[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Triângulos.
Verdade, não tinha percebido. Em dom, 24 de nov de 2019 14:17, Pedro José escreveu: > Boa tarde! > Esdras, > Não seria z>=3. > 3, 2, 2 dá um obtusângulo. > > Saudações, > PJMS > > Em sáb, 23 de nov de 2019 01:52, Esdras Muniz > escreveu: > >> Acho que a questão pressupõe que os lados devem ser inteiros. Daí se os >> lados são x, y e z, com x<=y> x^2+y^2x^2+y^2 e >> z> Daí, z é ao menos 4, vc sai contando caso a caso... >> >> Em sex, 22 de nov de 2019 20:39, Claudio Buffara < >> claudio.buff...@gmail.com> escreveu: >> >>> Do jeito que está escrito, uma infinidade. >>> >>> Enviado do meu iPhone >>> >>> > Em 22 de nov de 2019, à(s) 19:18, Guilherme Abbehusen < >>> gui.abbehuse...@gmail.com> escreveu: >>> > >>> > >>> > Olá, >>> >  Preciso de ajuda com a seguinte questão: >>> > >>> > Tendo em vista a leis dos Cossenos, marque a quantidade de triângulos >>> obtusângulos que podemos formar com lados menores do que 7. >>> > a) 6 >>> > b) 7 >>> > c) 8 >>> > d) 9 >>> > e) 10 >>> > >>> > -- >>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> > acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> = >>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >>> = >>> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Triângulos.
Boa tarde! Esdras, Não seria z>=3. 3, 2, 2 dá um obtusângulo. Saudações, PJMS Em sáb, 23 de nov de 2019 01:52, Esdras Muniz escreveu: > Acho que a questão pressupõe que os lados devem ser inteiros. Daí se os > lados são x, y e z, com x<=y x^2+y^2x^2+y^2 e > z Daí, z é ao menos 4, vc sai contando caso a caso... > > Em sex, 22 de nov de 2019 20:39, Claudio Buffara < > claudio.buff...@gmail.com> escreveu: > >> Do jeito que está escrito, uma infinidade. >> >> Enviado do meu iPhone >> >> > Em 22 de nov de 2019, à(s) 19:18, Guilherme Abbehusen < >> gui.abbehuse...@gmail.com> escreveu: >> > >> > >> > Olá, >> >  Preciso de ajuda com a seguinte questão: >> > >> > Tendo em vista a leis dos Cossenos, marque a quantidade de triângulos >> obtusângulos que podemos formar com lados menores do que 7. >> > a) 6 >> > b) 7 >> > c) 8 >> > d) 9 >> > e) 10 >> > >> > -- >> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> > acredita-se estar livre de perigo. >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> = >> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >> = >> > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Triângulos.
Acho que a questão pressupõe que os lados devem ser inteiros. Daí se os lados são x, y e z, com x<=yx^2+y^2 e z escreveu: > Do jeito que está escrito, uma infinidade. > > Enviado do meu iPhone > > > Em 22 de nov de 2019, à(s) 19:18, Guilherme Abbehusen < > gui.abbehuse...@gmail.com> escreveu: > > > > > > Olá, > >  Preciso de ajuda com a seguinte questão: > > > > Tendo em vista a leis dos Cossenos, marque a quantidade de triângulos > obtusângulos que podemos formar com lados menores do que 7. > > a) 6 > > b) 7 > > c) 8 > > d) 9 > > e) 10 > > > > -- > > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > > acredita-se estar livre de perigo. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > = > Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > = > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Triângulos.
Achei 8 triângulos. Assim: seja c o lado maior, oposto ao ângulo C, e sejam a e b os demais lados, com a maior ou igual a b; C é obtuso, então -1 wrote: > Perdão, precisam ser lados inteiros. > > Em sex., 22 de nov. de 2019 às 20:39, Claudio Buffara < > claudio.buff...@gmail.com> escreveu: > >> Do jeito que está escrito, uma infinidade. >> >> Enviado do meu iPhone >> >> > Em 22 de nov de 2019, à(s) 19:18, Guilherme Abbehusen < >> gui.abbehuse...@gmail.com> escreveu: >> > >> > >> > Olá, >> >  Preciso de ajuda com a seguinte questão: >> > >> > Tendo em vista a leis dos Cossenos, marque a quantidade de triângulos >> obtusângulos que podemos formar com lados menores do que 7. >> > a) 6 >> > b) 7 >> > c) 8 >> > d) 9 >> > e) 10 >> > >> > -- >> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> > acredita-se estar livre de perigo. >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> = >> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >> = >> > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Triângulos.
Perdão, precisam ser lados inteiros. Em sex., 22 de nov. de 2019 às 20:39, Claudio Buffara < claudio.buff...@gmail.com> escreveu: > Do jeito que está escrito, uma infinidade. > > Enviado do meu iPhone > > > Em 22 de nov de 2019, à(s) 19:18, Guilherme Abbehusen < > gui.abbehuse...@gmail.com> escreveu: > > > > > > Olá, > >  Preciso de ajuda com a seguinte questão: > > > > Tendo em vista a leis dos Cossenos, marque a quantidade de triângulos > obtusângulos que podemos formar com lados menores do que 7. > > a) 6 > > b) 7 > > c) 8 > > d) 9 > > e) 10 > > > > -- > > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > > acredita-se estar livre de perigo. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > = > Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > = > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Triângulos.
Do jeito que está escrito, uma infinidade. Enviado do meu iPhone > Em 22 de nov de 2019, à(s) 19:18, Guilherme Abbehusen > escreveu: > > > Olá, >  Preciso de ajuda com a seguinte questão: > > Tendo em vista a leis dos Cossenos, marque a quantidade de triângulos > obtusângulos que podemos formar com lados menores do que 7. > a) 6 > b) 7 > c) 8 > d) 9 > e) 10 > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Triângulos.
Olá, Preciso de ajuda com a seguinte questão: Tendo em vista a leis dos Cossenos, marque a quantidade de triângulos obtusângulos que podemos formar com lados menores do que 7. a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Triângulos.
Usa ma>=mg Em dom, 27 de out de 2019 19:27, Guilherme Abbehusen < gui.abbehuse...@gmail.com> escreveu: > Olá, poderiam me ajudar com essa questão? > > A hipotenusa de um triângulo retângulo tem medida igual "a" e os catetos > medidas iguais a "b" e "c" . Qual é o valor mínimo da equação: a/(b*c)^-1 ? > > Agradeco desde já. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Triângulos.
Olá, poderiam me ajudar com essa questão? A hipotenusa de um triângulo retângulo tem medida igual "a" e os catetos medidas iguais a "b" e "c" . Qual é o valor mínimo da equação: a/(b*c)^-1 ? Agradeco desde já. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Triângulos
Que tal quebrar uma vareta em 3 pedaços e calcular a probabilidade CONDICIONAL do pedaço mais longo exceder o mais curto em não mais do que 10%, DADO QUE é possível formar um triângulo com estes pedaços? Outro problema interessante (talvez até mais do que o original) é explicar PORQUE estas escolhas levam a respostas diferentes. Nesta linha, existe o paradoxo de Bertrand. Vide aqui: http://www.rpm.org.br/cdrpm/34/6.htm []s, Claudio. On Thu, Sep 26, 2019 at 8:30 PM Ralph Teixeira wrote: > Hmmm... Esse enunciado, como estah , nao funciona... O problema eh definir > o que significa escolher um triangulo "ao acaso". Algumas opcoes: > > -- Escolher 3 numeros uniformemente na regiao do R^3 definida por > 0 -- Escolher 3 pontos uniformemente dentro de um circulo de raio R, que > seriam os vertices. (Se necessario, tome R-> Inf depois.) > -- Escolher 3 pontos uniformemente dentro de um quadrado de lado R, que > seriam os vertices. (Se necessario, tome R-> Inf depois.) > -- Escolher 3 pontos uniformemente numa circunferencia de raio R, que > seriam os vertices. (Se necessario, tome R-> Inf depois.) > > Todas estas opcoes sao razoaveis para interpretar "ao acaso", mas nao > levam aa mesma resposta... :( > > Abraco, Ralph. > > On Thu, Sep 26, 2019 at 5:12 PM João Maldonado < > joao_maldona...@hotmail.com> wrote: > >> Eaí galera. >> Fica um problema legal de probabilidade pra vocês resolverem (e me >> ajudarem). >> >> Um triângulo é dito aproximadamente equilátero quando o maior de seus >> lados não excede o menor por 10%. Um triângulo é selecionado ao acaso. Qual >> a chance de ele ser aproximadamente equilátero? >> >> Pensei em prosseguir da seguinte forma. >> Sendo c o maior lado, b o do meio e a o menor. Sendo P1 a probabilidade >> pedida. >> Temos que: >> P1=6*P(a<= b<= c<= mín(1.1a, a+b))= 6*P(a<=b<=c<=1.1a) >> >> Aí eu pensei em pegar um cubo de lado 1 e fazer uma integral tripla com >> esses limites. >> O problema é que um cubo de lado 1 não é um subespaço amostral >> equivalente. Pense comigo: >> Se tivermos um dos lados valendo 0.9 o outro 0.7, o terceiro poderia >> valer até 1.6, e isso estaria fora do cubo, mesmo os dois primeiros estando >> dentro. Dessa forma não saberíamos qual seria o "denominador" do nosso P. >> >> Alguém consegue me ajudar? >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Triângulos
Hmmm... Esse enunciado, como estah , nao funciona... O problema eh definir o que significa escolher um triangulo "ao acaso". Algumas opcoes: -- Escolher 3 numeros uniformemente na regiao do R^3 definida por 0 Inf depois.) -- Escolher 3 pontos uniformemente dentro de um quadrado de lado R, que seriam os vertices. (Se necessario, tome R-> Inf depois.) -- Escolher 3 pontos uniformemente numa circunferencia de raio R, que seriam os vertices. (Se necessario, tome R-> Inf depois.) Todas estas opcoes sao razoaveis para interpretar "ao acaso", mas nao levam aa mesma resposta... :( Abraco, Ralph. On Thu, Sep 26, 2019 at 5:12 PM João Maldonado wrote: > Eaí galera. > Fica um problema legal de probabilidade pra vocês resolverem (e me > ajudarem). > > Um triângulo é dito aproximadamente equilátero quando o maior de seus > lados não excede o menor por 10%. Um triângulo é selecionado ao acaso. Qual > a chance de ele ser aproximadamente equilátero? > > Pensei em prosseguir da seguinte forma. > Sendo c o maior lado, b o do meio e a o menor. Sendo P1 a probabilidade > pedida. > Temos que: > P1=6*P(a<= b<= c<= mín(1.1a, a+b))= 6*P(a<=b<=c<=1.1a) > > Aí eu pensei em pegar um cubo de lado 1 e fazer uma integral tripla com > esses limites. > O problema é que um cubo de lado 1 não é um subespaço amostral > equivalente. Pense comigo: > Se tivermos um dos lados valendo 0.9 o outro 0.7, o terceiro poderia > valer até 1.6, e isso estaria fora do cubo, mesmo os dois primeiros estando > dentro. Dessa forma não saberíamos qual seria o "denominador" do nosso P. > > Alguém consegue me ajudar? > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Triângulos
Eaí galera. Fica um problema legal de probabilidade pra vocês resolverem (e me ajudarem). Um triângulo é dito aproximadamente equilátero quando o maior de seus lados não excede o menor por 10%. Um triângulo é selecionado ao acaso. Qual a chance de ele ser aproximadamente equilátero? Pensei em prosseguir da seguinte forma. Sendo c o maior lado, b o do meio e a o menor. Sendo P1 a probabilidade pedida. Temos que: P1=6*P(a<= b<= c<= mín(1.1a, a+b))= 6*P(a<=b<=c<=1.1a) Aí eu pensei em pegar um cubo de lado 1 e fazer uma integral tripla com esses limites. O problema é que um cubo de lado 1 não é um subespaço amostral equivalente. Pense comigo: Se tivermos um dos lados valendo 0.9 o outro 0.7, o terceiro poderia valer até 1.6, e isso estaria fora do cubo, mesmo os dois primeiros estando dentro. Dessa forma não saberíamos qual seria o "denominador" do nosso P. Alguém consegue me ajudar? -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Triângulos Pitagóric os
Como verificar q existem 4 triângulos pitagóricos com um cateto igual a 12?
