Re: [obm-l] Re: [obm-l] Outra sobre álgebra
on 13.02.04 03:23, Eduardo Casagrande Stabel at [EMAIL PROTECTED]
wrote:
From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED]
on 12.02.04 23:43, Eduardo Casagrande Stabel at [EMAIL PROTECTED]
wrote:
Oi colegas da lista.
Seja K um corpo, K[t] o anel de polinômios sobre K e dois polinômios P e
Q
de K[t] ambos irredutíveis de mesmo grau. É verdade que os aneis
quocientes
(são corpos, na verdade) F = K[t] / (P) e G = K[t] / (Q) são isomorfos?
Eu imagino que sim pelo isomorfismo h : F -- G que leva (P) + f em (Q)
+ f.
Não tenho boa visão sobre como se corportam esses aneis quocientes do
tipo
de F e G. Alguém sabe um bom livro para ler sobre isto, ou artigo na
internet?
Um abraço e obrigado por qualquer ajuda.
Duda.
Oi, Duda:
Se P pertence a K[t] e grau(P) = n, entao K[t] / (P) eh um espaco vetorial
de dimensao n sobre K. Alem disso, dois espacos vetoriais de mesma
dimensao
sobre um mesmo corpo sao isomorfos. Isso prova o resultado. Acho inclusive
que P nao precisa ser irredutivel (mas nesse caso, o anel quociente nao
serah um corpo)
Uma boa fonte on-line sobre algebra em geral estah aqui:
http://www.math.uiuc.edu/~r-ash/
Um abraco,
Claudio.
Eu ACHO que você está se confundindo. Pelo que entendo, há dois conceitos de
isomorfismo envolvidos neste caso. O primeiro é o conceito de isomorfismo
entre espaços vetoriais e o segundo, isomorfismo entre corpos (ou entre
anéis). Como os dois espaços vetoriais sobre K tem a mesma dimensão, fica
fácil de estabelecer um isomorfismo, mas isto não implica que este
isomorfismo preserve a multiplicação.
Voce tem toda a razao. Eu misturei os dois conceitos e o problema estah
justamente na multiplicacao.
Por enquanto o que eu fiz foi o seguinte:
Como K eh um corpo, podemos supor s.p.d.g. que P(x) e Q(x) sao monicos de
grau n+1 (n+1 e nao n pra facilitar a notacao mais adiante).
Seja a uma raiz de P(x). Como P(x) eh irredutivel, P(x) serah o polinomio
minimo de a. Entao K[a] eh uma extensao algebrica (e portanto finita) de K e
(isso eu tenho certeza) K[x]/(P(x)) eh isomorfo a K[a].
Da mesma forma, se b eh uma raiz de Q(x), entao K[x]/(Q(x)) eh isomorfo a
K[b].
Mas:
K[a] = {u_0 + u_1*a + u_2*a^2 + ... + u_n*a^n | u_i pertence a K}
e
K[b] = {v_0 + v_1*b + v_2*b^2 + ... + v_n*b^n | v_i pertence a K}.
Serah que K[a] e K[b] sao isomorfos?
Eu acho que sim. O que voce acha?
Posso estar dizendo uma grande bobagem, mas o exemplo abaixo me sugere que
não:
Se P e Q são polinômios em t sobre K, P é irredutível e Q não é então F =
K[t] / (P) é um corpo mas G = K[t] / (Q) não é. É impossível que haja um
isomorfismo (de anél) entre F e G, pois neste caso ambos seriam corpos. O
que me sugere que neste caso eles não são isomorfos.
Concordo com o argumento.
Obrigado pela resposta e pela indicação do site.
Você já leu o livro Galois Theory, do Ian Stewart? Estou estudando por
ele, e me surgiu esta dúvida em um dos exercícios do livro. Na verdade, esta
é a segunda, a outra foi sobre Zn*.
Ainda nao. Esse semestre eu pretendo fazer um curso sobre esse assunto na
USP. Espero estar mais afiado em julho...
