[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Sequências

2016-11-16 Por tôpico Ralph Teixeira 
Repita e translade:

1 3 4 8 / 2 5 6 7

Abraco, Ralph.

2016-11-16 23:28 GMT-02:00 Pedro Júnior :

> É da forma 4x. Logo A_1, A_2, A_3, ..., A_n a soma de seus elementos é um
> múltiplo de 4, logo múltiplo de 2, ou seja, par.
> Ou seja, 4n^{2} + n tem que ser par, logo, n é par. E a segunda parte do
> problema Ralph?
>
> Em 16 de novembro de 2016 22:09, Ralph Teixeira 
> escreveu:
>
>> Dica para comecar: se A_k={a,b,c,x} onde x eh a media de a,b e c, o que
>> voce pode dizer sobre a soma dos elementos de A_k?
>>
>> Abraco, Ralph.
>>
>> 2016-11-16 21:58 GMT-02:00 Pedro Júnior :
>>
>>> Ainda não consegui esse problema. Ele foi do livro do Caminha.
>>> Ache todos os valores de $n$ para os quais possamos escrever o conjunto
>>> A={1,2,3,..., 4n} como união de n conjuntos, dois a dois disjuntos e com
>>> 4 elementos cada, tais que em cada um deles um dos elementos seja igual à
>>> média aritmética dos três demais (sugestão: suponha inicialmente $ A= A_{1}
>>> \cup \ldots \cup A_{n} $ com $ A_{1}, \ldots, A_{n} $ satisfazendo as
>>> condições do enunciado, e conclua daí que $n$ deve ser par. Em seguida,
>>> mostre - exibindo uma maneira de escrever $A$ como pedido - que para todo
>>> $n$ par serve).
>>>
>>> --
>>>
>>> Pedro Jerônimo S. de O. Júnior
>>>
>>> Professor de Matemática
>>>
>>> Geo João Pessoa – PB
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>
>
> --
>
> Pedro Jerônimo S. de O. Júnior
>
> Professor de Matemática
>
> Geo João Pessoa – PB
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Sequências

2016-11-16 Por tôpico Pedro Júnior 
É da forma 4x. Logo A_1, A_2, A_3, ..., A_n a soma de seus elementos é um
múltiplo de 4, logo múltiplo de 2, ou seja, par.
Ou seja, 4n^{2} + n tem que ser par, logo, n é par. E a segunda parte do
problema Ralph?

Em 16 de novembro de 2016 22:09, Ralph Teixeira 
escreveu:

> Dica para comecar: se A_k={a,b,c,x} onde x eh a media de a,b e c, o que
> voce pode dizer sobre a soma dos elementos de A_k?
>
> Abraco, Ralph.
>
> 2016-11-16 21:58 GMT-02:00 Pedro Júnior :
>
>> Ainda não consegui esse problema. Ele foi do livro do Caminha.
>> Ache todos os valores de $n$ para os quais possamos escrever o conjunto
>> A={1,2,3,..., 4n} como união de n conjuntos, dois a dois disjuntos e com
>> 4 elementos cada, tais que em cada um deles um dos elementos seja igual à
>> média aritmética dos três demais (sugestão: suponha inicialmente $ A= A_{1}
>> \cup \ldots \cup A_{n} $ com $ A_{1}, \ldots, A_{n} $ satisfazendo as
>> condições do enunciado, e conclua daí que $n$ deve ser par. Em seguida,
>> mostre - exibindo uma maneira de escrever $A$ como pedido - que para todo
>> $n$ par serve).
>>
>> --
>>
>> Pedro Jerônimo S. de O. Júnior
>>
>> Professor de Matemática
>>
>> Geo João Pessoa – PB
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.




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Pedro Jerônimo S. de O. Júnior

Professor de Matemática

Geo João Pessoa – PB

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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Sequências

2016-11-16 Por tôpico Ralph Teixeira 
Dica para comecar: se A_k={a,b,c,x} onde x eh a media de a,b e c, o que
voce pode dizer sobre a soma dos elementos de A_k?

Abraco, Ralph.

