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Thank you Em sex, 17 de mai de 2019 19:47, Pedro José escreveu: > Boa noite! > Corrigi de orelhada, devido a paridade e a solução (21,23), aue > encontrara. Quando dispor de um tempo, tentarei compreender. Mas pelo visto > é mais fácil apontar que existe uma infinidade de soluções, do que achá-las > propriamente. Não se gera uma fórmula para as soluções. Se compreendi, pelo > menos, um pouco da explicação. > > Grato, > PJMS > > Em sex, 17 de mai de 2019 19:01, Ralph Teixeira escreveu: > >> Oops, sim, eu errei, voce consertou, era y=6a+p e x=5a+p. Tambem poderia >> ser y=6a-p e x=5a-p, mas entao x vai ser negativo, o que pode ser obtido >> diretamente das solucoes positivas trocando sinais. >> >> Na pratica, a ideia eh a seguinte: tome (11+2raiz(30))^n para varios >> valores de n. >> >> Por exemplo, para n=2, temos: >> (11+2raiz(30))^2=241+44raiz(30) >> Eu afirmo que p=241 e a=44 tambem servem -- confira que p^2-30a^2=1 de >> novo! >> Colocando isto na quadratica do y, voce acha y, e depois acha x: >> y=6a+p=505 e x=y-a=461 >> (Confira que este cara serve! Tambem tem as solucoes trocando os sinais >> de x e y, mas nao vou falar muito delas, vou me concentrar nas positivas, >> as outras vem por tais trocas de sinal.) >> >> Para n=3: >> (11+2raiz(30))^3=5291+966raiz(30). Entao p=5291, a=966 servem, levando a >> y=6a+p=11087 e x=y-a=10121 >> >> Para cada n, voce terah uma escolha de p e a, e portanto uma escolha de x >> e y... Ou seja, o problema tem infinitas solucoes! >> >> (Sim, o metodo vao sempre gerar p=impar e a=par, entao todas as solucoes >> serao x=5a+p=impar e y=6a+p=impar) >> >> As respostas que faltam -- (A) POR QUE isso gera solucoes? (B) Esta ideia >> ACHA TODAS as solucoes (bom, com as devidas trocas de sinal que sempre >> existem)? >> >> ---///--- >> (A) POR QUE gera solucoes? >> >> Lema: Seja m um numero natural positivo que NAO EH quadrado perfeito. >> Considere a Equacao de Pell p^2-m.a^2=1 (normalmente o pessoal usa x e y, >> mas vou usar p e a para ficar parecido com minha notacao ali em cima). Se >> p=p0 e a=a0 eh uma solucao, entao p=pn e a=an tambem eh, onde pn e an sao >> inteiros determinados pela formula >> (p0+a0.raiz(m))^n=pn+an.raiz(m). >> >> Demonstracao: Fatorando, vem que (p0+a0.raiz(m)).(p0-a0.raiz(m))=1. >> >> Elevando os dois lados a potencia n, vem (p0+a0.raiz(m))^n . >> (p0-a0.raiz(m))^n =1. >> >> Mas o primeiro fator do produto eh exatamente pn+raiz(m).an (pela nossa >> definicao de an e pn), e nao eh dificil ver que, se m nao eh quadrado >> perfeito, o segundo fator tem de ser exatamente o "conjugado" pn-raiz(m).an >> (abra o binomio de Newton se necessario para enxergar isso). >> >> Portanto, temos (pn+an.raiz(m)).(pn-an.raiz(m))=1, ou seja pn^2-m.an^2=1 >> tambem! >> >> ---///--- >> >> Repito, esse lema mostra que o processo GERA solucoes, mas falta mostrar >> (B): que existe alguma especie de "solucao fundamental" que gera TODAS as >> outras por este processo... Bom, a resposta eh SIM, esta solucao >> "fundamental" existe, e eu **acho** que neste caso eh (11,2)... mas para >> mostrar isso, veja o artigo da Eureka, acho que este E-mail ficou muito >> comprdo... :D >> >> Abraco, Ralph. >> >> On Fri, May 17, 2019 at 6:05 PM Pedro José wrote: >> >>> Boa tarde! >>> Se fizer s=x^2 e t=y^2 temos 6s-5t=1; cuja solução é s=5a+1 e t=6a+1, >>> com a >=0. Então, x e y não deveriam ser ímpares? >>> As soluções que achei: >>> (-1,-1);(-1,1);(1,-1) e (1,1) essa no lápis. para a=0 >>> (-21,-23);(-21,23);(21,-23) e (21,23) com auxílio do Excel para a=88. >>> >>> Não sei se há mais soluções. Porém creio que as soluções são em 2Z+1. >>> >>> Se fosse: >>> y=6a+p >>> x=5a+p >>> (p,a)=(11,2) daria a solução (x,y) = (21,23) >>> >>> Não consegui alcançar seu pensamento. Mas creio que pela solução da >>> equação diofantina, tanto x como y deveriam ser ímpares. >>> >>> Saudações, >>> PJMS >>> >>> >>> >>> Em sex, 17 de mai de 2019 às 14:02, Ralph Teixeira >>> escreveu: >>> Escreva x=y-a com a inteiro. Ficamos com y^2-12ay+6a^2-1=0. Pense nisso como uma quadrática em y. Para haver soluções inteiras, o discriminante tem que ser quadrado perfeito: D = 144a^2 -4 (6a^2-1) = 120a^2+4 = 4p^2 (tem que ser par, por isso já coloquei o 4) 30a^2+1=p^2 p^2-30a^2=1 Isso é uma Equação de Pell, cuja teoria não é difícil, mas está bem além das congruências... Veja o artigo do Caminha na Eureka 7, por exemplo: https://www.obm.org.br/content/uploads/2017/01/eureka7.pdf Em suma, você acha uma solução fundamental (acho que é (p,a)=(11,2) neste caso) e gerar as outras olhando para (11+2raiz(30))^n (para cada n=0,1,2,..., a parte inteira disso dá um possível p, o coeficiente de raiz(30) dá um possível a). Enfim, encontrados p e a, teremos: y=6a+-2p x=5a+-2p Ou seja, creio haver infinitas soluções! Abraço, Ralph. On Fri, May 17, 2019 at 7:25 AM
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Boa noite! Corrigi de orelhada, devido a paridade e a solução (21,23), aue encontrara. Quando dispor de um tempo, tentarei compreender. Mas pelo visto é mais fácil apontar que existe uma infinidade de soluções, do que achá-las propriamente. Não se gera uma fórmula para as soluções. Se compreendi, pelo menos, um pouco da explicação. Grato, PJMS Em sex, 17 de mai de 2019 19:01, Ralph Teixeira Oops, sim, eu errei, voce consertou, era y=6a+p e x=5a+p. Tambem poderia > ser y=6a-p e x=5a-p, mas entao x vai ser negativo, o que pode ser obtido > diretamente das solucoes positivas trocando sinais. > > Na pratica, a ideia eh a seguinte: tome (11+2raiz(30))^n para varios > valores de n. > > Por exemplo, para n=2, temos: > (11+2raiz(30))^2=241+44raiz(30) > Eu afirmo que p=241 e a=44 tambem servem -- confira que p^2-30a^2=1 de > novo! > Colocando isto na quadratica do y, voce acha y, e depois acha x: > y=6a+p=505 e x=y-a=461 > (Confira que este cara serve! Tambem tem as solucoes trocando os sinais de > x e y, mas nao vou falar muito delas, vou me concentrar nas positivas, as > outras vem por tais trocas de sinal.) > > Para