[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] duas séries e um resultado

[Luís]

Oi, oi Ralph, 
Obrigado pelo interesse e respostas. 

Você está certo. "Eles" fazem exatamente isso. 
Recebi o artigo onde a questão aparece: 
Almkvist., G e Berndt, B., "Gauss, Landen, Ramanujan, The A-G Mean, Ellipses, 
\pi, and the Ladies Diary". The American Mathematical Monthly, 95, 1988, pp. 
585--608. 
Obs.: o artigo dá a questão como um exemplo da falta de rigor predominante na 
época em que foi "resolvida". 
Abs, Luís 

From: ralp...@gmail.com
Date: Mon, 11 Jan 2016 17:27:52 -0200
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] duas séries e um resultado
To: obm-l@mat.puc-rio.br

Pior que eu sei o que "eles" QUEREM que voce faca -- mas que estah errado. Eles 
QUEREM pensar assim:
sqrt(2)b=SUM (1/sqrt(k))b = SUM (1/sqrt(2k))
Entao quando voce faz (sqrt(2)-1)b, voce tem a soma dos inversos das raizes dos 
inteiros, da qual voce subtrai a soma dos inversos das raizes dos pares, 
ficando a soma dos inversos das raizes dos impares, que seria o a.
Mas, como eu disse, estah errado -- pelo menos no universo dos reais, b nao 
existe, nem sqrt(2)b, nem a.
Abraco, Ralph.

2016-01-11 17:18 GMT-02:00 Ralph Teixeira :
Bom, se eu entendi, do jeito que estah eh falso, porque nenhuma destas series 
converge!
(Bom, pelo menos nos reais... A menos que eles estejam em algum outro 
sistema...)

Abraco, Ralph.
2016-01-11 12:31 GMT-02:00 Luís :



Sauda,c~oes, 
Um bom 2016 para todos. 
Recebi o seguinte problema. 
a = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{\sqrt{2k+1}} e 
b = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{2k}}. 
Mostre que a / b = \sqrt{2} - 1. 
Abs, Luís 
  



  

[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] duas séries e um resultado

[Ralph Teixeira]

Sim, essa eh uma otima maneira de "consertar" o enunciado... Eu acho que
prefiro mudar um pouquinho a definicao de a_n para ter o mesmo numero de
termos do b_n -- fica mais bonitinho, e nao deve fazer diferenca, pois
minha definicao e a sua vao diferir de 1/sqrt(2n+1), que tende a 0. Ou
seja, quero fazer:

a_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{2k-1}}
b_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{2k}}.

Bom, com esta notacao, temos:

sqrt(2).b_{2n} = a_n + b_n

Dividindo por b_n vem

sqrt(2).b_{2n}/b_n = a_n/b_n + 1

Mas b_n eh "parecido" com Int (1 a n) sqrt(x) dx = 2sqrt(n)-2, entao b_{2n}
eh "da ordem de" 2sqrt(2n)-2 (dah para escrever umas desigualdades mais
exatas olhando o Teste da Integral). Entao eu estou chutando que b_{2n}/b_n
-> sqrt(2), e portanto a_n/b_n -> 1.

Vai ser dificil fazer aparecer o sqrt(2)-1 que eles querem!

Abraco, Ralph.




2016-01-11 17:34 GMT-02:00 Luís :

> Oi, oi Ralph,
>
> Concordo. Pensei então no seguinte problema:
>
> c_n = a_n / b_n.
>
> Mostre (será ??) que c = lim c_n =  \sqrt{2} - 1.
>
> a_n = \sum_{k=0}^n \frac{1}{\sqrt{2k+1}} e
>
> b_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{2k}}.
>
>
> --
> From: ralp...@gmail.com
> Date: Mon, 11 Jan 2016 17:18:01 -0200
> Subject: [obm-l] Re: [obm-l] duas séries e um resultado
> To: obm-l@mat.puc-rio.br
>
> Bom, se eu entendi, do jeito que estah eh falso, porque nenhuma destas
> series converge!
>
> (Bom, pelo menos nos reais... A menos que eles estejam em algum outro
> sistema...)
>
> Abraco, Ralph.
>
> 2016-01-11 12:31 GMT-02:00 Luís :
>
> Sauda,c~oes,
>
> Um bom 2016 para todos.
>
> Recebi o seguinte problema.
>
> a = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{\sqrt{2k+1}} e
>
> b = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{2k}}.
>
> Mostre que a / b = \sqrt{2} - 1.
>
> Abs,
> Luís
>
>
>

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] duas séries e um resultado

[Esdras Muniz]

vc quer calcular limite quando n vai pro infinito de:

 \frac{ \sum_{k=0}^n \frac{1}{\sqrt{2k+1}} }{  \sum_{k=1}^n
\frac{1}{\sqrt{2k}} } + 1 =
\frac{ \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{k}} }{  \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{2k}}
} =
\sqrt{2}  \frac{ \sum_{k=1}^2n \frac{1}{\sqrt{k}} }{  \sum_{k=1}^n
\frac{1}{\sqrt{k}} } =
\sqrt{2}  [1 + \frac{ \sum_{k=n}^2n \frac{1}{\sqrt{k + n}} }{  \sum_{k=1}^n
\frac{1}{\sqrt{k}} } ] =
\sqrt{2} + \sqrt{2}  \frac{ \sum_{k=n}^2n \frac{1}{\sqrt{k + n}} }{
\sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{k}} }

