[obm-l] Re: [obm-l] Somatório
Como a função x ---> 1/x3 , x > 0, é postiva e estritamente decrescente, para todo inteiro positivo n temos que Soma(1, n) 1/k^3 = 1 + Soma(2, n) 1/k^3 < 1 + Integral (2,n) 1/x^3 dx < 1 + Integral (2, oo) 1/x^3 dx = 1 + [-1/(2x^2)] [2, oo) = 1 + 1/1/8 = 9/8 < 10/8 = 5/4 Em ter., 16 de fev. de 2021 07:23, escreveu: > Seja n um inteiro positivo. Prove que: > > Somatório(1/k^3)<5/4 , k=1 até n > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > = > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Somatório
Seja n um inteiro positivo. Prove que: Somatório(1/k^3)<5/4 , k=1 até n -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] somatório
Como eu posso provar de maneira fácil que a sequencia de baixo obedece a mesma relação de recorrencia que a que está descrita logo acima [image: image.png] -- Israel Meireles Chrisostomo -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Somatório
Dá 41. Em 21 de outubro de 2014 19:53, ruymat...@ig.com.br escreveu: Não lembro a notação para somatório usada aqui. Vou escrever assim: Seja o SOMATÓRIO com n variando de zero a infinito de sen(nx)/3^n=(a+bsqrt(2))/c. Se mdc(a,b)=1 , senx=1/3 e 0=x=pi/2, calcule a+b+c. Quem ajudar, agradeço antecipadamente. Abraços a todos. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esdras Muniz Mota Graduando em Matemática Bacharelado Universidade Federal do Ceará -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Somatório
É só usar a forma complexa do seno e transformar na diferença de duas séries geométricas. Aí a soma dá (5+2sqrt(2))/34 Em 22 de outubro de 2014 10:02, Esdras Muniz esdrasmunizm...@gmail.com escreveu: Dá 41. Em 21 de outubro de 2014 19:53, ruymat...@ig.com.br escreveu: Não lembro a notação para somatório usada aqui. Vou escrever assim: Seja o SOMATÓRIO com n variando de zero a infinito de sen(nx)/3^n=(a+bsqrt(2))/c. Se mdc(a,b)=1 , senx=1/3 e 0=x=pi/2, calcule a+b+c. Quem ajudar, agradeço antecipadamente. Abraços a todos. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esdras Muniz Mota Graduando em Matemática Bacharelado Universidade Federal do Ceará -- Esdras Muniz Mota Graduando em Matemática Bacharelado Universidade Federal do Ceará -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Somatório
Não lembro a notação para somatório usada aqui. Vou escrever assim: Seja o SOMATÓRIO com n variando de zero a infinito de sen(nx)/3^n=(a+bsqrt(2))/c. Se mdc(a,b)=1 , senx=1/3 e 0=x=pi/2, calcule a+b+c. Quem ajudar, agradeço antecipadamente. Abraços a todos. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Somatório
Primeiro você toma 3 somas: 1 - 1 + 1 - 1 ... = s1 1-2+3-4+5-6+... = s2 1+2+3+4+5...=s3 A primeira vai dar 1/2 pois se parar em um número ímpar dá 1 e se parar em um par da 0. A segunda se você somá-la a ela mesma mas com um zero na frente (1-2+3-4+5-6+...) + (0+1-2+3-4+5-6+...) vai dar 1-1+1-1... = s1 = 1/2 = 2s2, então s2 = 1/4... Por fim: se subtrair s3 de s2 dará o somatório de todos múltiplos de 4 - 4(1+2+3+4...) = s3 -s2 - 4(s3) = s3 - 1/4 - s3 = -1/12 que é o somatório de todos naturais. Em 12/04/2014, às 12:53, Vanderlei Nemitz vanderma...@gmail.com escreveu: Pessoal, vi em um site a seguinte camiseta: http://www.zazzle.com.br/teoria_da_corda-235032240070858893 Lembrei que uma vez um aluno meu disse que tinha visto uma prova de que a soma dos infinitos números naturais era negativa. Não consegui encontrar na época e agora vi outra vez vez na camiseta. Alguém sabe como explicar esse absurdo ou então existe alguma explicação física, como diz o site? Obrigado! -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Somatório
Esse link é interessante: https://www.youtube.com/watch?v=0Oazb7IWzbA Em 12 de abril de 2014 12:53, Vanderlei Nemitz vanderma...@gmail.comescreveu: Pessoal, vi em um site a seguinte camiseta: http://www.zazzle.com.br/teoria_da_corda-235032240070858893 Lembrei que uma vez um aluno meu disse que tinha visto uma prova de que a soma dos infinitos números naturais era negativa. Não consegui encontrar na época e agora vi outra vez vez na camiseta. Alguém sabe como explicar esse absurdo ou então existe alguma explicação física, como diz o site? Obrigado! -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Somatório
Pessoal, vi em um site a seguinte camiseta: http://www.zazzle.com.br/teoria_da_corda-235032240070858893 Lembrei que uma vez um aluno meu disse que tinha visto uma prova de que a soma dos infinitos números naturais era negativa. Não consegui encontrar na época e agora vi outra vez vez na camiseta. Alguém sabe como explicar esse absurdo ou então existe alguma explicação física, como diz o site? Obrigado! -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Somatório
Em algum sentido, parece ser verdade! Veja a seção smoothed asymptotics desta página da wikipedia http://en.wikipedia.org/wiki/1_%2B_2_%2B_3_%2B_4_%2B_⋯ antes de consultar quem realmente entende http://terrytao.wordpress.com/2010/04/10/the-euler-maclaurin-formula-bernoulli-numbers-the-zeta-function-and-real-variable-analytic-continuation/ [], Leo. 2014-04-12 12:53 GMT-03:00 Vanderlei Nemitz vanderma...@gmail.com: Pessoal, vi em um site a seguinte camiseta: http://www.zazzle.com.br/teoria_da_corda-235032240070858893 Lembrei que uma vez um aluno meu disse que tinha visto uma prova de que a soma dos infinitos números naturais era negativa. Não consegui encontrar na época e agora vi outra vez vez na camiseta. Alguém sabe como explicar esse absurdo ou então existe alguma explicação física, como diz o site? Obrigado! -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Somatório
Olá. Não me aprofundei nestes temas, mas se for o que suponho, está ligado a um tema chamado de 'somas de Cesàro'. Gostaria de saber mais, inclusive sobre teoremas abelianos e tauberianos, se realmente tiver a ver com essa séria da camiseta. Em Sat, 12 Apr 2014 12:53:59 -0300 Vanderlei Nemitz vanderma...@gmail.com escreveu: Pessoal, vi em um site a seguinte camiseta: http://www.zazzle.com.br/teoria_da_corda-235032240070858893 Lembrei que uma vez um aluno meu disse que tinha visto uma prova de que a soma dos infinitos números naturais era negativa. Não consegui encontrar na época e agora vi outra vez vez na camiseta. Alguém sabe como explicar esse absurdo ou então existe alguma explicação física, como diz o site? Obrigado! -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] SOMATÓRIO
Olá, só consegui fazer limitações e não consegui determinar o valor do somatório abaixo . Alguém me ajuda ? somatório de zero ao infinito de (2^(2^n))/((2^(2^(n+1))-1) . abs Bob -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] SOMATÓRIO
Seja S o valor do somatório . Tente mostrar que : 1 - 1/(2^(2^n)) S 1/2+1/4+1/8+1/16+... Pacini Em 3 de agosto de 2013 11:26, Bob Roy bob...@globo.com escreveu: Olá, só consegui fazer limitações e não consegui determinar o valor do somatório abaixo . Alguém me ajuda ? somatório de zero ao infinito de (2^(2^n))/((2^(2^(n+1))-1) . abs Bob -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] SOMATÓRIO
Um outro modo
usa a fatoração y²-1=(y-1) (y+1) com y=2 ^(2^k) simplifica a fração usando
isso e cai numa soma telescópica ( os termos vão se anulando conforme vai
somando), com isso dá para achar a fórmula da soma finita, depois tomar o
limite .
