[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Problema de lógica (impossivel para mim)
Bati sem querer em enviar... ainda falta MUITO para resolver o
problema... Continuo onde parei, já trocando (VI) e (VII) por (IX) como
disse antes. Para que ninguém fique decepcionado -- no final, NÃO HÁ SOLUÇÂO
(ou eu errei alguma coisa).
(I) ? Hart IR
(II) ? Stev
(possiveis linhas aqui...)
? RL
(III) Larry
Korn
GD
Par
(ordem das linhas aqui pode mudar)
(IV) ? Rose
?
? 31
(V) 3 (=x-10 ou =x+10) onde x eh definido assim:?
Baird x
(VII) ? GP
? 2a
(IX) ? Bert onde ? Tom
? y+15 ? y
d-8
Bom, note que como Bert, Tom e Steve ficaram na frente de alguém, então
Larry ficou em 4o. Note que Bert e Mr. Rose ficaram duas posições na frente
de alguém, então eles estão em 1o ou 2o. Há assim quatro casos a considerar:
(i) Bert em 1o, Mr. Rose em 2o. Inserimos (IV) e (IX) na nossa tabela assim:
1 Bert
2 Rose
3 y+15
4 Larr d-8=31
Então d=39 é o maior número. Mas então a parte da direita de (IX) não tem
onde entrar (Tom em 1o conflita com Bart; Tom em segundo faz y=y+15; Tom em
terceiro faz y=31, y+15=46d=39).
(ii) Bert em 2o, Mr. Rose em 1o. Inserimos (IV) e (IX) na tabela assim:
1 Rose
2 Bert
3 y+15=31
4 Larr d-8
Agora, y=16. De novo, Tom em 2o conflita com Bert; Tom em 3o (por (IX)) faz
y=d-8 e então y+15=31d=24, dá pau. Concluímos que Tom ficou em 1o, e Steve
fica com o 3o; como Steve está acima do Ruy Lopez (II), completamos para:
1 Tom Rose
2 Bert 16
3 Stev 31
4 Larr RL d-8
Quem está em 4o? Não é Hart (que usou abertura IR, por (I)), nem Korn (regra
(III)), então é Baird:
1 Tom Rose
2 Bert 16
3 Stev 31
4 Larr Bair d-8
onde d-8=31+10 ou d-8=31-10, isto é, d=49 ou d=29. Esta última não pode
ser (d é o maior número!). De qualquer forma, d=49 ou 50 faz d-8=41 ou 42 ,
e os 4 números têm de ser {d,d-8,31,16} com o menor a=16 -- mas (VII) diz
que 2a=32 tinha de aparecer. Deu pau.
(iii) Bert Rose ficou em 1o:
1 Bert Rose
2 y+15
3 d-8=31
4 Larr
E d=39 é o maior número. Tom é o 3o então (IX) (em 2o dava pau pois y=31 faz
y+15=46d), e Steve sobra para 2o.
1 Bert Rose
2 Stev y+15
3 Tom d-8=31
4 Larr y
Agora, por (V) Baird (na colocação 2 ou 4) deve estar a 10 ou mais unidades
de 31; como d=39 é o maior, a mesa de Baird é 21 ou menos, portanto y=21 e
nem y nem y+15 podem ser d=39. Então, d=39 é a mesa do 1o colocado, y=a é o
menor; 2a deve ser então y+15. Portanto, a=y=15, y+15=30 e ficamos com:
1 Bert Rose d=39
2 Stev y+15=2a=30
3 Tom d-8=31
4 Larr y=a=15
Pela regra (V), Baird está em 4o. Por (VII), Bert abriu GP. Mas Bert Rose
que ficou em 1o não é nenhum dos 4 jogadores mencionados em (III) deu
pau de novo!
1 Bert Rose GP d=39
2 Stev y+15=2a=30
3 Tom d-8=31
4 Larr Bair y=a=15
(iv) Enfim, Bert Rose ficou em 2o lugar!
1
2 Bert Rose
3 y+15
4 Larr d-8=31
O papo é parecido com o de (iii). d=39 é o maior, Tom deve estar em 1o por
(IX) e Steve fica em 3o. Como bonus, por (II) colocamos a Ruy Lopez em 4o.
1 Tom
2 Bert Rose y
3 Stev y+15
4 Larr RL d-8=31
Onde fica d=39? Argh, abra em dois casos de novo:
(a) d=39 em 1o. Então y=a é o menor, e 2a tem de ser y+15, e os números são
30,15,30,31 como no fim do caso (iii):
1 Tom d=39
2 Bert Rose y=a=15
3 Stev y+15=2a=30
4 Larr RL d-8=31
Use (VII) para colocar GP para Bert Rose, mas deu pau de novo, do mesmo
jeito que antes: Bert Rose não é nenhum dos jogadores mencionados em (III).
(b) Bom, enfim, tentamos d=39=y+15, e y=24.
1 Tom
2 Bert Rose y=24
3 Stev y+15=d=39
4 Larr RL d-8=31
A regra (VII) força que GP seja a abertura de Tom, e 2a=24 faz a=12:
1 Tom GP a=12
2 Bert Rose y=2a=24
3 Stev y+15=d=39
4 Larr RL d-8=31
Enfim, Baird deve ser Tom (a mais de 10 unidades de 39), Hart com IR vai em
3o, e Korn sobra para Larr:
1 Tom Bair GP a=12
2 Bert Rose GD y=2a=24
3 Stev Hart IR y+15=d=39
4 Larr Korn RL d-8=31
E de novo deu pau, pois Steve Hart não foi mencionado em (III).
Então, não há solução E eu acabei de perder este tempo todo digitando
isso... Argh... Bolas Droga... *@¨($¨@(%...
:)
Abraço,
Ralph
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a
Re: [obm-l] 1,0000...001
Hmmm Eu já escrevi um bocado sobre o assunto 0,...=1; eu lembro de ter focado mais na questão que o Rafael levanta aqui, isto é, ao invés de provar que 0,999...=1, eu dei a minha opinião do porquê da SURPRESA e da resistência que as pessoas têm de aceitar este fato. Mas vou parafrasear o Nicolau: está nos arquivos da lista, eu tive o maior trabalho para escrever com cuidado da outra vez, então quem quiser veja lá. Afinal, é para isso que servem os arquivos. ;) ;) ;) Mas o resumo é: sim, Rafael, a maioria das pessoas têm dificuldade de aceitar a idéia que um número possa ter duas representações decimais distintas, pois elas aprenderam a ver se dois números são iguais verificando se a expansão decimal é a mesma. Todos usavam as expansões para comparar números, era a maneira mais simples de ver qual é maior, e de repente vem alguém e diz que essa regra de comparação não funciona. Pior, não funciona num caso específico (da dízima com ...)... então a reação natural é este caso está errado ao invés de minha regra estava errada, falha apenas neste caso. Quanto aos casos que você mencionou, as pessoas pensam que 0 não é nada, então não conta -- para ver qual é maior, o 0 não contava de qualquer jeito. Mas seu argumento é ótimo. Tudo isso, é claro, em minha modesta opinião (EMMO?). Abraço, Ralph - Original Message - From: Rafael WC [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, April 22, 2002 4:40 PM Subject: Re: [obm-l] 1,...001 Concordo com Fred sobre minha questão do 1,000...001, era justamente dessa maneira que tinha pensado. O que faria com que assustássemos a todos com: 0,999... = 1 = 1,000...001 Eu estive pensando por que é que incomoda tanto 0,999... = 1?? É por ter duas grafias decimais para o mesmo número? Então porque é que ninguém questiona os valores desses: 1,000... 001 1,00 001,000 Não é tudo 1? E cada um não escrevo de um jeito? Por que é que os noves incomodam mais que os zeros??? Rafael. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
RE: [obm-l] Problema Interessante!
