Re: [obm-l] Inversa
Muito obrigado Saulo...mas eu apenas considerei que era 3estranho Vc pode me ajudar na dos planos, pois o meu K não está batendo, crei oque a questão apresenta erros... para achar a funçao inversa, e so trocar x por y e isolar y, logo e^f-1=e^x da equaçao original x=raiz(2x+3) 2x+3=0 x=-3/2 x^2-2x-3=0 x=(2+-4)/2= 3 ou -1 C apenas dois valores distintos de x On 3/24/07, vitoriogauss [EMAIL PROTECTED] wrote: Considere a função f definida por f(x)=sqrt(e^x+3) para todo x real. Se f_-1 é a função inversa de f, a equação e^f_1(x) = 2x é satisfeita por A X=3 B X=-1 C APENAS DOIS VALORES DISTINTOS DE X D PARA TODO X, X0 E PARA TODO X, X0 Vitório Gauss = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Vitório Gauss = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Inversa
Considere a função f definida por f(x)=sqrt(e^x+3) para todo x real. Se f_-1 é a função inversa de f, a equação e^f_1(x) = 2x é satisfeita por A X=3 B X=-1 C APENAS DOIS VALORES DISTINTOS DE X D PARA TODO X, X0 E PARA TODO X, X0 Vitório Gauss = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Inversa
para achar a funçao inversa, e so trocar x por y e isolar y, logo e^f-1=e^x da equaçao original x=raiz(2x+3) 2x+3=0 x=-3/2 x^2-2x-3=0 x=(2+-4)/2= 3 ou -1 C apenas dois valores distintos de x On 3/24/07, vitoriogauss [EMAIL PROTECTED] wrote: Considere a função f definida por f(x)=sqrt(e^x+3) para todo x real. Se f_-1 é a função inversa de f, a equação e^f_1(x) = 2x é satisfeita por A X=3 B X=-1 C APENAS DOIS VALORES DISTINTOS DE X D PARA TODO X, X0 E PARA TODO X, X0 Vitório Gauss = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RES: RES: [obm-l] inversa = derivada
Assim, talvez exista(m) esta(s) funcao(oes). Jah vimos que, se existir, esta f, da forma como definida abaixo, tem que ser estritamente crescente. Isto implica que f^(-1) = f' tambem seja estritamente crescente e positiva. Dado que f' existe e nunca se anula, segue-se que a derivada de f^(-1) tambem existe em todo o intervalo (0, +inf). E como f^(-1) = f', concluimos que f' eh diferenciavelem (0, +inf), ou seja, f'' existe em (0, +inf).Assim, uma condicao adicional para a existencia desta funcao eh que sua derivada segunda exista em (0, + inf).Nao que isso ajude muito.. Artur -Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de claudio.buffaraEnviada em: terça-feira, 25 de outubro de 2005 19:02Para: obm-lAssunto: Re:RES: [obm-l] inversa = derivada Mudemos o enunciado: Dê um exemplo de uma bijeção diferenciável f:(0,+inf) - (0,+inf) tal que: f'(x) = f^(-1)(x) para todo x em (0,+inf). É possível achar todas as f com esta propriedade? []s, Claudio.