Dá para estudar essa questão com x^{2^k} no lugar de 2 ^(2^k) o processo é
o mesmo.
O caso geral com x, faz a série convergir para (x+1)/(x²+1) se |x|1 .
Tenho essa questão escrita em um pdf, com outras somas também, se quiser
dar uma olhada, página 69
https://www.dropbox.com/s/okrvri90pbq0so3/sum2-poli-inver-harm-gamma.pdf
Em 3 de agosto de 2013 12:04, Pacini Bores pacini.bo...@globo.comescreveu:
Seja S o valor do somatório .
Tente mostrar que :
1 - 1/(2^(2^n)) S 1/2+1/4+1/8+1/16+...
Pacini
Em 3 de agosto de 2013 11:26, Bob Roy bob...@globo.com escreveu:
Olá,
só consegui fazer limitações e não consegui determinar o valor do
somatório abaixo .
Alguém me ajuda ?
somatório de zero ao infinito de (2^(2^n))/((2^(2^(n+1))-1) .
abs
Bob
--
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acredita-se estar livre de perigo.
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acredita-se estar livre de perigo.
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acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] somatório
Joao, eu nao consegue resolver fazendo isso que voce falo.Posta sua solucao por favor =x GratoCoulbert From: joao_maldona...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RE: [obm-l] somatório Date: Wed, 18 Jan 2012 16:55:06 -0200 Faça a, b e c naturais que não são quadrados perfeitos Prove que sqrt(a) + sqrt(b) = x irracionalsqrt(b) + sqrt(c) = y irracionalsqrt(c) + sqrt(a) = z irracional sqrt(a) + sqrt(b) sqrt(c) = (x+y+z)/2 Prove que x+y+z é irracional e generalise []'sJoão From: felippeba...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] somatório Date: Wed, 18 Jan 2012 16:30:54 -0200 Estou tentando provar um somatório faz um tempo e não estou conseguindo de jeito nenhum, queria a ajuda de vocês. Por favor! provar que somatório de k= 2 até n (sqrt k)é irracional para qualquer n natural = 2 Eu consegui dar alguns passos mas nada que chegue muito perto. Tentei expandir para serie de Taylor e usar o resto de Lagrange, nada. Tentei outras coisas e cheguei um pouco mais próximo mas novamente fica muito difícil generalizar. Por favor, não postem a solução, apenas fale as ideias que usaram. GratoCoulbert
[obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] somatório
Tente assim: Sendo a = sqrt(A)b = sqrt(B) c = sqrt(C) d = sqrt(D) Sendo A, B, C, D inteiros não quadrados perfeitos: Provar que a + b é irracional, sendo que ab não é quadrado perfeito :(a+b) = r (r = racional) (a+b)² = ra² + 2ab + b² = rab = r, absurdo Provar que a + b + c é irracional, sendo que ABC não é quadrado perfeto:(a+b+c) = r(a+b+c)² = rab + bc + ac = r(ab + bc + ac)² = r(a + b + c)abc = r abc = r, absurdo Provar que a + b + c + d é irracional, sendo que ABCD não é quadrado perfto: (a + b + c + d) = r(a + b + c + d)² = r(ab + bc + cd + da) = r(ab + bc + cd + da)² = r (a²bd + ab²c + ac²d + bc²d) + (2abcd) = r(a²bd + ab²c + ac²d + bc²d)² 4 (a²bd + ab²c + ac²d + bc²d)abcd + 4(abcd)² = r4abcd(a²b² + b²c² + c²d² + d²a²) + 4abcd(a²bd + ab²c + ac²d + bc²d) = rabcd²(a²bd + ab²c + ac²d + bc²d)² = rabcd(a²b² + b²c² + c²d² + d²a²) = rabcd = r, absurdo Tente generalisar isso E depois provar que n! não pode ser quadrado perfeito sendo 1! []'sJoão From: felippeba...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] somatório Date: Fri, 20 Jan 2012 20:44:07 -0200 Joao, eu nao consegue resolver fazendo isso que voce falo.Posta sua solucao por favor =x GratoCoulbert From: joao_maldona...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RE: [obm-l] somatório Date: Wed, 18 Jan 2012 16:55:06 -0200 Faça a, b e c naturais que não são quadrados perfeitos Prove que sqrt(a) + sqrt(b) = x irracionalsqrt(b) + sqrt(c) = y irracionalsqrt(c) + sqrt(a) = z irracional sqrt(a) + sqrt(b) sqrt(c) = (x+y+z)/2 Prove que x+y+z é irracional e generalise []'sJoão From: felippeba...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] somatório Date: Wed, 18 Jan 2012 16:30:54 -0200 Estou tentando provar um somatório faz um tempo e não estou conseguindo de jeito nenhum, queria a ajuda de vocês. Por favor! provar que somatório de k= 2 até n (sqrt k)é irracional para qualquer n natural = 2 Eu consegui dar alguns passos mas nada que chegue muito perto. Tentei expandir para serie de Taylor e usar o resto de Lagrange, nada. Tentei outras coisas e cheguei um pouco mais próximo mas novamente fica muito difícil generalizar. Por favor, não postem a solução, apenas fale as ideias que usaram. GratoCoulbert
[obm-l] somatório
Estou tentando provar um somatório faz um tempo e não estou conseguindo de jeito nenhum, queria a ajuda de vocês. Por favor! provar que somatório de k= 2 até n (sqrt k)é irracional para qualquer n natural = 2 Eu consegui dar alguns passos mas nada que chegue muito perto. Tentei expandir para serie de Taylor e usar o resto de Lagrange, nada. Tentei outras coisas e cheguei um pouco mais próximo mas novamente fica muito difícil generalizar. Por favor, não postem a solução, apenas fale as ideias que usaram. GratoCoulbert
[obm-l] RE: [obm-l] somatório
Faça a, b e c naturais que não são quadrados perfeitos Prove que sqrt(a) + sqrt(b) = x irracionalsqrt(b) + sqrt(c) = y irracionalsqrt(c) + sqrt(a) = z irracional sqrt(a) + sqrt(b) sqrt(c) = (x+y+z)/2 Prove que x+y+z é irracional e generalise []'sJoão From: felippeba...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] somatório Date: Wed, 18 Jan 2012 16:30:54 -0200 Estou tentando provar um somatório faz um tempo e não estou conseguindo de jeito nenhum, queria a ajuda de vocês. Por favor! provar que somatório de k= 2 até n (sqrt k)é irracional para qualquer n natural = 2 Eu consegui dar alguns passos mas nada que chegue muito perto. Tentei expandir para serie de Taylor e usar o resto de Lagrange, nada. Tentei outras coisas e cheguei um pouco mais próximo mas novamente fica muito difícil generalizar. Por favor, não postem a solução, apenas fale as ideias que usaram. GratoCoulbert
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] somatório
