[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Radiciação
Obrigado, questão fácil, não sei como não pensei nisso! Em seg, 27 de ago de 2018 às 21:21, Artur Steiner < artur.costa.stei...@gmail.com> escreveu: > n^2 -10n +29 = (n- 5)^2 + 4 > (n - 5)^2. Logo, sqrt(n^2 -10n +29) > n - 5 > > n^2 -10n +29 = (n - 4)^2 - (2n -13) < (n - 4)^2 para n > 6. Logo, para n > > 6, sqrt(n^2 -10n +29) < n - 4. > > O inteiro pedido é portanto 20062006 - 5 = 20062001 > > Artur Costa Steiner > > Em seg, 27 de ago de 2018 19:33, Daniel Quevedo > escreveu: > >> O maior inteiro que não excede a sqrt(n^2 -10n +29) para n = 20062006 é >> igual a: >> A) 20062001 >> B)20062002 >> C) 20062003 >> D) 20062004 >> E)20062005 >> >> R: a >> -- >> Fiscal: Daniel Quevedo >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Fiscal: Daniel Quevedo -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Radiciação
n^2 -10n +29 = (n- 5)^2 + 4 > (n - 5)^2. Logo, sqrt(n^2 -10n +29) > n - 5 n^2 -10n +29 = (n - 4)^2 - (2n -13) < (n - 4)^2 para n > 6. Logo, para n > 6, sqrt(n^2 -10n +29) < n - 4. O inteiro pedido é portanto 20062006 - 5 = 20062001 Artur Costa Steiner Em seg, 27 de ago de 2018 19:33, Daniel Quevedo escreveu: > O maior inteiro que não excede a sqrt(n^2 -10n +29) para n = 20062006 é > igual a: > A) 20062001 > B)20062002 > C) 20062003 > D) 20062004 > E)20062005 > > R: a > -- > Fiscal: Daniel Quevedo > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Radiciação
O maior inteiro que não excede a sqrt(n^2 -10n +29) para n = 20062006 é igual a: A) 20062001 B)20062002 C) 20062003 D) 20062004 E)20062005 R: a -- Fiscal: Daniel Quevedo -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Re:[obm-l] Radiciação 8ª série
perguntam: Professor, mas se eu não racionalizar fica errado? E você, como matemático, não pode dizer que fica. Outra pergunta do tipo é: Professor, mas precisa sempre simplificar a fração? Enfim, talvez uma outra justificativa seja a elegância, pois que a matemática precisa ser elegante. Assim sendo, diga ao aluno: Precisa, para ficar mais elegante... Um abraço, Eduardo - Mensagem original De: vitoriogauss Para: obm-l Enviadas: Terça-feira, 19 de Fevereiro de 2008 14:03:02 Assunto: [obm-l] Radiciação 8ª série Olá colegas, Estou ensinando radiciação na 8ª. Vou entrar em racionalização de denominadores, porém no site do BIGODE, o mesmo diz que racionalização só é importante para a prova de radiciação.. . Ou seja, não é interessante ensinar racionalização, pois não há mudança no resultado. Eu não concordo, particulamente, porque a matemática não é feita de coisas sem uso, digamos assim. Deve existir uma aplicabilidade. Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! http://br.mail.yahoo.com/ Vitório Gauss -- Julio Cesar Conegundes da Silva Vitório Gauss = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re:[obm-l] Radiciação 8ª série
Vestibular, vestibular, vestibular... engenharia, engenharia, engenharia... trabalho de arquitetura... o que fizeram com o nosso gosto pelo saber? On 2/20/08, flnlucatelli . [EMAIL PROTECTED] wrote: Acho importante! e DESPREZO isso de que é formação tecnólogica ou treinar calculadoras! Trabalhar com questões mais complicadas de racionalização de denominadores faz com que o aluno fique mais familiarizado com o assunto... e tais exercícios não tem lá muitos cálculos não!!! É necessário efetuar mais cálculos para demonstrar a fórmula do desarranjo do que parafazer esses exercícios! O aluno precisa dominar bastante esse assunto: vc gostaria de ver seu aluno parando diante de um trabalho de arquitetura ou engenharia para ver se dois números (um racionalizado e outro não) são iguais, no pc? Na época que eu era estudante, mudei de colégio várias vezes... um professor havia trabalhado bastante, na turma, com racionalização (pois era preparatório para concursos militares)... e cheguei no outro e o professor da turma havia trabalhado com eles só casos triviais: era muito trite como os alunos sofriam em assuntos posteriores (como geometria plana) por causa de racionalização de denominadores! Ex.: Eu era monitor da turma, em matemática. Uma vez, um aluno excelente (que, aliás, competi com ele o cargo de monitoria, na época), assumiu que um problema de geometria plana tinha duas soluções... pois ele fazia de 2 maneiras completamente corretas e, cada maneira, dava um número diferente, que, na verdade, não era diferente; mas 1 vinha racionalizado e outro não! Por orgulho, ele não recorreu a mim... e saiu com essa crença Racionalização de denominadores, fatoração, trigonometria são assuntos que vc não pode querer diminuir com medo de exceder nos cálculos; pois por mais complexo o nível que vc chegue nesses assuntos, eles vão ser sempre triviais e importantíssimos! Procure ter receio de exceder em outro assunto: racionalização não; pois esse, quanto mais familiarização o aluno tiver, melhor! Se vc mostrar só os casos triviais, nem com os casos triviais eles vão ficar familiarizados! Quer dizer, exceder em racionalização (e assuntos base do tipo) não é pecado; porém faltar um pouquinho é mortal para o aluno... E faltando esse pouquinho, o aluno vai sempre ter uma dúvida em assuntos posteriores (que, talvez, por orgulho ou por timidez, não vai tirá-la) e vai virar uma bola de neve: até que ele declara odiar matemática ou coisa do tipo (mesmo sendo um bom aluno ou, pontencialmente, bom aluno) ABraço, Fernando Em 20/02/08, vitoriogauss[EMAIL PROTECTED] escreveu: É verdade. Olha, o que vou fazer é não demorar muito na aula, não gastar muito tempo com preciosismos...ensino o suficiente, talvez até com uma ficha extra como curiosidade. Pq eu estava antes deste lema colocado aqui, fazer racionalizações mais complicadas...percebo que isso será prejudicial. Mas quem quiser fazer ITA-IME, EN, ou CN...no futuro vai aproveitar (penso eu). Muito grato pela ajuda -- Julio Cesar Conegundes da Silva
Re: [obm-l] Re:[obm-l] Radiciação 8ª série