2016-11-16 21:58 GMT-02:00 Pedro Júnior :

> Ainda não consegui esse problema. Ele foi do livro do Caminha.
> Ache todos os valores de $n$ para os quais possamos escrever o conjunto
> A={1,2,3,..., 4n} como união de n conjuntos, dois a dois disjuntos e com 4
> elementos cada, tais que em cada um deles um dos elementos seja igual à
> média aritmética dos três demais (sugestão: suponha inicialmente $ A= A_{1}
> \cup \ldots \cup A_{n} $ com $ A_{1}, \ldots, A_{n} $ satisfazendo as
> condições do enunciado, e conclua daí que $n$ deve ser par. Em seguida,
> mostre - exibindo uma maneira de escrever $A$ como pedido - que para todo
> $n$ par serve).
>
> --
>
> Pedro Jerônimo S. de O. Júnior
>
> Professor de Matemática
>
> Geo João Pessoa – PB
>
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Sequências

2015-02-25 Por tôpico Vanderlei Nemitz 
Como cada número *n* aparece *n* vezes, vamos procurar o maior valor de n
tal que 1 + 2 + 3 + ... + n  1000.

Assim:

(1 + n)·n/2  1000 ⇒ n·(n + 1)  2000

O maior valor de n que satisfaz a desigualdade anterior é n = 44

Assim, após escrevermos os 44 números 44, teremos escrito (1 + 44)·45/2 =
990 números. Portanto, o número de ordem 1000 é 45, pois será escrito 45
vezes.


Se a pergunta fosse o algarismo de ordem 1000, a resposta seria outra.

Em 25 de fevereiro de 2015 16:09, Jefferson Franca jeffma...@yahoo.com.br
escreveu:

 Boa tarde para todos. Um aluno me enviou este problema que não consigo
 resolver: Juquinha gosta de diversões matemáticas, uma delas consiste em
 descobrir números de sequências. Por exemplo,
 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,..., onde cada número natural n é escrito n
 vezes. Determine o número de ordem 1000.
 Será que alguém aqui saberia elucidar este mistério?
 Att
 Jefferson

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 acredita-se estar livre de perigo.


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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Sequências

2015-02-25 Por tôpico Leonardo Borges Avelino 
Pense no seguinte triângulo:

1
22
333

...
Esse triângulo gera uma propriedade bem interessante, que são os números
triangulares. Para a sua questão, verifique o primeiro número triangular
acima de 1000 e o primeiro abaixo de 1000. Olhando dessa forma, você
consegue descobrir a resposta e fechar uma fórmula, se desejar

Abs

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Sequências

2015-02-25 Por tôpico Esdras Muniz 
Se tn=kt(n+1) então o termo de ordem k é n.

Em 25 de fevereiro de 2015 16:09, Jefferson Franca jeffma...@yahoo.com.br
escreveu:

 Boa tarde para todos. Um aluno me enviou este problema que não consigo
 resolver: Juquinha gosta de diversões matemáticas, uma delas consiste em
 descobrir números de sequências. Por exemplo,
 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,..., onde cada número natural n é escrito n
 vezes. Determine o número de ordem 1000.
 Será que alguém aqui saberia elucidar este mistério?
 Att
 Jefferson

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-- 
Esdras Muniz Mota
Mestrando em Matemática
Universidade Federal do Ceará

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Sequências

2015-02-25 Por tôpico Esdras Muniz 
Sendo tn o n-esimo número triangular.

Em 25 de fevereiro de 2015 16:44, Esdras Muniz esdrasmunizm...@gmail.com
escreveu:

 Se tn=kt(n+1) então o termo de ordem k é n.

 Em 25 de fevereiro de 2015 16:09, Jefferson Franca jeffma...@yahoo.com.br
  escreveu:

 Boa tarde para todos. Um aluno me enviou este problema que não consigo
 resolver: Juquinha gosta de diversões matemáticas, uma delas consiste em
 descobrir números de sequências. Por exemplo,
 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,..., onde cada número natural n é escrito n
 vezes. Determine o número de ordem 1000.
 Será que alguém aqui saberia elucidar este mistério?
 Att
 Jefferson

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 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.