2012/1/18 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com: Faça a, b e c naturais que não são quadrados perfeitos Prove que sqrt(a) + sqrt(b) = x irracional sqrt(b) + sqrt(c) = y irracional sqrt(c) + sqrt(a) = z irracional sqrt(a) + sqrt(b) sqrt(c) = (x+y+z)/2 Prove que x+y+z é irracional e generalise Só uma coisa: a soma de 3 irracionais (positivos) não é necessariamente irracional... Assim, o argumento que o João propõe é mais complicado do que uma recorrência. Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Somatório
Olá Pessoal, Não esotu conseguindo fazer o seguinte exercício: Provar que somatório de i=1 a n de i(i+1) é igual a [n(n+1)(n+2)]/3 Alguém póderia ajudar? Abraços, -- Bastos
[obm-l] Re: [obm-l] Somatório
Note que i(i+1) = 2.[Combinação de i+1 escolhidos 2 a 2] Em seguida, use uma das propriedades do Triângulo de Pascal-Tartaglia. Em 9 de maio de 2011 14:17, Kleber Bastos klebe...@gmail.com escreveu: Olá Pessoal, Não esotu conseguindo fazer o seguinte exercício: Provar que somatório de i=1 a n de i(i+1) é igual a [n(n+1)(n+2)]/3 Alguém póderia ajudar? Abraços, -- Bastos
[obm-l] Re: [obm-l] Somatório
o somatorio em questão é S(n)= 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n(n+1), agora veja que ele é equivalente a S(n)/2 = (1.2)/2 + (2.3)/2 + (3.4)/2 + ... + n(n+1)/2, a soma dos n primeiros números triangulares. Imagine então esses diversos triângulos feitos de bolinhas, teremos, dentre todos os triângulos contidos nessa soma, somente uma fileira com n bolinhas, 2 com n-1 bolinhas, 3 com n-2, etc, logo a soma pode ser reescrita como S(n)/2 = 1n + 2(n-1) + 3(n-2) + ... + n[n-(n-1)] = 1n + 2n - 2 + 3n - 6 +...+ n^2 - n(n-1) rearrumando os termos, teremos: S(n)/2 = n(1 + 2 + 3 + ... + n) - 2[ 1 + 3 + 6 + ... + n(n-1)] Repare que o termo em colchetes é = S(n)/2 - n(n+1)/2 == == S(n)/2 = n[n(n+1)/2] - 2[S(n)/2 - n(n+1)/2] == 3S(n)/2 = n^2(n+1)/2 + n(n+1) == S(n)/2= (n+1)(n^2+2n)/6=n(n+1)(n+2)/6 == S(n)=n(n+1)(n+2)/3, QED Em 9 de maio de 2011 14:17, Kleber Bastos klebe...@gmail.com escreveu: Olá Pessoal, Não esotu conseguindo fazer o seguinte exercício: Provar que somatório de i=1 a n de i(i+1) é igual a [n(n+1)(n+2)]/3 Alguém póderia ajudar? Abraços, -- Bastos
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Somatório
Muito bom pessoal. Ajudou em muito...! Abraços, Kleber. Em 9 de maio de 2011 15:15, rodrigocientista rodrigocientis...@gmail.comescreveu: o somatorio em questão é S(n)= 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n(n+1), agora veja que ele é equivalente a S(n)/2 = (1.2)/2 + (2.3)/2 + (3.4)/2 + ... + n(n+1)/2, a soma dos n primeiros números triangulares. Imagine então esses diversos triângulos feitos de bolinhas, teremos, dentre todos os triângulos contidos nessa soma, somente uma fileira com n bolinhas, 2 com n-1 bolinhas, 3 com n-2, etc, logo a soma pode ser reescrita como S(n)/2 = 1n + 2(n-1) + 3(n-2) + ... + n[n-(n-1)] = 1n + 2n - 2 + 3n - 6 +...+ n^2 - n(n-1) rearrumando os termos, teremos: S(n)/2 = n(1 + 2 + 3 + ... + n) - 2[ 1 + 3 + 6 + ... + n(n-1)] Repare que o termo em colchetes é = S(n)/2 - n(n+1)/2 == == S(n)/2 = n[n(n+1)/2] - 2[S(n)/2 - n(n+1)/2] == 3S(n)/2 = n^2(n+1)/2 + n(n+1) == S(n)/2= (n+1)(n^2+2n)/6=n(n+1)(n+2)/6 == S(n)=n(n+1)(n+2)/3, QED Em 9 de maio de 2011 14:17, Kleber Bastos klebe...@gmail.com escreveu: Olá Pessoal, Não esotu conseguindo fazer o seguinte exercício: Provar que somatório de i=1 a n de i(i+1) é igual a [n(n+1)(n+2)]/3 Alguém póderia ajudar? Abraços, -- Bastos -- Kleber B. Bastos
RE: [obm-l] Somatório
Sauda,c~oes, Oi Bruno, De onde você tirou este problema? A resposta (enviada pelo professor Rousseau) é n(2n-1)/3. A resolução é complicada, trabalhosa e usa o teorema dos resíduos. Tenho somente o .pdf e posso mandá-lo pra quem pedir. []'s Luís From: brconter...@hotmail.comto: ob...@mat.puc-rio.brsubject: [obm-l] SomatórioDate: Fri, 28 Nov 2008 20:28:52 -0200 Bom galera...gostaria de saber como se calcula o somatório S = sum[ k=1 - n ] cot^2 ( (K*pi) / (2n + 1) )Tentei colocar a soma em função de cossec^2 ( (K*pi) / (2n + 1) ), usando a relaçãocossec^2 (x) = 1 + cot^2 (x), e depois transformar o somatório utilizando a expressãod ( cot ( (K*pi) / (2n + 1) ) ) / dk = - (cossec ( (K*pi) / (2n + 1) ) )*( pi / (2n + 1) )+ num cheguei a lugar algumdesde ja agradeço...abraços! Receba GRÁTIS as mensagens do Messenger no seu celular quando você estiver offline. Conheça o MSN Mobile! Crie já o seu! _ Confira vídeos com notícias do NY Times, gols direto do Lance, videocassetadas e muito mais no MSN Video! http://video.msn.com/?mkt=pt-br
[obm-l] Somatório
Bom galera... gostaria de saber como se calcula o somatório S = sum[ k=1 - n ] cot^2 ( (K*pi) / (2n + 1) ) Tentei colocar a soma em função de cossec^2 ( (K*pi) / (2n + 1) ), usando a relação cossec^2 (x) = 1 + cot^2 (x), e depois transformar o somatório utilizando a expressão d ( cot ( (K*pi) / (2n + 1) ) ) / dk = - (cossec ( (K*pi) / (2n + 1) ) )*( pi / (2n + 1) ) + num cheguei a lugar algum desde ja agradeço... abraços! _ Receba GRÁTIS as mensagens do Messenger no seu celular quando você estiver offline. Conheça o MSN Mobile! http://mobile.live.com/signup/signup2.aspx?lc=pt-br
[obm-l] Re: [obm-l] Somatório
Esse somatório é n + n + n + ... + n, n parcelas iguais a n, e então isso é igual a n*n, ou seja, n^2. Por exemplo: SOMA(4) com i variando de 1 a 4 é 4 (i=1) + 4 (i=2) + 4 (i=3) + 4 (i=4) = 4*4 = 4^2 Um abraço a todos, João Luís - Original Message - From: Gustavo Duarte To: Olimpíada Sent: Monday, October 27, 2008 10:45 PM Subject: [obm-l] Somatório Tenho uma dúvida : O somatório de N, em que i varia de 1 até N é igual a ?? N ou N^N ou N^2, desde já agradeço qualquer ajuda.
[obm-l] Somatório
Tenho uma dúvida : O somatório de N, em que i varia de 1 até N é igual a ?? N ou N^N ou N^2, desde já agradeço qualquer ajuda.
[obm-l] Somatório
Olá pessoal,
Alguém poderia me ajudar a demonstrar que,
S(n) = Sum[i=1-n] {i/[(i+1)(i+2)(i+3)]} = [n(n+3)]/[4(n+1)(n+2)]
Comecei a desenvolver a soma isoladamente mas não achei nenhuma relação que
pudesse me ajudar:
S(0)=0
S(1)=1/24
S(2)= 3/40
S(3)=1/10
...
S(n)= [n(n+3)]/[4(n+1)(n+2)]
Obrigado!