Certo e o nosso gosto pelo saber! Racionalização tbm é um saber! Obs.: o gosto pelo saber, normalmente, só fica com os matemáticos os que querem alguma coisa parecida com ITA e etc... o resto, normalmente, não sabe o que é isso (CLARO QUE ISSO É UM RESULTADO COMPLETAMENTE EMPÍRICO) Em 20/02/08, Julio Cesar Conegundes da Silva[EMAIL PROTECTED] escreveu: Vestibular, vestibular, vestibular... engenharia, engenharia, engenharia... trabalho de arquitetura... o que fizeram com o nosso gosto pelo saber? On 2/20/08, flnlucatelli . [EMAIL PROTECTED] wrote: Acho importante! e DESPREZO isso de que é formação tecnólogica ou treinar calculadoras! Trabalhar com questões mais complicadas de racionalização de denominadores faz com que o aluno fique mais familiarizado com o assunto... e tais exercícios não tem lá muitos cálculos não!!! É necessário efetuar mais cálculos para demonstrar a fórmula do desarranjo do que parafazer esses exercícios! O aluno precisa dominar bastante esse assunto: vc gostaria de ver seu aluno parando diante de um trabalho de arquitetura ou engenharia para ver se dois números (um racionalizado e outro não) são iguais, no pc? Na época que eu era estudante, mudei de colégio várias vezes... um professor havia trabalhado bastante, na turma, com racionalização (pois era preparatório para concursos militares)... e cheguei no outro e o professor da turma havia trabalhado com eles só casos triviais: era muito trite como os alunos sofriam em assuntos posteriores (como geometria plana) por causa de racionalização de denominadores! Ex.: Eu era monitor da turma, em matemática. Uma vez, um aluno excelente (que, aliás, competi com ele o cargo de monitoria, na época), assumiu que um problema de geometria plana tinha duas soluções... pois ele fazia de 2 maneiras completamente corretas e, cada maneira, dava um número diferente, que, na verdade, não era diferente; mas 1 vinha racionalizado e outro não! Por orgulho, ele não recorreu a mim... e saiu com essa crença Racionalização de denominadores, fatoração, trigonometria são assuntos que vc não pode querer diminuir com medo de exceder nos cálculos; pois por mais complexo o nível que vc chegue nesses assuntos, eles vão ser sempre triviais e importantíssimos! Procure ter receio de exceder em outro assunto: racionalização não; pois esse, quanto mais familiarização o aluno tiver, melhor! Se vc mostrar só os casos triviais, nem com os casos triviais eles vão ficar familiarizados! Quer dizer, exceder em racionalização (e assuntos base do tipo) não é pecado; porém faltar um pouquinho é mortal para o aluno... E faltando esse pouquinho, o aluno vai sempre ter uma dúvida em assuntos posteriores (que, talvez, por orgulho ou por timidez, não vai tirá-la) e vai virar uma bola de neve: até que ele declara odiar matemática ou coisa do tipo (mesmo sendo um bom aluno ou, pontencialmente, bom aluno) ABraço, Fernando Em 20/02/08, vitoriogauss[EMAIL PROTECTED] escreveu: É verdade. Olha, o que vou fazer é não demorar muito na aula, não gastar muito tempo com preciosismos...ensino o suficiente, talvez até com uma ficha extra como curiosidade. Pq eu estava antes deste lema colocado aqui, fazer racionalizações mais complicadas...percebo que isso será prejudicial. Mas quem quiser fazer ITA-IME, EN, ou CN...no futuro vai aproveitar (penso eu). Muito grato pela ajuda -- Julio Cesar Conegundes da Silva = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re:[obm-l] Res: [obm-l] Radiciação 8ª série
Shine, nós não estamos falando do mesmo assunto. Matemática é arte tanto quanto literatura, filosofia, etc. Se o cara da 8a série sabe simplificar as contas dele. Bom para ele. Mas, o que adianta ele saber fazer contas sem saber o por que não existe inverso multiplicativo do elemento 0? Que a definição de multiplicação de matrizes que ele tem no ensino médio tem a ver com coisas tão maravilhosas como o Teorema Espectral? O cara vai quem sabe ser um bom engenheiro. Mas como ele vai criar algo que não seja corolário imediato das coisas que limitaram ele a pensar? Talvez se ele for um gênio... Mas e se não for? A minha tese é a seguinte: Ensinemos fazer contas. Mas como lemas ou corolários e não como o resultado principal. On 2/19/08, Carlos Yuzo Shine [EMAIL PROTECTED] wrote: Saber racionalizar denominadores tem algumas conseqüências práticas também. Imagine que a resposta de um problema seja 1/(sqrt(3) + sqrt(2)) + 1/(sqrt(2) + 1) + 1. Poderíamos deixar do jeito que está e fazer numa calculadora, mas veja o que acontece quando a gente racionaliza: obtemos sqrt(3) - sqrt(2) + sqrt(2) - 1 + 1 = sqrt(3), que é muito mais agradável (nesse caso, é realmente uma questão estética). Além disso, sou a favor do ensino da racionalização por motivos didáticos. Ao racionalizar um denominador você está, ao mesmo tempo, aplicando a definição de raiz (quadrada ou de índice maior) e utilizando idéias de fatoração (e devemos concordar que a maior parte dos alunos não têm disponível um software que fatora). Assim é uma fantástica oportunidade de sedimentar tais conceitos (entendendo melhor o que é raiz quadrada, suas conseqüências algébricas, mostrando uma aplicação da fatoração da diferença de quadrados, etc), além de aprender uma técnica nova que pode, em muitos casos, simplificar cálculos. Ademais, divisão de complexos nada mais é do que uma racionalização de denominadores disfarçada; Sobre o uso de calculadoras, queiram ou não, por mais que digamos que Matemática seja a ciência do raciocínio lógico, em Matemática também se faz conta e uma das habilidades importantes que deve ser parte da cultura geral de qualquer pessoa é saber fazer o mínimo de conta, com ou sem o auxílio de computadores. Porque não adianta jogar no computador se não se entende o que se está fazendo (e infelizmente, vejo isso com mais freqüência do que eu gostaria); e mais ainda, não se entende álgebra se não se entende aritmética. Além disso, a confiança nos computadores pode ser muito perigosa: por exemplo, por erros de Cálculo Numérico (outra matéria pouco popular entre os estudantes), um foguete americano explodiu e uma plataforma de petróleo afundou. Vejam http://www.ima.umn.edu/~arnold/disasters/http://www.ima.umn.edu/%7Earnold/disasters/ Outro exemplo favorito é o filme Apollo 13, quando os computadores foram desligados e os astronautas tiveram que fazer as contas com papel e lápis! Não sei se isso realmente aconteceu, mas eu consigo imaginar um blackout ocorrendo numa empresa num momento de urgência... E, quanto a matrizes, além das inúmeras aplicações de Álgebra Linear (um exemplo é o próprio algoritmo de busca do Google, que usa um teorema sobre sistemas homogêneos para poder colocar as páginas mais relevantes primeiro), você pode abrir uma planilha no Excel: as matrizes estão lá, e uma das coisas que mais se faz em aplicações é multiplicar matrizes. - Original Message From: Julio Cesar Conegundes da Silva [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Tuesday, February 19, 2008 6:25:13 PM Subject: Re: [obm-l] Re:[obm-l] Res: [obm-l] Radiciação 8ª série Pessoal... estamos discutindo matemática ou formação tecnológica? Qual o objetivos das aulas do nosso colega? Ajudar mentes a se desenvolverem ou treinar calculadoras? Qual o significado do Teorema: Toda fração cujo denominador é formado por uma raíz enésima pode ser expressa como uma fração cujo denominador é um número real? Por si só isso tem significado? Quem não olharia como o Vitório para o seu professor e pensaria: Tá. E daí? ? Usar racionalização nos complexos é como usar um lema. Vc usa o lema (em uma área qualquer da matematica). Prova o que tem que ser provado. Daí vc encontra o significado de alguma coisa. A mesma coisa eu penso sobre ensinar teoria das matrizes no ensino médio. Para que ficar ensinando as coisas aos pedaços sem nunca completar o quebra-cabeças? Para alguém olhar o currículo de ensino médio e pensar: Oooh... eles sabem multiplicar uma matriz. On 2/19/08, vitoriogauss [EMAIL PROTECTED] wrote: Concordo na elegância Mas creio que o Bruno foi feliz em suas palavras. que não fiquemos escravos da vã tecnologia.. Eu lembro bem, que no meu Ceará, por incrível que pareçao professor me disse : Não pode deixar raiz no denominador...tem que racionalizar obrigatoriamente.. aí eu pensei...pela definição de racionais temos que a/b, com a e b inteiros e b