Um abraco,
Claudio.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Outra sobre álgebra
From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED]
on 13.02.04 03:23, Eduardo Casagrande Stabel at [EMAIL PROTECTED]
wrote:
From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED]
on 12.02.04 23:43, Eduardo Casagrande Stabel at [EMAIL PROTECTED]
wrote:
Oi colegas da lista.
Seja K um corpo, K[t] o anel de polinômios sobre K e dois polinômios P
e
Q
de K[t] ambos irredutíveis de mesmo grau. É verdade que os aneis
quocientes
(são corpos, na verdade) F = K[t] / (P) e G = K[t] / (Q) são
isomorfos?
Eu imagino que sim pelo isomorfismo h : F -- G que leva (P) + f em
(Q)
+ f.
Não tenho boa visão sobre como se corportam esses aneis quocientes do
tipo
de F e G. Alguém sabe um bom livro para ler sobre isto, ou artigo na
internet?
Um abraço e obrigado por qualquer ajuda.
Duda.
Oi, Duda:
Se P pertence a K[t] e grau(P) = n, entao K[t] / (P) eh um espaco
vetorial
de dimensao n sobre K. Alem disso, dois espacos vetoriais de mesma
dimensao
sobre um mesmo corpo sao isomorfos. Isso prova o resultado. Acho
inclusive
que P nao precisa ser irredutivel (mas nesse caso, o anel quociente nao
serah um corpo)
Uma boa fonte on-line sobre algebra em geral estah aqui:
http://www.math.uiuc.edu/~r-ash/
Um abraco,
Claudio.
Eu ACHO que você está se confundindo. Pelo que entendo, há dois
conceitos de
isomorfismo envolvidos neste caso. O primeiro é o conceito de
isomorfismo
entre espaços vetoriais e o segundo, isomorfismo entre corpos (ou entre
anéis). Como os dois espaços vetoriais sobre K tem a mesma dimensão,
fica
fácil de estabelecer um isomorfismo, mas isto não implica que este
isomorfismo preserve a multiplicação.
Voce tem toda a razao. Eu misturei os dois conceitos e o problema estah
justamente na multiplicacao.
Por enquanto o que eu fiz foi o seguinte:
Como K eh um corpo, podemos supor s.p.d.g. que P(x) e Q(x) sao monicos de
grau n+1 (n+1 e nao n pra facilitar a notacao mais adiante).
Seja a uma raiz de P(x). Como P(x) eh irredutivel, P(x) serah o polinomio
minimo de a. Entao K[a] eh uma extensao algebrica (e portanto finita) de K
e
(isso eu tenho certeza) K[x]/(P(x)) eh isomorfo a K[a].
Da mesma forma, se b eh uma raiz de Q(x), entao K[x]/(Q(x)) eh isomorfo a
K[b].
Mas:
K[a] = {u_0 + u_1*a + u_2*a^2 + ... + u_n*a^n | u_i pertence a K}
e
K[b] = {v_0 + v_1*b + v_2*b^2 + ... + v_n*b^n | v_i pertence a K}.
Serah que K[a] e K[b] sao isomorfos?
Eu acho que sim. O que voce acha?
Oi, Cláudio.
Eu acho o mesmo que você. Eu acho também que o desejado isomorfismo entre
corpos é aquele mais natural possível que leva os coeficientes u_i nos
mesmos coeficientes v_i. Mas aí surge o problema de que não sei onde vou
entrar com a informação de que P e Q são irredutíveis. O que me indica que
eu não estou sabendo ENTENDER direito estes conceitos e corpos.
Bom, como estou de férias e fui convidado para ir à praia (aqui em Porto
Alegre, não há praia ;) ), vou passar este final de semana nela, e não vou
ler mais as mensagens. Só segunda-feira, quando voltar. Até lá, não
responderei portanto, mas vou pensar mais na questão e assim que chegar vou
ver as mensagens da lista.
Não sei se você concorda comigo. Mas acho que os livros (pelo menos os que
eu já li) passam rápido demais por anéis do tipo R[x] / (P) e não esclarecem
grande coisa, ou será que somos nós com uma dificuldade boba...?
Abração e valeu!
Duda.
