[obm-l] sequencia de funções
Mostrar que não existe uma sequências de funções contínuas f_n:[0,1]--R, convergindo simplesmente para a função f:[0,1]--R tal que f(x)=0 para x racional e f(x)=1 quando x é irracional. Vi uma demonstração que usa um teorema pesado usando que como as f_n sãocontínuas o conjunto dos elementos em que f é descontínua é de 1a categoria... Mas será que tem um jeito tranquilo de entendender usando epslon e delta? Fiquei apanhando dessa questão por um bom tempo. Alguém tem alguma ideia?
[obm-l] sequencia de funções continuas
Mostrar que não existe uma sequências de funções contínuas f_n:[0,1]--R, convergindo simplesmente para a função f:[0,1]--R tal que f(x)=0 para x racional e f(x)=1 quando x é irracional. Vi uma demonstração que usa um teorema pesado usando que como as f_n sãocontínuas o conjunto dos elementos em que f é descontínua é de 1a categoria... Mas será que tem um jeito tranquilo de entendender usando epslon e delta? Fiquei apanhando dessa questão por um bom tempo. Alguém tem alguma ideia?
[obm-l] exercício
Seja R um anel associativo cujos únicos ideais a direita são R e (0). Prove que R é um anel de divisão ou que R é um anel com um número primo de elementos no qual ab = 0 para todo a, b em R. Se R tem 1, consegui fazer. Seja a0. Tomei o ideal a direita aR, aR 0 pois a pertence a aR. Assim aR=R, portanto existe b tal que ab=1. Da mesma forma considero bR e chego que bR=R portanto existe c tal que bc=1.Assim ab=1 = (ab)c=1c = a(bc)=c = a(1)=c = a=c. Portanto ab=ba=1. Mas supondo que R não tem 1 não consegui terminar o exercício. Alguém tem alguma ideia?
RE: [obm-l]
Olá, Me deram uma dica assim, considere p(x)=(x²+1)(x²+2)(x²-2).Claramente p(x) não tem raízes racionais. Fiquei pensando porque esse polinomio resolve o problema. Usando um teorema de resíduos quadráticos tenho que (-1/p) = 1 para p = 1 (mod4). Ou seja se meu primo for 4n+1 ele vai dividir meu polinomio para algum x apropriado. Usei outro teorema que (2/p) = 1 para p=+-1 (mod8). Ou seja se meu primo for 8n+-1 ele vai dividir meu polinomio para algum x apropriado. Agora sobraram os primos 8n+-3... Aí travei. Alguém tem alguma ideia? Date: Mon, 20 Aug 2012 22:27:53 -0300 Subject: Re: [obm-l] From: hit0...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Dica: tente fazer um produto de polinômios quadráticos, tipo (X^2-a)(x^2-b)(X^2-c)... Se não conseguir, dá um toque de novo. 2012/8/20 Samuel Wainer sswai...@hotmail.com Me pediram pra perguntar na lista essa questão, não sei o que fazer construa um polinomio com coeficientes inteiros sem raizes racionais mas tal que para todo primo p , a congruencia f(x)= 0 (mod p ) pode ser resolvida nos inteiros -- Tiago J. Fonseca http://legauss.blogspot.com
[obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Questão quaternios difícil
Será que tem uma maneira de mostrar que o anel de quaternios sobre Z/p vai ser isomorfo, como anel, ao anel M_2(Z/p) (matrizes quadradas sobre Z_p) sem precisar exibir esse isomorfismo? Assim o problema acabaria. From: sswai...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Questão quaternios difícil Date: Tue, 28 Aug 2012 18:10:36 + Consegui mostrar que M_2(Z/p) é simples. Supus que um ideal continha um elemento não nulo. Supus por exemplo que a primeira entrada da matriz é não nula. Multipliquei por algumas matrizes específicas pela direita e esquerda e somei consegui mostrar que sempre a identidade vai estar no ideal. Assim ou o ideal é nulo ou é o todo. Pensei em usar o isomorfismo entre os quaternios e o subespaço gerado pelas matrizes de dirac. Mas aí envolve complexos e a dimensão fica 8. To perdido rs. Estou tentando pensar num isomorfismo entre os quaternios e M_2(Z/p). Sua proposta é muito boa. Date: Mon, 27 Aug 2012 21:53:11 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Questão quaternios difícil From: hit0...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Vou te revelar a cruel verdade, prepare-se. O que acontece é que, na realidade, o anel de quaternios sobre Z/p vai ser isomorfo, como anel, ao anel M_2(Z/p) (matrizes quadradas sobre Z_p). Deve existir uma maneira ad-hoc de encontrar esse isomorfismo. Você pode tentar (eu nunca tentei, mas se você não conseguir vou acabar tentando). Minha sugestão é que, antes de tentar encontrar o isomorfismo, tente mostrar que o anel M_2(Z/p) é simples - isto é, não tem ideais bilaterais além de (0) e (1). Em geral o anel de matrizes n x n sobre qualquer corpo é simples, é um exercício legal também (mas não é nem um pouco trivial!). Talvez, usando uma ideia parecida com a ideia que você tiver para resolver esse da matriz, você consiga resolver o do quaternio, sem necessariamente achar o isomorfismo. Obs.: Você usou um teorema razoavelmente forte de teoria dos números, não precisava tanto, mas eu achei legal também! 2012/8/27 Samuel Wainer sswai...@hotmail.com Olá com as dicas consegui fazer uma boa parte. Para mostrar que não é um anel de divisão considerei Z = a0 + a1 i + a2 j + a3 k. E considerei z = a0 - a1 i - a2 j - a3 k. Assim Z z = (a0)² + (a1)² + (a2)² + (a3)². Assim um elemento Z vai ter inverso multiplicativo se e somente se (a0)² + (a1)² + (a2)² + (a3)² for diferente de 0. Pois o inverso seria Z^ -1 = z/((a0)² + (a1)² + (a2)² + (a3)²) Mas pelo teorema de Lagrange todo inteiro pode ser escrito como soma de quadrados. Assim existem b0, b1, b2, b3 não todos nulos tais que (b0)² + (b1)² + (b2)² + (b3)² = p. Portanto (b0)² + (b1)² + (b2)² + (b3)² = 0. Assim Z = b0 + b1 i + b2 j + b3 não terá inverso e o Anel dos quaternios sobre Zp não será um anel de divisão. Mas a parte de que os únicos ideias são o 0 e o próprio A não consegui. Tentei mostrar que dado um elemento z não nulo no ideal I teremos que sempre 1 pertencerá a I. Mas não está saindo nada, tem que usar algum teorema pesado de teoria dos números? Date: Thu, 23 Aug 2012 00:49:40 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Questão quaternios difícil From: hit0...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Olha, é realmente um problema difícil, principalmente por que ele está escondendo o jogo. Isto faz parte de uma teoria mais geral (central simple algebras), e se você der uma pesquisada (pesquise também sobre quaternion algebras), vai encontrar as repostas para o seu problema. Para ser sincero, não pensei muito sobre esse problema, então vou dar simplesmente uma dica que deve funcionar (por que eu sei mais ou menos os teoremas gerais). Por exemplo, para mostrar que ele não é um anel de divisão, você tem que encontrar um elemento que não tem inverso. Uma das maneiras de caracterizar se um elemento é invertível ou não é usando a norma (neste caso, a norma de a +bi + cj + dk = a^2 + b^2 + c^2+ d^2). Mostrando que a norma é multiplicativa, você verá que um elemento é invertível se, e somente se, sua norma é não-nula. Minha dica é: use este critério mais o fato de que a cônica -x^2-y^2=z^2 possui um zero não trivial em Z/(p) (é claro que você tem que provar isso também, não é imediato). 2012/8/22 Samuel Wainer sswai...@hotmail.com Vi essa questão e estou sofrendo bastante. Seja A o anel dos quaternios sobre Zp, p primo. Provar que A tem p^4 elementos e seus únicos ideais são (0) e A e que A não é um anel de divisão. Que tem p^4 elementos consegui tranquilamente. Mas a parte dos ideais está dando trabalho, e que não é um anel de divisão não consigo pensar em um contra-exemplo. Alguém tem alguma ideia? -- Tiago J. Fonseca http://legauss.blogspot.com -- Tiago J. Fonseca http://legauss.blogspot.com
[obm-l] ab=1
Esse exercício parece ser fácil, mas está me complicando. Seja R um anel associativo com 1. Seja a em R e suponha que existe um único b em R tal que ab=1. Provar que ba=1. Consigo fazer um bem parecido, se ab=1 e bc=1 implica que a=c, ou seja o inverso será igual pela direita e esquerda. Mas esse ali de cima não sai. Alguém tem alguma ideia? :)
RE: [obm-l] ab=1
Nossa, obrigado :)Sabia que era fácil, mas não consegui, tem coisa que só quem tem o dom consegue fazer rs,valeu Date: Mon, 3 Sep 2012 16:11:54 -0300 Subject: Re: [obm-l] ab=1 From: ralp...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Ah, demorei para sacar este, mas agora que acabou é uma linha! Note que a(b+ba-1)=1 também. Como b é o ÚNICO inverso à direita de a... :) Abraço, Ralph 2012/9/3 Samuel Wainer sswai...@hotmail.com Esse exercício parece ser fácil, mas está me complicando. Seja R um anel associativo com 1. Seja a em R e suponha que existe um único b em R tal que ab=1. Provar que ba=1. Consigo fazer um bem parecido, se ab=1 e bc=1 implica que a=c, ou seja o inverso será igual pela direita e esquerda. Mas esse ali de cima não sai. Alguém tem alguma ideia? :)
[obm-l] Integral
Me pediram um exemplo de uma função que tem integral finita, mas que f^2 não tem integral finita. Fiquei quebrando a cabeça um tempão, mas não consegui. Alguém tem alguma ideia?