Solucoes todas otimas, rapidas e diretas. Mas... se voce quiser outro jeito... ok: 10x - 2xy + y = 0 Ponha o 2x em evidencia... 2x(5-y)+y=0 Junte uma constante para criar um multiplo do 5-y (no caso, -1(5-y))... 2x(5-y)-(5-y)=-5 (2x-1)(5-y)=-5 (2x-1)(y-5)=5 Entao 2x-1 e y-5 sao divisores de 5... Como 2x-10, tem-se (2x-1,y-5) = (1,5) ou (5,1). O primeiro dah (x,y)=(1,10) (nao pode), o segundo dah (x,y)=(3,6) (OK!). (Veja bem, esta solucao fica PIOR do que as outras, pois hah poucos casos a considerar... Mas eu queria fazer este comentario para dar uma dica quando o pessoal enfrentar coisas parecidas onde hah MUITAS opcoes para x e y no comeco do problema... Com este metodo, voce acharia *todas* as solucoes inteiras da equacao dada.) Abraco, Ralph = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
RE: [obm-l] Limites
H.. esta questao tem algo cheirando a armadilha
Veja bem, a questao nao deixa claro se a gente tah falando de uma funcao ou
uma sequencia. Se for funcao, eu concordo com o Carlos. Mas se for
sequencia, isto eh, soh para n inteiro, a coisa muda. Afinal, note que
lim (n-oo) sqrt(n^2+n+1)-n = 1/2
(Sai multiplicando pelo conjugado e fazendo as contas). Assim,
cos (pi*sqrt(n^2+n+1))= +- cos(pi*sqrt(n^2+n+1)-pi*n)
enquanto (o sinal + ou - depende se n eh par ou impar)
cos(pi*(sqrt(n^2+n+1)-n)) tende a cos(pi/2)=0 (!?!)
O denominador vai para 1 mesmo... Assim, o limite da SEQUENCIA eh 0.
(Mas repito, se n for uma variavel REAL, o que o Carlos disse estah
perfeito).
Abraco,
Ralph
-Original Message-
From: Carlos Victor
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: 4/12/02 7:27 PM
Subject: Re: [obm-l] Limites
Olá Carol ,
Se é realmente o que entendi , faça o seguinte : olhe para a
expressão (n^3 - n + 1)^1/n e a coloque da seguinte forma n^(3/n)
sqrt(1-1/n^2 +1/n^3)^(1/n) .Observe que esta expressão
tem limite igual a 1 e que a expressão em coseno fica oscilando
entre -1 e 1 ; portanto o limite não existe , ok ?
Abraços , Carlos Victor
At 05:47 11/4/2002 -0300, Ana Carolina Boero wrote:
Por favor, como calculo este limite?
lim { cos [pi * sqrt(n^2 + n + 1)] } / (n^3 - n + 1)^1/n
n-oo
Muito obrigada!
Carol
=
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=
[obm-l] Re: [obm-l] álgebra II
Sejam a,b,c,d inteiros positivos tais que a^5 = b^4, c³ = d² e c - a = 19. Determine o valor de d - b. H Vejamos. Note que a^5=b^4 tem de ser uma 20a potencia perfeita, isto eh, a^5=b^4=m^20. Assim, a=m^4 e b=m^5. Também, c^3=d^2 tem de ser uma 6a potencia perfeita, isto eh, c^3=d^2=n^6. Assim, c=n^2 e d=n^3. Isto quer dizer que c-a = n^2-m^4=(n-m^2)(n+m^2)=19. Mas 19 é primo, então n-m^2=1 e n+m^2=19. Resolva, ache n e m, entao voce sabe a,b,c e d. Abraço, Ralph P.S.: Vejo agora que minha solução é equivalente à do Arnaldo... mas, de qualquer forma, eu prefiro este jeito de escrevê-la. :) = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] funções e poliminós
2.Determine todas as funções estritamente crescentes f:N-N tais que
f(n+f(n))=2f(n)
Interessante A resposta é múltipla:
i) Qualquer função do tipo f(n)=n+a para a=0 fixo;
ii) Ou qualquer função do tipo f(0)=0 e f(n)=n+a para n0, com a=0 fixo.
Em primeiro lugar note que, se f é estritamente crescente, então
f(n+1)=f(n)+1, e a igualdade só ocorre se f(n) e f(n+1) forem consecutivos,
certo? Ora, assim, f(a+b)=f(a+b-1)+1=f(a+b-2)+2=...=f(a)+b para
quaisquer a,b naturais. A igualdade (f(a+b)=f(a)+b) só ocorre se
f(a),f(a+1), f(a+2),...,f(a+b) forem números consecutivos!
Em particular, f(n+f(n))=f(n)+f(n)=2f(n); a igualdade só ocorre se f(n),
f(n+1), f(n+2), ..., f(n+f(n)) forem todos consecutivos!
(Fazendo um pequeno aparte, note que se f é estritamente crescente, então
f(n)=0 só pode ter, no máximo, n=0 como solução.)
Como a igualdade OCORRE, olhe os dois primeiros termos da lista:
f(n+1)=f(n)+1 para qualquer n (exceto possivelmente se f(n)=0, quando a
nossa lista acima só tem f(n) e nem chega até f(n+1), de qualquer forma,
isto só pode ocorrer se n=0, né?).
Agora é fácil: como f(n+1)=f(n)+1 para qualquer n (exceto 0), tem-se
f(n)=n+a para qualquer n (onde a é fixo; a=f(1)-1, digamos).
Verifiquemos se precisa de mais algo: tomando f(n)=n+a, tem-se
f(n+f(n))=f(n+(n+a))=f(2n+a)=(2n+a)+a=2n+2a=2f(n) (OK!)
Enfim, para n=0 temos:
i) Se f(0)=0, então f(0+f(0))=f(0+0)=f(0)=0, e 2f(0)=0; funciona ok.
ii) Se f(0)=x0, então f(0+f(0))=f(0+x)=x+a, e 2f(0)=2x; conclui-se que
x+a=2x, isto é, f(0)=a. Pode ser também!
Resposta final:
f(n)=n+a para a fixo e qualquer n0
f(0)=0 OU f(0)=a (escolha o que você quiser).
3. É possível empacotar 250 tijolos 1x1x4 em uma caixa de dimensões
10x10x10?
H Nao.
Sejam (i,j,k) os índices de cada um dos cubinhos 1x1x1 da caixa
10x10x10 (0=i,j,k=9).
Sejam A0={cubinhos onde i+j+k=0 mod 4}, A1={cubinhos onde i+j+k=1 mod
4}, A2={=2 mod4} e A3={=3 mod 4}. Em outras palavras, An é o
conjunto dos cubinhos cujos índices i+j+k deixam resto n na divisão por 4.
Bom, primeiro convença-se de que cada tijolo 1x1x4 necessariamente
ocupará um cubinho de cada tipo (A0, A1, A2, A3). Assim, se fosse possível
cobrir a caia 10x10x10, teríamos 250 cubinhos de cada tipo.
Mas quantos cubinhos do tipo A0 existem? Bom, a resposta é: há tantos
cubinhos quantas forem as soluções de i+j+k=4m com 0=i,j,k=9. Olhando só
os restos na divisão por 4, temos as seguintes opções para i, j e k:
{0,1,2,3,0,1,2,3,0,1}. Veja os casos (tudo é feito modulo 4):
i) i=0 (3 opções) então j+k=0; temos j=0,k=0 (3x3 opções) ou j=1,k=3 (3x2
opções) ou j=k=2 (2x2 opções) ou j=3,k=1 (2x3 opções).