[obm-l] Re: [obm-l] Triângulos Pitagóricos
Marcone, 144 + b^2 = a^2 Logo: 144 = a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) Supondo que a e b são inteiros positivos, temos que a+b e a-b tem que ser divisores de 144. Como 144 = 2*2*2*2*3*3, todos os seus divisores são: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 36, 48, 72, 144 Agora basta testar (note que só precisamos testar até 12). Se estivermos testando para k, temos: a+b = k a-b = 144/k a = (k^2+144)/(2k) b = (k^2-144)/(2k) Basta checar se ambos são inteiros. Testando, temos: k = 12, 18, 24, 36, 72 E os pares pitagóricos são: (13, 5), (15, 9), (20, 16) e (37, 35) Não coloquei o k=12, visto que ficamos com um dos catetos nulos ;) abraços, Salhab 2010/8/29 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com Como verificar q existem 4 triângulos pitagóricos com um cateto igual a 12?
Re: [obm-l] triângulos
Cada triangulo isosceles estará definido por um par de número (a,b), e seu perímetro será 2a + b. Para que seja um triangulo, temos as restrições de que a 0, b 0, b 2a. Agora queremos encontrar o número de solucoes inteiras de 2a + b = 20. Fica mais fácil assim? Abraço Bruno On 4/13/07, Anna Luisa [EMAIL PROTECTED] wrote: Por favor se alguém tiver um tempo e puder me ajudar: Quantos são os triângulos isósceles cujos lados têm medidas inteiras em cm tais que seu perimetro é menor ou igual a 20cm? Desde já. Obrigada. Anna. -- Bruno França dos Reis email: bfreis - gmail.com gpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key icq: 12626000 e^(pi*i)+1=0
[obm-l] Triângulos
Bom dia, amigos. Tô precisando de ajuda por aqui. Aguém se habilita?A soma das distâncias de um ponto interior de um triângulo equilátero aos seus lados é 9. Assim, a medida do lado do triângulo é: GratoAlexandre Bastos Novidade no Yahoo! Mail: receba alertas de novas mensagens no seu celular. Registre seu aparelho agora!
[obm-l] Re: [obm-l] Triângulos
Observe , queessa soma é igual a altura do triangulo equilátero ,logo om lado do triangulo é 6 raiz de 3,agora é só aplica na formula do triangulo equilátero,loga a área será 27 raiz de 3. Espero ter ajudado. Cláudio Thor - Original Message - From: Alexandre Bastos To: OBM Sent: Thursday, June 22, 2006 10:09 AM Subject: [obm-l] Triângulos Bom dia, amigos. Tô precisando de ajuda por aqui. Aguém se habilita? A soma das distâncias de um ponto interior de um triângulo equilátero aos seus lados é 9. Assim, a medida do lado do triângulo é: Grato Alexandre Bastos Novidade no Yahoo! Mail: receba alertas de novas mensagens no seu celular. Registre seu aparelho agora!
[obm-l] Re:[obm-l] Triângulos
Bom Dia! A resposta éseisraiz de três, 6*(3)^1/2 Abraços, Giuliano Pezzolo Giacaglia (Stuart)
[obm-l] RE: [obm-l] Triângulos
Para provar que essa medida é igual à altura, basta ligar o ponto interno aos 3 vértices, e ver que a soma das áreas dos triangulinhos é igual a do triangulão. --- From: Alexandre Bastos [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: OBM obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Triângulos Date: Thu, 22 Jun 2006 13:09:48 + (GMT) Bom dia, amigos. Tô precisando de ajuda por aqui. Aguém se habilita? A soma das distâncias de um ponto interior de um triângulo equilátero aos seus lados é 9. Assim, a medida do lado do triângulo é: Grato Alexandre Bastos - Novidade no Yahoo! Mail: receba alertas de novas mensagens no seu celular. Registre seu aparelho agora! _ Inscreva-se no novo Windows Live Mail beta e seja um dos primeiros a testar as novidades-grátis. Saiba mais: http://www.ideas.live.com/programpage.aspx?versionId=5d21c51a-b161-4314-9b0e-4911fb2b2e6d = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re:[obm-l] Triângulos
6*(3)^1/2 é o lado do triangulo equilátero, a área será 27*(3)^1/2. Cláudio Thor - Original Message - From: Giuliano (stuart) To: obm-l Sent: Thursday, June 22, 2006 2:58 PM Subject: [obm-l] Re:[obm-l] Triângulos Bom Dia! A resposta éseisraiz de três, 6*(3)^1/2 Abraços, Giuliano Pezzolo Giacaglia (Stuart)
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Triângulos Pitagóricos (was:12^2 + 33^2 = 1233^2)
Acho que ele queria dizer aclamar com calma :p Júnior.Em 09/06/06, Ojesed Mirror [EMAIL PROTECTED] escreveu: Preciosidade vamos acalmar com calma, muito bom, vou usar muito.- Original Message -Wrom: NBOHMKHJYFMYXOEAIJJPHSCRTNHGSWZIDREXCAXZOWCONEUQZAAFXISHJEXXIMQZUIVOTQNQEMSFDULHPQQWOYIYZUNNYCGPKYLEJGDGVCJVTLBXFGGMEPYOQKEDOTWFAOBUZXUWLSZLKBRNVWWCUFPEGAUTFJMVRESKPNKMBIPBARHDMNNSKVFVWRKJVZCMHVIBGDADRZFSQHYUCDDJBLVLMHAALPTCXLYRWTQTIPWIGYOKSTTZRCLBDXRQBGJSNBOHMKHJYFMYXOEAIJJPHSCRTNHGSWZIDREXCAXZOWCONEUQZAAFXISHJEXXIMQZUIVOTQNQEMSFDULHPQQWOYIYZUNNYCGPKYLEJGDGVCJVTLBXFGGMEPYOQKEDOTWFAOBUZXUWLSZLKBRNVWWCUFPEGAUTFJMVRESKPNKMBIPBARHDMNNSKVFVWRKJVZCMHVIBGDADRZFSQHYUCDDJBLVLMHAALPTCXLYRWTQTIPWIGYOKSTTZRCLBDXRQBGJSNBOHMKHJYFMYXOEAIJJPHSCRTNHGSWZIDREXCAXZOWCONEUQZAAFXISHJEXXIMQZUIVOTQNQEMSFDULHPQQWOYIYZUNNYCGPKYLEJGDGVCJVTLBXFGGMEPYOQKEDOTWFAOBUZXUWLSZLKBRNVWWCUFPEGAUTFJMVRESKPNKMBIPBARHDMNNSKVFVWRKJVZCMHVIBGDADRZFSQHYUCDDJBLVLMHAALPTCXLYRWTQTIPWIGYOKSTTZRCLBDXRQBGJSNBOHMKHJYFMYXOEAIJJPHSCRTNHGSWZIDREXCAXZOWCONEUQZAAFXISHJEXXIMQZUIVOTQNQEMSFDULHPQQWOYIYZUNNYCGPKYLEJGDGVCJVTLBXFGGMEPYOQKEDOTWFAOBUZXUWLSZLKBRNVWWCUFPEGAUTFJMVRESKPNKMBIPBARHDMNNSKVFVWRKJVZCMHVIBGDADRZFSQHYUCDDJBLVLMHAALPTCXLYRWTQTIPWIGYOKSTTZRCLBDXRQBGJSNBOHMKHJYFMYXOEAIJJPHSCRTNHGSWZIDREXCAXZOWCONEUQZAAFXISHJEXXIMQZUIVOTQNQEMSFDULHPQQWOYIYZUNNYCGPKYLEJGDGVCJVTLBXFGGMEPYOQKEDOTWFAOBUZXUWLSZLKBRNVWWCUFPEGAUTFJMVRESKPNKMBIPBARHDMNNSKVFVWRKJVZCMHVIBGDADRZFSQHYUCDDJBLVLMHAALPTCXLYRWTQTIPWIGYOKSTTZRCLBDXRQBGJSNBOHMKHJYFMYXOEAIJJPHSCRTNHGSWZIDREXCAXZOWCONEUQZAAFXISHJEXXIMQZUIVOTQNQEMSFDULHPQQWOYIYZUNNYCGPKYLEJGDGVCJVTLBXFGGMEPYOQKEDOTWFAOBUZXUWLSZLKBRNVWWCUFPEGAUTFJMVRESKPNKMBIPBARHDMNNSKVFVWRKJVZCMHVIBGDADRZFSQHYUCDDJBLVLMHAALPTCXLYRWTQTIPWIGYOKSTTZRCLBDXRQBGJSNBOHMKHJYFMYXOEAIJJPHSCRTNHGSWZIDREXCAXZOWCONEUQZAAFXISHJEXXIMQZUIVOTQNQEMSFDULHPQQWOYIYZUNNYCGPKYLEJGDGVCJVTLBXFGGMEPYOQKEDOTWFAOBUZXUWLSZLKBRNVWWCUFPEGAUTFJMVRESKPNKMBIPBARHDMNNSKVFVWRKJVZCMHVIBGDADRZFSQHYUCDDJBLVLMHAALPTCXLYRWTQTIPWIGYOKSTTZRCLBDXRQBGJSNBOHMKHJYFMYXOEAIJJPHSCRTNHGSWZIDREXCAXZOWCONEUQZAAFXISHJEXXIMQZUIVOTQNQEMSFDULHPQQWOYIYZUNNYCGPKYLEJGDGVCJVTLBXFGGMEPYOQKEDOTWFAOBUZXUWLSZLKBRNVWWCUFPEGAUTFJMVRESKPNKMBIPBARHDMNNSKVFVWRKJVZCMHVIBGDADRZFSQHYUCDDJBLVLMHAALPTCXLYRWTQTIPWIGYOKSTTZRCLBDXRQBGJSNBOHMKHJYFMYXOEAIJJPHSCRTNHGSWZIDREXCAXZOWCONEUQZAAFXISHJEXXIMQZUIVOTQNQEMSFDULHPQQWOYIYZUNNYCGPKYLEJGDGVCJVTLBXFGGMEPYOQKEDOTWFAOBUZXUWLSZLKBRNVWWCUFPEGAUTFJMVRESKPNKMBIPBARHDMNNSKVFVWRKJVZCMHVIBGDADRZFSQHYUCDDJBLVLMHAALPTCXLYRWTQTIPWIGYOKSTTZRCLBDXRQBGJSNBOHMKHJYFMYXOEAIJJPHSCRTNHGSWZIDREXCAXZOWCONEUQZAAFXISHJEXXIMQZUIVOTQNQEMSFDULHPQQWOYIYZUNNYCGPKYLEJGDGVCJVTLBXFGGMEPYOQKEDOTWFAOBUZXUWLSZLKBRNVWWCUFPEGAUTFJMVRESKPNKMBIPBARHDMNNSKVFVWRKJVZCMHVIBGDADRZFSQHYUCDDJBLVLMHAALPTCXLYRWTQTIPWIGYOKSTTZRCLBDXRQBGJSNBOHMKHJYFMYXOEAIJJPHSCRTNHGSWZIDREXCAXZOWCONEUQZAAFXISHJEXXIMQZUIVOTQNQEMSFDULHPQQWOYIYZUNNYCGPKYLEJGDGVCJVTLBXFGGMEPYOQKEDOTWFAOBUZXUWLSZLKBRNVWWCUFPEGAUTFJMVRESKPNKMBIPBARHDMNNSKVFVWRKJVZCMHVIBGDADRZFSQHYUCDDJBLVLMHAALPTCXLYRWTQTIPWIGYOKSTTZRCLBDXRQBGJSNBOHMKHJYFMYXOEAIJJPHSCRTNHGSWZIDREXCAXZOWCONEUQZAAFXISHJEXXIMQZUIVOTQNQEMSFDULHPQQWOYIYZUNNYCGPKYLEJGDGVCJVTLBXFGGMEPYOQKEDOTWFAOBUZXUWLSZLKBRNVWWCUFPEGAUTFJMVRESKPNKMBIPBARHDMNNSKVFVWRKJVZCMHVIBGDADRZFSQHYUCDDJBLVLMHAALPTCXLYRWTQTIPWIGYOKSTTZRCLBDXRQBGJSNBOHMKHJYFMYXOEAIJJPHSCRTNHGSWZIDREXCAXZOWCONEU
