. A soma dos seus cardinais e' maior que 3.(2n/5), donde a soma dos cardinais de A1A2A3A4, A1A2A5A6 e A3A4A5A6 i maior que 3.(2n/5)-n=n/5. Assim, a midia dos cardinais dos A_iA_jA_rA_s i maior que n/15 (alim disso, a midia das diferengas dos cardinais dessas intersegues 4 a 4 e n/15 i igual ` midia das diferengas entre os
[obm-l] RES: [obm-l] Número curiosos
É facil ver que 2 números com dois dígitos têm essas propriedade se e somente se o produto dos primeiros dígitos de cada número é igual ao produto dos últimos dígitos de cada número. Dessa forma encontram-se todos os pares com tal propriedade. Repare que isso é satisfeito nos exemplos que você mencionou. Um abraço. Pedro. -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de André Luiz Martins Guimarães Orsi Enviada em: Friday, July 15, 2005 12:24 AM Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Número curiosos Os números 12 e 42 têm uma propriedade curiosa. O produto de 12 por 42 é igual a 504. Se trocarmos os algarismos dos dois números, obteremos os números 21 e 24 cujo produto ainda é 504. O mesmo acontece com os número 26 e 93. Identifique outros números com esta propriedade. Obs: Gostaria de saber também se há alguma relação comum entre esses números ou se eles são escolhidos de forma aleatória (sorte)? Valeu! André _ MSN Messenger: converse online com seus amigos . http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RES: [obm-l] Valor intermeio
Aqui vale alguns comentários: 1) o centro de uma circunferência que passa por A e B está na mediatriz de A e B. Além disso, o raio dela é sempre maior ou igual a r_0 onde r_0 = d(A,B)/2. Desse modo o argumento de ir diminuindo o número de pontos dentro da circunferência me parece um pouco simplificado. Porém a idéia central está correta. Deve-se pensar que existe um caminho contínuo de circunferências (basta escolher um caminho de centros sobre a mediatriz) de forma que no início todos os pontos estão dentro dela e no final nenhum ponto está. Daí pode-se concluir que em algum instante no meio do caminho tem-se uma circunferência que contém apenas n pontos. E a construção desse caminho não é complicada. 2) Deve-se assumir também que não há 3 pontos colineares, que é usado no início demonstração. Um abraço. Pedro. De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br] Em nome de claudio.buffara Enviada em: Sunday, July 10, 2005 2:13 PM Para: obm-l Assunto: Re:[obm-l] Valor intermeio De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Sun, 10 Jul 2005 12:41:57 +0200 Assunto: [obm-l] Valor intermeio 3- Dado um conjunto de 2n+3 pontos no plano de modo que não existam 4 que pertençam a mesma circunferencia, demostrar que existe uma circunferencia que passa por 3 deles e deixa n pontos no seu interior. Trace a reta por 2 pontos (digamos, A e B) tais que todos os outros estejam num unico semi-plano determinado por ela. Esta reta pode ser interpretada como uma circunferencia de raio infinito. Em outras palavras, existe um numero positivo R_0 tal que se R R_0, entao existe uma circunferencia de raio R, passando por A e B, e tal que todos os demais 2n+1 pontos estao em seu interior. Comece a reduzir o raio desta circunferencia. Segundo o enunciado, para cada valor do raio, a circunferencia irah passar por, no maximo, um dos outros 2n+1 pontos. Assim, quandoa circunferencia passar por um dos pontos e contiver exatamente n pontos no seu interior, pare. Esta serah a circunferencia desejada. []s, Claudio.
RES: [obm-l] analise complex - holomorfia
O erro foi que |z| = sqrt(x^2+y^2).
-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome
de Fabio Niski
Enviada em: Monday, April 25, 2005 1:17 PM
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] analise complex - holomorfia
Pessoal, considerem esse problema:
Sejam M := {z pert C | Re(z) 0) e f: M - C a funcao definida por
f(z) := ln|z| + iArctg(y/x), qq z pert M, onde x := Re(z) e y := Im(z).
Prove que f é holomorfa em M.
Bom, eu pensei mostrar que se valem as equacoes de Cauchy-Riemann e as
derivadas parciais sao continuas entao f será holomorfa.
Assim, sendo u(x,y) = ln(x^2 + y^2) e v(x,y) = ArcTg(y/x)
Mas delu/delx = 2x/(x^2 + y^2)
e
delv/dely = = x/(x^2 + y^2)
logo as equacoes de Cauchy-Riemman nao estao satisfeitas...
o que eu fiz de errado? (supondo que f(z) é de fato holomorfa)...