TOTAL DE SOLUÇÕES AQUI: 3.(9+6+4+6) = 75
ii) i=1 (3 opções) então j+k=3; as opções para (j,k) são (0,3), (1,2), (2,1)
ou (3,0) com 3x2+3x2+2x3+2x3=24 opções para j e k.
TOTAL: 3x24=72 opções aqui.
iii) i=2 (2 opções) então j+k=2; (j,k)=(0,2),(1,1),(2,0) ou (3,3). Total:
2x(3x2+3x3+2x3+2x2)=50 opções
iv) i=3 (2 opções) e j+k=1; (j,k)=(0,1),(1,0),(2,3)ou(3,2) com
2x(3x3+3x3+2x2+2x2)=52 opções.
Ou seja, há um total de 75+72+50+52=249 cubinhos do tipo A0. Mas, para
cobrir o cubo 10x10x10 com aqueles tijolinhos, teríamos de cobrir 250
cubinhos do tipo A0! Absurdo, portanto não é possível cobri-los.
--//--
Você podia contar cubinhos no braço também... Fica mais fácil de ver numa
figura, mas a idéia é que os cubinhos A0 são dos tipos:
i+j+k=0 (o cubinho do canto)
i+j+k=4 (um plano de cubinhos; use combinatória ou conte mesmo os
cubinhos aqui caso a caso: i=0 implica j+k=4, com 5 soluções; i=1 implica
j+k=3, com 4 soluções;... etc etc TOTAL: 5+4+3+2+1=15 cubinhos)
i+j+k=8 (outro plano de cubinhos, com 9+8+7+6+...+1=45 cubinhos)
i+j+k=12 (7+8+9+10+9+8+7+6+5+4=73 cubinhos)
i+j+k=16 (3+4+5+6+7+8+9+10+9+8=69 cubinhos)
i+j+k=20 (1+2+3+4+5+6+7+8=45 cubinhos)
i+j+k=24 (1+2+3+4=10 cubinhos)
i+j+k=28 (não dá mais)
Em suma, há
1+
1+2+3+4+5+
1+2+3+4+5+6+7+8+9+
4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+
8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+
8+7+6+5+4+3+2+1+
4+3+2+1 =
=1+15+45+73+69+36+10=249 cubinhos do tipo A0. O absurdo é o mesmo.
=
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=
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Fatoração
Problema:Fatorar x^10+x^5+1.
Resposta: Comece pensando em t=x^5 e notando que t^2+t+1 = (t^3-1)/(t-1) --
veja abaixo.
No segundo passo, fatorei o x^15-1, mas agora pensando em u=x^3 e
u^5-1 = (u-1)(u^4+u^3+u^2+1). Daí pra frente, é só rearrumar as coisas
cruzando os dedos para dar certo.
x^10+x^5+1 = (x^15-1)/(x^5-1) =
{(x^3-1)(x^12+x^9+x^6+x^3+1)}/{(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)} =
= {(x^3-1)/(x-1)}{(x^12+x^9+x^6+x^3+1)/(x^4+x^3+x^2+x+1)} =
(x^2+x+1)(x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1)
--//--
Traduzindo em complexos: as raízes de x^10+x^5+1 são as raízes 15as da
unidade, tirando as raizes quintas, como a minha primeira igualdade acima
mostra. Isto é, se a é uma raiz primitiva de ordem 15 (digamos,
a=e^(2(Pi)i/15)), entao as raizes de x^10+x^5+1 sao
{a, a^2, a^4, a^5, a^7, a^8, a^10, a^11, a^13, a^14}
Mas a^5 e a^10 sao as duas raizes cubicas complexas da unidade! Juntas elas
sao raizes do polinomio
(x^3-1)/(x-1) = x^2+x+1 (=(x-a^5)(x-a^10))
E portanto x^2+x+1 divide x^10+x^5+1. O resto é fazer a conta da divisão e
torcer para dar tudo inteiro.
Abraço,
Ralph
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RE: [obm-l] Re
Oi, gente. 1)Seja f:R==R,não identicamente nula,tal que f(x)*f(y)=(1/2)[f(x+y)+f(x-y)] e f(1)=0,para todos os números reais x e y. a)Mostre que f(0)=1,f(2)=-1,f(3)=0 e f(4)=1. b)Mostre que f(x+4)=f(x),para todo x real. c)Existe de fato tal função. Bom, (a) saiu? Ok... Para (b), experimente fazer y=1 e prove que f(x+1)=-f(x-1), isto eh, f troca de sinal de 2 em 2. Assim, f(x+4)=-f(x+2)=f(x). Existe tal funcao? Bom, funcao periodica assim, 1,0,-1,0,1,0,-1,0,... me lembra senos e cossenos. Com um pouco de cuidado a gente tenta algo com periodo 4, por exemplo: f(x)=cos(Pi*x/2) e ve que dah certo (isto eh, cos(Pi*x/2) satisfaz as condicoes do enunciado... :PPronto, tal funcao existe (mas nao dissemos nada a respeito dela ser unica!). Abraco, Ralph = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
RE: [obm-l] divergente
Oi, Paulo e galera. Eu gosto de pensar de um jeito que fisicamente nao funciona bem... mas me dah a ideia correta. Primeiro voce tem que entender bem o que eh o FLUXO de um campo vetorial. FLUXO: digamos que E eh um campo vetorial (pode ser no plano ou no espaco, no que se segue, penso no espaco). Pense em E como um campo de velocidades de agua (ou seja, a agua flui e, no ponto (x,y,z) a velocidade da agua eh o vetor E(x,y,z)). Suponha que E eh um campo estacionario, isto eh, E pode mudar de ponto para ponto, mas E NAO MUDA com o tempo, ok? Assim eu nao preciso botar t em lugar algum... Bom, pegue um ponto P(x0,y0,z0), coloque um cubinho imaginario (com superficie feita de Perfex(TM)) em torno dele; voce sempre pode medir o volume de agua que sai atraves do Perfex(TM) por segundo -- isto eh o FLUXO de E atraves da superficie do cubinho (positivo se sai mais agua do que entra, negativo caso contrario) -- a unidade disso eh algo como fluxo = tantos litros / segundo, que saem do cubinho. (Em geral, fluxo pode ser definido para qualquer superficie, nao soh cubinhos) --//-- DIVERGENTE: Se voce fizer o cubinho cada vez menor, o fluxo de agua que sai do cubinho *tipicamente* vai para zero -- o cubinho eh pequeno demais, nao hah Perfex(TM) suficiente atraves do qual possa sair agua. Alias, *tipicamente*, se a eh o tamanho da aresta do cubinho, o fluxo atraves dele eh parecido com ma^3 para algum numero m que depende de como eh o campo vetorial E em volta do ponto P. Em outras palavras, tipicamente tem-se: lim (a-0) FLUXO/a^3 = m(x0,y0,z0) Esse m eh o chamado DIVERGENTE do campo E no ponto (x0,y0,z0). Em geral, quando esse limite existe, voce nao PRECISAVA usar cubos; voce pode pegar outros solidozinhos (S) em volta de P e fazer: lim (V-0) (FLUXO atraves da superficie de S) / Volume de S e este limite tambem dah o tal DIVERGENTE de E em P. [[Alias, isso tudo nada mais eh do que uma DENSIDADE DE FLUXO... Se voce quisesse densidade de massa, voce faria tudo do mesmo jeito, exceto que lim (V-0) (MASSA dentro de S)/(Volume de S) = DENSIDADE DE MASSA Troque massa por fluxo e veja a analogia...]] SIGNIFICADO DO DIVERGENTE: Essa eh a definicao geometrica do divergente. O que significa? Bom, no caso de agua, se div E (x0,y0,z0) 0 entao tem volumes de agua saindo do ponto P(x0,y0,z0). Se tem agua saindo do ponto P, eh como se P fosse uma fonte de agua, e o tamanho do divergente dah uma ideia de quanta agua eh produzida em P por unidade de tempo. Se div E (P) 0, P eh um ralo -- a agua entra no cubinho em volta de P e some ali dentro! Neste momento eh que voce percebe que a minha maneira de pensar nao eh muito fisica... afinal, do jeito que eu falei, tem um anjo criando agua em alguns lugares e tirando agua de outros -- como eh que a agua aparece no ponto P?!? Mas eh assim que eu penso no