[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Decrescimento de Funções Exponenciais
Olá, Ralph! Tudo bem? Muito obrigado! Vou acessar os links! Abraço! Luiz Em ter, 12 de mai de 2020 8:35 PM, Ralph Costa Teixeira escreveu: > Bom, o assunto me parece ser "crescimento/decrescimento assintótico"... > Não consigo pensar num texto para recomendar, mas olhe aqui: > https://en.wikipedia.org/wiki/Big_O_notation > E, em especial: > https://en.wikipedia.org/wiki/Big_O_notation#Little-o_notation > > Abraço, Ralph. > > On Tue, May 12, 2020 at 7:09 PM Luiz Antonio Rodrigues < > rodrigue...@gmail.com> wrote: > >> Olá, Ralph! >> Tudo bem? >> Sim, melhorou muito! >> Muito obrigado! >> Então, na função (5), nós temos uma incerteza... >> Eu não havia percebido isso... >> Muito interessante... >> Vou ler mais sobre o assunto... >> Você conhece algum bom livro que trate disso com mais profundidade? >> Abraço! >> Luiz >> >> >> Em ter, 12 de mai de 2020 3:04 PM, Ralph Costa Teixeira < >> ralp...@gmail.com> escreveu: >> >>> O assunto é delicado. Primeiro, precisamos de uma boa definição de >>> "decresce mais rápido" (a gente diz que as exponenciais decrescem rápido, >>> mas se você ler **ao pé da letra** isso é falso! A velocidade delas vai >>> para 0 quando t vai para infinito... ou seja, elas decrescem mito >>> devagar!?!?). Para esclarecer, suponho que queremos usar esta aqui: >>> >>> DEF. f(x) decresce (para 0) mais rápido (quando x vai para +Inf) do que >>> g(x) quando lim f(x)/g(x) =0 (quando x vai para +Inf). >>> >>> Agora sim, você resolve tudo: >>> >>> 1) lim h(x)^2/h(x) = 0, portanto h^2 decresce mais rapido que h; >>> 2) lim g(x)^2/h(x) = lim g(x)/h(x) . g(x) = 0.0=0, portanto g^2 decresce >>> mais rapido que h; >>> 3) lim f(x)*g(x)/h(x) = lim f(x) * (g(x)/h(x)) =0 (com f limitada), >>> portanto fg decresce mais rapido que h; >>> 4) lim sqrt(h)/h = lim 1/sqrt(h) =+Inf; assim, lim h/sqrt(h) = 0, ou >>> seja, h decresce mais rapido que sqrt(h); >>> 5) lim sqrt(g)/h = ??? Nao da para saber. Poderia ser g(x)=1/x^n e >>> h(x)=1/x. Tomando n<2 ou n>2 podemos obter ambos comportamentos. >>> >>> Melhorou? >>> >>> Abraço, Ralph. >>> >>> On Tue, May 12, 2020 at 9:52 AM Luiz Antonio Rodrigues < >>> rodrigue...@gmail.com> wrote: >>> Olá, pessoal! Bom dia! Tudo bem? Estou tentando resolver um problema há uns 10 dias. Já tentei de tudo e estou com dúvidas. O problema é o seguinte: São dadas duas funções: h(x) e g(x). A função g(x) tende a zero mais rápido do que h(x), quando x tende a infinito. O problema pede que as seguintes funções sejam comparadas com h(x): 1. (h(x))^2 2. (g(x))^2 3. f(x)*g(x) 4. sqrt(h(x)) 5. sqrt(g(x)) A pergunta é: quais dessas funções decrescem mais rápido do que h(x), quando x tende a infinito? Eu usei, entre outras, as seguintes funções: 1/ln(x) 1/x 1/x^5 1/e^x Utilizei a regra de L’Hospital e descobri que a única função que não decresce mais rápido do que h(x) é a (4). Também utilizei softwares gráficos e confirmei o meu resultado. Só sei que a resposta não está correta, mas ainda não sei qual seria a solução. Não consigo entender o motivo... Será que preciso achar um contra-exemplo? Alguém pode me ajudar? Muito obrigado! Abraços! Luiz -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Decrescimento de Funções Exponenciais
