[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Funções complexas - número de zeros em C
Em qui, 30 de jul de 2020 16:22, Artur Costa Steiner
escreveu:
> Também me ocorreu isso, mas depois pensei em me basear no T. de Rouché (o
> da Análise Complexa, não o da Álgebra Linear). Em sua forma geral, este
> teorema diz:
>
> Se V um aberto do plano e W uma curva suave e fechada em V tal que Ind(W,
> z) = 0 ou 1 para z em V/W* (o traço de W) e = 0 para z em C/V. Se f e g são
> funções holomorfas em V tais que
>
> |f(z) - g(z)| < |f(z)| + |g(z)|
>
> para z em V/W*, então f e g têm o mesmo número de zeros no conjunto I = {z
> em V/W* : Ind(W,z) = 1-}
>
> Este teorema é particularmente interessante quando W é uma curva bonita em
> que se identifica claramente a área delimitada por W. Neste ,caso I é essa
> área. Caso típico do círculo de centro a e raio r, quando então I é o
> disco aberto D(a, r).
>
> No caso, vemos que, para que o limite dado faça sentido, para |z|
> suficientemente grande g não pode se anular. Logo, o conjunto Zg dos zeros
> de g é limitado. Se Zg for infinito, terá um ponto de acumulação em C, o
> domínio da inteira g. Pelas propriedades das funções holomorfas, g será
> entãoidenticamente nula, conflitando assim com o limite dado. Logo, Zg é
> finito, tendo n>= 0 elementos (contando multiplicidades).
>
> Como lim |z| --> oo f(z)/g(z) = 1, então lim |z| --> oo f(z)/g(z) - 1 = lim
> |z| --> oo [f(z) - g(z)]/g(z) = 0. Segue-se que lim |z| --> oo |f(z) -
> g(z|]/|g(z)) = 0, havendo portanto r0 > 0 tal que |z| > r0 => |f(z) -
> g(z)|/|g(z)| < 1 e, portanto,
>
> |f(z) - g(z)| < ||g(z)| (1)
>
> Assim, para r > r0, (1) vale no círculo de centro na origem e raio r,
> periferia de D(0 r). Pelo T de Rouché com V = C, f e g têm neste disco o
> mesmo número de zeros , ou seja, n zeros.
>
> Como isso vale pra todo r > r0, concluímos que f e f têm n zeros em C.
>
> Se f for um polinômio de grau n > 0 e g(z) = c_n z^n, c_n o coeficiente
> líder de f, temos uma prova do T. Fundamental da Álgebra que mostra que
> polinômios de grau n > 0 têm n zeros (ou raízes).
>
> Neste problema, cheguei a duas conclusões me parecem corretas:
>
> f e g não terão zeros em C esse f = g, g uma função que não se anule
>
> Se lim |z| --> oo g(z) = oo, então f e g são polinômios de mesmo grau
> positivo.
>
> Abs
>
> Artur
>
>
> Em qui, 30 de jul de 2020 13:43, Claudio Buffara <
> claudio.buff...@gmail.com> escreveu:
>
>> Será que fazendo w = 1/z e w -> 0 ajuda?
>>
>> On Thu, Jul 30, 2020 at 7:24 AM Artur Costa Steiner <
>> artur.costa.stei...@gmail.com> wrote:
>>
>>> Sejam f e g funções inteiras tais que lim |z| ---> oo f(z)/g(z) = 1.
>>> Mostre que f e g tem um número finito de zeros em C e que o número de zeros
>>> de f é igual ao número de zeros de g.
>>>
>>> Abs
>>>
>>> Artur
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Funções complexas - número de zeros em C
Também me ocorreu isso, mas depois pensei em me basear no T. de Rouché (o
da Análise Complexa, não o da Álgebra Linear). Em sua forma geral, este
teorema diz:
Se V um aberto do plano e W uma curva suave e fechada em V tal que Ind(W,
z) = 0 ou 1 para z em V/W* (o traço de W) e = 0 para z em C/V. Se f e g são
funções holomorfas em V tais que
|f(z) - g(z)| < |f(z)| + |g(z)|
para z em V/W*, então f e g têm o mesmo número de zeros no conjunto I = {z
em V/W* : Ind(W,z) = 1-}
Este teorema é particularmente interessante quando W é uma curva bonita em
que se identifica claramente a área delimitada por W. Neste ,caso I é essa
área. Caso típico do círculo de centro a e raio r, quando então I é o
disco aberto D(a, r).
No caso, vemos que, para que o limite dado faça sentido, para |z|
suficientemente grande g não pode se anular. Logo, o conjunto Zg dos zeros
de g é limitado. Se Zg for infinito, terá um ponto de acumulação em C, o
domínio da inteira g. Pelas propriedades das funções holomorfas, g será
entãoidenticamente nula, conflitando assim com o limite dado. Logo, Zg é
finito, tendo n>= 0 elementos (contando multiplicidades).