RES: [obm-l] inversa = derivada
Estes sao fatos classicos da Analise. Se f for definida em um intervalo I de R e tiver inversa, entao, pela definicao de inversa, temos que f eh uma bijecao de I sobre f(I). Suponhamos que, alem disto, f seja continua. Se f nao for estritamente crescente ou decrescente, entao em Item que existir elementos x1 x2 x3 tais que f(x1) f(x2 f(x3) ou f(x1) f(x2) f(x3). A continuidade de f implica que f apresente a propriedade do valor intermediario, a qual, por sua vez, implica a existencia de x' em (x1, x2) e x'' em (x2, x3) tais que f(x') = f (x''). Isto, porem, contraria o fato de que f eh uma bijecao de I sobre f(I). Para mostramos que se f eh diferenciavel em um ponto de acumulacao a de seu dominio entao f eh continua em a, a prova que me parece a mais simples e que eh apresentada em varios livros eh a seguinte: Para xa num intervalo aberto contendo a, temos que f(x) - f(a) = (f(x) - f(a))/(x-a) * (x-a). Quanfo x - a, x - a - 0. E pela diferenciabilidade de f em a, segue-se da definicao de derivada que (f(x) - f(a))/(x-a) - f'(a). Considerando-se agora a existencia destes dois limites, temos (propriedade basica dos limites de funcoes) que lim (x-a) (f(x) - f(a)) = lim (x - a) (f(x) - f(a))/(x-a) * lim (x- a) (x -a) = f'(a) * 0 = 0. Mas isto significa que lim (x-a) f(x) = f(a), ou seja, f eh continua em a. Interessante que este mesmo raciocinio aplica-se a funcoes dos complexos nos complexos. Ahlfors apresenta esta mesma prova em seu livro sobre Analise Complexa. A unica mudanca eh que, em vez de um intervalo ao redor de a, considera-se uma vizinhanca - um disco, por exemplo - ao redor de a. Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de David Cardoso Enviada em: terça-feira, 25 de outubro de 2005 18:09 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: RES: [obm-l] inversa = derivada Na minha outra mensagem sobre este assunto, faltou dizer que f eh estritamente monotonica porque, alem de ter uma inversa, eh continua, pois eh diferenciavel. Artur Poderia demonstrar essa parte também? Grato, David = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re:RES: RES: [obm-l] inversa = derivada
Eu supuz f(x) da forma ax^b, com a e b positivos. Nesse caso, f^(-1)(x) = (x/a)^(1/b) e f'(x) = abx^(b-1). Igualando coeficientes e expoentes, eu achei: 1/a^(1/b) = ab e 1/b = b-1 == a = 1/b^(1/(1+1/b))= 1/b^(1/b) e b^2 - b - 1 = 0 Como b 0, só pode ser b = (1+raiz(5))/2. Assim, f:(0,+inf) - (0,+inf) dada por: f(x) = ax^b, com b = (1+raiz(5))/2 e a = 1/b^(1/b) é tal que: f^(-1)(x) = f'(x) para cada x em (0,+inf). Mais uma aparição (inusitada ?)da razão áurea... *** O problema geral, de resolver a equação diferencial f'(x) = f^(-1)(x) em (0,+inf), me parece mais complicado. []s, Claudio. De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Wed, 26 Oct 2005 10:29:51 -0200 Assunto: RES: RES: [obm-l] inversa = derivada Assim, talvez exista(m) esta(s) funcao(oes). Jah vimos que, se existir, esta f, da forma como definida abaixo, tem que ser estritamente crescente. Isto implica que f^(-1) = f' tambem seja estritamente crescente e positiva. Dado que f' existe e nunca se anula, segue-se que a derivada de f^(-1) tambem existe em todo o intervalo (0, +inf). E como f^(-1) = f', concluimos que f' eh diferenciavelem (0, +inf), ou seja, f'' existe em (0, +inf).Assim, uma condicao adicional para a existencia desta funcao eh que sua derivada segunda exista em (0, + inf).Nao que isso ajude muito.. Artur -Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de claudio.buffaraEnviada em: terça-feira, 25 de outubro de 2005 19:02Para: obm-lAssunto: Re:RES: [obm-l] inversa = derivada Mudemos o enunciado: Dê um exemplo de uma bijeção diferenciável f:(0,+inf) - (0,+inf) tal que: f'(x) = f^(-1)(x) para todo x em (0,+inf). É possível achar todas as f com esta propriedade? []s, Claudio.