[obm-l] Re: [obm-l] Triângulos Pitagóricos (was:12^2 + 3 3^2 = 1233^2)
Preciosidade vamos acalmar com calma, muito bom, vou usar muito. - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Friday, June 09, 2006 3:33 PM Subject: [obm-l] Triângulos Pitagóricos (was:12^2 + 33^2 = 1233^2) Oi pessoal, vamos acalmar com calma: Espero que essa mensagem possa ajudar neste problema (embora possa como todas as minhas outras possa ser apenas um pitaco sem nenhuma utilidade). Sabemos que: (n^2 - 1)^2 + (2n)^2 = (n^2 +1)^2 para n natural, n1 ela dá todos os triângulos pitagóricos. Ex: n=2 : 3^2 + 4^2 = 5^2 . A intenção é usar essa identidade para tentar obter quadrados perfeitos naturais da forma Delta^2 = b^2 - 4ac. Neste caso usamos: (n^2 - 1)^2 = (n^2 +1)^2 - (2n)^2 (n^2 - 1)^2 = (n^2 +1)^2 - 4 n^2 Supondo a = 1 (sempre dá para fazer a=1 em uma eq. do 2 grau). Temos então que ter: b = n^2 +1 c= n^2 == b = c+1 Bom... agora será que dá para aplicar isso à equação em jogo? 100a+b = a^2 + b^2 basta resolver essa eq de 2º grau com relação a a e temos a = 50 +- sqrt(2500+b-b^2) Para não causar confusão vamos trocar a por x e b por y: 100x + y = x^2 + y^2 x^2 -100x +y -y^2 = 0 Construindo o Delta: Delta^2 = 100^2 - 4*(y-y^2) com b = 100 e c = y-y^2 como b= c+1 100 = y-y^2 +1 Quais y naturais com 2 algarismos verificam isso? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- No virus found in this incoming message. Checked by AVG Free Edition. Version: 7.1.394 / Virus Database: 268.8.3/360 - Release Date: 9/6/2006 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Triângulos em grafos
Title: Re: [obm-l] Triângulos em grafos on 02.02.04 12:34, Cláudio (Prática) at [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi, pessoal: Aqui vai um probleminha que, se não me engano, foi inventado pelo Erdos: Seja n um inteiro = 2. Um grafo simples (sem loops e com no máximo uma aresta ligando dois vértices quaisquer) tem 2n vértices e n^2+1 arestas. a) Prove que este grafo contém um triângulo (três vértices sendo que cada dois dos quais são ligados por uma aresta) b) Prove que o grafo contém no mínimo n triângulos. (para as definições relativas a grafos veja os artigos do Shine ou do Paulo César nas Eurekas) Um abraço, Claudio. A minha demonstracao da parte (a) eh por inducao em n: n = 2 == G tem 4 vertices e 5 arestas == G eh igual a K_4 (grafo completo com 4 vertices) com uma aresta removida. Como K_4 contem 4 triangulos e cada uma de suas arestas pertence a dois deles, a remocao de uma aresta qualquer ainda deixa 2 triangulos vivos. Hipotese de Inducao: Qualquer grafo com 2n vertices e n^2 + 1 arestas contem pelo menos 1 triangulo. Seja G um grafo com 2n+2 vertices e (n+1)^2 + 1 arestas. Sejam A e B dois vertices de G ligados por uma aresta. Se existe um terceiro vertice de G ligado por uma aresta a A e B, entao acabou! Caso contrario, o conjunto dos vertices ligados a A e o conjunto dos vertices ligados a B sao disjuntos. Assim, alem da aresta ligando A e B, existirao no maximo mais 2n arestas tendo A ou B como extremidade. Seja H o subgrafo de G obtido pela remocao de A e B e de todas as arestas que tem A ou B (ou ambos) como extremidade. H terah 2n vertices e, no minimo, (n+1)^2 + 1 - (2n + 1) = n^2 + 1 arestas. Pela hipotese de inducao, H (e, portanto, G) deverah conter um triangulo. Imagino que a parte (b) tambem saia por inducao. Pelo menos a base (n=2) eh a mesma... Um abraco, Claudio.
Re: [obm-l] Triângulos em grafos
O que é um grafo? Valdery Sousa. _Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] wrote: on 02.02.04 12:34, Cláudio (Prática) at [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi, pessoal:Aqui vai um probleminha que, se não me engano, foi inventado pelo Erdos:Seja n um inteiro = 2. Um grafo simples (sem "loops" e com no máximo uma aresta ligando dois vértices quaisquer) tem 2n vértices e n^2+1 arestas. a) Prove que este grafo contém um triângulo (três vértices sendo que cada dois dos quais são ligados por uma aresta)b) Prove que o grafo contém no mínimo n triângulos.(para as definições relativas a grafos veja os artigos do Shine ou do Paulo César nas Eurekas)Um abraço,Claudio.A minha demonstracao da parte (a) eh por inducao em n:n = 2 == G tem 4 vertices e 5 arestas == G eh igual a K_4 (grafo completo com 4 vertices) com uma aresta removida. Como K_4 contem 4 triangulos e cada uma de suas arestas pertence a dois deles, a remocao de uma aresta qualquer ainda deixa 2 triangulos "vivos".Hipotese de Inducao: Qualquer grafo com 2n vertices e n^2 + 1 arestas contem pelo menos 1 triangulo.Seja G um grafo com 2n+2 vertices e (n+1)^2 + 1 arestas.Sejam A e B dois vertices de G ligados por uma aresta.Se existe um terceiro vertice de G ligado por uma aresta a A e B, entao acabou!Caso contrario, o conjunto dos vertices ligados a A e o conjunto dos vertices ligados a B sao disjuntos. Assim, alem da aresta ligando A e B, existirao no maximo mais 2n arestas tendo A ou B como extremidade. Seja H o subgrafo de G obtido pela remocao de A e B e de todas as arestas que tem A ou B (ou ambos) como extremidade. H terah 2n vertices e, no minimo, (n+1)^2 + 1 - (2n + 1) = n^2 + 1 arestas. Pela hipotese de inducao, H (e, portanto, G) deverah conter um triangulo.Imagino que a parte (b) tambem saia por inducao. Pelo menos a base (n=2) eh a mesma...Um abraco,Claudio.Yahoo! GeoCities: 15MB de espaço grátis para criar seu web site!
Re: [obm-l] Triângulos em grafos
Title: Re: [obm-l] Triângulos em grafos
on 03.02.04 16:03, Valdery Sousa at [EMAIL PROTECTED] wrote:
O que é um grafo?
Valdery Sousa.
Oficialmente, um grafo simples eh um par ordenado (V,A), onde:
V eh um conjunto nao vazio qualquer;
A eh um conjunto cujos elementos sao pares nao-ordenados de elementos de V, ou seja, conjuntos do tipo {x,y} onde x e y pertencem a V e x y (A pode ser vazio).
Voce pode pensar em V como sendo um conjunto de pontos (no plano, espaco, etc.) e A como um conjunto de segmentos cada um dos quais une dois pontos de V (de forma que cada segmento seja univocamente determinado pelos dois pontos).
Um abraco,
Claudio.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Triângulos em grafos
tente generalizar e ai voce vai ver os pepinos desta sua demo...Mas ela
ta correta
-- Mensagem original --
Helptentei usar contagem (seguindo o esquema de vários teoremas do Proofs
from The Book), ficou interessante:
seja V = {1, 2, ..., 2n} e G = (V, E) nosso querido grafo.
defina d[i] como o grau do vértice i.