Mas \frac{ \sum_{k=n}^2n \frac{1}{\sqrt{k + n}} }{  \sum_{k=1}^n
\frac{1}{\sqrt{k}} } vai pra zero com n, para ver basta usar que a média
dos quadrados é maior ou igual a média aritmética, assim:

\sum_{k=n}^2n \frac{1}{\sqrt{k}} \leq \frac{1}{n}\sqrt{\sum_{k=n}^2n
\frac{1}{k + n}} <

\frac{1}{n}\sqrt{\sum_{k=n}^2n \frac{1}{n}} = \frac{1}{n}.

Enquanto \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{k}} > 1.

[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] duas séries e um resultado

[Ralph Teixeira]

Alguns errinhos no que eu fiz: b_n eh parecido com Int (1 a n) *1/*sqrt(*2*x)
dx = *sqrt(2)* (sqrt(n)-1). Entao minhas estimativas para b_n e b_2n estao
erradas por um fator de sqrt(2) -- mas isto nao afeta a razao b_(2n)/b_n,
entao continuo achando que a_n/b_n -> 1.

2016-01-11 17:58 GMT-02:00 Ralph Teixeira :

> Sim, essa eh uma otima maneira de "consertar" o enunciado... Eu acho que
> prefiro mudar um pouquinho a definicao de a_n para ter o mesmo numero de
> termos do b_n -- fica mais bonitinho, e nao deve fazer diferenca, pois
> minha definicao e a sua vao diferir de 1/sqrt(2n+1), que tende a 0. Ou
> seja, quero fazer:
>
> a_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{2k-1}}
> b_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{2k}}.
>
> Bom, com esta notacao, temos:
>
> sqrt(2).b_{2n} = a_n + b_n
>
> Dividindo por b_n vem
>
> sqrt(2).b_{2n}/b_n = a_n/b_n + 1
>
> Mas b_n eh "parecido" com Int (1 a n) sqrt(x) dx = 2sqrt(n)-2, entao
> b_{2n} eh "da ordem de" 2sqrt(2n)-2 (dah para escrever umas desigualdades
> mais exatas olhando o Teste da Integral). Entao eu estou chutando que
> b_{2n}/b_n -> sqrt(2), e portanto a_n/b_n -> 1.
>
> Vai ser dificil fazer aparecer o sqrt(2)-1 que eles querem!
>
> Abraco, Ralph.
>
>
>
>
> 2016-01-11 17:34 GMT-02:00 Luís :
>
>> Oi, oi Ralph,
>>
>> Concordo. Pensei então no seguinte problema:
>>
>> c_n = a_n / b_n.
>>
>> Mostre (será ??) que c = lim c_n =  \sqrt{2} - 1.
>>
>> a_n = \sum_{k=0}^n \frac{1}{\sqrt{2k+1}} e
>>
>> b_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{2k}}.
>>
>>
>> --
>> From: ralp...@gmail.com
>> Date: Mon, 11 Jan 2016 17:18:01 -0200
>> Subject: [obm-l] Re: [obm-l] duas séries e um resultado
>> To: obm-l@mat.puc-rio.br
>>
>> Bom, se eu entendi, do jeito que estah eh falso, porque nenhuma destas
>> series converge!
>>
>> (Bom, pelo menos nos reais... A menos que eles estejam em algum outro
>> sistema...)
>>
>> Abraco, Ralph.
>>
>> 2016-01-11 12:31 GMT-02:00 Luís :
>>
>> Sauda,c~oes,
>>
>> Um bom 2016 para todos.
>>
>> Recebi o seguinte problema.
>>
>> a = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{\sqrt{2k+1}} e
>>
>> b = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{2k}}.
>>
>> Mostre que a / b = \sqrt{2} - 1.
>>
>> Abs,
>> Luís
>>
>>
>>
>

[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] duas séries e um resultado

[Luís]

Oi, oi Ralph, 
Concordo. Pensei então no seguinte problema: 
c_n = a_n / b_n. 
Mostre (será ??) que c = lim c_n =  \sqrt{2} - 1. 
a_n = \sum_{k=0}^n \frac{1}{\sqrt{2k+1}} e 
b_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{2k}}. 

From: ralp...@gmail.com
Date: Mon, 11 Jan 2016 17:18:01 -0200
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] duas séries e um resultado
To: obm-l@mat.puc-rio.br

Bom, se eu entendi, do jeito que estah eh falso, porque nenhuma destas series 
converge!
(Bom, pelo menos nos reais... A menos que eles estejam em algum outro 
sistema...)

Abraco, Ralph.
2016-01-11 12:31 GMT-02:00 Luís :



Sauda,c~oes, 
Um bom 2016 para todos. 
Recebi o seguinte problema. 
a = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{\sqrt{2k+1}} e 
b = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{2k}}. 
Mostre que a / b = \sqrt{2} - 1. 
Abs, Luís