Felipe Régis e Silva
Re: [obm-l] Somatório
Olá Felipe,
usando fracoes parciais, temos:
i/[(i+1)(i+2)(i+3)] == A/(i+1) + B/(i+2) + C/(i+3)
resolvendo, temos:
A = -1/2
B = 2
C = -3/2
logo: Sum i/[(i+1)(i+2)(i+3)] = -1/2 * Sum 1/(i+1) + 2 * Sum 1/(i+2) -
3/2 * Sum 1/(i+3)
onde todos os somatorios vao de 1 até N
veja que Sum[i=1-N] 1/(i+1) = Sum[i=0-N-1] 1/(i+2) = 1/2 - 1/(N+2) +
Sum[i=1-N] 1/(i+2)
e que Sum[i=1-N] 1/(i+3) = Sum[i=2-N+1] 1/(i+2) = 1/(N+3) - 1/3 +
Sum[i=1-N] 1/(i+2)
deste modo:
Sum i/[(i+1)(i+2)(i+3)] = -1/2 * [1/2 - 1/(N+2) + Sum 1/(i+2) ] + 2 *
Sum 1/(i+2) - 3/2 * [ 1/(N+3) - 1/3 + Sum 1/(i+2) ]
opaa.. o somatorio cortou! ficando:
-1/2 * [1/2 - 1/(N+2)] - 3/2 * [1/(N+3) - 1/3]
basta terminar as contas agora!
abracos,
Salhab
On 5/5/07, Felipe Régis [EMAIL PROTECTED] wrote:
Olá pessoal,
Alguém poderia me ajudar a demonstrar que,
S(n) = Sum[i=1-n] {i/[(i+1)(i+2)(i+3)]} = [n(n+3)]/[4(n+1)(n+2)]
Comecei a desenvolver a soma isoladamente mas não achei nenhuma relação que
pudesse me ajudar:
S(0)=0
S(1)=1/24
S(2)= 3/40
S(3)=1/10
...
S(n)= [n(n+3)]/[4(n+1)(n+2)]
Obrigado!
Felipe Régis e Silva
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
[obm-l] somatório dos inversos dos naturais
Existe algum modo de expressar a soma 1/1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n em função de 'n'? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] somatório dos inversos dos naturais
Eu tenho quase certeza que não, mas posso estar enganado. Alguém com mais conhecimento pode confirmar. Entretanto, tal soma possa ser expressa de forma aproximada por meio de logaritmos. Considere o seguinte: soma(1,n) 1/p integal (1,n) dx/x soma(2,n+1) 1/p A integral é a area cheia embaixo do gráfico, enquanto que a soma 1/n é apenas a escada abaixo da parte dessa area cheia, ou acima, se você considerar a escada na parte de cima. Como integral (1,n) dx/x = ln n então ln n é uma boa aproximação para soma. Bem... aqui não dá para desenhar, mas essa é a ideia por detras do teste da integral, que tem em qualquer bom livro de cálculo. [] Ronaldo L. Alonso Lucas Prado Melo wrote: Existe algum modo de expressar a soma 1/1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n em função de 'n'? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Somatório Trigonométrico
Ola Felipe,
observe que: d[ sen(ka) ]/da = kcos(ka)
assim: Sn = Sum[k=0 - n] d[ sen(ka) ]/da = d{ Sum[k=0 -n] sen(ka) }/da
opa.. agora basta encontrarmos a soma dos senos e dps derivar em relacao a a..
para determinar a soma dos senos utilize numeros complexos:
z = cis(a)
z^2 = cis(2a)
:
z^n = cis(na)
z + z^2 + .. + z^n = cis(a) + cis(2a) + ... + cis(na)
logo, a parte imaginaria desta soma é igual a soma dos senos..
mass.. da PG, temos que z + z^2 + .. + z^n = z(z^n-1)/(z-1)
logo, basta tomarmos a parte imaginaria de z(z^n-1)/(z-1)
z(z^n-1)/(z-1) = (z^(n+1) - z)/(z-1) * (z' -1)/(z' -1) .. onde z' é o
conjugado de z
dai temos: (z' - 1)(z^(n+1) - z)/||z-1||^2 = (z^n - 1 - z^(n+1) +
z)/||z-1||^2 ...
substituindo z, temos: (cis(na) - 1 - cis[(n+1)a] + cis(a))/(2 - 2cos(a))
a parte imaginária é: [ sen(na) - sen((n+1)a) + sen(a) ]/(2 - 2cos(a))
logo, a soma de senos é: [ sen(na) - sen((n+1)a) + sen(a) ]/(2 - 2cos(a))
basta derivarmos em relacao a a agora...
derivando, temos:
[ ncos(na) - (n+1)cos((n+1)a) + cos(a) ]/(2 - 2cos(a)) - [ sen(na) -
sen((n+1)a) + sen(a) ] * 2sen(a) / (2 - 2cos(a))^2
pronto.. este é o resultado do somatorio de kcos(ka).
abracos,
Salhab
On 4/27/07, Felipe Régis [EMAIL PROTECTED] wrote:
Olá pessoal,
Bem, deparei-me com a seguinte questão:
Encontre a fórmula de: Sn = SUM[k=0 a n][k*cos(k*a)]; lê-se, somatório de
k=0 a n do termo k*cos(k*a).
Comecei a desenvolver...
p/ k=0, S(0)=0
p/ k=1, S(1)=cosa
p/ k=2, S(2)= cosa+2cos2a
...
p/ k=n-1,S(n-1)=S(n-2)+(n-1)cos[(n-1)a]
p/ k=n, S(n)= S(n-1)+n*cos(n*a)
Daí, temos S(n)= S(n-1)+n*cos(n*a), uma equação de recorrência não
homogênea... Tentei e tentei mas não consegui torná-la homogênea, alguém
poderia me ajudar? Não sei se assim sai, minha pretenção era achar a fórmula
através dessa equação de recorrência e para isso seria necessário que fosse
homogênea.
E, alguém me ajudar a escrever de forma clara um somatorio aqui na lista? Ou
mesmo na linguagem aqui de internet? (Não sei se o que eu coloquei acima
ficou claro).
Obrigado,
Felipe Régis.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
[obm-l] Somatório Trigonométrico
Olá pessoal, Bem, deparei-me com a seguinte questão: Encontre a fórmula de: Sn = SUM[k=0 a n][k*cos(k*a)]; lê-se, somatório de k=0 a n do termo k*cos(k*a). Comecei a desenvolver... p/ k=0, S(0)=0 p/ k=1, S(1)=cosa p/ k=2, S(2)= cosa+2cos2a ... p/ k=n-1,S(n-1)=S(n-2)+(n-1)cos[(n-1)a] p/ k=n, S(n)= S(n-1)+n*cos(n*a) Daí, temos S(n)= S(n-1)+n*cos(n*a), uma equação de recorrência não homogênea... Tentei e tentei mas não consegui torná-la homogênea, alguém poderia me ajudar? Não sei se assim sai, minha pretenção era achar a fórmula através dessa equação de recorrência e para isso seria necessário que fosse homogênea. E, alguém me ajudar a escrever de forma clara um somatorio aqui na lista? Ou mesmo na linguagem aqui de internet? (Não sei se o que eu coloquei acima ficou claro). Obrigado, Felipe Régis.
[obm-l] Res: [obm-l] Res: [obm-l] Somatório interesa nte..