[obm-l] questão de anéis
Tem uma que é legal.
Seja A um domínio de integridade. Sejam a e b pertencentes a A. Sejam n, m
naturais coprimos. Suponhamos que a^n = b^n e a^m = b^m. Mostrar que a = b.
Pensei em fazer assim. Seja B = {s naturais tal que a^s = b^s}. Considerei j =
min B. Tenho portanto a^j = b^j. Utilizando o algoritmo de Euclides e a
minimalidade de j consegui mostrar que j divide m e n. Se conseguisse mostrar
que j é o mdc de m e n o problema acabaria. Mas não consegui progredir. Alguém
tem alguma ideia?
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Questão quaternios difícil
Consegui mostrar que M_2(Z/p) é simples. Supus que um ideal continha um elemento não nulo. Supus por exemplo que a primeira entrada da matriz é não nula. Multipliquei por algumas matrizes específicas pela direita e esquerda e somei consegui mostrar que sempre a identidade vai estar no ideal. Assim ou o ideal é nulo ou é o todo. Pensei em usar o isomorfismo entre os quaternios e o subespaço gerado pelas matrizes de dirac. Mas aí envolve complexos e a dimensão fica 8. To perdido rs. Estou tentando pensar num isomorfismo entre os quaternios e M_2(Z/p). Sua proposta é muito boa. Date: Mon, 27 Aug 2012 21:53:11 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Questão quaternios difícil From: hit0...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Vou te revelar a cruel verdade, prepare-se. O que acontece é que, na realidade, o anel de quaternios sobre Z/p vai ser isomorfo, como anel, ao anel M_2(Z/p) (matrizes quadradas sobre Z_p). Deve existir uma maneira ad-hoc de encontrar esse isomorfismo. Você pode tentar (eu nunca tentei, mas se você não conseguir vou acabar tentando). Minha sugestão é que, antes de tentar encontrar o isomorfismo, tente mostrar que o anel M_2(Z/p) é simples - isto é, não tem ideais bilaterais além de (0) e (1). Em geral o anel de matrizes n x n sobre qualquer corpo é simples, é um exercício legal também (mas não é nem um pouco trivial!). Talvez, usando uma ideia parecida com a ideia que você tiver para resolver esse da matriz, você consiga resolver o do quaternio, sem necessariamente achar o isomorfismo. Obs.: Você usou um teorema razoavelmente forte de teoria dos números, não precisava tanto, mas eu achei legal também! 2012/8/27 Samuel Wainer sswai...@hotmail.com Olá com as dicas consegui fazer uma boa parte. Para mostrar que não é um anel de divisão considerei Z = a0 + a1 i + a2 j + a3 k. E considerei z = a0 - a1 i - a2 j - a3 k. Assim Z z = (a0)² + (a1)² + (a2)² + (a3)². Assim um elemento Z vai ter inverso multiplicativo se e somente se (a0)² + (a1)² + (a2)² + (a3)² for diferente de 0. Pois o inverso seria Z^ -1 = z/((a0)² + (a1)² + (a2)² + (a3)²) Mas pelo teorema de Lagrange todo inteiro pode ser escrito como soma de quadrados. Assim existem b0, b1, b2, b3 não todos nulos tais que (b0)² + (b1)² + (b2)² + (b3)² = p. Portanto (b0)² + (b1)² + (b2)² + (b3)² = 0. Assim Z = b0 + b1 i + b2 j + b3 não terá inverso e o Anel dos quaternios sobre Zp não será um anel de divisão. Mas a parte de que os únicos ideias são o 0 e o próprio A não consegui. Tentei mostrar que dado um elemento z não nulo no ideal I teremos que sempre 1 pertencerá a I. Mas não está saindo nada, tem que usar algum teorema pesado de teoria dos números? Date: Thu, 23 Aug 2012 00:49:40 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Questão quaternios difícil From: hit0...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Olha, é realmente um problema difícil, principalmente por que ele está escondendo o jogo. Isto faz parte de uma teoria mais geral (central simple algebras), e se você der uma pesquisada (pesquise também sobre quaternion algebras), vai encontrar as repostas para o seu problema. Para ser sincero, não pensei muito sobre esse problema, então vou dar simplesmente uma dica que deve funcionar (por que eu sei mais ou menos os teoremas gerais). Por exemplo, para mostrar que ele não é um anel de divisão, você tem que encontrar um elemento que não tem inverso. Uma das maneiras de caracterizar se um elemento é invertível ou não é usando a norma (neste caso, a norma de a +bi + cj + dk = a^2 + b^2 + c^2+ d^2). Mostrando que a norma é multiplicativa, você verá que um elemento é invertível se, e somente se, sua norma é não-nula. Minha dica é: use este critério mais o fato de que a cônica -x^2-y^2=z^2 possui um zero não trivial em Z/(p) (é claro que você tem que provar isso também, não é imediato). 2012/8/22 Samuel Wainer sswai...@hotmail.com Vi essa questão e estou sofrendo bastante. Seja A o anel dos quaternios sobre Zp, p primo. Provar que A tem p^4 elementos e seus únicos ideais são (0) e A e que A não é um anel de divisão. Que tem p^4 elementos consegui tranquilamente. Mas a parte dos ideais está dando trabalho, e que não é um anel de divisão não consigo pensar em um contra-exemplo. Alguém tem alguma ideia? -- Tiago J. Fonseca http://legauss.blogspot.com -- Tiago J. Fonseca http://legauss.blogspot.com
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Questão quaternios difícil
Olá com as dicas consegui fazer uma boa parte. Para mostrar que não é um anel de divisão considerei Z = a0 + a1 i + a2 j + a3 k. E considerei z = a0 - a1 i - a2 j - a3 k. Assim Z z = (a0)² + (a1)² + (a2)² + (a3)². Assim um elemento Z vai ter inverso multiplicativo se e somente se (a0)² + (a1)² + (a2)² + (a3)² for diferente de 0. Pois o inverso seria Z^ -1 = z/((a0)² + (a1)² + (a2)² + (a3)²) Mas pelo teorema de Lagrange todo inteiro pode ser escrito como soma de quadrados. Assim existem b0, b1, b2, b3 não todos nulos tais que (b0)² + (b1)² + (b2)² + (b3)² = p. Portanto (b0)² + (b1)² + (b2)² + (b3)² = 0. Assim Z = b0 + b1 i + b2 j + b3 não terá inverso e o Anel dos quaternios sobre Zp não será um anel de divisão. Mas a parte de que os únicos ideias são o 0 e o próprio A não consegui. Tentei mostrar que dado um elemento z não nulo no ideal I teremos que sempre 1 pertencerá a I. Mas não está saindo nada, tem que usar algum teorema pesado de teoria dos números? Date: Thu, 23 Aug 2012 00:49:40 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Questão quaternios difícil From: hit0...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Olha, é realmente um problema difícil, principalmente por que ele está escondendo o jogo. Isto faz parte de uma teoria mais geral (central simple algebras), e se você der uma pesquisada (pesquise também sobre quaternion algebras), vai encontrar as repostas para o seu problema. Para ser sincero, não pensei muito sobre esse problema, então vou dar simplesmente uma dica que deve funcionar (por que eu sei mais ou menos os teoremas gerais). Por exemplo, para mostrar que ele não é um anel de divisão, você tem que encontrar um elemento que não tem inverso. Uma das maneiras de caracterizar se um elemento é invertível ou não é usando a norma (neste caso, a norma de a +bi + cj + dk = a^2 + b^2 + c^2+ d^2). Mostrando que a norma é multiplicativa, você verá que um elemento é invertível se, e somente se, sua norma é não-nula. Minha dica é: use este critério mais o fato de que a cônica -x^2-y^2=z^2 possui um zero não trivial em Z/(p) (é claro que você tem que provar isso também, não é imediato). 2012/8/22 Samuel Wainer sswai...@hotmail.com Vi essa questão e estou sofrendo bastante. Seja A o anel dos quaternios sobre Zp, p primo. Provar que A tem p^4 elementos e seus únicos ideais são (0) e A e que A não é um anel de divisão. Que tem p^4 elementos consegui tranquilamente. Mas a parte dos ideais está dando trabalho, e que não é um anel de divisão não consigo pensar em um contra-exemplo. Alguém tem alguma ideia? -- Tiago J. Fonseca http://legauss.blogspot.com
[obm-l] Questão quaternios difícil
Vi essa questão e estou sofrendo bastante. Seja A o anel dos quaternios sobre Zp, p primo. Provar que A tem p^4 elementos e seus únicos ideais são (0) e A e que A não é um anel de divisão. Que tem p^4 elementos consegui tranquilamente. Mas a parte dos ideais está dando trabalho, e que não é um anel de divisão não consigo pensar em um contra-exemplo. Alguém tem alguma ideia?