Bom, o assunto me parece ser "crescimento/decrescimento assintótico"... Não consigo pensar num texto para recomendar, mas olhe aqui: https://en.wikipedia.org/wiki/Big_O_notation E, em especial: https://en.wikipedia.org/wiki/Big_O_notation#Little-o_notation Abraço, Ralph. On Tue, May 12, 2020 at 7:09 PM Luiz Antonio Rodrigues < rodrigue...@gmail.com> wrote: > Olá, Ralph! > Tudo bem? > Sim, melhorou muito! > Muito obrigado! > Então, na função (5), nós temos uma incerteza... > Eu não havia percebido isso... > Muito interessante... > Vou ler mais sobre o assunto... > Você conhece algum bom livro que trate disso com mais profundidade? > Abraço! > Luiz > > > Em ter, 12 de mai de 2020 3:04 PM, Ralph Costa Teixeira > escreveu: > >> O assunto é delicado. Primeiro, precisamos de uma boa definição de >> "decresce mais rápido" (a gente diz que as exponenciais decrescem rápido, >> mas se você ler **ao pé da letra** isso é falso! A velocidade delas vai >> para 0 quando t vai para infinito... ou seja, elas decrescem mito >> devagar!?!?). Para esclarecer, suponho que queremos usar esta aqui: >> >> DEF. f(x) decresce (para 0) mais rápido (quando x vai para +Inf) do que >> g(x) quando lim f(x)/g(x) =0 (quando x vai para +Inf). >> >> Agora sim, você resolve tudo: >> >> 1) lim h(x)^2/h(x) = 0, portanto h^2 decresce mais rapido que h; >> 2) lim g(x)^2/h(x) = lim g(x)/h(x) . g(x) = 0.0=0, portanto g^2 decresce >> mais rapido que h; >> 3) lim f(x)*g(x)/h(x) = lim f(x) * (g(x)/h(x)) =0 (com f limitada), >> portanto fg decresce mais rapido que h; >> 4) lim sqrt(h)/h = lim 1/sqrt(h) =+Inf; assim, lim h/sqrt(h) = 0, ou >> seja, h decresce mais rapido que sqrt(h); >> 5) lim sqrt(g)/h = ??? Nao da para saber. Poderia ser g(x)=1/x^n e >> h(x)=1/x. Tomando n<2 ou n>2 podemos obter ambos comportamentos. >> >> Melhorou? >> >> Abraço, Ralph. >> >> On Tue, May 12, 2020 at 9:52 AM Luiz Antonio Rodrigues < >> rodrigue...@gmail.com> wrote: >> >>> Olá, pessoal! >>> >>> Bom dia! >>> >>> Tudo bem? >>> >>> Estou tentando resolver um problema há uns 10 dias. >>> >>> Já tentei de tudo e estou com dúvidas. >>> >>> O problema é o seguinte: >>> >>> São dadas duas funções: h(x) e g(x). >>> >>> A função g(x) tende a zero mais rápido do que h(x), quando x tende a >>> infinito. >>> >>> O problema pede que as seguintes funções sejam comparadas com h(x): >>> >>> >>>1. >>> >>>(h(x))^2 >>>2. >>> >>>(g(x))^2 >>>3. >>> >>>f(x)*g(x) >>>4. >>> >>>sqrt(h(x)) >>>5. >>> >>>sqrt(g(x)) >>> >>> >>> A pergunta é: quais dessas funções decrescem mais rápido do que h(x), >>> quando x tende a infinito? >>> >>> Eu usei, entre outras, as seguintes funções: >>> >>> >>> 1/ln(x) >>> >>> 1/x >>> >>> 1/x^5 >>> >>> 1/e^x >>> >>> >>> Utilizei a regra de L’Hospital e descobri que a única função que não >>> decresce mais rápido do que h(x) é a (4). >>> >>> Também utilizei softwares gráficos e confirmei o meu resultado. >>> >>> Só sei que a resposta não está correta, mas ainda não sei qual seria a >>> solução. >>> >>> Não consigo entender o motivo... >>> >>> Será que preciso achar um contra-exemplo? >>> >>> Alguém pode me ajudar? >>> >>> Muito obrigado! >>> >>> Abraços! >>> >>> Luiz >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Decrescimento de Funções Exponenciais