Obrigado
Niski
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[obm-l] RES: [obm-l] RES: [obm-l] holomorfismos - análise complexa
Realmente, pulei o que voce escreveu no começo. Voce está assumindo que o limite lim (f(z)-f(z0)/(z-z0) quando z tende a z0 existe para todo z0 em U e U é simétrico em relação ao eixo real. Ok? Para que g seja também seja holomorfa voce deve provar que o limite lim (g(z)-g(z0)/(z-z0) existe para todo z0 em U. Então, o ultimo limite é igual a: Lim (f(z*)*-f(z0*)*)/(z-z0) = lim (f(z*)-f(z0*))*/(z*-z0*)* = lim ((f(z*)-f(z0*)/(z*-z0*))* = f'(z0*)*. Ok? Assumi que se o limite de uma função existe então o limite do conjugado da função também existe e z tende a z0 se e só se z* tende a z0*. Isso prova do jeito que voce queria? Pedro. -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Fabio Niski Enviada em: Tuesday, March 08, 2005 1:16 AM Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] RES: [obm-l] holomorfismos - análise complexa Mas eu falei pra nao usar as eq. de Cauchy-Riemann Pedro Antonio Santoro Salomao wrote: Escreva f(z) = f(x,y) = u(x,y) + i.v(x,y) onde u e v satisfazem as equações de Cauchy-Riemann, por hipótese. Então g(z) = g(x,y) = u(x,-y) - i.v(x,-y) deve também satisfazer as eq. de Cauchy-Riemann. Um abraço. Pedro. -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Fabio Niski Enviada em: Monday, March 07, 2005 7:00 PM Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] holomorfismos - análise complexa Pessoal, ainda sem usar as equacoes de Cauchy-Riemman como eu posso provar isso Notacao: 1) z* lê-se conjugado de z 2) H(U) conjunto de todas funcoes holomorfas em U Seja U um aberto nao vazio de C tal que U é simetrico em relacao ao eixo real (i.e, z pert U = z* pert U). Mostre que se f pert H(U) entao a funcao g: U - C definida por g(z) := [f(z*)]*, qq z pert U, é holomorfa em U. Tudo o que eu sei é a definicao de derivabilidade complexa, H(U) é uma sub-C-Algebra de C(U) e a regra da cadeia. A priori tentei usar a regra da cadeia mas me lembrei que a funcao conjugacao não é holomorfa, depois tentei pela definicao de derivacao complexa mas nao saiu. Alguem tem alguma solucao? Obrigado Niski = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RES: [obm-l] RES: [obm-l] holomorfismos - análise complexa
Ok -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Fabio Niski Enviada em: Tuesday, March 08, 2005 1:16 AM Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] RES: [obm-l] holomorfismos - análise complexa Mas eu falei pra nao usar as eq. de Cauchy-Riemann Pedro Antonio Santoro Salomao wrote: Escreva f(z) = f(x,y) = u(x,y) + i.v(x,y) onde u e v satisfazem as equações de Cauchy-Riemann, por hipótese. Então g(z) = g(x,y) = u(x,-y) - i.v(x,-y) deve também satisfazer as eq. de Cauchy-Riemann. Um abraço. Pedro. -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Fabio Niski Enviada em: Monday, March 07, 2005 7:00 PM Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] holomorfismos - análise complexa Pessoal, ainda sem usar as equacoes de Cauchy-Riemman como eu posso provar isso Notacao: 1) z* lê-se conjugado de z 2) H(U) conjunto de todas funcoes holomorfas em U Seja U um aberto nao vazio de C tal que U é simetrico em relacao ao eixo real (i.e, z pert U = z* pert U). Mostre que se f pert H(U) entao a funcao g: U - C definida por g(z) := [f(z*)]*, qq z pert U, é holomorfa em U. Tudo o que eu sei é a definicao de derivabilidade complexa, H(U) é uma sub-C-Algebra de C(U) e a regra da cadeia. A priori tentei usar a regra da cadeia mas me lembrei que a funcao conjugacao não é holomorfa, depois tentei pela definicao de derivacao complexa mas nao saiu. Alguem tem alguma solucao? Obrigado Niski = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RES: [obm-l] holomorfismos - análise complexa
Escreva f(z) = f(x,y) = u(x,y) + i.v(x,y) onde u e v satisfazem as equações de Cauchy-Riemann, por hipótese. Então g(z) = g(x,y) = u(x,-y) - i.v(x,-y) deve também satisfazer as eq. de Cauchy-Riemann. Um abraço. Pedro. -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Fabio Niski Enviada em: Monday, March 07, 2005 7:00 PM Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] holomorfismos - análise complexa Pessoal, ainda sem usar as equacoes de Cauchy-Riemman como eu posso provar isso Notacao: 1) z* lê-se conjugado de z 2) H(U) conjunto de todas funcoes holomorfas em U Seja U um aberto nao vazio de C tal que U é simetrico em relacao ao eixo real (i.e, z pert U = z* pert U). Mostre que se f pert H(U) entao a funcao g: U - C definida por g(z) := [f(z*)]*, qq z pert U, é holomorfa em U. Tudo o que eu sei é a definicao de derivabilidade complexa, H(U) é uma sub-C-Algebra de C(U) e a regra da cadeia. A priori tentei usar a regra da cadeia mas me lembrei que a funcao conjugacao não é holomorfa, depois tentei pela definicao de derivacao complexa mas nao saiu. Alguem tem alguma solucao? Obrigado Niski = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RES: [obm-l] complexos e a circunferencia
-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome
de Fabio Niski
Enviada em: Tuesday, February 22, 2005 4:34 PM
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] complexos e a circunferencia
Pessoal, transcrevo aqui uma passagem de um livro que até agora nao
consegui compreender perfeitamente. Permitam que eu a escreva em ingles
notacao:
z' = conjugado de z.