 --
 Esdras Muniz Mota
 Mestrando em Matemática
 Universidade Federal do Ceará





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Esdras Muniz Mota
Mestrando em Matemática
Universidade Federal do Ceará

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 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Re: [obm-l] Sequências

2015-02-25 Por tôpico Jefferson Franca 
Obrigado Vanderlei 

 Em Quarta-feira, 25 de Fevereiro de 2015 17:05, Vanderlei Nemitz 
vanderma...@gmail.com escreveu:
   

 Como cada número n aparece n vezes, vamosprocurar o maior valor de n tal que 1 
+ 2 + 3 + ... + n  1000.Assim:(1 + n)·n/2  1000 ⇒ n·(n + 1)  2000O maior 
valor de n que satisfaz adesigualdade anterior é n = 44Assim, após escrevermos 
os 44 números44, teremos escrito (1 + 44)·45/2 = 990 números. Portanto, o 
número de ordem1000 é 45, pois será escrito 45 vezes. Se a pergunta fosse o 
algarismo de ordem 1000, a resposta seria outra.
Em 25 de fevereiro de 2015 16:09, Jefferson Franca jeffma...@yahoo.com.br 
escreveu:

Boa tarde para todos. Um aluno me enviou este problema que não consigo 
resolver: Juquinha gosta de diversões matemáticas, uma delas consiste em 
descobrir números de sequências. Por exemplo, 
1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,..., onde cada número natural n é escrito n 
vezes. Determine o número de ordem 1000.Será que alguém aqui saberia elucidar 
este mistério?AttJefferson
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
 acredita-se estar livre de perigo.


--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�us e 
 acredita-se estar livre de perigo.

   
-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Sequências de Funções

2013-02-11 Por tôpico Artur Costa Steiner 
E além disto, o Rudin gostava do grupo dos inteiros Z

Antes de morrer ainda vou conseguir digitar em um iPad sem errar

Artur Costa Steiner

Em 10/02/2013, às 11:43, Bernardo Freitas Paulo da Costa 
bernardo...@gmail.com escreveu:

 2013/2/10 Artur Costa Steiner steinerar...@gmail.com:
 Estes dois livros são excelentes. Tem também o do Zrudin eo do Apostol.
 Zrudin é porque ele usa variáveis complexas?
 
 -- 
 Bernardo Freitas Paulo da Costa
 
 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 =

=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Sequências de Funções

2013-02-10 Por tôpico Artur Costa Steiner 
Estes dois livros são excelentes. Tem também o do Zrudin eo do Apostol.

Artur Costa Steiner

Em 09/02/2013, às 21:14, Jeferson Almir jefersonram...@gmail.com escreveu:

 Aproveitando o momento eu queria saber que tipo de literatura voces poderiam 
 me indicar sobre analise na reta pois irei fazer uma prova de selecao de 
 mestrado e tenho como inicio o livro do Elon e o do Bartle.
 
 Em 7 de fevereiro de 2013 21:15, Artur Costa Steiner steinerar...@gmail.com 
 escreveu:
 Há um teorema que diz que, se f_n é uma sequência de funções reais contínuas 
 que converge em um intervalo de R para uma função f, então o conjunto dos 
 elementos em que f é descontínua é de 1a categoria na classificação de 
 Baire, isto é, está contido numa união enumerável de conjuntos fechados com 
 interior vazio. Isto implica que o conjunto das descontinuidades de f tenha 
 interior vazio.
 
 Mas sua função é descontínua em todo o [0, 1], que não tem interior vazio. 
 Logo, sua função não pode ser o limite de uma sequência de funções contínuas.
 
 Artur
 
 Em 07/02/2013 21:54, Sandoel Vieira sandoe...@hotmail.com escreveu:
 
 Na hora de escrever torna-se um pouco complicado. Tentei mostrar supondo 
 que existe e depois tentando, por exemplo, limitar a imagem de f numa 
 vizinhança de um racional, por um número menor que 1, mas não consegui 
 argumentar direito.
 