divergente de E, como uma medida de agua (cuja velocidade eh E) criada/destruida por anjos. Sem anjos, no caso de um fluido incompressivel (a agua praticamente satisfaz essa condicao em varias situacoes), o seu campo de velocidades E tem de ter divergente NULO -- volumes de agua nao podem aparecer ou desparecer. Compare a situacao da agua com um outro gas qualquer: se E for o campo de velocidades de um gas (que eh um fluido compressivel), div E em P 0 quer dizer que hah volumes de gas saindo de P. Mas voce nao precisa de um anjo para tanto, basta que o gas esteja se EXPANDINDO para que voce detecte volumes de gas sendo criados! Lembre-se, MASSA nao pode ser criada do nada, mas VOLUME pode, desde que voce mude a densidade do fluido em questao. Neste caso, div E (no ponto P) dah a ideia de quanto o gas estah se expandindo no ponto P; divE0 quer dizer expansao (quanto maior o numero, mais forte a expansao), divE=0 quer dizer que o *volume* de gas se mantem (aa medida que se move, nos pontos onde divE=0), divE0 indica contracao. Mais exatamente, se divE= 2 m^3/(segundo.m^3) = 2 /segundo (no sistema MKS) em todos os pontos de uma certa regiao R do espaco, entao uma porcao de gas que se mexe ali dentro vai dobrar de volume em 1 segundo (possivelmente ocupando um OUTRO lugar ali dentro, mas o volume ocupado serah o dobro). Se o div nao eh constante na regiao R, voce tem de fazer uma especie de media para saber o volume de fluido que estah sendo criado (ou destruido): faca a integral de div E na regiao R... Dai vem o teorema da divergencia: INT (tripla, dentro de R) div E dV = = Fluxo de E (atraves da fronteira/superficie de R) (Isto eh, Integral da densidade de fluxo = fluxo total; compare com Integral da densidade de massa = massa total) Para eletricidade, note que um campo eletrico tambem pode sim aparecer ou desaparecer -- a presenca de CARGA eletrica constitui uma fonte ou um ralo de campo eletrico (apesar de agora E nao ser um campo de velocidades... mas pra mim a analogia ainda ajuda). Quanto maior a densidade de carga num lugar, maior a quantidade de campo eletrico que sai daquele lugar -- a relacao exata eh a
Re: [obm-l] russos
1)Prove que em qualquer sequencia de 39 numeros naturais consecutivos existe ao menos um numero cuja a soma dos algarismos e divisivel por 11. Hmmm...que tal assim: Caso (1) Se nao houver troca de centena entre esses 39 numeros Neste caso, a observacao chave eh a da Iolanda: a soma dos algarismos de n na aumenta de 1 a cada vez que o numero aumenta de 1; exceto quando hah troca de dezena, quando entao a soma diminui em 8 (-9 nas unidades, +1 nas dezenas). Assim, a sequencia dos restos das somas dos algarismos de n na divisao por 11 serah um subconjunto da seguinte sequencia ciclica: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 ... 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 (a partir daqui a sequencia repete -- note que eu troco de linha ao trocar dezenas, assim cada coluna corresponde a uma possibilidade de digito final para n). Note que existem 28 restos entre os dois primeiros zeros; entre os outros pares consecutivos de zeros hah apenas 8 restos nao nulos. Como a nossa sequencia tem 39 desta sequencia de restos, pelo menos um 0 aparece. Caso (2) Hah uma troca de centena na sequencia (possivelmente uma troca de ordem maior ao mesmo tempo, nao me interessa) Este eh o ultimo caso -- 39 numeros consecutivos nao podem trocar as centenas DUAS vezes... Neste caso, os 39 numeros sao divididos em duas subsequencias, uma antes da grande troca e outra depois. A sequencia de restos que vem antes da GRANDE TROCA serah uma subsequencia da tabela ciclica acima, soh que agora o ultimo elemento TEM DE ESTAR NA ULTIMA COLUNA (que corresponde aos numeros que terminam por 9) -- chamemos isso de subsequencia do tipo (i). Analogamente, a sequencia de restos que comeca com o resto do numero 100k, TEM DE COMECAR NA PRIMEIRA COLUNA -- tipo (ii). Nao eh dificil ver que a maior sequencia do tipo (i) sem zeros eh a que comeca no primeiro 1 e vai ateh o 10 da segunda linha (com 19 elementos); a maior possivel do tipo (ii) sem zeros COMECA no 1 da segunda linha e termina no 10 da terceira, com mais 19 elementos. Como temos 39 elementos 19+19, concluimos que ao menos um numero da lista tem soma dos algarismos divisivel por 11. ---///--- Alias, com essa tabela em mãos, não é difícil encontrar uma sequencia com 38 elementos sem somas de algarismos divisiveis por 11. Teremos de usar algo da forma 100k-19, 100k-18,,100k-1, 100k, 100k+1,...,100k+18 onde a soma dos algarismos de 100k-1 deixa resto 10 na divisao por 11 e a soma dos algarismos de 100k deixa resto 1 na divisao por 11. Se 100k termina por m zeros, entao sao m noves que somem de 100k-1 para 100k, entao a soma dos algarismos diminui em 9m-1 (como a Iolanda jah tinha observado). Para conseguir que o resto pule de 10 para 1, precisamos de que 9m-1=9 modulo 11, isto eh, m seja da forma 11a+6 -- temos de terminar com 11a+6 zeros em 100k. Assim, a sequencia de 38 elementos sem soma dos algarismos divisivel por 11 comecando pelo menor numero eh: 81 82 83 ... 99 100 101 ... 118 Legal? Abraco, Ralph = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Fw: [obm-l] Duvida em exponencial
Oi, Vicente. Que eu saiba, nao existe maneira de resolver essa equacao para n usando as funcoes aas quais a gente tah acostumado... Mas existe uma tal funcao W de Lambert que se define assim: LambertW(y)=x quando x.e^x=y (note que e^LambertW(y) = y/LambertW(y), por definicao) Essa funcao estah bem definida para y=0; para -1/ey0 voce tem dois possiveis valores de x para cada valor de y, um entre -1 e 0 e o outro menor que -1. Para y=-1/e, x=-1 eh a unica solucao. Enfim, nao hah solucao para y-1/e. De qualquer forma, usando esta criatura, dah para resolver x^x=y da seguinte forma (pelo menos quando y0): x^x=y x lnx = lny lnx e^(lnx) = lny lnx = LambertW(lny) x = e^LambertW(lny) x = lny/LambertW(lny) onde na ultima passagem eu usei a propriedade que eu citei lah perto da definicao. Bom, agora nao vejo saida senao ir numericamente. No seu caso: x^x=2^100 x = ln(2^100)/LambertW(2^100) x = 100 ln2 / LambertW(100 ln2) Agora ln2~0.6931471806, e LambertW(693147.1806)~11.046852, entao: x ~ 693147.1806/11.046852 ~ 62746.12645 Eu sei que essa resposta nao eh muito satisfatoria (essa funcao LambertW eh muito esquisita e eu nem conheco nenhuma propriedade legal dela exceto as citadas acima), mas nao creio que haja nada melhor. Pelo menos, os numeros envolvidos no calculo numerico sao MUITO menores do que trabalhar direto com 2^100 :) :) :) Abraco, Ralph -Original Message- From: Vicente To: [EMAIL PROTECTED] Sent: 1/22/02 12:23 AM Subject: [obm-l] Duvida em exponencial Bem, eu tava resolvendo um problema com logaritmos e cheguei no seguinte resultado: n^n=2^10^6 (ou 2¹°°) Existe algum cálculo utilizado para igualar a base ao expoente??? Obrigado. Vicente. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: Re:Exercicios (Solução do exerc´cio 2)