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Corpos x³=x
Olá, Nossa obrigado mesmo. Sabia que ele era difícil, mas não imaginei que era tanto. São bastantes passos que não são nada imediatos. Abraços,Samuel. From: bened...@ufrnet.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Corpos x³=x Date: Tue, 21 Aug 2012 10:23:05 -0300 Samuel, Realmente esse problema não é tão simples. Ele está proposto no livro “Topics in Algebra” de I. N. Herstein, com um asterisco, o que significa que não é imediato. Uma sugestão seria: (i) Passo 1 – Mostre que neste anel se x^2 = 0, então x = 0. (Se x está em R, então x = x^3 = x^2.x = 0) (ii) Passo 2 – Tome a um elemento qualquer do anel R e A = a^2 + a. Mostre que 2A^2 = A. (Nesse anel R temos, A = a^2 + a = (a^2 + a)^3 = (a^2 + a)^2 . (a^2 + a) = etc. = 2A^2. Passo 3 – Mostre que 2 A x A . A x = 0, onde A = a^2 + a. Passo (4) – (2 A x A . x A)^2 = 0 Passo (5) – 2 A x A = x A Passo 6 – Conclua que A = a^2 + a está no centro do anel, Z(R), para todo a no anel R. Passo 7 – Se para todo elemento a do anel R, a^2 + a está no centro do anel, então R é comutativo. Portanto, R é comutativo. É isso. Benedito From: Samuel Wainer Sent: Monday, August 20, 2012 4:44 PM To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Corpos x³=x Seja R um anel associativo. Tal que x³=x para todo x em R. Mostre que R é um anel comutativo. Já tinha visto com x²=x. Mas com x³=x é bem difícil, tentei várias relações e não consegui nenhuma. Alguém tem alguma ideia?
[obm-l] Corpos x³=x
Seja R um anel associativo. Tal que x³=x para todo x em R. Mostre que R é um anel comutativo. Já tinha visto com x²=x. Mas com x³=x é bem difícil, tentei várias relações e não consegui nenhuma. Alguém tem alguma ideia?
[obm-l]
Me pediram pra perguntar na lista essa questão, não sei o que fazer construa um polinomio com coeficientes inteirossem raizes racionaismas tal que para todo primo p , a congruencia f(x)= 0 (mod p ) pode ser resolvidanos inteiros
[obm-l] aneis
Tem uma dúvida que tá me consumindo rs Seja A um anel co identidade. Se ab = 1, implica que ba = 1?Se não tivermos divisores de zero e associativo consegui mostrar que sim, mas no caso geral não vai. Mas também não consegui dar contra exemplo. O que vocês acham?
[obm-l] domínios de integridade
Alguém sabe um exemplo de um domínio de integridade que tenha infinitos elementos, mas de característica finita? Todos os exemplos que consigo pensar são os corpos Zn, mas esses tem finitos elementos.
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] problema da divisão
É sim. Mas é que fiquei imaginando qual seria o método de estipular qual seria a ordem de quem iria pegar. Porque se o primeiro divide, mesmo que ele seja o último, quem seria o primeiro? E se ele tivesse combinado com esse primeiro? Talvez minha dúvida não faça sentido. Date: Tue, 14 Aug 2012 16:03:07 -0700 From: eduardowil...@yahoo.com.br Subject: [obm-l] Re: [obm-l] problema da divisão To: obm-l@mat.puc-rio.br Me parece que estipulando que aquele que divide é o ultimo a pegar sua parte, resolve. Ou não é este o espírito da questão? [ ]'s
[obm-l] problema da divisão
Vi um problema bem legal. Se temos dois irmão querendo repartir uma herança, e nenhum dos dois é honesto. A melhor maneira de fazerem essa divisão é o primeiro irmão dividir o dinheiro em duas partes e o segundo escolher qual parte ele pega. Tem alguma maneira de fazer uma divisão justa entre 3 irmãos, sem que haja sorteio?
[obm-l] conjunto de cantor
Olá colegas de lista, Me deparei com um problema de medida de Lebesgue. Primeiro foi pedido para mostrar que o conjunto de Cantor tem medida de Lebesgue nula. Isso eu consegui, mas depois veio um problema que parece simples, mas quebrei a cabeça e não consegui de jeito nenhum. Posso pedir um socorro? Não vou traduzir, pra eu não cometer erros. By varying the construction of the Cantor set, obtain a set of positive Lebesgue measure which contains no novoid open interval. Esse problema é do livro do Bartle de medida.
[obm-l] problema difícil
Considere uma reta r num plano. Considere dois pontos fixos A e B fora da reta e no no plano, de forma que estes pontos estejam no mesmo semi-plano determinado pela reta r.Seja C um ponto qualquer da reta, para que a distância do percurso AC CB seja mínima devemos refletir o ponto B pela reta r para B' e considerarmos o percurso reto AB' e a intersecção de AB' com a reta com r será C . Agora a questão é que o ângulo ACB será máximo quando o percurso AC CB for mínimo? Tem como resolver isso só com geometria sem usar ga?
RE: [obm-l] difeomorfismo
Você tem razão. A minha ideia não sei se posso aplicar. Assim: Se uma superfície é homeomorfa a um toro então existe um campo diferenciável de vetores que nunca se anula? No toro eu consigo isso, pensei que como são homeomorfas e são superfícies, as cartas locais me serviriam de difeos locais.. Portanto teria um difeo global entre o toro e essa superfície. Aplicaria a diferencial nesse campo no toro e obteria um campo que nunca se anula na superfície.Mas para isso precisaria de um difeo global. Acho que não fiz certo. O que você acha? Date: Thu, 24 Nov 2011 23:41:46 +0100 Subject: Re: [obm-l] difeomorfismo From: bernardo...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br 2011/11/24 Samuel Wainer sswai...@hotmail.com: Se duas superfícies são homeomorfas e localmente difeomorfas elas são globalmente difeomorfas? Fiquei pensando isso pois a característica de ser diferenciável é local. Depende do que você quer dizer. Eu pensei assim: existe f: X- Y um homeomorfismo, e para todo aberto de X, existe um aberto de Y que lhe é difeomorfo (e reciprocamente). Essa afirmação é verdadeira para superfícies, mas não em dimensão (um pouco) maior. O exemplo clássico são as esferas exóticas de Milnor, que são todas homeomorfas à esfera S^7 mas que não são globalmente difeomorfas, mesmo sendo todas variedades diferenciáveis e portanto localmente difeomorfas à R^7. Por outro lado, a existência de um *único* difeomorfismo local g: X- Y que também seja um homeomorfismo implica (por definição) que é um difeomorfismo global, portanto acho que não é isso que você quer saber... Além da interpretação que eu dei (existe um homeomorfismo f: X - Y e uma família g_alfa : U_alfa - Y de difeomorfismos locais cuja união das imagens é Y) temos algo intermediário, a saber, a existência de f: X - Y homeomorfismo e de g: X - Y um difeomorfismo local. Repare que não é verdade que g seja um difeomorfismo global (use a aplicação z - z^2 no círculo unitário de C, que é um difeo local), e também nada se pode dizer sobre a regularidade de f. Eu acho que a saída é via recobrimentos universais (que vai dizer que mais ou menos a única coisa possível para g é ser como z - z^n já que X é homeomorfa a Y, e portanto tem o mesmo grupo fundamental). Vou ver se eu penso em alguma coisa até amanhã... Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] difeomorfismo
Se duas superfícies são homeomorfas e localmente difeomorfas elas são globalmente difeomorfas? Fiquei pensando isso pois a característica de ser diferenciável é local.