 Att.
 Sandoel Vieira
 (86) 8117-6966
 
 
  Date: Thu, 7 Feb 2013 12:16:28 -0500
  Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Sequências de Funções
  From: bernardo...@gmail.com
  To: obm-l@mat.puc-rio.br
  
  2013/2/7 Sandoel Vieira sandoe...@hotmail.com:
   Mostre que não existe uma sequências de funções contínuas f_n:[0,1]--R,
   convergindo simplesmente para a função f:[0,1]--R tal que f(x)=0 para x
   racional e f(x)=1 quando x é irracional.
  Pense no que acontece para que f_n(1/2) - 0, e nos pontos da
  vizinhança de 1/2 para este n fixo. Agora, pense nos outros pontos
  pontos racionais perto de 1/2, e repita o argumento. Agora, lembre que
  os racionais são densos, e que você tem um monte de vizinhanças em
  todos os pontos racionais.
  -- 
  Bernardo Freitas Paulo da Costa
  
  =
  Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
  http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
  =

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Sequências de Funções

2013-02-10 Por tôpico Bernardo Freitas Paulo da Costa 
2013/2/10 Artur Costa Steiner steinerar...@gmail.com:
 Estes dois livros são excelentes. Tem também o do Zrudin eo do Apostol.
Zrudin é porque ele usa variáveis complexas?

-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Sequências de Funções

2013-02-07 Por tôpico Bernardo Freitas Paulo da Costa 
2013/2/7 Sandoel Vieira sandoe...@hotmail.com:
 Mostre que não existe uma sequências de funções contínuas f_n:[0,1]--R,
 convergindo simplesmente para a função f:[0,1]--R tal que f(x)=0 para x
 racional e f(x)=1 quando x é irracional.
Pense no que acontece para que f_n(1/2) - 0, e nos pontos da
vizinhança de 1/2 para este n fixo. Agora, pense nos outros pontos
pontos racionais perto de 1/2, e repita o argumento. Agora, lembre que
os racionais são densos, e que você tem um monte de vizinhanças em
todos os pontos racionais.
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Sequências de Funções

2013-02-07 Por tôpico Sandoel Vieira 
Na hora de escrever torna-se um pouco complicado. Tentei mostrar supondo que 
existe e depois tentando, por exemplo, limitar a imagem de f numa vizinhança de 
um racional, por um número menor que 1, mas não consegui argumentar direito.

Att.Sandoel Vieira(86) 8117-6966

 Date: Thu, 7 Feb 2013 12:16:28 -0500
 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Sequências de Funções
 From: bernardo...@gmail.com
 To: obm-l@mat.puc-rio.br
 
 2013/2/7 Sandoel Vieira sandoe...@hotmail.com:
  Mostre que não existe uma sequências de funções contínuas f_n:[0,1]--R,
  convergindo simplesmente para a função f:[0,1]--R tal que f(x)=0 para x
  racional e f(x)=1 quando x é irracional.
 Pense no que acontece para que f_n(1/2) - 0, e nos pontos da
 vizinhança de 1/2 para este n fixo. Agora, pense nos outros pontos
 pontos racionais perto de 1/2, e repita o argumento. Agora, lembre que
 os racionais são densos, e que você tem um monte de vizinhanças em
 todos os pontos racionais.
 -- 
 Bernardo Freitas Paulo da Costa
 
 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 =

[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Sequências de Funções

2013-02-07 Por tôpico Artur Costa Steiner 
Há um teorema que diz que, se f_n é uma sequência de funções reais
contínuas que converge em um intervalo de R para uma função f, então o
conjunto dos elementos em que f é descontínua é de 1a categoria na
classificação de Baire, isto é, está contido numa união enumerável de
conjuntos fechados com interior vazio. Isto implica que o conjunto das
descontinuidades de f tenha interior vazio.

Mas sua função é descontínua em todo o [0, 1], que não tem interior vazio.
Logo, sua função não pode ser o limite de uma sequência de funções
contínuas.

Artur
Em 07/02/2013 21:54, Sandoel Vieira sandoe...@hotmail.com escreveu:

 Na hora de escrever torna-se um pouco complicado. Tentei mostrar supondo
 que existe e depois tentando, por exemplo, limitar a imagem de f
 numa vizinhança de um racional, por um número menor que 1, mas não consegui
 argumentar direito.