Realmente vacilei, não tinha notado que era produtório e não somatório, desculpa e obrigado pela dica! Abs - Mensagem original De: Iuri [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Domingo, 12 de Novembro de 2006 16:39:33 Assunto: Re: [obm-l] Res: [obm-l] Somatório interesante.. Essa saida de multiplicar por 2senx só funciona pra produto de cossenos.. Multiplicando esse produto por sen2x depois vai cair em sen2x*sen2x, que nao ajuda em muita coisa. Iuri On 11/12/06, Jefferson Franca [EMAIL PROTECTED] wrote: Chame esse somatório de Y, depois multiplique os dois lados por 2sena, note que vc terá sempre algo do tipo sen(2x), pronto seus problemas acabaram! - Mensagem original De: Alex pereira Bezerra [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Domingo, 12 de Novembro de 2006 4:31:15 Assunto: Re: [obm-l] Somatório interesante.. olhe para a fórmula de Euler e separe a parte real da imaginaria,ok Em 11/11/06, Orlando Onofre Filho [EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá pessoal . estou precisando de ajuda com o seguinte produtório , qualquer ajuda é bem vida. sena.sen2a.sen4a.sen8asen2*n=? Obrigado - Orlando _ MSN Messenger: instale grátis e converse com seus amigos. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Yahoo! Search Música para ver e ouvir: You're Beautiful, do James Blunt ___ Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! http://br.acesso.yahoo.com
Re: [obm-l] Somatório interesante..
olhe para a fórmula de Euler e separe a parte real da imaginaria,ok Em 11/11/06, Orlando Onofre Filho[EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá pessoal . estou precisando de ajuda com o seguinte produtório , qualquer ajuda é bem vida. sena.sen2a.sen4a.sen8asen2*n=? Obrigado - Orlando _ MSN Messenger: instale grátis e converse com seus amigos. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Somatório interesante..
saiu um artigo legal no rumo aoi ITA,tratando destes tipo de problema = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Somatório interesante..
multiplique e divida e expressao por cos(a) Irá aparecer senos do arco duplo...
[obm-l] Res: [obm-l] Somatório interesante..
Chame esse somatório de Y, depois multiplique os dois lados por 2sena, note que vc terá sempre algo do tipo sen(2x), pronto seus problemas acabaram! - Mensagem original De: Alex pereira Bezerra [EMAIL PROTECTED]Para: obm-l@mat.puc-rio.brEnviadas: Domingo, 12 de Novembro de 2006 4:31:15Assunto: Re: [obm-l] Somatório interesante.. olhe para a fórmula de Euler e separe a parte real da imaginaria,okEm 11/11/06, Orlando Onofre Filho[EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá pessoal . estou precisando de ajuda com o seguinte produtório , qualquer ajuda é bem vida. sena.sen2a.sen4a.sen8asen2*n=? Obrigado - Orlando _ MSN Messenger: instale grátis e converse com seus amigos. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html ==Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= Yahoo! Search Música para ver e ouvir: You're Beautiful, do James Blunt
Re: [obm-l] Res: [obm-l] Somatório interesante..
Essa saida de multiplicar por 2senx só funciona pra produto de cossenos.. Multiplicando esse produto por sen2x depois vai cair em sen2x*sen2x, que nao ajuda em muita coisa.Iuri On 11/12/06, Jefferson Franca [EMAIL PROTECTED] wrote: Chame esse somatório de Y, depois multiplique os dois lados por 2sena, note que vc terá sempre algo do tipo sen(2x), pronto seus problemas acabaram! - Mensagem original De: Alex pereira Bezerra [EMAIL PROTECTED]Para: obm-l@mat.puc-rio.brEnviadas: Domingo, 12 de Novembro de 2006 4:31:15 Assunto: Re: [obm-l] Somatório interesante.. olhe para a fórmula de Euler e separe a parte real da imaginaria,okEm 11/11/06, Orlando Onofre Filho [EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá pessoal . estou precisando de ajuda com o seguinte produtório , qualquer ajuda é bem vida. sena.sen2a.sen4a.sen8asen2*n=? Obrigado - Orlando _ MSN Messenger: instale grátis e converse com seus amigos. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html ==Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= Yahoo! Search Música para ver e ouvir: You're Beautiful, do James Blunt
Re: [obm-l] Somatório
ALguem sabe onde eu posso encontrar mais alguma coisa sobre somatórios ??
[obm-l] Somatório
alguem poderia me ensinar como funciona e como ultilizar aquele símbolo de somatório?
Re: [obm-l] Somatório
Veja: http://pt.wikipedia.org/wiki/Adi%C3%A7%C3%A3o []´s Demetrio --- Bruna Carvalho [EMAIL PROTECTED] escreveu: alguem poderia me ensinar como funciona e como ultilizar aquele símbolo de somatório? __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Somatório de cos(nx)/n^2
Ah... na mensagem anterior eu esqueci de dizer: w = 2*pi/T e vale 1 nesse caso assim, o período T da função (ímpar) que vc vai calcular a série tem que obedecer : T = 1/2*pi. Outra coisa errada que eu falei a_0 = pi^2/6 (a_0 é constante!!). - Original Message - From: Marcelo Salhab Brogliato To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Sunday, May 21, 2006 3:19 PM Subject: [obm-l] Somatório de cos(nx)/n^2 Olá, alguem saberia como demonstrar a seguinte igualdade: Somatório (n = 1 ... +inf , cos(nx)/n^2 ) = (x^2)/4 - pi*x/2 + (pi^2)/6 Abraços, Salhab
[obm-l] Re: [obm-l] Somatório de cos(nx)/n^2
Tem que usar série de Fourier. Essa identidade aí é o valor da série de Fourier de cossenos de uma função em um ponto (qual ponto seria esse?). Note que a série de Fourier para uma função periódica é dada por: f(x) = a_0/2 + soma (n=1 ... +inf) [a_n cos nwx + b_n sen nwx] a_0/2 = x^2/4 ( note que a_0 é a média da função no período T) a_n = 1/n^2 (veja a fórmula de a_n e integre): http://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_series Acho que agora você mata :) []s. - Original Message - From: Marcelo Salhab Brogliato To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Sunday, May 21, 2006 3:19 PM Subject: [obm-l] Somatório de cos(nx)/n^2 Olá, alguem saberia como demonstrar a seguinte igualdade: Somatório (n = 1 ... +inf , cos(nx)/n^2 ) = (x^2)/4 - pi*x/2 + (pi^2)/6 Abraços, Salhab
[obm-l] Somatório de cos(nx)/n^2
Olá, alguem saberia como demonstrar a seguinte igualdade: Somatório (n = 1 ... +inf , cos(nx)/n^2 ) = (x^2)/4 - pi*x/2 + (pi^2)/6 Abraços, Salhab
Re: [obm-l] RES: [obm-l] Somatório
