Re: [obm-l] Particao do Quadrado
Pra pensar no banheiro (mas sem fazer muita forca): Na construcao abaixo, se cada segmento fosse feito de cobre, digamos, e se fechassemos um circuito ligando o ponto (0,1/2) a uma pilha, uma lampada ao outro polo da pilha, e o outro terminal da lampada ao ponto (1,1/2) a lampada acenderia? []'s, Claudio. on 07.03.04 18:47, Claudio Buffara at [EMAIL PROTECTED] wrote: on 05.03.04 15:26, Claudio Buffara at [EMAIL PROTECTED] wrote: Um quadrado pode ser particionado em dois conjuntos conexos A e B tais que A contem pontos de dois lados opostos do quadrado e B contem pontos dos dois lados restantes? Que tal esta construcao aqui? Considere o quadrado [0,1] x [0,1]. Tome os segmentos de reta ligando o ponto medio do lado esquerdo (0,1/2) a cada um dos pontos (1/2,1/2 + 1/n) n = 3, 4, 5, ... Em seguida, tome o segmento ligando (1/2,1/2) a (1,1/2), ponto medio do lado direito. Todos os segmentos contem as extremidades. Seja A esse conjunto de segmentos e B = complemantar de A em relacao ao quadrado. Eh claro que A e B particionam o quadrado. Me parece tambem que A e B sao ambos conexos (mas nao conexos por caminhos). Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Particao do Quadrado
O filamento da lampada esta inteiro? :) From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Particao do Quadrado Date: Mon, 08 Mar 2004 18:01:21 -0300 Pra pensar no banheiro (mas sem fazer muita forca): Na construcao abaixo, se cada segmento fosse feito de cobre, digamos, e se fechassemos um circuito ligando o ponto (0,1/2) a uma pilha, uma lampada ao outro polo da pilha, e o outro terminal da lampada ao ponto (1,1/2) a lampada acenderia? []'s, Claudio. on 07.03.04 18:47, Claudio Buffara at [EMAIL PROTECTED] wrote: on 05.03.04 15:26, Claudio Buffara at [EMAIL PROTECTED] wrote: Um quadrado pode ser particionado em dois conjuntos conexos A e B tais que A contem pontos de dois lados opostos do quadrado e B contem pontos dos dois lados restantes? Que tal esta construcao aqui? Considere o quadrado [0,1] x [0,1]. Tome os segmentos de reta ligando o ponto medio do lado esquerdo (0,1/2) a cada um dos pontos (1/2,1/2 + 1/n) n = 3, 4, 5, ... Em seguida, tome o segmento ligando (1/2,1/2) a (1,1/2), ponto medio do lado direito. Todos os segmentos contem as extremidades. Seja A esse conjunto de segmentos e B = complemantar de A em relacao ao quadrado. Eh claro que A e B particionam o quadrado. Me parece tambem que A e B sao ambos conexos (mas nao conexos por caminhos). Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ Fast. Reliable. Get MSN 9 Dial-up - 3 months for the price of 1! (Limited-time Offer) http://click.atdmt.com/AVE/go/onm00200361ave/direct/01/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Particao do Quadrado
Sim. Suponha que o circuito: (0,1/2) - pilha - lampada - (1,1/2) estah em perfeitas condicoes e totalmente isolado do interior do quadrado. on 08.03.04 19:08, Qwert Smith at [EMAIL PROTECTED] wrote: O filamento da lampada esta inteiro? :) From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Particao do Quadrado Date: Mon, 08 Mar 2004 18:01:21 -0300 Pra pensar no banheiro (mas sem fazer muita forca): Na construcao abaixo, se cada segmento fosse feito de cobre, digamos, e se fechassemos um circuito ligando o ponto (0,1/2) a uma pilha, uma lampada ao outro polo da pilha, e o outro terminal da lampada ao ponto (1,1/2) a lampada acenderia? []'s, Claudio. on 07.03.04 18:47, Claudio Buffara at [EMAIL PROTECTED] wrote: on 05.03.04 15:26, Claudio Buffara at [EMAIL PROTECTED] wrote: Um quadrado pode ser particionado em dois conjuntos conexos A e B tais que A contem pontos de dois lados opostos do quadrado e B contem pontos dos dois lados restantes? Que tal esta construcao aqui? Considere o quadrado [0,1] x [0,1]. Tome os segmentos de reta ligando o ponto medio do lado esquerdo (0,1/2) a cada um dos pontos (1/2,1/2 + 1/n) n = 3, 4, 5, ... Em seguida, tome o segmento ligando (1/2,1/2) a (1,1/2), ponto medio do lado direito. Todos os segmentos contem as extremidades. Seja A esse conjunto de segmentos e B = complemantar de A em relacao ao quadrado. Eh claro que A e B particionam o quadrado. Me parece tambem que A e B sao ambos conexos (mas nao conexos por caminhos). Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Particao do Quadrado