[obm-l] espaço de funções
Para todo espaço vetorial V de dimensão finita existe um isomorfismo linear f: V*(tensorial)V -- End (V)? Pensei assim: Suponha dimV = n. Então dim V*(tensor)V = dimV* . dimV = n^2Por outro lado, dim End(V) = dimV . dimV = n^2Logo V*(tensorial)V (isomorfo) = End(V) Sei que o espaço das transfomações lineares de V para W: L(V,W) tem dimensão m*n (onde V e W tem dimensão n e m respectivamente) Posso afirmar a partir disso que o espaço dos Endomorfismos de V tem dimensão n^2? Está certo o que eu fiz? Obrigado
[obm-l] subcorpos
Sejam F um corpo, K um subcorpo de F e A e B em Mn(K) ( matrizes nxn sobre o corpo K) Mostre que existe P em Mn(F) tal que P^-1 A P = B se e só se, existe Q em Mn(K) tal que Q^-1 A Q = B. Este exercício é realmente difícil, ou só assusta? Pq não consigo pensar em jeto nenhum de atacar ele. A volta é fácil, mas a ida... Este acho que é parecido. Não sei se tem algo a ver. Se K, F são corpos satisfazendo K contido (e diferente de) F, então para todo F-espaço vetorial V temos dim (V) sobre K dim (V) sobre F.
RE: [obm-l] problema estranho
Olá, Obrigado pelo esclarecimento, mas eu ainda fiquei com uma pulga atrás da orelha. O que acontece se meu operador não tem vetor próprio diferente de zero? Por que eu quero mostrar que T - T* = 0, portanto (T-T*)(v) = 0 para todo v em V. Mas se eu tenho um vetor prórpio (T-T*)(vp),vp = 0 =( T - T*)(vp) = 0. Estou um pouco perdido. Obrigado Date: Sat, 7 May 2011 08:05:03 +0200 Subject: Re: [obm-l] problema estranho From: bernardo...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br 2011/5/7 Samuel Wainer sswai...@hotmail.com: Se V é um C espaço vetorial, com produto interno e T:V - V Mostrar que se T(v),v pertencce aos reais para todo v em V, então T = T* (adjunto) Se T(v),v = v,T*(v) para todo v em V portanto v,T(v) - T*(v) = 0 para todo v em V agora vem minha dúvida, isso implica que T(v) - T*(v) = 0 para todo v em V Veja que, a princípio, você apenas pode concluir que T(v) - T*(v) é ortogonal (enfim, no sentido do produto hermitiano, mas é quase a mesma coisa) a v. O que quer dizer que sobra muito espaço para o T(v) passear. Acontece que v,A(v) tem mais informação do que só isso, justamente por ligar v e a sua imagem. Vamos pensar num caso bem conhecido (e real) para ter uma idéia do que está acontecendo. Seja A um operador linear simétrico. Assim, você pode diagonalizar, e, o que é mais importante, você têm vetores próprios. Seja u um vetor próprio de A, lambda o valor próprio associado, ou seja, Au = lambda * u (lembre-se, lambda é real). Assim, u, Au = u, lambda*u = lambda*u,u = lambda *||u||^2. Se v, Av = 0 para todo v, em particular para os vetores próprios, você conclui que todos os valores próprios são 0. Como a matriz é simétrica, ela é nula. (Se não fosse simétrica, você podia ter uma parte nilpotente; se você nunca ouviu falar nisso, não se preocupe) Observação: a minha idéia pra resolver esse problema vem do fato que v, Av mede o quanto A dilata os vetores. Sendo mais claro, se ||v|| = 1, você tem que v, Av pertence ao intervalo delimitado pelos menor e maior valores próprios de A. Isso é basicamente o fato que u, Au = lambda_u se u é um vetor próprio, e umas desigualdades. Assim, quando eu me lembrei disso, eu pensei Puxa, na verdade T - T* dilata sempre 0. Estranho, deve dar pra concluir daí. O caso complexo é exatamente igual, trocando simétrico por auto-adjunto, produtos internos por produtos hermitianos. E, o que é importante, é que A = T - T*, mesmo sem ser auto-adjunta (ela é anti-auto-adjunta, A* = -A), ela é normal (AA* = A*A) e você ainda consegue diagonalizar sobre C. Pois daí T = T* Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] produto interno
qual a diferença entre produto hermetiano e produto interno?sempre ouvi falar em operador hermetiano, não em produto hermetiano. Eles são a mesma coisa? Para toda matriz simétrica A, existe uma matriz invertível P tq: A = (P^-1) D (P) onde D é diagonal.?Usa isso num teorema que estou lendo, mas é fato?
[obm-l] polinomio minimal
se eu sei que o polinomio minimal de um operador linear T:R^3 - R^3 sobre o corpo dos reais é:p(x) = x-1 posso ter o polinomio caracteristico:(x-1)(x^2+x+1)? sobre o corpo dos complexos isso muda? no primeiro caso acho que sim pois x^2+x+1 não tem raizes reais. Posso no segundo caso que o polinômio caracteristco no segundo caso é (x-1)^3?
[obm-l] problema estranho
Se V é um C espaço vetorial, com produto interno e T:V - V Mostrar que se T(v),v pertencce aos reais para todo v em V, então T = T* (adjunto) Se T(v),v = v,T*(v) para todo v em V portanto v,T(v) - T*(v) = 0 para todo v em V agora vem minha dúvida, isso implica que T(v) - T*(v) = 0 para todo v em V Pois daí T = T*
[obm-l] SO(n)
Preciso mostrar que SO(n) é compacto e conexo.
Pensei em usar a função determinante que é cont. faço det^-1{1} = SO(n), mas aí
que travei. Toda matriz em SO(n) tem determinante 1, mas toda matriz de
determinante 1 está em SO(n)?
E para mostrar que o conj So(n) é limitado em R^n^2?
O fato de ser conexo sai fácil? Mostrar que O(n) n é conexo sai da determinante
ser cont.
Desde já agradeço
[obm-l] polinomio minimal
achar uma matriz em C3X3 com polinomio minimal igual a x^2. Existe uma maneira fácil de se fazer este? ou é por tentativa e erro?
[obm-l] função de classe Cr
Seja xo um ponto de Rn.Seja U uma viz aberta de xo. Seja g uma função definida nessa viz. g:U - R. Suponha g de classe Cr. Seja agora uma função f:Rn - R também de classe Cr. Suponha que o suporte da f esteja contido em U.Onde o suporte de uma função é o fecho do conjunto de pontos tais que f diferente de 0. Assim a função h(x) = f(x)g(x) para xpertencente a U 0 para x não pertencente ao suporte de f mostrar que h é bem definida. Isto é fácil pois o suporte de f está contido em U assim todos os pontos estão bem definidos. Agora pede-se para mostrar que h é de classe Cr. isto é simples? primeiro pensei em usar a derivada do produto de funções de classes Cr e concluir. Mas isto não parace correto, pois tenho de analisar os casos em que x n pertence ao suporte e quando pertence. e mostrar que oslimites são iguais. Alguém tem alguma ideia que possa dar uma ajuda?Desde já agradeço.