RES: RES: RES: [obm-l] inversa = derivada
Mais uma aparicao! Eu tambem fui por esta linha da funcao potencia e cheguei na razao aurea, mas nao cheguei a concluir. Serah que esta eh a unica funcao? Artur -Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de claudio.buffaraEnviada em: quarta-feira, 26 de outubro de 2005 12:04Para: obm-lAssunto: Re:RES: RES: [obm-l] inversa = derivada Eu supuz f(x) da forma ax^b, com a e b positivos. Nesse caso, f^(-1)(x) = (x/a)^(1/b) e f'(x) = abx^(b-1). Igualando coeficientes e expoentes, eu achei: 1/a^(1/b) = ab e 1/b = b-1 == a = 1/b^(1/(1+1/b))= 1/b^(1/b) e b^2 - b - 1 = 0 Como b 0, só pode ser b = (1+raiz(5))/2. Assim, f:(0,+inf) - (0,+inf) dada por: f(x) = ax^b, com b = (1+raiz(5))/2 e a = 1/b^(1/b) é tal que: f^(-1)(x) = f'(x) para cada x em (0,+inf). Mais uma aparição (inusitada ?)da razão áurea... *** O problema geral, de resolver a equação diferencial f'(x) = f^(-1)(x) em (0,+inf), me parece mais complicado. []s, Claudio. De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Wed, 26 Oct 2005 10:29:51 -0200 Assunto: RES: RES: [obm-l] inversa = derivada Assim, talvez exista(m) esta(s) funcao(oes). Jah vimos que, se existir, esta f, da forma como definida abaixo, tem que ser estritamente crescente. Isto implica que f^(-1) = f' tambem seja estritamente crescente e positiva. Dado que f' existe e nunca se anula, segue-se que a derivada de f^(-1) tambem existe em todo o intervalo (0, +inf). E como f^(-1) = f', concluimos que f' eh diferenciavelem (0, +inf), ou seja, f'' existe em (0, +inf).Assim, uma condicao adicional para a existencia desta funcao eh que sua derivada segunda exista em (0, + inf).Nao que isso ajude muito.. Artur -Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de claudio.buffaraEnviada em: terça-feira, 25 de outubro de 2005 19:02Para: obm-lAssunto: Re:RES: [obm-l] inversa = derivada Mudemos o enunciado: Dê um exemplo de uma bijeção diferenciável f:(0,+inf) - (0,+inf) tal que: f'(x) = f^(-1)(x) para todo x em (0,+inf). É possível achar todas as f com esta propriedade? []s, Claudio.
[obm-l] inversa = derivada
Desculpem se esta questão já apareceu... Existe uma função f:R-R tal que sua inversa seja igual a sua derivada? se existe, qual é essa função? Grato.
Re: [obm-l] inversa = derivada
sqrt(2x) --- Gabriel Haeser [EMAIL PROTECTED] escreveu: Desculpem se esta questão já apareceu... Existe uma função f:R-R tal que sua inversa seja igual a sua derivada? se existe, qual é essa função? Grato. ___ Promoção Yahoo! Acesso Grátis: a cada hora navegada você acumula cupons e concorre a mais de 500 prêmios! Participe! http://yahoo.fbiz.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] inversa = derivada
Eu acho que no: Se f(x)=sqrt(2x), ento: f'(x)=1/sqrt(2x) f-1(x)=x^2/2 Eduardo Wilner wrote: sqrt(2x) --- Gabriel Haeser [EMAIL PROTECTED] escreveu: Desculpem se esta questo j apareceu... Existe uma funo f:R-R tal que sua inversa seja igual a sua derivada? se existe, qual essa funo? Grato. ___ Promoo Yahoo! Acesso Grtis: a cada hora navegada voc acumula cupons e concorre a mais de 500 prmios! Participe! http://yahoo.fbiz.com.br/ = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] inversa = derivada
é, não deu.. Eduardo, a inversa de f(x) que me refiro não é 1/f(x).On 10/25/05, Adroaldo Munhoz [EMAIL PROTECTED] wrote: Eu acho que não: Se f(x)=sqrt(2x), então: f'(x)=1/sqrt(2x) f-1(x)=x^2/2 Eduardo Wilner wrote: sqrt(2x) --- Gabriel Haeser [EMAIL PROTECTED] escreveu: Desculpem se esta questão já apareceu...Existe uma função f:R-R tal que sua inversa sejaigual a sua derivada?se existe, qual é essa função?Grato. ___ Promoção Yahoo! Acesso Grátis: a cada hora navegada você acumula cupons e concorre a mais de 500 prêmios! Participe! http://yahoo.fbiz.com.br/=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RES: [obm-l] inversa = derivada
Na minha outra mensagem sobre este assunto, faltou dizer que f eh estritamente monotonica porque, alem de ter uma inversa, eh continua, pois eh diferenciavel. Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RES: [obm-l] inversa = derivada