2)Um quadrilátero ABCD está inscrito em um circulo de raio 5 , tal que : AB=4 BC=6 CD=X AD=8 Qual o valor de X ? Aqui vai outra solução, que é equivalente à solução do Ponce.Eu a coloco aqui para dar idéias na hora de fazer outros problemas com quadriláteros inscritos -- veja se vale a pena alterar a ordem dos vértices! Quero dizer com isso: considere o quadrilateroAXYD inscrito no mesmo círculo onde A eD são os mesmos de antes, mas AX=6, XY=CD e YD=4 (AD=8 ainda) -- note que isto é possível, basta tomar os mesmos arcos de antes e transportá-los para os lugares corretos; como antes os arcos somavam 360, ainda somam 360. Agora, como AX^2+AD^2=100=10^2 (diâmetro^2), o trianguloDAX é retângulo em A; entao XYD tambem é retângulo, e então: x^2+4^2=100 = x=sqrt(84)=2sqrt(21) Como na solução do Ponce. Abraço, Ralph
Pontos Gordos
Oi, galera. Tem algo estranho aqui... Considere dois feixes de retas passando pelos pontos A(-1,0) e B(1,0), feixes estes simetricos com relacao ao eixo Oy e portanto se intersectando lah em varios pontos (digamos, os pontos da forma (0,n) com n natural). Junte estes dois feixes com o eixo Oy. Entao: i) Duas retas do feixe A se encontram em A, que eh GORDO. ii) Duas retas, uma de cada feixe, se encontram em um ponto do eixo Oy, que eh GORDO (pois o eixo Oy tambem passa lah); iii) Uma reta de um feixe e o eixo Oy se encontram em pontos GORDOS (pois a outra reta do outro feixe tambem passa lah). Assim, o numero minimo de pontos MAGROS eh zero, como mostra o meu exemplo... Eu entendi a questao direito? Abraco, Ralph Segue um problema de uma lista de seleção pra imo-ibero do ano passado : Considere um número finito de retas coplanares. Um ponto magro de intersecção é um ponto onde concorrem exatamente 2 retas. Supondo que existem pelo menos 2 pontos de intersecção, determine o número mínimo de pontos magros de intersecção. Não sei o nível de dificuldade. aguardo respostas.. Abraços, Villard _ Converse com amigos on-line, experimente o MSN Messenger: http://messenger.msn.com.br
Determinante (Era: Por favor, me tirem dessa lista.)
Eu tenho uma idéia, Nicolau: se alguém mandar uma mensagem para a lista pedindo para sair, a gente os pune! Eu sugiro pena máxima: a gente os EXPULSA da lista! Isso mesmo! :) :) :) ---///--- Para pagar a piada off-topic, devo ser obrigado a incluir um problema, certo? Aqui vai um problema de Álgebra Linear bacaninha do curso que eu acabei de dar; a solução mais curta ganha um E-doce Sejam A uma matriz m x n e B uma matriz n x m. Mostre que det[0 A; -B I] = det(AB) (Notação: eu uso [a b c; d e f; g h i] para representar uma matriz 3x3 cujas linhas são [a b c], [d e f], [g h i]; a identidade 3x3, por exemplo, é [1 0 0; 0 1 0; 0 0 1]. Aqui, a matrizona (m+n) x (m+n) do lado esquerdo é montada por blocos; 0 é a matriz nula m x m e I é a matriz identidade n x n.) Abraço, Ralph
Re: questões do livro Curso de Análise ,vol1 , AJUDA.
Pequena correção: x^2+y^2-z=0 é um parabolóide de
revolução; para ser cone, precisava ser x^2+y^2=z^2.
Abraço, Ralph.
- Original Message -
From:
David
Daniel Turchick
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Thursday, January 10, 2002 1:28
PM
Subject: Re: questões do livro Curso de
Análise ,vol1 , AJUDA.
Bom, o primeiro eu fiz...
Queremos a imagem inversa do ponto 0, pela
função f (i.e., o conjunto de todos os pontos do domínio de f que são levados
no 0).
Então (x,y) Î f^(-1) (0) sse
f(x,y)=0, i.e, 3x-y=0, i.e., y=3x. Logo f^(-1) (0) = {(x,y) Î RxR / y=3x} =
{(x,3x) Î RxR} = [(1,3)] (o conjunto gerado pelo vetor (1,3)). Logo, o
conjunto pedido é a reta passando pela origem com inclinação
3.
Analogamente:
g^(-1) (0) = circunferência centrada em (1,1) de
raio 3.
w^(-1) (0) =
plano xy.
u^(-1) (0) =
cone... (acho que não sei descrever com palavras, mas fazendo a figura fica
muito fácil de ver)
-Mensagem original-De:
haroldo [EMAIL PROTECTED]Para:
[EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]Data:
Quinta-feira, 10 de Janeiro de 2002 13:28Assunto: En:
questões do livro Curso de Análise ,vol1 , AJUDA.
-Mensagem original-De:
haroldo [EMAIL PROTECTED]Para:
[EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]Data:
Terça-feira, 8 de Janeiro de 2002 23:22Assunto: questões do
livro Curso de Análise ,vol1 , AJUDA.
Saudações a todos os amigos da lista.
Gostaria de ajuda em 2 exercícios do livro do
Elon.
1-Sejam f,g : RxR - R e w,u : RxRxR R as
funções definidas por f(x,y)= 3x-y, g(x,y)=(x-1)^2 + (y-1)^2 -9 , w(x,y,z)=
3z,
u(x,y,z)= x^2 + y^2 - z . interpretando (x,y) como as
cooredenadas de um ponto do plano RxR e (x,y,z) como coordenadas de um
ponto do espaço, descreva geometricamente os conjuntos f^(-1) (0) , g^(-1)
(0) , w^(-1) (0) , z^(-1) (0).
2-Um número real chama-se transcedente quando não é
algébrico . prove que o conjunto dos números transcedentes é não -enumerável
e denso em R.
Re: Idade
Oi, Pedro.
Argh Eu tenho
uma relacao de amor-ódio com esses problemas... :)
Bom, vamos lá organizar tudo. Seja x a DIFERENÇA
entre as idades (queé a mesma em todas as épocas). Organize tudo por épocas:
(1) Eduardo tem dobro de anos
(2) que João tinha quando Eduardo tinha a metade da
idade
(3) que João terá quando João tenha (hmmm...
tiver?) o triplo da idade
(4) que Eduardo tinha quando Eduardo tinha o dobro
da idade do João naquela época.
(1) Presente ("tem")
(2) Passado I ("tinha")
(3) Futuro ("terá")
(4) Passado II (outro "tinha"; "naquela
época")
Agora escrevemos as equações ao
contrário.
(4) Bom, Eduardo tinha o dobro da idade do Joao
naquela epoca. Como a diferenca eh x, as idades eram
Joao:x e Eduardo:2x naquela epoca. Note que Eduardo
eh mais velho.
(3)Joao terá o triplo da idade que Eduardo
tinha em (4). Então aí João:6x.
(2) Eduardo tinha a metade da idade de João em (3).
Então Eduardo:3x e consequentemente João:2x.
(1) Eduardo tem o dobro da idade de João em (2).