on 05.03.04 15:26, Claudio Buffara at [EMAIL PROTECTED] wrote: Um quadrado pode ser particionado em dois conjuntos conexos A e B tais que A contem pontos de dois lados opostos do quadrado e B contem pontos dos dois lados restantes? Que tal esta construcao aqui? Considere o quadrado [0,1] x [0,1]. Tome os segmentos de reta ligando o ponto medio do lado esquerdo (0,1/2) a cada um dos pontos (1/2,1/2 + 1/n) n = 3, 4, 5, ... Em seguida, tome o segmento ligando (1/2,1/2) a (1,1/2), ponto medio do lado direito. Todos os segmentos contem as extremidades. Seja A esse conjunto de segmentos e B = complemantar de A em relacao ao quadrado. Eh claro que A e B particionam o quadrado. Me parece tambem que A e B sao ambos conexos (mas nao conexos por caminhos). Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Particao do Quadrado
on 05.03.04 22:52, Nicolau C. Saldanha at [EMAIL PROTECTED] wrote:
On Fri, Mar 05, 2004 at 07:09:05PM -0300, Henrique Patrício Sant'Anna Branco
wrote:
A sutileza é que A e B seriam conexos mas não são conexos por caminhos.
Cada um deles parece uma nuvem de pontos e as componentes conexas
por caminhos de A e B são pontos. As nuvens são conexas pq qualquer
função contínua não constante g: R - [0,1]^2 encontra tanto com A
quanto com B então é impossível fazer uma cisão de A ou B.
Nicolau (ou quem souber responder),
Sei o que é um conjunto conexo por caminhos, mas não sei o que seria um
conjunto (apenas) conexo.
A (união) B, no caso, conteria dois pontos que não pudessem ser ligados por
poligonais? Isso seria um conjunto conexo?
Um conjunto A contido em R^2 é conexo se *não* existirem abertos
disjuntos X1 e X2 em R^2 tais que A está contido em X1 U X2
mas A não está contido nem em X1 nem em X2.
[]s, N.
Um exemplo interessante de conjunto conexo que eu vi foi o seguinte:
Sejam:
A = { (0,y) | -1 = y = 1 } = intervalo [-1,1] no eixo y
e
B = { (x,sen(1/x)) | 0 x = 1} = grafico da funcao sen(1/x) restrita ao
intervalo (0,1].
Entao A uniao B eh conexo (apesar de A e B nao se tocarem, ou seja A uniao
B nao eh conexo por caminhos)
Qualquer aberto contendo A vai ter que conter algum ponto (x,y) com x 0 e
-1 = y = 1. Logo, vai intersectar o grafico de sen(1/x) em algum ponto
perto do eixo y.
Por outro lado, tente achar uma curva continua (nao precisa nem ser
poligonal) que liga algum ponto de A a um ponto de B...
Esse exemplo pode ser adaptado para se construir um exemplo de conjuntos
conexos A e B tais que A e B sao disjuntos, A contem pontos e dois lados
opostos de um quadrado e B contem pontos dos dois lados restantes.
Um abraco,
Claudio.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Particao do Quadrado
On Sat, Mar 06, 2004 at 12:31:00PM -0300, Claudio Buffara wrote:
Um exemplo interessante de conjunto conexo que eu vi foi o seguinte:
Sejam:
A = { (0,y) | -1 = y = 1 } = intervalo [-1,1] no eixo y
e
B = { (x,sen(1/x)) | 0 x = 1} = grafico da funcao sen(1/x) restrita ao
intervalo (0,1].
Entao A uniao B eh conexo (apesar de A e B nao se tocarem, ou seja A uniao
B nao eh conexo por caminhos)
Qualquer aberto contendo A vai ter que conter algum ponto (x,y) com x 0 e
-1 = y = 1. Logo, vai intersectar o grafico de sen(1/x) em algum ponto
perto do eixo y.
Por outro lado, tente achar uma curva continua (nao precisa nem ser
poligonal) que liga algum ponto de A a um ponto de B...