The strong connections between the operations of complex numbers and
the geometry of the plane enable us to specify certain important
geometrical objects by means of complex equations. The most obvious case
is that of the circle {z : |z - c| = r} with centre c and radius r =0.
This easily translates to the familiar form of the equation of a circle:
if z = x + iy and c = a + ib, then |z-c|=r if and only if |z-c|^2 = r^2,
that is, if and only if (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2. *The other form, x^2 +
y^2 + 2gx + 2fy + c = 0, of the equation of the circle can be rewritten
as zz' + hz + (hz)' + c = 0, where h = g -if. More generally, we have
the equation Azz' + Bz + (Bz)' + C = 0, where A(!=0) and C are real, and
B is complex. (...)
Realmente nao consegui entender a equacao geral da circunferencia que
ele apresenta
x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0
Expandi
|z-h|^2 = r^2
e chego em
x^2 + y^2 - 2gx + 2fy + g^2 + f^2 - r^2...
*
Acho que não há nada de errado no livro nem no que voce escreveu (a menos de
uns sinais). A única coisa que talvez esteja confundindo é a constante c que
o autor usa e que engloba implicitamente todos esses termos juntos (r^2, f^2
e g^2). Foi apenas uma forma de escrever. Não sei se essa era a dúvida.
Um abraço. Pedro.
Ele tb nao deveria definir quem é f e g antes de apresentar a equacao?
Obrigado
Niski
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RES: [obm-l] Desigualdade de complexos
Seja r = |z[2]|/|z[1]| que é menor que 1 por hipótese. Voce gostaria de mostrar que nr^(n-1) 1/(1-r) = 1 + r + r^2 + + r^(n-1) + . Observe que r^(n-1) 1 r^(n-1) r . . . r^(n-1) r^(n-2) r^(n-1) = r^(n-1) Somando os dois lados, obtem-se nr^(n-1) 1+ r + + r^(n-2)+ r^(n-1) 1/(1-r) obtendo o resultado. Um abraço. Pedro. -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Fabio Niski Enviada em: Wednesday, February 23, 2005 6:42 PM Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] Desigualdade de complexos Fabio Niski wrote: Pessoal, travei nesse problema aqui. Alguem tem alguma sugestao/solucao? Sejam z[1], z[2] numeros complexos tais que |z[1]| |z[2]|. Mostre que, para todo n = 2, n*(|z[2]/z[1]|)^(n-1) |z[1]|/(z[1] - z[2]) Ops, apenas uma errata n*(|z[2]/z[1]|)^(n-1) |z[1]|/(|z[1]| - |z[2]|) = Instrugues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RES: [obm-l] MSC . Problema do mes
A equação não está clara quem é pois não há sinal de =. Mas acho que ele deveria estar no final = 0. Se isso for verdade, você pode reescrever a equação como P(x)=sin(x)P(x), onde P(x) tem grau 7. Tirando os casos em que sin(x)=1, (x=pi/2 + 2*k*pi, k em Z) queremos encontrar as raízes de P, cujo produto é 4620 = 2.2.3.5.7.11. Se as solução forem interias, então já sabemos quem são os candidatos. Testando, verificamos que 2,3,5,7 e 11 são raízes de P. As outras raízes você pode verificar que são +sqrt(2) e -sqrt(2) usando, por exemplo, as equações de Girard. O que quer dizer encontrar uma solução sem tecnologia. Por acaso essa solução tem tecnologia? Um abraço. Pedro. -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Vinícius Santana Enviada em: Tuesday, December 21, 2004 12:39 PM Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] MSC . Problema do mes *Mesa** **State** College: Math Club* *Problema do mês* Sem tecnologia encontre todas as soluções da seguinte equação: (X^7)*sen(x)-28*(x^6)*sen(x)-5854*x*sen(x)+4620*sen(x)+286*(x^5)*sen(x)-x^7+ 28*x^6-286*(x^5)+1302*(x^4)-2351*x^3-406*(x^2)-1302*(x^4)*sen(x)+2351*(x^3)* sen(x)+406*(x^2)*sen(x)+5854*x-4620 A única solução inteira é um conjunto de 5 números primos consecutivos. Retirado de http://www.mesastate.edu/mathclub/problem.htm = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RES: [obm-l] Desigualdade
Imagine que y é um parâmetro e para cada y você tem um polinômio em x de grau 2. Encontre o discriminante desse polinômio em função de y: delta = -20(y^2 + 2y + 1). Agora mostre que esse discriminante é 0 para todo y diferente de 1 (nesse caso a primeira expressão é 0) e para y=1, a primeira expressão é sempre 0 exceto em x=7 quando ela vale 0. Um abraço. Pedro. -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Bruno França dos Reis Enviada em: Sunday, December 19, 2004 11:42 AM Para: OBM Assunto: [obm-l] Desigualdade Alguém dá uma mão nesse aqui? Mostre que x^2 - 2xy + 6y^2 - 12x + 2y + 41 =0, quaisquer x, y reais. abraço bruno -- Bruno França dos Reis email: bfreis - gmail.com gpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key icq: 12626000 e^(pi*i)+1=0 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RES: [obm-l] o problema da escada rolante
