Re: [obm-l] probleminhas de geometria

[Luiz Antonio Rodrigues]

Olá, Claudio!
Bom dia!
Muito obrigado!
Vou ler o artigo!
Um abraço!
Luiz

On Sat, Mar 31, 2018, 8:36 PM Claudio Buffara 
wrote:

> E a Wikipédia tem um artigo sobre o teorema de Ptolomeu (em inglês:
> Prolemy’s Theorem)
>
> Abs
>
> Enviado do meu iPhone
>
> Em 31 de mar de 2018, à(s) 18:03, Luiz Antonio Rodrigues <
> rodrigue...@gmail.com> escreveu:
>
> Olá, Anderson!
> Boa noite!
> Muito obrigado pela sugestão.
> Um abraço!
> Luiz
>
> On Sat, Mar 31, 2018, 4:51 PM Anderson Torres <
> torres.anderson...@gmail.com> wrote:
>
>> Em 31 de março de 2018 14:09, Luiz Antonio Rodrigues
>>  escreveu:
>> > Olá, Sergio!
>> > Muito obrigado pela dica!
>> > Um abraço para você também!
>> > Luiz
>> >
>> > On Sat, Mar 31, 2018, 1:36 PM Sergio Lima  wrote:
>> >>
>> >> Eu sugeriria
>> >>
>> >> A.C. Morgado, E. Wagner e M. Jorge, Geometria I e II,
>> >> Francisco Alves ed. (relançado pela VestSeller).
>>
>>
>> Geometry Revisited do Coxeter é uma boa pedida.
>>
>> >>
>> >> Abraço,
>> >> sergio
>> >>
>> >> 2018-03-31 12:40 GMT-03:00 Luiz Antonio Rodrigues <
>> rodrigue...@gmail.com>:
>> >>>
>> >>> Olá, pessoal!
>> >>> Boa tarde!
>> >>> Eu nunca tinha ouvido falar do Teorema de Ptolomeu...
>> >>> A conclusão é que nunca estudei  Geometria por um livro realmente
>> bom.
>> >>> Alguém pode me indicar algum? Pode ser em Inglês.
>> >>> Aproveito para desejar uma ótima Páscoa para todos!
>> >>> Um abraço!
>> >>> Luiz
>> >>>
>> >>> On Wed, Mar 28, 2018, 3:56 PM Claudio Buffara <
>> claudio.buff...@gmail.com>
>> >>> wrote:
>> 
>>  Boa!
>>  Complexos são realmente uma ferramenta poderosa.
>> 
>>  Outra solução usa geometria analítica no R^3.
>> 
>>  Tome o triângulo com vértices (a,0,0), (0,a,0), (0,0,a).
>>  O círculo é a intersecção do plano do triângulo (x + y + z = a)
>> com a
>>  esfera x^2 + y^2 + z^2 = r^2.
>> 
>>  P(x,y,z) ==> PA^2 + PB^2 + PC^2
>>  = (x-a)^2 + y^2 + z^2Â  Â  +Â  Â  x^2 + (y-a)^2 + z^2Â  Â  +Â  Â
>> x^2 + y^2 +
>>  (z-a)^2
>>  = 3(x^2+y^2+z^2) + 3a^2 - 2a(x+y+z)
>>  = 3r^2 + 3a^2 - 2a^2
>>  = 3r^2 + a^2.
>> 
>>  []s,
>>  Claudio.
>> 
>> 
>>  2018-03-28 14:49 GMT-03:00 Douglas Oliveira de Lima
>>  :
>> >
>> > Entao. acho que para qualquer circunferencia(concentrica ) sai
>> > usando complexos, vamos ver,
>> >
>> > O valor pedido será (w-Z1)(w-z1)+(w-Z2)(w-z2)+(w-Z3)(w-z3)=A, onde
>> z1 é
>> > o conjugado de Z1.
>> >
>> > Podemos representar a circunferencia por modulo de w igual a r e o
>> > triangulo equilatero por z^3-k^3=0 .
>> >
>> > Assim o valor de A será 3r^2+3k^2-w(Z1+z1+Z2+z2+Z3+z3) logo
>> > A=3r^2+3k^2.
>> >
>> > Pronto morreu.
>> >
>> >
>> > Um abraco
>> >Â  Douglas Oliveira.
>> > Mas o valor de A será
>> >
>> >
>> > Em 27 de mar de 2018 12:06, "Claudio Buffara"
>> >  escreveu:
>> >
>> > Achei estes dois bonitinhos:
>> >
>> > 1) Prove que, sendo P um ponto qualquer da circunferência inscrita
>> a um
>> > triângulo equilátero ABC, PA^2 + PB^2 + PC^2 é constante.
>> > 1A) Prove que isso vale para qualquer circunferência concêntrica
>> com o
>> > incírculo (tem uma demonstração legal para o circumcírculo
>> usando o teorema
>> > de Ptolomeu).
>> >
>> >
>> > 2) Um bolo tem a forma de um paralelepípedo retângulo de base
>> quadrada
>> > e tem cobertura no topo e nas quatro faces.
>> > Mostre como dividir o bolo entre 7 pessoas de modo que cada um
>> receba a
>> > mesma quantidade de bolo e de cobertura.
>> >
>> > Obs: a solução que envolve bater o bolo num liquidificador e
>> dividir a
>> > gororoba resultante em 7 partes de mesmo peso não é válida.
>> >
>> > []s,
>> > Claudio.
>> >
>> >
>> >
>> > --
>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> > acredita-se estar livre de perigo.
>> >
>> >
>> >
>> > --
>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> > acredita-se estar livre de perigo.
>> 
>> 
>> 
>>  --
>>  Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>  acredita-se estar livre de perigo.
>> >>>
>> >>>
>> >>> --
>> >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> >>> acredita-se estar livre de perigo.
>> >>
>> >>
>> >>
>> >> --
>> >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> >> acredita-se estar livre de perigo.
>> >
>> >
>> > --
>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> > acredita-se estar livre de perigo.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> Â acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> 

Re: [obm-l] probleminhas de geometria

[Claudio Buffara]

E a Wikipédia tem um artigo sobre o teorema de Ptolomeu (em inglês: Prolemy’s 
Theorem)

Abs

Enviado do meu iPhone

Em 31 de mar de 2018, à(s) 18:03, Luiz Antonio Rodrigues 
 escreveu:

> Olá, Anderson!
> Boa noite!
> Muito obrigado pela sugestão.
> Um abraço!
> Luiz
> 
>> On Sat, Mar 31, 2018, 4:51 PM Anderson Torres  
>> wrote:
>> Em 31 de março de 2018 14:09, Luiz Antonio Rodrigues
>>  escreveu:
>> > Olá, Sergio!
>> > Muito obrigado pela dica!
>> > Um abraço para você também!
>> > Luiz
>> >
>> > On Sat, Mar 31, 2018, 1:36 PM Sergio Lima  wrote:
>> >>
>> >> Eu sugeriria
>> >>
>> >> A.C. Morgado, E. Wagner e M. Jorge, Geometria I e II,
>> >> Francisco Alves ed. (relançado pela VestSeller).
>> 
>> 
>> Geometry Revisited do Coxeter é uma boa pedida.
>> 
>> >>
>> >> Abraço,
>> >> sergio
>> >>
>> >> 2018-03-31 12:40 GMT-03:00 Luiz Antonio Rodrigues :
>> >>>
>> >>> Olá, pessoal!
>> >>> Boa tarde!
>> >>> Eu nunca tinha ouvido falar do Teorema de Ptolomeu...
>> >>> A conclusão é que nunca estudei  Geometria por um livro realmente bom.
>> >>> Alguém pode me indicar algum? Pode ser em Inglês.
>> >>> Aproveito para desejar uma ótima Páscoa para todos!
>> >>> Um abraço!
>> >>> Luiz
>> >>>
>> >>> On Wed, Mar 28, 2018, 3:56 PM Claudio Buffara 
>> >>> wrote:
>> 
>>  Boa!
>>  Complexos são realmente uma ferramenta poderosa.
>> 
>>  Outra solução usa geometria analítica no R^3.
>> 
>>  Tome o triângulo com vértices (a,0,0), (0,a,0), (0,0,a).
>>  O círculo é a intersecção do plano do triângulo (x + y + z = a) 
>>  com a
>>  esfera x^2 + y^2 + z^2 = r^2.
>> 
>>  P(x,y,z) ==> PA^2 + PB^2 + PC^2
>>  = (x-a)^2 + y^2 + z^2Â  Â  +Â  Â  x^2 + (y-a)^2 + z^2Â  Â  +Â  Â  x^2 + 
>>  y^2 +
>>  (z-a)^2
>>  = 3(x^2+y^2+z^2) + 3a^2 - 2a(x+y+z)
>>  = 3r^2 + 3a^2 - 2a^2
>>  = 3r^2 + a^2.
>> 
>>  []s,
>>  Claudio.
>> 
>> 
>>  2018-03-28 14:49 GMT-03:00 Douglas Oliveira de Lima
>>  :
>> >
>> > Entao. acho que para qualquer circunferencia(concentrica ) sai
>> > usando complexos, vamos ver,
>> >
>> > O valor pedido será (w-Z1)(w-z1)+(w-Z2)(w-z2)+(w-Z3)(w-z3)=A, onde z1 
>> > é
>> > o conjugado de Z1.
>> >
>> > Podemos representar a circunferencia por modulo de w igual a r e o
>> > triangulo equilatero por z^3-k^3=0 .
>> >
>> > Assim o valor de A será 3r^2+3k^2-w(Z1+z1+Z2+z2+Z3+z3) logo
>> > A=3r^2+3k^2.
>> >
>> > Pronto morreu.
>> >
>> >
>> > Um abraco
>> >Â  Douglas Oliveira.
>> > Mas o valor de A será
>> >
>> >
>> > Em 27 de mar de 2018 12:06, "Claudio Buffara"
>> >  escreveu:
>> >
>> > Achei estes dois bonitinhos:
>> >
>> > 1) Prove que, sendo P um ponto qualquer da circunferência inscrita a 
>> > um
>> > triângulo equilátero ABC, PA^2 + PB^2 + PC^2 é constante.
>> > 1A) Prove que isso vale para qualquer circunferência concêntrica com 
>> > o
>> > incírculo (tem uma demonstração legal para o circumcírculo usando 
>> > o teorema
>> > de Ptolomeu).
>> >
>> >
>> > 2) Um bolo tem a forma de um paralelepípedo retângulo de base 
>> > quadrada
>> > e tem cobertura no topo e nas quatro faces.
>> > Mostre como dividir o bolo entre 7 pessoas de modo que cada um receba a
>> > mesma quantidade de bolo e de cobertura.
>> >
>> > Obs: a solução que envolve bater o bolo num liquidificador e dividir 
>> > a
>> > gororoba resultante em 7 partes de mesmo peso não é válida.
>> >
>> > []s,
>> > Claudio.
>> >
>> >
>> >
>> > --
>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> > acredita-se estar livre de perigo.
>> >
>> >
>> >
>> > --
>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> > acredita-se estar livre de perigo.
>> 
>> 
>> 
>>  --
>>  Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>  acredita-se estar livre de perigo.
>> >>>
>> >>>
>> >>> --
>> >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> >>> acredita-se estar livre de perigo.
>> >>
>> >>
>> >>
>> >> --
>> >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> >> acredita-se estar livre de perigo.
>> >
>> >
>> > --
>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> > acredita-se estar livre de perigo.
>> 
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> Â acredita-se estar livre de perigo.
>> 
>> 
>> =
>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> 

Re: [obm-l] probleminhas de geometria

[Luiz Antonio Rodrigues]

Olá, Anderson!
Boa noite!
Muito obrigado pela sugestão.
Um abraço!
Luiz

On Sat, Mar 31, 2018, 4:51 PM Anderson Torres 
wrote:

> Em 31 de março de 2018 14:09, Luiz Antonio Rodrigues
>  escreveu:
> > Olá, Sergio!
> > Muito obrigado pela dica!
> > Um abraço para você também!
> > Luiz
> >
> > On Sat, Mar 31, 2018, 1:36 PM Sergio Lima  wrote:
> >>
> >> Eu sugeriria
> >>
> >> A.C. Morgado, E. Wagner e M. Jorge, Geometria I e II,
> >> Francisco Alves ed. (relançado pela VestSeller).
>
>
> Geometry Revisited do Coxeter é uma boa pedida.
>
> >>
> >> Abraço,
> >> sergio
> >>
> >> 2018-03-31 12:40 GMT-03:00 Luiz Antonio Rodrigues <
> rodrigue...@gmail.com>:
> >>>
> >>> Olá, pessoal!
> >>> Boa tarde!
> >>> Eu nunca tinha ouvido falar do Teorema de Ptolomeu...
> >>> A conclusão é que nunca estudei  Geometria por um livro realmente bom.
> >>> Alguém pode me indicar algum? Pode ser em Inglês.
> >>> Aproveito para desejar uma ótima Páscoa para todos!
> >>> Um abraço!
> >>> Luiz
> >>>
> >>> On Wed, Mar 28, 2018, 3:56 PM Claudio Buffara <
> claudio.buff...@gmail.com>
> >>> wrote:
> 
>  Boa!
>  Complexos são realmente uma ferramenta poderosa.
> 
>  Outra solução usa geometria analítica no R^3.
> 
>  Tome o triângulo com vértices (a,0,0), (0,a,0), (0,0,a).
>  O círculo é a intersecção do plano do triângulo (x + y + z = a) com a
>  esfera x^2 + y^2 + z^2 = r^2.
> 
>  P(x,y,z) ==> PA^2 + PB^2 + PC^2
>  = (x-a)^2 + y^2 + z^2+x^2 + (y-a)^2 + z^2+x^2 + y^2 +
>  (z-a)^2
>  = 3(x^2+y^2+z^2) + 3a^2 - 2a(x+y+z)
>  = 3r^2 + 3a^2 - 2a^2
>  = 3r^2 + a^2.
> 
>  []s,
>  Claudio.
> 
> 
>  2018-03-28 14:49 GMT-03:00 Douglas Oliveira de Lima
>  :
> >
> > Entao. acho que para qualquer circunferencia(concentrica ) sai
> > usando complexos, vamos ver,
> >
> > O valor pedido será (w-Z1)(w-z1)+(w-Z2)(w-z2)+(w-Z3)(w-z3)=A, onde
> z1 é
> > o conjugado de Z1.
> >
> > Podemos representar a circunferencia por modulo de w igual a r e o
> > triangulo equilatero por z^3-k^3=0 .
> >
> > Assim o valor de A será 3r^2+3k^2-w(Z1+z1+Z2+z2+Z3+z3) logo
> > A=3r^2+3k^2.
> >
> > Pronto morreu.
> >
> >
> > Um abraco
> >  Douglas Oliveira.
> > Mas o valor de A será
> >
> >
> > Em 27 de mar de 2018 12:06, "Claudio Buffara"
> >  escreveu:
> >
> > Achei estes dois bonitinhos:
> >
> > 1) Prove que, sendo P um ponto qualquer da circunferência inscrita a
> um
> > triângulo equilátero ABC, PA^2 + PB^2 + PC^2 é constante.
> > 1A) Prove que isso vale para qualquer circunferência concêntrica com
> o
> > incírculo (tem uma demonstração legal para o circumcírculo usando o
> teorema
> > de Ptolomeu).
> >
> >
> > 2) Um bolo tem a forma de um paralelepípedo retângulo de base
> quadrada
> > e tem cobertura no topo e nas quatro faces.
> > Mostre como dividir o bolo entre 7 pessoas de modo que cada um
> receba a
> > mesma quantidade de bolo e de cobertura.
> >
> > Obs: a solução que envolve bater o bolo num liquidificador e dividir
> a
> > gororoba resultante em 7 partes de mesmo peso não é válida.
> >
> > []s,
> > Claudio.
> >
> >
> >
> > --
> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> > acredita-se estar livre de perigo.
> >
> >
> >
> > --
> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> > acredita-se estar livre de perigo.
> 
> 
> 
>  --
>  Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
> >>>
> >>>
> >>> --
> >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> >>> acredita-se estar livre de perigo.
> >>
> >>
> >>
> >> --
> >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> >> acredita-se estar livre de perigo.
> >
> >
> > --
> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> > acredita-se estar livre de perigo.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] probleminhas de geometria