Na minha outra mensagem sobre este assunto, faltou dizer que f eh estritamente monotonica porque, alem de ter uma inversa, eh continua, pois eh diferenciavel. Artur Poderia demonstrar essa parte também? Grato, David = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re:RES: [obm-l] inversa = derivada
Mudemos o enunciado: Dê um exemplo de uma bijeção diferenciável f:(0,+inf) - (0,+inf) tal que: f'(x) = f^(-1)(x) para todo x em (0,+inf). É possível achar todas as f com esta propriedade? []s, Claudio. De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Tue, 25 Oct 2005 16:39:45 -0200 Assunto: RES: [obm-l] inversa = derivada De fato, o colega se equivocou. Definida em todo o R, nao existe tal funcao. Supondo-se que esta f exista e seja definida em todo o R, temos que, por possuir uma inversa, f eh estritamente monotonica em R. Suponhamos que f seja monotonicamente crescente. Entao, f'(u) = 0 para todo real u (1). Como f' eh a inversa de f, temos para todo x de R que f'(f(x)) = x (2). Mas, em virtude de (1), f'(f(x) = 0 para todo real x, de modo que (2) nao pode ser atendida para x0. Se f for monotonicamente decrescente, entao por um raciocinio similar vemos que (2) nao pode ser atendida para x0. Se esta funcao existir, entao a condicao pedida so podera ser atendida ou para valores de x positivos ou valores de x negativos. Artur
Re: [obm-l] Inversa de uma Matriz
Podemos fazer de modo elementar: Se A e B são matrizes de orden n , tais que AB=I == BA=I. BA=BIA=B(AB)A=(BA)(BA)=(BA)^2. Fazendo BA=S ,temos que S^2=S, como S=BA é invertível (produto de duas matrizes invertíveis , pois se AB=I é claro que det(AB)=detA.detB=1 e portanto detA e detB são não nulos e portanto A e B são invertíveis).Assim, se S^2=S, com S invertível, podemos multiplicar ambos os menbros por S^(-1) edaí temos que; S.S=S = [S^(-1).S].S=S^(-1).S = I.S=I = S=I, mas S=BA e portanto BA=I. Cgomes De fato, BA=BIA - Original Message - From: Jair Donadelli Junior [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Friday, October 08, 2004 3:54 PM Subject: Re: [obm-l] Inversa de uma Matriz On Fri, Oct 08, 2004 at 11:05:22AM -0200, Claudio Buffara wrote: O problema a seguir eh trivial? Sejam A e B matrizes quadradas tais que AB = I. Prove que BA = I. (I = matriz identidade) Problema adicional: Se A for mxn, B nxm com m n e AB = I (identidade mxm), o que poderemos dizer sobre BA? Começando pelo segundo problema, podemos dizer que (BA)^2 = B(AB)A = BA donde BA é uma projeção de posto m, ou seja, uma projeção de R^n sobre um subespaço de dimensão m. Quanto ao primeiro, eu diria que ele *não* é trivial. Encarando A e B como transformações lineares, é bem claro que A é sobre e B é injetora. O que fica faltando é provar o seguinte lema: Seja T uma transformação linear de um espaço vetorial de dimensão finita V nele mesmo. Então as seguintes condições são equivalentes: (a) T é injetora; (b) T é sobrejetora; (c) T é inversível. Este é uma espécie de versão linear do princípio das casas de pombos e requer demonstração. A demonstração pode ser encontrada em qualquer livro de álgebra linear, claro, mas não é de todo trivial. Note que todas as seguintes hipóteses são necessárias: Dimensão finita: o lema é falso em espaços vetoriais de dimensão infinita. Espaço vetorial: o lema é falso para módulos sobre quase qualquer anel. A necessidade destas duas hipóteses torna a meu ver o princípio das casas de pombos lineares algo não trivial. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de anti-virus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de anti-virus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Inversa de uma Matriz