Então Eduardo:4x e consequentemente Joao:3x.
Como 4x+3x=70, x=10. João tem 30 anos e Eduardo tem
40 anos.
Verificando Eduardo tem (40 ANOS)
o dobro do que João tinha (20 anos) quando Eduardo
tinha (30 anos)
a metade da idade que João terá (60 anos) quando
João tiver
o triplo da idade que Eduardo tinha (20 anos)
quando Eduardo tinha o dobro da idade de João (na
época, 10 anos).
Abraço,
Ralph
RE: ajuda em análise
Esse eh um exercicio bem bonito que eu vi pela primeira vez no livro de Analise do Elon A ideia eh simples, mas mais facil de explicar com uma figurinha Bom, eu explico a solucao e voce faz a figurinha, que tem os conjuntos A e B, setas de A para B que representam f e setas de B para A que representam G. :) Dado um elemento a0 de A, veja se hah um elemento b0 de B tal que g(b0)=a; entao veja se hah um elemento a1 de A tal que f(a1)=b0; entao veja se hah um elemento b1 de B tal que g(b1)=a1; e assim por diante... Basicamente, voce cria uma sequencia de elementos que estao alternadamente em A e B usando alternadamente as inversas de f e g enquanto isso for possivel (na figurinha, dah um zigue-zague no sentido contrario ao das setas). Note que, como f e g sao injetivas, a escolha desta cadeia a partir de um certo elemento eh unica. Tres coisas podem acontecer: i) Essa cadeia pode terminar num elemento an de maneira que nao existe bn em B tal que g(bn)=an (talvez ateh logo no primeiro elemento a0). Neste caso, defina h em toda a cadeia assim: h(a_i)=f(a_i). Note que eu cobri todos os b's desta cadeia, e defini h para todos os a's dela... ii) Essa cadeia pode terminar num elemento bn de maneira que nao existe an em A tal que f(an)=bn. Neste caso, defina h em toda a cadeia assim: h(a_i)=g^(-1)(a_i)=b_i. Note que eu cobri todos os b's desta cadeia de novo, e todos os a's foram usados pois todos eles tem inversos pela g. iii) Essa cadeia pode nao terminar nunca (sendo ciclica ou nao). Neste caso, faca como quiser... Por exemplo, defina h(a_i)=f(a_i) como no caso (i). Eu tambem cobri todos os a's e b's aqui. Pronto. Essa funcao h eh agora uma bijecao de A em B. De fato, todo elemento b de B estah numa destas cadeias (na cadeia iniciada por g(b), por exemplo), e portanto ela eh sobrejetiva. A injecao segue da unicidade da cadeia: se voce comecar de b em B, a cadeia iniciada por g(b) eh unica, e deve terminar num elemento de A ou de B, e portanto obedece apenas a um dos casos anteriores. Minha explicacao eh mais complicada do que a ideia Funcionou? Abraco, Ralph -Original Message- From: haroldo To: [EMAIL PROTECTED] Sent: 1/6/02 5:59 PM Subject: En: ajuda em análise -Mensagem original- De: haroldo [EMAIL PROTECTED] mailto:[EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] mailto:[EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] mailto:[EMAIL PROTECTED] Data: Domingo, 6 de Janeiro de 2002 18:34 Assunto: ajuda em análise Saudações a todos . Alguém poderia me ajudar na seguinte questão : Dados os conjuntos A e B , suponha que existam funções injetivas f: A - B e g: B-A . Prove que existe uma bijeÇão h:A-B.
RE: Sistema Poli 1942
1) Resolver (imagino que para x e y, certo?):
tg2x + tg2y = a
tgx + tgy = b
--//--
Vejamos Uso A=tgx e B=tgy, entao a primeira eh:
2A/(1-A^2)+2B/(1-B^2) = a
2A(1-B^2)+2B(1-A^2)=a(1-A^2)(1-B^2)
2A+2B-2AB(A+B)=a(1-A^2-B^2+A^2B^2)
Use agora S=A+B=b e P=AB. Note que A^2+B^2=S^2-2P. Entao:
2b-2Pb=a(1-b^2+2P+P^2)
aP^2+2P(a+b)+a-2b-ab^2=0
P^2+2P(1+b/a)+1-2b/a-b^2=0
(escreverei daqui por diante r=b/a)
P^2+2P(1+r)+1-2r-b^2=0
P=-(1+r)+-sqrt(r^2+b^2+4r)
Enfim, como A e B sao as duas raizes de t^2-bt+P=0, tem-se
t=b/2+-sqrt(b^2/4-P), isto eh:
{tgx,tgy}=b/2+-sqrt(b^2/4+1+r-sqrt(r^2+b^2+4r))
ou
{tgx,tgy}=b/2+-sqrt(b^2/4+1+r+sqrt(r^2+b^2+4r))
Eh... O meu tambem ficou feissimo... E como aquela raiz dupla nao parece se
desdobrar em uma soma de raizes, nao vai melhorar muito nao. E como a
resposta eh MUITO feia, nao creio que haja solucao que melhore muito isso
nao... :(
Abraco,
Ralph
RE: Matriz
Oi, Emanuel. De fato, ha algo errado ai... Se for de fato Aij = -1 se i=j Aij = i+j se i=j Entao A11=-1=2 ao mesmo tempo, absurdo Provavelmente queria-se que apenas um dos dois casos contivesse a igualdade. Se soh o de cima tivesse igualdade, seria A = [-1 -1; 3 -1]; caso contrario (soh o debaixo com igualdade), seria A = [2 -1; 3 4]. Os dois ao mesmo tempo nao dah. Abraco, Ralph
Re: beal
Eu achei isso aqui procurando via Google (procure Beal Conjecture) Há outros links, esse é o primeiro: http://www.math.unt.edu/~mauldin/beal.html Quem nao quiser ir lá, basicamente essa página diz THE BEAL CONJECTURE AND PRIZE BEAL'S CONJECTURE: If A^x +B^y = C^z , where A, B, C, x, y and z are positive integers and x, y and z are all greater than 2, then A, B and C must have a common prime factor. THE BEAL PRIZE. The conjecture and prize was announced in the December 1997 issue of the Notices of the American Mathematical Society. Since that time Andy Beal has increased the amount of the prize for his conjecture. The prize is now this: $100,000 for either a proof or a counterexample of his conjecture. The prize money is being held by the American Mathematical Society until it is awarded. In the meantime the interest is being used to fund some AMS activities and the annual Erdos Memorial Lecture. CONDITIONS FOR WINNING THE PRIZE. The prize will be awarded by the prize committee appointed by the American Mathematical Society. The present committee members are Charles Fefferman, Ron Graham, and Dan Mauldin. The requirements for the award are that in the judgment of the committee, the solution has been recognized by the mathematics community. This includes that either a proof has been given and the result has appeared in a reputable refereed journal or a counterexample has been given and verified. PRELIMINARY RESULTS. If you have believe you have solved the problem, please submit the solution to a reputable refereed journal. If you have questions, they can be mailed to: The Beal Conjecture and Prize c/o Professor R. Daniel Mauldin Department of Mathematics Box 311430 University of North Texas Denton, Texas 76203 Questions and queries can also be FAXED to 940-565-4805 or sent by e-mail to [EMAIL PROTECTED] O Morgado agora pode dormir em paz. :) :) Abraço, Ralph - Original Message - From: Augusto César Morgado [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, December 17, 2001 5:16 PM Subject: Re: beal Pelo amor de Deus, não consigo dormir de curiosidade. Sobre qual assunto é essa conjectura de Beal? Internautas, ninguém descobriu nada sobre esse cara?