é claro que soma{d[i], i=1..2n} = 2|E| = 2(n²+1)
se (i, j) é uma aresta de E e d[i] + d[j] 2n então há um triângulo
contendo a aresta (i, j). (isso me parece óbvio, mas se não for para o
leitor, faça um desenho, é aplicação imediata do PCP).
suponha que d[i] + d[j] = 2n para toda aresta (i, j) de E.
então, somando sobre toda aresta de E:
S := soma{d[i] + d[j], (i, j) em E} = soma{d[i]², i=1..2n} = 1/(2n) *
soma{d[i], i = 1..2n}² = 2|E|²/n
(aqui eu uso a desigualdade de Cauchy)
por outro lado, temos que S = 2n|E|
logo 2n|E| = 2|E|²/n = n²|E| = |E|², o que é absurdo!
isso já mostra que existe pelo menos um triângulo... estou sem tempo pra
verificar a parte mais legal, mas talvez saia desta mesma lógica.
[ ]'s
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Re: [obm-l] Triângulos em Grafos
Oi, pessoal: Aqui vai um probleminha que, se não me engano, foi inventado pelo Erdos: Seja n um inteiro = 2. Um grafo simples (sem loops e com no máximo uma aresta ligando dois vértices quaisquer) tem 2n vértices e n^2+1 arestas. b) Prove que o grafo contém no mínimo n triângulos. Para provar que o grafo contém 1 triângulo, o procedimento não é tão complexo: temos que calcular a probabilidade de um grafo com p vértices e q arestas possuir um triângulo (isso é um teorema de Pál Erdös que não lembro de cabeça) e provar que para p=2n e q=n^2+1 essa probabilidade é 1. Estou meio apressado agora... para quem gosta do assunto há uma tese interessante em: http://tumb1.biblio.tu-muenchen.de/publ/diss/in/2003/schickinger.pdf []s Ronaldo L. Alonso _ Voce quer um iGMail protegido contra vírus e spams? Clique aqui: http://www.igmailseguro.ig.com.br Ofertas imperdíveis! Link: http://www.americanas.com.br/ig/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Triângulos (Mr. Crowley)
Olá Pessoal, Realmente o exercício anterior que enviei era BD=1cm e não BC=1cm como havia escrito, desculpem-me pelo erro. Preciso de mais ajuda nessas duas questões: AB é a hipotenusa de um triângulo retângulo ABC. A mediana AD mede 7 e a mediana BE mede 4. O comprimento AB é igual a: a)2·sqrt(3) b)5·sqrt(2) c)5·sqrt(3) d)10 e)n.d.a ABC é um triângulo e M é um ponto médio sobre o lado BC, tal que MC=2MB. A razão entre as área dos triângulos ABC e MAC é: a)4 b)3 c)2 d)9/4 e)3/2 Grato Mr. Crowley __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Triângulos equiláteros!
Title: Re: [obm-l] Triângulos equiláteros! on 25.03.03 01:11, cgmat at [EMAIL PROTECTED] wrote: Por favor, alguém poe dar-me uma mãozinha? Quinze moedas de mesmo diâmetro são dispostas formando um triângulo equilátero. As faces de cada uma dessas moedas são pintadas de branco ou de preto. Prove que, qualquer que seja a pintura, existem três moedas de mesma cor cujos centros são vértices de um triângulo equilátero. Muito grato, Carlos A. Gomes Caro Carlos: Eu consegui provar que bastam 10 moedas - tambem dispostas formando um triangulo equilatero. Infelizmente, a demonstracao nao usa nenhuma sacada brilhante, mas consiste apenas de uma analise exaustiva (nos dois sentidos) das alternativas. Se voce estiver com saco para acompanhar o raciocinio ate o final, eu recomendo fortemente o uso de papel e lapis... Considere a seguinte disposicao das moedas: (01) (02) (03) (04) (05) (06) (07) (08) (09) (10) Se (01), (07) e (10) forem da mesma cor, entao acabou. - Caso contrario, podemos supor s.p.d.g. (sem perda de generalidade) que (01) eh preta e (07) e (10) sao brancas. Se (02) e (03) forem ambas pretas, entao (01), (02) e (03) serao pretas == acabou -- Suponhamos s.p.d.g. que (03) seja branca. Consideremos, separadamente, os dois casos seguinte: A) (02) eh branca; B) (02) eh preta. (o caso em que (02) eh branca e (03) eh preta sera a imagem especular do caso em que (02) eh preta e (03) branca) A) (02) eh branca: Se (08) ou (09) for branca, entao (02), (07) e (09) serao brancas ou (03), (08) e (10) serao brancas == acabou Suponhamos que (08) e (09) sejam ambas pretas. Nesse caso, se (05) for branca, entao (02), (03) e (05) serao brancas == acabou Por outro lado, se (05) for preta, entao (05), (08) e (09) serao pretas == acabou Assim, se (02) for branca, sempre havera um triangulo monocromatico. -- B) (02) eh preta: Se (08) for branca, entao (03), (08) e (10) serao brancas == acabou Suponhamos que (08) seja preta. Se (06) for preta, entao (02), (06) e (08) serao pretas == acabou Suponhamos que (06) seja branca. Se (05) for branca, entao (03), (05) e (06) serao brancas == acabou Suponhamos que (05) seja preta. Se (09) for branca, entao (06), (09) e (10) serao brancas == acabou Por outro lado, se (09) for preta, entao (05), (08) e (09) serao pretas == acabou. Portanto, no caso em que (02) eh preta tambem estara assegurada a existencia de um triangulo monocromatico. Um abraco, Claudio.
Re: [obm-l] Triângulos equiláteros!
(01)(02)(03)(04)(05) (06)(07)(08)(09) (10)(11)(12) (13)(14) (15) Vamos verificar as possibilidades: b = branco p = preto 1- Eu começo pintando (10), (12) e (03), como eu não quero um equilátero b/p(10, 12, 03): * (10) é branco, (12) é branco e (03) é preto. (ou é só rotacionar o triangulo para chegar em outras formas possíveis) 2- Eu vou pintar (07), (08) e (11), mas eu ainda não quero um equilátero: b/p(07, 08 e 11), b(07, 10, 11), b(12, 11, 08), p(07, 08, 03), ai sou obrigado a pintar assim: * (07) é branco, (08) é branco e (11) é preto. 3- Temos que (10) e (07) são brancos, b(10, 07, 06), então: * (06) é preto. 4- Temos que (12) e (08) são brancos, b(12, 08, 09), então: * (09) é preto. 5- Agora eu tenho que pintar (02) e (04), mas como eu não quero nenhum equilátero: de p(02, 04 e 11) - (02) e (04) não podem ser pretos ao mesmo tempo então ou (02) ou (04) é branco. mas ai eu formo outro equilátero: ou b(02, 06, 07) ou b(04, 08, 09) e sou forçado a fazer um equilátero :( para todas pinturas possíveis sempre havera um equilátero em (02, 04 e 11) ou (02, 06, 07) ou (04, 08, 09). (ou posição equivalente, rotacionando o triângulo) ___ Yahoo! GeoCities Tudo para criar o seu site: ferramentas fáceis de usar, espaço de sobra e acessórios. http://br.geocities.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Triângulos equiláteros!
Por favor, alguém poe dar-me uma mãozinha? Quinze moedas de mesmo diâmetro são dispostas formando um triângulo equilátero. As faces de cada uma dessas moedas são pintadas de branco ou de preto. Prove que, qualquer que seja a pintura, existem três moedas de mesma cor cujos centros são vértices de um triângulo equilátero. Muito grato, Carlos A. Gomes
[obm-l] triângulos
Olá pessoal, (FUVEST) Dois pontos A e B estão situados na margem de um rio e distantes 40 m um do outro. Um ponto C, na outra margem do rio, está situado de tal modo que o ângulo CÂB mede 75º e o ângulo ACB mede 75º. Determine a largura do rio: Resp: 20m Obs: Eu tentei resolver assim: Esbocei um triângulo de base AB e conclui que o ângulo ABC mede 30º, pois CÂB mede 75º e o ângulo ACB mede 75º. Outra conclusão foi que o triângulo é isósceles. Se o triângulo é isósceles então BC mede tbém 40 m. Depois eu criei um segmento (paralelo à altura do triângulo de base AB) que vai do vértice B até a intersecção com outro segmento que eu projetei do vértice C, criando assim a triângulo BCD. Como o ângulo ABC mede 30º então CBD medirá 60 (complementares) e BCD medirá 105º (suplementar com ACB que mede 75º). Portanto do triângulo BCD temos 60º + 105º + BDC = 180, logo BDC=15º. Como a largura do rio é BD, calculei esta pela lei dos senos: 40/sen 15º=BD/sen105º. Eu poderia fazer sen15º= sen (45º-30º) e sen 105º=sen 75º=sen(40º+15º) e encontrar o resultado, mas como eu não tinha certeza e daria muito trabalho fiz na calculadora e o resultado foi aproximandamente 149. Acho que o meu erro não está nem na resolução do esquema que criei mas sim no próprio esquema, ou interpretação do enunciado. Qual foi meu erro ao esboçar a situação. ICQ: 337140512
Re: [obm-l] triângulos
Tomei como base os seus([EMAIL PROTECTED]) dados de resolução. Resolução O seu erro foi considerar o ângulo BCD suplementar de ACB dando o valor de 105º. Faça assim, ao encontrar o ângulo de 30º(CBD) pode achar o ângulo BCD pois são opostos pelo vêrtice(lembre-se que oexercício trata de duas paralelas "as margens do rio"). Daí vc então terá o triângulo retângulo CBD que por uma simples relação trigonométrica vc achara o valor BD que corresponde 20 m. BD/BC= sen30º [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá pessoal, (FUVEST) Dois pontos A e B estão situados na margem de um rio e distantes 40 m um do outro. Um ponto C, na outra margem do rio, está situado de tal modo que o ângulo CÂB mede 75º e o ângulo ACB mede 75º. Determine a largura do rio: Resp: 20m Obs: Eu tentei resolver assim: Esbocei um triângulo de base AB e conclui que o ângulo ABC mede 30º, pois CÂB mede 75º e o ângulo ACB mede 75º. Outra conclusão foi que o triângulo é isósceles. Se o triângulo é isósceles então BC mede tbém 40 m. Depois eu criei um segmento (paralelo à altura do triângulo de base AB) que vai do vértice B até a intersecção com outro segmento que eu projetei do vértice C, criando assim a triângulo BCD. Como o ângulo ABC mede 30º então CBD medirá 60 (complementares) e BCD medirá 105º (suplementar com ACB que mede 75º). Portanto do triângulo BCD temos 60º + 105º + BDC = 180, logo BDC=15º. Como a largura do rio é BD, calculei esta pela lei dos senos: 40/sen 15º=BD/sen105º. Eu poderia fazer sen15º= sen (45º-30º) e sen 105º=sen 75º=sen(40º+15º) e encontrar o resultado, mas como eu não tinha certeza e daria muito trabalho fiz na calculadora e o resultado foi aproximandamente 149. Acho que o meu erro não está nem na resolução do esquema que criei mas sim no próprio esquema, ou interpretação do enunciado. Qual foi meu erro ao esboçar a situação. ICQ: 337140512 Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra.