Re: [obm-l] Re:[obm-l] Radiciação 8ª série
Obs.: o gosto pelo saber, normalmente, só fica com os matemáticos os que querem alguma coisa parecida com ITA e etc... o resto, normalmente, não sabe o que é isso (CLARO QUE ISSO É UM RESULTADO COMPLETAMENTE EMPÍRICO) Que absurdo! ... entao quem eh da PUC, UFRJ, Cornell, MIT, IMPA, USP, UNICAMP, nao tem gosto pelo saber. Sao fabricas de idiotas. Se vc for engenheiro ou matematico, vc envergonhou os colegas com esse comentario preconceituoso. Acho melhor vc se retratar. -- IVAN = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re:[obm-l] Radiciação 8ª série
Outra coisa, o papo eh sobre aulas para criancas da 8 serie, e nao eng e Mat e cientistas. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re:[obm-l] Res: [obm-l] Radiciação 8ª série
Interessante, mas continuo com o que eu disse! Esquece a parte do trabalho de arquitetura e leia o resto! Abraço Em 20/02/08, Julio Cesar Conegundes da Silva[EMAIL PROTECTED] escreveu: Shine, nós não estamos falando do mesmo assunto. Matemática é arte tanto quanto literatura, filosofia, etc. Se o cara da 8a série sabe simplificar as contas dele. Bom para ele. Mas, o que adianta ele saber fazer contas sem saber o por que não existe inverso multiplicativo do elemento 0? Que a definição de multiplicação de matrizes que ele tem no ensino médio tem a ver com coisas tão maravilhosas como o Teorema Espectral? O cara vai quem sabe ser um bom engenheiro. Mas como ele vai criar algo que não seja corolário imediato das coisas que limitaram ele a pensar? Talvez se ele for um gênio... Mas e se não for? A minha tese é a seguinte: Ensinemos fazer contas. Mas como lemas ou corolários e não como o resultado principal. On 2/19/08, Carlos Yuzo Shine [EMAIL PROTECTED] wrote: Saber racionalizar denominadores tem algumas conseqüências práticas também. Imagine que a resposta de um problema seja 1/(sqrt(3) + sqrt(2)) + 1/(sqrt(2) + 1) + 1. Poderíamos deixar do jeito que está e fazer numa calculadora, mas veja o que acontece quando a gente racionaliza: obtemos sqrt(3) - sqrt(2) + sqrt(2) - 1 + 1 = sqrt(3), que é muito mais agradável (nesse caso, é realmente uma questão estética). Além disso, sou a favor do ensino da racionalização por motivos didáticos. Ao racionalizar um denominador você está, ao mesmo tempo, aplicando a definição de raiz (quadrada ou de índice maior) e utilizando idéias de fatoração (e devemos concordar que a maior parte dos alunos não têm disponível um software que fatora). Assim é uma fantástica oportunidade de sedimentar tais conceitos (entendendo melhor o que é raiz quadrada, suas conseqüências algébricas, mostrando uma aplicação da fatoração da diferença de quadrados, etc), além de aprender uma técnica nova que pode, em muitos casos, simplificar cálculos. Ademais, divisão de complexos nada mais é do que uma racionalização de denominadores disfarçada; Sobre o uso de calculadoras, queiram ou não, por mais que digamos que Matemática seja a ciência do raciocínio lógico, em Matemática também se faz conta e uma das habilidades importantes que deve ser parte da cultura geral de qualquer pessoa é saber fazer o mínimo de conta, com ou sem o auxílio de computadores. Porque não adianta jogar no computador se não se entende o que se está fazendo (e infelizmente, vejo isso com mais freqüência do que eu gostaria); e mais ainda, não se entende álgebra se não se entende aritmética. Além disso, a confiança nos computadores pode ser muito perigosa: por exemplo, por erros de Cálculo Numérico (outra matéria pouco popular entre os estudantes), um foguete americano explodiu e uma plataforma de petróleo afundou. Vejam http://www.ima.umn.edu/~arnold/disasters/ Outro exemplo favorito é o filme Apollo 13, quando os computadores foram desligados e os astronautas tiveram que fazer as contas com papel e lápis! Não sei se isso realmente aconteceu, mas eu consigo imaginar um blackout ocorrendo numa empresa num momento de urgência... E, quanto a matrizes, além das inúmeras aplicações de Álgebra Linear (um exemplo é o próprio algoritmo de busca do Google, que usa um teorema sobre sistemas homogêneos para poder colocar as páginas mais relevantes primeiro), você pode abrir uma planilha no Excel: as matrizes estão lá, e uma das coisas que mais se faz em aplicações é multiplicar matrizes. - Original Message From: Julio Cesar Conegundes da Silva [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Tuesday, February 19, 2008 6:25:13 PM Subject: Re: [obm-l] Re:[obm-l] Res: [obm-l] Radiciação 8ª série Pessoal... estamos discutindo matemática ou formação tecnológica? Qual o objetivos das aulas do nosso colega? Ajudar mentes a se desenvolverem ou treinar calculadoras? Qual o significado do Teorema: Toda fração cujo denominador é formado por uma raíz enésima pode ser expressa como uma fração cujo denominador é um número real? Por si só isso tem significado? Quem não olharia como o Vitório para o seu professor e pensaria: Tá. E daí? ? Usar racionalização nos complexos é como usar um lema. Vc usa o lema (em uma área qualquer da matematica). Prova o que tem que ser provado. Daí vc encontra o significado de alguma coisa. A mesma coisa eu penso sobre ensinar teoria das matrizes no ensino médio. Para que ficar ensinando as coisas aos pedaços sem nunca completar o quebra-cabeças? Para alguém olhar o currículo de ensino médio e pensar: Oooh... eles sabem multiplicar uma matriz. On 2/19/08, vitoriogauss [EMAIL PROTECTED] wrote: Concordo na elegância Mas creio que o Bruno foi feliz em suas palavras. que não fiquemos escravos da vã tecnologia.. Eu lembro bem, que no meu Ceará, por incrível que pareça
[obm-l] Radiciação 8ª série
Olá colegas, Estou ensinando radiciação na 8ª. Vou entrar em racionalização de denominadores, porém no site do BIGODE, o mesmo diz que racionalização só é importante para a prova de radiciação.. . Ou seja, não é interessante ensinar racionalização, pois não há mudança no resultado. Eu não concordo, particulamente, porque a matemática não é feita de coisas sem uso, digamos assim. Deve existir uma aplicabilidade.