n=3: > (11+2raiz(30))^3=5291+966raiz(30). Entao p=5291, a=966 servem, levando a > y=6a+p=11087 e x=y-a=10121 > > Para cada n, voce terah uma escolha de p e a, e portanto uma escolha de x > e y... Ou seja, o problema tem infinitas solucoes! > > (Sim, o metodo vao sempre gerar p=impar e a=par, entao todas as solucoes > serao x=5a+p=impar e y=6a+p=impar) > > As respostas que faltam -- (A) POR QUE isso gera solucoes? (B) Esta ideia > ACHA TODAS as solucoes (bom, com as devidas trocas de sinal que sempre > existem)? > > ---///--- > (A) POR QUE gera solucoes? > > Lema: Seja m um numero natural positivo que NAO EH quadrado perfeito. > Considere a Equacao de Pell p^2-m.a^2=1 (normalmente o pessoal usa x e y, > mas vou usar p e a para ficar parecido com minha notacao ali em cima). Se > p=p0 e a=a0 eh uma solucao, entao p=pn e a=an tambem eh, onde pn e an sao > inteiros determinados pela formula > (p0+a0.raiz(m))^n=pn+an.raiz(m). > > Demonstracao: Fatorando, vem que (p0+a0.raiz(m)).(p0-a0.raiz(m))=1. > > Elevando os dois lados a potencia n, vem (p0+a0.raiz(m))^n . > (p0-a0.raiz(m))^n =1. > > Mas o primeiro fator do produto eh exatamente pn+raiz(m).an (pela nossa > definicao de an e pn), e nao eh dificil ver que, se m nao eh quadrado > perfeito, o segundo fator tem de ser exatamente o "conjugado" pn-raiz(m).an > (abra o binomio de Newton se necessario para enxergar isso). > > Portanto, temos (pn+an.raiz(m)).(pn-an.raiz(m))=1, ou seja pn^2-m.an^2=1 > tambem! > > ---///--- > > Repito, esse lema mostra que o processo GERA solucoes, mas falta mostrar > (B): que existe alguma especie de "solucao fundamental" que gera TODAS as > outras por este processo... Bom, a resposta eh SIM, esta solucao > "fundamental" existe, e eu **acho** que neste caso eh (11,2)... mas para > mostrar isso, veja o artigo da Eureka, acho que este E-mail ficou muito > comprdo... :D > > Abraco, Ralph. > > On Fri, May 17, 2019 at 6:05 PM Pedro José wrote: > >> Boa tarde! >> Se fizer s=x^2 e t=y^2 temos 6s-5t=1; cuja solução é s=5a+1 e t=6a+1, com >> a >=0. Então, x e y não deveriam ser ímpares? >> As soluções que achei: >> (-1,-1);(-1,1);(1,-1) e (1,1) essa no lápis. para a=0 >> (-21,-23);(-21,23);(21,-23) e (21,23) com auxílio do Excel para a=88. >> >> Não sei se há mais soluções. Porém creio que as soluções são em 2Z+1. >> >> Se fosse: >> y=6a+p >> x=5a+p >> (p,a)=(11,2) daria a solução (x,y) = (21,23) >> >> Não consegui alcançar seu pensamento. Mas creio que pela solução da >> equação diofantina, tanto x como y deveriam ser ímpares. >> >> Saudações, >> PJMS >> >> >> >> Em sex, 17 de mai de 2019 às 14:02, Ralph Teixeira >> escreveu: >> >>> Escreva x=y-a com a inteiro. Ficamos com y^2-12ay+6a^2-1=0. >>> >>> Pense nisso como uma quadrática em y. Para haver soluções inteiras, o >>> discriminante tem que ser quadrado perfeito: >>> >>> D = 144a^2 -4 (6a^2-1) = 120a^2+4 = 4p^2 (tem que ser par, por isso já >>> coloquei o 4) >>> 30a^2+1=p^2 >>> p^2-30a^2=1 >>> >>> Isso é uma Equação de Pell, cuja teoria não é difícil, mas está bem além >>> das congruências... Veja o artigo do Caminha na Eureka 7, por exemplo: >>> https://www.obm.org.br/content/uploads/2017/01/eureka7.pdf >>> >>> Em suma, você acha uma solução fundamental (acho que é (p,a)=(11,2) >>> neste caso) e gerar as outras olhando para >>> (11+2raiz(30))^n (para cada n=0,1,2,..., a parte inteira disso dá um >>> possível p, o coeficiente de raiz(30) dá um possível a). >>> >>> Enfim, encontrados p e a, teremos: >>> y=6a+-2p >>> x=5a+-2p >>> >>> Ou seja, creio haver infinitas soluções! >>> >>> Abraço, Ralph. >>> >>> On Fri, May 17, 2019 at 7:25 AM matematica10complicada < >>> profdouglaso.del...@gmail.com> wrote: >>> Olá meus caros, gostaria de uma ajuda sem usar congruência para resolver e achar todos os inteiros da equação 6x^2-5y^2=1. Obrigado e grande
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Oops, sim, eu errei, voce consertou, era y=6a+p e x=5a+p. Tambem poderia ser y=6a-p e x=5a-p, mas entao x vai ser negativo, o que pode ser obtido diretamente das solucoes positivas trocando sinais. Na pratica, a ideia eh a seguinte: tome (11+2raiz(30))^n para varios valores de n. Por exemplo, para n=2, temos: (11+2raiz(30))^2=241+44raiz(30) Eu afirmo que p=241 e a=44 tambem servem -- confira que p^2-30a^2=1 de novo! Colocando isto na quadratica do y, voce acha y, e depois acha x: y=6a+p=505 e x=y-a=461 (Confira que este cara serve! Tambem tem as solucoes trocando os sinais de x e y, mas nao vou falar muito delas, vou me concentrar nas positivas, as outras vem por tais trocas de sinal.) Para n=3: (11+2raiz(30))^3=5291+966raiz(30). Entao p=5291, a=966 servem, levando a y=6a+p=11087 e x=y-a=10121 Para cada n, voce terah uma escolha de p e a, e portanto uma escolha de x e y... Ou seja, o problema tem infinitas solucoes! (Sim, o metodo vao sempre gerar p=impar e a=par, entao todas as solucoes serao x=5a+p=impar e y=6a+p=impar) As respostas que faltam -- (A) POR QUE isso gera solucoes? (B) Esta ideia ACHA TODAS as solucoes (bom, com as devidas trocas de sinal que sempre existem)? ---///--- (A) POR QUE gera solucoes? Lema: Seja m um numero natural positivo que NAO EH quadrado perfeito. Considere a Equacao de Pell p^2-m.a^2=1 (normalmente o pessoal usa x e y, mas vou usar p e a para ficar parecido com minha notacao ali em cima). Se p=p0 e a=a0 eh uma solucao, entao p=pn e a=an tambem eh, onde pn e an sao inteiros determinados pela formula (p0+a0.raiz(m))^n=pn+an.raiz(m). Demonstracao: Fatorando, vem que (p0+a0.raiz(m)).(p0-a0.raiz(m))=1. Elevando os dois lados a potencia n, vem (p0+a0.raiz(m))^n . (p0-a0.raiz(m))^n =1. Mas o primeiro fator do produto eh exatamente pn+raiz(m).an (pela nossa definicao de an e pn), e nao eh dificil ver que, se m nao eh quadrado perfeito, o segundo fator tem de ser exatamente o "conjugado" pn-raiz(m).an (abra o binomio de Newton se necessario para enxergar isso). Portanto, temos (pn+an.raiz(m)).