On Fri, Oct 08, 2004 at 11:05:22AM -0200, Claudio Buffara wrote: O problema a seguir eh trivial? Sejam A e B matrizes quadradas tais que AB = I. Prove que BA = I. (I = matriz identidade) Problema adicional: Se A for mxn, B nxm com m n e AB = I (identidade mxm), o que poderemos dizer sobre BA? Começando pelo segundo problema, podemos dizer que (BA)^2 = B(AB)A = BA donde BA é uma projeção de posto m, ou seja, uma projeção de R^n sobre um subespaço de dimensão m. Quanto ao primeiro, eu diria que ele *não* é trivial. Encarando A e B como transformações lineares, é bem claro que A é sobre e B é injetora. O que fica faltando é provar o seguinte lema: Seja T uma transformação linear de um espaço vetorial de dimensão finita V nele mesmo. Então as seguintes condições são equivalentes: (a) T é injetora; (b) T é sobrejetora; (c) T é inversível. Este é uma espécie de versão linear do princípio das casas de pombos e requer demonstração. A demonstração pode ser encontrada em qualquer livro de álgebra linear, claro, mas não é de todo trivial. Note que todas as seguintes hipóteses são necessárias: Dimensão finita: o lema é falso em espaços vetoriais de dimensão infinita. Espaço vetorial: o lema é falso para módulos sobre quase qualquer anel. A necessidade destas duas hipóteses torna a meu ver o princípio das casas de pombos lineares algo não trivial. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: RES: [obm-l] Inversa de uma Matriz
Oi, Artur: Tudo bem, mas eu estava tentando provar isso a partir de conceitos mais basicos, tais como sistemas lineares e matrizes elementares. O fato de que A eh invertivel se e somente se det(A) 0 eh muito avancado, mas obviamnete estah correto. []s, Claudio. on 08.10.04 16:12, Artur Costa Steiner at [EMAIL PROTECTED] wrote: O que eh trivial depende da experiencia de cada um Mas como AB = I, temos que det(AB) = det(A) * det(B) = det(I) = 10, de modo que det(A)0 e det(B)0. Logo, A e B sao invertiveis. Como a inversa de uma matriz nao singular eh unica e AB=I, temos que B = A^(-1), o que implica que BA = I. Artur - Mensagem Original De: [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Assunto: RES: [obm-l] Inversa de uma Matriz Data: 08/10/04 11:56 O problema a seguir eh trivial? Sejam A e B matrizes quadradas tais que AB = I. Prove que BA = I. (I = matriz identidade) = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Inversa de uma Matriz
on 08.10.04 15:54, Nicolau C. Saldanha at [EMAIL PROTECTED] wrote: On Fri, Oct 08, 2004 at 11:05:22AM -0200, Claudio Buffara wrote: O problema a seguir eh trivial? Sejam A e B matrizes quadradas tais que AB = I. Prove que BA = I. (I = matriz identidade) Problema adicional: Se A for mxn, B nxm com m n e AB = I (identidade mxm), o que poderemos dizer sobre BA? Começando pelo segundo problema, podemos dizer que (BA)^2 = B(AB)A = BA donde BA é uma projeção de posto m, ou seja, uma projeção de R^n sobre um subespaço de dimensão m. Quanto ao primeiro, eu diria que ele *não* é trivial. Encarando A e B como transformações lineares, é bem claro que A é sobre e B é injetora. O que fica faltando é provar o seguinte lema: Seja T uma transformação linear de um espaço vetorial de dimensão finita V nele mesmo. Então as seguintes condições são equivalentes: (a) T é injetora; (b) T é sobrejetora; (c) T é inversível. Este é uma espécie de versão linear do princípio das casas de pombos e requer demonstração. A demonstração pode ser encontrada em qualquer livro de álgebra linear, claro, mas não é de todo trivial. Note que todas as seguintes hipóteses são necessárias: Dimensão finita: o lema é falso em espaços vetoriais de dimensão infinita. Espaço vetorial: o lema é falso para módulos sobre quase qualquer anel. A necessidade destas duas hipóteses torna a meu ver o princípio das casas de pombos lineares algo não trivial. []s, N. Oi, Nicolau: Obrigado pela resposta. Voce iluminou um novo angulo do problema. Para o primeiro problema, eu havia pensado em usar um resultado que diz respeito as condicoes minimas necessarias para um semi-grupo ser um grupo. Acho que o Domingos mencionou algo a respeito. Em linguagem de matrizes seria o seguinte: Seja M um conjunto de matrizes quadradas nxn (n arbitrario), fechado em relacao ao produto usual de matrizes (que sabemos ser associativo) e com as seguintes propriedades: 1) Existe I em M tal que A*I = A, para toda A em M; 2) Para cada A em M, existe B em M tal que A*B = I. Entao, para cada A em M vale I*A = A e dada B tal que A*B = I, tem-se B*A = I. Tomemos A em M. Seja B tal que A*B = I. Como B estah em M, vai existir C em M tal que B*C = I. Entao, A = A*I = A*(B*C) = (A*B)*C = I*C. Logo, B*A = B*(I*C) = (B*I)*C = B*C = I. Alem disso, I*A = (A*B)*A = A*(B*A) = A*I = A. []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: RES: [obm-l] Inversa de uma Matriz