Quando o segundo chegou, este tinha andado 28 andares e, portanto, o primeiro tinha percorrido 14. Faltavam 7 andares para o primeiro percorrer apesar de haver 14 degraus até o final (a escada estava subindo). Isso significa que para cada degrau que o primeiro anda, a escada sobe mais 1. Portanto, no instante em que o segundo chegou, havia 28 degraus atrás do primeiro e mais 14 para frente, totalizando 42 degraus a escada rolante. Um abraço, Pedro. De: owner-[EMAIL PROTECTED] [mailto:owner-[EMAIL PROTECTED]] Em nome de eritotutor Enviada em: Friday, November 26, 2004 7:01 PM Para: obm-l Assunto: [obm-l] o problema da escada rolante DESEJA-SE DESCOBRIR QUANTOS DEGRAUS SÃO VISÍVEIS NUMA ESCADA ROLANTE. PARA ISSO FOI FEITO O SEGUINTE: DUAS PESSOAS COMEÇARAM A SUBIR A ESCADA JUNTAS, UMA SUBINDO UM DEGRAU DE CADA VEZ ENQUANTO QUE A OUTRA SUBIA DOIS. AO CHEGAR AO TOPO, O PRIMEIRO CONTOU 21 DEGRAUS ENQUANTO O OUTRO 28. QUANTOS DEGRAUS SÃO VISIVEIS NESSA ESCADA ROLANTE? (OBS: A ESCADA ESTÁ ANDANDO).
[obm-l] RES: [obm-l] Re:[obm-l] Aritmética
Acho que o que ele está querendo entender é o seguinte: coloque em ordem crescente os divisores positivos de n: 1, ., n. Multiplique o primeiro com o último: 1.n=n, multiplique o segundo com o penúltimo: também vai dar n, e assim por diante. Repare que se d é o segundo menor divisor de n, então n/d será o segundo maior divisor de n. Logo a multiplicação entre esses dois números deve dar d*n/d=n, como você verificou. Se k é o terceiro menor divisor de n, então n/k é o terceiro maior divisor de n, cujo produto entre os dois é k*n/k=n. O raciocínio segue para os outros divisores. É por isso que essa idéia sempre funciona. Um abraço. Pedro. De: owner-[EMAIL PROTECTED] [mailto:owner-[EMAIL PROTECTED]] Em nome de claudio.buffara Enviada em: Monday, October 04, 2004 9:01 PM Para: obm-l Assunto: [obm-l] Re:[obm-l] Aritmética Não ficou muito claro o que você quer demonstrar, mas uma observação que talvez seja relevante é a seguinte: se d divide n então n/d também divide n e, além disso, d*(n/d) = n. []s, Claudio. De: owner-[EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Cópia: Data: Mon, 4 Oct 2004 20:31:06 -0300 Assunto: [obm-l] Aritmética Note: Os divisores de 10 são: 1, 2, 5, 10 . Note que 1.10=2.5 Os divisores de 12 são: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Note que 1.12=2.6=3.4 Os divisores de9 são: 1, 3, 9. Note que 3=sqrt(1.9) ok! isso é uma P.G. Já testei vários núeros e sempre acontece isso. Gostaria de demonstrar mas não estou conseguindo. Desde já agradeço.
RES: RES: [obm-l] Funcoes complexas
Vale para todo aberto e conexo.
Abraço. Pedro.
-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome
de Artur Costa Steiner
Enviada em: Thursday, September 09, 2004 10:41 AM
Para: [EMAIL PROTECTED]
Assunto: Re: RES: [obm-l] Funcoes complexas
Obrigado pela contribuicao, a vc e ao Claudio.
Na realidade, a conclusao nao se resume ao disco unitario aberto de centro
na origem. Vale em qualquer aberto A do plano complexo, certo?
Artur
- Mensagem Original
De: [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]
Assunto: RES: [obm-l] Funcoes complexas
Data: 08/09/04 21:34
Se g é diferente de zero em algum ponto p de D então g é diferente de zero
em um aberto U de D contendo p, donde f deve ser zero em U (pois f.g=0) e,
portanto, f é zero em D, pois f é analítica em D. O outro caso é igual.
Os contra-exemplos usando funções C-infinito são fáceis de serem contruídos.
Abraço. Pedro.
-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome
de Artur Costa Steiner
Enviada em: Wednesday, September 08, 2004 6:45 PM
Para: [EMAIL PROTECTED]
Assunto: [obm-l] Funcoes complexas
Eu estou tentando provar a seguinte proposicao (acredito que seja mesmo
verdadeira), mas ainda naum consegui. Talvez alguem possa dar alguma
sugestao.
Sejam f e g funcoes complexas, definidas e analiticas no disco D ={z | |z|
1}. Se f*g for identicamente nula em D, entao f =0 (identicamente nula em
D) ou g =0. Mostre que o requisito de que f e g sejam analiticas em D eh de
fato essencial para a conclusao.
Tentei desenvolver f e g em series de Taylor em torno da origem, mas naum m
cheguei aa conclusao citada.