Re: [obm-l] Radiciação 8ª série
Meu, a racionalização só serve para deixar o valor mais entendível... E, depois, fica mais fácil ensinar divisão dos números complexos... Em 19/02/08, vitoriogauss[EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá colegas, Estou ensinando radiciação na 8ª. Vou entrar em racionalização de denominadores, porém no site do BIGODE, o mesmo diz que racionalização só é importante para a prova de radiciação.. . Ou seja, não é interessante ensinar racionalização, pois não há mudança no resultado. Eu não concordo, particulamente, porque a matemática não é feita de coisas sem uso, digamos assim. Deve existir uma aplicabilidade. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Radiciação 8ª série
Pelo que eu sei, a muitos anos atrás era menos trabalhoso calcular o valor dígito à dígito de uma fração onde havia radicando só no numerador do que uma fração com radicando só no numerador. Hoje em dia com calculadoras e computadores as pesoas nem se lembram mais disso. Na minha opinião acho que seria mais interessante mostrar, por exemplo, que raiz de dois não é racional (e convencer os alunos que matemática não é uma coisa arbitrária ou inventada a esmo) do que ficar ensinando fazer várias contas que o coitado do aluno trabalha, trabalha, trabalha e depois se esquece um passso tem que estudar denovo. On 2/19/08, vitoriogauss [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá colegas, Estou ensinando radiciação na 8ª. Vou entrar em racionalização de denominadores, porém no site do BIGODE, o mesmo diz que racionalização só é importante para a prova de radiciação.. . Ou seja, não é interessante ensinar racionalização, pois não há mudança no resultado. Eu não concordo, particulamente, porque a matemática não é feita de coisas sem uso, digamos assim. Deve existir uma aplicabilidade. -- Julio Cesar Conegundes da Silva
[obm-l] Res: [obm-l] Radiciação 8ª série
Olá, De fato, se pensarmos bem, racionalizar um denominador significa torná-lo racional. Por exemplo, em vez de se escrever 1/raiz(2), escreve-se raiz(2)/2. Todavia, responda-me, com sinceridade, existe algum impedimento para que as raízes fiquem no denominador? De qualquer modo, creio que saber racionalizar, é, na verdade, importante, pois que quando assim o fazemos estamos treinando o conceito de raiz quadrada, cúbica, etc, no sentido de que um número, para sair da raiz n-ésima, precisa estar elevado à n-ésima potência. Talvez seja uma justificativa. O problema é que, em sala de aula, sempre vão ter aqueles que perguntam: Professor, mas se eu não racionalizar fica errado? E você, como matemático, não pode dizer que fica. Outra pergunta do tipo é: Professor, mas precisa sempre simplificar a fração? Enfim, talvez uma outra justificativa seja a elegância, pois que a matemática precisa ser elegante. Assim sendo, diga ao aluno: Precisa, para ficar mais elegante... Um abraço, Eduardo - Mensagem original De: vitoriogauss [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Terça-feira, 19 de Fevereiro de 2008 14:03:02 Assunto: [obm-l] Radiciação 8ª série Olá colegas, Estou ensinando radiciação na 8ª. Vou entrar em racionalização de denominadores, porém no site do BIGODE, o mesmo diz que racionalização só é importante para a prova de radiciação.. . Ou seja, não é interessante ensinar racionalização, pois não há mudança no resultado. Eu não concordo, particulamente, porque a matemática não é feita de coisas sem uso, digamos assim. Deve existir uma aplicabilidade. Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! http://br.mail.yahoo.com/
Re: [obm-l] Radiciação 8ª série
Então, o que eu ja pensei um pouco sobre isso. Acho que a unica função da racionalização é tornar o resultado mais facil de interpretar. Vamos supor que vc esta fazendo um exercicio e chega ao resultado: 1/sqrt(3). Eh muito mais facil de vc ter rapidamente uma noção de quanto isso vale se vc olhar a forma com o denominador racionalizado: sqrt(3) / 3; sabendo que sqrt(3) é mais ou menos 1.73, sabemos que isso ai da um pouquinho menos que 0.58, enquanto que seria mais dificil de chegar à mesma conclusão, com essa mesma precisão, so olhando pra 1/sqrt(3) (mesmo usando que sqrt(3) ~ 1.73, não é tao evidente que 1/1.73 ~= 0.6). Eu acho importante nesse aspecto, para que o aluno possa ter uma noção mais proxima à sua realidade (ie, ao valor que ele pode medir com a régua no triangulo que tinha o angulo cuja tangente originou o valor 1/sqrt(3) por exemplo) do que significa o valor que encontrou. Um exemplo mais evidente: suponha que vc concluiu que um segmento tem medida 1/(2 + sqrt(3)) cm. Quanto é isso, mais ou menos? Ora, multiplique por 2 - sqrt(3) em cima e em baixo, obtenha (2 - sqrt(3))/(4 - 3) = 2 - sqrt(3) ~= 0.27 cm, um valor bem mais facil de ver (tudo bem, forcei o denominador dar 1 neste caso, mas isso sempre deixa mais facil de ver o resutlado) Mais pra frente, quando os alunos forem estudar numeros complexos, se tiver um i no denominador, ele desaparecera com o mesmo raciocinio, e é muito mais facil dividir por um real do que por um complexo não real (muito mais facil no sentido de enxergar o quanto da) Abraço Bruno On 19/02/2008, vitoriogauss [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá colegas, Estou ensinando radiciação na 8ª. Vou entrar em racionalização de denominadores, porém no site do BIGODE, o mesmo diz que racionalização só é importante para a prova de radiciação.. . Ou seja, não é interessante ensinar racionalização, pois não há mudança no resultado. Eu não concordo, particulamente, porque a matemática não é feita de coisas sem uso, digamos assim. Deve existir uma aplicabilidade. -- Bruno FRANÇA DOS REIS msn: [EMAIL PROTECTED] skype: brunoreis666 tel: +33 (0)6 28 43 42 16 e^(pi*i)+1=0
Re: [obm-l] Radiciação 8ª série
Particularmente, acho importante. Certa vez, para uma turma de cursinho, escrevi: 1/sqrt(2) = sqrt(2)/2 A maioria ficou abismada. [ ]´s Angelo vitoriogauss [EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá colegas, Estou ensinando radiciação na 8ª. Vou entrar em racionalização de denominadores, porém no site do BIGODE, o mesmo diz que racionalização só é importante para a prova de radiciação.. . Ou seja, não é interessante ensinar racionalização, pois não há mudança no resultado. Eu não concordo, particulamente, porque a matemática não é feita de coisas sem uso, digamos assim. Deve existir uma aplicabilidade. - Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento!