Como lim |z| --> oo f(z)/g(z) = 1, então lim |z| --> oo f(z)/g(z) - 1 = lim
|z| --> oo [f(z) - g(z)]/g(z) = 0. Segue-se que lim |z| --> oo |f(z) -
g(z|]/|g(z)) = 0, havendo portanto r0 > 0 tal que |z| > r0 => |f(z) -
g(z)|/|g(z)| < 1 e, portanto,
|f(z) - g(z)| < ||g(z)| (1)
Assim, para r > r0, (1) vale no círculo de centro na origem e raio r,
periferia de D(0 r). Pelo T de Rouché com V = C, f e g têm neste disco o
mesmo número de zeros , ou seja, n zeros.
Como isso vale pra todo r > r0, concluímos que f e f têm n zeros em C.
Se f for um polinômio de grau n > 0 e g(z) = c_n z^n, c_n o coeficiente
líder de f, temos uma prova do T. Fundamental da Álgebra que mostra que
polinômios de grau n > 0 têm n zeros (ou raízes).
Neste problema, cheguei a duas conclusões me parecem corretas:
f e g não terão zeros em C esse f = g, g uma função que não se anule
Se lim |z| --> oo g(z) = oo, então f e g são polinômios de mesmo grau
positivo.
Abs
Artur
Em qui, 30 de jul de 2020 13:43, Claudio Buffara
escreveu:
> Será que fazendo w = 1/z e w -> 0 ajuda?
>
> On Thu, Jul 30, 2020 at 7:24 AM Artur Costa Steiner <
> artur.costa.stei...@gmail.com> wrote:
>
>> Sejam f e g funções inteiras tais que lim |z| ---> oo f(z)/g(z) = 1.
>> Mostre que f e g tem um número finito de zeros em C e que o número de zeros
>> de f é igual ao número de zeros de g.
>>
>> Abs
>>
>> Artur
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Funções geradoras
Entra neste link e pega a eureka n 11 Abraços Hermann - Original Message - From: Maikel Andril Marcelino To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Saturday, March 28, 2015 6:53 PM Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Funções geradoras Carlos Gomes manda aquele material Enviado do meu smartphone Samsung Galaxy. Obrigado Douglas Oliveira Em 28 de março de 2015 09:20, Douglas Oliveira de Lima profdouglaso.del...@gmail.com escreveu: Existe um material legal do Eduardo Tengan sobre séries formais da eureka eu acho. Abraços, Douglas Oliveira Em 28/03/2015 09:14, Israel Meireles Chrisostomo israelmchrisost...@gmail.com escreveu: Alguém aí tem um material falando sobre funções geradoras? -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Funções geradoras
http://www.obm.org.br/opencms/revista_eureka/ não enviei o link revista n 11 séries formais Abraços Hermann - Original Message - From: Maikel Andril Marcelino To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Saturday, March 28, 2015 6:53 PM Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Funções geradoras Carlos Gomes manda aquele material Enviado do meu smartphone Samsung Galaxy. Obrigado Douglas Oliveira Em 28 de março de 2015 09:20, Douglas Oliveira de Lima profdouglaso.del...@gmail.com escreveu: Existe um material legal do Eduardo Tengan sobre séries formais da eureka eu acho. Abraços, Douglas Oliveira Em 28/03/2015 09:14, Israel Meireles Chrisostomo israelmchrisost...@gmail.com escreveu: Alguém aí tem um material falando sobre funções geradoras? -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Funções geradoras
Carlos Gomes manda aquele material Enviado do meu smartphone Samsung Galaxy. Obrigado Douglas Oliveira Em 28 de março de 2015 09:20, Douglas Oliveira de Lima profdouglaso.del...@gmail.com escreveu: Existe um material legal do Eduardo Tengan sobre séries formais da eureka eu acho. Abraços, Douglas Oliveira Em 28/03/2015 09:14, Israel Meireles Chrisostomo israelmchrisost...@gmail.com escreveu: Alguém aí tem um material falando sobre funções geradoras? -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Funções geradoras
Obrigado Douglas Oliveira Em 28 de março de 2015 09:20, Douglas Oliveira de Lima profdouglaso.del...@gmail.com escreveu: Existe um material legal do Eduardo Tengan sobre séries formais da eureka eu acho. Abraços, Douglas Oliveira Em 28/03/2015 09:14, Israel Meireles Chrisostomo israelmchrisost...@gmail.com escreveu: Alguém aí tem um material falando sobre funções geradoras? -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Funções Pares e Ímpares