Olá, Ralph! Tudo bem? Sim, melhorou muito! Muito obrigado! Então, na função (5), nós temos uma incerteza... Eu não havia percebido isso... Muito interessante... Vou ler mais sobre o assunto... Você conhece algum bom livro que trate disso com mais profundidade? Abraço! Luiz Em ter, 12 de mai de 2020 3:04 PM, Ralph Costa Teixeira escreveu: > O assunto é delicado. Primeiro, precisamos de uma boa definição de > "decresce mais rápido" (a gente diz que as exponenciais decrescem rápido, > mas se você ler **ao pé da letra** isso é falso! A velocidade delas vai > para 0 quando t vai para infinito... ou seja, elas decrescem mito > devagar!?!?). Para esclarecer, suponho que queremos usar esta aqui: > > DEF. f(x) decresce (para 0) mais rápido (quando x vai para +Inf) do que > g(x) quando lim f(x)/g(x) =0 (quando x vai para +Inf). > > Agora sim, você resolve tudo: > > 1) lim h(x)^2/h(x) = 0, portanto h^2 decresce mais rapido que h; > 2) lim g(x)^2/h(x) = lim g(x)/h(x) . g(x) = 0.0=0, portanto g^2 decresce > mais rapido que h; > 3) lim f(x)*g(x)/h(x) = lim f(x) * (g(x)/h(x)) =0 (com f limitada), > portanto fg decresce mais rapido que h; > 4) lim sqrt(h)/h = lim 1/sqrt(h) =+Inf; assim, lim h/sqrt(h) = 0, ou seja, > h decresce mais rapido que sqrt(h); > 5) lim sqrt(g)/h = ??? Nao da para saber. Poderia ser g(x)=1/x^n e > h(x)=1/x. Tomando n<2 ou n>2 podemos obter ambos comportamentos. > > Melhorou? > > Abraço, Ralph. > > On Tue, May 12, 2020 at 9:52 AM Luiz Antonio Rodrigues < > rodrigue...@gmail.com> wrote: > >> Olá, pessoal! >> >> Bom dia! >> >> Tudo bem? >> >> Estou tentando resolver um problema há uns 10 dias. >> >> Já tentei de tudo e estou com dúvidas. >> >> O problema é o seguinte: >> >> São dadas duas funções: h(x) e g(x). >> >> A função g(x) tende a zero mais rápido do que h(x), quando x tende a >> infinito. >> >> O problema pede que as seguintes funções sejam comparadas com h(x): >> >> >>1. >> >>(h(x))^2 >>2. >> >>(g(x))^2 >>3. >> >>f(x)*g(x) >>4. >> >>sqrt(h(x)) >>5. >> >>sqrt(g(x)) >> >> >> A pergunta é: quais dessas funções decrescem mais rápido do que h(x), >> quando x tende a infinito? >> >> Eu usei, entre outras, as seguintes funções: >> >> >> 1/ln(x) >> >> 1/x >> >> 1/x^5 >> >> 1/e^x >> >> >> Utilizei a regra de L’Hospital e descobri que a única função que não >> decresce mais rápido do que h(x) é a (4). >> >> Também utilizei softwares gráficos e confirmei o meu resultado. >> >> Só sei que a resposta não está correta, mas ainda não sei qual seria a >> solução. >> >> Não consigo entender o motivo... >> >> Será que preciso achar um contra-exemplo? >> >> Alguém pode me ajudar? >> >> Muito obrigado! >> >> Abraços! >> >> Luiz >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Decrescimento de Funções Exponenciais
P.S.: Na (3) se ele nao falou que f eh limitada, a resposta passa a ser NAO SEI. On Tue, May 12, 2020 at 2:52 PM Ralph Costa Teixeira wrote: > O assunto é delicado. Primeiro, precisamos de uma boa definição de > "decresce mais rápido" (a gente diz que as exponenciais decrescem rápido, > mas se você ler **ao pé da letra** isso é falso! A velocidade delas vai > para 0 quando t vai para infinito... ou seja, elas decrescem mito > devagar!?!?). Para esclarecer, suponho que queremos usar esta aqui: > > DEF. f(x) decresce (para 0) mais rápido (quando x vai para +Inf) do que > g(x) quando lim f(x)/g(x) =0 (quando x vai para +Inf). > > Agora sim, você resolve tudo: > > 1) lim h(x)^2/h(x) = 0, portanto h^2 decresce mais rapido que h; > 2) lim g(x)^2/h(x) = lim g(x)/h(x) . g(x) = 0.0=0, portanto g^2 decresce > mais rapido que h; > 3) lim f(x)*g(x)/h(x) = lim f(x) * (g(x)/h(x)) =0 (com f limitada), > portanto fg decresce mais rapido que h; > 4) lim sqrt(h)/h = lim 1/sqrt(h) =+Inf; assim, lim h/sqrt(h) = 0, ou seja, > h decresce mais rapido que sqrt(h); > 5) lim sqrt(g)/h = ??? Nao da para saber. Poderia ser g(x)=1/x^n e > h(x)=1/x. Tomando n<2 ou n>2 podemos obter ambos comportamentos. > > Melhorou? > > Abraço, Ralph. > > On Tue, May 12, 2020 at 9:52 AM Luiz Antonio Rodrigues < > rodrigue...