 *Att.*
 *Sandoel Vieira*
 *(86) 8117-6966*


  Date: Thu, 7 Feb 2013 12:16:28 -0500
  Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Sequências de Funções
  From: bernardo...@gmail.com
  To: obm-l@mat.puc-rio.br
 
  2013/2/7 Sandoel Vieira sandoe...@hotmail.com:
   Mostre que não existe uma sequências de funções contínuas
 f_n:[0,1]--R,
   convergindo simplesmente para a função f:[0,1]--R tal que f(x)=0 para
 x
   racional e f(x)=1 quando x é irracional.
  Pense no que acontece para que f_n(1/2) - 0, e nos pontos da
  vizinhança de 1/2 para este n fixo. Agora, pense nos outros pontos
  pontos racionais perto de 1/2, e repita o argumento. Agora, lembre que
  os racionais são densos, e que você tem um monte de vizinhanças em
  todos os pontos racionais.
  --
  Bernardo Freitas Paulo da Costa
 
  =
  Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
  http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
  =

[obm-l] RE: [obm-l] Sequências

2012-01-31 Por tôpico Felippe Coulbert Balbi 

Sim, existem infinitos padrões para isso!
GratoCoulbert

Date: Sun, 29 Jan 2012 16:28:57 -0800
From: mathhawk2...@yahoo.com.br
Subject: [obm-l] Sequências
To: obm-l@mat.puc-rio.br

Senhores,

Resolvendo uma questão de concurso para um aluno, deparei-me com a seguinte 
questão:

01. Calcule o próximo termo da sequência 2,5,67,...

Não seria essa questão passível de recurso, uma vez que existem infinitas 
sequências que contemplam tais valores?

Grato, 

Alan

[obm-l] Re: [obm-l] Sequências Binárias e Concatenação

2010-10-06 Por tôpico Bernardo Freitas Paulo da Costa 
Bruno, você poderia explicar a sua notação... essa é uma lista de
matemática olímpica, e não foi todo mundo que entendeu o que era A^2.
E, dos que compreenderam porque as letras a,b,c dão seqüências
binárias (eu acho que estou nessa categoria, mas aguardo a sua
resposta... principalmente para a c), nem todos sabem o que é gerada
univocamente. Nem sempre é fácil dosar o quanto de definições dar
(com o risco de parecer redundante), mas se você der as definições
após o enunciado (por exemplo) aqueles que souberem, já terão
entendido tudo e podem te ajudar, e os que não tiverem entendido mas
ficado curiosos e querendo fazer o problema, lerão o resto e poderão
tentar resolver e em seguida te responder.

E, voltando ao tema matemática olímpica, isso é de uma olimpíada de
informática/programação ?
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa


2010/10/5 Bruno Collares collares.br...@hotmail.com:
 Seja A={01,100,101}, e B={0,1,11}. Decida se as sequências binárias abaixo
 são geradas univocamente:

 a) A*
 b) B*
 c) {00}*A*

 Obs: A*=EUAUA²UA³U...

 Grato


 BRUNO MARQUES COLLARS


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Sequências

2009-07-22 Por tôpico Bernardo Freitas Paulo da Costa 
Se eu não me engano, esse exercício vem muito antes de saber a
aproximação de Stirling que você deu.

Aline, o capítulo que você está estudando te dá vários métodos de
cálculo de limites : primeiro, você pode usar toda a álgebra possível
(soma de limites = limite da soma, vale para produto, divisão desde
que sejam operações bem definidas) e além disso você tem dois testes
para ver se vai pra infinito ou para zero, que são o teste da razão e
o teste da raiz. Use e abuse deles, que são muito úteis não só em
sequências, mas também em séries. Conhecer (e demonstrar) equivalentes
é uma técnica muito poderosa, mas as noções de base são mais
importantes ainda, porque permitem memorizar menos, e dar respostas
mais claras do que tirar um equivalente do chapéu :)

Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa


2009/7/18 Carlos Alberto da Silva Victor victorcar...@globo.com:
 Olá  Aline,
 use  o fato  de  que n! é equivalente a (n^n).(e^(-n)).sqrt(2.pi.n),ok ?