Errei colocando que h(x) = x^2 + 1/x é par. Gostaria de uma demonstração das seguintes propriedades: - A soma de duas funções de mesma paridade mantém essa paridade. - O produto de duas funções de mesma paridade é uma função par. - O produto de duas funções com paridades distintas é uma função ímpar. Encontrei as propriedades acima em http://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%B5es_pares_e_%C3%ADmpares. Não sei sei pode ser considerada uma fonte confiável. Em 04/08/10, Bernardo Freitas Paulo da Costabernardo...@gmail.com escreveu: 2010/8/4 Henrique Rennó henrique.re...@gmail.com: Estou com uma dúvida a respeito de funções pares e ímpares. Por exemplo, as funções f(x) = x^2 e g(x) = 1/x são, respectivamente, par e ímpar. Se multiplicarmos uma pela outra temos a função h(x) = f(x)*g(x) = (x^2)*(1/x) = (x^2)/x = x, que é uma função ímpar. A função i(x) = f(x) + g(x) = x^2 + 1/x é uma função par. Minha dúvida é como é possível saber se a função resultante após uma operação entre funções é par ou ímpar. Uma regra fácil só vale pra multiplicação, por uma razão óbvia... ou para operações que não mudam o sinal, ou seja, par (operacao) par é sempre par, mas por exemplo ímpar (operação) ímpar nem sempre é par, nem sempre é ímpar... aliás, i(1) = 1 + 1/1 = 2 != 0 = (-1)^2 + 1/(-1) = i(-1) -- Henrique abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Henrique = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Funções Pares e Ímpares
2010/8/4 Henrique Rennó henrique.re...@gmail.com Errei colocando que h(x) = x^2 + 1/x é par. Gostaria de uma demonstração das seguintes propriedades: - A soma de duas funções de mesma paridade mantém essa paridade. - O produto de duas funções de mesma paridade é uma função par. - O produto de duas funções com paridades distintas é uma função ímpar. Encontrei as propriedades acima em http://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%B5es_pares_e_%C3%ADmpares. Não sei sei pode ser considerada uma fonte confiável. As provas são imediatas da definição. Uma função f é dita impar sse f(-x) = -f(x) Uma função f é dita par sse f(-x) = f(x) Então vamos trabalhar com os produtos. Seja g ímpar e f par: f(-x) * g(-x) = - f(x)*g(x) Então a função produto é ímpar. Se ambas forem pares: f(-x) * g(-x) = f(x) * g(x) então o produto é par Se ambas forem ímpares: f(-x) * g(-x) = (-f(x))*(-g(x)) f(-x) * g(-x) = f(x) * g(x) então o produto é par Suponha que f é par e g é par: Então f(-x) + g(-x) = f(x) + g(x) Então a função da soma é par Suponha que f é ímpar e g é impar: Então f(-x) + g(-x) = -f(x) - g(x) = - (f(x) + g(x)) Então a soma é ímpar. Note que criamos uma terceira função, diga h em todos os casos. Nos casos em que trabalhamos com o produto h(x) = f(x) * g(x), e quando trabalhamos com a soma h(x) = f(x) + g(x) O que fizemos foi provar nos casos acima que h(-x) = h(x), para quando o h fosse par, ou que h(-x) = -h(x) quando h fosse ímpar. -- []'s Lucas
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Funções
Ola Bernardo, Esta questão surgiu por acaso. Deixa eu esclarecer então : O que quero dizer é se f(x) = g(x) para todo x em [a,b], então f(x)=g(x) para todo x .Qto ao segundo questionamento, creio que pode ser composta como vc sugeriu. Acho que agora a minha dúvida ficou mais clara, com a sua ajuda. Abs Felipe --- Em ter, 10/11/09, Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com escreveu: De: Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Funções Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Terça-feira, 10 de Novembro de 2009, 13:45 2009/11/10 luiz silva luizfelipec...@yahoo.com.br Pessoal, Se duas funções algébricas ou trigonométricas f(x) e g(x), contínuas (não sei se é necessário que sejam), possuem a mesma imagem em um intervalo [a,b], podemos afirmar que f(x)=g(x) ?? O que você quer dizer por possuem a mesma imagem ? f([a,b]) = g([a,b]) ? ou f(x) = g(x) para todo x em [a,b] ? Veja que é MUITO diferente, e que uma é bem mais forte do que a outra. Segunda coisa, o que é uma função trigonométrica pra você ? sin, cos, etc e tal ? Vale compor ? senão, vale fazer sin(4x + x^2) ? qual justificativa para essas respostas (bom, pode ser simplesmente um exercício, mas seria mais legal ver claramente o que se quer fazer com cada uma) Terceiro: algumas das situações que eu proponho podem ser triviais (contra-exemplos evidentes), portanto pense um pouco se não dá pra achar um contra-exemplo rapidamente se for o caso. E senão, mande ver ! Abs Felipe Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados http://br.maisbuscados.yahoo.com