(pn-an.raiz(m))=1, ou seja pn^2-m.an^2=1 tambem! ---///--- Repito, esse lema mostra que o processo GERA solucoes, mas falta mostrar (B): que existe alguma especie de "solucao fundamental" que gera TODAS as outras por este processo... Bom, a resposta eh SIM, esta solucao "fundamental" existe, e eu **acho** que neste caso eh (11,2)... mas para mostrar isso, veja o artigo da Eureka, acho que este E-mail ficou muito comprdo... :D Abraco, Ralph. On Fri, May 17, 2019 at 6:05 PM Pedro José wrote: > Boa tarde! > Se fizer s=x^2 e t=y^2 temos 6s-5t=1; cuja solução é s=5a+1 e t=6a+1, com > a >=0. Então, x e y não deveriam ser ímpares? > As soluções que achei: > (-1,-1);(-1,1);(1,-1) e (1,1) essa no lápis. para a=0 > (-21,-23);(-21,23);(21,-23) e (21,23) com auxílio do Excel para a=88. > > Não sei se há mais soluções. Porém creio que as soluções são em 2Z+1. > > Se fosse: > y=6a+p > x=5a+p > (p,a)=(11,2) daria a solução (x,y) = (21,23) > > Não consegui alcançar seu pensamento. Mas creio que pela solução da > equação diofantina, tanto x como y deveriam ser ímpares. > > Saudações, > PJMS > > > > Em sex, 17 de mai de 2019 às 14:02, Ralph Teixeira > escreveu: > >> Escreva x=y-a com a inteiro. Ficamos com y^2-12ay+6a^2-1=0. >> >> Pense nisso como uma quadrática em y. Para haver soluções inteiras, o >> discriminante tem que ser quadrado perfeito: >> >> D = 144a^2 -4 (6a^2-1) = 120a^2+4 = 4p^2 (tem que ser par, por isso já >> coloquei o 4) >> 30a^2+1=p^2 >> p^2-30a^2=1 >> >> Isso é uma Equação de Pell, cuja teoria não é difícil, mas está bem além >> das congruências... Veja o artigo do Caminha na Eureka 7, por exemplo: >> https://www.obm.org.br/content/uploads/2017/01/eureka7.pdf >> >> Em suma, você acha uma solução fundamental (acho que é (p,a)=(11,2) neste >> caso) e gerar as outras olhando para >> (11+2raiz(30))^n (para cada n=0,1,2,..., a parte inteira disso dá um >> possível p, o coeficiente de raiz(30) dá um possível a). >> >> Enfim, encontrados p e a, teremos: >> y=6a+-2p >> x=5a+-2p >> >> Ou seja, creio haver infinitas soluções! >> >> Abraço, Ralph. >> >> On Fri, May 17, 2019 at 7:25 AM matematica10complicada < >> profdouglaso.del...@gmail.com> wrote: >> >>> Olá meus caros, gostaria de uma ajuda sem usar congruência para resolver >>> e achar todos os inteiros da equação >>> 6x^2-5y^2=1. >>> >>> >>> Obrigado e grande abraço. >>> Douglas oliveira >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Soluções inteiras
Boa tarde! Se fizer s=x^2 e t=y^2 temos 6s-5t=1; cuja solução é s=5a+1 e t=6a+1, com a >=0. Então, x e y não deveriam ser ímpares? As soluções que achei: (-1,-1);(-1,1);(1,-1) e (1,1) essa no lápis. para a=0 (-21,-23);(-21,23);(21,-23) e (21,23) com auxílio do Excel para a=88. Não sei se há mais soluções. Porém creio que as soluções são em 2Z+1. Se fosse: y=6a+p x=5a+p (p,a)=(11,2) daria a solução (x,y) = (21,23) Não consegui alcançar seu pensamento. Mas creio que pela solução da equação diofantina, tanto x como y deveriam ser ímpares. Saudações, PJMS Em sex, 17 de mai de 2019 às 14:02, Ralph Teixeira escreveu: > Escreva x=y-a com a inteiro. Ficamos com y^2-12ay+6a^2-1=0. > > Pense nisso como uma quadrática em y. Para haver soluções inteiras, o > discriminante tem que ser quadrado perfeito: > > D = 144a^2 -4 (6a^2-1) = 120a^2+4 = 4p^2 (tem que ser par, por isso já > coloquei o 4) > 30a^2+1=p^2 > p^2-30a^2=1 > > Isso é uma Equação de Pell, cuja teoria não é difícil, mas está bem além > das congruências... Veja o artigo do Caminha na Eureka 7, por exemplo: > https://www.obm.org.br/content/uploads/2017/01/eureka7.pdf > > Em suma, você acha uma solução fundamental (acho que é (p,a)=(11,2) neste > caso) e gerar as outras olhando para > (11+2raiz(30))^n (para cada n=0,1,2,..., a parte inteira disso dá um > possível p, o coeficiente de raiz(30) dá um possível a). > > Enfim, encontrados p e a, teremos: > y=6a+-2p > x=5a+-2p > > Ou seja, creio haver infinitas soluções! > > Abraço, Ralph. > > On Fri, May 17, 2019 at 7:25 AM matematica10complicada < > profdouglaso.del...@gmail.com> wrote: > >> Olá meus caros, gostaria de uma ajuda sem usar congruência para resolver >> e achar todos os inteiros da equação >> 6x^2-5y^2=1. >> >> >> Obrigado e grande abraço. >> Douglas oliveira >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Soluções inteiras
Caros, Suponhamos que b não é 0 (se for a também tem que ser). Dado p primo, se p^k é a maior potência de p que divide b, e p^j é a maior potência de p que divide a, como a^13=b^2001-b^90, p^(90k) é a maior potência de p que divide a^13, ou seja, p^(90k)=p^(13j), donde 90k=13j, e logo k=13r, j=90r para algum inteiro positivo r. Assim, se m é o produto dos primos que dividem a mas não dividem b (que em princípio poderiam existir) pelo sinal de a (que poderia ser negativo), devemos ter b^2001-b^90=a^13=b^90.m^13, donde b^1911-1=m^13, ou seja, (b^637)^3-m^3=1. Como os únicos jeitos de a diferença de dois cubos de inteiros ser igual a 1 são 1^3-0^3 e 0^3-(-1)^3, devemos ter b^637=1 e m=0 (donde b=1 e a=0) ou b^637=0 (donde b=0 e a=0). Abraços, Gugu Quoting Pacini Bores pacini.bo...@globo.com: Ok! Pedro, obrigado pela observação do expoente de p em |b| não ser necessariamente igual a 1. A sua conclusão foi estratégica. Abraços Pacini Em 20 de abril de 2015 10:23, Pedro José petroc...@gmail.com escreveu: Douglas, desculpe-me, só havia visto a nota do Pacini a equação original é a^13+b^90=b^2001 então (0,0) também é solução. Saudações, PJMS Em 20 de abril de 2015 10:12, Pedro José petroc...@gmail.com escreveu: Bom dia! Se há um fator p primo na fatoração de |b| então p é fator primo de |a|, está correto. Porém, o fator em b não é necessariamente 1, pode ser y e aí há solução 13 x - 90 y = 0. Só que |a|^13 = b^90 == |b^1911-1| = 1 o que é absurdo. então só há solução para a=0 == b=1. Douglas, (0,0) não é solução embora possa parecer contraditório 0 divide 0, porém não existe divisão por zero. a divide b se existe k Ɛ Z | b = ka. Porém, x/y == y ǂ 0 Saudações, PJMS Em 19 de abril de 2015 19:02, Douglas Oliveira de Lima profdouglaso.del...@gmail.com escreveu: Mas (a,b)=(0,0), ou (a,b)=(0,1) são soluções, então neste caso seriam somente essas. Em 18 de abril de 2015 20:28, Pacini Bores pacini.bo...