[Anderson Torres]

Em 31 de março de 2018 14:09, Luiz Antonio Rodrigues
 escreveu:
> Olá, Sergio!
> Muito obrigado pela dica!
> Um abraço para você também!
> Luiz
>
> On Sat, Mar 31, 2018, 1:36 PM Sergio Lima  wrote:
>>
>> Eu sugeriria
>>
>> A.C. Morgado, E. Wagner e M. Jorge, Geometria I e II,
>> Francisco Alves ed. (relançado pela VestSeller).


Geometry Revisited do Coxeter é uma boa pedida.

>>
>> Abraço,
>> sergio
>>
>> 2018-03-31 12:40 GMT-03:00 Luiz Antonio Rodrigues :
>>>
>>> Olá, pessoal!
>>> Boa tarde!
>>> Eu nunca tinha ouvido falar do Teorema de Ptolomeu...
>>> A conclusão é que nunca estudei  Geometria por um livro realmente bom.
>>> Alguém pode me indicar algum? Pode ser em Inglês.
>>> Aproveito para desejar uma ótima Páscoa para todos!
>>> Um abraço!
>>> Luiz
>>>
>>> On Wed, Mar 28, 2018, 3:56 PM Claudio Buffara 
>>> wrote:

 Boa!
 Complexos são realmente uma ferramenta poderosa.

 Outra solução usa geometria analítica no R^3.

 Tome o triângulo com vértices (a,0,0), (0,a,0), (0,0,a).
 O círculo é a intersecção do plano do triângulo (x + y + z = a) com a
 esfera x^2 + y^2 + z^2 = r^2.

 P(x,y,z) ==> PA^2 + PB^2 + PC^2
 = (x-a)^2 + y^2 + z^2+x^2 + (y-a)^2 + z^2+x^2 + y^2 +
 (z-a)^2
 = 3(x^2+y^2+z^2) + 3a^2 - 2a(x+y+z)
 = 3r^2 + 3a^2 - 2a^2
 = 3r^2 + a^2.

 []s,
 Claudio.


 2018-03-28 14:49 GMT-03:00 Douglas Oliveira de Lima
 :
>
> Entao. acho que para qualquer circunferencia(concentrica ) sai
> usando complexos, vamos ver,
>
> O valor pedido será (w-Z1)(w-z1)+(w-Z2)(w-z2)+(w-Z3)(w-z3)=A, onde z1 é
> o conjugado de Z1.
>
> Podemos representar a circunferencia por modulo de w igual a r e o
> triangulo equilatero por z^3-k^3=0 .
>
> Assim o valor de A será 3r^2+3k^2-w(Z1+z1+Z2+z2+Z3+z3) logo
> A=3r^2+3k^2.
>
> Pronto morreu.
>
>
> Um abraco
>  Douglas Oliveira.
> Mas o valor de A será
>
>
> Em 27 de mar de 2018 12:06, "Claudio Buffara"
>  escreveu:
>
> Achei estes dois bonitinhos:
>
> 1) Prove que, sendo P um ponto qualquer da circunferência inscrita a um
> triângulo equilátero ABC, PA^2 + PB^2 + PC^2 é constante.
> 1A) Prove que isso vale para qualquer circunferência concêntrica com o
> incírculo (tem uma demonstração legal para o circumcírculo usando o 
> teorema
> de Ptolomeu).
>
>
> 2) Um bolo tem a forma de um paralelepípedo retângulo de base quadrada
> e tem cobertura no topo e nas quatro faces.
> Mostre como dividir o bolo entre 7 pessoas de modo que cada um receba a
> mesma quantidade de bolo e de cobertura.
>
> Obs: a solução que envolve bater o bolo num liquidificador e dividir a
> gororoba resultante em 7 partes de mesmo peso não é válida.
>
> []s,
> Claudio.
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.



 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] probleminhas de geometria

[Luiz Antonio Rodrigues]

Olá, Sergio!
Muito obrigado pela dica!
Um abraço para você também!
Luiz

On Sat, Mar 31, 2018, 1:36 PM Sergio Lima  wrote:

> Eu sugeriria
>
> A.C. Morgado, E. Wagner e M. Jorge, Geometria I e II,
> Francisco Alves ed. (relançado pela VestSeller).
>
> Abraço,
> sergio
>
> 2018-03-31 12:40 GMT-03:00 Luiz Antonio Rodrigues :
>
>> Olá, pessoal!
>> Boa tarde!
>> Eu nunca tinha ouvido falar do Teorema de Ptolomeu...
>> A conclusão é que nunca estudei  Geometria por um livro realmente bom.
>> Alguém pode me indicar algum? Pode ser em Inglês.
>> Aproveito para desejar uma ótima Páscoa para todos!
>> Um abraço!
>> Luiz
>>
>> On Wed, Mar 28, 2018, 3:56 PM Claudio Buffara 
>> wrote:
>>
>>> Boa!
>>> Complexos são realmente uma ferramenta poderosa.
>>>
>>> Outra solução usa geometria analítica no R^3.
>>>
>>> Tome o triângulo com vértices (a,0,0), (0,a,0), (0,0,a).
>>> O círculo é a intersecção do plano do triângulo (x + y + z = a) com a
>>> esfera x^2 + y^2 + z^2 = r^2.
>>>
>>> P(x,y,z) ==> PA^2 + PB^2 + PC^2
>>> = (x-a)^2 + y^2 + z^2+x^2 + (y-a)^2 + z^2+x^2 + y^2 +
>>> (z-a)^2
>>> = 3(x^2+y^2+z^2) + 3a^2 - 2a(x+y+z)
>>> = 3r^2 + 3a^2 - 2a^2
>>> = 3r^2 + a^2.
>>>
>>> []s,
>>> Claudio.
>>>
>>>
>>> 2018-03-28 14:49 GMT-03:00 Douglas Oliveira de Lima <
>>> profdouglaso.del...@gmail.com>:
>>>
 Entao. acho que para qualquer circunferencia(concentrica ) sai
 usando complexos, vamos ver,

 O valor pedido será (w-Z1)(w-z1)+(w-Z2)(w-z2)+(w-Z3)(w-z3)=A, onde z1
 é o conjugado de Z1.

 Podemos representar a circunferencia por modulo de w igual a r e o
 triangulo equilatero por z^3-k^3=0 .

 Assim o valor de A será 3r^2+3k^2-w(Z1+z1+Z2+z2+Z3+z3) logo A=3r^2+3k^2.

 Pronto morreu.


 Um abraco
  Douglas Oliveira.
 Mas o valor de A será


 Em 27 de mar de 2018 12:06, "Claudio Buffara" <
 claudio.buff...@gmail.com> escreveu:

 Achei estes dois bonitinhos:

 1) Prove que, sendo P um ponto qualquer da circunferência inscrita a um
 triângulo equilátero ABC, PA^2 + PB^2 + PC^2 é constante.
 1A) Prove que isso vale para qualquer circunferência concêntrica com o
 incírculo (tem uma demonstração legal para o circumcírculo usando o teorema
 de Ptolomeu).


 2) Um bolo tem a forma de um paralelepípedo retângulo de base quadrada
 e tem cobertura no topo e nas quatro faces.
 Mostre como dividir o bolo entre 7 pessoas de modo que cada um receba a
 mesma quantidade de bolo e de cobertura.

 Obs: a solução que envolve bater o bolo num liquidificador e dividir a
 gororoba resultante em 7 partes de mesmo peso não é válida.

 []s,
 Claudio.



 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.



 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] probleminhas de geometria

[Sergio Lima]

Eu sugeriria

A.C. Morgado, E. Wagner e M. Jorge, Geometria I e II,
Francisco Alves ed. (relançado pela VestSeller).

Abraço,
sergio

2018-03-31 12:40 GMT-03:00 Luiz Antonio Rodrigues :

> Olá, pessoal!
> Boa tarde!
> Eu nunca tinha ouvido falar do Teorema de Ptolomeu...
> A conclusão é que nunca estudei  Geometria por um livro realmente bom.
> Alguém pode me indicar algum? Pode ser em Inglês.
> Aproveito para desejar uma ótima Páscoa para todos!
> Um abraço!
> Luiz
>
> On Wed, Mar 28, 2018, 3:56 PM Claudio Buffara 
> wrote:
>
>> Boa!
>> Complexos são realmente uma ferramenta poderosa.
>>
>> Outra solução usa geometria analítica no R^3.
>>
>> Tome o triângulo com vértices (a,0,0), (0,a,0), (0,0,a).
>> O círculo é a intersecção do plano do triângulo (x + y + z = a) com a
>> esfera x^2 + y^2 + z^2 = r^2.
>>
>> P(x,y,z) ==> PA^2 + PB^2 + PC^2
>> = (x-a)^2 + y^2 + z^2+x^2 + (y-a)^2 + z^2+x^2 + y^2 +
>> (z-a)^2
>> = 3(x^2+y^2+z^2) + 3a^2 - 2a(x+y+z)
>> = 3r^2 + 3a^2 - 2a^2
>> = 3r^2 + a^2.
>>
>> []s,
>> Claudio.
>>
>>
>> 2018-03-28 14:49 GMT-03:00 Douglas Oliveira de Lima <
>> profdouglaso.del...@gmail.com>:
>>
>>> Entao. acho que para qualquer circunferencia(concentrica ) sai
>>> usando complexos, vamos ver,
>>>
>>> O valor pedido será (w-Z1)(w-z1)+(w-Z2)(w-z2)+(w-Z3)(w-z3)=A, onde z1 é
>>> o conjugado de Z1.
>>>
>>> Podemos representar a circunferencia por modulo de w igual a r e o
>>> triangulo equilatero por z^3-k^3=0 .
>>>
>>> Assim o valor de A será 3r^2+3k^2-w(Z1+z1+Z2+z2+Z3+z3) logo A=3r^2+3k^2.
>>>
>>> Pronto morreu.
>>>
>>>
>>> Um abraco
>>>  Douglas Oliveira.
>>> Mas o valor de A será
>>>
>>>
>>> Em 27 de mar de 2018 12:06, "Claudio Buffara" 
>>> escreveu:
>>>
>>> Achei estes dois bonitinhos:
>>>
>>> 1) Prove que, sendo P um ponto qualquer da circunferência inscrita a um
>>> triângulo equilátero ABC, PA^2 + PB^2 + PC^2 é constante.
>>> 1A) Prove que isso vale para qualquer circunferência concêntrica com o
>>> incírculo (tem uma demonstração legal para o circumcírculo usando o teorema
>>> de Ptolomeu).
>>>
>>>
>>> 2) Um bolo tem a forma de um paralelepípedo retângulo de base quadrada e
>>> tem cobertura no topo e nas quatro faces.
>>> Mostre como dividir o bolo entre 7 pessoas de modo que cada um receba a
>>> mesma quantidade de bolo e de cobertura.
>>>
>>> Obs: a solução que envolve bater o bolo num liquidificador e dividir a
>>> gororoba resultante em 7 partes de mesmo peso não é válida.
>>>
>>> []s,
>>> Claudio.
>>>
>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] probleminhas de geometria

[Luiz Antonio Rodrigues]

Olá, pessoal!
Boa tarde!
Eu nunca tinha ouvido falar do Teorema de Ptolomeu...
A conclusão é que nunca estudei  Geometria por um livro realmente bom.
Alguém pode me indicar algum? Pode ser em Inglês.
Aproveito para desejar uma ótima Páscoa para todos!
Um abraço!
Luiz

On Wed, Mar 28, 2018, 3:56 PM Claudio Buffara 
wrote:

> Boa!
> Complexos são realmente uma ferramenta poderosa.
>
> Outra solução usa geometria analítica no R^3.
>
> Tome o triângulo com vértices (a,0,0), (0,a,0), (0,0,a).
> O círculo é a intersecção do plano do triângulo (x + y + z = a) com a
> esfera x^2 + y^2 + z^2 = r^2.
>
> P(x,y,z) ==> PA^2 + PB^2 + PC^2
> = (x-a)^2 + y^2 + z^2+x^2 + (y-a)^2 + z^2+x^2 + y^2 +
> (z-a)^2
> = 3(x^2+y^2+z^2) + 3a^2 - 2a(x+y+z)
> = 3r^2 + 3a^2 - 2a^2
> = 3r^2 + a^2.
>
> []s,
> Claudio.
>
>
> 2018-03-28 14:49 GMT-03:00 Douglas Oliveira de Lima <
> profdouglaso.del...@gmail.com>:
>
>> Entao. acho que para qualquer circunferencia(concentrica ) sai usando
>> complexos, vamos ver,
>>
>> O valor pedido será (w-Z1)(w-z1)+(w-Z2)(w-z2)+(w-Z3)(w-z3)=A, onde z1 é
>> o conjugado de Z1.
>>
>> Podemos representar a circunferencia por modulo de w igual a r e o
>> triangulo equilatero por z^3-k^3=0 .
>>
>> Assim o valor de A será 3r^2+3k^2-w(Z1+z1+Z2+z2+Z3+z3) logo A=3r^2+3k^2.
>>
>> Pronto morreu.
>>
>>
>> Um abraco
>>  Douglas Oliveira.
>> Mas o valor de A será
>>
>>
>> Em 27 de mar de 2018 12:06, "Claudio Buffara" 
>> escreveu:
>>
>> Achei estes dois bonitinhos:
>>
>> 1) Prove que, sendo P um ponto qualquer da circunferência inscrita a um
>> triângulo equilátero ABC, PA^2 + PB^2 + PC^2 é constante.
>> 1A) Prove que isso vale para qualquer circunferência concêntrica com o
>> incírculo (tem uma demonstração legal para o circumcírculo usando o teorema
>> de Ptolomeu).
>>
>>
>> 2) Um bolo tem a forma de um paralelepípedo retângulo de base quadrada e
>> tem cobertura no topo e nas quatro faces.
>> Mostre como dividir o bolo entre 7 pessoas de modo que cada um receba a
>> mesma quantidade de bolo e de cobertura.
>>
>> Obs: a solução que envolve bater o bolo num liquidificador e dividir a
>> gororoba resultante em 7 partes de mesmo peso não é válida.
>>
>> []s,
>> Claudio.
>>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] probleminhas de geometria

[Claudio Buffara]

Boa!
Complexos são realmente uma ferramenta poderosa.