Re: [obm-l] Radiciação 8ª série
Julio, concordo que com o uso de calculadoras e computadores o quadro é muito diferente. Porem acho importante formar o senso critico das pessoas. E com um passo tão simples, que pode até mesmo ser feito mentalmente em muitos casos, o aluno pode julgar e interpretar o seu resultado antes mesmo do seu colega do lado terminar de abrir o zipper da mochila pra pegar a calculadora. Alem disso, é importante conhecer o funcionamento daquilo que a calculadora ou o computador faz, para nao nos tornarmos escravos da tecnologia e acreditarmos em barbaridades que programas podem nos dizer. Não é raro vc achar um programa que solta uma resposta completamente absurda para um dado calculo, devido a limites da manipulacao de dados na memoria do computador que não foram previstos pelo programador (e não é raro programadores não tomarem o devido cuidado...) Abraço Bruno On 19/02/2008, Julio Cesar Conegundes da Silva [EMAIL PROTECTED] wrote: Pelo que eu sei, a muitos anos atrás era menos trabalhoso calcular o valor dígito à dígito de uma fração onde havia radicando só no numerador do que uma fração com radicando só no numerador. Hoje em dia com calculadoras e computadores as pesoas nem se lembram mais disso. Na minha opinião acho que seria mais interessante mostrar, por exemplo, que raiz de dois não é racional (e convencer os alunos que matemática não é uma coisa arbitrária ou inventada a esmo) do que ficar ensinando fazer várias contas que o coitado do aluno trabalha, trabalha, trabalha e depois se esquece um passso tem que estudar denovo. On 2/19/08, vitoriogauss [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá colegas, Estou ensinando radiciação na 8ª. Vou entrar em racionalização de denominadores, porém no site do BIGODE, o mesmo diz que racionalização só é importante para a prova de radiciação.. . Ou seja, não é interessante ensinar racionalização, pois não há mudança no resultado. Eu não concordo, particulamente, porque a matemática não é feita de coisas sem uso, digamos assim. Deve existir uma aplicabilidade. -- Julio Cesar Conegundes da Silva -- Bruno FRANÇA DOS REIS msn: [EMAIL PROTECTED] skype: brunoreis666 tel: +33 (0)6 28 43 42 16 e^(pi*i)+1=0
Re: [obm-l] Radiciação 8ª série
O meu ponto é o seguinte Bruno. Para que tentar ensinar uma criança da 8a série fazer o mesmo que a calculadora faz? Quem garante que ele vai se tornar um programador de calculadoras? Como vc mesmo disse temos que fazer com que as crianças entendam o espírito da coisa. Acho bem mais proveitoso o professor discutir o que é um número real ao invés de querer que as crianças saiam boas de conta. Eu me refiro a começar discutindo o que é um número naural a partir dos axiomas de Peano. Discutindo se os conceitos que nós temos de número fazem sentido ou não. Progredindo para os números racionais. Mostrando para os alunos que número não é um simbolo ou uma ferramenta de fazer contas e sim uma idéia ao mesmo tempo intuitiva e sofisticada que se comporta de maneira muito interessante e que nos lembra a coisas bem familiares. Enfim, saber o que a calculadora faz é importante. Mas tem coisas muito mais importantes que saber racionalizar um número. O que esperamos que a criança aprenda sabendo ela transformar uma fração com raíz no denominador em uma fração com raíz no numerador? Queremos que ela aprenda que ela é mais lenta que a calculadora em fazer cálculos ou que ela tenha consciencia de que o que o cérebro dela faz nenhum computador faz? On 2/19/08, Bruno França dos Reis [EMAIL PROTECTED] wrote: Julio, concordo que com o uso de calculadoras e computadores o quadro é muito diferente. Porem acho importante formar o senso critico das pessoas. E com um passo tão simples, que pode até mesmo ser feito mentalmente em muitos casos, o aluno pode julgar e interpretar o seu resultado antes mesmo do seu colega do lado terminar de abrir o zipper da mochila pra pegar a calculadora. Alem disso, é importante conhecer o funcionamento daquilo que a calculadora ou o computador faz, para nao nos tornarmos escravos da tecnologia e acreditarmos em barbaridades que programas podem nos dizer. Não é raro vc achar um programa que solta uma resposta completamente absurda para um dado calculo, devido a limites da manipulacao de dados na memoria do computador que não foram previstos pelo programador (e não é raro programadores não tomarem o devido cuidado...) Abraço Bruno On 19/02/2008, Julio Cesar Conegundes da Silva [EMAIL PROTECTED] wrote: Pelo que eu sei, a muitos anos atrás era menos trabalhoso calcular o valor dígito à dígito de uma fração onde havia radicando só no numerador do que uma fração com radicando só no numerador. Hoje em dia com calculadoras e computadores as pesoas nem se lembram mais disso. Na minha opinião acho que seria mais interessante mostrar, por exemplo, que raiz de dois não é racional (e convencer os alunos que matemática não é uma coisa arbitrária ou inventada a esmo) do que ficar ensinando fazer várias contas que o coitado do aluno trabalha, trabalha, trabalha e depois se esquece um passso tem que estudar denovo. On 2/19/08, vitoriogauss [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá colegas, Estou ensinando radiciação na 8ª. Vou entrar em racionalização de denominadores, porém no site do BIGODE, o mesmo diz que racionalização só é importante para a prova de radiciação.. . Ou seja, não é interessante ensinar racionalização, pois não há mudança no resultado. Eu não concordo, particulamente, porque a matemática não é feita de coisas sem uso, digamos assim. Deve existir uma aplicabilidade. -- Julio Cesar Conegundes da Silva -- Bruno FRANÇA DOS REIS msn: [EMAIL PROTECTED] skype: brunoreis666 tel: +33 (0)6 28 43 42 16 e^(pi*i)+1=0 -- Julio Cesar Conegundes da Silva
Re: [obm-l] Radiciação 8ª série
a conta numerica nao eh importante, qualquer computador ou calculadora pode faze-lo. Acho que o BIZU real eh o entendimento dos numeros e seus conceitos. -- []'s Ivan Carlos da Silva Lopes Engenheiro Eletrônico e de Computação What Am I Doing Now? -- http://twitter.com/icsl blog -- http://lopesivan.blogspot.com/ Personal Page -- http://lopesivan.ufrj.googlepages.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re:[obm-l] Res: [obm-l] Radiciação 8ª série