Oi, Artur: Tudo bem, mas eu estava tentando provar isso a partir de conceitos mais basicos, tais como sistemas lineares e matrizes elementares. O fato de que A eh invertivel se e somente se det(A) 0 eh muito avancado, mas obviamnete estah correto. OK, mas eu tambem nao estava querendo dizer que era trivial para mim... A prva que vc apresentou na outra mensagem eh ateh bem mais dificil e mais geral do que a baseada em determinantes. Eu tambem jaj admiti conhecido que a inversa de uma matriz nao singular eh unica. Artur OPEN Internet e Informática @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: RES: [obm-l] Inversa de uma Matriz
on 13.10.04 17:24, Artur Costa Steiner at [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi, Artur: Tudo bem, mas eu estava tentando provar isso a partir de conceitos mais basicos, tais como sistemas lineares e matrizes elementares. O fato de que A eh invertivel se e somente se det(A) 0 eh muito avancado, mas obviamnete estah correto. OK, mas eu tambem nao estava querendo dizer que era trivial para mim... A prva que vc apresentou na outra mensagem eh ateh bem mais dificil e mais geral do que a baseada em determinantes. Eu tambem jaj admiti conhecido que a inversa de uma matriz nao singular eh unica. Artur Mas, dado que a inversa existe, a sua unicidade eh realmente facil de mostrar. Se AB = BA = AC = CA = I, entao, B = BI = B(AC) = (BA)C = IC = C. Alias, isso vale para funcoes em geral e nao apenas matrizes ou transformacoes lineares. O problema eh que uma transformacao linear pode ter uma inversa a direita e nao ser invertivel. Um exemplo eh a transformacao derivada no espaco vetorial dos polinomios. Alias, o Nicolau mencionou este ponto. Assim, dimensao finita deve ser essencial. Soh que, na minha demonstracao baseada em grupos, onde eh que dimensao finita entra? []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Inversa de uma Matriz
AB=I (AB)A=IA=A A(BA)=AIAgora tem que ver se da para cortar o A. Ah=cho que sim mas nao to com paciencia de concluir... Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] wrote: O problema a seguir eh trivial?Sejam A e B matrizes quadradas tais que AB = I. Prove que BA = I.(I = matriz identidade)Problema adicional:Se A for mxn, B nxm com m n e AB = I (identidade mxm), o que poderemosdizer sobre BA?[]s,Claudio.=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=__Do You Yahoo!?Tired of spam? Yahoo! Mail has the best spam protection around http://mail.yahoo.com
[obm-l] Inversa de uma Matriz
O problema a seguir eh trivial? Sejam A e B matrizes quadradas tais que AB = I. Prove que BA = I. (I = matriz identidade) Problema adicional: Se A for mxn, B nxm com m n e AB = I (identidade mxm), o que poderemos dizer sobre BA? []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RES: [obm-l] Inversa de uma Matriz
O problema a seguir eh trivial? Sejam A e B matrizes quadradas tais que AB = I. Prove que BA = I. (I = matriz identidade) INDAGAÇÃO: Não estariam faltando informações? Pois nesse caso, provar que BA = I significa provar que B eh a inversa de A e a HIPOTESE para uma matriz ser invertível eh AB = BA = I (com A e B de mesma ordem), - daí TESE: B eh a inversa de A. E o problema sugerido fica soh na HIPOTESE. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Inversa de uma Matriz