Prezado Luiz Viola Deve haver algum engano. Essa identidade nao vale para quaisquer Bp e k (este ultimo natural, naturalmente). []s --- Luiz Viola [EMAIL PROTECTED] escreveu: dois caras quaisquer...uma constante...pode substituir por a Abraço -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet Enviada em: segunda-feira, 5 de setembro de 2005 22:37 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] Somatório Quem e esse Bp? --- Luiz Viola [EMAIL PROTECTED] escreveu: (Somatório de n=1 até infinito) [(n+k-1)C(k) x (Bp)^(n-1)] = (1-Bp)^(-k-1) OBS: (n+k-1)C(k) - Combinatória de n+k-1 tomado k a k Porquê ___ Yahoo! Messenger com voz: PROMOÇÃO VOCÊ PODE LEVAR UMA VIAGEM NA CONVERSA. Participe! www.yahoo.com.br/messenger/promocao = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = E-mail classificado pelo Identificador de Spam Inteligente Terra. Para alterar a categoria classificada, visite http://mail.terra.com.br/protected_email/imail/imail.cgi?+_u=luizviola_ l=1,1125972892.758460.19478.cabue.terra.com.br,3209,Des15,Des15 Esta mensagem foi verificada pelo E-mail Protegido Terra. Scan engine: McAfee VirusScan / Atualizado em 05/09/2005 / Versão: 4.4.00/4574 Proteja o seu e-mail Terra: http://mail.terra.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Somatório
(Somatório de n=1 até infinito) [(n+k-1)C(k) x (Bp)^(n-1)] = (1-Bp)^(-k-1) OBS: (n+k-1)C(k) - Combinatória de n+k-1 tomado k a k Porquê
Re: [obm-l] Somatório
Quem e esse Bp? --- Luiz Viola [EMAIL PROTECTED] escreveu: (Somatório de n=1 até infinito) [(n+k-1)C(k) x (Bp)^(n-1)] = (1-Bp)^(-k-1) OBS: (n+k-1)C(k) - Combinatória de n+k-1 tomado k a k Porquê ___ Yahoo! Messenger com voz: PROMOÇÃO VOCÊ PODE LEVAR UMA VIAGEM NA CONVERSA. Participe! www.yahoo.com.br/messenger/promocao = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RES: [obm-l] Somatório
dois caras quaisquer...uma constante...pode substituir por a Abraço -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet Enviada em: segunda-feira, 5 de setembro de 2005 22:37 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] Somatório Quem e esse Bp? --- Luiz Viola [EMAIL PROTECTED] escreveu: (Somatório de n=1 até infinito) [(n+k-1)C(k) x (Bp)^(n-1)] = (1-Bp)^(-k-1) OBS: (n+k-1)C(k) - Combinatória de n+k-1 tomado k a k Porquê ___ Yahoo! Messenger com voz: PROMOÇÃO VOCÊ PODE LEVAR UMA VIAGEM NA CONVERSA. Participe! www.yahoo.com.br/messenger/promocao = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = E-mail classificado pelo Identificador de Spam Inteligente Terra. Para alterar a categoria classificada, visite http://mail.terra.com.br/protected_email/imail/imail.cgi?+_u=luizviola_ l=1,1125972892.758460.19478.cabue.terra.com.br,3209,Des15,Des15 Esta mensagem foi verificada pelo E-mail Protegido Terra. Scan engine: McAfee VirusScan / Atualizado em 05/09/2005 / Versão: 4.4.00/4574 Proteja o seu e-mail Terra: http://mail.terra.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Somatório
Somatorio y^x, com x variando de 0 a infinito = 1/(1-y). Imagine isso como funçao de y e derive. Somatorio x* [y^(x-1)], com x variando de 0 a infinito = 1/[(1-y)^2]. Multiplique por y. Somatorio x* (y^x), com x variando de 0 a infinito = y/[(1-y)^2]. Faça y = 1-p. Somatorio x* [(1-p)^x], com x variando de 0 a infinito = (1-p)/(p^2). Multiplique por p. Somatorio px* [(1-p)^x], com x variando de 0 a infinito = (1-p)/p. == Mensagem enviada pelo CIP WebMAIL - Nova Geração - v. 2.1 CentroIn Internet Provider http://www.centroin.com.br Tel: (21) 2542-4849, (21) 2295-3331Fax: (21) 2295-2978 Empresa 100% Brasileira - Desde 1992 prestando servicos online -- Original Message --- From: Henrique Patrício Sant'Anna Branco [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thu, 20 May 2004 00:56:56 -0300 Subject: [obm-l] Somatório Pessoal, Alguém sabe resolver isso ou dar alguma indicação? É uma esperança de uma v.a. geométrica. Somatório de x*p*(1-p)^x, com x variando entre 0 e infinito. Grato, Henrique. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = --- End of Original Message --- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Somatório
Pessoal, Alguém sabe resolver isso ou dar alguma indicação? É uma esperança de uma v.a. geométrica. Somatório de x*p*(1-p)^x, com x variando entre 0 e infinito. Grato, Henrique. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] somatório
Alguém manja de alguma fórmula pra calcular direto o somatório de n * 2^0 + (n - 1) * 2^1 + (n - 2)*2^2 + ... + 1*2^(n-1) ? Isso nada mais é do que somatório de i variando de 0 até (n-1) de (n - i)*(2^i). Por exemplo para n = 4 temos 4*1 + 3*2 + 2*4 + 1*8. Qualquer dica, enfim, tá valendo... []'s GustavoYahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora!
Re: [obm-l] somatório
eis uma maneira:
n * 2^0 + (n - 1) * 2^1 + (n - 2)*2^2 + ... + 1*2^(n-1) =
= n[ 2^0 + 2^1 + 2^2 + ... + 2^(n-1) ] - { 1*2^1 + 2*2^2 + 3*2^3 + ... + (n-1)*2^(n-1)
} =
partindo do suposto que vc conhece a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PG:
n{ 1[2^n - 1]/[2 - 1]} - {[2^1 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^(n-2)] + [2^2 + 2^3 + 2^4 + ... +
2^(n-1)] + [2^3 + 2^4 + ... + 2^(n-1)] + ... + [2^(n-2) + 2^(n-1)] + [2^(n-1)]} =
n[2^n - 1] - {2[2^(n-1) - 1] + 2^2[2^(n-2) - 1] + 2^3[2^(n-3) - 1] + ... + 2^(n-2)[2^2
- 1] + 2^n[2^1 - 1]} =
n[2^n - 1] - [ (2^n - 2) + (2^n - 2^2) + (2^n - 2^3) + ... + [2^n - 2^(n-2)] + [2^n -
2^(n-1)] =
n2^n - n - [ (n-1)2^n - [ 2 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^(n-1) ] =
2^n - n + { 2[2^(n-1) - 1]/[2 - 1] } =
2^n - n + 2^n - 2 =
2^(n+1) - (n+2)
resposta: 2^(n+1) - (n+2)
On Sun, May 16, 2004 at 08:32:39PM -0300, Gustavo Baggio wrote:
Alguém manja de alguma fórmula pra calcular direto o somatório de
n * 2^0 + (n - 1) * 2^1 + (n - 2)*2^2 + ... + 1*2^(n-1) ?
Isso nada mais é do que somatório de i variando de 0 até (n-1) de
(n - i)*(2^i).
Por exemplo para n = 4 temos 4*1 + 3*2 + 2*4 + 1*8.
Qualquer dica, enfim, tá valendo...
[]'s
Gustavo
-
Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora!
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] somatório
Eduardo Henrique Leitner said:
On Sun, May 16, 2004 at 08:32:39PM -0300, Gustavo Baggio wrote:
Alguém manja de alguma fórmula pra calcular direto o somatório de n *
2^0 + (n - 1) * 2^1 + (n - 2)*2^2 + ... + 1*2^(n-1) ?
Isso nada mais é do que somatório de i variando de 0 até (n-1) de (n
- i)*(2^i).
Por exemplo para n = 4 temos 4*1 + 3*2 + 2*4 + 1*8.
Qualquer dica, enfim, tá valendo...
[...]
eis uma maneira:
n * 2^0 + (n - 1) * 2^1 + (n - 2)*2^2 + ... + 1*2^(n-1) =
= n[ 2^0 + 2^1 + 2^2 + ... + 2^(n-1) ] - { 1*2^1 + 2*2^2 + 3*2^3 + ... +
(n-1)*2^(n-1) } =
partindo do suposto que vc conhece a fórmula da soma dos n primeiros
termos de uma PG:
[...]
resposta: 2^(n+1) - (n+2)
[...]
Se pudermos usar cálculo tem uma maneira mais direta:
x^0 + x^1 + x^2 + ... + x^n = [x^(n+1) - 1]/(x-1)
Derive os dois lados em relação a x:
1*x^0 + 2*x^1 + ... + n*x^(n-1) = d([x^(n+1) - 1]/[x-1])/dx
Finalmente, multiplique por x:
1*x^1 + 2*x^2 + ... + n*x^n = x * d([x^(n+1) - 1]/[x-1])/dx
O lado direito é facilmente derivado, pois é a derivada de um quociente.