Esse exemplo pode ser adaptado para se construir um exemplo de conjuntos
conexos A e B tais que A e B sao disjuntos, A contem pontos e dois lados
opostos de um quadrado e B contem pontos dos dois lados restantes.
Você tem razão, o exemplo é bem mais simples do que eu pensava, veja a figura.
Pinte os lados do quadrado alternadamente de verde e vermelho. Desenhe dentro
do quadrado uma espiral verde e outra vermelha: não é importante exatamente
qual formato elas têm, o importante é que elas sejam disjuntas e se aproximem
arbitrariamente do bordo do quadrado. Tanto o conjunto verde quanto o vermelho
são conexos.
[]s, N.
attachment: conexo.png
[obm-l] Particao do Quadrado
Essa discussao recente sobre conjuntos conexos me fez lembrar de um problema que vi ha tempos e nunca resolvi: Um quadrado pode ser particionado em dois conjuntos conexos A e B tais que A contem pontos de dois lados opostos do quadrado e B contem pontos dos dois lados restantes? Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Particao do Quadrado
Se A U B = Quadrado e A inter B = vazio e A e B sao conexos, entao chegamos num absurdo, pois o Quadrado e conexo. Se A inter B nao eh vazio, o problema nao tem sentido, ou nao entendi o enunciado. Alias acho que nao entendi mesmo... Explique novamente, por favor. Abraco, Salvador On Fri, 5 Mar 2004, Claudio Buffara wrote: Essa discussao recente sobre conjuntos conexos me fez lembrar de um problema que vi ha tempos e nunca resolvi: Um quadrado pode ser particionado em dois conjuntos conexos A e B tais que A contem pontos de dois lados opostos do quadrado e B contem pontos dos dois lados restantes? Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Particao do Quadrado
Essa discussao recente sobre conjuntos conexos me fez lembrar de um problema que vi ha tempos e nunca resolvi: Um quadrado pode ser particionado em dois conjuntos conexos A e B tais que A contem pontos de dois lados opostos do quadrado e B contem pontos dos dois lados restantes? Uma vez eu vi uma partição do quadrado bastante interessante. Aparentemente quando se tirava uma peça as peças restantes continuavam a formar um quadrado. Não me lembro bem se era isso. []s Ronaldo L. Alonso Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- _ Voce quer um iGMail protegido contra vírus e spams? Clique aqui: http://www.igmailseguro.ig.com.br Ofertas imperdíveis! Link: http://www.americanas.com.br/ig/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Particao do Quadrado
Que tal eliminar a condicao de que A U B = quadrado? Assim, o problema ficaria: Um quadrado pode conter dois subconjuntos conexos A e B tais que: A inter B = vazio e A contem pontos de dois lados opostos do quadrado e B contem pontos dos dois lados restantes? Mesmo isso eh contra-intuitivo... Um abraco, Claudio. on 05.03.04 16:41, Salvador Addas Zanata at [EMAIL PROTECTED] wrote: Se A U B = Quadrado e A inter B = vazio e A e B sao conexos, entao chegamos num absurdo, pois o Quadrado e conexo. Se A inter B nao eh vazio, o problema nao tem sentido, ou nao entendi o enunciado. Alias acho que nao entendi mesmo... Explique novamente, por favor. Abraco, Salvador On Fri, 5 Mar 2004, Claudio Buffara wrote: Essa discussao recente sobre conjuntos conexos me fez lembrar de um problema que vi ha tempos e nunca resolvi: Um quadrado pode ser particionado em dois conjuntos conexos A e B tais que A contem pontos de dois lados opostos do quadrado e B contem pontos dos dois lados restantes? Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Particao do Quadrado
on 05.03.04 16:45, [EMAIL PROTECTED] at [EMAIL PROTECTED] wrote: Uma vez eu vi uma partição do quadrado bastante interessante. Aparentemente quando se tirava uma peça as peças restantes continuavam a formar um quadrado. Não me lembro bem se era isso. []s Ronaldo L. Alonso Bom, isso soh seria inusitado se as pecas restantes continuassem a formar O MESMO QUADRADO. []'s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Particao do Quadrado