Outra solução usa geometria analítica no R^3.

Tome o triângulo com vértices (a,0,0), (0,a,0), (0,0,a).
O círculo é a intersecção do plano do triângulo (x + y + z = a) com a
esfera x^2 + y^2 + z^2 = r^2.

P(x,y,z) ==> PA^2 + PB^2 + PC^2
= (x-a)^2 + y^2 + z^2+x^2 + (y-a)^2 + z^2+x^2 + y^2 +
(z-a)^2
= 3(x^2+y^2+z^2) + 3a^2 - 2a(x+y+z)
= 3r^2 + 3a^2 - 2a^2
= 3r^2 + a^2.

[]s,
Claudio.


2018-03-28 14:49 GMT-03:00 Douglas Oliveira de Lima <
profdouglaso.del...@gmail.com>:

> Entao. acho que para qualquer circunferencia(concentrica ) sai usando
> complexos, vamos ver,
>
> O valor pedido será (w-Z1)(w-z1)+(w-Z2)(w-z2)+(w-Z3)(w-z3)=A, onde z1 é o
> conjugado de Z1.
>
> Podemos representar a circunferencia por modulo de w igual a r e o
> triangulo equilatero por z^3-k^3=0 .
>
> Assim o valor de A será 3r^2+3k^2-w(Z1+z1+Z2+z2+Z3+z3) logo A=3r^2+3k^2.
>
> Pronto morreu.
>
>
> Um abraco
>  Douglas Oliveira.
> Mas o valor de A será
>
>
> Em 27 de mar de 2018 12:06, "Claudio Buffara" 
> escreveu:
>
> Achei estes dois bonitinhos:
>
> 1) Prove que, sendo P um ponto qualquer da circunferência inscrita a um
> triângulo equilátero ABC, PA^2 + PB^2 + PC^2 é constante.
> 1A) Prove que isso vale para qualquer circunferência concêntrica com o
> incírculo (tem uma demonstração legal para o circumcírculo usando o teorema
> de Ptolomeu).
>
>
> 2) Um bolo tem a forma de um paralelepípedo retângulo de base quadrada e
> tem cobertura no topo e nas quatro faces.
> Mostre como dividir o bolo entre 7 pessoas de modo que cada um receba a
> mesma quantidade de bolo e de cobertura.
>
> Obs: a solução que envolve bater o bolo num liquidificador e dividir a
> gororoba resultante em 7 partes de mesmo peso não é válida.
>
> []s,
> Claudio.
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] probleminhas de geometria

[Douglas Oliveira de Lima]

Entao. acho que para qualquer circunferencia(concentrica ) sai usando
complexos, vamos ver,

O valor pedido será (w-Z1)(w-z1)+(w-Z2)(w-z2)+(w-Z3)(w-z3)=A, onde z1 é o
conjugado de Z1.

Podemos representar a circunferencia por modulo de w igual a r e o
triangulo equilatero por z^3-k^3=0 .

Assim o valor de A será 3r^2+3k^2-w(Z1+z1+Z2+z2+Z3+z3) logo A=3r^2+3k^2.

Pronto morreu.


Um abraco
 Douglas Oliveira.
Mas o valor de A será


Em 27 de mar de 2018 12:06, "Claudio Buffara" 
escreveu:

Achei estes dois bonitinhos:

1) Prove que, sendo P um ponto qualquer da circunferência inscrita a um
triângulo equilátero ABC, PA^2 + PB^2 + PC^2 é constante.
1A) Prove que isso vale para qualquer circunferência concêntrica com o
incírculo (tem uma demonstração legal para o circumcírculo usando o teorema
de Ptolomeu).


2) Um bolo tem a forma de um paralelepípedo retângulo de base quadrada e
tem cobertura no topo e nas quatro faces.
Mostre como dividir o bolo entre 7 pessoas de modo que cada um receba a
mesma quantidade de bolo e de cobertura.

Obs: a solução que envolve bater o bolo num liquidificador e dividir a
gororoba resultante em 7 partes de mesmo peso não é válida.

[]s,
Claudio.



-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] probleminhas de geometria

[Claudio Buffara]

Outra dica: pense na versão em que o bolo é um prisma reto de base
triangular (não necessariamente equilátera). Como você dividiria este bolo
em 2 pedaços? E em 3? Em n pedaços? Prove que o problema tem solução para
todo n.

2018-03-27 22:07 GMT-03:00 Claudio Buffara :

>
>
> 2018-03-27 21:40 GMT-03:00 Anderson Torres :
>
>> Em 27 de março de 2018 21:16, Claudio Buffara
>>  escreveu:
>> > Acho que você viajou no chocolate...
>> >
>> > Matematicamente falando, a ideia é particionar um prisma reto de base
>> > quadrada, cujo topo e as quatro faces (mas não a base) foram pintadas,
>>
>> Ah! Então a cobertura é uma "lâmina", e não uma capa grossa...
>>
>> Sim.
>
>
>> A solução mais trivial para o caso de potências de dois é meramente
>> fazer cortes radiais. Tenso é garantir que isso de alguma forma vale
>> para o caso geral: traçar raios partindo do centro do bolo que dividem
>> área e volume igualmente. Preciso fazer contas antes de verificar se
>> isso pode ser feito!
>>
>> Faça as contas.
>
>
>> Mais uma coisa: acredito que por transformação afim seja possível
>> resolver isso para um bolo cúbico...
>>
>> Mas um cubo é um prisma de base quadrada.
> A transformação afim é apenas um achatamento (ou alongamento) na direção
> vertical.
> Só que eu não acho que fica mais fácil com um cubo.
>
>
>> > em
>> > sete prismas retos (ou seja, os cortes são todos planos e verticais -
>> isso
>> > não era parte do enunciado original, mas é uma restrição que talvez
>> ajude),
>> > todos com o mesmo volume e com a mesma área pintada.
>> >
>> > Dicas:
>> > 1) Dividir o bolo em 2, 4 ou 8 pedaços nestas condições é trivial,
>> certo? E
>> > dividir em 3 pedaços?
>> > 2) A solução que eu conheço envolve geometria plana elementar. Mas você
>> > precisa de uma ideia. Acho que resolvendo o problema da divisão em 3
>> pedaços
>> > você não só resolverá o problema original como também conseguirá
>> generalizar
>> > pra outros formatos de bolo.
>> > 3) Você quer pedaços em que o volume seja proporcional à área pintada.
>> >
>> >
>> >
>> > 2018-03-27 20:44 GMT-03:00 Anderson Torres <
>> torres.anderson...@gmail.com>:
>> >>
>> >> Em 27 de março de 2018 11:53, Claudio Buffara
>> >>  escreveu:
>> >> > Achei estes dois bonitinhos:
>> >> >
>> >> > 1) Prove que, sendo P um ponto qualquer da circunferência inscrita a
>> um
>> >> > triângulo equilátero ABC, PA^2 + PB^2 + PC^2 é constante.
>> >> > 1A) Prove que isso vale para qualquer circunferência concêntrica com
>> o
>> >> > incírculo (tem uma demonstração legal para o circumcírculo usando o
>> >> > teorema
>> >> > de Ptolomeu).
>> >> >
>> >> >
>> >> > 2) Um bolo tem a forma de um paralelepípedo retângulo de base
>> quadrada e
>> >> > tem
>> >> > cobertura no topo e nas quatro faces.
>> >> > Mostre como dividir o bolo entre 7 pessoas de modo que cada um
>> receba a
>> >> > mesma quantidade de bolo e de cobertura.
>> >>
>> >> Nenhuma suposição acerca da homogeneidade da mistura?
>> >>
>> >> Eu por exemplo estou supondo que isto seja equivalente a um copo
>> >> "paralelepipédico" feito de chocolate recheado com um doce de leite
>> >> bem consistente, e que ambos os ingredientes são homogêneos, no
>> >> sentido de que não existem bolhas de ar no doce nem concetrações de
>> >> alta densidade de cacau em pontos desconhecidos.
>> >>
>> >> Não sei por que, eu me lembrei do teorema do sanduba, em que é
>> >> possível cortar um sanduíche pão-presunto-pão, com um só corte de modo
>> >> a dividir cada ingrediente ao meio.
>> >>
>> >> Minha tentativa tosca, por ora, é cortar o fundo do copo de chocolate
>> >> e dividi-lo em sete, e depois cortar em sete partes o rocambole
>> >> restante. É melhor que o liquidificador, vai...
>> >>
>> >>
>> >> >
>> >> > Obs: a solução que envolve bater o bolo num liquidificador e dividir
>> a
>> >> > gororoba resultante em 7 partes de mesmo peso não é válida.
>> >> >
>> >> > []s,
>> >> > Claudio.
>> >> >
>> >> >
>> >> >
>> >> > --
>> >> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> >> > acredita-se estar livre de perigo.
>> >>
>> >> --
>> >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> >>  acredita-se estar livre de perigo.
>> >>
>> >>
>> >> 
>> =
>> >> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> >> 
>> =
>> >
>> >
>> >
>> > --
>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> > acredita-se estar livre de perigo.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>  acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> =
>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> 

Re: [obm-l] probleminhas de geometria

[Claudio Buffara]

2018-03-27 21:40 GMT-03:00 Anderson Torres :

> Em 27 de março de 2018 21:16, Claudio Buffara
>  escreveu:
> > Acho que você viajou no chocolate...
> >
> > Matematicamente falando, a ideia é particionar um prisma reto de base
> > quadrada, cujo topo e as quatro faces (mas não a base) foram pintadas,
>
> Ah! Então a cobertura é uma "lâmina", e não uma capa grossa...
>
> Sim.


> A solução mais trivial para o caso de potências de dois é meramente
> fazer cortes radiais. Tenso é garantir que isso de alguma forma vale
> para o caso geral: traçar raios partindo do centro do bolo que dividem
> área e volume igualmente. Preciso fazer contas antes de verificar se
> isso pode ser feito!
>
> Faça as contas.


> Mais uma coisa: acredito que por transformação afim seja possível
> resolver isso para um bolo cúbico...
>
> Mas um cubo é um prisma de base quadrada.
A transformação afim é apenas um achatamento (ou alongamento) na direção
vertical.
Só que eu não acho que fica mais fácil com um cubo.


> > em
> > sete prismas retos (ou seja, os cortes são todos planos e verticais -
> isso
> > não era parte do enunciado original, mas é uma restrição que talvez
> ajude),
> > todos com o mesmo volume e com a mesma área pintada.
> >
> > Dicas:
> > 1) Dividir o bolo em 2, 4 ou 8 pedaços nestas condições é trivial,
> certo? E
> > dividir em 3 pedaços?
> > 2) A solução que eu conheço envolve geometria plana elementar. Mas você
> > precisa de uma ideia. Acho que resolvendo o problema da divisão em 3
> pedaços
> > você não só resolverá o problema original como também conseguirá
> generalizar
> > pra outros formatos de bolo.
> > 3) Você quer pedaços em que o volume seja proporcional à área pintada.
> >
> >
> >
> > 2018-03-27 20:44 GMT-03:00 Anderson Torres  >:
> >>
> >> Em 27 de março de 2018 11:53, Claudio Buffara
> >>  escreveu:
> >> > Achei estes dois bonitinhos:
> >> >
> >> > 1) Prove que, sendo P um ponto qualquer da circunferência inscrita a
> um
> >> > triângulo equilátero ABC, PA^2 + PB^2 + PC^2 é constante.
> >> > 1A) Prove que isso vale para qualquer circunferência concêntrica com o
> >> > incírculo (tem uma demonstração legal para o circumcírculo usando o
> >> > teorema
> >> > de Ptolomeu).
> >> >
> >> >
> >> > 2) Um bolo tem a forma de um paralelepípedo retângulo de base
> quadrada e
> >> > tem
> >> > cobertura no topo e nas quatro faces.
> >> > Mostre como dividir o bolo entre 7 pessoas de modo que cada um receba
> a
> >> > mesma quantidade de bolo e de cobertura.
> >>
> >> Nenhuma suposição acerca da homogeneidade da mistura?
> >>
> >> Eu por exemplo estou supondo que isto seja equivalente a um copo
> >> "paralelepipédico" feito de chocolate recheado com um doce de leite
> >> bem consistente, e que ambos os ingredientes são homogêneos, no
> >> sentido de que não existem bolhas de ar no doce nem concetrações de
> >> alta densidade de cacau em pontos desconhecidos.
> >>
> >> Não sei por que, eu me lembrei do teorema do sanduba, em que é
> >> possível cortar um sanduíche pão-presunto-pão, com um só corte de modo
> >> a dividir cada ingrediente ao meio.
> >>
> >> Minha tentativa tosca, por ora, é cortar o fundo do copo de chocolate
> >> e dividi-lo em sete, e depois cortar em sete partes o rocambole
> >> restante. É melhor que o liquidificador, vai...
> >>
> >>
> >> >
> >> > Obs: a solução que envolve bater o bolo num liquidificador e dividir a
> >> > gororoba resultante em 7 partes de mesmo peso não é válida.
> >> >
> >> > []s,
> >> > Claudio.
> >> >
> >> >
> >> >
> >> > --
> >> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> >> > acredita-se estar livre de perigo.
> >>
> >> --
> >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> >>  acredita-se estar livre de perigo.
> >>
> >>
> >> 
> =
> >> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> >> 
> =
> >
> >
> >
> > --
> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> > acredita-se estar livre de perigo.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] probleminhas de geometria

[Anderson Torres]

Em 27 de março de 2018 21:16, Claudio Buffara
 escreveu:
> Acho que você viajou no chocolate...
>
> Matematicamente falando, a ideia é particionar um prisma reto de base
> quadrada, cujo topo e as quatro faces (mas não a base) foram pintadas,

Ah! Então a cobertura é uma "lâmina", e não uma capa grossa...