[obm-l] polinômios independentes
Sejam a, b doiselementos não nulos no corpo F. Provar que os polinômios 1, (aX + b), (aX + b)^2, (aX + b)^3, ... formam uma base de F[X]. Onde F[X] é o espaço dos polinômios sobre F. Para mostrar que eles são LI, preciso abrir os expoentes e ver que cada um deles contém um termo X^n que o outro não tem e portanto são LI. Está certo isso? E o fato deles gerarem todo o espaço? Desde já agradeço.
[obm-l] questao estranha
Considere as quatro sentencas a seguir: (I) Por um ponto do espaco, nao pertencente a uma reta, pode-se tracar uma só paralela a essa reta. (II) Dadas duas retas paralelas, todo plano que intercepta uma delas intercepta a outra. (III) Duas retas, paralelas a uma terceira, sao paralelas entre si. (IV) Toda reta paralela a dois planos que se cortam é paralela a interseçãoao deles. Assinale a alternativa correta. (a) Todas as senten¸cas s˜ao verdadeiras. (b) Todas as senten¸cas s˜ao falsas. (c) As senten¸cas (I) e (III) s˜ao falsas. (d) As senten¸cas (I) e (II) s˜ao verdadeiras. (e) As senten¸cas (I) e (II) s˜ao falsas. Estive tentando fazer esta questao e acho que as alternativas nao batem. o que vcs acham?
[obm-l] quadrado perfeito
é verdade que todo numero inteiro quadrado perfeito tem um número impar de divisores? isso é facil de demonstrar? para os casos mais simples da pra ver que sim.
[obm-l] conjuntos, difícil
Seja (M,d) um espaço métrico. Denote por K(M) ao conj. de todos os subconj.
Compactos de M e defina a distância por:
h(A,B) = inf { r , para cada x em A, existe y em B tq d(x,y) r e para cada y
em B, existe x em A tq d(x,y) r}
Provar que (K(M) é espaço métrico).
i) h(A,B) = h(B,A) (consegui fazer).
ii) h(A,B) 0 se A B e h(A,A) = 0 (aqui usei o fato de de os conj serem
compactos em um espaço métrico, então Hausdorff, portanto esses conj são fech.)
esse item também consegui fazer.
Agora vem o problemático (para mim)
iii) h(A,C) = h(A,B) + h(B,C) para todos A,B,C pertencenta à K(M).
Queria pedir um socorro nesta última afirmação, não estou conseguindo fazer.
Obrigado.
[obm-l] determinanate
Sejam to, t1, t2, ... , tn elementos distintos de um corpo
Existe uma maneira fácil de se mostrar que o determinanate da matriz nxn: { [1
, 1 , , 1] ; [to , t1 , ... , tn] ; ... ; [(to)^n , (t1)^n , . ,
(tn)^n] } é diferente de zero.
Tentei começar usando o fato dos números serem diferentes para chegar que as
linhas não podem ser combinações lineares, mas não saiu. Alguém poderia dar um
help?
Obrigado
[obm-l] subespaço
Sejam W1 e W2 dois subespaços de um espaço vetorial V tais W2 C W1 C V
É verdade que W1/W2 é subespaço de V/W2?
Pois se [a] está em W1/W2 então [a] = {b em W1 tq a - b está em W2} mas este
conjunto não está contido em V/W2. porque quem mora em V/W2 é da forma: [d] =
{c em V tq c - d está em W2}
Eu entendi que o conj. [a] = {b em W1 tq a - b está em W2} está contido em {b
em V tq a - b está em W2} que pertence à V/W2. Mas [a] = {b em W1 tq a - b
está em W2} não pertence à V/W2. Portanto não é subespaço.
Vi esta afirmação de que W1/W2 é subespaço de V/W2, mas não sei se meu
racocínio está certo.
[obm-l] Zm
Seja
Zm = {0 , 1 , ... , m-1} conj. de todos os restos possíveis de a em Z
(inteiros) divididos por por m em Z
è simples de mostrar que Zm é corpo = m for primo?
Para isso como defino a multiplicação em Zm?
por exemplo, faço a soma a + b = a + b já para multiplicação como defino?
Depois para mostrar que é corpo devo ter que todo elemento a pertencente à
Zm\{0} deve possuir inverso multiplicativo.
[obm-l] convergência de funções
Seja fn:[0,1] -- R2 uma seq de funções.
Tome f: [0,1] -- R2 denotando a função limite.
Seja n=m
Se eu tenho que ||fm(t) - fn(t)|| = (1/2)^m para todo t em [0,1]. Isto prova
que {fn} é uniformemente convergente?
Porque a definição de ser uniformemente convergente é de que dado e 0, existe
no tq n=no = ||fn(t) - f(t)|| e para todo t em [0,1].
Eu consigo sair da afirmação de cima e chegar na debaixo? Mesmo assumindo que a
função limite existe?
[obm-l] conjunto fechado
Seja f: R -- R uma função contínua. Mostrar que o conjunto formado pelos
pontos que são deixados fixos por f é um conjunto fechado de R.
Se g: X -- R é uma função contínua, mostre que o conjunto {x|g(x) = 0} é
fechado.
Gostaria de pedir ajuda nesses dois, por exemplo no segundo vejo que o conj.
{0} é fech em R, portanto utilizando o fato de g ser cont. g^-1({0}) = {x|g(x)
= 0} é fech. Fiz certo?
Agora o primeiro parece ser mais difícil.
[obm-l] derivada difícil
Se f(x,y) = x^(x^(x^(x^y))) + (ln x) (arctan (arctan (arctan (sen (cos xy) - ln
(x+y)
calcular D_{2} f(1,y);
ou seja a derivada parcial com relação a y avaliada em (1,y)
o primeiro termo com algumas iterações acaba saindo, mas já o segundo dá mais
trabalho. Mas o que podemos notar é que está multiplicado logo de cara por (ln
x), que vai ser mantido constante durante a derivação, está mutiplicando todo
mundo, e vai ser avaliado em x = 1.
Posso falar já de cara que o segundo termo resulta em zero?
Para isso preciso que o resto (arctan (arctan (arctan (sen (cos xy) - ln
(x+y) seja não singular em (1,y)?
e o caso y = -x? (y=-1) vai causar algum problema em ln (x+y)?
Gostaria de discutir este problema com os colegas de lista.
Abraços,
Samuel.
[obm-l] função diferenciável
Seja g uma função conínua sobre o círculo unitário {x em R^2: |x| = 1} tal que
g(0,1) = g(1,0) = 0 e g(-x) = -g(x). Defina f: R^2 - R por:
f(x) = |x| . g(x\|x|) para x diferente de 0
0 para x = 0
Se x pertence à R^2 e h: R - R é definida por h(t) = f(tx), mostrar que h é
diferenciável.
consegui fazer para caso t=0, usando que f(x) = 0 direto da definição, mas
mostrar que lim ((h(t+l)-h(t))/l)existe para t quaquer não foi trivial.
Alguém consegue me dar um socorro?
(l -
0)
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] função diferenciável
Brigadão Marcelo,
Fiquei travado nesse exercício um tempão.
Eu estudo sozinho e quando surge uma dúvida assim me ferro.
Você explicou bem tranquilo que eu fiquei com vontade de perguntar uma última
coisinha, sem abusar:
Por exemplo, pra mostrar que a função f(x,y) = sqrt(|xy|) não é diferenciável
em (0,0), pelo que vi no livro, tomo a derivada direcional na direção (1,1) e
mostro que a mesma não existe. Beleza. Mas a minha dúvida acho que é mais
conceitual. Por que que o fato de uma derivada direcional não existir implica
que a função não diferenciável?
Desde já agradeço.
Date: Mon, 7 Mar 2011 17:12:04 -0300
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] função diferenciável
From: msbro...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
CC: sswai...@hotmail.com
Olá, Samuel,
Se t != 0, temos:
h(t) = f(tx) = |tx| . g(tx/|tx|)
Para t0, temos:
|tx| = t|x| = h(t) = f(tx) = t|x| . g(x/|x|)
Para t0, temos:
|tx| = -t|x| = h(t) = f(tx) = -t|x| . g(-x/|x|) = t|x| . g(x/|x|)
Assim:
h(t) = t|x| . g(x/|x|) para t != 0.