On Fri, Oct 08, 2004 at 11:05:22AM -0200, Claudio Buffara wrote: O problema a seguir eh trivial? Sejam A e B matrizes quadradas tais que AB = I. Prove que BA = I. (I = matriz identidade) Problema adicional: Se A for mxn, B nxm com m n e AB = I (identidade mxm), o que poderemos dizer sobre BA? Começando pelo segundo problema, podemos dizer que (BA)^2 = B(AB)A = BA donde BA é uma projeção de posto m, ou seja, uma projeção de R^n sobre um subespaço de dimensão m. Quanto ao primeiro, eu diria que ele *não* é trivial. Encarando A e B como transformações lineares, é bem claro que A é sobre e B é injetora. O que fica faltando é provar o seguinte lema: Seja T uma transformação linear de um espaço vetorial de dimensão finita V nele mesmo. Então as seguintes condições são equivalentes: (a) T é injetora; (b) T é sobrejetora; (c) T é inversível. Este é uma espécie de versão linear do princípio das casas de pombos e requer demonstração. A demonstração pode ser encontrada em qualquer livro de álgebra linear, claro, mas não é de todo trivial. Note que todas as seguintes hipóteses são necessárias: Dimensão finita: o lema é falso em espaços vetoriais de dimensão infinita. Espaço vetorial: o lema é falso para módulos sobre quase qualquer anel. A necessidade destas duas hipóteses torna a meu ver o princípio das casas de pombos lineares algo não trivial. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: RES: [obm-l] Inversa de uma Matriz
O que eh trivial depende da experiencia de cada um Mas como AB = I, temos que det(AB) = det(A) * det(B) = det(I) = 10, de modo que det(A)0 e det(B)0. Logo, A e B sao invertiveis. Como a inversa de uma matriz nao singular eh unica e AB=I, temos que B = A^(-1), o que implica que BA = I. Artur - Mensagem Original De: [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Assunto: RES: [obm-l] Inversa de uma Matriz Data: 08/10/04 11:56 O problema a seguir eh trivial? Sejam A e B matrizes quadradas tais que AB = I. Prove que BA = I. (I = matriz identidade) INDAGAÇÃO: Não estariam faltando informações? Pois nesse caso, provar que BA = I significa provar que B eh a inversa de A e a HIPOTESE para uma matriz ser invertível eh AB = BA = I (com A e B de mesma ordem), - daí TESE: B eh a inversa de A. E o problema sugerido fica soh na HIPOTESE. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = OPEN Internet e Informática @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: RES: [obm-l] Inversa de uma Matriz
Márcio Barbado Jr. wrote: O problema a seguir eh trivial? Sejam A e B matrizes quadradas tais que AB = I. Prove que BA = I. (I = matriz identidade) INDAGAÇÃO: Não estariam faltando informações? Pois nesse caso, provar que BA = I significa provar que B eh a inversa de A e a HIPOTESE para uma matriz ser invertível eh AB = BA = I (com A e B de mesma ordem), - daí TESE: B eh a inversa de A. E o problema sugerido fica soh na HIPOTESE. _ isso é um resultado mais geral de teoria dos grupos. seja G um grupo e g um elemento de G. suponha h é a inversa de g, ou seja, gh = e (e é a identidade) h = h*e = h*g*h = (hg)*h mas como a identidade é o único elemento com a propriedade e*s = s*e = s, devemos ter hg = e. para provar a propriedade da identidade, assuma que e' também satisfaz e'*s = s*e' = s para todo s em G, então e'*e = e' (pela propriedade de e), por outro lado e'*e = e (pela propriedade de e'), donde e'*e = e = e' = e'*e. [ ]'s = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Inversa e Transposta
Mais uma de algera linear... "Prove que, se A eh invertivel, entao A(t) eh invertivel e [A(t)] ^ -1 = (A ^-1)(t)" A(t) = transposta de A []s Cloves
Re: [obm-l] Inversa e Transposta
cara, tem uma condição para um matriz ser inversível é que o determinante dela tem que ser de 0... outro teorema diz que o det. de uma matriz é igual ao determinante de sua inversa, entãi, a primeira parte da sua dúvida está respondida. [ [A(t)] ^ -1 = (A ^-1)(t)' o inverso da tranposta = transposta do inverso... isso você pode descobrir multiplicando ambos os membros pela transposta, inversa e ir trabalhando algebricamente... Acho que é mais ou menos por ai Abração Alan Pellejero Cloves Jr [EMAIL PROTECTED] wrote: Mais uma de algera linear... "Prove que, se A eh invertivel, entao A(t) eh invertivel e [A(t)] ^ -1 = (A ^-1)(t)" A(t) = transposta de A []s ClovesYahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora!