A solução mais trivial para o caso de potências de dois é meramente
fazer cortes radiais. Tenso é garantir que isso de alguma forma vale
para o caso geral: traçar raios partindo do centro do bolo que dividem
área e volume igualmente. Preciso fazer contas antes de verificar se
isso pode ser feito!

Mais uma coisa: acredito que por transformação afim seja possível
resolver isso para um bolo cúbico...

> em
> sete prismas retos (ou seja, os cortes são todos planos e verticais - isso
> não era parte do enunciado original, mas é uma restrição que talvez ajude),
> todos com o mesmo volume e com a mesma área pintada.
>
> Dicas:
> 1) Dividir o bolo em 2, 4 ou 8 pedaços nestas condições é trivial, certo? E
> dividir em 3 pedaços?
> 2) A solução que eu conheço envolve geometria plana elementar. Mas você
> precisa de uma ideia. Acho que resolvendo o problema da divisão em 3 pedaços
> você não só resolverá o problema original como também conseguirá generalizar
> pra outros formatos de bolo.
> 3) Você quer pedaços em que o volume seja proporcional à área pintada.
>
>
>
> 2018-03-27 20:44 GMT-03:00 Anderson Torres :
>>
>> Em 27 de março de 2018 11:53, Claudio Buffara
>>  escreveu:
>> > Achei estes dois bonitinhos:
>> >
>> > 1) Prove que, sendo P um ponto qualquer da circunferência inscrita a um
>> > triângulo equilátero ABC, PA^2 + PB^2 + PC^2 é constante.
>> > 1A) Prove que isso vale para qualquer circunferência concêntrica com o
>> > incírculo (tem uma demonstração legal para o circumcírculo usando o
>> > teorema
>> > de Ptolomeu).
>> >
>> >
>> > 2) Um bolo tem a forma de um paralelepípedo retângulo de base quadrada e
>> > tem
>> > cobertura no topo e nas quatro faces.
>> > Mostre como dividir o bolo entre 7 pessoas de modo que cada um receba a
>> > mesma quantidade de bolo e de cobertura.
>>
>> Nenhuma suposição acerca da homogeneidade da mistura?
>>
>> Eu por exemplo estou supondo que isto seja equivalente a um copo
>> "paralelepipédico" feito de chocolate recheado com um doce de leite
>> bem consistente, e que ambos os ingredientes são homogêneos, no
>> sentido de que não existem bolhas de ar no doce nem concetrações de
>> alta densidade de cacau em pontos desconhecidos.
>>
>> Não sei por que, eu me lembrei do teorema do sanduba, em que é
>> possível cortar um sanduíche pão-presunto-pão, com um só corte de modo
>> a dividir cada ingrediente ao meio.
>>
>> Minha tentativa tosca, por ora, é cortar o fundo do copo de chocolate
>> e dividi-lo em sete, e depois cortar em sete partes o rocambole
>> restante. É melhor que o liquidificador, vai...
>>
>>
>> >
>> > Obs: a solução que envolve bater o bolo num liquidificador e dividir a
>> > gororoba resultante em 7 partes de mesmo peso não é válida.
>> >
>> > []s,
>> > Claudio.
>> >
>> >
>> >
>> > --
>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> > acredita-se estar livre de perigo.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>  acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> =
>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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Re: [obm-l] probleminhas de geometria

[Claudio Buffara]

Acho que você viajou no chocolate...

Matematicamente falando, a ideia é particionar um prisma reto de base
quadrada, cujo topo e as quatro faces (mas não a base) foram pintadas, em
sete prismas retos (ou seja, os cortes são todos planos e verticais - isso
não era parte do enunciado original, mas é uma restrição que talvez ajude),
todos com o mesmo volume e com a mesma área pintada.

Dicas:
1) Dividir o bolo em 2, 4 ou 8 pedaços nestas condições é trivial, certo? E
dividir em 3 pedaços?
2) A solução que eu conheço envolve geometria plana elementar. Mas você
precisa de uma ideia. Acho que resolvendo o problema da divisão em 3
pedaços você não só resolverá o problema original como também conseguirá
generalizar pra outros formatos de bolo.
3) Você quer pedaços em que o volume seja proporcional à área pintada.



2018-03-27 20:44 GMT-03:00 Anderson Torres :

> Em 27 de março de 2018 11:53, Claudio Buffara
>  escreveu:
> > Achei estes dois bonitinhos:
> >
> > 1) Prove que, sendo P um ponto qualquer da circunferência inscrita a um
> > triângulo equilátero ABC, PA^2 + PB^2 + PC^2 é constante.
> > 1A) Prove que isso vale para qualquer circunferência concêntrica com o
> > incírculo (tem uma demonstração legal para o circumcírculo usando o
> teorema
> > de Ptolomeu).
> >
> >
> > 2) Um bolo tem a forma de um paralelepípedo retângulo de base quadrada e
> tem
> > cobertura no topo e nas quatro faces.
> > Mostre como dividir o bolo entre 7 pessoas de modo que cada um receba a
> > mesma quantidade de bolo e de cobertura.
>
> Nenhuma suposição acerca da homogeneidade da mistura?
>
> Eu por exemplo estou supondo que isto seja equivalente a um copo
> "paralelepipédico" feito de chocolate recheado com um doce de leite
> bem consistente, e que ambos os ingredientes são homogêneos, no
> sentido de que não existem bolhas de ar no doce nem concetrações de
> alta densidade de cacau em pontos desconhecidos.
>
> Não sei por que, eu me lembrei do teorema do sanduba, em que é
> possível cortar um sanduíche pão-presunto-pão, com um só corte de modo
> a dividir cada ingrediente ao meio.
>
> Minha tentativa tosca, por ora, é cortar o fundo do copo de chocolate
> e dividi-lo em sete, e depois cortar em sete partes o rocambole
> restante. É melhor que o liquidificador, vai...
>
>
> >
> > Obs: a solução que envolve bater o bolo num liquidificador e dividir a
> > gororoba resultante em 7 partes de mesmo peso não é válida.
> >
> > []s,
> > Claudio.
> >
> >
> >
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> > acredita-se estar livre de perigo.
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>  acredita-se estar livre de perigo.
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Re: [obm-l] probleminhas de geometria

[Anderson Torres]

Em 27 de março de 2018 11:53, Claudio Buffara
 escreveu:
> Achei estes dois bonitinhos:
>
> 1) Prove que, sendo P um ponto qualquer da circunferência inscrita a um
> triângulo equilátero ABC, PA^2 + PB^2 + PC^2 é constante.
> 1A) Prove que isso vale para qualquer circunferência concêntrica com o
> incírculo (tem uma demonstração legal para o circumcírculo usando o teorema
> de Ptolomeu).
>
>
> 2) Um bolo tem a forma de um paralelepípedo retângulo de base quadrada e tem
> cobertura no topo e nas quatro faces.
> Mostre como dividir o bolo entre 7 pessoas de modo que cada um receba a
> mesma quantidade de bolo e de cobertura.

Nenhuma suposição acerca da homogeneidade da mistura?

Eu por exemplo estou supondo que isto seja equivalente a um copo
"paralelepipédico" feito de chocolate recheado com um doce de leite
bem consistente, e que ambos os ingredientes são homogêneos, no
sentido de que não existem bolhas de ar no doce nem concetrações de
alta densidade de cacau em pontos desconhecidos.

Não sei por que, eu me lembrei do teorema do sanduba, em que é
possível cortar um sanduíche pão-presunto-pão, com um só corte de modo
a dividir cada ingrediente ao meio.

Minha tentativa tosca, por ora, é cortar o fundo do copo de chocolate
e dividi-lo em sete, e depois cortar em sete partes o rocambole
restante. É melhor que o liquidificador, vai...


>
> Obs: a solução que envolve bater o bolo num liquidificador e dividir a
> gororoba resultante em 7 partes de mesmo peso não é válida.
>
> []s,
> Claudio.
>
>
>
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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[obm-l] probleminhas de geometria

[Claudio Buffara]

Achei estes dois bonitinhos:

1) Prove que, sendo P um ponto qualquer da circunferência inscrita a um
triângulo equilátero ABC, PA^2 + PB^2 + PC^2 é constante.
1A) Prove que isso vale para qualquer circunferência concêntrica com o
incírculo (tem uma demonstração legal para o circumcírculo usando o teorema
de Ptolomeu).


2) Um bolo tem a forma de um paralelepípedo retângulo de base quadrada e
tem cobertura no topo e nas quatro faces.
Mostre como dividir o bolo entre 7 pessoas de modo que cada um receba a
mesma quantidade de bolo e de cobertura.

Obs: a solução que envolve bater o bolo num liquidificador e dividir a
gororoba resultante em 7 partes de mesmo peso não é válida.

[]s,
Claudio.

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Re: [obm-l] PROBLEMINHAS RECREATIVOS!

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2010/7/26 Jorge Luis Rodrigues e Silva Luis jorgelrs1...@hotmail.com:
 Um pai, tentando convencer o filho a tornar-se tenista, oferece-lhe prêmio
 se ele vencer duas partidas seguidas numa série de três jogos. A única
 restrição é que o filho deve jogar alternadamente com o pai e o seu
 treinador; devendo escolher então entre uma das duas séries:
 pai-treinador-pai ou treinador-pai-treinador. O treinador joga melhor que o
 pai. Qual série o filho deve escolher?
Esse problema é bem interessante, porque tem dois aspectos. O
primeiro, é que parece ser estranho escolher TPT
(treinador-pai-treinador) em vez de PTP. Mas veja bem.

Sejam p e t as probabilidades de o filho vencer um jogo contra seu pai
e seu treinador, respectivamente.  No tênis, não há empate (mas o jogo
pode durar mito tempo!), logo a probabilidade de ele
ganhar os dois primeiros jogos na configuração PTP é pt. Nesse caso,
ele já tem o prêmio. Se ele perder o primeiro jogo, com probabilidade
(1-p), ele deve ganhar os dois seguintes, logo com probabilidade tp.
Total : pt + (1-p)*tp. (Exercício: veja que essa probabilidade é
realmente menor do que 1, e que ela é máxima exatamente quando p=1, o
que parece bem razoável). Mas se a configuração for TPT, as
probabilidades passam a ser tp + (1-t)*pt. E como o treinador joga
melhor do que o pai quer dizer que a chance de perder contra o
treinador (que vale 1-t, lembre) é maior do que perder contra o pai.
Assim, o filho tem mais chances de ganhar se escolher a configuração
em que ele joga contra o treinador mais vezes. O que tem uma
explicação intuitiva simples. Em qualquer dos casos, o filho tem que
ganhar uma partida contra o treinador. Mais ainda, na configuração
PTP, ele é obrigado a ganhar contra o treinador, enquanto que na
configuração TPT, ele é obrigado a ganhar do pai (o que é mais fácil)
e ele tem 2 chances para tentar ganhar do treinador. Fim de papo.

Mesmo ??? Se você fosse o filho, você escolheria isso ? Eu não...
enfim, depende. Se forem jogos realmente independentes (como a gente
tem mania de pensar por conta dos probleminhas de vestibular), a
dedução procede. Mas imagine que o pai não tem todo o tempo do mundo,
nem o filho, nem o treinador, e na verdade são três jogos
consecutivos. Pode ser um jogo cada dia, mas pode ser muito pior, por
exemplo, durante uma sessão de treinamento. Ou imagine que se trata de
ping-pong, por exemplo, em que os jogos são mais curtos. O raciocínio
acima não leva em consideração um fator muito importante: se você
ganhou um jogo contra alguém que é mais forte do que você, talvez
você tenha se cansado um bocado para tanto. E, de modo geral, para
ganhar uma partida contra um profissional, ou contra um
café-com-leite, a história é bem diferente. Eu proponho, portanto, o
seguinte raciocínio.

Sejam dois jogos consecutivos J1 e J2. Imagine que você tem chance g1
de ganhar o primeiro jogo, e g2 o segundo, se eles fossem realmente
fisicamente independentes. Seja um parâmetro alfa  1. Então você
tem chance somente de (1 - alfa*(1-g1))*g2 de ganhar o segundo. O
coeficiente na frente do g2 é bem simples, mas satisfaz o seguinte:
 - se alfa = 0, os jogos são independentes
 - para todo 0  alfa  1, os jogos são dependentes, e a chance de
ganhar o segundo decresce com alfa
 - para alfa fixo, a chance de ganhar o segundo diminui se você teve
que se cansar mais para ganhar o jogo anterior.
A função (1-g1) de penalidade é provavelmente simples demais. Se g1
fosse quase 1, talvez você devesse descansar mais. Acho que uma boa
função seria uma tangente hiperbólica com uma baita inflexão em g1 =
0.5. Mas deixa pra lá, já vai ficar complicado o suficiente. Aliás,
note que a probabilidade é a mesma independentemente do resultado do
jogo: ela corresponde ao cansaço de ter jogado contra um jogador de
dificuldade 1 - g1. É claro que isso complica ainda mais as coisas:
se você notar que você vai perder, talvez você desista. Eu vou supor
que não é o caso, porque afinal, se o pai notar que o filho desistiu
de ganhar, ele vai dizer: não, você não jogou direito, um
profissional não desistiria assim. Ainda mais que os torneios da ATP
são sempre eliminatórios :).