Pessoal... estamos discutindo matemática ou formação tecnológica? Qual o objetivos das aulas do nosso colega? Ajudar mentes a se desenvolverem ou treinar calculadoras? Qual o significado do Teorema: Toda fração cujo denominador é formado por uma raíz enésima pode ser expressa como uma fração cujo denominador é um número real? Por si só isso tem significado? Quem não olharia como o Vitório para o seu professor e pensaria: Tá. E daí? ? Usar racionalização nos complexos é como usar um lema. Vc usa o lema (em uma área qualquer da matematica). Prova o que tem que ser provado. Daí vc encontra o significado de alguma coisa. A mesma coisa eu penso sobre ensinar teoria das matrizes no ensino médio. Para que ficar ensinando as coisas aos pedaços sem nunca completar o quebra-cabeças? Para alguém olhar o currículo de ensino médio e pensar: Oooh... eles sabem multiplicar uma matriz. On 2/19/08, vitoriogauss [EMAIL PROTECTED] wrote: Concordo na elegância Mas creio que o Bruno foi feliz em suas palavras. que não fiquemos escravos da vã tecnologia.. Eu lembro bem, que no meu Ceará, por incrível que pareçao professor me disse : Não pode deixar raiz no denominador...tem que racionalizar obrigatoriamente.. aí eu pensei...pela definição de racionais temos que a/b, com a e b inteiros e b diferente de 0..deve se por isso... Depois...que aprendi que tratava-se de uma mera técnica, porém nos complexos foi maravilhoso Olá, De fato, se pensarmos bem, racionalizar um denominador significa torná-lo racional. Por exemplo, em vez de se escrever 1/raiz(2), escreve-se raiz(2)/2. Todavia, responda-me, com sinceridade, existe algum impedimento para que as raízes fiquem no denominador? De qualquer modo, creio que saber racionalizar, é, na verdade, importante, pois que quando assim o fazemos estamos treinando o conceito de raiz quadrada, cúbica, etc, no sentido de que um número, para sair da raiz n-ésima, precisa estar elevado à n-ésima potência. Talvez seja uma justificativa. O problema é que, em sala de aula, sempre vão ter aqueles que perguntam: Professor, mas se eu não racionalizar fica errado? E você, como matemático, não pode dizer que fica. Outra pergunta do tipo é: Professor, mas precisa sempre simplificar a fração? Enfim, talvez uma outra justificativa seja a elegância, pois que a matemática precisa ser elegante. Assim sendo, diga ao aluno: Precisa, para ficar mais elegante... Um abraço, Eduardo - Mensagem original De: vitoriogauss Para: obm-l Enviadas: Terça-feira, 19 de Fevereiro de 2008 14:03:02 Assunto: [obm-l] Radiciação 8ª série Olá colegas, Estou ensinando radiciação na 8ª. Vou entrar em racionalização de denominadores, porém no site do BIGODE, o mesmo diz que racionalização só é importante para a prova de radiciação.. . Ou seja, não é interessante ensinar racionalização, pois não há mudança no resultado. Eu não concordo, particulamente, porque a matemática não é feita de coisas sem uso, digamos assim. Deve existir uma aplicabilidade. Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! http://br.mail.yahoo.com/ Vitório Gauss -- Julio Cesar Conegundes da Silva
[obm-l] Re:[obm-l] Radiciação 8ª s érie
É verdade. Olha, o que vou fazer é não demorar muito na aula, não gastar muito tempo com preciosismos...ensino o suficiente, talvez até com uma ficha extra como curiosidade. Pq eu estava antes deste lema colocado aqui, fazer racionalizações mais complicadas...percebo que isso será prejudicial. Mas quem quiser fazer ITA-IME, EN, ou CN...no futuro vai aproveitar (penso eu). Muito grato pela ajuda Pessoal... estamos discutindo matemática ou formação tecnológica? Qual o objetivos das aulas do nosso colega? Ajudar mentes a se desenvolverem ou treinar calculadoras? Qual o significado do Teorema: Toda fração cujo denominador é formado por uma raíz enésima pode ser expressa como uma fração cujo denominador é um número real? Por si só isso tem significado? Quem não olharia como o Vitório para o seu professor e pensaria: Tá. E daí? ? Usar racionalização nos complexos é como usar um lema. Vc usa o lema (em uma área qualquer da matematica). Prova o que tem que ser provado. Daí vc encontra o significado de alguma coisa. A mesma coisa eu penso sobre ensinar teoria das matrizes no ensino médio. Para que ficar ensinando as coisas aos pedaços sem nunca completar o quebra-cabeças? Para alguém olhar o currículo de ensino médio e pensar: Oooh... eles sabem multiplicar uma matriz. On 2/19/08, vitoriogauss wrote: Concordo na elegância Mas creio que o Bruno foi feliz em suas palavras. que não fiquemos escravos da vã tecnologia.. Eu lembro bem, que no meu Ceará, por incrível que pareçao professor me disse : Não pode deixar raiz no denominador...tem que racionalizar obrigatoriamente.. aí eu pensei...pela definição de racionais temos que a/b, com a e b inteiros e b diferente de 0..deve se por isso... Depois...que aprendi que tratava-se de uma mera técnica, porém nos complexos foi maravilhoso Olá, De fato, se pensarmos bem, racionalizar um denominador significa torná-lo racional. Por exemplo, em vez de se escrever 1/raiz(2), escreve-se raiz(2)/2. Todavia, responda-me, com sinceridade, existe algum impedimento para que as raízes fiquem no denominador? De qualquer modo, creio que saber racionalizar, é, na verdade, importante, pois que quando assim o fazemos estamos treinando o conceito de raiz quadrada, cúbica, etc, no sentido de que um número, para sair da raiz n-ésima, precisa estar elevado à n-ésima potência. Talvez seja uma justificativa. O problema é que, em sala de aula, sempre vão ter aqueles que perguntam: Professor, mas se eu não racionalizar fica errado? E você, como matemático, não pode dizer que fica. Outra pergunta do tipo é: Professor, mas precisa sempre simplificar a fração? Enfim, talvez uma outra justificativa seja a elegância, pois que a matemática precisa ser elegante. Assim sendo, diga ao aluno: Precisa, para ficar mais elegante... Um abraço, Eduardo - Mensagem original De: vitoriogauss Para: obm-l Enviadas: Terça-feira, 19 de Fevereiro de 2008 14:03:02 Assunto: [obm-l] Radiciação 8ª série Olá colegas, Estou ensinando radiciação na 8ª. Vou entrar em racionalização de denominadores, porém no site do BIGODE, o mesmo diz que racionalização só é importante para a prova de radiciação.. . Ou seja, não é interessante ensinar racionalização, pois não há mudança no resultado. Eu não concordo, particulamente, porque a matemática não é feita de coisas sem uso, digamos assim. Deve existir uma aplicabilidade. Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! http://br.mail.yahoo.com/ Vitório Gauss -- Julio Cesar Conegundes da Silva Vitório Gauss