Abracos
Artur
OPEN Internet
@ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
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RES: RES: RES: [obm-l] Funcoes complexas
Há uma passagem que precisa ser mais detalhada.
Seja p um ponto de D e U uma vizinhança de p em D tal que g se anula em U.
Considere z um outro ponto de D, diferente de p. Queremos mostrar que sendo
g analítica em D, então g(z)=0. Sabemos que a série de Taylor em torno de p
converge numa bolinha centrada em p, que não obrigatoriamente contem z.
Logo, não podemos daí concluir que g(z)=0.
Considere uma curva contida em D e que liga os pontos p e z. (lembre-se que
aberto e conexo em R^2 implica conexo por caminhos).
O raio de convergência da série de Taylor de g em torno de cada ponto da
curva é maior que k, para algum k0 pois a curva é compacta e o raio de
convergência é uma função contínua em D. Considere uma cobertura finita da
curva por bolinhas abertas de raio k/3 centradas em pontos da curva. Como
g=0 na bolinha centrada em p, concluímos que g=0 em todas estas bolinhas e,
em particular, g(z)=0. Logo g=0 em D.
Há um teorema que eu acho mais interessante para aplicar no seu problema:
Seja U um aberto e conexo e g:U-C uma função analítica. Se a função
|g|:U-[0,+infinito) possui um máximo local, então g é constante.
Isso implica que se há um aberto contido em U onde a função é constante,
então a função é constante em todo o seu domínio.
Se o domínio de g não é conexo, então com certeza é impossível ter o mesmo
resultado. Basta pegar duas bolas abertas disjuntas em C e definir f igual a
zero na primeira e 1 na segunda. Defina g sendo 1 na primeira bola e 0 na
segunda. Então f.g=0 e nenhuma delas é identicamente nula.
Abraço. Pedro.
-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome
de Artur Costa Steiner
Enviada em: Thursday, September 09, 2004 12:44 PM
Para: [EMAIL PROTECTED]
Assunto: Re: RES: RES: [obm-l] Funcoes complexas
Obrigado. Quero ver se peguei a ideia, me corrija, por favor, se eu
estiver errado.
A funcao g se anula identicamente em uma vizinhanca U contida em D (o que
acabou sendo uma consequencia do fato de que analiticidade implica
continuidade). Logo, suas derivadas de todas as ordens sao identicamente
nulas em U.
Se z eh qualquer ponto de D, a analiticidade de g permite expressar g(z) em
série de Taylor ao redor de p. E como todas as derivadas de g se anulam em
p, temos g(z)=0, mostrando que g=0 em todo o D.
A exigencia de que D deva ser um aberto conexo eh para garantir que para
todo z de D possamos expressar g(z) em series de Taylor ao redor de algum p
de D.
Certo?
Artur
- Mensagem Original
De: [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]
Assunto: RES: RES: [obm-l] Funcoes complexas
Data: 09/09/04 11:55
Vale para todo aberto e conexo.
Abraço. Pedro.
-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome
de Artur Costa Steiner
Enviada em: Thursday, September 09, 2004 10:41 AM
Para: [EMAIL PROTECTED]
Assunto: Re: RES: [obm-l] Funcoes complexas
Obrigado pela contribuicao, a vc e ao Claudio.
Na realidade, a conclusao nao se resume ao disco unitario aberto de centro
na origem. Vale em qualquer aberto A do plano complexo, certo?
Artur
- Mensagem Original
De: [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]
Assunto: RES: [obm-l] Funcoes complexas
Data: 08/09/04 21:34
Se g é diferente de zero em algum ponto p de D então g é diferente de zero
em um aberto U de D contendo p, donde f deve ser zero em U (pois f.g=0) e,
portanto, f é zero em D, pois f é analítica em D. O outro caso é igual.
Os contra-exemplos usando funções C-infinito são fáceis de serem contruídos.
Abraço. Pedro.
-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome
de Artur Costa Steiner
Enviada em: Wednesday, September 08, 2004 6:45 PM
Para: [EMAIL PROTECTED]
Assunto: [obm-l] Funcoes complexas
Eu estou tentando provar a seguinte proposicao (acredito que seja mesmo
verdadeira), mas ainda naum consegui. Talvez alguem possa dar alguma
sugestao.
Sejam f e g funcoes complexas, definidas e analiticas no disco D ={z | |z|
1}. Se f*g for identicamente nula em D, entao f =0 (identicamente nula em
D) ou g =0. Mostre que o requisito de que f e g sejam analiticas em D eh de
fato essencial para a conclusao.
Tentei desenvolver f e g em series de Taylor em torno da origem, mas naum m
cheguei aa conclusao citada.
Abracos
Artur
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@ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Re: [obm-l] RE: [obm-l] Conjuntos não-enumeráveis vs. densos
Artur Coste Steiner wrote:
Oi Domingos. Acho que fica mais facil raciocinar por contraposicao. Se S nao
contiver um subconjunto denso, entao ou S se reduz a um unico elemento -
sendo portanto numeravel - ou entao, para cada x em S, existe y em S tal que
entre x e y nao a hah qualquer elemento de S. Quer dizer, cada elemento de S
esta "esprimido" entre dois intervalos abertos (eventualmente com um dos
pontos extremos em - inf ou + inf) contidos no complemento de S.
oi Arthur,
Existem mais possibilidades para o conjunto S se ele nao contiver um subconjunto
denso.