@globo.com escreveu: Olá, por favor me corrijam se estou pensando errado. (a^13)/(b^90) = (b^1911 - 1). Seja p um fator primo de |b|, então p é um fator primo de |a|, ok ? Logo o fator primo p deve aparecer com expoente tal que o lado esquerdo da igualdade acima não tenha fator primo p, já que o lado direito não é divisível por p. Seja então x o expoente de p em |a|, donde teremos do lado esquerdo o valor 13x-90 como expoente de p, o que é estranho pois esse expoente é maior do que ou igual a 1. Daí não poderemos ter soluções, pois p não divide o lado direito da igualdade acima. Abraços Pacini Em 18 de abril de 2015 18:56, Douglas Oliveira de Lima profdouglaso.del...@gmail.com escreveu: Olá caros amigos gostaria de uma ajuda nesta questão, quais são as soluções inteiras da equação a^13+b^90=b^2001. Agradeço Desde já. Douglas Oliveira -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. This message was sent using IMP, the Internet Messaging Program. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
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Douglas, desculpe-me, só havia visto a nota do Pacini a equação original é a^13+b^90=b^2001 então (0,0) também é solução. Saudações, PJMS Em 20 de abril de 2015 10:12, Pedro José petroc...@gmail.com escreveu: Bom dia! Se há um fator p primo na fatoração de |b| então p é fator primo de |a|, está correto. Porém, o fator em b não é necessariamente 1, pode ser y e aí há solução 13 x - 90 y = 0. Só que |a|^13 = b^90 == |b^1911-1| = 1 o que é absurdo. então só há solução para a=0 == b=1. Douglas, (0,0) não é solução embora possa parecer contraditório 0 divide 0, porém não existe divisão por zero. a divide b se existe k Ɛ Z | b = ka. Porém, x/y == y ǂ 0 Saudações, PJMS Em 19 de abril de 2015 19:02, Douglas Oliveira de Lima profdouglaso.del...@gmail.com escreveu: Mas (a,b)=(0,0), ou (a,b)=(0,1) são soluções, então neste caso seriam somente essas. Em 18 de abril de 2015 20:28, Pacini Bores pacini.bo...@globo.com escreveu: Olá, por favor me corrijam se estou pensando errado. (a^13)/(b^90) = (b^1911 - 1). Seja p um fator primo de |b|, então p é um fator primo de |a|, ok ? Logo o fator primo p deve aparecer com expoente tal que o lado esquerdo da igualdade acima não tenha fator primo p, já que o lado direito não é divisível por p. Seja então x o expoente de p em |a|, donde teremos do lado esquerdo o valor 13x-90 como expoente de p, o que é estranho pois esse expoente é maior do que ou igual a 1. Daí não poderemos ter soluções, pois p não divide o lado direito da igualdade acima. Abraços Pacini Em 18 de abril de 2015 18:56, Douglas Oliveira de Lima profdouglaso.del...@gmail.com escreveu: Olá caros amigos gostaria de uma ajuda nesta questão, quais são as soluções inteiras da equação a^13+b^90=b^2001. Agradeço Desde já. Douglas Oliveira -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
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Bom dia! Se há um fator p primo na fatoração de |b| então p é fator primo de |a|, está correto. Porém, o fator em b não é necessariamente 1, pode ser y e aí há solução 13 x - 90 y = 0. Só que |a|^13 = b^90 == |b^1911-1| = 1 o que é absurdo. então só há solução para a=0 == b=1. Douglas, (0,0) não é solução embora possa parecer contraditório 0 divide 0, porém não existe divisão por zero. a divide b se existe k Ɛ Z | b = ka. Porém, x/y == y ǂ 0 Saudações, PJMS Em 19 de abril de 2015 19:02, Douglas Oliveira de Lima profdouglaso.del...@gmail.com escreveu: Mas (a,b)=(0,0), ou (a,b)=(0,1) são soluções, então neste caso seriam somente essas. Em 18 de abril de 2015 20:28, Pacini Bores pacini.bo...@globo.com escreveu: Olá, por favor me corrijam se estou pensando errado. (a^13)/(b^90) = (b^1911 - 1). Seja p um fator primo de |b|, então p é um fator primo de |a|, ok ? Logo o fator primo p deve aparecer com expoente tal que o lado esquerdo da igualdade acima não tenha fator primo p, já que o lado direito não é divisível por p. Seja então x o expoente de p em |a|, donde teremos do lado esquerdo o valor 13x-90 como expoente de p, o que é estranho pois esse expoente é maior do que ou igual a 1. Daí não poderemos ter soluções, pois p não divide o lado direito da igualdade acima. Abraços Pacini Em 18 de abril de 2015 18:56, Douglas Oliveira de Lima profdouglaso.del...@gmail.com escreveu: Olá caros amigos gostaria de uma ajuda nesta questão, quais são as soluções inteiras da equação a^13+b^90=b^2001. Agradeço Desde já. Douglas Oliveira -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Soluções inteiras
Ok! Pedro, obrigado pela observação do expoente de p em |b| não ser necessariamente igual a 1. A sua conclusão foi estratégica. Abraços Pacini Em 20 de abril de 2015 10:23, Pedro José petroc...@gmail.com escreveu: Douglas, desculpe-me, só havia visto a nota do Pacini a equação original é a^13+b^90=b^2001 então (0,0) também é solução. Saudações, PJMS Em 20 de abril de 2015 10:12, Pedro José petroc...@gmail.com escreveu: Bom dia! Se há um fator p primo na fatoração de |b| então p é fator primo de |a|, está correto. Porém, o fator em b não é necessariamente 1, pode ser y e aí há solução 13 x - 90 y = 0. Só que |a|^13 = b^90 == |b^1911-1| = 1 o que é absurdo. então só há solução para a=0 == b=1. Douglas, (0,0) não é solução embora possa parecer contraditório 0 divide 0, porém não existe divisão por zero. a divide b se existe k Ɛ Z | b = ka. Porém, x/y == y ǂ 0 Saudações, PJMS Em 19 de abril de 2015 19:02, Douglas Oliveira de Lima profdouglaso.del...@gmail.com escreveu: Mas (a,b)=(0,0), ou (a,b)=(0,1) são soluções, então neste caso seriam somente essas. Em 18 de abril de 2015 20:28, Pacini Bores pacini.bo...@globo.com escreveu: Olá, por favor me corrijam se estou pensando errado. (a^13)/(b^90) = (b^1911 - 1). Seja p um fator primo de |b|, então p é um fator primo de |a|, ok ? Logo o fator primo p deve aparecer com expoente tal que o lado esquerdo da igualdade acima não tenha fator primo p, já que o lado direito não é divisível por p. Seja então x o expoente de p em |a|, donde teremos do lado esquerdo o valor 13x-90 como expoente de p, o que é estranho pois esse expoente é maior do que ou igual a 1. Daí não poderemos ter soluções, pois p não divide o lado direito da igualdade acima. Abraços Pacini Em 18 de abril de 2015 18:56, Douglas Oliveira de Lima profdouglaso.del...@gmail.com escreveu: Olá caros amigos gostaria de uma ajuda nesta questão, quais são as soluções inteiras da equação a^13+b^90=b^2001. Agradeço Desde já. Douglas Oliveira -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Soluções inteiras