Com o problema modificado para incorporar esse aspecto a mais, as
probabilidades se tornam:
p*(1 - alfa*(1-p))*t + (1-p)*(1 - alfa*(1-p))*t*(1 - alfa*(1 -
alfa*(1-p))*t)*p = pt( (1 - alfa*(1-p)) +  (1-p)*(1 - alfa*(1-p))*(1 -
alfa*(1 - alfa*(1-p))*t)) para a configuração PTP, e permutando p e t
para a configuração TPT.

A diferença PTP - TPT é, portanto (depois de dividir por p*t, que é
sempre positivo) :
dif = 
(3*t^2*p-3*p^2*t+p^3*t-t^3*p-t+p)*alfa^3+(2*p^2*t+2*t-2*t^2*p-2*p)*alfa^2+(-4*t+t^2+4*p-p^2)*alfa+t-p
Com um pouco de boa vontade (e um computador pra fazer as contas e ver
que vai dar certo), você vê que essa diferença dá pra dividir por p-t,
que é positivo. O que é mais ou menos natural visto a simetria do
problema. Portanto, o que nos interessa é, na verdade, o sinal de

(t^2*p-3*p*t+p^2*t+1)*alfa^3 + 

Re: [obm-l] Probleminhas

[Eduardo Wilner]

3) É um problema simples de Física que complica um pouco na Matemática.
    O truque é começar de cima para baixo, quando verificamos que a maior 
medida da
    parte em balanço é 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5..em unidades do raio da moeda, 
na medida  
    em que descemos pela pilha.

    Assim, a largura da pilha seria dada pela soma dos primeiros termos de 
uma   
    sucessão harmônica mais 2 (devido a moeda inicial, da base).

     Para uma solução sem uso de computador, tratando-se de uma questão 
olímpica de 
 matemática e não de uma maratona tipo ACM, podemos apenas avaliar 
intervalo em
     que se encontra a soma de n termos iniciais.

     Uma  proposta neste sentido é observar que a soma entre termos dicotômicos 
tipo
S(j) = 1/2 + (1/3 + 1/4) + (1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8) + (1/9 + 1/10 +1/11 + 
...1/16) + (.
..+ 1/j  ,
   é sempre maior que 1/2 (a primeira é igual).

 Assim S(j)  (1/2)*ln (base2) [j] ,  (= logaritmo na base 2 de j).

 Sendo n o número de moedas que devem ser superpostas a original, elas 
devem cobrir uma distãncia no mínimo de 6 ( três moedas), logo , como a 
primeira (superior) cobre 1,  n = 2^(10)  + 1.   (esse 1 faz uma baita 
diferença...).

 []s

  Wilner
   





     
--- Em qua, 21/7/10, Rogério Possi Júnior roposs...@hotmail.com escreveu:

De: Rogério Possi Júnior roposs...@hotmail.com
Assunto: [obm-l] Probleminhas
Para: Lista de Olímpiada OBM obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Quarta-feira, 21 de Julho de 2010, 7:45




Pessoal,
 
Seguem 3 probleminhas para diversão:
 
1) Um móbile foi montado com 10 objetos de massas diferentes (1 a 10 kg) e 
ficou completamente desequilibrado, como mostrado na figura abaixo:
 

 
Sabendo que a diferença de massa entre os lados de cada braço do móbile é menor 
do que 4 kg, você consegue descobrir qual a massa de cada objeto?
 
Observação: os braços do móbile são os traços mais espessos no desenho e são 8 
no total... a diferença de massa entre cada lado de cada braço não pode ser 
maior que 3 kg.
 
2) Um garoto está no ponto P de um jardim cujo formato é o de um triângulo 
equilátero. Ele deve encostar em duas cercas desse jardim e depois chegar a um 
ponto Q. Supondo que o triângulo equilátero tem vértices A, B e C, que o ponto 
P é o baricentro do triângulo ABC e que o ponto Q é o ponto médio entre P e A, 
o menor percurso que o garoto pode fazer para sair de P, encostar na cerca BC, 
depois na cerca AC e chegar ao ponto Q tem comprimento X. Qual o valor do 
quadrado de X, se a distância entre P e Q mede 10 metros?
 
3) Uma moeda de 1 real é colocada sobre uma mesa horizontal. Sobre esta moeda é 
apoiada outra moeda do mesmo valor, mas deslocada um pouco para a direita. 
Sobre a segunda moeda, uma terceira moeda idêntica às outras duas é apoiada, 
também com um deslocamento para a direita em relação à segunda moeda.
 

 
Quantas moedas, no mínimo, precisaremos usar para que a pilha de moedas 
idênticas tenha uma largura (distância da borda esquerda da primeira moeda à 
borda direita da projeção da última moeda sobre a mesa) de 4 ou mais moedas?
 
Sds,
 
Rogério

  
O INTERNET EXPLORER 8 AJUDA VOCÊ A FICAR LONGE DOS VÍRUS. DESCUBRA COMO. 



  

[obm-l] Probleminhas

[Rogério Possi Júnior]

Pessoal,
 
Seguem 3 probleminhas para diversão:
 
1) Um móbile foi montado com 10 objetos de massas diferentes (1 a 10 kg) e 
ficou completamente desequilibrado, como mostrado na figura abaixo:
 

 
Sabendo que a diferença de massa entre os lados de cada braço do móbile é menor 
do que 4 kg, você consegue descobrir qual a massa de cada objeto?
 
Observação: os braços do móbile são os traços mais espessos no desenho e são 8 
no total... a diferença de massa entre cada lado de cada braço não pode ser 
maior que 3 kg.
 
2) Um garoto está no ponto P de um jardim cujo formato é o de um triângulo 
equilátero. Ele deve encostar em duas cercas desse jardim e depois chegar a um 
ponto Q. Supondo que o triângulo equilátero tem vértices A, B e C, que o ponto 
P é o baricentro do triângulo ABC e que o ponto Q é o ponto médio entre P e A, 
o menor percurso que o garoto pode fazer para sair de P, encostar na cerca BC, 
depois na cerca AC e chegar ao ponto Q tem comprimento X. Qual o valor do 
quadrado de X, se a distância entre P e Q mede 10 metros?
 
3) Uma moeda de 1 real é colocada sobre uma mesa horizontal. Sobre esta moeda é 
apoiada outra moeda do mesmo valor, mas deslocada um pouco para a direita. 
Sobre a segunda moeda, uma terceira moeda idêntica às outras duas é apoiada, 
também com um deslocamento para a direita em relação à segunda moeda.
 

 
Quantas moedas, no mínimo, precisaremos usar para que a pilha de moedas 
idênticas tenha uma largura (distância da borda esquerda da primeira moeda à 
borda direita da projeção da última moeda sobre a mesa) de 4 ou mais moedas?
 
Sds,
 
Rogério

  
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[obm-l] Probleminhas

[Rogério Possi Júnior]

Pessoal,
 
Seguem 3 probleminhas para diversão:
 
1) Um móbile foi montado com 10 objetos de massas diferentes (1 a 10 kg) e 
ficou completamente desequilibrado, como mostrado na figura abaixo:
 


 
Sabendo que a diferença de massa entre os lados de cada braço do móbile é menor 
do que 4 kg, você consegue descobrir qual a massa de cada objeto?
 
Observação: os braços do móbile são os traços mais espessos no desenho e são 8 
no total... a diferença de massa entre cada lado de cada braço não pode ser 
maior que 3 kg.
 
2) Um garoto está no ponto P de um jardim cujo formato é o de um triângulo 
equilátero. Ele deve encostar em duas cercas desse jardim e depois chegar a um 
ponto Q. Supondo que o triângulo equilátero tem vértices A, B e C, que o ponto 
P é o baricentro do triângulo ABC e que o ponto Q é o ponto médio entre P e A, 
o menor percurso que o garoto pode fazer para sair de P, encostar na cerca BC, 
depois na cerca AC e chegar ao ponto Q tem comprimento X. Qual o valor do 
quadrado de X, se a distância entre P e Q mede 10 metros?
 
3) Uma moeda de 1 real é colocada sobre uma mesa horizontal. Sobre esta moeda é 
apoiada outra moeda do mesmo valor, mas deslocada um pouco para a direita. 
Sobre a segunda moeda, uma terceira moeda idêntica às outras duas é apoiada, 
também com um deslocamento para a direita em relação à segunda moeda.
 

 
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borda direita da projeção da última moeda sobre a mesa) de 4 ou mais moedas?
 
Sds,
 
Rogério




LEVE SEU MESSENGER PARA ONDE VOCÊ ESTIVER PELO SEU CELULAR. CLIQUE E VEJA COMO 
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PREPARE-SE: O SEU HOTMAIL VAI FICAR MELHOR DO QUE NUNCA. CLIQUE E VEJA AS 
NOVIDADES.
http://www.windowslive.com.br/public/product.aspx/view/1?ocid=Hotmail:Live:Hotmail:Tagline:senDimensao:PREPARE-SE83:-

RE: [obm-l] Probleminhas

[Thiago Tarraf Varella]

Eu já vi eles! Estão dispostos no Site Mensa Brasil, na seção desafios! Muito 
legais os desafios de láhttp://www.mensa.com.br/pag.php?t=puzzleEssa é a página 
do que falei.O super desafio, que é o último da página, é muito legal! 
Recomendo a vocês fazerem ele também!Abraços,Thiago
From: roposs...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Probleminhas
Date: Tue, 13 Jul 2010 22:06:07 -0300








Pessoal,
 
Seguem 3 probleminhas para diversão:
 
1) Um móbile foi montado com 10 objetos de massas diferentes (1 a 10 kg) e 
ficou completamente desequilibrado, como mostrado na figura abaixo:
 

 
Sabendo que a diferença de massa entre os lados de cada braço do móbile é menor 
do que 4 kg, você consegue descobrir qual a massa de cada objeto?
 
Observação: os braços do móbile são os traços mais espessos no desenho e são 8 
no total... a diferença de massa entre cada lado de cada braço não pode ser 
maior que 3 kg.
 
2) Um garoto está no ponto P de um jardim cujo formato é o de um triângulo 
equilátero. Ele deve encostar em duas cercas desse jardim e depois chegar a um 
ponto Q. Supondo que o triângulo equilátero tem vértices A, B e C, que o ponto 
P é o baricentro do triângulo ABC e que o ponto Q é o ponto médio entre P e A, 
o menor percurso que o garoto pode fazer para sair de P, encostar na cerca BC, 
depois na cerca AC e chegar ao ponto Q tem comprimento X. Qual o valor do 
quadrado de X, se a distância entre P e Q mede 10 metros?
 
3) Uma moeda de 1 real é colocada sobre uma mesa horizontal. Sobre esta moeda é 
apoiada outra moeda do mesmo valor, mas deslocada um pouco para a direita. 
Sobre a segunda moeda, uma terceira moeda idêntica às outras duas é apoiada, 
também com um deslocamento para a direita em relação à segunda moeda.
 


 
Quantas moedas, no mínimo, precisaremos usar para que a pilha de moedas 
idênticas tenha uma largura (distância da borda esquerda da primeira moeda à 
borda direita da projeção da última moeda sobre a mesa) de 4 ou mais moedas?

 

Sds,

 

Rogério

  
LEVE SEU MESSENGER PARA ONDE VOCÊ ESTIVER PELO SEU CELULAR. CLIQUE E VEJA COMO 
FAZER. 
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PREPARE-SE: O SEU HOTMAIL VAI FICAR MELHOR DO QUE NUNCA. CLIQUE E VEJA AS 
NOVIDADES.
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[obm-l] Probleminhas

[Rogério Possi Júnior]

Pessoal,
 
Seguem 3 probleminhas para diversão:
 
1) Um móbile foi montado com 10 objetos de massas diferentes (1 a 10 kg) e 
ficou completamente desequilibrado, como mostrado na figura abaixo:
 

 
Sabendo que a diferença de massa entre os lados de cada braço do móbile é menor 
do que 4 kg, você consegue descobrir qual a massa de cada objeto?
 
Observação: os braços do móbile são os traços mais espessos no desenho e são 8 
no total... a diferença de massa entre cada lado de cada braço não pode ser 
maior que 3 kg.
 
2) Um garoto está no ponto P de um jardim cujo formato é o de um triângulo 
equilátero. Ele deve encostar em duas cercas desse jardim e depois chegar a um 
ponto Q. Supondo que o triângulo equilátero tem vértices A, B e C, que o ponto 
P é o baricentro do triângulo ABC e que o ponto Q é o ponto médio entre P e A, 
o menor percurso que o garoto pode fazer para sair de P, encostar na cerca BC, 
depois na cerca AC e chegar ao ponto Q tem comprimento X. Qual o valor do 
quadrado de X, se a distância entre P e Q mede 10 metros?
 
3) Uma moeda de 1 real é colocada sobre uma mesa horizontal. Sobre esta moeda é 
apoiada outra moeda do mesmo valor, mas deslocada um pouco para a direita. 
Sobre a segunda moeda, uma terceira moeda idêntica às outras duas é apoiada, 
também com um deslocamento para a direita em relação à segunda moeda.
 


 
Quantas moedas, no mínimo, precisaremos usar para que a pilha de moedas 
idênticas tenha uma largura (distância da borda esquerda da primeira moeda à 
borda direita da projeção da última moeda sobre a mesa) de 4 ou mais moedas?

 

Sds,

 

Rogério

  
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TRANSFORME SUAS FOTOS EM EMOTICONS PARA O MESSENGER. CLIQUE AQUI PARA COMEÇAR.
http://ilm.windowslive.com.br/?ocid=ILM:Live:Hotmail:Tagline:senDimensao:TRANSFORME78:-

[obm-l] probleminhas

[arkon]

Olá, pessoal estou enviando mais algumas, ok
(OBJETIVO) A população de Itapipoca equivale a de Pirapipoca ao quadrado. Após 
o nascimento de 100 bebês, a população de Itapipoca passou a ser de um 
habitante a mais que o quadrado da população de Itaperoba. Novamente após 100 
nascimentos, a população de Itapipoca passou a ter o quadrado da população de 
Piraperoba. De posse dessas informações e considerando que ninguém morre nesse 
meio tempo, resolva:
a)  A soma dos quadrados das populações de Pirapipoca, Itaperoba e 
Piraperoba supera o triplo da população de Itapipoca em x habitantes. Calcular 
o valor de x.

b)  Calcular a população de Itapipoca. Divida o resultado por 7. 