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Funções
2009/11/10 luiz silva luizfelipec...@yahoo.com.br Ola Bernardo, Esta questão surgiu por acaso. Legal ! Essa é uma questão muito importante ! Deixa eu esclarecer então : O que quero dizer é se f(x) = g(x) para todo x em [a,b], então f(x)=g(x) para todo x .Qto ao segundo questionamento, creio que pode ser composta como vc sugeriu. Ok, isso mesmo... agora, precisamos formalizar um pouco mais o que será o seu funções algébricas e funções trigonométricas, para a gente poder dar uma resposta correta! Acho que agora a minha dúvida ficou mais clara, com a sua ajuda. Abs Felipe Se f e g forem polinômios, acho que você consegue provar que realmente f=g o tempo todo se f=g num intervalo. Se você já estudou funções complexas, você sabe também que isso vale para quaisquer duas funções holomorfas. Senão, é exatamente isso que você tem que estudar!! Com um pouco mais de análise, você pode conseguir demonstrar um resultado análogo para funções meromorfas, o que permite usar frações. Mas, por enquanto, nada de raízes, nem logaritmos, só polinômios, exponenciais, e outras funções regulares (e compostas, portanto seno, cosseno, etc ok, tangente é mais complicado, mas dá pra incorporar...) Bom, eu vou ficando por aqui, mas sugiro que você dê uma boa estudada nisso, ou, se já estudou, continue propondo mais funções que você gostaria de ver na lista da unicidade! Um grande abraço, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Funções
Oi, Walter. Voce estah usando x=n? Entao, no fundo no fundo, f(n) NAO EH uma funcao polinomial, porque tem alguma especie de (-1)^n... O que eu quis dizer eh que f(n) tem uma formula quadratica para n par, e outra formula quadratica para n impar. O que voce indica parece confirmar isto: afinal, se n for par, esse (-1)^n da formula que voce achou vira 1; juntando com o resto da formula que voce achou (que nem sei qual eh), deve ficar uma funcao quadratica em n. Se n for impar, entao o (-1)^n vira -1; fica OUTRA formula quadratica em n. Entao f(n)=p(n) se n eh par ou q(n) se n eh impar, onde p(n) e q(n) sao formulas quadraticas distintas. Foi isso que eu quis dizer. Para ser sincero, eu nunca cheguei a ver a formula final... mas, qualquer que fosse o numero n impar, o raciocinio que eu fiz daria sempre algo do tipo: f(n)=f(99)+(soma dos termos de uma P.A. com numero de termos que depende linearmente de n) Como f(99) eh alguma constante, e a soma dos termos de uma P.A. eh uma funcao quadratica do numero de termos, eu sabia que f(n)=quadratica(n) se eu me restringisse para n impar. Entao, nos impares, f(n) eh alguma funcao quadratica. Nos pares, por analogia, tambem daria uma funcao quadratica -- mas esta usaria outra constante e outra P.A! Entao, a principio, nos pares f tem OUTRA formula quadratica. Abraco, Ralph P.S.: Agora, note que voce pode definir f(x) DO JEITO QUE QUISER para 0x1, e mesmo assim ha uma funcao f(x) definida nos reais que coincide com isto que voce inventou no (0,1) e que satisfaz as condicoes do problema. Entao ha MUITAS funcoes f que satisfazem as condicoes do problema... Mas todas elas devem ter a formula que voce achou **nos inteiros**. 2009/10/31 Walter Tadeu Nogueira da Silveira wtade...@gmail.com: Muito obrigado, Prof Ralph e colegas Terminado a conta encontrei f(15) = -4946 (não esperava esse resultado...meio feio(rs)) Utilizando a fórmula geral aparece no final um (-1)^n .d que não havia considerado. Esse (-1)^n é a representação desta f(x) para os pares e outra para os ímpares? Pergunta: Como decido no caso se n é par ou ímpar? A função é do 2º grau, mas esse n não é o grau... Creio estar confuso nessa observação final do Ralph Obrigado mais uma vez 2009/10/31 Ralph Teixeira ralp...