Boa tarde faltou completar se d divide a == m.d.c(d,a-1) = 1, a ǂ1. Saudações, PJMS Em 20 de abril de 2015 13:14, Pedro José petroc...@gmail.com escreveu: Boa tarde! Pacini, foi apenas uma observação. A sacada da mudança da equação dividindo por b^90 e a utilização do se d divide a == m.d.c(d,a-1), que foi o pulo do gato. Sem pegar carona na sua idéia não teria matado. Saudações, PJMS Em 20 de abril de 2015 11:09, Pacini Bores pacini.bo...@globo.com escreveu: Ok! Pedro, obrigado pela observação do expoente de p em |b| não ser necessariamente igual a 1. A sua conclusão foi estratégica. Abraços Pacini Em 20 de abril de 2015 10:23, Pedro José petroc...@gmail.com escreveu: Douglas, desculpe-me, só havia visto a nota do Pacini a equação original é a^13+b^90=b^2001 então (0,0) também é solução. Saudações, PJMS Em 20 de abril de 2015 10:12, Pedro José petroc...@gmail.com escreveu: Bom dia! Se há um fator p primo na fatoração de |b| então p é fator primo de |a|, está correto. Porém, o fator em b não é necessariamente 1, pode ser y e aí há solução 13 x - 90 y = 0. Só que |a|^13 = b^90 == |b^1911-1| = 1 o que é absurdo. então só há solução para a=0 == b=1. Douglas, (0,0) não é solução embora possa parecer contraditório 0 divide 0, porém não existe divisão por zero. a divide b se existe k Ɛ Z | b = ka. Porém, x/y == y ǂ 0 Saudações, PJMS Em 19 de abril de 2015 19:02, Douglas Oliveira de Lima profdouglaso.del...@gmail.com escreveu: Mas (a,b)=(0,0), ou (a,b)=(0,1) são soluções, então neste caso seriam somente essas. Em 18 de abril de 2015 20:28, Pacini Bores pacini.bo...@globo.com escreveu: Olá, por favor me corrijam se estou pensando errado. (a^13)/(b^90) = (b^1911 - 1). Seja p um fator primo de |b|, então p é um fator primo de |a|, ok ? Logo o fator primo p deve aparecer com expoente tal que o lado esquerdo da igualdade acima não tenha fator primo p, já que o lado direito não é divisível por p. Seja então x o expoente de p em |a|, donde teremos do lado esquerdo o valor 13x-90 como expoente de p, o que é estranho pois esse expoente é maior do que ou igual a 1. Daí não poderemos ter soluções, pois p não divide o lado direito da igualdade acima. Abraços Pacini Em 18 de abril de 2015 18:56, Douglas Oliveira de Lima profdouglaso.del...@gmail.com escreveu: Olá caros amigos gostaria de uma ajuda nesta questão, quais são as soluções inteiras da equação a^13+b^90=b^2001. Agradeço Desde já. Douglas Oliveira -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Soluções inteiras
Boa tarde! Pacini, foi apenas uma observação. A sacada da mudança da equação dividindo por b^90 e a utilização do se d divide a == m.d.c(d,a-1), que foi o pulo do gato. Sem pegar carona na sua idéia não teria matado. Saudações, PJMS Em 20 de abril de 2015 11:09, Pacini Bores pacini.bo...@globo.com escreveu: Ok! Pedro, obrigado pela observação do expoente de p em |b| não ser necessariamente igual a 1. A sua conclusão foi estratégica. Abraços Pacini Em 20 de abril de 2015 10:23, Pedro José petroc...@gmail.com escreveu: Douglas, desculpe-me, só havia visto a nota do Pacini a equação original é a^13+b^90=b^2001 então (0,0) também é solução. Saudações, PJMS Em 20 de abril de 2015 10:12, Pedro José petroc...@gmail.com escreveu: Bom dia! Se há um fator p primo na fatoração de |b| então p é fator primo de |a|, está correto. Porém, o fator em b não é necessariamente 1, pode ser y e aí há solução 13 x - 90 y = 0. Só que |a|^13 = b^90 == |b^1911-1| = 1 o que é absurdo. então só há solução para a=0 == b=1. Douglas, (0,0) não é solução embora possa parecer contraditório 0 divide 0, porém não existe divisão por zero. a divide b se existe k Ɛ Z | b = ka. Porém, x/y == y ǂ 0 Saudações, PJMS Em 19 de abril de 2015 19:02, Douglas Oliveira de Lima profdouglaso.del...@gmail.com escreveu: Mas (a,b)=(0,0), ou (a,b)=(0,1) são soluções, então neste caso seriam somente essas. Em 18 de abril de 2015 20:28, Pacini Bores pacini.bo...@globo.com escreveu: Olá, por favor me corrijam se estou pensando errado. (a^13)/(b^90) = (b^1911 - 1). Seja p um fator primo de |b|, então p é um fator primo de |a|, ok ? Logo o fator primo p deve aparecer com expoente tal que o lado esquerdo da igualdade acima não tenha fator primo p, já que o lado direito não é divisível por p. Seja então x o expoente de p em |a|, donde teremos do lado esquerdo o valor 13x-90 como expoente de p, o que é estranho pois esse expoente é maior do que ou igual a 1. Daí não poderemos ter soluções, pois p não divide o lado direito da igualdade acima. Abraços Pacini Em 18 de abril de 2015 18:56, Douglas Oliveira de Lima profdouglaso.del...@gmail.com escreveu: Olá caros amigos gostaria de uma ajuda nesta questão, quais são as soluções inteiras da equação a^13+b^90=b^2001. Agradeço Desde já. Douglas Oliveira -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Soluções inteiras
Mas (a,b)=(0,0), ou (a,b)=(0,1) são soluções, então neste caso seriam somente essas. Em 18 de abril de 2015 20:28, Pacini Bores pacini.bo...@globo.com escreveu: Olá, por favor me corrijam se estou pensando errado. (a^13)/(b^90) = (b^1911 - 1). Seja p um fator primo de |b|, então p é um fator primo de |a|, ok ? Logo o fator primo p deve aparecer com expoente tal que o lado esquerdo da igualdade acima não tenha fator primo p, já que o lado direito não é divisível por p. Seja então x o expoente de p em |a|, donde teremos do lado esquerdo o valor 13x-90 como expoente de p, o que é estranho pois esse expoente é maior do que ou igual a 1. Daí não poderemos ter soluções, pois p não divide o lado direito da igualdade acima. Abraços Pacini Em 18 de abril de 2015 18:56, Douglas Oliveira de Lima profdouglaso.del...@gmail.com escreveu: Olá caros amigos gostaria de uma ajuda nesta questão, quais são as soluções inteiras da equação a^13+b^90=b^2001. Agradeço Desde já. Douglas Oliveira -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Soluções inteiras