Re: [obm-l] triângulos
Olá! Observe q o segmento q vc tomou paralelamente à altura já vai te dar a largura do rio, pois ele é perpendicular ao lado AB. Assim, BDC=90. Como DBC=60, BCD=30. Portanto, a largura será dada por 40sen30 = 20m. Sem mais. Tertuliano Carneiro. [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá pessoal, (FUVEST) Dois pontos A e B estão situados na margem de um rio e distantes 40 m um do outro. Um ponto C, na outra margem do rio, está situado de tal modo que o ângulo CÂB mede 75º e o ângulo ACB mede 75º. Determine a largura do rio: Resp: 20m Obs: Eu tentei resolver assim: Esbocei um triângulo de base AB e conclui que o ângulo ABC mede 30º, pois CÂB mede 75º e o ângulo ACB mede 75º. Outra conclusão foi que o triângulo é isósceles. Se o triângulo é isósceles então BC mede tbém 40 m. Depois eu criei um segmento (paralelo à altura do triângulo de base AB) que vai do vértice B até a intersecção com outro segmento que eu projetei do vértice C, criando assim a triângulo BCD. Como o ângulo ABC mede 30º então CBD medirá 60 (complementares) e BCD medirá 105º (suplementar com ACB que mede 75º). Portanto do triângulo BCD temos 60º + 105º + BDC = 180, logo BDC=15º. Como a largura do rio é BD, calculei esta pela lei dos senos: 40/sen 15º=BD/sen105º. Eu poderia fazer sen15º= sen (45º-30º) e sen 105º=sen 75º=sen(40º+15º) e encontrar o resultado, mas como eu não tinha certeza e daria muito trabalho fiz na calculadora e o resultado foi aproximandamente 149. Acho que o meu erro não está nem na resolução do esquema que criei mas sim no próprio esquema, ou interpretação do enunciado. Qual foi meu erro ao esboçar a situação. ICQ: 337140512 Yahoo! GeoCities Tudo para criar o seu site: ferramentas fáceis de usar, espaço de sobra e acessórios.
[obm-l] Triângulos
Olá pessoal, Vejam a questão: (MAUÁ-SP) No triângulo ABC, temos: AC= 7m, BC= 8m, beta= ABC (angulo). Determine a área do triângulo. Resp: 6V3 ou 10V3 m^2 Obs: O triângulo citado possui base BC e a figura não possui aquele quadrado em um dos vertices indicando a perpendicularidade. Eu tentei aplicar a lei da área S=a*b*sen(alfa)/2, mas não consegui achar o valor de AB... Daí eu pensei, se um dos angulos mede 60º o outro angulo da base mede 30º e aplicando a lei da área neste angulo chegarei no resultado, só que eu estava contando com o fato do triângulo ser retângulo, mas fiz a prova e não deu o resultado acima . ICQ: 337140512
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Triângulos Isósceles e Bissetrizes
Title: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Triângulos Isósceles e Bissetrizes -- From: Cláudio \(Prática\) [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Triângulos Isósceles e Bissetrizes Date: Thu, Jan 9, 2003, 11:42 AM Caro Eduardo: Obviamente, esta é a solução que vai para o LIVRO. No entanto, pelo menos para mim, a maior dificuldade que existe em problemas de geometria é determinar a construção auxiliar (no caso, o segmento EF e, por conseguinte, paralelogramo BDFE) que mata o problema. Existe alguma maneira sistemática de se buscar estas construções auxiliares ou infelizmente, só podemos contar com a experiência e a esperança de algum insight genial? E se, por acaso, existir tal maneira, você recomenda alguma bibliografia em particular? A resposta eh nao. Se existisse, a atividade de resolver problemas nao teria a menor graca. Mas as tentativas em obter construcoes auxiliares nao ocorrem inteiramente ao acaso. Tracar uma paralela, uma perpendicular, fazer uma rotacao, uma simetria (entre outras coisas), frequentemente permitem reunir os dados do problema em outra posicao, permitindo encontrar uma relacao entre eles. Observe na resolucao deste problema, qual foi a ideia da criacao do paralelogramo: conectar as bissetrizes iguais formando um triangulo isosceles! Isto eh algum metodo. Se em algum problema ha dois segmentos iguais, devemos imaginar uma maneira de conecta-los. A melhor fonte para conseguir construcoes auxiliares eh certamente a experiencia. Conhecer muitos problemas e observar cuidadosamente o porque da construcao. Eu pergunto isso porque tenho observado que muitos problemas (possivelmente todos) que são resolvidos via estas construções auxiliares podem também ser resolvidos via trigonometria, apesar destas soluções serem muito mais longas e deselegantes, envolvendo uma quantidade razoável de álgebra. Minha suspeita é que talvez haja alguma relação profunda e geral entre soluções via construção auxiliar e soluções trigonométricas. Sua suspeita nao eh so sua. Muitas vezes se consegue obter a solucao via construcoes auxiliares depois da solucao trigonometrica. Mas, nem sempre. Um abraço, Claudio Buffara. - Original Message - From: Eduardo Wagner mailto:[EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] mailto:[EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, January 11, 2003 12:27 AM Subject: Re: [obm-l] Triângulos Isósceles e Bissetrizes O problema é: Prove que se um triângulo tem duas bissetrizes internas iguais, então ele é isósceles. Solucao: Desenhe o triangulo ABC e as bissetrizes BD e CE. Construa o paralelogramo BDFE e trace CF. Assinale os angulos: ABC = 2b, ACB = 2c, EFD = b, DFC = x, DCF = y. EF = BD = EC. Logo, b + x = c + y. Suponha que os angulos B e C sejam desiguais, B C, por exemplo, e observe as implicacoes: B C b c x y DC DF DC BE DBC = b c = EBC (contradicao). Logo, os angulos B e C sao iguais. Abracos, E. Wagner.
[obm-l] Re: [obm-l] Triângulos-cont.
Ola Prof Jose Claudio e demais colegas desta lista ... OBM-L, Bem-Vindo a lista OBM-L Prof Jose Claudio ! É bom ve-lo participar ! São notaveis estes pontos de intersecção de cevianas, não ? Exemplos bem conhecidos sao o ortocentro ( alturas ), o incentro ( bissetrizes internas ) e o baricentro ( medianas ). Quais são as condições necessarias e suficientes para que tres cevianas, cada uma partindo de um vertice, tenham um ponto comum ? Seria o Teorema-Recíproco do Teorema de Ceva ? Um Abraço a Todos ! Paulo Santa Rita 7,2327,110103 From: Claudio [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Triângulos-cont. Date: Mon, 6 Jan 2003 18:08:53 -0200 Sim, é verdade que se duas bissetrizes se interceptam num ponto, a terceira também passa por esse ponto. Mas nem sempre o poto de tangência entre a circunferência inscrita num triângulo e um dos seus lados corresponde à intersecção entre esse lado e a bissetriz do ângulo oposto. Isso só ocorre se o triângulo for isósceles ou equilátero. Se fosse verdade, poderíamos usar seus argumentos para provar que todos os triângulo são isósceles ou equiláteros, ou seja, que não existem triângulos escalenos, o que logicamente nao é verdade. _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] Triângulos Isósceles e Bissetrizes
Title: Re: [obm-l] Triângulos Isósceles e Bissetrizes Caro Eduardo: Obviamente, esta é a solução que vai para o "LIVRO". No entanto, pelo menos para mim, a maior dificuldade que existe em problemas de geometria é determinar a construção auxiliar (no caso, o segmento EF e, por conseguinte, paralelogramo BDFE) que "mata" o problema. Existe alguma maneira sistemática de se buscar estas construções auxiliares ou infelizmente, só podemos contar com a experiência e a esperança de algum "insight" genial? E se, por acaso, existir tal maneira, vocêrecomenda alguma bibliografia em particular? Eu pergunto isso porque tenho observado que muitos problemas (possivelmente todos) que são resolvidos via estas construções auxiliares podem também ser resolvidos via trigonometria, apesar destas soluções serem muito mais longas e deselegantes, envolvendo uma quantidade razoável de álgebra. Minha suspeita é que talvez haja alguma relação profunda e geral entre soluções via construção auxiliar e soluções trigonométricas. Um abraço, Claudio Buffara. - Original Message - From: Eduardo Wagner To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, January 11, 2003 12:27 AM Subject: Re: [obm-l] Triângulos Isósceles e Bissetrizes O problema é: Prove que se um triângulo tem duas bissetrizes internas iguais, então ele é isósceles.Solucao:Desenhe o triangulo ABC e as bissetrizes BD e CE.Construa o paralelogramo BDFE e trace CF.Assinale os angulos:ABC = 2b, ACB = 2c, EFD = b, DFC = x, DCF = y.EF = BD = EC. Logo, b + x = c + y.Suponha que os angulos B e C sejam desiguais,B C, por exemplo, e observe as implicacoes:B Cb cx yDC DFDC BEDBC = b c = EBC (contradicao).Logo, os angulos B e C sao iguais.Abracos,E. Wagner.
Re: [obm-l] Triângulos Isósceles e Bissetrizes
Esta foi a sua soluçao para esse problema,que esta na RPM6 ou 7 se eu nao me engano.Ela e bem cearense mas e legal. Eduardo Wagner [EMAIL PROTECTED] wrote: O problema é: Prove que se um triângulo tem duas bissetrizes internas iguais, então ele é isósceles.Solucao:Desenhe o triangulo ABC e as bissetrizes BD e CE.Construa o paralelogramo BDFE e trace CF.Assinale os angulos:ABC = 2b, ACB = 2c, EFD = b, DFC = x, DCF = y.EF = BD = EC. Logo, b + x = c + y.Suponha que os angulos B e C sejam desiguais,B C, por exemplo, e observe as implicacoes:B Cb cx yDC DFDC BEDBC = b c = EBC (contradicao).Logo, os angulos B e C sao iguais.Abracos,E. Wagner.Busca Yahoo! O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internet
Re: [obm-l] Triângulos Isósceles e Bissetrizes
Title: Re: [obm-l] Triângulos Isósceles e Bissetrizes O problema é: Prove que se um triângulo tem duas bissetrizes internas iguais, então ele é isósceles. Solucao: Desenhe o triangulo ABC e as bissetrizes BD e CE. Construa o paralelogramo BDFE e trace CF. Assinale os angulos: ABC = 2b, ACB = 2c, EFD = b, DFC = x, DCF = y. EF = BD = EC. Logo, b + x = c + y. Suponha que os angulos B e C sejam desiguais, B C, por exemplo, e observe as implicacoes: B C b c x y DC DF DC BE DBC = b c = EBC (contradicao). Logo, os angulos B e C sao iguais. Abracos, E. Wagner.