Re: Quantidade de oleo
Engracado... Alguem me fez exatamente esta pergunta, por E-mail, alguns meses atras (se eu me lembro bem, por motivos praticos, havia ateh os valores numericos envolvidos); a unica diferenca eh que no caso que eu tentei analisar, eram calotas esfericas de raio R nas bordas, nao necessariamente hemisferios. A recomendacao no caso era simplesmente colocar um certo volume conhecido no tanque, ver a altura, e fazer a "marquinha" daquele volume na vareta. Repita para varios volumes e faca a sua escala sem fazer conta alguma... :) Ou, melhor ainda, faca um modelo em escala para realizar o processo acima e depois marque a varetona em escala. :) A gente que gosta de matematica muitas vezes esquece que uma resposta numerica (ou um grafico) pode frequentemente ser tao boa quanto ou melhor que uma "formula". Mas no caso do problema aqui,a gente quer uma formula, certo? Infelizmente, eu nao estou com aquele E-mail aqui, saiu de outra conta Se ninguem se dispuser a responder, eu devo conseguir uma copia dele 5a feira para mandar para a lista. Eu*acho* que era uma conta bem feia, especialmente as integrais nas calotas esfericas, que no caso geral (raio R) nem se resolvia no braco... Mas nesse caso (raio da esfera = raio do cilindro), acho que saia algo mais bonitinho. Sugestao para a galera: faca a conta toda usando z=h-r; isto eh, ao inves de usar h, faca as contas com z onde z=0 indica metade do tanque cheio -- as contas intermediarias ficam bem mais simples. No final apenas, troque z por h. Abraco, Ralph - Original Message - From: Davidson Estanislau To: obm Sent: Tuesday, November 27, 2001 9:37 AM Subject: Quantidade de oleo Como faço para determinar a quantidade de óleo que há em um caminhão que abastece os postos de gasolinas, dispondo apenas de uma vareta? Essa vareta será usada, para determinar a altura do óleo existente no reservatório do caminhão Sabendo que o reservatório é formado pela união de um cilindro com duas semi-esferas nas extremidades. Vejam um esboco do reservatorio: Dados: Altura medida pela vareta: h; Raio das semi-esferas: r; Distância entre as extremidades das semi-esferas: H. Ogrigado pela ajuda. Davidson Estanislau
RE: Ternas (x,y,z)
Oi, Yuri. Note que as ternas do tipo (a,a,b), (a,b,a) ou (b,a,a) para quaisquer a e b reais satisfazem as equacoes. (Isto eh, x=y OU z=x OU y=z satisfazem a equacao dada). --//-- Agora, o que eu vou fazer aqui a seguir serve se n eh par OU voce assumir que x,y,z sao positivos. Se x=y, x=z ou y=z, coom jah dissemos, a equacao vale. Caso contrario, posso supor que yz sem perda de generalidade. Considere: f(x)= y*x^n + z*y^n + x*z^n - (x*y^n + y*z^n + z*x^n) = = x^n (y-z) -x (y^n-z^n) + (z*y^n-y*z^n) O truque eh mostrar que as unicas raizes reais deste polinomio em x sao de fato x=y e x=z. Se voce quer soh solucoes positivas, um jeito de mostrar isso eh dividir f(x) por (x-y)(x-z)(y-z) e notar que o polinomio (HORRIVEL) que fica tem todos os coeficientes positivos Assim, nao ha como ter raizes positivas dele. Deve ter um jeito mais facil de mostrar que f(x) eh (crescente e) positivo para xy sem calculo, mas eu nao achei ainda. Usando calculo, eu termino a questao um pouco mais facil. Repito, a solucao a seguir serve se n eh par OU se limitamo-nos a x,y,z0. f'(x) = n*x^(n-1)(y-z)-(y^n-z^n) f''(x)=n(n-1)x^(n-2)(y-z) Se n=1, eh claro que f(x)=0 e qualquer terna (x,y,z) satisfaz a equacao dada. Senao, se n for par OU se a gente olhar apenas no intervalo x \in (0,+INF) dah para ver entao que f''0 e portanto a funcao f eh convexa! Assim, f tem no maximo duas raizes (voce podia tambem usar o Teorema de Rolle direto de notar que f'(x)=0 soh tem uma raiz, dah no mesmo). Como x=y e x=z sao duas raizes de f(x), concluimos que sao as unicas. Assim, as unicas raizes reais de f sao as dadas acima. ---///--- Este raciocinio todo fura se n for impar E a gente tiver que achar raizes reais onde uma ou mais variaveis possam ser negativas! Neste caso, o problema eh nao trivial; creio eu que o enunciado original deveria ter algo mais a esse respeito. Soh para ter uma ideia de como a coisa complica se voce permitir n impar E respostas negativas: i) Para n=3, eh facil fatorar f(x)=(x-y)(y-z)(z-x)(x+y+z); assim, alem das raizes x=y, x=z ou y=z, tambem temos qualquer terna que satisfaca x+y+z=0 (e aqui pelo menos um dentre x, y ou z tem de ser nao positivo). ii) Para n=5, fatore f em (x-y)(y-z)(z-x)((x+y+z)(x^2+y^2+z^2)+xyz) Os tres primeiros termos sao os esperados, e o terceiro nao tem raizes se x, y e z forem nao negativos. Mas se eles podem ser negativos bom, a equacao (x+y+z)(x^2+y^2+z^2)+xyz=0 define uma superficie muito doida no R^3, que eu ateh plotei aqui no meu Maple da vida Assim, HA solucoes sim, e nao dah para escreve-las dum jeito bonitinho (que eu saiba). iii) Para n=7,9,11, etc... com solucoes negativas a coisa piora, entao eu nem fiz. :) Ajudou? Abraco, Ralph -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: 11/22/01 12:02 AM Subject: Ternas (x,y,z) Alguém pode resolver ou dar dicas para a seguinte questão??? Dado um inteiro positivo n, achar todas as ternas (x,y,z) de números reais tais que y*x^n + z*y^n + x*z^n = x*y^n + y*z^n + z*x^n []'s, Yuri ICQ: 64992515 -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br -Original Message- From: Paulo Santa Rita To: [EMAIL PROTECTED] Sent: 11/22/01 2:29 PM Subject: Re: Ternas (x,y,z) Ola Yuri e demais colegas desta lista, Se N=1, evidentemente qualquer terna (x,y,z) de numeros reais satisfaz a equacao. Se N 1, a equacao pode ser colocada como um produto escalar, da seguinte forma : (y,z,x).(x^N,y^N,z^N)=(x,y,z).(y^N,z^N,x^N) Agora, note o seguinte : 1) Como todos os modulos ( norma euclidiana ) sao iguais, segue portanto que o produto sera igual se os angulos entre os vetores que estao sendo multiplicados forem iguais ou somarem 360 graus. 2) A funcao que e aplicada de um membro para o outro e : T(y,z,x)=(x,y,z). Esta funcao, alem de ser biunivoca e portanto admitir uma inversa corresponde a uma operacao geometrica ( com os eixos coordenados ) bem definida. Salvo por um melhor juizo dos demais colegas e Professores, EU ACHO que com estas dicas a questao fica resolvida. Um abraco pra voce Paulo Santa Rita 5,1526,221101 From: [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Ternas (x,y,z) Date: Thu, 22 Nov 2001 01:02:21 -0200 Alguém pode resolver ou dar dicas para a seguinte questão??? Dado um inteiro positivo n, achar todas as ternas (x,y,z) de números reais tais que y*x^n + z*y^n + x*z^n = x*y^n + y*z^n + z*x^n []'s, Yuri ICQ: 64992515 -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br _ Chegou o novo MSN Explorer. Instale já. É gratuito! http://explorer.msn.com.br