Bom dia! Faltou o resto 0, mas não influencia em nada a solução. Saudações, PJMS Em 17 de abril de 2015 10:35, Esdras Muniz esdrasmunizm...@gmail.com escreveu: É que os únicos restos possíveis de um quadrado por 11 são 1, 4, 9, 5 e 3. Se houvesse solução inteira, o x² teria que ter resto 10 quando dividido por 11. Em 17 de abril de 2015 06:39, Pedro Chaves brped...@hotmail.com escreveu: Caros Colegas, Como podemos provar que a equação x^2 + 1 = 11y não possui nenhuma solução inteira? Abraços! Pedro Chaves -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esdras Muniz Mota Mestrando em Matemática Universidade Federal do Ceará -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Soluções
4) Seja X={n^3 + 3(n^2) + 3n com n igual ou maior que 0} e Y={3n - 1 com
n0}. Prove que X=Y.
n=1
x=7
y= 2
x!=y
n=n
x-y=n^3+3n^2+3n-3n+1=n^3+3n^2+1=!0
n=n+1
x-y=n^3+3n^2+1=(n+1)^3+3(n+1)^2+1=!0
2014-09-20 21:40 GMT-03:00 Raphael Feijao raphaelfei...@hotmail.com:
2) 5^n -1 é divisivel por 4
passo 1) p/ n=1 - 5^1 - 1 = 4
passo 2) para n=p -
5^p -1 = 0 (mod 4)
5^(p+1) = 5 (mod 4)
5^(p+1) = 1 (mod 4)
5^(p+1) -1 = 0 (mod 4)
Raphael Feijão
Em 20/09/2014, às 20:30, saulo nilson saulo.nil...@gmail.com escreveu:
1) Prove por indução que 1 + 2^n 3^n, para n igual ou maior que 2.
para n=2
1+2^2=53^2
para n=p
3^n=(1+2)^n=1+2^n+soma(p=1 a n-1)2^p=1+2^n+k1+2^n
para n=n+1
1+2^(n+1)^3^n+2^n3^n+2*3^n3^(n+1)
2014-09-20 18:23 GMT-03:00 Daniel Rocha daniel.rocha@gmail.com:
Olá amigos,
Â
Eu gostaria de, POR FAVOR, obter as soluções das seguintes questões:
Â
1) Prove por indução que 1 + 2^n 3^n, para n igual ou maior que 2.
Â
2) Prove por indução que 5^n - 1 é divisÃvel por 4, para
n=1,2,3,4,.
Â
3) Prove por indução em n que o conjunto de palavras (a + ab)^n, para
n=1,2,3,4,. é formado por todas as palavras que começam com a e não
tem b's consecutivos.
Â
4) Seja X={n^3 + 3(n^2) + 3n com n igual ou maior que 0} e Y={3n - 1 com
n0}. Prove que X=Y.
Â
5) Quem tem mais elementos, o conjunto dos números pares, ou o conjunto
dos números Ãmpares? Justifique.
Â
Pessoal, essas são as questões.
Â
Eu aguardo sua resposta.
Um abraço.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e
acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Soluções inteiras da equação x/y = x - y
Caro Salhab, Na verdade: k|y e y|k = |k| = |y| De qualquer forma, chega-se a mesma conclusão. Um abraço do Paulo Argolo! ___ Date: Tue, 18 Jun 2013 15:14:58 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Soluções inteiras da equação x/y = x - y From: msbro...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Olá, Ennius, tudo bem? Se as soluções são inteiras, então temos que y|x, logo: x = ky. Assim: ky/y = ky - y k = ky - y k + y = ky Então: k|y e y|k = y = k. y + y = y*y = y(y-2) = 0 = y = 0 ou y = 2. Mas y não pode ser 0, pois a equação original é x/y = x - y. Assim: y = 2, k = 2 e x = ky = 4. Abraços, Salhab 2013/6/18 ennius enn...@bol.com.br Colegas da Lista, Como mostrar que a equação x/y = x - y não admite soluções inteiras, além de x = 4 e y = 2? -- -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Soluções inteiras da equação x/y = x - y
É verdade! Nesse caso, chega-se a mesma conclusão, mas em outros problemas esse erro pode esconder alguma possível solução. Obrigado! :) Abraços, Salhab 2013/6/18 Paulo Argolo pauloarg...@outlook.com Caro Salhab, Na verdade: k|y e y|k = |k| = |y| De qualquer forma, chega-se a mesma conclusão. Um abraço do Paulo Argolo! ___ Date: Tue, 18 Jun 2013 15:14:58 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Soluções inteiras da equação x/y = x - y From: msbro...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Olá, Ennius, tudo bem? Se as soluções são inteiras, então temos que y|x, logo: x = ky. Assim: ky/y = ky - y k = ky - y k + y = ky Então: k|y e y|k = y = k. y + y = y*y = y(y-2) = 0 = y = 0 ou y = 2. Mas y não pode ser 0, pois a equação original é x/y = x - y. Assim: y = 2, k = 2 e x = ky = 4. Abraços, Salhab 2013/6/18 ennius enn...@bol.com.br Colegas da Lista, Como mostrar que a equação x/y = x - y não admite soluções inteiras, além de x = 4 e y = 2? -- -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Soluções inteiras da equação x/y = x - y
Olá , É interessante também observar que nesses tipos de problemas , já que y=0 e y =1 não são soluções, podemos escrever : x = y^2/(y-1) = y+1 +1/(y-1) ; ou seja (y-1) deve ser -1 ou +1 . Daí y = 2 e x = 4 . Abraços Carlos Victor Em 18 de junho de 2013 19:43, Marcelo Salhab Brogliato msbro...@gmail.comescreveu: É verdade! Nesse caso, chega-se a mesma conclusão, mas em outros problemas esse erro pode esconder alguma possível solução. Obrigado! :) Abraços, Salhab 2013/6/18 Paulo Argolo pauloarg...@outlook.com Caro Salhab, Na verdade: k|y e y|k = |k| = |y| De qualquer forma, chega-se a mesma conclusão. Um abraço do Paulo Argolo! ___ Date: Tue, 18 Jun 2013 15:14:58 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Soluções inteiras da equação x/y = x - y From: msbro...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Olá, Ennius, tudo bem? Se as soluções são inteiras, então temos que y|x, logo: x = ky. Assim: ky/y = ky - y k = ky - y k + y = ky Então: k|y e y|k = y = k. y + y = y*y = y(y-2) = 0 = y = 0 ou y = 2. Mas y não pode ser 0, pois a equação original é x/y = x - y. Assim: y = 2, k = 2 e x = ky = 4. Abraços, Salhab 2013/6/18 ennius enn...@bol.com.br Colegas da Lista, Como mostrar que a equação x/y = x - y não admite soluções inteiras, além de x = 4 e y = 2? -- -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re:[obm-l] Re:[obm-l] Soluções OB M 2006 (Nível 3)
A solucao abaixo esta incompleta.