Para t != 0, temos:
h'(t) = lim{k-0} [ h(t+k) - h(t) ] / k = lim{k-0} [ (t+k)|x| . g(x/|x|) -
t|x| . g(x/|x|) ] / k = lim{k-0} |x|.g(x/|x|) = |x|.g(x/|x|)
Desta maneira, para t!=0, temos que a derivada de h é constante e tem valor
|x|.g(x/|x|).
Abraços,
Salhab
2011/3/7 Samuel Wainer sswai...@hotmail.com
Seja g uma função conínua sobre o círculo unitário {x em R^2: |x| = 1} tal que
g(0,1) = g(1,0) = 0 e g(-x) = -g(x). Defina f: R^2 - R por:
f(x) = |x| . g(x\|x|) para x diferente de 0
0 para x = 0
Se x pertence à R^2 e h: R - R é definida por h(t) = f(tx), mostrar que h é
diferenciável.
consegui fazer para caso t=0, usando que f(x) = 0 direto da definição, mas
mostrar que lim ((h(t+l)-h(t))/l)existe para t quaquer não foi trivial.
Alguém consegue me dar um socorro?
(l -
0)
[obm-l] derivada
Seja f:R^n - R uma função tal que |f(x)| = |x|^2. Mostre que f é
diferenciável em 0.
Pelo que tentei fazer devo ter f(0) = 0.
lim{k-0} [(f(0+k)-f(0)-Bk)/(|k|)] deve ser zero para alguma matriz linha da
forma : B = (D1f(0) D2f(0) ... Dnf(0))
mas não consigo ver onde usar que |f(x)| = |x|^2
Alguém poderia me dar um help?
Obrigado
[obm-l] função à n-ésima ordem
Duas funções f, g R - R são igual à n-ésima ordem se
lim {h-0} [(f(a+h)-g(a+h))/(h^n)] = 0
Mostre que f é diferenciável em a se e somente se existe uma função da forma
g(x) = a0 + a1(x-a) tal que f e g são iguais à primeira ordem em a.
A ida é facil, basta definir g(x) = f(a) + f'(a)(x-a).
Agora a volta, partindo de que existe uma função com a cara g(x) = a0 +
a1(x-a), só consigo mostrar se tiver a0 = f(a), mas não consigo chegar nessa
condição partindo das hipóteses. Alguém tem alguma idéia de como fazer?
E uma outra parte é supor que existem f'(a), ... , f^(n)(a), mostrar que a
função g definida por:
g(x) = soma{i=0...n} [((f^(i)(a))/(i!))(x-a)^i]
são igual à n-ésima ordem.
Como dica foi deixado que:
lim {x-a} [ (f(x) - soma{i=0...n-1} [((f^(i)(a))/(i!))(x-a)^i] ) / ((x-a)^n)]
pode ser calculado pela regra de L'Hospital.
Não tenho nem ideia de onde isso vai me ajudar, por exemplo quanto mais eu
derivo maiores vão ficando as ordens das derivadas e só garanto que existem até
n...
Desde já agradeço qualquer ajuda que venha me tirar dessa enrrascada.
[obm-l] uniformemente contínua
o fato de f: R+ - R, f(x) = sen (1/x) ser cont, mas não uniformemente contínua é falcilmente demonstrável? Por exemplo, consegui demonstrar que f(x) = 1/x não é uniformente contínua, isso ajuda alguma coisa?
[obm-l] interior
sei que se U é ab U=int U. (interior de U). Sei também que U está contido no fecho de U. = int U = U está contido no int (fecho de U). Agora pra mostrar que int (fecho de U) está contido em U não parece ser verdade. Alguém consegue algum contra exemplo tal que, sabendo U aberto tenhamos U diferente de int (fecho de U).
[obm-l] problema legal
Seja (Rn, d) um Espaço métrico. e pdiferente de q pertencentes à Rn. Mostrar que existe uma função cont. f:Rn - tq f(p)=0 e f(q)=1 e 0=f=1. A primeira idéia foi utilizar que o conjunto Rn é convexo, mas não consergui definir bem a função. Alguém tem alguma dica pra me ajudar a fazer este? Valeu
[obm-l] questão de probabilidade
Um aluno não estudou para a prova. Decide então chutar todas as questões. A prova consiste de 8 questões com 5 alternativas cada. Qual a chance de ele acertar exatamente 4 quetões? Não seria 8 tomado 4 a 4 vezes 1/5? Mas fiquei pensando não tenho de considerar que ele erre todas as outra 4 questões? Esta quetão parece fácil, mas eu me embananei. Desde já agradeço. Samuel
RE: [obm-l] matriz
Olá,
Brigadão pela ajuda, mas ainda continuo perdido.
Chegamos na parte em que
(KC)C + C(KC) = -2aaC
Supondo que
A = KC
B = -C/(2aa)
chego que
(A)(-2aaB) + (-2aaB)(A) = -2aaC = AB + BA = C e não AB-BA = C.
Fiz certo? ou estou comendo alguma parte?
Obrigado,
Samuel.
Date: Fri, 18 Feb 2011 02:43:22 -0300
Subject: Re: [obm-l] matriz
From: msbro...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
CC: sswai...@hotmail.com
Olá, Samuel,
Notação: tr(A) = traço de A
Propriedades do traço:
- traço é um operador linear;
- traço de um produto independe da ordem [ tr(AB) = tr(BA) ].
ida) (Existem A e B, tal que C = AB - BA) = tr(C) = 0
Utilizando as propriedades, é trivial: tr(C) = tr(AB-BA) = tr(AB) - tr(BA) = 0
volta) tr(C) = 0 = (Existem A e B, tal que C = AB - BA)
C = [ a b ]
[ c -a ]
Seja K, tal que:
K = [ -a 0 ]
[ 0 a ]
KC = [ -aa -ab ]
[ ac -aa ]
CK = [ -aa ab ]
[ -ac -aa ]
KC + CK = [ -2aa 0 ]
[0 -2aa ]
KC + CK = -2aaI
Multiplicando por C pela direita, temos:
KCC + CKC = -2aaC
(KC)C + C(KC) = -2aaC
Portanto:
Construimos A e B, tal que AB - BA = C.
A = KC
B = -C/(2aa)
Podemos construir de outras maneiras tbém:
A = -KC/(2aa)
B = C
Ou então:
A = -KC/(2a)
B = C/a
E assim por diante :)
Abraços,
Salhab
2011/2/17 Samuel Wainer sswai...@hotmail.com
Olá,
Estou apanhando de uma parte desse exercício:
Seja C={[c11,c12],[c21,c22]} uma matriz 2X2.
Pergunta-se quando é possível encontrar matrizes 2x2 A e B tais que C=AB - BA.
Prove que tais matrizes podem ser encontradas se e somente se c11+c22=0.
A ida dessas implicações consegui fazer: escreve-se explicitamente as matrizes
A e B, e vejo que se igualo AB-BA à C, devo ter c11+c22=0. Agora saindo de
c11+c22=0 e chegar tais matrizes A e B podem ser encontradas achei difícil.
Gostaria de pedir ajuda aos colegas de lista.
Obrigado.
Samuel.
[obm-l] matriz
Olá,
Estou apanhando de uma parte desse exercício:
Seja C={[c11,c12],[c21,c22]} uma matriz 2X2.
Pergunta-se quando é possível encontrar matrizes 2x2 A e B tais que C=AB - BA.
Prove que tais matrizes podem ser encontradas se e somente se c11+c22=0.
A ida dessas implicações consegui fazer: escreve-se explicitamente as matrizes
A e B, e vejo que se igualo AB-BA à C, devo ter c11+c22=0. Agora saindo de
c11+c22=0 e chegar tais matrizes A e B podem ser encontradas achei difícil.
Gostaria de pedir ajuda aos colegas de lista.
Obrigado.
Samuel.
[obm-l] corpo
Todo subcorpo dos complexos deve conter todos os racionais. Algúem pode me ajudar nessa? Por exemplo, eu devo identificar os racionais com p/q+i*0?
[obm-l] Livro Elon
Existe uma proposição na pág. 125, no livro Elementos de Topologia geral do Elon, que diz: Proposição 5* - Sejam X e Y espaçoes topológicos. Para que uma aplicação f: X -Y seja contínua no ponto a pertencente a X é necessário que xn - a em X implique f (xn) - f (a) em Y. Quando X é um espaço E1 (primeiro axioma de enumerabilidade, quando todo x pertencente a X possui um sistema fundamental de vizinhanças enumerável) , esta condição é também suficiente (mesmo que Y não seja E1). Para fazer-se a ida é relativamente simples, toma-se uma seq xn - a e como todo ab de Y é ab em X chego que f(xn) - f(x). Agora a volta, usando este primeiro axioma da enumerabilidade não consegui fazer; não consigo achar como criar a seq usando as vizinhaças enumeráveis. Gostaria de pedir ajuda nesta proposição. Desde já agradeço, Samuel.