E' aquele mesmo exemplo onde S={0, 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, }. Esse conjunto
nao tem nenhum subconjunto denso, mas elemento 0 nao esta isolado.
Um abraco. Pedro.
Desta
condicao decorre automaticamente que, para todo x de S, podemos escolher um
eps0 suficientemente pequeno tal que o unico elemento de S em (x-eps,
x+eps) seja o proprio x. Todo elemento de S possui portanto uma vizinhanca
que contem apenas um elemento de S. Vale dizer que nenhum elemento de S eh
ponto de acumulacao do mesmo e, menos ainda, ponto de condensacao (Dizemos
que x e ponto de condensacao de S se toda vizinhanca de x contiver
incontavelmente muitos (expressao tirada do Ingls - uncountably many - nao
me ocorreu uma melhor) elementos de S). Como R eh separavel, subconjuntos de
R que nao possuam pontos de condensacao sao automaticamente numeraveis.
Logo, S eh numeravel.
Acho que podemos ver isto sem o conceito de ponto de condensacao. Vimos que
cada x de S estah contido em um intervalo aberto I_x que nao contem nenhum
outro elemento de S. Tomemos a colecao {I'_x}, onde cada I'_x tem centro em
x e raio igual aa metade do raio p de I_x. Podemos assim garantir que
{I'_x} eh uma colecao de intervalos disjuntos dois a dois e que cobre S. Hah
portanto uma bijecao enter S e {I'_x}. Escolhendo-se em cada I'_x um
racional, vemos que hah uma bijecao entre {I'_x} e um subconjunto dos
racionais. Logo, {I'_x} eh numeravel e, portanto, S tambem eh.
Observemos que podemos escolher este racional construtivamente, sem recorrer
ao Axioma da Escolha. Enumeremos os racionais, por exemplo, por aquele
classico processo em diagonal, e, na sequencia obtida, escolhamos I'_x assim
que um racional cair nele.
Espero que esteja certo.
Artur
Gostaria de provar o seguinte resultado:
Seja S um conjunto de reais no-enumervel, existe um subconjunto T de S
que
denso (ie: para todo x y em T existe z em T com x z y).
Obrigado.
=
Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
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=
Re: [obm-l] Conjuntos não-enumeráveis vs. densos
Claudio Buffara wrote:
Re: [obm-l] Conjuntos no-enumerveis vs. densos
on 16.12.03 00:52, Pedro Antonio Santoro Salomao at [EMAIL PROTECTED]
wrote:
Claudio Buffara wrote:
on 15.12.03 22:27, Domingos Jr. at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Ol!
Gostaria de provar o seguinte resultado:
Seja S um conjunto de reais no-enumervel, existe um subconjunto T de S
que
denso (ie: para todo x y em T existe z em T com x z y).
Obrigado.
Oi, Domingos.
O que voce acha disso aqui?
Se nenhum subconjunto de S for denso, entao para cada x de S existirah y
tal
que o intervalo aberto (x,y) nao contem nenhum ponto de S. Assim, poderemos
expressar o complemento R - S como uma uniao de intervalos abertos disjuntos
dois a dois e cujas extremidades sao pontos de S. Alem disso, existirah
uma
bijecao F entre S e o conjunto A cujos elementos sao esses intervalos, dada
por F(x) = intervalo cujo infimo eh x.
Oi Claudio,
Tambem estava pensando nesse problema. Nao entendi bem sua solucao mas considere
S o conjunto formado pelos numeros 0, 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16 etc. Esse conjunto
nao tem nenhum subconjunto denso e voce nao consegue encontrar um numero
diferente de zero em S tal que (0,a) nao contenha nenhum ponto de A.
*** OK, mas nesse caso, R - S = (-inf,0) U (1,+inf) U Uniao(n=0) (1/2^(n+1),1/2^n)
= uniao enumeravel de intervalos abertos dois a dois disjuntos. Nesse caso,
o conjunto A seria {(-inf,0); (1,+inf); (1/2,1); (1/4,1/2); (1/8,1/4); ...}.
Entretanto, a funcao F acima nao estah bem definida, pois (-inf,0) nao eh
imagem de nenhum elemento de S. Mas isso eh facil de corrigir. Em geral,
se A contiver um intervalo ilimitado inferiormente, escolhemos "a" pertencente
a R - S (se R - S = vazio, entao S = R eh claramente denso) e definimos F:
S U {a} - A por: F(a) = o tal intervalo ilimitado e, para x em S, F(x)
= intervalo cujo infimo eh x.
A minha demonstracao baseia-se no fato de que, se nenhum subconjunto de
S eh denso, entao, em particular, S nao eh denso == R - S = uniao enumeravel
de intervalos abertos disjuntos dois a dois.
Claudio,
Entendi sua ideia. Acho que e' verdade essa ultima afirmacao, mas nao me
parece tao facil mostrar. De qualquer forma, se for verdade, entao sua solucao
realmente e' bem mais simples.