Reduzindo a fracao continua:
F(x) = [2a_n; 2b_n, 2a_(n-1), 2b_(n-1), ..., 2b_2, 2a_1, 2b_1 + 1/x]
achamos que F(x) = (cx + d)/(ex + f), onde c, d, e, f dependem dos a_i e dos
b_i.
dado que os a_i e b_i sao todos nao nulos, eh possivel provar que:
(i) c, e nao sao ambos nulos;
(ii) d, f sao impares.
Essas duas condicoes sao suficientes para garantir que:
(1) F eh bem definida em R - A, onde A eh um conjunto finito (*);
(2) F nao eh a identidade.
(*) Dependendo de quao chato voce eh, A pode ser apenas {-f/e} ou A pode
consistir de cada valor de x para o qual a reducao de F(x) a
forma (cx+d)/(ex+f) resulta em algum denominador nulo no meio do caminho. O
importante, no entanto, eh observar que como a fracao
continua eh finita, A serah finito.
Por exemplo,
Se F(x) = 2 + 1/(2 + 1/(-4 + 1/x)) =
2 + 1/(2 + x/(-4x+1)) =
2 + (-4x+1)/(-7x+2) =
(-18x+5)(-7x+2), entao:
A pode ser apenas {2/7} ou entao {0, 1/4, 2/7}.
Repare que se x = 1/4, por exemplo, entao F(x) = 2.
No entanto, no passo a passo, teremos:
F(x) = 2 + 1/(2 + 1/(-4 + 1/(1/4))) = 2 + 1/(2 + 1/(-4 + 4)) =
2 + 1/(2 + 1/0) (!!!) = 2 + 1/(2 + infinito) (!!!) = 2 + 0 (!!!) = 2.
Enfim, pondo a mao na massa, achamos:
2a_1 + 1/(2b_1 + 1/x) = (4b_1a_1x + 1)/(2b_1x + 1) = (c_1x + d_1)/(e_1x + f_1),
onde:
c_1 = 4b_1a_1; d_1 = 1; e_1 = 2b_1; f_1 = 1.
Em particular, d_1, f_1 sao impares e c_1, e_1 nao sao ambos nulos.
Supondo, agora que d, f sao impares e c, e nao sao ambos nulos, teremos
que, dados a, b inteiros nao-nulos:
2a + 1/(2b + (ex + f)/(cx + d)) =
2a + (cx + d)/((2bc + e)x + (2bd + f)) =
((4abc + 2ae + c)x + (4abd + 2af + d))/((2bc + e)x + (2bd + f)) =
(c'x + d')/(e'x + f').
Obviamente, d' e f' sao impares e, portanto, nao-nulos.
e = 0 == c 0 == c' = c(4ab + 1) 0; e' = 2bc 0
e 0 ==
c' = 0 == (4ab+1)c + 2ae = 0 == c = -2ae/(4ab+1)
e' = 0 == c = -e/2b = -2ae/(4ab)
Assim, c' e e' nao podem ser ambos nulos.
Por inducao, concluimos o mesmo para a expressao de F(x) acima.
Isso completa a solucao abaixo.
[]s,
Claudio.
-- Cabeçalho original ---
De: [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data: Mon, 13 Nov 2006 19:23:46 -0300
Assunto: [obm-l] Re:[obm-l] Soluções OBM 2006 (Nível 3)
Oi, Márcio:
Tive uma idéia pra esse problema.
Aplicando a matriz A^a B^b ao vetor (x,y)^t, obtemos a imagem:
( (4ab +1)x + 2ay , 2bx + y ).
Assim, se ctg(t) = x/y (supondo y 0), teremos que:
ctg(t') = ((4ab +1)x + 2ay)/(2bx + y) = 2a + 1/(2b + 1/ctg(t))
Logo, se P = Produto(i=1...n) A^a_i B^b_i, então:
P(x_0,y_0)^t = (x_n,y_n) e ctg(t_0) = x_0/y_0 (y_0 0) ==
ctg(t_n) = x_n/y_n =
[2a_n; 2b_n, 2a_(n-1), 2b_(n-1), ..., 2b_2, 2a_1, 2b_1 + 1/ctg(t_0)]
(fração contínua simples finita de coeficientes inteiros)
Ou seja, ctg(t_n) e uma função contínua de ctg(t_0).
Agora, se dados n em N e a_i, b_i em Z - {0} (1=i=n), tivermos P = I, então
a função F:R-{0} - R dada por:
F(x) = [2a_n; 2b_n, 2a_(n-1), 2b_(n-1), ..., 2b_2, 2a_1, 2b_1 + 1/x] será
igual a identidade, ou seja:
[2a_n; 2b_n, 2a_(n-1), 2b_(n-1), ..., 2b_2, 2a_1, 2b_1 + 1/x] = x, para todo
x em R - {0}.
No entanto, quando x - +inf e x - -inf, F(x) tende ao mesmo valor, dado
por: [2a_n; 2b_n, 2a_(n-1), 2b(n-1), ..., 2b_2, 2a_1,
2b_1] ==
contradição, pois se F(x) = x, deveríamos ter F(x) - +inf e -inf,
respectivamente.
Logo, não pode ser P = I para nenhum n em N, a_i, b_i em Z - {0}.
Você vê algum furo?
[]s,
Claudio.
De:[EMAIL PROTECTED]
Para:obm-l@mat.puc-rio.br obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data:Sun, 12 Nov 2006 15:06:52 -0200
Assunto:[obm-l] Soluções OBM 2006 (Nível 3)
Conforme prometido, eu e o Villard colocamos em www.majorando.com as
soluções da OBM 2006.