Re: [obm-l] Inversa e Transposta
Isto sai direto da definiçao de produto de matrizes!Cloves Jr [EMAIL PROTECTED] wrote: Mais uma de algera linear... "Prove que, se A eh invertivel, entao A(t) eh invertivel e [A(t)] ^ -1 = (A ^-1)(t)" A(t) = transposta de A []s Cloves TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQVE POTIRI CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields)Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora!
Re: [obm-l] Inversa e Transposta + FUNCAO EUREKA
Para ficar mais fácil de escrever, seja B = A^(-1). Quero mostrar que B^t=(A^t)^(-1), ou seja, que B^t * A^t = IMas isso é verdade, pois B^t * A^t = (A*B)^t = I^t = I , pois B é a inversa de A. Bem, pessoal, eu andei vendo alguns discutindo o problema 83 da eureka, aquele das funções : f(2003) = 2003, f(m)=2003 para todo m = 2003, f(m+f(n))=f(f(m)) + f(n).Eu achei 3 funções...Eram f(m) = m, f(m) = 2003*(1+parte inteira [(m-1)/2003] ),f(m) = 2003*(parte inteira [m/2003]).Vou ver se escrevo a minha solução num email ainda hj.Abraços, Villard - Mensagem Original De: [EMAIL PROTECTED]Para: "Grupo OBM" [EMAIL PROTECTED]Assunto: [obm-l] Inversa e TranspostaData: 27/04/04 16:00 Mais uma de algera linear... "Prove que, se A eh invertivel, entao A(t) eh invertivel e [A(t)] ^ -1 = (A ^-1)(t)" A(t) = transposta de A []s Cloves = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Inversa e Transposta
--- Cloves Jr [EMAIL PROTECTED] escreveu: Mais uma de algera linear... Prove que, se A eh invertivel, entao A(t) eh invertivel e [A(t)] ^ -1 = (A ^ -1)(t) A(t) = transposta de A []s Cloves --- Outgoing mail is certified Virus Free. Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com). Version: 6.0.669 / Virus Database: 431 - Release Date: 26/04/04 Se existe A inversa de A entao (A*A^-1)(t) = A^-1(t)*A(t) = ( A^-1(t) ) * A(t) = I (a transposta de I eh I), observando a ultima equação temos que A^-1(t) eh a inversa de A(t), isto eh A^-1(t)= A(t)^-1 A ultima equacao tb prova que A(t) eh invertivel. []s Marco Arthur __ Yahoo! Mail - O melhor e-mail do Brasil! Abra sua conta agora: http://br.yahoo.com/info/mail.html = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Inversa
Os valores do e-mail anterior esta errado. É achar a função inversa, sendo dados. x = - 4 f(x) = 4 f^-1(x) = ? Ou seja a inversa. Sei que a resposta é 2. Obrigado. __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Inversa
vc tirou esse problema de algum livro? O enunciado esta meio esquisito...quando vc escreve f(x) = 4 vc quer dizer que a funcãof é constante igual a 4 ou que f(-4) = 4? helynatal [EMAIL PROTECTED] wrote: Os valores do e-mail anterior esta errado.É achar a função inversa, sendo dados.x = - 4f(x) = 4f^-1(x) = ?Ou seja a inversa.Sei que a resposta é 2.Obrigado.__Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela.AntiPop-up UOL - É grátis!http://antipopup.uol.com.br/=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Yahoo! Mail Mais espaço, mais segurança e gratuito: caixa postal de 6MB, antivírus, proteção contra spam.
Re: [obm-l] Inversa
Com (apenas) esses dados, este problema nao tem sentido.Comeram uma parte do enunciado. Em Thu, 10 Jul 2003 08:08:57 -0300, helynatal [EMAIL PROTECTED] disse: Os valores do e-mail anterior esta errado. É achar a função inversa, sendo dados. x = - 4 f(x) = 4 f^-1(x) = ? Ou seja a inversa. Sei que a resposta é 2. Obrigado. __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