Posso estar dizendo uma grande bobagem, mas o exemplo abaixo me sugere
que
não:
Se P e Q são polinômios em t sobre K, P é irredutível e Q não é então F
=
K[t] / (P) é um corpo mas G = K[t] / (Q) não é. É impossível que haja um
isomorfismo (de anél) entre F e G, pois neste caso ambos seriam corpos.
O
que me sugere que neste caso eles não são isomorfos.
Concordo com o argumento.
Obrigado pela resposta e pela indicação do site.
Você já leu o livro Galois Theory, do Ian Stewart? Estou estudando por
ele, e me surgiu esta dúvida em um dos exercícios do livro. Na verdade,
esta
é a segunda, a outra foi sobre Zn*.
Ainda nao. Esse semestre eu pretendo fazer um curso sobre esse assunto na
USP. Espero estar mais afiado em julho...
Um abraco,
Claudio.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
[obm-l] Re: [obm-l] Outra sobre álgebra
On Thu, Feb 12, 2004 at 10:43:17PM -0300, Eduardo Casagrande Stabel wrote: Seja K um corpo, K[t] o anel de polinômios sobre K e dois polinômios P e Q de K[t] ambos irredutíveis de mesmo grau. É verdade que os aneis quocientes (são corpos, na verdade) F = K[t] / (P) e G = K[t] / (Q) são isomorfos? Não. Seja K = Q, p = t^2 - 2 e q = t^2 - 3. F = K[t]/(p) = Q[sqrt(2)] e G = K[t]/(q) = Q[sqrt(3)] (eu mudei os nomes dos polinômios para minúsculas para que não haja confusão entre o corpo Q e o polinômio q). Os dois corpos são claramente não isomorfos pois qualquer isomorfismo obrigatoriamente leva 2 em 2 mas num corpo 2 admite raiz quadrada e no outro não. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Outra sobre álgebra
From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] on 12.02.04 23:43, Eduardo Casagrande Stabel at [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi colegas da lista. Seja K um corpo, K[t] o anel de polinômios sobre K e dois polinômios P e Q de K[t] ambos irredutíveis de mesmo grau. É verdade que os aneis quocientes (são corpos, na verdade) F = K[t] / (P) e G = K[t] / (Q) são isomorfos? Eu imagino que sim pelo isomorfismo h : F -- G que leva (P) + f em (Q) + f. Não tenho boa visão sobre como se corportam esses aneis quocientes do tipo de F e G. Alguém sabe um bom livro para ler sobre isto, ou artigo na internet? Um abraço e obrigado por qualquer ajuda. Duda. Oi, Duda: Se P pertence a K[t] e grau(P) = n, entao K[t] / (P) eh um espaco vetorial de dimensao n sobre K. Alem disso, dois espacos vetoriais de mesma dimensao sobre um mesmo corpo sao isomorfos. Isso prova o resultado. Acho inclusive que P nao precisa ser irredutivel (mas nesse caso, o anel quociente nao serah um corpo) Uma boa fonte on-line sobre algebra em geral estah aqui: http://www.math.uiuc.edu/~r-ash/ Um abraco, Claudio. Eu ACHO que você está se confundindo. Pelo que entendo, há dois conceitos de isomorfismo envolvidos neste caso. O primeiro é o conceito de isomorfismo entre espaços vetoriais e o segundo, isomorfismo entre corpos (ou entre anéis). Como os dois espaços vetoriais sobre K tem a mesma dimensão, fica fácil de estabelecer um isomorfismo, mas isto não implica que este isomorfismo preserve a multiplicação. Posso estar dizendo uma grande bobagem, mas o exemplo abaixo me sugere que não: Se P e Q são polinômios em t sobre K, P é irredutível e Q não é então F = K[t] / (P) é um corpo mas G = K[t] / (Q) não é. É impossível que haja um isomorfismo (de anél) entre F e G, pois neste caso ambos seriam corpos. O que me sugere que neste caso eles não são isomorfos. Obrigado pela resposta e pela indicação do site. Você já leu o livro Galois Theory, do Ian Stewart? Estou estudando por ele, e me surgiu esta dúvida em um dos exercícios do livro. Na verdade, esta é a segunda, a outra foi sobre Zn*. Um abraço, Duda. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