[obm-l] Triângulos Isósceles e Bissetrizes
O problema é: Prove que se um triângulo tem duas bissetrizes internas iguais, então ele é isósceles. Há um tempo atrás o Eder Albuquerque tentou a lei dos senos neste problema e chegou à expressão: sen(2a+b)/sen2a = sen(a+2b)/sen2b, com a e b entre 0 e 90 graus (2a e 2b são os ângulos da base do triângulo) Eu testei numa planilha e estou convencido de que esta equação implica em a = b (para a e b agudos), mas não consegui provar analiticamente (taí um bom exercício envolvendo identidades trigonométricas) Também acho muito provável que haja uma solução não trigonométrica, mediante alguma construção auxiliar "macetosa" que possibilite uma demonstração direta, ou alguma coisa na linha de "num triângulo, à menor bissetriz interna corresponde o maior ângulo", que eu acho que é verdade mas não tenho a prova, e que viabilize uma demonstração por contradição. Assim como no seu problema do triângulo isosceles de 20, 80 e 80 graus, é interessante que enunciados tão simples envolvam demonstrações tão complicadas, mas taí o Último Teorema de Fermatmatemática é assim mesmo Um abraço, Claudio. - Original Message - From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, January 06, 2003 6:08 PM Subject: Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_Triângulos-continuação Este roteiro eu ja tinha em mente.Te desafio a fazer so com senos.
Re: [obm-l] Triângulos-continuação
Se voces nao gostam de trigonometria,tentem por absurdo.Ai construa um paralelogramo conveniente Eduardo Estrada [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá, Asdemonstrações aqui apresentadas do Teorema de que, dado um triângulo ABC, este é isósceles se, e só se, suas bissetrizes são iguais não foram totalmente completas. Isto é, foi demonstrado que, se um triângulo é isósceles, então suas bissetrizes BD e CE são iguais. Agora,falta demonstrar a recíproca, ainda nãoprovada: 1) Tomem-se os triângulos ABD e AEC (adotando o mesmo esquema); 2) BD = CE (hip.); 3) BÂD = CÂE (comum); 4) A partir daqui, não consegui enxergar mais muita coisa e queria também ajuda, lembrando que, na verdade, temos que concluir que AB = AC; Obrigado, Eduardo Busca Yahoo! O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na InternetBusca Yahoo! O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internet
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Triângulos-continuação
Calma,nao viaje desse jeito!!As bissetrizes nao necessariamente se encaixam com os raios do incirculo.Assim sendo nao da para fazer a subtraçao e dizer que BI=IC. [EMAIL PROTECTED] wrote: -- Mensagem original --Olá,As demonstrações aqui apresentadas do Teorema de que, dado um ttriânguloABC,este é isósceles se, e só se, suas bissetrizes são iguais não foram totalmentecompletas. Isto é, foi demonstrado que, se um triângulo é isósceles, entãosuas bissetrizes BD e CE são iguais. Agora, falta demonstrar a recíproca,ainda não provada:===OBS: Anexei uma figura para melhor visualização .Olá Eduardo , ai vai uma possível demonstração ;Se BD e CE são iguais e sabendo que o ponto de encontro das bissetrizes- incentro - é o centro da circunferência inscrita , temos ;BI = IC , poisEC = BDEC - r = BD - rEntão o triângulo IBC é isósceles .Agora observamos que os ângulos ICB e IBC são iguais .Como os segmentos CE e BD são bissetrizes , os ângulos ACI = ICB = IBC =ABI .Dae ficamos com os ângulos ;ACI + ICB = CIB + ABI ou então ; ângulo ABC = ângulo ACBProvando que o triângulo ABC é ISÓSCELES.Abraço .Rick|-=Rick-C.R.B.=- ||ICQ 124805654 ||e-mail [EMAIL PROTECTED] |--Use o melhor sistema de busca da InternetRadar UOL - http://www.radaruol.com.br ATTACHMENT part 2 image/gif Busca Yahoo! O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internet
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Triângulos-cont.
- Original Message - From: Andre Linhares To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, January 02, 2003 12:29 PM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Triângulos-cont. Sim, é verdade quese duas bissetrizes se interceptam num ponto, a terceira também passapor esse ponto. Mas nem sempre o poto de tangência entre a circunferência inscrita num triângulo e um dos seus lados corresponde à intersecção entre esse lado e a bissetriz do ângulo oposto. Isso só ocorre se o triângulo for isósceles ou equilátero. Sefosse verdade, poderíamos usar seus argumentos paraprovar que todos os triângulo são isósceles ou equiláteros, ou seja, que não existem triângulos escalenos, o quelogicamente nao é verdade. From: Eduardo Estrada <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Triângulos-cont. Date: Wed, 1 Jan 2003 18:48:30 -0300 (ART) Olá, larryp, Não conferi passo a passo sua demonstração, mas creio que ela deve sair também algebricamente, digamos, isto é, fazendo mais contas. Por isso, ela é também correta, dado que você chegou naquilo que queria demonstrar sem assumir nenhuma hipótese errônea. Entretanto, a dem. do Luiz Henrique, pela sua síntese, é mais elegante, na minha opinião. Ah, e gostaria de dizer que se duas bissetrizes se interceptam num ponto, a terceira também se intercepta com as outras no mesmo ponto. Além disso, os pontos de intersecção dessas bissetrizes com as bases são sim os pontos de tangência da circunferência inscrita no triângulo. Ah, também gostaria de dizer que todo triângulo tem uma circ. inscrita, o que é garantido pelo que disse acima e que, numa outra oportunidade, poderia reproduzir aqui essas demonstrações. Atenciosamente, Eduardo - Busca Yahoo! O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internet MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. Faça o seu agora. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>=
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Triângulos-continuação
Se voce e quem eu penso que e,tenho coisas a te dizer: 1)O incirculo,e nao o circuncirculo,toca os caras do triangulo :-) 2)A soluçao pode ou nao ser forçada,mas e errada.O que voce esta dizendo implicitamente e que oincirculo toca os lados no mesmo lugar das bissetrizes.Isso so valeno triangulo equilatero. :0 [EMAIL PROTECTED] wrote: ==Eu não forcei nada , acho que minha demostração é válida.Sempre aprendi que o circuncentro tóca todos os lados do triângulo .Ou não ?Já que você tem dus bissetrizes , o ponto de encontro das duas , só podeser o ponto de encontro da terceira .Não sei se me entendeu ,mais acho minha solução é válida , não é cheiade conta igual a sua , mais não vejo problema algum em faze-la.Você disse que nem em todos os triângulos o circulo inscrito tengenciatodos os lados ? Desconheço isso .Na demostração , eu entendi que partindo do fato de que tenho duas bissetrizesIGUAIS , provar que os lados são iguais .== =|-=Rick-C.R.B.=- ||ICQ 124805654 ||e-mail [EMAIL PROTECTED] |--Use o melhor sistema de busca da InternetRadar UOL - http://www.radaruol.com.br=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlO administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>=Busca Yahoo! O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internet
Re: [obm-l] Triângulos-cont.
Meu,tentem entender que a afirmaçao "os pontos de intersecção dessas bissetrizes com as bases são sim os pontos de tangência da circunferência inscrita no triângulo" nao e 100% verdade.Basta tentar demonstrar que voce ve que ha excesso de dados contraditorios.E geralmente quando se fala de demonstraçao elegante todos pensam em triangulos e semelhanças.Da pra parar de ser sonhador?Tente esse problema por exemplo:seja ABC um triangulo isosceles de base BC e cevianas EC e BD,tal que m(A)=20,m(DBC)=60,m(BCE)=50,calcule m(BDE). Eduardo Estrada [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá, larryp, Não conferi passo a passo sua demonstração,mas creio que ela deve sair também algebricamente, digamos, isto é, fazendo mais contas. Por isso, ela é também correta, dado que você chegou naquilo que queria demonstrar sem assumir nenhuma hipótese errônea. Entretanto, a dem. do Luiz Henrique, pela sua síntese, é mais elegante, na minha opinião. Ah, e gostaria de dizer que se duas bissetrizes se interceptam num ponto, a terceira também se intercepta com as outras no mesmo ponto. Além disso, os pontos de intersecção dessas bissetrizes com as bases são sim os pontos de tangência da circunferência inscrita no triângulo. Ah, também gostaria de dizer que todo triângulo tem uma circ. inscrita, o que é garantido pelo que disse acima e que, numa outra oportunidade, poderia reproduzir aqui essas demonstrações. Atenciosamente, Eduardo Busca Yahoo! O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na InternetBusca Yahoo! O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internet
[obm-l] Re: [obm-l] Triângulos-cont.
Sim, é verdade quese duas bissetrizes se interceptam num ponto, a terceira também passapor esse ponto. Mas nem sempre o poto de tangência entre a circunferência inscrita num triângulo e um dos seus lados corresponde à intersecção entre esse lado e a bissetriz do ângulo oposto. Isso só ocorre se o triângulo for isósceles ou equilátero. Sefosse verdade, poderíamos usar seus argumentos paraprovar que todos os triângulo são isósceles ou equiláteros, ou seja, que não existem triângulos escalenos, o quelogicamente nao é verdade. From: Eduardo Estrada <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Triângulos-cont. Date: Wed, 1 Jan 2003 18:48:30 -0300 (ART) Olá, larryp, Não conferi passo a passo sua demonstração, mas creio que ela deve sair também algebricamente, digamos, isto é, fazendo mais contas. Por isso, ela é também correta, dado que você chegou naquilo que queria demonstrar sem assumir nenhuma hipótese errônea. Entretanto, a dem. do Luiz Henrique, pela sua síntese, é mais elegante, na minha opinião. Ah, e gostaria de dizer que se duas bissetrizes se interceptam num ponto, a terceira também se intercepta com as outras no mesmo ponto. Além disso, os pontos de intersecção dessas bissetrizes com as bases são sim os pontos de tangência da circunferência inscrita no triângulo. Ah, também gostaria de dizer que todo triângulo tem uma circ. inscrita, o que é garantido pelo que disse acima e que, numa outra oportunidade, poderia reproduzir aqui essas demonstrações. Atenciosamente, Eduardo - Busca Yahoo! O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internet MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. Faça o seu agora. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] Triângulos-cont.