@gmail.com Prefiro fazer sem supor nada sobre a f(x), exceto os dados do problema. Entao vejamos. Como: f(x)+f(x+1)=x^2 f(x-1)+f(x)=(x-1)^2 Subtraindo, vem f(x+1)-f(x-1)=2x-1, ou seja, f(x+1)=f(x-1)+(2x-1) Isto significa que: f(17)=f(15)+31 f(19)=f(17)+35 f(21)=f(19)+39 ... f(99)=f(97)+195 Somando tudo, fica f(99)=f(15)+(31+35+39++195). Dentro dos parenteses temos a soma dos termos de uma P.A.; por outro lado, tendo f(100), eh facil calcular f(99) pois f(99)+f(100)=99^2. Agora eh soh terminar as contas. Abraco, Ralph P.S.: Basicamente, o que este raciocinio mostra eh que f(x) eh um polinomio de 2o grau nos impares, e OUTRO polinomio de 2o grau nos pares (sem falar dos outros possiveis valores reais de x). 2009/10/31 Walter Tadeu Nogueira da Silveira wtade...@gmail.com: Amigos, Uma questão dizia: f(x) + f(x+1) = x² f(x) = 10001 Calcule f(15) Minha solução: Se f(x) + f(x+1) = x², então podemos considerar f(x) e f(x+1) como funções polinomiais de grau 2. Seja f(x) = ax² + bx +c =0. Então, f(x+1) = a(x+1)² + b(x + 1) + c = 0 Desenvolvendo f(x) + f(x+1) = 2ax² + (2a+2b)x + (a+b+c) = x² Igualando os coeficientes, temos: 2a = 1. Logo a = 1/2 2a + 2b = 0. Logo, a = -b e b = -1/2 a+b+c=0. Então c = 0 A função f(x) = x²/2 - x/2 Testando: f(100) + f(101) = 4950 + 5050 = 1 = 100² Logo, f(15) = 15²/2 - 15/2 = 105 VERIFICAÇÃO: f(15) + f(16) = 105 + 120 = 225 = 15² DUVIDANDO DE MIM MESMO: Mas f(100) não é 10001. Alguma ajuda, por favor... Abraços -- Walter Tadeu Nogueira da Silveira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Walter Tadeu Nogueira da Silveira http://www.professorwaltertadeu.mat.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Funções
 Carpe Dien Em 01/11/2009 00:30, Ralph Teixeira ralp...@gmail.com escreveu: Oi, Walter. Voce estah usando x=n?Entao, no fundo no fundo, f(n) NAO EH uma funcao polinomial, porquetem alguma especie de (-1)^n... O que eu quis dizer eh que f(n) temuma formula quadratica para n par, e outra formula quadratica para nimpar.O que voce indica parece confirmar isto: afinal, se n for par, esse(-1)^n da formula que voce achou vira 1; juntando com o resto daformula que voce achou (que nem sei qual eh), deve ficar uma funcaoquadratica em n.Se n for impar, entao o (-1)^n vira -1; fica OUTRA formula quadratica em n.Entao f(n)=p(n) se n eh par ou q(n) se n eh impar, onde p(n) e q(n)sao formulas quadraticas distintas. Foi isso que eu quis dizer.Para ser sincero, eu nunca cheguei a ver a formula final... mas,qualquer que fosse o numero n impar, o raciocinio que eu fiz dariasempre algo do tipo:f(n)=f(99)+(soma dos termos de uma P.A. com numero de termos quedepende linearmente de n)Como f(99) eh alguma constante, e a soma dos termos de uma P.A. eh umafuncao quadratica do numero de termos, eu sabia que f(n)=quadratica(n)se eu me restringisse para n impar. Entao, nos impares, f(n) eh algumafuncao quadratica.Nos pares, por analogia, tambem daria uma funcao quadratica -- masesta usaria outra constante e outra P.A! Entao, a principio, nos paresf tem OUTRA formula quadratica.Abraco,RalphP.S.: Agora, note que voce pode definir f(x) DO JEITO QUE QUISER para0coincide com isto que voce inventou no (0,1) e que satisfaz ascondicoes do problema. Entao ha MUITAS funcoes f que satisfazem ascondicoes do problema... Mas todas elas devem ter a formula que voceachou **nos inteiros**.2009/10/31 Walter Tadeu Nogueira da Sil veira : Muito obrigado, Prof Ralph e colegas Terminado a conta encontrei f(15) = -4946 (não esperava esse resultado...meio feio(rs)) Utilizando a fórmula geral aparece no final um (-1)^n .d que não havia considerado. Esse (-1)^n é a representação desta f(x) para os pares e outra para os Ãmpares? Pergunta: Como decido no caso se "n" é par ou Ãmpar? A função é do 2º grau, mas esse "n" não é o grau... Creio estar confuso nessa observação final do Ralph Obrigado mais uma vez 2009/10/31 Ralph Teixeira Prefiro fazer sem supor nada sobre a f(x), exceto os dados do problema. Entao vejamos. Como: f(x)+f(x+1)=x^2 f(x-1)+f(x)=(x-1)^2 Subtraindo, vem f(x+1)-f(x-1)=2x-1, ou seja, f(x+1)=f(x-1)+(2x-1) Isto significa que: f(17)=f(15)+31 f(19)=f(17)+35 f(21)=f(19)+39 ... f(99)=f(97)+195 Somando tudo, fica f(99)=f(15)+(31+35+39++195). Dentro dos parenteses temos a soma dos termos de uma P.A.; por outro lado, tendo f(100), eh facil calcular f(99) pois f(99)+f(100)=99^2. Agora eh soh terminar as contas. Abraco,     Ralph P.S.: Basicamente, o que este raciocinio mostra eh que f(x) eh um polinomio de 2o grau nos impares, e OUTRO polinomio de 2o grau nos pares (sem falar dos outros possiveis valores reais de x). 