@gmail.com> wrote: > >> Olá, pessoal! >> >> Bom dia! >> >> Tudo bem? >> >> Estou tentando resolver um problema há uns 10 dias. >> >> Já tentei de tudo e estou com dúvidas. >> >> O problema é o seguinte: >> >> São dadas duas funções: h(x) e g(x). >> >> A função g(x) tende a zero mais rápido do que h(x), quando x tende a >> infinito. >> >> O problema pede que as seguintes funções sejam comparadas com h(x): >> >> >>1. >> >>(h(x))^2 >>2. >> >>(g(x))^2 >>3. >> >>f(x)*g(x) >>4. >> >>sqrt(h(x)) >>5. >> >>sqrt(g(x)) >> >> >> A pergunta é: quais dessas funções decrescem mais rápido do que h(x), >> quando x tende a infinito? >> >> Eu usei, entre outras, as seguintes funções: >> >> >> 1/ln(x) >> >> 1/x >> >> 1/x^5 >> >> 1/e^x >> >> >> Utilizei a regra de L’Hospital e descobri que a única função que não >> decresce mais rápido do que h(x) é a (4). >> >> Também utilizei softwares gráficos e confirmei o meu resultado. >> >> Só sei que a resposta não está correta, mas ainda não sei qual seria a >> solução. >> >> Não consigo entender o motivo... >> >> Será que preciso achar um contra-exemplo? >> >> Alguém pode me ajudar? >> >> Muito obrigado! >> >> Abraços! >> >> Luiz >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Decrescimento de Funções Exponenciais
O assunto é delicado. Primeiro, precisamos de uma boa definição de "decresce mais rápido" (a gente diz que as exponenciais decrescem rápido, mas se você ler **ao pé da letra** isso é falso! A velocidade delas vai para 0 quando t vai para infinito... ou seja, elas decrescem mito devagar!?!?). Para esclarecer, suponho que queremos usar esta aqui: DEF. f(x) decresce (para 0) mais rápido (quando x vai para +Inf) do que g(x) quando lim f(x)/g(x) =0 (quando x vai para +Inf). Agora sim, você resolve tudo: 1) lim h(x)^2/h(x) = 0, portanto h^2 decresce mais rapido que h; 2) lim g(x)^2/h(x) = lim g(x)/h(x) . g(x) = 0.0=0, portanto g^2 decresce mais rapido que h; 3) lim f(x)*g(x)/h(x) = lim f(x) * (g(x)/h(x)) =0 (com f limitada), portanto fg decresce mais rapido que h; 4) lim sqrt(h)/h = lim 1/sqrt(h) =+Inf; assim, lim h/sqrt(h) = 0, ou seja, h decresce mais rapido que sqrt(h); 5) lim sqrt(g)/h = ??? Nao da para saber. Poderia ser g(x)=1/x^n e h(x)=1/x. Tomando n<2 ou n>2 podemos obter ambos comportamentos. Melhorou? Abraço, Ralph. On Tue, May 12, 2020 at 9:52 AM Luiz Antonio Rodrigues < rodrigue...@gmail.com> wrote: > Olá, pessoal! > > Bom dia! > > Tudo bem? > > Estou tentando resolver um problema há uns 10 dias. > > Já tentei de tudo e estou com dúvidas. > > O problema é o seguinte: > > São dadas duas funções: h(x) e g(x). > > A função g(x) tende a zero mais rápido do que h(x), quando x tende a > infinito. > > O problema pede que as seguintes funções sejam comparadas com h(x): > > >1. > >(h(x))^2 >2. > >(g(x))^2 >3. > >f(x)*g(x) >4. > >sqrt(h(x)) >5. > >sqrt(g(x)) > > > A pergunta é: quais dessas funções decrescem mais rápido do que h(x), > quando x tende a infinito? > > Eu usei, entre outras, as seguintes funções: > > > 1/ln(x) > > 1/x > > 1/x^5 > > 1/e^x > > > Utilizei a regra de L’Hospital e descobri que a única função que não > decresce mais rápido do que h(x) é a (4). > > Também utilizei softwares gráficos e confirmei o meu resultado. > > Só sei que a resposta não está correta, mas ainda não sei qual seria a > solução. > > Não consigo entender o motivo... > > Será que preciso achar um contra-exemplo? > > Alguém pode me ajudar? > > Muito obrigado! > > Abraços! > > Luiz > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Decrescimento de Funções Exponenciais