Re: IME (era: Re:dúvida)
sqrt(5-sqrt(5-x))=x Mknha solução é uma mistura de tudo o que você falou No braço, elevando ao quadrado e tal: 5-sqrt(5-x)=x^2 5-x^2=sqrt(5-x) 25-10x^2+x^4=5-x x^4-10x^2+x+20=0 Agora note que as raízes de sqrt(5-x)=x são raízes da equação original, certo (eu não disse TODAS)? Isto dá uma dica de que o meu polinômio de quarto grau deve ser divisível por x^2+x-5 De fato, aquela equação se torna: (x^2+x-5)(x^2-x-4)=0 E agora é fácil achar as 4 raízes x1=(-1+sqrt(21))/2 x2=(-1-sqrt(21))/2 x3=(1+sqrt(17))/2 x4=(1-sqrt(17))/2 Mas o processo de elevar ao quadrado pode introduzir raízes estranhas! Por exemplo, olhe a equação original e note que x=0, o que invalida x2 e x4. De fato, para reverter os passos onde elevamos ao quadrado, temos de verificar duas coisas: i) 5-x^2=0 ii) x=0 Para x1, note que x1=5, então sqrt(5-x1)=x1; portanto sqrt(5-sqrt(5-x1))=sqrt(5-x1)=x1 satisfaz a equação. Para x3, note que x3^2=(18+2sqrt(17))/4=20/4=5, e, portanto, 5-x3^2=0; assim, x3 não serve! Assim, a única solução é x1=(sqrt(21)-1)/2. Abraço, Ralph
Re: Horas
É, mas cuidado: entre 8 e 9 horas (exclusive) não há nenhuma posição com o ponteiro das horas antes ... - Original Message - From: Eduardo Grasser [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, October 31, 2001 12:01 PM Subject: RE: Horas Vejamos, com o ponteiro das horas antes, temos das 00:15 (mais uns quebradinhos, mas não vem ao caso) às 23:10 dando 12 ângulos retos. Com o ponteiro dos minutos antes, temos das 00:45 às 23:40 (horários aproximados) dando 12 ângulos retos. Total 24 retos. eduardo -- De: Frederico Gomes Elihimas[SMTP:[EMAIL PROTECTED]] Enviada em: Quarta-feira, 31 de Outubro de 2001 09:13 Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: Horas Quantos angulos retos existem das 00:00 `as 24:00 formados pelos ponteiros dos minutos e das horas ? nao eh permitido responder por fi'sica.
Re: Torneio das Cidades
Eu gostei dessa questao e comecei a pensar um bocado nela Veja se isso aqui funciona i) O assistente escolhe duas cartas do mesmo naipe para serem indicadoras principais (sempre hah duas cartas do emsmo naipe), digamos, A (a maior das duas) e B (a menor). Ele calcula x=A-B (usando As=1, J=11, Q=12 e K=13).-- Se x=7 ele poe A na mesa e B no bolso -- Se x=6 ele poe B na mesa e A no bolso. De qualquer forma, a da mesa vem aa esquerda da fila na mesa. ii) As outras 3 cartas na mesa indicarao um numero n de 1 a 6 (hah 6 permutacoes possiveis delas). Para tanto, basta criar uma ordem, digamos a ordem dos naipes do bridge (Espadas Copas Ouros Paus) com criterio de desempate dado por AsKQJ10...2. Assim, se elas forem abc, entao: abc=1 acb=2bac=3bca=4cab=5cba=6 O numero indicado serah n=x ou n=13-x (o que der para indicar, a primeira opcao se x=6, a segunda se x=7). Como eh que o adivinhante recupera a carta do bolso? Bom, ele faz o seguinte: i) A primeira carta indica o naipe pedido com certeza. Seu numero, digamos, y, eh um excelente ponto de referencia, mas ele nao sabe ainda se esta eh a menor ou a maior das duas cartas principais. ii) Ele le o numero indicado pelas proximas 3 cartas, e descobre n. Agora, considere as duas hipoteses: -- Se y, a da mesa, fosse a menor das duas principais (y=B), entao o metodo diz que n=x=6, certo? Assim, a carta do bolso seria A=x+B=y+n; -- Caso contrario, y seria a maior das duas (y=A), e o metodo diz que isso soh acontece se x=13-n. NEste caso, teriamos que a do bolso seria B=A-x=y-(13-n)=y+n-13 Mas o truque eh que apenas uma dessas duas hipoteses dah um numero valido! Assim, o adivinhante nao tem que fazer o raciocinio todo destas duas linha; basta que ele faca o seguinte: iii) Ele soma o numero da primeira carta da mesa (y) com o numero indicado pelas outras 3 (n), fazendo isso modulo 13. Esse eh o numero da carta do bolso! Uau! Vou combinar isso com a minha esposa e fazer com os filhos dela :) :) :) Abraco, Ralph - Original Message - From: Paulo Jose Rodrigues [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Cc: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, October 24, 2001 10:44 PM Subject: Torneio das Cidades Já que o assunto Torneio das Cidades é a bola da vez vão aqui alguns esclarecimentos: O Torneio das Cidades é uma competição organizada pela Rússia cujo regulamento tenta permitir que cidades grandes e pequenas participem nas mesmas condições (lembre que essa é uma competição entre cidades...) As provas são corrigidas pelo comitê organizador de cada cidade e as melhores enviadas para Moscou que emite os diplomas de premiação. O diploma é da Academia de Ciências da Rússia, obviamente é em russo e contém a pontuação obtida pelo estudante. Um problema muito interessante que já caiu no Torneio é o seguinte: (a) Duas pessoas realizam um truque. A primeira retira 5 cartas de um baralho de 52 cartas (previamente embaralhado por um membro da platéia), olha-as, e coloca-as em uma linha da esquerda para a direita: uma com a face para baixo (não necessariamente a primeira), e a outras com a face para cima. A segunda pessoa deve adivinhar a carta que esté com a face para baixo. Prove que elas podem combinar um sistema que sempre torna isto possível. (b) Prove que as pessoas ainda podem realizar o truque se a carta oculta for colocado no bolso da 1a pessoa. Eu sei resolver o ítem (a), mas não o (b). Paulo José
Re: 2 problemas..
Hmmm... O primeiro nao pode ser verdade Afinal, a=0, c=2 e b=o que quer que precise satisfaz a primeira parte mas nao a segunda. Serah que a,b e c nao eram naturais? Se forem naturais... bom, ainda nao consegui fazer para |a/2|+|c/2| nem achar um contra-exemplo. Se fosse |a/2|+|b/2|, eu saberia fazer: analise tudo a modulo 8. Os restos de n^2 sao sempre 0, 1 ou 4 modulo 8 (se n eh natural). Assim, para que a^2+b^2+1=c^2, devemos ter - a^2=b^2=0 (modulo 8) e c^2=1 (modulo 8) OU - a^2=b^2=4 e c^2=1 (tudo modulo 8). No primeiro caso, a e b sao divisiveis por 4 e entao a/2 e b/2 sao pares. No segundo, a e b deixam resto 2 na divisao por 4, e entao a/2 e b/2 sao impares e acabou. Depois eu vou pensar no |a/2|+|c/2| Abraco, Ralph - Original Message - From: Carlos Stein Naves de Brito [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, October 17, 2001 7:39 PM Subject: 2 problemas.. Gostaria de ver soluções para esses probleminhas que estão me entalando. Valeu. 1-Sejam a, b e c reais tais que a^2 + b^2 +1 = c^2. Prove que |a/2| + |c/2| é par. |x| é a parte inteira de x. 2-Seja g(x)=ax^2 + bx + c uma função quadrática com coeficientes reais(a não nulo) tal que a equação g(g(x)) = x tem quatro raízes reais distintas. Demontre que não existe nenhuma função f:R-R tal que f(f(x)) = g(x) para todo x real.