(OBJETIVO) Um sertanejo morreu deixando uma tropa de burros para ser repartida, 
como herança, entre os seus filhos. Quanto ao modo de se fazer a partilha, ele 
tinha deixado disposições, ordenando que a partilha fosse feita do seguinte 
modo:

I – Ao filho mais velho darei um burro e mais a décima parte do resto da tropa.
II – Ao segundo filho darei dois burros e mais a décima parte do resto da tropa.
III – Ao terceiro filho darei três burros e mais a décima parte do resto da 
tropa.
e assim por diante.

Após os filhos retirarem suas parcelas na ordem dada acima, verificou-se que 
todos haviam retirado a mesma quantidade de burros e não havia restado nenhum 
outro burro. De posse desse curioso testamento, resolva:

a) Calcular o número de burros presentes no testamento do sertanejo.
b) Calcular o número de filhos do sertanejo.

Re: [obm-l] probleminhas

[saulo nilson]

nA+nb=nt
9/5=nB/(nA-80)
7/5=(nb-100)/(nA-80)
dividindo os dois, temos
9/7 = nb/(nb-100)
nb= 450
nA=330
nt=780

t e o tempo contando em dias
600-20t=480-12t
8t=120
t=15
quando t=15 os processo ficamiguais, em t=16 e que marilza vai ter menos
processos que ricardo.
On 11/24/06, elton francisco ferreira [EMAIL PROTECTED] wrote:


Num dado momento, no almoxarifado de certa empresa,
havia dois tipos de impressos: A e B. Após a retira de
80 unidades de A, observou-se que o número de
impressos de B estava para o de A na proporção de 9
para 5. Em seguida, foram retiradas 100 unidades de B
e a proporção passou a ser de 7 de B para cada 5 de A.
Inicialmente, o total de impressos dos dois tipos era?

780
800
840
860
920

Hoje, dois técnicos judiciários, Marilza e Ricardo,
receberam 600 e 480 processos para arquivar,
respectivamente. Se Marilza arquivar 20 processos por
dia e Ricardo arquivar 12 por dia, a partir de quantos
dias, contados de hoje, Marilzo trá menos processos
para arquivar do que Ricardo?

12
14
16
18
20






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O Yahoo! está de cara nova. Venha conferir!
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[obm-l] probleminhas

[elton francisco ferreira]

Num dado momento, no almoxarifado de certa empresa,
havia dois tipos de impressos: A e B. Após a retira de
80 unidades de A, observou-se que o número de
impressos de B estava para o de A na proporção de 9
para 5. Em seguida, foram retiradas 100 unidades de B
e a proporção passou a ser de 7 de B para cada 5 de A.
Inicialmente, o total de impressos dos dois tipos era?

780
800
840
860
920

Hoje, dois técnicos judiciários, Marilza e Ricardo,
receberam 600 e 480 processos para arquivar,
respectivamente. Se Marilza arquivar 20 processos por
dia e Ricardo arquivar 12 por dia, a partir de quantos
dias, contados de hoje, Marilzo trá menos processos
para arquivar do que Ricardo?

12
14
16
18
20






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[obm-l] Probleminhas de Óptica geométrica!

[João Silva Passos Estileto]

1. Um objeto de 60 cm de altura está colocado a 15 cm de um espelho côncavo 
de raio 10 cm. Determine:

a) a posição e o tamanho da imagem
b) o aumento linear transversal

2. Um anteparo é colocado a 90cm de um objeto, e uma lente situada entre 
eles projeta no anteparo a imagem do objeto diminuída 2 vezes.

a) qual a distância focal da lente?
b) qual a convergência da lente, em dióptrias?

3. Um projetor de slides deve projetar na tela uma imagem ampliada 24 vezes. 
Se a distância focal da lente objetiva do projetor é de 9,6cm, a que 
distância do slide deve ser colocada a tela?

a) 250cm
b) 240cm
c) 10cm
d) 230cm
e) 220cm

4. Os raios de curvatura de uma lente biconvexa são de 18cm e 20cm. 
Sabendo-se que quando um objeto real se situa a uma distância de 24cm da 
mesma, se forma uma imagem real a 32cm desta. Calcule:

a) a distância focal
b) o índice de refração da lente

_
Acompanhe os desfiles do evento São Paulo Fashion Week. 
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[obm-l] probleminhas de coscursos diversos

[elton francisco ferreira]

B.B) Num escritório, 3 funcionários receberam 400
fichas cada um, para datilografar. Na hora do lanche o
primeiro já havia cumprido 5/8 de sua tarefa, o
segundo 3/5 e o terceiro 6/10. Quantas fichas restavam
para serem datilografadas?
 

T.S.T)Depois de gastar a metade do meu dinheiro,
gastei 3/4 do que sobrou e recebi um quantia igual a
7/5 do que restava. Quanto tinha se agora tenho R$
30,00?

T.R.T)Ana fez 2/5 de um tapete em 8 horas e Clara fez
1/3 do restante em 6 horas. Se trabalharem juntas
terminará o tapete num tempo igual a:

Um floricultor possui 100 rosas brancas e 60 rosas
vermelhas, e pretende fazer o maior número de
ramalhetes que contenha, cada um, o mesmo numero de
rosas de cada cor. Clacule quantos serão os ramalhetes
e quantas rosas de cada cor deve ter cada um deles.

Calcule o comprimento da maior trena que fica contida
exatamente quando se mede o perímetro de um terreno de
120 m de comprimento e 75 m de largura e quantas vezes
ela foi usada.  




___ 
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Re: [obm-l] probleminhas de coscursos diversos

[Marcelo Salhab Brogliato]

Olá..

1) bom, vamos supor que as fichas foram divididas iguais, entao cada um 
recebeu 400/3 fichas.
no total, eles fizeram: (5/8 + 3/5 + 6/10) 400/3 = (25 + 24 + 24)/40 400/3 = 
73/120 * 400 = 243,33

arredondando para baixo, temos que ainda faltam 400 - 243 = 157 fichas..

2) Suponha que inicialmente vc tinha X, entao:
X/2 * (1 - 3/4) [ 1 + 7/5 ] = 30 ... X/2 * 1/4 * 12/5 = 30 ... X = 100

3) Ana faz 2/5 * (1/8) do tapete por hora... Clara faz (1 - 2/5) * 1/3 * 1/6 
do tapete por hora..

isto é: Ana = 1/20, Clara = 1/30 ...
entao, considerando que elas comecam e param juntas, entao: X * (1/20 + 
1/30) = 1 ... X = 60/(3 + 2) = 60/5 = 12 horas...


4) ele vai usar b rosas brancas e v rosas vermelhas em cada ramalhetes... 
entao: X * b = 100 e X * v = 60
dividindo, temos: v/b = 3/5 ... para maximizarmos X, temos que utilizar os 
menores valores de b e v...
assim: v = 3 e b = 5 sao os menores inteiros que satisfazem a razao dada.. 
logo: X = 20 ramalhetes,

com 3 rosas vermelhas e 5 brancas cada..

5) a maior trena tera o MDC(120, 75) = MDC(75, 45) = MDC(45, 30) = MDC(30, 
15) = MDC(15, 15) = MDC(15, 0) = 15
[utilizando o algoritmo de euclides].. sera utilizada: 120/15 + 75/15 = 8 + 
5 = 13 vezes


abracos,
Salhab

- Original Message - 
From: elton francisco ferreira [EMAIL PROTECTED]

To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Saturday, October 21, 2006 11:11 PM
Subject: [obm-l] probleminhas de coscursos diversos


B.B) Num escritório, 3 funcionários receberam 400
fichas cada um, para datilografar. Na hora do lanche o
primeiro já havia cumprido 5/8 de sua tarefa, o
segundo 3/5 e o terceiro 6/10. Quantas fichas restavam
para serem datilografadas?


T.S.T)Depois de gastar a metade do meu dinheiro,
gastei 3/4 do que sobrou e recebi um quantia igual a
7/5 do que restava. Quanto tinha se agora tenho R$
30,00?

T.R.T)Ana fez 2/5 de um tapete em 8 horas e Clara fez
1/3 do restante em 6 horas. Se trabalharem juntas
terminará o tapete num tempo igual a:

Um floricultor possui 100 rosas brancas e 60 rosas
vermelhas, e pretende fazer o maior número de
ramalhetes que contenha, cada um, o mesmo numero de
rosas de cada cor. Clacule quantos serão os ramalhetes
e quantas rosas de cada cor deve ter cada um deles.

Calcule o comprimento da maior trena que fica contida
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[obm-l] probleminhas

[elton francisco ferreira]

1) Dois tecnicos judiciários foram incumbidos de
catalogar alguns documentos, que dividiram entre si em
partes inversamente proporcionais aos seus respectivos
tempos de serviço no cartório da seção onde trabalham.
Se o que trabalha há 12 anos deverá catalogar 36
documentos e o outro trabalha há 9 anos, então o total
de documentos que ambos deverão catalogar é?

2) Do total de inscritos em um concurso público, 62,5%
eram do sexo femino. Se foram aprovados 42 homens e
este número corresponde a 8% dos candidatos do sexo
masculino, então o total de pessoas que se inscreveram
nesse concurso é?

1700
1680
1600
1540
1400









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Re: [obm-l] probleminhas

[André Araújo]

1) Dois tecnicos judiciários foram incumbidos decatalogar alguns documentos, que dividiram entre si em
partes inversamente proporcionais aos seus respectivostempos de serviço no cartório da seção onde trabalham.Se o que trabalha há 12 anos deverá catalogar 36documentos e o outro trabalha há 9 anos, então o total
de documentos que ambos deverão catalogar é?
Solução:
36*12 = 9*x = x = 48
total de documentos = 36 + 48 = 84
2) Do total de inscritos em um concurso público, 62,5%eram do sexo femino. Se foram aprovados 42 homens e
este número corresponde a 8% dos candidatos do sexomasculino, então o total de pessoas que se inscreveramnesse concurso é?
Solução:
42 = 0,08*0,375*x = x = 1400
17001680160015401400___
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[obm-l] Probleminhas de Porcentagem

[André Barreto]

Oi galera!Estava resolvendo um monte de problemas de porcentagem, já fiz uns 200 e poucos. Infelizmente esses ai não consegui fazer, se alguem puder resolver ou me ajudar a resolver, fico muito grato.194. Cesgranrio-RJ  O GNV (gás natural veicular) é um combustível que provoca menor impacto ambiental, pois, devido à sua composição, produz uma queima mais limpa i uniforme. Além disso, é mais econômico do que os demais combustíveis (álcool, diesel ou gasolina), já que 1m^3 de GNV rende quilometragem 20% superior a 1 litro de gasolina e que o preço de 1m^3 de GNV corresponde a, aproximadamente, 50% do preço de 1 litro de gasolina.  Tomando-se como base as informações do texto acima, a redução nos custos referentes ao consumo de combustível de um automóvel a gasolina que é convertido para GNV é, aproximadamente, de:  a) 55,6%  b) 58,3%  c) 59,4% 
 d) 72,5%  e) 83,3%197. FGV-SP  Um aparelho de TV é vendido por R$ 1000,00 em dois pagamentos iguais, sem acréscimo, sendoo 1º como entrada e o 2º, um mês após a compra. Se o pagamento for feito à vista, há um desconto de 4% sobre o preço de R$ 1000,00. A taxa mensal de juros simples do financiamento é aproximadamente igual a:  a) 8,7%  b) 7,7%  c) 6,7%  d) 5,7%  e) 4,7%219. Uespi  Um artigo é vendidoà vista com 15% de desconto ou em duas parcelas iguais, sem desconto, uma paga no ato da compra e a outra após um mês. Quais os juros mensais embutidos na compra a prazo? Indique o inteiro mais próximo.  a) 41%  b) 42%  c) 43%  d) 44%  e) 45%221. UFBA  Uma pessoa tomou um empréstimo de R$ 6.000,00 a uma taxa de
 juros compostos de 10% ao ano e saldou a dívida da seguinte maneira:  - 2 anos após ter contraído a dívida, pagou R$2.260,00  - 2 anos após o primeiro pagamento, pagou mais R$ 3.050,00  - 1 ano após o segundo pagamento, quitou a dívida.  Nessas condições, pode-se afirmar:  01. Depois do primeiro pagamento, a pessoa ficou devendo R$ 4.340,00  02. Após o segundo pagamento, a dívida correspondia a 50% di valor do empréstimo.  04. No momento em quea pessoa quitou o empréstimo, a dívida correspondia a R$ 3.300,00  08. O montante pago pelo empréstimo foi igual a R$ 9.000,00  16. O valor pago pelos juros da dívida correspondeu a 43,5% do empréstimo.222. FGV-SP  b) Certa loja tem como política de venda de crédito exigir, como entrada, 20% do valor à vista da mercadoria e o restante a ser liquidado no final de 3 meses. Neste caso,
 o saldo devedor é acrescido de 10% do valor à vista da mercadoria, a título de "despesas administrativas". Qual é a taxa anual de juros simples cobrada por essa loja?224.FGV-SP  O "Magazine Lúcia" e a rede "Corcovado" de hipermercados vendem uma determinada marca de aparelho de som do tipo Home Cinema pelo mesmo preço à vista. Na venda a prazo, ambas as lojas cobram a taxa de juros compostos de 10% ao mês, com planos de pagamentos distintos.  Comprando a prazo no "Magazine Lúcia", um consumidor deve pagar R$2.000,00 no ato da compra e R$ 3.025,00 depois de 2 meses, enquanto que na rede "Corcovado" ele pode levar o aparelho sem desembolsar dinheiro algum, pagando uma parcela de R$1.980,00, 1 mês após a compra, e o saldo em 2 meses após a compra.  a) Qual o valor avista do aparelho de som?  b) Se um consumidor compraro aparelho de som a prazo na rede "Corcovado", qual o valor da parcela final,
 vencível 2 meses após a compra.GABARITO  194. B  197.A  219.B  221. Estão corretas 02 04 e 16  222. b) 50% ao ano  224. a) R$ 4.500,00   b) R$ 3.267,00  Galera, algumas questões tinham gabarito errado. Essas não soube resolver, portanto não sei se enquadra-se no conjunto das com gabarito errado.Em todo caso, esta tudo ai.Atenciosamente,  André Sento Sé BarretoPS:Como demorou pra digitar tudo isso =(  
		 
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Re: [obm-l] probleminhas

[saulo nilson]

3. Para a construção de uma calçada, calculou-se queseriam necessárias 24 latas de areia. Quantos sacos decimento(cada saco dá 2 latas) serão empregados, sabendo-seque a razão cimento-areia é 1/4?A) 3
B) 4C) 5D) 6E) 2a razao cimento areia e 1/ 4, a quantidade de latas de cimento e 
cimento = areia/4 = 24/4= 6 latas de cimento
so que cada lata de cimento da meio saco de cimento, entao temnos 6/2= 3 sacos de cimento.