RE: [obm-l] Livro - A Arte de Resolver Problemas
Raramente eu consigo resolver uma questão proposta na lista, mas acho que sei fazer a segunda... Divida o quadrado em quatro partes iguais. Cada uma com área 1/4. Como temos 9 pontos, pelo menos três deles vão ficarão juntos em uma dessas quatro partes, como esses três pontos estão dentro de uma área 1/4, vão definir um triângulo de no máximo metade disso = 1/8. As soluções das outras duas são complicadas? 1) Prove que dado um polinômio P(x) com coeficientes inteiros, necessariamente existe m, inteiro, tal que P(m) não é primo (Gauss) 2) Dados 9 pontos no interior de um quadrado de lado unitário, prove que 3 deles definem um triângulo de área menor ou igual a 1/8. (Olimpíada Chinesa quando eu era menino... :-) ) 3) Mostre que para todos os reais 2^x + 3^x - 4^x + 6^x - 9^x = 1 _ Converse e compartilhe fotos ao mesmo tempo. Saiba como no novo Site de Windows Live. http://www.windowslive.com.br/?ocid=WindowsLive09_MSN_Hotmail_Tagline_out09
[obm-l]
Se f:R-R então se {f(x)= Ax} A constante,então f(ax) = af(x). Mas o recíproco
é verdadeiro?
f(ax)=af(x) = f(x)= Ax ?
grato
_
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[obm-l] Pi
Tudo bom? Tenho visto várias provas de que certos números são realmente irracionais. Como o e, raiz de 2... Mas a demonstração de que o pi é realmente um número irracional não foi dada em momento algum para nós aqui na faculdade. Esta é realmente muito complicada? Obrigado _ Descubra seu lado desconhecido com o novo Windows Live! http://www.windowslive.com.br
[obm-l]
Tudo bom colegas de lista? Eu venho recebendo vários spams através da lista. alguém tem alguma idéia de como eu faço para bloqueá-los? Se eu marcar como lixo eletrônico esses email, todo email que vier da lista vai para o lixo? Obrigado Samuel _ Cansado de espaço para só 50 fotos? Conheça o Spaces, o site de relacionamentos com até 6,000 fotos! http://www.amigosdomessenger.com.br
[obm-l]
Alguém conseguiu fazer este? De três sacos, um contém duas bolas vermelhas, um contém duas bolas pretas e o terceiro contém uma bola de cada cor. Mostre que se a bola tirada for preta, a segunda bola é menos provável ser vermelha do que preta. Incrível, não! Obrigado. Samuel _ Receba GRÁTIS as mensagens do Messenger no seu celular quando você estiver offline. Conheça o MSN Mobile! http://mobile.live.com/signup/signup2.aspx?lc=pt-br
RE: [obm-l] POLÊMICAS PROBABILÍSTICAS!
Tudo bom? Desculpe o incômodo e a minha ignorância, mas não consegui acompanhar o seguinte passo: ...Consequentemente, a segunda bola é menos provável ser vermelha (isto é, a outra bola do saco 3) do que ser preta (a outra bola do saco 2)... por que o fato de a primeira bola preta tem maior posssibilidade de ser retirada do saco dois... implica a afirmação acima? grato Samuel From: jorgelrs1...@hotmail.comto: ob...@mat.puc-rio.brsubject: [obm-l] POLÊMICAS PROBABILÍSTICAS!Date: Mon, 16 Feb 2009 18:45:28 + Ok! Salhab e demais colegas... Sobre o lançamento de 3 caras consecutivas, você tem meia razão, pois não há muito o que entender já que essas duas probabilidades medem coisas diferentes. Mas, só para fechar a suposta falácia, como pode a probabilidade de um evento mudar pela metade durante seu curso já que uma vez ocorrido os eventos e os resultados conhecidos, a probabilidade matemática em cada caso é 1. Vejam: Cara no primeiro lançamento p=1; Cara no segundo lançamento p=1; Cara no terceiro lançamento p=1/2, donde conclui-se que a probabilidade de se completar uma série de três caras consecutivas é portanto igual a 1*1*1/2=1/2. Quanto ao problema dos sacos o raciocínio é um pouco mais sofisticado... Saco Conteúdo1 Vermelha Vermelha 2 Preta Preta3 Vermelha PretaSe a primeira bola tirada é preta, ela não pode vir do saco 1. Deve, portanto, ter vindo dos sacos 2 ou 3. A probabilidade de que a primeira bola tirada do saco 2 seja preta é igual a 1 - o evento é certo. Por outro lado, a probabilidade de que a primeira bola tirada do saco 3 seja preta é igual a 1/2, pois existem apenas duas possibilidades. Portanto, se uma bola preta foi tirada primeiro é menos provável ter vindo do saco 3 do que ter vindo do saco 2. Consequentemente, a segunda bola é menos provável ser vermelha (isto é, a outra bola do saco 3) do que ser preta (a outra bola do saco 2). Igualmente, se uma bola vermelha fosse tirada primeiro, é menos provável que a segunda bola fosse preta. Os eventos não são, portanto, equiprováveis...Taí a tal pedra no sapato de muito estudante... Numa mesma caixa há dez pares de meias brancas e dez pares de meias pretas, como também dez pares de luvas brancas e dez pares de luvas pretas. Supondo distinção entre as luvas da mão esquerda e direita; qual a quantidade mínima de peças que devem ser retiradas (no escuro) para garantir: 1)Um par de peças do mesmo tipo e cor? 2)Um par de peças do mesmo tipo e cor branca? 3)Um par de meias brancas? Nota: Há divergências com relação a resposta do ítem 2) Resp: 52 peças ou 43 peças? Até aqui, tudo bem! A polêmica se dá quando se pergunta qual a probabilidade de ocorrer cada um dos ítens 1) 2) e 3)? Gostaria de discutir tais probabilidades, pois encontrei coisas do tipo 39/158 , 632/39, 632/19??? Tenho dúvidas! Abraços e grato pela atenção! Diversão em dobro: compartilhe fotos enquanto conversa usando o Windows Live Messenger. _ Cansado de espaço para só 50 fotos? Conheça o Spaces, o site de relacionamentos com até 6,000 fotos! http://www.amigosdomessenger.com.br
[obm-l] currículos no anexo
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[obm-l] segue curriculos
16/1/2009 09:52:21 1anexo(s) curriculo...doc (67kb) curriculo no anexo. _ Cansado de espaço para só 50 fotos? Conheça o Spaces, o site de relacionamentos com até 6,000 fotos! http://www.amigosdomessenger.com.br
[obm-l] currículos
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[obm-l] curriculo no email
15/1/2009 13:55:39 1anexo(s) Curriculo...doc (92kb) Curriculo no anexo. _ Mais do que emails! Confira tudo o que Windows Live™ pode oferecer. http://www.microsoft.com/windows/windowslive/
[obm-l] Curriculo
14/1/2009 19:51:04 1anexo(s) curriculo...doc (69kb) Segue Curriculo no anexo. _ Cansado de espaço para só 50 fotos? Conheça o Spaces, o site de relacionamentos com até 6,000 fotos! http://www.amigosdomessenger.com.br
[obm-l]
Olá Alguém sabe como faço para obter a série de Laurent para a cossec em torno de 0? Teria algum outro jeito de resolver esse problema? Determine o resíduo em z=0 da função: z^(-3) cosec(z^2) _ Instale a Barra de Ferramentas com Desktop Search e ganhe EMOTICONS para o Messenger! É GRÁTIS! http://www.msn.com.br/emoticonpack
[obm-l]
Olá Alguém sabe como faço para obter a série de Laurent para a cossec em torno de 0? Teria algum outro jeito de resolver esse problema? Determine o resíduo em z=0 da função: z^(-3) cosec(z^2) _ Receba GRÁTIS as mensagens do Messenger no seu celular quando você estiver offline. Conheça o MSN Mobile! http://mobile.live.com/signup/signup2.aspx?lc=pt-br
[obm-l] RE: [obm-l] RES: [obm-l] Traição numa ilha grega