Um abraco. Pedro.
Acho que no problema que o Domingos propos, uma parte importante e' mostrar
que voce consegue encontrar um ponto x de S que divide o conjunto S em dois
subconjuntos nao enumeraveis: os pontos de S que estao a esquerda de x e
os pontos de S que estao a direita de x. (diremos que x tem a propriedade
*)
Se voce conseguir fazer isso para qualquer conjunto nao enumeravel, entao
a demonstracao afirmativa nao fica muito dificil:
1) Voce sabe que em algum intervalo K=[k,k+1], onde k e' um inteiro, S inter
K e' nao enumeravel pois caso contrario S seria a uniao enumeravel de conjuntos
enumeraveis, que e' enumeravel, contradicao.
2) Podemos supor que esse intervalo e' [0,1]. Comecamos com x0 contido em
(0,1) que tem a propriedade * em (0,1).
3) Agora temos 2 conjuntos [0,x0] e [x0,1] onde S e' nao enumeravel neles
dois.
4) Encontramos entao x1 e x2 que tem a propriedade * em (0,x0) e (x0,1)
respectivamente.
5) Agora temos os conjuntos [0,x1], [x1,x0], [x0,x2] e [x2,1] onde S e'
nao enumeravel em cada um deles.
6) Continuamos o processo analogamente em cada um dos novos intervalos obtidos
no passo anterior.
A uniao desses x_i's sera densa e ai termina a demonstracao.
(estou pensando na definicao de densa dada pelo Domingos)
Construimos quase um conjunto de Cantor.
Fica so faltando mostrar a propriedade *. Talvez isso seja um pouco mais
dificil.
Suponha que no intervalo [0,1], onde S e' nao enumeravel, sempre que escolhemos
um ponto z de S, a parte nao enumeravel de S em [0,1] esta ou a esquerda
ou a diretia de z, nunca dos dois lados simultaneamente. Entao S inter [0,1]
e' a uniao disjunta de E e D, que tem a propriedades. da esquerda e direita,
como acima.
Seja m = infimo de E e M = supremo de D
Se E e' vazio entao defina m = M e se D e' vazio, defina M = m. Ambos nao
podem ser vazios, pois S e' nao enumeravel em [0,1].
Temos M = m. Isso e' facil mostrar.
Temos:
S deve ser enumeravel no intervalo [m,1]. Se nao fosse poderiamos, atraves
de um homeomorfismo, levar (m,1) em (-infinito, infinito) e encontrariamos
um intervalo [k,k+1] on de S seria nao enumeravel, o que seria uma contradicao
pela definicao de E.
S deve ser enumeravel no intervalo [0,M] tambem pelo mesmo motivo.
Nao existem pontos de S em (M,m) pela propria construcao de E e D.
Logo S e' enumeravel em [0,1].
Isso e' uma contradicao ja que S era nao enumeravel em [0,1].
Isso prova a propriedade * em qualquer intervalo [a,b] e com isso termina
totalmente a demonstracao.
Para mim, ainda existem algumas partes um pouco estranhas, mas o problema
nao parece ser muito simples. Talvez tenha uma solucao
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Conjuntos não-enumerá veis vs. densos
Artur Costa Steiner wrote:
oi Arthur,
Existem mais possibilidades para o conjunto S se ele nao contiver um
subconjunto denso.
E' aquele mesmo exemplo onde S={0, 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, }. Esse
conjunto nao tem nenhum subconjunto denso, mas elemento 0 nao esta isolado.
Sem duvida. E o conjunto {0,1,1/2, ...1/n} tambem. Eu interpretei
eradamente o enunciado, depois eh que me dei conta. .
Mas se S for fechado, eu acho que dah para provar. Segundo o teorema de
Cantor Bendixon, S eh entao dado pela uniao de um conjunto numeravel com um
conjunto perfeito P. Como S nao eh numeravel, P nao eh vazio e nao eh
numeravel (na reta real, conjuntos perfeitos nao sao numeraveis). Como todo
elemento de P eh ponto de acumulacao de P, segue-se que, se x e y estao em P
e xy, entao existe em P algum z tal que xzy.
x e y, sendo de acumulacao, talvez fossem acumulados por pontos externos
ao intervalo [x,y]. E isso nao garantiria o z entre x e y. Talvez agum
detalhe a mais conserte isso.
Eu esbocei uma demonstracao desse resultado mas e' bem diferente da sua.
Outra coisa interessante. Segundo essa definicao de conjunto denso,
alguns conjuntos densos tem um aspecto meio estranho. Por exemplo: S =
[0,1) uniao {2} e' denso. Isso vai contra aquela intuicao de que todos
os pontos deveriam ser de acumulacao.
Pedro.
Logo, P eh denso e S contem
um subconjunto denso.
Como consequencia, segue-se que, se S nao for numeravel, entao o fecho de S
contem um subconjunto denso. Nao estou certo se daih dah para extender a
conclusao.
Artur
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Re: [obm-l] Conjuntos não-enumeráveis vs. densos
Claudio Buffara wrote:
on 15.12.03 22:27, Domingos Jr. at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Ol!