On 6/23/06, Marcelo Salhab Brogliato [EMAIL PROTECTED] wrote:
Olá,1)3 + p - q = 0 ... p -q = -3, letra C2)8x = d9(x-0,5)=dassim:9x - 4,5 = 8x
x = 4,5d = 8*4,5 = 36, letra E3)nao entendi.4)de 8 em 8 segundos, o piloto A passa pela origem,de 9 em 9 segundos, o piloto B passa pela origem,de 10 em 10 segundos, o piloto C passa pela origem..
assim, se encontrarmos um numero que é divisivel por 8, 9 e 10, teremos otempoem segundos que eles demorarao pra passar pela origem juntos...8 = 2*2*29 = 3*310 = 2 * 5...hmm360 = 2*2*2*3*3*5 é divisivel pelos 3 numeros.. assim, 360 segundos = 6 min.
Logo, às 10h 6min., letra B.abraços,Salhab- Original Message -From: elton francisco ferreira [EMAIL PROTECTED]
To: obm-l@mat.puc-rio.brSent: Thursday, June 22, 2006 10:43 PMSubject: [obm-l] probleminhas1. Uma das raízes da equação 3x² - px - q = 0, na qual
x é a variável, é o elemento -1. O valor de p - q éA) -1B) 0C) -3D) 3E) 12. Se diminuirmos em 0,5 cm as tiras que vamos cortar,ao invés de 8, obteremos 9 tiras. Qual era o tamanhoda peça inteira?
A) 72 cm B) 64 cm C) 80 cm D) 90 cm E) 36 cm3. Para a construção de uma calçada, calculou-se queseriam necessárias 24 latas de areia. Quantos sacos decimento(cada saco dá 2 latas) serão empregados, sabendo-se
que a razão cimento-areia é 1/4?A) 3B) 4C) 5D) 6E) 221. Numa corrida de Fórmula 1, verificou-se que opiloto A dá uma volta na pista em 8 segundos, o pilotoB, em 9segundos, e o piloto C, em 10 segundos. Ao receber o
sinal, eles partiram de um mesmo ponto, às 10 horas.Podemos afirmar que eles passarão juntos, novamente,pelo ponto de partida, àsA) 10h 8min.B) 10h 6min. D) 10h 20minC) 10h 10min. E) 10h 30min
desde ja agradeço!___Novidade no Yahoo! Mail: receba alertas de novas mensagens no seu celular.Registre seu aparelho agora!
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Re: [obm-l] probleminhas

[Marcelo Salhab Brogliato]

Olá,
1)
3 + p - q = 0 ... p -q = -3, letra C

2)
8x = d
9(x-0,5)=d
assim:
9x - 4,5 = 8x
x = 4,5
d = 8*4,5 = 36, letra E

3)
nao entendi.

4)
de 8 em 8 segundos, o piloto A passa pela origem,
de 9 em 9 segundos, o piloto B passa pela origem,
de 10 em 10 segundos, o piloto C passa pela origem..
assim, se encontrarmos um numero que é divisivel por 8, 9 e 10, teremos o 
tempo

em segundos que eles demorarao pra passar pela origem juntos...
8 = 2*2*2
9 = 3*3
10 = 2 * 5...
hmm
360 = 2*2*2*3*3*5 é divisivel pelos 3 numeros.. assim, 360 segundos = 6 min.
Logo, às 10h 6min., letra B.

abraços,
Salhab

- Original Message - 
From: elton francisco ferreira [EMAIL PROTECTED]

To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Thursday, June 22, 2006 10:43 PM
Subject: [obm-l] probleminhas


1. Uma das raízes da equação 3x² - px - q = 0, na qual
x é a variável, é o elemento -1. O valor de p - q é
A) -1
B) 0
C) -3
D) 3
E) 1

2. Se diminuirmos em 0,5 cm as tiras que vamos cortar,
ao invés de 8, obteremos 9 tiras. Qual era o tamanho
da peça inteira?
A) 72 cm B) 64 cm C) 80 cm D) 90 cm E) 36 cm

3. Para a construção de uma calçada, calculou-se que
seriam necessárias 24 latas de areia. Quantos sacos de
cimento
(cada saco dá 2 latas) serão empregados, sabendo-se
que a razão cimento-areia é 1/4?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 2

21. Numa corrida de Fórmula 1, verificou-se que o
piloto A dá uma volta na pista em 8 segundos, o piloto
B, em 9
segundos, e o piloto C, em 10 segundos. Ao receber o
sinal, eles partiram de um mesmo ponto, às 10 horas.
Podemos afirmar que eles passarão juntos, novamente,
pelo ponto de partida, às
A) 10h 8min.
B) 10h 6min. D) 10h 20min
C) 10h 10min. E) 10h 30min

desde ja agradeço!



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=
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=

[obm-l] probleminhas

[elton francisco ferreira]

1. Uma das raízes da equação 3x² - px – q = 0, na qual
x é a variável, é o elemento -1. O valor de p – q é
A) –1
B) 0 
C) –3 
D) 3 
E) 1

2. Se diminuirmos em 0,5 cm as tiras que vamos cortar,
ao invés de 8, obteremos 9 tiras. Qual era o tamanho
da peça inteira?
A) 72 cm B) 64 cm C) 80 cm D) 90 cm E) 36 cm

3. Para a construção de uma calçada, calculou-se que
seriam necessárias 24 latas de areia. Quantos sacos de
cimento
(cada saco dá 2 latas) serão empregados, sabendo-se
que a razão cimento-areia é 1/4?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 2

21. Numa corrida de Fórmula 1, verificou-se que o
piloto A dá uma volta na pista em 8 segundos, o piloto
B, em 9
segundos, e o piloto C, em 10 segundos. Ao receber o
sinal, eles partiram de um mesmo ponto, às 10 horas.
Podemos afirmar que eles passarão juntos, novamente,
pelo ponto de partida, às
A) 10h 8min.
B) 10h 6min. D) 10h 20min
C) 10h 10min. E) 10h 30min

desde ja agradeço!



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RE: [obm-l] probleminhas

[João Gilberto Ponciano Pereira]

existe uma forma que se eu me recordo eh...no caso de dois numeros X e Y primos 
entre si.. que eh

número maximo = X . Y - ( X + Y )
 
alguem sabe provar isso???
 
Estava pensando nisso... Não consegui provar, mas imagino que seja algo do tipo:
nX mod Y = Rn, com n variando de 1 a Y-1, todos os Rn diferentes entre si, e 
0RnY
 
Suponhamos agora um número M tal que M mod Y = Rm, podemos representá-no na 
forma MX + kY, com M variando de 1 a Y-1 e k 0.
 
Ou seja, supondo M máximo = Y-1, podemos concluir que qualquer número maior ou 
igual a (Y-1)X + 0Y pode ser escrito da forma aX + bY.
 
Entretanto, se N mod Y = Y-1, então N-1 tb poderá ser escrito na forma aX + bY, 
pois neste caso, o coeficiente a será inferior a Y-1 daí chegamos que 
qualquer valor maior que (y-1)x - y pode ser escrito da forma aX + bY, ou seja, 
o maior valor que NÃO pode ser escrito é justamente XY -(X+Y)
 
Será que alguém entendeu essa baboseira toda???
 
 
 
 
 

-Original Message-
From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Behalf Of Felipe Avelino
Sent: Wednesday, March 08, 2006 4:06 PM
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: Re: [obm-l] probleminhas


isso se torna muito cansativo no caso de um numero muito grande...
 
existe uma forma que se eu me recordo eh...no caso de dois numeros X e Y primos 
entre si.. que eh

número maximo = X . Y - ( X + Y )
 
alguem sabe provar isso???
deve envolver teoria combinatoria dos numeros .. não sei ..
 
Em 08/03/06, João Gilberto Ponciano Pereira  [EMAIL PROTECTED] escreveu: 

Cheguei em 23...

A lógica que usei é a seguinte Temos que conseguir o menor número das 
unidades. Após isso, basta somar 2 vezes a cota de 2 bombons de 5. 

Temos então que achar a combinação de bombons tal que o total seja o mínimo, 
para cada uma das unidades. Temos então:

0 == 0  = 0x5 + 0x7
1 == 21 = 0x5 + 3x7
2 == 12 = 1x5 + 1x7
3 == 33 = 1x5 + 4x7 
4 == 14 = 0x5 + 2x7
5 == 05 = 1x5 + 0x7
6 == 26 = 1x5 + 3x7
7 == 07 = 0x5 + 1x7
8 == 28 = 0x5 + 4x7
9 == 19 = 1x5 + 2x7

logo.. como o maior desta lista é o 33, se subtrairmos 10, temos que o maior 
número de bombons que não se pode vender com a combinação de 5 e 7 bombons é 
23. 


-Original Message-
From: [EMAIL PROTECTED] [mailto: [EMAIL PROTECTED]
Behalf Of Henrique Ren 
Sent: Wednesday, March 08, 2006 1:28 PM
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] probleminhas


Encontrei esse probleminha e gostaria que alguém me ajudasse a resolvê-lo: 

uma doceria venda caixas com 05 e 07 bombons dentro. qual o número máximo de
bombons que a doceria não consegue vender?
por exemplo: consegue-se vender 17 bombons porém não 11 bombons?

[]s


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html  
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html 
=

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em 
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=




=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] probleminhas

[Daniel S. Braz]

A doceria vende f: 5n + 7m bombons, com n em inteiros não negativos.
P. ex: ela vende 17 bombons para n = 2 e m = 1, mas não vende 11, pq 11 não pode ser escrito como 5n + 7m.
Não existe um máximo. Ela poderá vender qq quantidade, desde que esta qdt possa ser obtida por f e qq outro valor não pode ser vendido.

abs,

--
Em 08/03/06, Henrique Ren [EMAIL PROTECTED] escreveu:
Encontrei esse probleminha e gostaria que alguém me ajudasse a resolvê-lo:uma doceria venda caixas com 05 e 07 bombons dentro. qual o número máximo de
bombons que a doceria não consegue vender?por exemplo: consegue-se vender 17 bombons porém não 11 bombons?[]s=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=

RE: [obm-l] probleminhas

[João Gilberto Ponciano Pereira]

Cheguei em 23...

A lógica que usei é a seguinte Temos que conseguir o menor número das 
unidades. Após isso, basta somar 2 vezes a cota de 2 bombons de 5.

Temos então que achar a combinação de bombons tal que o total seja o mínimo, 
para cada uma das unidades. Temos então:

0 == 0  = 0x5 + 0x7
1 == 21 = 0x5 + 3x7
2 == 12 = 1x5 + 1x7
3 == 33 = 1x5 + 4x7
4 == 14 = 0x5 + 2x7
5 == 05 = 1x5 + 0x7
6 == 26 = 1x5 + 3x7
7 == 07 = 0x5 + 1x7
8 == 28 = 0x5 + 4x7
9 == 19 = 1x5 + 2x7

logo.. como o maior desta lista é o 33, se subtrairmos 10, temos que o maior 
número de bombons que não se pode vender com a combinação de 5 e 7 bombons é 23.


-Original Message-
From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
Behalf Of Henrique Ren
Sent: Wednesday, March 08, 2006 1:28 PM
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] probleminhas


Encontrei esse probleminha e gostaria que alguém me ajudasse a resolvê-lo:

uma doceria venda caixas com 05 e 07 bombons dentro. qual o número máximo de 
bombons que a doceria não consegue vender?
por exemplo: consegue-se vender 17 bombons porém não 11 bombons?