De fato, não é muito difícil ver que ela vale
[n*x^(n+1)-(n+1)*x^n+1]/[x-1]^2. Substituindo x = 2,
1*2^1 + 2*2^2 + ... + n*2^n = 2 * [n*2^(n+1)-(n+1)*2^n+1]/[2-1]^2
1*2^1 + 2*2^2 + ... + n*2^n = n*2^(n+2) - (n+1)*2^(n+1) + 2.
Finalmente, voltando ao problema original,
n*2^0 + (n-1)*2^1 + ... + 1*2^(n-1) =
= n*[2^0+2^1+2^2+...+2^(n-1)] - (1*2^1 + 2*2^2 + ... +
(n-1)*2^(n-1)) =
= n*(2^n-1) - (n-1)*2^(n+1) + n*2^n - 2 =
= n*2^n - n - 2*n*2^n + 2^(n+1) + n*2^n - 2 =
= 2^(n+1) - (n+2).
Note que nós calculamos 1*2^1 + ... + n*2^n, mas queremos 1*2^1 + 2*2^2 +
... + (n-1)*2^(n-1), logo temos que trocar o n por n-1.
Outro problema legal nessa mesma linha é o problema 4 da OBM 2002.
[]s,
--
Fábio ctg \pi Dias Moreira
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
[obm-l] Somatório da função
Dada a função: f(i,n) = -(1/2)(i-n-1)(i+n) Preciso encontrar g(n) tal que: g(n) = f(1,n) + f(2,n) + f(3,n) + ... f(n,n) Quem é g(n) ? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Somatório da função
On Tue, Mar 16, 2004 at 03:32:43PM -0300, David M. Cardoso wrote:
Dada a função:
f(i,n) = -(1/2)(i-n-1)(i+n)
Preciso encontrar g(n) tal que:
g(n) = f(1,n) + f(2,n) + f(3,n) + ... f(n,n)
Quem é g(n) ?
Vou usar
SOMA_{1 = i = n} i = n(n+1)/2
SOMA_{1 = i = n} i^2 = n(n+1)(2n+1)/3
g(n) = (1/2)* SOMA_{1 = i = n} (n+1-i)(n+i)
= (1/2) * SOMA (n^2 + n - in + in + i - i^2)
= (1/2) * (n^3 + n^2 + (n(n+1)/2) - (n(n+1)(2n+1)/3))
e agora é só simplificar.
[]s, N.
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Re: [obm-l] Re: [obm-l] Somatório da função
Nicolau C. Saldanha wrote:
SOMA_{1 = i = n} i^2 = n(n+1)(2n+1)/3
Aqui é n(n+1)(2n+1)/6 né ?
Esse capítulo do Concrete eu conheço de trás pra frente heh.
Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk
[EMAIL PROTECTED] tenki ga ii kara sanpo shimashou
-- União contra o forward - crie suas proprias piadas --
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Somatório da função
On Tue, Mar 16, 2004 at 04:17:57PM -0300, Ricardo Bittencourt wrote:
Nicolau C. Saldanha wrote:
SOMA_{1 = i = n} i^2 = n(n+1)(2n+1)/3
Aqui é n(n+1)(2n+1)/6 né ?
Esse capítulo do Concrete eu conheço de trás pra frente heh.
Você tem toda a razão. Desculpe pelo erro bobo. []s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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[obm-l] RES: [obm-l] Re: [obm-l] Somatório da função
Vou usar
SOMA_{1 = i = n} i = n(n+1)/2
SOMA_{1 = i = n} i^2 = n(n+1)(2n+1)/3
g(n) = (1/2)* SOMA_{1 = i = n} (n+1-i)(n+i)
= (1/2) * SOMA (n^2 + n - in + in + i - i^2)
= (1/2) * (n^3 + n^2 + (n(n+1)/2) - (n(n+1)(2n+1)/3))
Entendi... eu entendi! Obrigado ;)
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[obm-l] RES: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Somatório da função
Soma[i^2] = n(n+1)(2n+1)/6 Na verdade eu só entendi pq abstraí isso... e isso eu não entendi. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Somatório da função
David M. Cardoso wrote: Soma[i^2] = n(n+1)(2n+1)/6 Na verdade eu só entendi pq abstraí isso... e isso eu não entendi. Acho que a maneira mais fácil de derivar isso é considerar o problema de calcular sum(1,n)[i^3] Quanto dá sum(1,n+1)[i^3]? Certamente vale sum(1,n)[i^3]+(n+1)^3. Por outro lado, a gente pode mudar o índice sem mudar a soma: sum(1,n+1)[i^3]=sum(0,n)[(i+1)^3]= sum(0,n)[i^3+3*i^2+3*i+1]= sum(0,n)[i^3]+3*sum(0,n)[i^2]+3*sum(0,n)[i]+n Notando que 3*sum(0,n)[i]=3*n*(n+1)/2, e ainda que sum(0,n)[i^3]=sum(1,n)[i^3], juntando tudo temos: sum(1,n)[i^3]+(n+1)^3=sum(1,n)[i^3]+3*sum(0,n)[i^2]+3*n*(n+1)/2+n O sum(1,n)[i^3] morre dos dois lados, então sobra (n+1)^3=3*sum(0,n)[i^2]+3*n*(n+1)/2+n 3*sum(0,n)[i^2]=n^3+3*n^2+3n+1-3n^2/2-3n/2+n 3*sum(0,n)[i^2]=n*(n^2+3n-3n/2-3/2+1) 3*sum(0,n)[i^2]=n*(n^2+(6n-3n)/2+(-3/2+2/2)) 3*sum(0,n)[i^2]=n*(n^2+3n/2-1/2) 3*sum(0,n)[i^2]=n*(2n^2/2+3n/2-1/2) 3*sum(0,n)[i^2]=n*(2n^2+3n-1)/2 3*sum(0,n)[i^2]=n*(n+1)(2n+1)/2 e por fim sum(0,n)[i^2]=n*(n+1)(2n+1)/6 Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk [EMAIL PROTECTED] tenki ga ii kara sanpo shimashou -- União contra o forward - crie suas proprias piadas -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RES: [obm-l] Somatório da função
Agora eu entendi tudo... muito obrigado! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Somatório
Caros, Preciso de ajuda com um problema que envolve um somatório meio complicado. Aliás, é mais braçal que complicado. Gostaria de saber se o pessoal aqui tem um jeito mais simples de resolver isso. A notação que vou usar é a do Maple, onde a[i] é a índice i. Vamos ao problema... (sum(a[i]*q[i],i=1..n)*sum(p[i]*b[i],i=1..n))/(sum(p[i]*q[i],i=1..n)*sum(a[i ]*b[i],i=1..n)) Mais especificamente, preciso provar se isso aí dá a unidade, ou não. Agradeço a ajuda. Para os que não entenderam a expressão acima, estou mandando uma imagem do Maple. Grato, Henrique. attachment: sum.jpg
[obm-l] Re: [obm-l] Somatório
S(n) = 1*3 + 2*4 + 3*5 + ... + (n - 2)*n S(n+1) = 1*3 + 2*4 + 3*5 + ... + (n - 2)*n +(n-1)*(n+1) S(n+1) - S(n) = (n-1)*(n+1) = n^2 - 1 Assim, S(4) - S(3) = 3^2 - 1 S(5) - S(4) = 4^2 - 1 S(6) - S(5) = 5^2 - 1 ... S(n) - S(n-1) = (n-1)^2 - 1 Somando as equacoes acima , tem-se: S(n) - S(3) = [ 3^2 + 4^2 + ... + (n-1)^2] - (n-3) Sabe-se que: 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + ... + (n-1)^2 = (n-1)*n*(2*n-1)/6 Logo: S(n) = 3 + (n-1)*n*(2*n-1)/6 - 5 - n +3 = (n-1)(2*n^2 - n -6)/6 S(n) = (n-2)*(n-1)*(2*n+3)/6 Isto eh tudo. Andre A. - Original Message - From: cfgauss77 [EMAIL PROTECTED] To: Lista OBM [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, February 02, 2003 12:08 PM Subject: [obm-l] Somatório Gostaria de uma ajudinha com o seguinte somatório, se possível. 1*3 + 2*4 + 3*5 + ... + (n - 2)*n , para n2. Desde já agradeço! __ E-mail Premium BOL Antivírus, anti-spam e até 100 MB de espaço. Assine já! http://email.bol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Somatório