2009/10/31 Walter Tadeu Nogueira da Silveira : Amigos, Uma questão dizi a: f(x) + f(x+1) = x² f(x) = 10001 Calcule f(15) Minha solução: Se f(x) + f(x+1) = x², então podemos considerar f(x) e f(x+1) como funções polinomiais de grau 2. Seja f(x) = ax² + bx +c =0. Então, f(x+1) = a(x+1)² + b(x + 1) + c = 0 Desenvolvendo f(x) + f(x+1) = 2ax² + (2a+2b)x + (a+b+c) = x² Igualando os coeficientes, temos: 2a = 1. Logo a = 1/2 2a + 2b = 0. Logo, a = -b e b = -1/2 a+b+c=0. Então c = 0 A função f(x) = x²/2 - x/2 Testando: f(100) + f(101) = 4950 + 5050 = 1 = 100² ; Logo, f(15) = 15²/2 - 15/2 = 105 VERIFICAÃÃO: f(15) + f(16) = 105 + 120 = 225 = 15² DUVIDANDO DE MIM MESMO: Mas f(100) não é 10001. Alguma ajuda, por favor... Abraços -- Walter Tadeu Nogueira da Silveira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Walter Tadeu Nogueira da Silveira http://www.professorwaltertadeu.mat.br =Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html= = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Funções
 Carpe Dien Em 31/10/2009 17:12, Walter Tadeu Nogueira da Silveira wtade...@gmail.com escreveu: Muito obrigado, Prof Ralph e colegas  Terminado a conta encontrei f(15) = -4946 (não esperava esse resultado...meio feio(rs))  Utilizando a fórmula geral aparece no final um (-1)^n .d que não havia considerado.  Esse (-1)^n é a representação desta f(x) para os pares e outra para os Ãmpares?  Pergunta: Como decido no caso se "n" é par ou Ãmpar? A função é do 2º grau, mas esse "n" não é o grau... Creio estar confuso nessa observação final do Ralph  Obrigado mais uma vez  2009/10/31 Ralph Teixeira ralp...@gmail.com Prefiro fazer sem supor nada sobre a f(x), exceto os dados do problema.Entao vejamos. Como:f(x)+f(x+1)=x^2f(x-1)+f(x)=(x-1)^2Subtraindo, vem f(x+1)-f(x-1)=2x-1, ou seja, f(x+1)=f(x-1)+(2x-1)Isto significa que:f(17)=f(15)+31f(19)=f(17)+35f(21)=f(19)+39...f(99)=f(97)+195Somando tudo, fica f(99)=f(15)+(31+35+39++195). Dentro dosparenteses temos a soma dos termos de uma P.A.; por outro lado, tendof(100), eh facil calcular f(99) pois f(99)+f(100)=99^2.Agora eh soh terminar as contas.Abraco,    RalphP.S.: Basicamente, o que este raciocinio mostra eh que f(x) eh umpolinomio de 2o grau nos impares, e OUTRO polinomio de 2o grau nospares (sem falar dos outros possiveis valores reais de x).2009/10/3 1 Walter Tadeu Nogueira da Silveira wtade...@gmail.com: Amigos, Uma questão dizia: f(x) + f(x+1) = x² f(x) = 10001 Calcule f(15) Minha solução: Se f(x) + f(x+1) = x², então podemos considerar f(x) e f(x+1) como funções polinomiais de grau 2. Seja f(x) = ax² + bx +c =0. Então, f(x+1) = a(x+1)² + b(x + 1) + c = 0 Desenvolvendo f(x) + f(x+1) = 2ax² + (2a+2b)x + (a+b+c) = x² Igualando os coeficientes, temos: 2a = 1. Logo a = 1/2 2a + 2b = 0. Logo, a = -b e b = -1/2 a+b+c=0. Então c = 0 A função f(x) = x²/2 - x/2 Testando: f(100) + f(101) = 4950 + 5050 = 1 = 100² Logo, f(15) = 15²/2 - 15/2 = 105 VERIFICAÃÃO: f(15) + f(16) = 105 + 120 = 225 = 15² DUVIDANDO DE MIM MESMO: Mas f( 100) não é 10001. Alguma ajuda, por favor... Abraços -- Walter Tadeu Nogueira da Silveira =Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html= -- Walter Tadeu Nogueira da Silveirahttp://www.professorwaltertadeu.mat.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Funções inversas