 Abraços

 Carlos  Victor

 2009/7/17 Aline Correa alineuerj1...@gmail.com

 Olá pessoal, não estou conseguindo resolver a questão abaixo do livro de
 Análise I do Elon, alguém pode me ajudar?
 Questão 3 da seção 4 do capítulo 3:
 Dados k pertence a N e a  0, determine o limite
 (n tendendo a infinito)- lim n! / n(elevado a K).a(elevado a n)
 Supondo a  0 e a diferente de e calcule
 (n tendendo a infinito)- lim a(elevado a n).n! / n(elevado a n)
 e (n tendendo a infinito)- lim n(elevado a K).a(elevado a n)n! /
 n(elevado a n)

 Grata,

 Aline.

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Sequências

2009-07-17 Por tôpico Carlos Alberto da Silva Victor 
Olá  Aline,
use  o fato  de  que n! é equivalente a (n^n).(e^(-n)).sqrt(2.pi.n),ok ?

Abraços

Carlos  Victor

2009/7/17 Aline Correa alineuerj1...@gmail.com

 Olá pessoal, não estou conseguindo resolver a questão abaixo do livro de
 Análise I do Elon, alguém pode me ajudar?
 Questão 3 da seção 4 do capítulo 3:
 Dados k pertence a N e a  0, determine o limite
 (n tendendo a infinito)- lim n! / n(elevado a K).a(elevado a n)
 Supondo a  0 e a diferente de e calcule
 (n tendendo a infinito)- lim a(elevado a n).n! / n(elevado a n)
 e (n tendendo a infinito)- lim n(elevado a K).a(elevado a n)n! / n(elevado
 a n)

 Grata,

 Aline.

[obm-l] Re: [obm-l] Sequências de números reais

2009-07-14 Por tôpico jose 
tente por absurdo!vai concluir que a=b



2009/7/6 Aline Correa alineuerj1...@gmail.com

 Estou tentando resolver os exercícios do capítulo 3 do livro de Análise
 Real I do Elon e não estou conseguindo fazer algumas questões. Alguém
 poderia me ajudar?
 Segue abaixo as questões:

 Sejam lim xn = a e lim yn = b. Se a  b, prove que existe n0 pertence N tal
 que n  n0 = xn  yn.

 Diz-se que (xn) é uma sequência de Cauch quando, para todo E  0 dado,
 existe n0 pertence N tal que m, n  n0 = |xm - xn|  E.

 Desde já grata.

[obm-l] Re: [obm-l] Sequências de números reais

2009-07-06 Por tôpico Paulo Santa Rita 
Ola Aline,

A demonstracao direta costuma esconder a essencia da coisa. E
necessário voce visualiza-la antes de monta-la. No caso particular sob
consideracao, IMAGINE o ponto medio entre a e b, isto e, imagine
c=(a+b) / 2. Vai chegar um momento que os Yn's  ESTARAO e PERMANECERAO
a direita de c e os X's ESTARAO e PERMANECERAO a esquerda de c.
Quando isso ocorre teremos que Xn  Yn ...

Rigorosamente falando, podemos escrever assim :

Seja E = (b - a) / 2. Entao E  0, pois b  a. Logo, por definicao de
LIMITE, temos que :

1) Existe um natural N1 tal que n  N1 implica Xn pertence a (a - E, a
+ E). Como E=(b-a)/2 segue que existe N1 tal que n  N1 implica Xn 
a+E = (a+b) /2, isto e, n  N1 = Xn  (a+b) / 2

2) Existe um natural N2 tal que n  N2 implica Yn pertence a
(b-E,b+E). Como E=(b-a)/2 segue que
existe N2 talo que n  N2 implica Yn  b-E = (a+b) /2

Tomando N3 = max{N1,N2} vemos que para n  N3 implica que Xn  (a+b)/2
 Yn, ou seja , para todo natural n  N3 teremos que Xn  Yn, que é o
que queriamos demonstrar.