Por enquanto colocamos apenas as soluções do nível 3.
Para o nível U, está faltando resolver a 6. Mesmo conversando com diversos
alunos que fizeram a prova ainda não conseguimos
resolver essa questão.
Se alguém puder enviar a solução, ela será incluída no site no próximo fim
de semana com os devidos créditos (durante a semana é
difícil de arranjarmos tempo).
Abraços,
Marcio Cohen
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
[obm-l] RE: [obm-l] Re:[obm-l] Soluções OBM 2006 ( Nivel 3) (Problema 6 Nivel U)
Oi Márcio,
A solução que eu pensei pro problema 6 interpreta as matrizes A B como
operadoers lineares sobre os pontos do primeiro quadrante.
Assim, pega (x,y) no primeiro quadrante. então A*((x,y)transposto) =(x',y');
mas (x',y') é mais longe da origem que (x,y) ( norma de A(x,y)t é maior que
norma de (x,y)). A mesma coisa pro B.
Então, supõe que existe um produtão de A e B que dá I. Aí multiplica pelo
vetor coluna (1,1) dos dois lados, que é a mesma coisa que aplicar cada lado
da equação como um operador sobre o ponto (1,1), e aí o lado direito
continua sendo o ponto (1,1), e o esquerdo vira um ponto mais longe da
origem que (1,1). Então absurdo!
Abraço,
Gabriel
From: claudio\.buffara [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
To: obm-l obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Re:[obm-l] Soluções OBM 2006 (Nível 3)
Date: Mon, 13 Nov 2006 19:23:46 -0300
Oi, Márcio:
Tive uma idéia pra esse problema.
Aplicando a matriz A^a B^b ao vetor (x,y)^t, obtemos a imagem:
( (4ab +1)x + 2ay , 2bx + y ).
Assim, se ctg(t) = x/y (supondo y 0), teremos que:
ctg(t') = ((4ab +1)x + 2ay)/(2bx + y) = 2a + 1/(2b + 1/ctg(t))
Logo, se P = Produto(i=1...n) A^a_i B^b_i, então:
P(x_0,y_0)^t = (x_n,y_n) e ctg(t_0) = x_0/y_0 (y_0 0) ==
ctg(t_n) = x_n/y_n =
[2a_n; 2b_n, 2a_(n-1), 2b_(n-1), ..., 2b_2, 2a_1, 2b_1 + 1/ctg(t_0)]
(fração contínua simples finita de coeficientes inteiros)
Ou seja, ctg(t_n) e uma função contínua de ctg(t_0).
Agora, se dados n em N e a_i, b_i em Z - {0} (1=i=n), tivermos P = I,
então a função F:R-{0} - R dada por:
F(x) = [2a_n; 2b_n, 2a_(n-1), 2b_(n-1), ..., 2b_2, 2a_1, 2b_1 + 1/x] será
igual a identidade, ou seja:
[2a_n; 2b_n, 2a_(n-1), 2b_(n-1), ..., 2b_2, 2a_1, 2b_1 + 1/x] = x, para
todo x em R - {0}.
No entanto, quando x - +inf e x - -inf, F(x) tende ao mesmo valor, dado
por: [2a_n; 2b_n, 2a_(n-1), 2b(n-1), ..., 2b_2, 2a_1, 2b_1] ==
contradição, pois se F(x) = x, deveríamos ter F(x) - +inf e -inf,
respectivamente.
Logo, não pode ser P = I para nenhum n em N, a_i, b_i em Z - {0}.
Você vê algum furo?
[]s,
Claudio.
De:[EMAIL PROTECTED]
Para:obm-l@mat.puc-rio.br obm-l@mat.puc-rio.br
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Data:Sun, 12 Nov 2006 15:06:52 -0200
Assunto:[obm-l] Soluções OBM 2006 (Nível 3)
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questão.
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Abraços,
Marcio Cohen
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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=
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Soluções da obm-u
Olá, Márcio!
Eu e o Cláudio andamos discutindo o problema... eu encontrei a solução para
a soma e o Cláudio facilmente extendeu para o produto.
bom, aqui vai a minha solução
é simples verificar que existe um se f e g são bacanas existe um inteiro n
tal que existem P[i], Q[i], i = 0...n-1 não todos nulos tais que:
soma {P[i]*f^i(t), i=0..n-1} = 0 = soma {Q[i]*g^i(t), i=0..n-1}
para qualquer N = n podemos obter uma combinação linear (com coeficientes
em F[t]) de f^i (t) com 0=in que expresse f^N (t), de forma análoga temos
o resultado para g.
a demonstração disso é bem direta:
f^n (t) = u_0*f(t) + u_1*f'(t) + ... + u_(n-1)*f^(n-1) (t)
f^(n+1) (t) = [u_0*f(t) + ... + u_(n-1)*f^(n-1) (t)]' =
u_0'*f(t) + (u_0 + u_1')*f'(t) + (u_1 + u_2') f''(t) + ...
+ [u_(n-2) + u_(n-1)']*f^(n) (t)
e f^(n) (t) é expresso como comb. linear de f, f', ..., f^(n-1) e o
resultado sai por indução.
considere o espaço vetorial F[t]^(2n)
podemos exibir um mapa entre as funções e vetores nesse espaço vetorial
imaginando o produto interno do vetor por (f, f', ..., f^(n-1), g, g', ...,
g^(n-1))
definimos o mapa então como:
f + g - (1, 0, ..., 0, 1, 0, ..., 0)
f' + g' - (0, 1, ..., 0, 0, 1, 0, ..., 0)
...
f^(n-1)+g^(n-1) = (0, 0, ..., 0, 1, 0, ..., 1)
mapeando f^(i)+g^(i) com i=0..2n obtemos 2n+1 vetores
mas 2n+1 vetores num EV de dimensão 2n são linearmente dependentes, o que
implica dizer que existem elementos w_i em F[t] tais que:
w_0*(f+g) + w_1*(f' + g') + ... + w_2n*(f^(2n) + g^(2n)) = 0
e assim provamos que f+g é bacana.
f*g sai de forma similar.
a demonstração de vocês é diferente disso?
[ ]'s
- Original Message -
From: Marcio Afonso A. Cohen [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Wednesday, February 18, 2004 8:50 PM
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Soluções da obm-u
Oi Domingos, no meu último email para essa lista eu mostrei que se a e b
sao algebricos, entao a+b e ab tmb sao, adaptando a ideia que o Carlos usou
para resolver a questao 5 da obm-u do ano passado.. De uma lida nesse email
e tente adaptar (note que eh muito parecido dizer que a satisfaz a^n +
p1*a^n-1 + ... pn = 0 com (pi)'s racionais e dizer que uma funcao f satisfaz
f^n + p1*f^n-1 + ... + pn com (pi)'s funcoes racionais e f^k sendo a k-esima
derivada), pq a coisa eh essencialmente a mesma. Se vc nao conseguir,
pergunte que eu completo os detalhes!
Abraços,
Marcio.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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