Olá, Pedro! Tudo bem? Muito obrigado por sua resposta. Funcionou! O problema estava na função (5). Mas eu estive pensando no que acontece com esta função. É como se ela coincidisse, quando x tende a infinito, com a função original (h(x))? Isto é muito interessante... Em ter, 12 de mai de 2020 12:09 PM, Pedro Angelo escreveu: > Sobre o item 5, o que acontece se h(x)=x^(-1) e g(x)=x^(-1.1) ? > > Le mar. 12 mai 2020 à 09:52, Luiz Antonio Rodrigues > a écrit : > > > > Olá, pessoal! > > > > Bom dia! > > > > Tudo bem? > > > > Estou tentando resolver um problema há uns 10 dias. > > > > Já tentei de tudo e estou com dúvidas. > > > > O problema é o seguinte: > > > > > > São dadas duas funções: h(x) e g(x). > > > > A função g(x) tende a zero mais rápido do que h(x), quando x tende a > infinito. > > > > O problema pede que as seguintes funções sejam comparadas com h(x): > > > > > > (h(x))^2 > > > > (g(x))^2 > > > > f(x)*g(x) > > > > sqrt(h(x)) > > > > sqrt(g(x)) > > > > > > A pergunta é: quais dessas funções decrescem mais rápido do que h(x), > quando x tende a infinito? > > > > Eu usei, entre outras, as seguintes funções: > > > > > > 1/ln(x) > > > > 1/x > > > > 1/x^5 > > > > 1/e^x > > > > > > Utilizei a regra de L’Hospital e descobri que a única função que não > decresce mais rápido do que h(x) é a (4). > > > > Também utilizei softwares gráficos e confirmei o meu resultado. > > > > Só sei que a resposta não está correta, mas ainda não sei qual seria a > solução. > > > > Não consigo entender o motivo... > > > > Será que preciso achar um contra-exemplo? > > > > Alguém pode me ajudar? > > > > Muito obrigado! > > > > Abraços! > > > > Luiz > > > > > > -- > > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > > acredita-se estar livre de perigo. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > = > Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > = > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Decrescimento de Funções Exponenciais
Sobre o item 5, o que acontece se h(x)=x^(-1) e g(x)=x^(-1.1) ? Le mar. 12 mai 2020 à 09:52, Luiz Antonio Rodrigues a écrit : > > Olá, pessoal! > > Bom dia! > > Tudo bem? > > Estou tentando resolver um problema há uns 10 dias. > > Já tentei de tudo e estou com dúvidas. > > O problema é o seguinte: > > > São dadas duas funções: h(x) e g(x). > > A função g(x) tende a zero mais rápido do que h(x), quando x tende a infinito. > > O problema pede que as seguintes funções sejam comparadas com h(x): > > > (h(x))^2 > > (g(x))^2 > > f(x)*g(x) > > sqrt(h(x)) > > sqrt(g(x)) > > > A pergunta é: quais dessas funções decrescem mais rápido do que h(x), quando > x tende a infinito? > > Eu usei, entre outras, as seguintes funções: > > > 1/ln(x) > > 1/x > > 1/x^5 > > 1/e^x > > > Utilizei a regra de L’Hospital e descobri que a única função que não decresce > mais rápido do que h(x) é a (4). > > Também utilizei softwares gráficos e confirmei o meu resultado. > > Só sei que a resposta não está correta, mas ainda não sei qual seria a > solução. > > Não consigo entender o motivo... > > Será que preciso achar um contra-exemplo? > > Alguém pode me ajudar? > > Muito obrigado! > > Abraços! > > Luiz > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