Re: [obm-l] RE:Re: [obm-l] Radiciação em Complexos
Bem, posso dizer que as vezes confiar na sorte ajuda... Ele supos inteiros para tentar agilizar apenas. Geralnmente quando apresentam questoesb e se resolve assim muita gente pergunta:tem outro jeiuto de fazer sem usar isso? ai eu respondo:tente voce!Por exemplo, isoleb nas duas e veja aonde isto vai dar...Raniere Luna Silva [EMAIL PROTECTED] wrote: Caro Fábio, obrigado por sua atenção em responder a minha dúvida. O item b, tudo bem, este eu entendi direitinho, mas no item a, desculpe-me se eu estiver errado, vc considerou a, b E Z(a e b pertencentes aos inteiros), o que foi bastante útil, pois resolveu a questão. O caso é: vc fez isso tipo considerando uma hipótese? Poderei fazer o mesmo em questões semelhantes? Há uma outra saída para esta questão?Desde já grato,engdacompFrom: Fabio Dias Moreira <[EMAIL PROTECTED]>Reply-To: [EMAIL PROTECTED]To: [EMAIL PROTECTED]Subject: Re: [obm-l] Radiciação em ComplexosDate: Sat, 29 Nov 2003 18:21:38 -0200On 11/29/03 12:24:34, Raniere Luna Silva wrote:Por gentileza, se alguem puder me ajudar ficarei grato.Tenho o seguinte problema:...Calcule:a) raiz_cúbica( -11 - 2i)[...](a + bi)^2 = -11-2i(a^3 - 3ab^2) + i(3a^2b - b^3) = -11-2iLogoa(a^2 - 3b^2) = -11b(3a^2 - b^2) = -2Note que inverter o sinal de a ou de b só afeta o sinal de uma equação; logo basta resolver o sistema em módulo.Olhando para a primeira equação, e usando o fato de que 11 é primo, |a| só pode valer 1 ou 11. Se |a| = 11, |a^2 - 3b^2| = 1, que é impossível. Logo |a| = 1 e |3b^2 - 1| = 11 = |b| = 2. Não é muito difícil concluir que a = 1, b = 2. Logo (1+2i)^3 = -11-2i; as outras raízes cúbicas podem ser encontradas muliplicando por cis 120.[...]b) raiz_quarta(28 - 96i)[...]Tire duas raízes quadradas em sucessão.sqrt(28 - 96i) = 2*sqrt(7 - 24i).(a+bi)^2 = 7 - 24i(a^2 - b^2) + 2abi = 7 - 24ia^2 - b^2 = 7ab = -12Existem duas soluções (a, b) = (-4, 3) ou (a, b) = (4, -3). Podemos tomar qualquer uma delas (por exemplo, 4 - 3i).sqrt(2 * (4 - 3i)) = sqrt(8 - 6i)a^2 - b^2 = 8ab = -3Tome uma solução qualquer (por exemplo, (a, b) = (3, -1)). Então(3-i)^4 = 28 - 96i. Gere as outras raízes quadradas multiplicando por cis 90 = i.[]s,--Fábio "ctg \pi" Dias MoreiraGPG key ID: 6A539016BBF3190A (available at wwwkeys.pgp.net) attaach3 _MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Yahoo! Mail - 6MB, anti-spam e antivírus gratuito. Crie sua conta agora!
[obm-l] Re:[obm-l] RE:Re: [obm-l] Radiciação em Complexos
Pô, acho q dá pra fazer mais tranquilamente pela radiciação da forma trigonométrica, não? Tipo, usando: [Raiz[n](Rô)]*cis[(2kpi+THETA)/n] Sendo q n é o índice da radiciação, Rô é o módulo do numero complexo, THETA é o argumento do número complexo, e k assume valores de 0 até n-1 ( no caso da raiz cúbica, assume: 0,1 e 2, para possuir 3 raízes ). Certo? Se eu tiver falado alguma besteira me corrijam. Abraços, João Paulo Carvalho Aveiro Vestibulando, Engenharia Eletrônica. Caro Fábio, obrigado por sua atenção em responder a min ha dúvida. O item b, tudo bem, este eu entendi direitinho, mas no item a, de sculpe-me se eu estiver errado, vc considerou a, b E Z (a e b pertencentes aos inteiros), o que foi bastante útil, pois resolveu a questão. O caso é: vc fez isso tipo considerando uma hipótese? Poderei fazer o mesmo em que stões semelhantes? Há uma outra saída para esta questão? Desde já grato, engdacomp .. . . From: Fabio Dias Moreira [EMAIL PROTECTED] .br Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Radiciação em Complexos Date: Sat, 29 Nov 2003 18:21:38 -0200 On 11/29/03 12:24:34, Raniere Luna Silva wrote: Por gentileza, se alguem puder me ajudar ficarei grat o. Tenho o seguinte problema: . .. Calcule: a) raiz_cúbica( -11 - 2i) [...] (a + bi)^2 = -11-2i (a^3 - 3ab^2) + i(3a^2b - b^3) = -11-2i Logo a(a^2 - 3b^2) = -11 b(3a^2 - b^2) = -2 Note que inverter o sinal de a ou de b só afeta o sina l de uma equação; logo basta resolver o sistema em módulo. Olhando para a primeira equação, e usando o fato de qu e 11 é primo, |a| só pode valer 1 ou 11. Se |a| = 11, |a^2 - 3b^2| = 1, que é impossível. Logo |a| = 1 e |3b^2 - 1| = 11 = |b| = 2. Não é muito difícil concluir que a = 1, b = 2. Logo (1+2i)^3 = -11- 2i; as outras raízes cúbicas podem ser encontradas muliplicando por cis 120. [...] b) raiz_quarta(28 - 96i) [...] Tire duas raízes quadradas em sucessão. sqrt(28 - 96i) = 2*sqrt(7 - 24i). (a+bi)^2 = 7 - 24i (a^2 - b^2) + 2abi = 7 - 24i a^2 - b^2 = 7 ab = -12 Existem duas soluções (a, b) = (- 4, 3) ou (a, b) = (4, -3). Podemos tomar qualquer uma delas (por exemplo, 4 - 3i). sqrt(2 * (4 - 3i)) = sqrt(8 - 6i) a^2 - b^2 = 8 ab = -3 Tome uma solução qualquer (por exemplo, (a, b) = (3, - 1)). Então (3-i)^4 = 28 - 96i. Gere as outras raízes quadradas multiplicando por cis 90 = i. []s, -- Fábio ctg \pi Dias Moreira GPG key ID: 6A539016BBF3190A (available at wwwkeys.pgp .net) attach3 ___ __ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br === == Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html === == __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] RE:Re: [obm-l] Radiciação em Complexos
On 11/30/03 12:33:57, Raniere Luna Silva wrote:
Caro Fábio, obrigado por sua atenção em responder a minha dúvida. O
item b, tudo bem, este eu entendi direitinho, mas no item a,
desculpe-me se eu estiver errado, vc considerou a, b E Z(a e b
pertencentes aos inteiros), o que foi bastante útil, pois resolveu a
questão. O caso é: vc fez isso tipo considerando uma hipótese?