Olá, larryp, Não conferi passo a passo sua demonstração,mas creio que ela deve sair também algebricamente, digamos, isto é, fazendo mais contas. Por isso, ela é também correta, dado que você chegou naquilo que queria demonstrar sem assumir nenhuma hipótese errônea. Entretanto, a dem. do Luiz Henrique, pela sua síntese, é mais elegante, na minha opinião. Ah, e gostaria de dizer que se duas bissetrizes se interceptam num ponto, a terceira também se intercepta com as outras no mesmo ponto. Além disso, os pontos de intersecção dessas bissetrizes com as bases são sim os pontos de tangência da circunferência inscrita no triângulo. Ah, também gostaria de dizer que todo triângulo tem uma circ. inscrita, o que é garantido pelo que disse acima e que, numa outra oportunidade, poderia reproduzir aqui essas demonstrações. Atenciosamente, EduardoBusca Yahoo! O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internet
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Triângulos-continuação
Luiz Henrique, Com essa observação de que o ponto de encontro das bissetrizes de um triângulo é também o centro da circunferência inscrita no triângulo (a qual não me tinha ocorrido) ficou bem legal a demonstração. Agora, sim, estou convencido da veracidade do Teorema! Saudações, EduardoBusca Yahoo! O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internet
[obm-l] [obm-l] Triângulos-continuação
-- Mensagem original -- Caro Rick e amigos da lista: Antes de mais nada, Feliz 2003 para todos!!! Agora, quanto ao meu e-mail anterior, acho que não me expressei bem. Você tem razão ao afirmar que as três bissetrizes se encontram no incentro (e não no circumcentro) e que o círculo inscrito tangencia os três lados. O seu engano foi assumir que o vértice, o incentro e o ponto de interseção do círculo inscrito com o lado oposto a este vértice estão em linha reta (em outras palavras, que a bissetriz relativa ao vértice é perpendicular ao lado oposto). Isso só é verdade para um triângulo isosceles. Ou seja, a fim de provar que o triângulo é isosceles, você assumiu que este triângulo tem uma propriedade que só os triângulos isosceles têm, o que não faz muito sentido. Além disso, se um triângulo é isosceles mas não é equilátero, a bissetriz que é perpendicular ao lado oposto é justamente aquela que é diferente das outras duas (que são iguais). Um abraço, Claudio. --- Caro Claudio , na demostração não é necessário que a terceira bissetriz ,a que não é igual as outras , seja perpendicular ao lado oposto a ela . Na verdade , o que está dando a idéia de que eu forcei a demonstração é o desenho que fiz , o qual realmente é um triângulo isósceles . Abraços a você e ao Eduardo!! Rick. |-=Rick-C.R.B.=- | |ICQ 124805654 | |e-mail [EMAIL PROTECTED] | -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] Triângulos-continuação
-- Mensagem original -- Olá, As demonstrações aqui apresentadas do Teorema de que, dado um triângulo ABC, este é isósceles se, e só se, suas bissetrizes são iguais não foram totalmente completas. Isto é, foi demonstrado que, se um triângulo é isósceles, então suas bissetrizes BD e CE são iguais. Agora, falta demonstrar a recíproca, ainda não provada: === OBS: Anexei uma figura para melhor visualização . Olá Eduardo , ai vai uma possível demonstração ; Se BD e CE são iguais e sabendo que o ponto de encontro das bissetrizes - incentro - é o centro da circunferência inscrita , temos ; BI = IC , pois EC = BD EC - r = BD - r Então o triângulo IBC é isósceles . Agora observamos que os ângulos ICB e IBC são iguais . Como os segmentos CE e BD são bissetrizes , os ângulos ACI = ICB = IBC = ABI . Dae ficamos com os ângulos ; ACI + ICB = CIB + ABI ou então ; ângulo ABC = ângulo ACB Provando que o triângulo ABC é ISÓSCELES. Abraço . Rick |-=Rick-C.R.B.=- | |ICQ 124805654 | |e-mail [EMAIL PROTECTED] | -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br attachment: Tri_inc.gif
[obm-l] Re: [obm-l] Triângulos-continuação
A demonstração da volta (no triângulo ABC, sejam BD e CE bissetrizes dos ângulos ABC e ACB, respectivamente; se BD = CE então ABC é isosceles) sai por meio do uso de dois teoremas: 1. A bissetriz de um ângulo divide o lado oposto a este ângulo em partes proporcionais aos outros dois lados; e 2. Lei dos cossenos. No triângulo ABC, temos: BC = a, AC = b, AB = c, BD = CE = x. Usando o teorema (1), teremos: D divide AC em partes proporcionais a AB e BC, ou seja: AD = b*c/(a+c) CD = a*b/(a+c) E divide AB em partes proporcionais a AC e BC, ou seja: AE = b*c/(a+b) BE = a*c/(a+b) Agora o passo mais importante da demonstração: Aplicamos a lei dos cossenos aos triângulos AEC e BEC, mas ao invés de usar os ângulos ACE e BCE (que seriam a escolha óbvia, já queque são iguais, pois CE é bissetriz) usamos os ângulos AEC e BEC, que sâo suplementares: cos(AEC) = -cos(BEC) = M. Em AEC: AC^2 = AE^2 + CE^2 - 2*AE*CE*cos(AEC) Em BEC: BC^2 = BE^2 + CE^2 - 2*BE*CE*cos(BEC) Ou seja, b^2 = [b*c/(a+b)]^2 + x^2 - 2*x*b*c/(a+b)*M a^2 = [a*c/(a+b)]^2 + x^2+ 2*x*a*c/(a+b)*M Agora, M não tem nada a ver com o que queremos provar. Assim, a idéia é fazer M desaparecer. Para isso, multiplicamos a primeira equação por a, a segunda por b: a*b^2 = a*[b*c/(a+b)]^2 + a*x^2 - 2*x*a*b*c/(a+b)*M b*a^2 = b*[a*c/(a+b)]^2 + b*x^2+ 2*x*a*b*c/(a+b)*M E somamos as duas equações: a*b*(a+b)= a*b*c^2/(a+b) + (a+b)*x^2 Dividindo por a+b: a*b = a*b*c^2/(a+b)^2 + x^2 Resolvendo para x^2: x^2 = a*b*[ 1 - c^2/(a+b)^2 ] De maneira inteiramente análoga, usando os triângulos ADB e BDC (sem esquecer que BD = EC = x), obtemos: x^2 = a*c*[ 1 - b^2/(a+c)^2 ] Ou seja, b - b*c^2/(a+b)^2 = c - b^2*c/(a+c)^2 == b - c = b*c*[ c/(a+b)^2 - b/(a+c)^2 ] Suponhamos agora que b c. Então, por esta última expressão, teremos que ter, necessariamente: c/(a+b)^2 b/(a+c)^2. No entanto b c ==a+b a+c == (a+b)^2 (a+c)^2 == 1/(a+c)^2 1/(a+b)^2 == b/(a+c)^2 c/(a+b)^2 == CONTRADIÇÃO Analogamente, se supusermos que b c também cairemos em contradição. A única conclusão possível é que b = c, ou seja, AB = AC e ABC é isosceles. - Original Message - From: Eduardo Estrada To: Olimpíada Matemática Sent: Tuesday, December 31, 2002 12:11 AM Subject: [obm-l] Triângulos-continuação Olá, Asdemonstrações aqui apresentadas do Teorema de que, dado um triângulo ABC, este é isósceles se, e só se, suas bissetrizes são iguais não foram totalmente completas. Isto é, foi demonstrado que, se um triângulo é isósceles, então suas bissetrizes BD e CE são iguais. Agora,falta demonstrar a recíproca, ainda nãoprovada: 1) Tomem-se os triângulos ABD e AEC (adotando o mesmo esquema); 2) BD = CE (hip.); 3) BÂD = CÂE (comum); 4) A partir daqui, não consegui enxergar mais muita coisa e queria também ajuda, lembrando que, na verdade, temos que concluir que AB = AC; Obrigado, Eduardo Busca Yahoo! O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internet
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Triângulos-continuação
== Eu não forcei nada , acho que minha demostração é válida. Sempre aprendi que o circuncentro tóca todos os lados do triângulo . Ou não ? Já que você tem dus bissetrizes , o ponto de encontro das duas , só pode ser o ponto de encontro da terceira . Não sei se me entendeu ,mais acho minha solução é válida , não é cheia de conta igual a sua , mais não vejo problema algum em faze-la. Você disse que nem em todos os triângulos o circulo inscrito tengencia todos os lados ? Desconheço isso . Na demostração , eu entendi que partindo do fato de que tenho duas bissetrizes IGUAIS , provar que os lados são iguais . == = |-=Rick-C.R.B.=- | |ICQ 124805654 | |e-mail [EMAIL PROTECTED] | -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Triângulos-continuação
Olá, Asdemonstrações aqui apresentadas do Teorema de que, dado um triângulo ABC, este é isósceles se, e só se, suas bissetrizes são iguais não foram totalmente completas. Isto é, foi demonstrado que, se um triângulo é isósceles, então suas bissetrizes BD e CE são iguais. Agora,falta demonstrar a recíproca, ainda nãoprovada: 1) Tomem-se os triângulos ABD e AEC (adotando o mesmo esquema); 2) BD = CE (hip.); 3) BÂD = CÂE (comum); 4) A partir daqui, não consegui enxergar mais muita coisa e queria também ajuda, lembrando que, na verdade, temos que concluir que AB = AC; Obrigado, EduardoBusca Yahoo! O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internet
[obm-l] Triângulos
- Original Message - From: Wagner To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, October 03, 2002 9:30 PM Subject: [obm-l] Triângulos Oi pessoal! Queria só fazer uma correção no meu problema, o que vem abaixo é o correto: Esse é um problema bem interessante: Prove que se a,b e c são as medidas dos lados de um triângulo. Então existe um e somente um número n real que satisfaz a condição: a^n = b^n + c^n, com apenas uma exceção. Também mostre qual é a exceção. André T.