Nicolau, Embora tenha eu aprendido o método de Tartaglia de outra forma, devo elogiá-lo pela didática ao explicar. Não querendo resgatar a discussão anterior sobre o ensino da Matemática para o Ensino Médio, faço um comentário breve após ler a sua aula: infelizmente, quando um professor atinge certa proficiência na arte de ensinar, tornando-se claro até para um leigo, ele adquire outros objetivos -- avançar nos estudos, dar aulas para o Ensino Superior, examinar temas de Olimpíadas, fazer pesquisas etc. --, o que é muitíssimo louvável evidentemente, mas não deixa de ser também uma perda para aqueles que não terão um professor tão hábil logo de início, e muitos (ou a maioria) adquirem o misterioso desinteresse. Veja, não é minha intenção criticar isto ou aquilo, e sim observar que muitas falhas não pertencem aos alunos somente, mas ao que há de mais natural tanto para o aluno quanto para o professor: o amadurecimento ao aprender e ao ensinar (simultâneo para ambos). A confiança que um professor demonstre por aquilo que ensina certamente é capaz de cativar a curiosidade dos alunos, os quais encontrariam motivação de estudo na Matemática. O trabalho de longos anos do Prof. Luiz Barco (USP) é um exemplo a ser considerado: o interesse por mostrar que qualquer assunto dentro da Matemática, seja ele de nível elevadíssimo ou não, pode ser explicado e entendido por qualquer pessoa desde que a *linguagem* seja trabalhada nesse sentido. E eis o maior crime a que muitos matemáticos não se furtam: abusar da linguagem em detrimento da clareza. Sinceramente, Rafael de A.Sampaio - Original Message - From: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, February 12, 2004 12:25 PM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Funções inversas On Thu, Feb 12, 2004 at 10:54:31AM -0200, Claudio Buffara wrote: Por outro lado, eh possivel achar uma expressao para a inversa de k:R _ R dada por k(x) = x^3 + 3x. Voce consegue? A dica para resolver este problema é ler a minha mensagem de ontem. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Funções booleanas
Interessante a sua prova por indução. Pra mim, o seguinte argumento já seria convincente: exatamente como o Wendel disse, a prova em si não é o fato de que ao criar um conectivo ele pode ser expresso como uma combinação desses 3, mas sim provar que toda função pode ser expressa com eles (como o NOU descrito por você substitui esses 3 dá pra usar somente um conectivo, mas as fórmulas iriam ficar grandes demais...). Uma aplicação que me interessa é o uso destas expressões booleanas para se resolver problemas de lógica. Por exemplo, o das escravas de olhos azuis do Homem que Calculava. Suponha que existam N escravas, cujos olhos estão escondidos. Sabe-se que existem escravas de olhos azuis e de olhos pretos. As de olhos azuis mentem sempre e as de olhos pretos sempre falam a verdade. Que pergunta você faria a uma delas (escolhida ao acaso já que não se pode ver os olhos de nehuma), a fim de descobrir qual a cor dos olhos de cada uma delas? Pergunta: A menina do seu lado tem a mesma cor dos seus olhos? SIM (se for verdade, foi resposta dada por uma menina de olhos pretos, se for mentira é dada por uma de olhos azuis, logo o olho da menina é preto) NÃO (se for verdade é dado por uma menina de olho preto, logo a menina tem olho azul, se for mentira foi dado por uma menina de olho azul, logo a menina ao lado tem olho azul). concluímos que se a resposta for SIM a menina ao lado tem olho preto e se for NÃO tem olho azul. [ ]'s = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] funções e poliminós
2.Determine todas as funções estritamente crescentes f:N-N tais que
f(n+f(n))=2f(n)
Interessante A resposta é múltipla:
i) Qualquer função do tipo f(n)=n+a para a=0 fixo;
ii) Ou qualquer função do tipo f(0)=0 e f(n)=n+a para n0, com a=0 fixo.
Em primeiro lugar note que, se f é estritamente crescente, então
f(n+1)=f(n)+1, e a igualdade só ocorre se f(n) e f(n+1) forem consecutivos,
certo? Ora, assim, f(a+b)=f(a+b-1)+1=f(a+b-2)+2=...=f(a)+b para
quaisquer a,b naturais. A igualdade (f(a+b)=f(a)+b) só ocorre se
f(a),f(a+1), f(a+2),...,f(a+b) forem números consecutivos!
Em particular, f(n+f(n))=f(n)+f(n)=2f(n); a igualdade só ocorre se f(n),
f(n+1), f(n+2), ..., f(n+f(n)) forem todos consecutivos!
(Fazendo um pequeno aparte, note que se f é estritamente crescente, então
f(n)=0 só pode ter, no máximo, n=0 como solução.)
Como a igualdade OCORRE, olhe os dois primeiros termos da lista:
f(n+1)=f(n)+1 para qualquer n (exceto possivelmente se f(n)=0, quando a
nossa lista acima só tem f(n) e nem chega até f(n+1), de qualquer forma,
isto só pode ocorrer se n=0, né?).