Poderei fazer o mesmo em questões semelhantes? Há uma outra saída
para esta questão?
[...]
Sim, eu supus que a e b eram inteiros -- em quase todas as questões
deste tipo que você encontra por aí, as raízes pedidas pertencem a Z[i]
= {a + bi | a, b inteiros}, logo este método deve funcionar na maioria
dos casos.
Você poderia, alternativamente, isolar b na primeira equação (existem
dois possíveis valores, já que em b a equação é de segundo grau),
substituir na segunda equação e cair em uma equação polinomial em a.
Ache todas as raízes, encontre os b's coresondentes (note que a e b são
sempre reais) e o problema estará resolvido.
Na vida real, se for necessário extrair a raiz de um complexo, é mais
fácil usar uma calculadora.
[]s,
--
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[obm-l] Re: [obm-l] Re:[obm-l] RE:Re: [obm-l] Radiciação em Complexos
a questao eh...quanto vale theta?! From: jaofisica [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Re:[obm-l] RE:Re: [obm-l] Radiciação em Complexos Date: Sun, 30 Nov 2003 15:41:13 -0200 Pô, acho q dá pra fazer mais tranquilamente pela radiciação da forma trigonométrica, não? Tipo, usando: [Raiz[n](Rô)]*cis[(2kpi+THETA)/n] Sendo q n é o índice da radiciação, Rô é o módulo do numero complexo, THETA é o argumento do número complexo, e k assume valores de 0 até n-1 ( no caso da raiz cúbica, assume: 0,1 e 2, para possuir 3 raízes ). Certo? Se eu tiver falado alguma besteira me corrijam. Abraços, João Paulo Carvalho Aveiro Vestibulando, Engenharia Eletrônica. Caro Fábio, obrigado por sua atenção em responder a min ha dúvida. O item b, tudo bem, este eu entendi direitinho, mas no item a, de sculpe-me se eu estiver errado, vc considerou a, b E Z (a e b pertencentes aos inteiros), o que foi bastante útil, pois resolveu a questão. O caso é: vc fez isso tipo considerando uma hipótese? Poderei fazer o mesmo em que stões semelhantes? Há uma outra saída para esta questão? Desde já grato, engdacomp .. . . From: Fabio Dias Moreira [EMAIL PROTECTED] .br Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Radiciação em Complexos Date: Sat, 29 Nov 2003 18:21:38 -0200 On 11/29/03 12:24:34, Raniere Luna Silva wrote: Por gentileza, se alguem puder me ajudar ficarei grat o. Tenho o seguinte problema: . .. Calcule: a) raiz_cúbica( -11 - 2i) [...] (a + bi)^2 = -11-2i (a^3 - 3ab^2) + i(3a^2b - b^3) = -11-2i Logo a(a^2 - 3b^2) = -11 b(3a^2 - b^2) = -2 Note que inverter o sinal de a ou de b só afeta o sina l de uma equação; logo basta resolver o sistema em módulo. Olhando para a primeira equação, e usando o fato de qu e 11 é primo, |a| só pode valer 1 ou 11. Se |a| = 11, |a^2 - 3b^2| = 1, que é impossível. Logo |a| = 1 e |3b^2 - 1| = 11 = |b| = 2. Não é muito difícil concluir que a = 1, b = 2. Logo (1+2i)^3 = -11- 2i; as outras raízes cúbicas podem ser encontradas muliplicando por cis 120. [...] b) raiz_quarta(28 - 96i) [...] Tire duas raízes quadradas em sucessão. sqrt(28 - 96i) = 2*sqrt(7 - 24i). (a+bi)^2 = 7 - 24i (a^2 - b^2) + 2abi = 7 - 24i a^2 - b^2 = 7 ab = -12 Existem duas soluções (a, b) = (- 4, 3) ou (a, b) = (4, -3). Podemos tomar qualquer uma delas (por exemplo, 4 - 3i). sqrt(2 * (4 - 3i)) = sqrt(8 - 6i) a^2 - b^2 = 8 ab = -3 Tome uma solução qualquer (por exemplo, (a, b) = (3, - 1)). Então (3-i)^4 = 28 - 96i. Gere as outras raízes quadradas multiplicando por cis 90 = i. []s, -- Fábio ctg \pi Dias Moreira GPG key ID: 6A539016BBF3190A (available at wwwkeys.pgp .net) attach3 ___ __ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br === == Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html === == __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Radiciação em Complexos
On 11/29/03 12:24:34, Raniere Luna Silva wrote: Por gentileza, se alguem puder me ajudar ficarei grato. Tenho o seguinte problema: ... Calcule: a) raiz_cúbica( -11 - 2i) [...] (a + bi)^2 = -11-2i (a^3 - 3ab^2) + i(3a^2b - b^3) = -11-2i Logo a(a^2 - 3b^2) = -11 b(3a^2 - b^2) = -2 Note que inverter o sinal de a ou de b só afeta o sinal de uma equação; logo basta resolver o sistema em módulo. Olhando para a primeira equação, e usando o fato de que 11 é primo, |a| só pode valer 1 ou 11. Se |a| = 11, |a^2 - 3b^2| = 1, que é impossível. Logo |a| = 1 e |3b^2 - 1| = 11 = |b| = 2. Não é muito difícil concluir que a = 1, b = 2. Logo (1+2i)^3 = -11-2i; as outras raízes cúbicas podem ser encontradas muliplicando por cis 120. [...] b) raiz_quarta(28 - 96i) [...] Tire duas raízes quadradas em sucessão. sqrt(28 - 96i) = 2*sqrt(7 - 24i). (a+bi)^2 = 7 - 24i (a^2 - b^2) + 2abi = 7 - 24i a^2 - b^2 = 7 ab = -12 Existem duas soluções (a, b) = (-4, 3) ou (a, b) = (4, -3). Podemos tomar qualquer uma delas (por exemplo, 4 - 3i). sqrt(2 * (4 - 3i)) = sqrt(8 - 6i) a^2 - b^2 = 8 ab = -3 Tome uma solução qualquer (por exemplo, (a, b) = (3, -1)). Então (3-i)^4 = 28 - 96i. Gere as outras raízes quadradas multiplicando por cis 90 = i. []s, -- Fábio ctg \pi Dias Moreira GPG key ID: 6A539016BBF3190A (available at wwwkeys.pgp.net) pgp0.pgp Description: PGP signature