Gostaria de uma ajudinha com o seguinte somatório, se possível. 1*3 + 2*4 + 3*5 + ... + (n - 2)*n , para n2. Desde já agradeço! __ E-mail Premium BOL Antivírus, anti-spam e até 100 MB de espaço. Assine já! http://email.bol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Somatório
Gostaria de uma ajudinha com o seguinte somatório, se possível. 1*3 + 2*4 + 3*5 + ... + (n - 2)*n , para n2. Desde já agradeço! __ E-mail Premium BOL Antivírus, anti-spam e até 100 MB de espaço. Assine já! http://email.bol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] Somatório
Olá cfgauss Seguinte, podemos rescrever a soma pedida como sendo: O primeiro somatório é a soma dos quadrados dos números naturais de 3 até n. Existe uma fórmula para soma dos quadrados de 1 até n. Para ver a demonstração desta fórmula, acesse: http://www.cursinho.hpg.ig.com.br/materias/progressoes/somaquadrado.html E o segundo somatório é uma P.A. com primeiro termo igual a 6 e razão 2. Você aplica a fórmula da soma dos termos de uma P.A. e finaliza o exercício. A resposta é Agora você só deve desenvolver e simplificar tal equação o que puder! Atenciosamente Prof. Thyago WebMaster cursinho.hpg.com.br - Original Message - From: "cfgauss77" [EMAIL PROTECTED] To: "Lista OBM" [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, February 02, 2003 12:08 PM Subject: [obm-l] Somatório Gostaria de uma ajudinha com o seguinte somatório, se possível. 1*3 + 2*4 + 3*5 + ... + (n - 2)*n , para n2. Desde já agradeço! __ E-mail Premium BOL Antivírus, anti-spam e até 100 MB de espaço. Assine já! http://email.bol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Fw: [obm-l] Somatório
Na mensagem anterior não foi a imagem direitinho. Envio novamente (espero que dê certo). _ Olá cfgauss Seguinte, podemos rescrever a soma pedida como sendo: O primeiro somatório é a soma dos quadrados dos números naturais de 3 até n. Existe uma fórmula para soma dos quadrados de 1 até n. Para ver a demonstração desta fórmula, acesse: http://www.cursinho.hpg.ig.com.br/materias/progressoes/somaquadrado.html E o segundo somatório é uma P.A. com primeiro termo igual a 6 e razão 2. Você aplica a fórmula da soma dos termos de uma P.A. e finaliza o exercício. A resposta é Agora você só deve desenvolver e simplificar tal equação o que puder! Atenciosamente Prof. Thyago WebMaster cursinho.hpg.com.br - Original Message - From: "cfgauss77" [EMAIL PROTECTED] To: "Lista OBM" [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, February 02, 2003 12:08 PM Subject: [obm-l] Somatório Gostaria de uma ajudinha com o seguinte somatório, se possível. 1*3 + 2*4 + 3*5 + ... + (n - 2)*n , para n2. Desde já agradeço! __ E-mail Premium BOL Antivírus, anti-spam e até 100 MB de espaço. Assine já! http://email.bol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] Somatório
S(n) = 1*3 + 2*4 + 3*5 + ... + (n - 2)*n S(n+1) = 1*3 + 2*4 + 3*5 + ... + (n - 2)*n +(n-1)*(n+1) S(n+1) - S(n) = (n-1)*(n+1) = n^2 - 1 Assim, S(4) - S(3) = 3^2 - 1 S(5) - S(4) = 4^2 - 1 S(6) - S(5) = 5^2 - 1 ... S(n) - S(n-1) = (n-1)^2 - 1 Somando as equacoes acima , tem-se: S(n) - S(3) = [ 3^2 + 4^2 + ... + (n-1)^2] - (n-3) Sabe-se que: 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + ... + (n-1)^2 = (n-1)*n*(2*n-1)/6 Logo: S(n) = 3 + (n-1)*n*(2*n-1)/6 - 5 - n +3 = (n-1)(2*n^2 - n -6)/6 S(n) = (n-2)*(n-1)*(2*n+3)/6 Isto eh tudo. Andre A. Gostaria de uma ajudinha com o seguinte somatório, se possível. 1*3 + 2*4 + 3*5 + ... + (n - 2)*n , para n2. Desde já agradeço! __ E-mail Premium BOL Antivírus, anti-spam e até 100 MB de espaço. Assine já! http://email.bol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Somatório de Fibonacci com binomio de Newton
Alguem poderia fazer a questão abaixo? Seja F_n o enésimo número de fibonacci.Seja C_x,y a combinação de x elementos tomados y a y(x maior ou igual a y).Prove o somatório abaixo: pC_n,0*(F_1) + C_n,1*(F_2) +C_n,n*(F_n+1) = F_2n+1./p ___ Busca Yahoo! O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internet http://br.busca.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Somatório de Fibonacci com binomio de Newton
Alguem poderia fazer a questão abaixo? Seja F_n o enésimo número de fibonacci.Seja C_x,y a combinação de x elementos tomados y a y(x maior ou igual a y).Prove o somatório abaixo: C_n,0*(F_1) + C_n,1*(F_2) +C_n,n*(F_n+1) = F_2n+1. ___ Busca Yahoo! O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internet http://br.busca.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Somatório de Fibonacci com binomio de Newton
Alguem poderia fazer a questão abaixo? Seja F_n o enésimo número de fibonacci.Seja C_x,y a combinação de x elementos tomados y a y(x maior ou igual a y).Prove o somatório abaixo: C_n,0*(F_1) + C_n,1*(F_2) +C_n,n*(F_n+1) = F_2n+1. ___ Busca Yahoo! O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internet http://br.busca.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] Somatório de Fibonacci com binomio de Newton
On Fri, Jan 10, 2003 at 03:14:00PM -0300, Carlos Maçaranduba wrote: Alguem poderia fazer a questão abaixo? Seja F_n o enésimo número de fibonacci.Seja C_x,y a combinação de x elementos tomados y a y(x maior ou igual a y).Prove o somatório abaixo: C_n,0*(F_1) + C_n,1*(F_2) +C_n,n*(F_n+1) = F_2n+1. O bom é provar uma identidade bem mais geral: C_n,0 * F_m + C_n,1 * F_m+1 + ... + C_n,n * F_m+n = F_2n+m que pode ser provada por indução em n. O caso n = 0 é trivial: C_0,0 * F_m = F_0+m e o caso n = 1 é fácil: C_1,0 * F_m + C_1,1 * F_m+1 = F_m+2 Supondo o caso n temos C_n,0 * F_m + C_n,1 * F_m+1 + C_n,2 * F_m+2 + ... + C_n,n * F_m+n = F_2n+m C_n,0 * F_m+1 + C_n,1 * F_m+2 + ... + C_n,n-1 * F_m+n + C_n,n * F_m+n+1 = F_2n+m+1 e somando as duas equações casando do lado esquerdo termos onde o F_* tem o mesmo índice (na vertical para quem a minha diagramação funcionar) temos C_n+1,0 * F_m + C_n+1,1 * F_m+1 + C_n+1,2 * F_m+2 + ... + C_n+1,n * F_m+n + C_n+1,n+1 * F_m+n+1 = F_2n+m+2 que é o caso n+1. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