Um abraco a todos !
PSR,21807091207









Como  a  b,  seja  E = (b - a) / 2. Entao E  0. Por definicao existe
um natural No tal que N  No implica que Yn pertence a (b-E,b+E), vale
dizer,

2009/7/6 Aline Correa alineuerj1...@gmail.com:
 Estou tentando resolver os exercícios do capítulo 3 do livro de Análise Real
 I do Elon e não estou conseguindo fazer algumas questões. Alguém poderia me
 ajudar?
 Segue abaixo as questões:

 Sejam lim xn = a e lim yn = b. Se a  b, prove que existe n0 pertence N tal
 que n  n0 = xn  yn.

 Diz-se que (xn) é uma sequência de Cauch quando, para todo E  0 dado,
 existe n0 pertence N tal que m, n  n0 = |xm - xn|  E.

 Desde já grata.

=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] sequências....

2003-07-21 Por tôpico yurigomes 
  Oi Crom,
 Aih vão as soluções:

 1) Vamos mostrar por indução. Para n=1, temos a_1^3=a_1^2 = a_1=0 ou a_1=1.OK.
Além disso, 1+ 8.a_1 é quadrado perfeito.
 Suponha por indução que a_1, ...a_(n-1) sejam inteiros e que 1+ 8(a_1+...+a_(n-1)).(
Vc vai jah perceber pq essa ultima condição). Logo
  a_1^3+...+a_n^3= (a_1+...+a_n)^2 =
(a_1^3+...+a_(n-1)^3)+ a_n^3= (a_1+...+a_(n-1))^2+ 2.a_n.(a_1+...+a_(n-1))+
a_n^2 =
=a_n^3= 2.a_n.(a_1+...+a_(n-1))+ a_n^2 =
= a_n=0 ou  a_n^2= 2.(a_1+...+a_(n-1))+ a_n =
=  a_n^2- a_n- 2.(a_1+...+a_(n-1))=0.
   delta= 1+ 8(a_1+...+a_(n-1)), que por indução, é quadrado perfeito (e
ímpar, como se pode ver).
 Assim, a_n= [1+- sqr(1+ 8(a_1+...+a_(n-1))]/2, que em qq dos casos é inteiro!
Para completar a indução, mostremos que 1+8(a_1+...+a_n) tbm é quadrado
perfeito.
 De fato:
 a_n^2= 2.(a_1+...+a_(n-1))+ a_n =  1+8(a_1+...+a_n)= 4.a_n^2+ 4.a_n+ 1=
(2.a_n+ 1)^2, e assim a indução está completa.

 2) Escolha a_1= 1, a_2= -1, a_3= 2, a_4= -2, a_5= 3 e a_6= -3. Logo: muitos
termos se cancelam, e o problema se reduz a achar quatro reais a, b, c,
d t.q.
 (x- a)(x- b)(x- c)(x- d)= (x+ a)(x+ b)(x+ c)(x+ d).
  Vc pode observar que essa igualdade se reduz a um polinômio de grau 3,
da forma
   p(x)= r.x^3+ s.x
x=0 satisfaz tal equação, e p(x)/x= r.x^2+ s, que tem duas raízes reais
sss r.s 0. Veja que r= (a+b+c+d) e s= abcd(1/a+ 1/b+ 1/c+ 1/d). Tomando
a, b, c, d tais que esse produto dê negativo( por exemplo: a= 4, b=5, c=6
e d=-7, temos r0 e s0), as raízes 0, x_1 e x_2 de p(x) satisfazem a equação
inicial. Além disso, -x_1 e -x_2 tbm satisfazem, como é fácil de se verificar.
Daí, temos exatamente cinco soluções distintas.



-- Mensagem original --


1)A sequência de números reais ( a_1,a_2,,a_2000) satisfaz a condição:
a_1^3+a_2^3++a_n^3=(a_1+a_2++a_n)^2 para todo n, 1=n=2000. Mostre

que todo elemento da sequência é um número inteiro.
2) Prove a existência de números reais distintos a_1,a_2,...a_10 tais que
a
equação
(x-a_1)(x-a_2)(x-a_10)=(x+a_1)(x+a_2).(x+a_10), possui exatamente
5
raízes distintas...
Qualquer ajuda, eu agradeço.
   Crom


[]'s, Yuri
ICQ: 64992515


--
Use o melhor sistema de busca da Internet
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=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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=