Tudo bom? Eu imaginei um solução aqui, mas não sei se está correta. Assim, um dado do problema é que existe a doença na ilha, ou seja, pelo menos uma gaivota está doente (essa é a minha dúvida, posso afirmar isso?). Assim, se apenas uma gaivota estivesse doente, na primeira reunião ela (a doente) olharia a nuca de todas as outras, e não veria mancha alguma, logo só ela pode estar doente. Ela se mata na mesma noite. Agora, se duas tiverem doentes, qualquer uma delas (as doentes) olharia a nuca de cada uma das outras e veria apenas uma gaivota com mancha. Portanto ela esperaria uma noite e se a gaivota que ela viu com a mancha não se matasse, elas se encontrariam na reunião do dia seguinte, assim saberiam (as duas) que ela e outra que ela viu estariam com a mancha e se matariam na mesma noite (segunda noite). De mesmo modo se tivéssemos 3 gaivotas doentes elas se matariam na noite do terceiro dia. Por fim, como solução do problema (eu acho) teríamos nailha 39 gaivotas doentes. From: [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] RES: [obm-l] Traição numa ilha grega Date: Wed, 12 Nov 2008 11:33:42 -0200 Olá! Vou lhe enviar a solução asap, mas não espere nada de (muito) inteligente: a solução é bem fajuta. Sds., AB - Original Message - From: João Paulo V. Bonifácio [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Date: Wed, 12 Nov 2008 07:02:43 -0200 Subject: Re: [obm-l] RES: [obm-l] Traição numa ilha grega Olá, Muito legal esse problema... não consegui resolvê-lo. Poste a solução, por favor, Bouskela.Abraços2008/11/4 Bouskela [EMAIL PROTECTED] Olá! Este problema é bastante conhecido. Faltaram, entretanto, nesta versão que você apresentou, algumas informações, sem as quais a solução (mesmo inexata - ver adiante) não é possível: 1] TODAS as mulheres gregas se reúnem uma única vez por dia, mas não falam - ABERTAMENTE - sobre a traição dos parceiros das outras; 2] EXATAMENTE, não há uma solução possível dentro da Lógica Cartesiana, i.e., a solução possível é um tanto ou quanto acochambrada; 3] O enunciado clássico (e mais cuidadoso) deste problema é, dentre outras variantes possíveis, o seguinte: Havia uma ilha habitada apenas por gaivotas. Algumas dessas gaivotas contraíram uma doença letal, porém não contagiosa. O único sintoma da doença é uma mancha escura na nuca, mas sem qualquer protuberância ou aumento de sensibilidade na região, de modo que não é possível para a gaivota que tem a mancha ter consciência disso, mas todas podem perceber facilmente a mancha na nuca de cada uma das outras. Depois de alguns meses, as gaivotas infectadas morrem de maneira terrível. Por isso, para minimizar o sofrimento, quando uma gaivota tem certeza de possuir a doença, ela comete suicídio exatamente às 23:00h do mesmo dia que toma conhecimento de estar doente. Essas gaivotas são muitíssimo inteligentes, mas não conseguem se comunicar umas com as outras. Elas sabem contar e sabem qual é o número total de gaivotas na ilha. Uma vez por dia, exatamente às 12:00h, todas elas se reúnem para que umas vejam as manchas nas nucas das outras, mas nunca uma consegue ver a mancha na própria nuca nem pode receber essa informação de outras gaivotas. Se uma gaivota tem mancha na nuca, necessariamente tem a doença. Durante os primeiros 39 dias de reuniões, nenhuma delas se suicida. Transcorridos 39 dias e feitas 39 reuniões, todas as gaivotas com mancha na nuca se suicidaram às 23:00h. Desde a primeira reunião até o dia dos suicídios, não nasce e não morre nenhuma gaivota, nenhuma vai embora e não chega nenhuma gaivota nova. Quantas gaivotas se suicidaram e como elas descobriram que tinham a mancha? Sds., AB [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] -- *De:* [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] *Em nome de *Ojesed Mirror *Enviada em:* terça-feira, 4 de novembro de 2008 23:08 *Para:* obm-l@mat.puc-rio.br *Assunto:* [obm-l] Traição numa ilha grega As mulheres de uma ilha grega sabem quais delas estão sendo traídas por seus perceiros, mas não sabem sobre si mesmas. Se alguma delas tiver certeza da traíção de seu parceiro, tem o direito de cortar o mal pela raíz. Elas não falam sobre este assunto entre si. Um dia chega a Rainha nesta ilha e afirma que lá existe pelo menos um traidor e vai embora. O que acontece depois disto ? Ojesed. -- João Paulo Vieira Bonifácio Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Engenharia Elétrica Programa de Educação Tutorial (PET/Eng. Elétrica) Fone: (34) 9942 - 7427 / (34) 3239 - 4754 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
[obm-l]
Esta prova está correta? Prove que grad(f) é um vetor perpndicular à superfície f(x,y,z)=c, onde c é constante. Seja r = xi + yj + zk o vetor posição de um ponto P(x,y,z) da superfície. Então, dr = dx i + dy j + dz k jaz no plano tangete à superfície em P. (Ae que está a minha dúvida. Por que dr = dx i + dy j + dz k pertence ao plano tangente à superfície? em momento algum falamos alguma relação do vetor r com a equação da superfície f, r poderia ser qualquer vetor. dr significaria o q? Como posso falar direto q ele é tangente à superfície se nao relacionei ele à equação da superfície?) Continuando... Mas df = ((del)f)/((del)x)dx + ((del)f)/((del)y)dy + ((del)f)/((del)z)dz = 0 ou (((del)f)/((del)x) i + ((del)f)/((del)y) j + ((del)f)/((del)z) k).(dx i + dy j + dz k) = 0 i.e., grad(f).dr = 0, de modo que grad(f) é perpendicular a dr e portanto, à superfície. Minha dúvida tem fundamento ou eu to viajando? Grato Samuel _ Cansado de espaço para só 50 fotos? Conheça o Spaces, o site de relacionamentos com até 6,000 fotos! http://www.amigosdomessenger.com.br
RE: [obm-l]
Opa, agradeço pela recomendação do livro, ele foi de grande ajuda. Samuel. Date: Mon, 21 Jul 2008 21:21:51 -0300 From: [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Dá uma olhada no livro Análise Vetorial do Spiegel (Coleção Schaum). Se eu não estiver enganado, lá tem. Caso não tenha, me manda um e-mail que eu te mando uma apostila que tenho. Porém só vou poder enviar no sábado. Ok? Abraços, Daniel 2008/7/21 Samuel Wainer [EMAIL PROTECTED]: Olá, Estou com dúvidas sobre como surgem as expressões para o gradiente, o divergente, o rotacional e o laplaciano de coordenadas curvilineas. Em todos os livros que vejo aparecem as fórmulas já prontas. Não tenho nem idéia de como chega-se nelas. Alguem tem alguma ideia? Ou algum livro a recomendar? Desde já, obrigado. Samuel Veja mapas e encontre as melhores rotas para fugir do trânsito com o Live Search Maps! Experimente já! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = _ Receba GRÁTIS as mensagens do Messenger no seu celular quando você estiver offline. Conheça o MSN Mobile! http://mobile.live.com/signup/signup2.aspx?lc=pt-br
[obm-l]
Olá, Estu lendo o livro Física matemática do Butkov e achei um problema interessante: Seja A uma matriz, prove q a matriz B tal que: AB=A é única. Essa unicidade da identidade está quebrando a minha cabeça. Alguém já viu algo parecido? Desde á agradeço, Samuel _ Confira vídeos com notícias do NY Times, gols direto do Lance, videocassetadas e muito mais no MSN Video! http://video.msn.com/?mkt=pt-br
[obm-l]
Olá, Estou com dúvidas sobre como surgem as expressões para o gradiente, o divergente, o rotacional e o laplaciano de coordenadas curvilineas. Em todos os livros que vejo aparecem as fórmulas já prontas. Não tenho nem idéia de como chega-se nelas. Alguem tem alguma ideia? Ou algum livro a recomendar? Desde já, obrigado. Samuel _ Instale a Barra de Ferramentas com Desktop Search e ganhe EMOTICONS para o Messenger! É GRÁTIS! http://www.msn.com.br/emoticonpack