Gostaria de provar o seguinte resultado:
Seja S um conjunto de reais no-enumervel, existe um subconjunto T de S que
denso (ie: para todo x y em T existe z em T com x z y).
Obrigado.
Oi, Domingos.
O que voce acha disso aqui?
Se nenhum subconjunto de S for denso, entao para cada x de S existirah y tal
que o intervalo aberto (x,y) nao contem nenhum ponto de S. Assim, poderemos
expressar o complemento R - S como uma uniao de intervalos abertos disjuntos
dois a dois e cujas extremidades sao pontos de S. Alem disso, existirah uma
bijecao F entre S e o conjunto A cujos elementos sao esses intervalos, dada
por F(x) = intervalo cujo infimo eh x.
Oi Claudio,
Tambem estava pensando nesse problema. Nao entendi bem sua solucao mas considere
S o conjunto formado pelos numeros 0, 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16 etc. Esse conjunto
nao tem nenhum subconjunto denso e voce nao consegue encontrar um numero
diferente de zero em S tal que (0,a) nao contenha nenhum ponto de A.
Acho que no problema que o Domingos propos, uma parte importante e' mostrar
que voce consegue encontrar um ponto x de S que divide o conjunto S em dois
subconjuntos nao enumeraveis: os pontos de S que estao a esquerda de x e
os pontos de S que estao a direita de x. (diremos que x tem a propriedade
*)
Se voce conseguir fazer isso para qualquer conjunto nao enumeravel, entao
a demonstracao afirmativa nao fica muito dificil:
1) Voce sabe que em algum intervalo K=[k,k+1], onde k e' um inteiro, S inter
K e' nao enumeravel pois caso contrario S seria a uniao enumeravel de conjuntos
enumeraveis, que e' enumeravel, contradicao.
2) Podemos supor que esse intervalo e' [0,1]. Comecamos com x0 contido em
(0,1) que tem a propriedade * em (0,1).
3) Agora temos 2 conjuntos [0,x0] e [x0,1] onde S e' nao enumeravel neles
dois.
4) Encontramos entao x1 e x2 que tem a propriedade * em (0,x0) e (x0,1) respectivamente.
5) Agora temos os conjuntos [0,x1], [x1,x0], [x0,x2] e [x2,1] onde S e' nao
enumeravel em cada um deles.
6) Continuamos o processo analogamente em cada um dos novos intervalos obtidos
no passo anterior.
Auniao desses x_i's sera densa e ai termina a demonstracao.
(estou pensando na definicao de densa dada pelo Domingos)
Construimos quase um conjunto de Cantor.
Fica so faltando mostrar a propriedade *. Talvez isso seja um pouco mais
dificil.
Suponha que no intervalo [0,1], onde S e' nao enumeravel, sempre que escolhemos
um ponto z de S, a parte nao enumeravel de S em [0,1] esta ou a esquerda
ou a diretia de z, nunca dos dois lados simultaneamente. Entao S inter [0,1]
e' a uniao disjunta de E e D, que tem a propriedades. da esquerda e direita,
como acima.
Seja m = infimo de E e M = supremo de D
Se E e' vazio entao defina m = M e se D e' vazio, defina M = m. Ambos nao
podem ser vazios, pois S e' nao enumeravel em [0,1].
Temos M = m. Isso e' facil mostrar.
Temos:
S deve ser enumeravel no intervalo [m,1]. Se nao fosse poderiamos, atraves
de um homeomorfismo, levar (m,1) em (-infinito, infinito) e encontrariamos
um intervalo [k,k+1] on de S seria nao enumeravel, o que seria uma contradicao
pela definicao de E.
S deve ser enumeravel no intervalo [0,M] tambem pelo mesmo motivo.
Nao existem pontos de S em (M,m) pela propria construcao de E e D.
Logo S e' enumeravel em [0,1].
Isso e' uma contradicao ja que S era nao enumeravel em [0,1].
Isso prova a propriedade * em qualquer intervalo [a,b] e com isso termina
totalmente a demonstracao.
Para mim, ainda existem algumas partes um pouco estranhas, mas o problema
nao parece ser muito simples. Talvez tenha uma solucao muito mais simples
que eu nao estou vendo ou talvez mesmo essa solucao tenha algum erro.
Nao cheguei a acompanhar todos os detalhes da sua solucao, mas se estiver
certa, parece bem mais simples que a minha.
Um abraco.
Pedro.
Mas qualquer conjunto A de intervalos abertos disjuntos dois a dois eh
enumeravel. Para ver isso, defina uma funcao G: A - Q dada por G(I) =
fracao irredutivel pertencente a I com o menor denominador (isso assume que
Q = { m/n | m eh inteiro e n eh inteiro positivo}). Se existir mais de uma,
escolha a de menor valor absoluto. E se, mesmo assim, existirem duas (p/q e
-p/q), escolha a positiva. Entao, G eh uma funcao injetiva de A em Q. Como Q
eh enumeravel, A tambem serah.
Isso quer dizer que S eh enumeravel (a funcao GoF: S - Q eh injetiva) ==
contradicao ==
algum subconjunto de S tem que ser denso.
Serah que tah certo?
Um abraco,
Claudio.
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Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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