Agora é fácil: como f(n+1)=f(n)+1 para qualquer n (exceto 0), tem-se
f(n)=n+a para qualquer n (onde a é fixo; a=f(1)-1, digamos).
Verifiquemos se precisa de mais algo: tomando f(n)=n+a, tem-se
f(n+f(n))=f(n+(n+a))=f(2n+a)=(2n+a)+a=2n+2a=2f(n) (OK!)
Enfim, para n=0 temos:
i) Se f(0)=0, então f(0+f(0))=f(0+0)=f(0)=0, e 2f(0)=0; funciona ok.
ii) Se f(0)=x0, então f(0+f(0))=f(0+x)=x+a, e 2f(0)=2x; conclui-se que
x+a=2x, isto é, f(0)=a. Pode ser também!
Resposta final:
f(n)=n+a para a fixo e qualquer n0
f(0)=0 OU f(0)=a (escolha o que você quiser).
3. É possível empacotar 250 tijolos 1x1x4 em uma caixa de dimensões
10x10x10?
H Nao.
Sejam (i,j,k) os índices de cada um dos cubinhos 1x1x1 da caixa
10x10x10 (0=i,j,k=9).
Sejam A0={cubinhos onde i+j+k=0 mod 4}, A1={cubinhos onde i+j+k=1 mod
4}, A2={=2 mod4} e A3={=3 mod 4}. Em outras palavras, An é o
conjunto dos cubinhos cujos índices i+j+k deixam resto n na divisão por 4.
Bom, primeiro convença-se de que cada tijolo 1x1x4 necessariamente
ocupará um cubinho de cada tipo (A0, A1, A2, A3). Assim, se fosse possível
cobrir a caia 10x10x10, teríamos 250 cubinhos de cada tipo.
Mas quantos cubinhos do tipo A0 existem? Bom, a resposta é: há tantos
cubinhos quantas forem as soluções de i+j+k=4m com 0=i,j,k=9. Olhando só
os restos na divisão por 4, temos as seguintes opções para i, j e k:
{0,1,2,3,0,1,2,3,0,1}. Veja os casos (tudo é feito modulo 4):
i) i=0 (3 opções) então j+k=0; temos j=0,k=0 (3x3 opções) ou j=1,k=3 (3x2
opções) ou j=k=2 (2x2 opções) ou j=3,k=1 (2x3 opções).
TOTAL DE SOLUÇÕES AQUI: 3.(9+6+4+6) = 75
ii) i=1 (3 opções) então j+k=3; as opções para (j,k) são (0,3), (1,2), (2,1)
ou (3,0) com 3x2+3x2+2x3+2x3=24 opções para j e k.
TOTAL: 3x24=72 opções aqui.
iii) i=2 (2 opções) então j+k=2; (j,k)=(0,2),(1,1),(2,0) ou (3,3). Total:
2x(3x2+3x3+2x3+2x2)=50 opções
iv) i=3 (2 opções) e j+k=1; (j,k)=(0,1),(1,0),(2,3)ou(3,2) com
2x(3x3+3x3+2x2+2x2)=52 opções.
Ou seja, há um total de 75+72+50+52=249 cubinhos do tipo A0. Mas, para
cobrir o cubo 10x10x10 com aqueles tijolinhos, teríamos de cobrir 250
cubinhos do tipo A0! Absurdo, portanto não é possível cobri-los.
--//--
Você podia contar cubinhos no braço também... Fica mais fácil de ver numa
figura, mas a idéia é que os cubinhos A0 são dos tipos:
i+j+k=0 (o cubinho do canto)
i+j+k=4 (um plano de cubinhos; use combinatória ou conte mesmo os
cubinhos aqui caso a caso: i=0 implica j+k=4, com 5 soluções; i=1 implica
j+k=3, com 4 soluções;... etc etc TOTAL: 5+4+3+2+1=15 cubinhos)
i+j+k=8 (outro plano de cubinhos, com 9+8+7+6+...+1=45 cubinhos)
i+j+k=12 (7+8+9+10+9+8+7+6+5+4=73 cubinhos)
i+j+k=16 (3+4+5+6+7+8+9+10+9+8=69 cubinhos)
i+j+k=20 (1+2+3+4+5+6+7+8=45 cubinhos)
i+j+k=24 (1+2+3+4=10 cubinhos)
i+j+k=28 (não dá mais)
Em suma, há
1+
1+2+3+4+5+
1+2+3+4+5+6+7+8+9+
4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+
8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+
8+7+6+5+4+3+2+1+
4+3+2+1 =
=1+15+45+73+69+36+10=249 cubinhos do tipo A0. O absurdo é o mesmo.
=
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=