On Fri, Mar 05, 2004 at 05:24:23PM -0300, Claudio Buffara wrote: Que tal eliminar a condicao de que A U B = quadrado? Assim, o problema ficaria: Um quadrado pode conter dois subconjuntos conexos A e B tais que: A inter B = vazio e A contem pontos de dois lados opostos do quadrado e B contem pontos dos dois lados restantes? Mesmo isso eh contra-intuitivo... Eu acho que dá para fazer isso sim. Ou seja, acho que existem conjuntos A e B tais que A U B = [0,1]^2, A e B não vazios e disjuntos, A e B conexos, (1/2,0) e (1/2,1) em A, (0,1/2) e (1,1/2) em B. A sutileza é que A e B seriam conexos mas não são conexos por caminhos. Cada um deles parece uma nuvem de pontos e as componentes conexas por caminhos de A e B são pontos. As nuvens são conexas pq qualquer função contínua não constante g: R - [0,1]^2 encontra tanto com A quanto com B então é impossível fazer uma cisão de A ou B. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Particao do Quadrado
On Fri, Mar 05, 2004 at 05:31:46PM -0300, Claudio Buffara wrote: on 05.03.04 16:45, [EMAIL PROTECTED] at [EMAIL PROTECTED] wrote: Uma vez eu vi uma partição do quadrado bastante interessante. Aparentemente quando se tirava uma peça as peças restantes continuavam a formar um quadrado. Não me lembro bem se era isso. []s Ronaldo L. Alonso Bom, isso soh seria inusitado se as pecas restantes continuassem a formar O MESMO QUADRADO. O que eu sei é que o Paradoxo de Banach-Tarski não funciona em dimensão 2. Se você particionar um subconjunto mensurável A de R^2 em um número finito de peças não necessariamente mensuráveis, e, fazendo movimentos rígidos, rearrumar as peças para obter outro subconjunto mensurável B de R^2 então área(A) = área(B). Será que vocês têm em mente a quadratura do círculo? Dividir um disco em um número finito de pedaços que podem ser rearrumados para formar um quadrado? []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Particao do Quadrado
A sutileza é que A e B seriam conexos mas não são conexos por caminhos. Cada um deles parece uma nuvem de pontos e as componentes conexas por caminhos de A e B são pontos. As nuvens são conexas pq qualquer função contínua não constante g: R - [0,1]^2 encontra tanto com A quanto com B então é impossível fazer uma cisão de A ou B. Nicolau (ou quem souber responder), Sei o que é um conjunto conexo por caminhos, mas não sei o que seria um conjunto (apenas) conexo. A (união) B, no caso, conteria dois pontos que não pudessem ser ligados por poligonais? Isso seria um conjunto conexo? Grato, Henrique. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Particao do Quadrado
Tem uma demo disso (Banach-Tarski no 2-D) no problema resolvido da Eureka! 17. Onde eu acho uma demo convincente de Banach-Tarski? -- Mensagem original -- On Fri, Mar 05, 2004 at 05:31:46PM -0300, Claudio Buffara wrote: on 05.03.04 16:45, [EMAIL PROTECTED] at [EMAIL PROTECTED] wrote: Uma vez eu vi uma partição do quadrado bastante interessante. Aparentemente quando se tirava uma peça as peças restantes continuavam a formar um quadrado. Não me lembro bem se era isso. []s Ronaldo L. Alonso Bom, isso soh seria inusitado se as pecas restantes continuassem a formar O MESMO QUADRADO. O que eu sei é que o Paradoxo de Banach-Tarski não funciona em dimensão 2. Se você particionar um subconjunto mensurável A de R^2 em um número finito de peças não necessariamente mensuráveis, e, fazendo movimentos rígidos, rearrumar as peças para obter outro subconjunto mensurável B de R^2 então área(A) = área(B). Será que vocês têm em mente a quadratura do círculo? Dividir um disco em um número finito de pedaços que podem ser rearrumados para formar um quadrado? []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQUE POTIRE CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI INSIGNIA TRIBVUERE -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Particao do Quadrado
On Fri, Mar 05, 2004 at 07:09:05PM -0300, Henrique Patrício Sant'Anna Branco wrote: A sutileza é que A e B seriam conexos mas não são conexos por caminhos. Cada um deles parece uma nuvem de pontos e as componentes conexas por caminhos de A e B são pontos. As nuvens são conexas pq qualquer função contínua não constante g: R - [0,1]^2 encontra tanto com A quanto com B então é impossível fazer uma cisão de A ou B. Nicolau (ou quem souber responder), Sei o que é um conjunto conexo por caminhos, mas não sei o que seria um conjunto (apenas) conexo. A (união) B, no caso, conteria dois pontos que não pudessem ser ligados por poligonais? Isso seria um conjunto conexo? Um conjunto A contido em R^2 é conexo se *não* existirem abertos disjuntos X1 e X2 em R^2 tais que A está contido em X1 U X2 mas A não está contido nem em X1 nem em X2. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