Re: [obm-l] triângulos
Olah Rafael, Nao sei se entendi; vc quer uma formula geral para calcular o numero de triangulos iguais que um triangulo semelhante a estes suporta em funcao do numero de lados dos pequenos que cabem num grande? Se for isso, eu pensei assim: Podemos perceber que o numero de triangulos de uma carreira decresce a cada carreira que se conta. E podemos perceber que para cada carreira tem uma outra de numero de triangulos iguais, soh que de cabeca pra baixo, menos a carreira da base. Com base nesses dados, podemos esbocar uma formula: sendo N o numero de triangulos, e L o numero de lados; N = L + 2(L-1) + 2(L-2) + 2(L-3) + ... + 2(L-(L-1)) Como podemos perceber, temos L termos, levando em conta o L. N = L + 2((L -1)+(L-2)+(L-3)+... ) + 2(L-L+1) N = L + 2 +2((L-1)+(L-2)...) Nos temos L-2 termos dentro dos colchetes (sem levar em conta o L e o 2). Logo: N = L + 2 +2((L-2)L) -2(1+2+3+4...) Aqui temos uma PA de termo inicial 1, razao 1 e termo final L-2 Logo, 1+2+3+4... +L-2 = [(1+L-2)(L-2)]/2 = (L^2 - 3L + 2)/2 Substituindo: N = L + 2 +2((L-2)L) -2(L^2 - 3L +2)/2 N = L+2 +2L^2 - 4L -L^2 +3L - 2 Fazendo a continha, chegamos a incrivel formula: N = L^2:c) Grande Abraco, Ezer F. da Silva On 18 May 2002 at 18:43, Rafael WC wrote: Pessoal, ontem mandei uma dúvida sobre contar o total de triângulos de todos os tamanhos de uma figura como a que enviei abaixo novamente. Pensei muito sobre esse problema e cheguei a uma fórmula não muito amigável, mas até que não é ruim. Já dá até pra escrever um algoritmo pra rodar no computador se quiser. Primeiro, eu chamei de x o número de lados de triângulos que temos na base. Por exemplo, se tivermos um triângulo só x = 1. /_\ Se tivermos uma figura com quatro triângulos de menor tamanho, temos: /_\ /_\ /_\ x = 2 Na figura que mandei, temos x = 4. Com isso, já que você tem triângulos de diferentes tamanhos, você deve contar separadamente os triângulos que têm como lado 1 traço, 2 traços, 3 traços...E depois tem que contar os triângulos que estão de cabeça pra baixo com esses mesmos tamanhos. Se você fizer isso em função dos traços da base não fica muito ruim. Todas as linhas vou escrever a soma de várias parcelas de x menos alguma coisa. Quando você for calcular para algum x, você vai fazer as subtrações até encontrar o valor zero, aí você para. Por exemplo, na primeira linha temos: x + (x - 1) + (x - 2) + (x - 3) + ... Se você tiver x = 2, você irá somar até x + (x - 1), porque o próximo dará zero e aí você deve parar. Bom, no final você encontra isso: triângulos de lado 1: cabeça pra cima = x + (x - 1) + (x - 2) + (x - 3) + ... cabeça pra baixo = (x - 1) + (x - 2) + (x - 3) + ... total = x + 2.[(x - 1) + (x - 2) + (x - 3) + ...] É como se o triângulo maior de todos fosse dividido em várias linhas, aí você vai contando de cada linha. triângulos de lado 2: cabeça pra cima = (x - 1) + (x - 2) + (x - 3) + (x - 4) + ... cabeça pra baixo = (x - 3) + (x - 4) + (x - 5) + ... total = (x - 1) + (x - 2) + 2.[(x - 3) + (x - 4) + ...] Por que aqui começamos a ter de cabeça pra baixo só com (x - 3)? Porque para termos um triângulo de cabeça pra baixo, o triângulo maior tem que ter o dobro de traços na base do que o tamanho do triângulo. Como esse tem lado 2, precisamos ter x = 4, que se fizermos (x - 3) dará 1. Enquanto x for menor que 4 esse número será negativo ou zero e aí não vamos contar. triângulos de lado 3: cabeça pra cima = (x - 2) + (x - 3) + (x - 4) + (x - 5) + ... cabeça pra baixo = (x - 5) + (x - 6) + (x - 7) + ... total = (x - 2) + (x - 3) + (x - 4) + 2.[(x - 5) + ...] E assim teremos sempre esse padrão. Os triângulos de cabeça pra cima começam sempre com (x - a), onde a é o número anterior ao tamanho do triângulo. E os triângulos de cabeça pra baixo começam sempre com x - (2a - 1). Depois os outros termos você vai tirando sempre 1. No final das contas você pode somar tudo isso. Soma os triângulo de cabeça pra cima com os de cabeça pra baixo de todos os tamanhos. O problema é que não pode desenvolver muita coisa, porque não pode misturar x - 3 com x - 4, porque se você tiver x = 4, você não terá o termo x - 4. Mas somando apenas x - 1 com x - 1 e x - 2 com x -2, você terá: total = x + 3.(x - 1) + 4.(x - 2) + 6.(x - 3) + 7.(x - 4) + 9.(x - 5) + 10.(x - 6) + 12.(x - 7) + 13.(x - 8) + ... No final você tem então todos os fatores x, x - 1, x - 2, x - 3, ... e os coeficientes de cada um têm uma ordem até boazinha: 1, (pula o 2), 3, 4, (pula o 5), 6, 7, (pula o 8), 9, 10, (pula o 11), 12, 13, (pula o 14), ... E você vai usar a fórmula até o termo em que quando fizer a diferença de x com alguma coisa dê zero. Ou você pode até fazer a seguinte regra: considere que desse valor total você vai pegar apenas os x primeiros termos. Por exemplo, vamos pegar o triângulo da figura que tem 4 traços na base, ou seja x = 4. Então vamos pegar até o
[obm-l] triângulos
Pessoal, ontem mandei uma dúvida sobre contar o total de triângulos de todos os tamanhos de uma figura como a que enviei abaixo novamente. Pensei muito sobre esse problema e cheguei a uma fórmula não muito amigável, mas até que não é ruim. Já dá até pra escrever um algoritmo pra rodar no computador se quiser. Primeiro, eu chamei de x o número de lados de triângulos que temos na base. Por exemplo, se tivermos um triângulo só x = 1. /_\ Se tivermos uma figura com quatro triângulos de menor tamanho, temos: /_\ /_\ /_\ x = 2 Na figura que mandei, temos x = 4. Com isso, já que você tem triângulos de diferentes tamanhos, você deve contar separadamente os triângulos que têm como lado 1 traço, 2 traços, 3 traços...E depois tem que contar os triângulos que estão de cabeça pra baixo com esses mesmos tamanhos. Se você fizer isso em função dos traços da base não fica muito ruim. Todas as linhas vou escrever a soma de várias parcelas de x menos alguma coisa. Quando você for calcular para algum x, você vai fazer as subtrações até encontrar o valor zero, aí você para. Por exemplo, na primeira linha temos: x + (x - 1) + (x - 2) + (x - 3) + ... Se você tiver x = 2, você irá somar até x + (x - 1), porque o próximo dará zero e aí você deve parar. Bom, no final você encontra isso: triângulos de lado 1: cabeça pra cima = x + (x - 1) + (x - 2) + (x - 3) + ... cabeça pra baixo = (x - 1) + (x - 2) + (x - 3) + ... total = x + 2.[(x - 1) + (x - 2) + (x - 3) + ...] É como se o triângulo maior de todos fosse dividido em várias linhas, aí você vai contando de cada linha. triângulos de lado 2: cabeça pra cima = (x - 1) + (x - 2) + (x - 3) + (x - 4) + ... cabeça pra baixo = (x - 3) + (x - 4) + (x - 5) + ... total = (x - 1) + (x - 2) + 2.[(x - 3) + (x - 4) + ...] Por que aqui começamos a ter de cabeça pra baixo só com (x - 3)? Porque para termos um triângulo de cabeça pra baixo, o triângulo maior tem que ter o dobro de traços na base do que o tamanho do triângulo. Como esse tem lado 2, precisamos ter x = 4, que se fizermos (x - 3) dará 1. Enquanto x for menor que 4 esse número será negativo ou zero e aí não vamos contar. triângulos de lado 3: cabeça pra cima = (x - 2) + (x - 3) + (x - 4) + (x - 5) + ... cabeça pra baixo = (x - 5) + (x - 6) + (x - 7) + ... total = (x - 2) + (x - 3) + (x - 4) + 2.[(x - 5) + ...] E assim teremos sempre esse padrão. Os triângulos de cabeça pra cima começam sempre com (x - a), onde a é o número anterior ao tamanho do triângulo. E os triângulos de cabeça pra baixo começam sempre com x - (2a - 1). Depois os outros termos você vai tirando sempre 1. No final das contas você pode somar tudo isso. Soma os triângulo de cabeça pra cima com os de cabeça pra baixo de todos os tamanhos. O problema é que não pode desenvolver muita coisa, porque não pode misturar x - 3 com x - 4, porque se você tiver x = 4, você não terá o termo x - 4. Mas somando apenas x - 1 com x - 1 e x - 2 com x -2, você terá: total = x + 3.(x - 1) + 4.(x - 2) + 6.(x - 3) + 7.(x - 4) + 9.(x - 5) + 10.(x - 6) + 12.(x - 7) + 13.(x - 8) + ... No final você tem então todos os fatores x, x - 1, x - 2, x - 3, ... e os coeficientes de cada um têm uma ordem até boazinha: 1, (pula o 2), 3, 4, (pula o 5), 6, 7, (pula o 8), 9, 10, (pula o 11), 12, 13, (pula o 14), ... E você vai usar a fórmula até o termo em que quando fizer a diferença de x com alguma coisa dê zero. Ou você pode até fazer a seguinte regra: considere que desse valor total você vai pegar apenas os x primeiros termos. Por exemplo, vamos pegar o triângulo da figura que tem 4 traços na base, ou seja x = 4. Então vamos pegar até o quarto termo dessa fórmula e fazer x = 4: total = x + 3.(x - 1) + 4.(x - 2) + 6.(x - 3) total = 4 + 3.(4 - 1) + 4.(4 - 2) + 6.(4 - 3) total = 4 + 3.3 + 4.2 + 6.1 total = 4 + 9 + 8 + 6 total = 27 E aí você pode fazer pra qualquer x. Aquele menor que tinha x = 2, só pegamos os 2 primeiros termos: total = x + 3.(x - 1) total = 2 + 3.(2 - 1) total = 2 + 3.1 total = 2 + 3 total = 5 De qualquer jeito você não precisa ficar contando um por um e correr o risco de se perder mais facilmente. Mas o meu problema agora é o seguinte. Suspeito que ainda dê para simplificar a fórmula, considerando duas fórmulas, uma para quando x é par e outra para quando x é ímpar. Talvez simplifique, mas aí você tem duas fórmulas, não sei. Ainda não consegui. Será que alguém consegue melhorar daqui pra frente. O pior acho que já passou. Um abraço, Rafael. = Rafael Werneck Cinoto ICQ# 107011599 [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] http://www.rwcinoto.hpg.com.br/ __ Do You Yahoo!? LAUNCH - Your Yahoo! Music Experience http://launch.yahoo.com
[obm-l] Triângulos (livro A.C. Morgado)
Olá amigos da lista, estava dando uma estudada esses dias , e me deparei com uma duvida que não foi sanada , se puderem me ajudar ... -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