[obm-l] Re: [obm-l] Sequências

2003-01-27 Por tôpico Domingos Jr. 



seja x³ = x.x.x
a² - b² = (a+b).(a-b)
tome
a + b = x² == a = x²- 
b
a - b = x

x² -2b -x = 0
x(x-1) = 2b
b = x(x-1)/2
a + x(x-1)/2 = x²
a = x(x+1)/2

a² - b² = (a+b).(a-b) = (x²).(x) = x³


  - Original Message - 
  From: 
  Wagner 
  To: [EMAIL PROTECTED] 
  Sent: Monday, January 27, 2003 11:11 
  AM
  Subject: [obm-l] Sequências
  
  Provar que todo cubo de um número inteiro é a 
  diferença de dois quadrados de números inteiros
  
  André T.

[obm-l] Re: [obm-l] Sequências

2003-01-27 Por tôpico Cláudio \(Prática\) 



Use o seguinte fato:

Para todo inteiro positivo n, vale:
1^3 + 2^3 + ... + n^3 = (1 + 2 + ... + 
n)^2

que pode ser demonstrado sem muito problema por 
indução.

Daí: 
n^3 = (1^3 + 2^3 + ... + n^3) - [1^3 + 2^3 + ... + 
(n-1)^3] =
= (1 + 2 + ... + n)^2 - [1 + 2 + ... + 
(n-1)]^2 =
= [n*(n+1)/2]^2 - [n*(n-1)/2]^2

Um abraço,
Claudio.

  - Original Message - 
  From: 
  Wagner 
  To: [EMAIL PROTECTED] 
  Sent: Monday, January 27, 2003 12:11 
  PM
  Subject: [obm-l] Sequências
  
  Provar que todo cubo de um número inteiro é a 
  diferença de dois quadrados de números inteiros
  
  André T.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Sequências

2003-01-27 Por tôpico Nicolau C. Saldanha 
On Mon, Jan 27, 2003 at 02:17:38PM -0300, Domingos Jr. wrote:
 seja x³ = x.x.x
 a² - b² = (a+b).(a-b)
 tome
 a + b = x²  == a = x² - b
 a - b = x
 
 x² -2b - x = 0
 x(x-1) = 2b
 b = x(x-1)/2
 a + x(x-1)/2 = x²
 a = x(x+1)/2
 
 a² - b² = (a+b).(a-b) = (x²).(x) = x³
 
   - Original Message - 
   From: Wagner 
   To: [EMAIL PROTECTED] 
   Sent: Monday, January 27, 2003 11:11 AM
   Subject: [obm-l] Sequências
 
 
   Provar que todo cubo de um número inteiro é a diferença de dois quadrados de 
números inteiros
 
   André T.

Está certo; faltou talvez observar que a é inteiro já que n e n^2
têm a mesma paridade.

Observe que o que está sendo demonstrado é que n pode ser escrito
como diferença de dois quadrados desde que possa ser fatorado
em dois fatores ímpares ou dois fatores pares. Ou seja, n é diferença
de dois quadrado se e somente se *não* é da forma 4k+2.

[]s, N.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED]
=

[obm-l] Re: [obm-l] Sequências de Cauchy

2002-12-23 Por tôpico Nicolau C. Saldanha 
On Mon, Dec 23, 2002 at 10:17:59AM -0200, Wagner wrote:
 Olá para todos !
 
 Se a é um número irracional e S é uma sequência convergente e com
 infinitos termos, tal que

  a = SOMATÓRIO Si  .
   i = 1
 Pode-se considerar que existe uma sequência S, tal que Si
 é um número racional para todo i natural ?

Está um pouco confuso. O que eu *acho* que está sendo perguntado
é se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa.

  Para todo número irracional a existe uma seqüência s_i de números
  racionais tal que a série

s_1 + s_2 + s_3 + ... + s_n

  converge para a.

A afirmação é claramente verdadeira, basta pegar as diferenças entre
termos consecutivos de uma seqüência de racionais que tenda para a.
Para construir uma tal seqüência tome aproximações decimais
ou binárias ou dadas por frações continuadas.

[]s, N.
=
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=