[]s


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] probleminhas

[Daniel S. Braz]

24 bombons também não é possível...
Em 08/03/06, João Gilberto Ponciano Pereira [EMAIL PROTECTED] escreveu:
Cheguei em 23...A lógica que usei é a seguinte Temos que conseguir o menor número das unidades. Após isso, basta somar 2 vezes a cota de 2 bombons de 5.
Temos então que achar a combinação de bombons tal que o total seja o mínimo, para cada uma das unidades. Temos então:0 == 0= 0x5 + 0x71 == 21 = 0x5 + 3x72 == 12 = 1x5 + 1x73 == 33 = 1x5 + 4x7
4 == 14 = 0x5 + 2x75 == 05 = 1x5 + 0x76 == 26 = 1x5 + 3x77 == 07 = 0x5 + 1x78 == 28 = 0x5 + 4x79 == 19 = 1x5 + 2x7logo.. como o maior desta lista é o 33, se subtrairmos 10, temos que o maior número de bombons que não se pode vender com a combinação de 5 e 7 bombons é 23.
-Original Message-From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]]OnBehalf Of Henrique Ren
Sent: Wednesday, March 08, 2006 1:28 PMTo: obm-l@mat.puc-rio.brSubject: [obm-l] probleminhasEncontrei esse probleminha e gostaria que alguém me ajudasse a resolvê-lo:
uma doceria venda caixas com 05 e 07 bombons dentro. qual o número máximo debombons que a doceria não consegue vender?por exemplo: consegue-se vender 17 bombons porém não 11 bombons?[]s
=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
==Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=

Re: [obm-l] probleminhas

[Felipe Avelino]

isso se torna muito cansativono caso de um numero muito grande...

existe uma forma que se eu me recordo eh...no caso de dois numerosX e Y primos entre si.. que eh
número maximo = X . Y - ( X + Y )

alguem sabe provar isso???
deve envolver teoria combinatoria dos numeros .. não sei ..
Em 08/03/06, João Gilberto Ponciano Pereira [EMAIL PROTECTED] escreveu:
Cheguei em 23...A lógica que usei é a seguinte Temos que conseguir o menor número das unidades. Após isso, basta somar 2 vezes a cota de 2 bombons de 5.
Temos então que achar a combinação de bombons tal que o total seja o mínimo, para cada uma das unidades. Temos então:0 == 0= 0x5 + 0x71 == 21 = 0x5 + 3x72 == 12 = 1x5 + 1x73 == 33 = 1x5 + 4x7
4 == 14 = 0x5 + 2x75 == 05 = 1x5 + 0x76 == 26 = 1x5 + 3x77 == 07 = 0x5 + 1x78 == 28 = 0x5 + 4x79 == 19 = 1x5 + 2x7logo.. como o maior desta lista é o 33, se subtrairmos 10, temos que o maior número de bombons que não se pode vender com a combinação de 5 e 7 bombons é 23.
-Original Message-From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]]OnBehalf Of Henrique Ren
Sent: Wednesday, March 08, 2006 1:28 PMTo: obm-l@mat.puc-rio.brSubject: [obm-l] probleminhasEncontrei esse probleminha e gostaria que alguém me ajudasse a resolvê-lo:
uma doceria venda caixas com 05 e 07 bombons dentro. qual o número máximo debombons que a doceria não consegue vender?por exemplo: consegue-se vender 17 bombons porém não 11 bombons?[]s
=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
==Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=

RE: [obm-l] probleminhas

[João Gilberto Ponciano Pereira]

4 == 14 = 0x5 + 2x7
 
para 24... 34... 44... basta somar 2n*5 bombons

-Original Message-
From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Behalf Of Daniel S. Braz
Sent: Wednesday, March 08, 2006 4:01 PM
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: Re: [obm-l] probleminhas


24 bombons também não é possível...


Em 08/03/06, João Gilberto Ponciano Pereira  [EMAIL PROTECTED] escreveu: 

Cheguei em 23...

A lógica que usei é a seguinte Temos que conseguir o menor número das 
unidades. Após isso, basta somar 2 vezes a cota de 2 bombons de 5. 

Temos então que achar a combinação de bombons tal que o total seja o mínimo, 
para cada uma das unidades. Temos então:

0 == 0  = 0x5 + 0x7
1 == 21 = 0x5 + 3x7
2 == 12 = 1x5 + 1x7
3 == 33 = 1x5 + 4x7 
4 == 14 = 0x5 + 2x7
5 == 05 = 1x5 + 0x7
6 == 26 = 1x5 + 3x7
7 == 07 = 0x5 + 1x7
8 == 28 = 0x5 + 4x7
9 == 19 = 1x5 + 2x7

logo.. como o maior desta lista é o 33, se subtrairmos 10, temos que o maior 
número de bombons que não se pode vender com a combinação de 5 e 7 bombons é 
23. 


-Original Message-
From: [EMAIL PROTECTED] [mailto: [EMAIL PROTECTED]
Behalf Of Henrique Ren 
Sent: Wednesday, March 08, 2006 1:28 PM
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] probleminhas


Encontrei esse probleminha e gostaria que alguém me ajudasse a resolvê-lo: 

uma doceria venda caixas com 05 e 07 bombons dentro. qual o número máximo de
bombons que a doceria não consegue vender?
por exemplo: consegue-se vender 17 bombons porém não 11 bombons?

[]s


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html  
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html 
=

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em 
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=




=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] probleminhas

[Daniel S. Braz]

mas mesmo assim é possível...ehehehehe...tô mal hoje...
Em 08/03/06, Daniel S. Braz [EMAIL PROTECTED] escreveu:
opss..digitei errado..desculpe..eu quis dizer 27 e não 24... 

Em 08/03/06, João Gilberto Ponciano Pereira 
[EMAIL PROTECTED] escreveu: 
4 == 14 = 0x5 + 2x7para 24... 34... 44... basta somar 2n*5 bombons-Original Message- 
From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:
[EMAIL PROTECTED]]On Behalf Of Daniel S. BrazSent: Wednesday, March 08, 2006 4:01 PM To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: Re: [obm-l] probleminhas24 bombons também não é possível...Em 08/03/06, João Gilberto Ponciano Pereira  
[EMAIL PROTECTED] escreveu:Cheguei em 23...A lógica que usei é a seguinte Temos que conseguir o menor número das unidades. Após isso, basta somar 2 vezes a cota de 2 bombons de 5.
Temos então que achar a combinação de bombons tal que o total seja o mínimo, para cada uma das unidades. Temos então:0 == 0= 0x5 + 0x71 == 21 = 0x5 + 3x72 == 12 = 1x5 + 1x73 == 33 = 1x5 + 4x7 
4 == 14 = 0x5 + 2x75 == 05 = 1x5 + 0x76 == 26 = 1x5 + 3x77 == 07 = 0x5 + 1x78 == 28 = 0x5 + 4x79 == 19 = 1x5 + 2x7logo.. como o maior desta lista é o 33, se subtrairmos 10, temos que o maior número de bombons que não se pode vender com a combinação de 5 e 7 bombons é 23. 
-Original Message-From: [EMAIL PROTECTED] [mailto: 
[EMAIL PROTECTED]]OnBehalf Of Henrique Ren Sent: Wednesday, March 08, 2006 1:28 PMTo: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] probleminhasEncontrei esse probleminha e gostaria que alguém me ajudasse a resolvê-lo: uma doceria venda caixas com 05 e 07 bombons dentro. qual o número máximo debombons que a doceria não consegue vender?
por exemplo: consegue-se vender 17 bombons porém não 11 bombons?[]s=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html 
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html== 
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
= =Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=

Re: [obm-l] probleminhas

[Daniel S. Braz]

opss..digitei errado..desculpe..eu quis dizer 27 e não 24...
Em 08/03/06, João Gilberto Ponciano Pereira [EMAIL PROTECTED] escreveu:
4 == 14 = 0x5 + 2x7para 24... 34... 44... basta somar 2n*5 bombons-Original Message-
From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]]On Behalf Of Daniel S. BrazSent: Wednesday, March 08, 2006 4:01 PM
To: obm-l@mat.puc-rio.brSubject: Re: [obm-l] probleminhas24 bombons também não é possível...Em 08/03/06, João Gilberto Ponciano Pereira  
[EMAIL PROTECTED] escreveu:Cheguei em 23...A lógica que usei é a seguinte Temos que conseguir o menor número das unidades. Após isso, basta somar 2 vezes a cota de 2 bombons de 5.
Temos então que achar a combinação de bombons tal que o total seja o mínimo, para cada uma das unidades. Temos então:0 == 0= 0x5 + 0x71 == 21 = 0x5 + 3x72 == 12 = 1x5 + 1x73 == 33 = 1x5 + 4x7
4 == 14 = 0x5 + 2x75 == 05 = 1x5 + 0x76 == 26 = 1x5 + 3x77 == 07 = 0x5 + 1x78 == 28 = 0x5 + 4x79 == 19 = 1x5 + 2x7logo.. como o maior desta lista é o 33, se subtrairmos 10, temos que o maior número de bombons que não se pode vender com a combinação de 5 e 7 bombons é 23.
-Original Message-From: [EMAIL PROTECTED] [mailto: [EMAIL PROTECTED]]OnBehalf Of Henrique Ren
Sent: Wednesday, March 08, 2006 1:28 PMTo: obm-l@mat.puc-rio.brSubject: [obm-l] probleminhasEncontrei esse probleminha e gostaria que alguém me ajudasse a resolvê-lo:
uma doceria venda caixas com 05 e 07 bombons dentro. qual o número máximo debombons que a doceria não consegue vender?por exemplo: consegue-se vender 17 bombons porém não 11 bombons?[]s
=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html==
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=
=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=

RE: [obm-l] probleminhas

[Qwert Smith]

Eu fiz assim

Se n pode ser reprensetado entao n+1 tb pode ser representado de 2 maneiras:

n - 4*5 + 3*7 ou n - 2*7 + 3*5

Ou seja, se n = (4+)*5 + (2+)*7 entao sempre e possivel escrever n+1.

Ja pra n= 3*5 +1*7 = 22,  nao podemos modificar pra representarmos 23



From: João Gilberto Ponciano Pereira [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: RE: [obm-l] probleminhas
Date: Wed, 8 Mar 2006 15:29:02 -0300

Cheguei em 23...

A lógica que usei é a seguinte Temos que conseguir o menor número das 
unidades. Após isso, basta somar 2 vezes a cota de 2 bombons de 5.


Temos então que achar a combinação de bombons tal que o total seja o 
mínimo, para cada uma das unidades. Temos então:


0 == 0  = 0x5 + 0x7
1 == 21 = 0x5 + 3x7
2 == 12 = 1x5 + 1x7
3 == 33 = 1x5 + 4x7
4 == 14 = 0x5 + 2x7
5 == 05 = 1x5 + 0x7
6 == 26 = 1x5 + 3x7
7 == 07 = 0x5 + 1x7
8 == 28 = 0x5 + 4x7
9 == 19 = 1x5 + 2x7

logo.. como o maior desta lista é o 33, se subtrairmos 10, temos que o 
maior número de bombons que não se pode vender com a combinação de 5 e 7 
bombons é 23.



-Original Message-
From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
Behalf Of Henrique Ren
Sent: Wednesday, March 08, 2006 1:28 PM
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] probleminhas


Encontrei esse probleminha e gostaria que alguém me ajudasse a resolvê-lo:

uma doceria venda caixas com 05 e 07 bombons dentro. qual o número máximo 
de

bombons que a doceria não consegue vender?
por exemplo: consegue-se vender 17 bombons porém não 11 bombons?

[]s


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Re: [obm-l] probleminhas

[saulo nilson]

1)
C = alimentaçao e educaçao
R =resto das despesas
2/3*O =C
1/3O = R
40720 =2/3*O
O = 61080
R = 20360
gasto total: 20360+40720=61080

2)
1800 =x+y
12500 = 6x+8y
x = comprados no brasil
14400=8x+8y
12500=6x+8y
2x = 1900
x = 950
3)
n(AUB) = n(A)+n(B) -n(AIB)
62 = 36+30-n(AIB)
n(AIB)=4
On 12/2/05, elton francisco ferreira [EMAIL PROTECTED] wrote:
Dois terços do orçamento familiar de uma família declassemédia são gastos com os itens de alimentação e
educação. Se em 2002 os gastos dessa família chegavama cifra de 40.720;00 em alimentação e educação, seugasto total, nesse ano foi:60.00062.00061.08063.24064.000Dos 1800 componentes eletrônicos comprados por uma
empresa do ramo, uma parte x foi comprado no Brasilpor 6 reais cada um e o restante foi importado por 8reais cada um.O custo total da compra foi de 12.500. com base nessevalos, quantos componentes foram adquiridos no Brasil?
10508509506501000Em um projeto de iluminação publica para minimizar oconsumo de energia elétrica, foram instaladas 62lampadas de mercúrio para iluminar as ruas A e B, quese cruzam Na rua A foram colocadas 36 lampadas e na
rua B 30 lampadas. Quantas lâmpadas foram instaladasno cruzamento45678___Yahoo! doce lar. Faça do Yahoo! sua homepage.
http://br.yahoo.com/homepageset.html=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=

Re: [obm-l] Probleminhas

[ricardo.bioni]

2.) Deduza a fórmula do volume de um cone circular reto de altura ' h'
e raio da base ' a', rotacionando a região limitada pelo triângulo
retângulo em torno de um dos catetos.Poderíamos desenhar o triângulo retângulo deitado no primeiro quadrante, com um dos catetos à direita e outro no eixo x e sua ponta na origem, podemos notar que a hipotenusa tem equação y = (a/h)x no domínio [0;h] e um de seus catetos tem equação y = 0 no domínio [0;h] estando assim no eixo x.
Logo, basta usarmos V = (sinal da integral)(limite inferior 0 e limite superior h){[(a/h)x]^2}dxChegaremos à fórmula V = [pi*(a^2)*h]/3

[obm-l] Probleminhas

[Alexandre Bastos]

Boa noite, amigos. Alguém pode me ajudar com estas questões?1.) Ache o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo x, da região limitada pela curvacuja equação é: (x^2 + y^2)^2 = 18xy2.) Deduza a fórmula do volume de um cone circular reto de altura ' h' e raio da base ' a', rotacionando a região limitada pelo triângulo retângulo em torno de um dos catetos.3.) Ache o comprimento do arco da curva x^2/3 + y^2/3 = a^2/3, onde a = constante e  1, no 1º quadrante, do ponto onde x=1 ao ponto onde x=a4.) Ache o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo y, da região limitada pela curva y = senx, pelo eixo x e pelas retas x=o e y=îi (pi).   Grato pela atenção dos senhores.Alexandre Bastos
		 
Yahoo! doce lar. Faça do Yahoo! sua homepage.

[obm-l] probleminhas

[elton francisco ferreira]

Dois terços do orçamento familiar de uma família de
classe  média são gastos com os itens de alimentação e
educação. Se em 2002 os gastos dessa família chegavam
a cifra de 40.720;00 em alimentação e educação, seu
gasto total, nesse ano foi:

60.000
62.000
61.080
63.240
64.000

Dos 1800 componentes eletrônicos comprados por uma
empresa do ramo, uma parte x foi comprado no Brasil
por 6 reais cada um e o restante foi importado por 8
reais cada um.
O custo total da compra foi de 12.500. com base nesse
valos, quantos componentes foram adquiridos no Brasil?

1050
850
950
650
1000

Em um projeto de iluminação publica para minimizar o
consumo de energia elétrica, foram instaladas 62
lampadas de mercúrio para iluminar as ruas A e B, que
se cruzam Na rua A foram colocadas 36 lampadas e na
rua B 30 lampadas. Quantas lâmpadas foram instaladas
no cruzamento

4
5
6
7
8









___ 
Yahoo! doce lar. Faça do Yahoo! sua homepage. 
http://br.yahoo.com/homepageset.html 

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] RE: [obm-l] Probleminhas faceis que não saio..

[saulo bastos]

sen(x-110)=sen(x-90-20)=sen-((20-x)+90)=-sen((20-x)+90)=-cos(20-x)=p
logo
cos(20-x)=-p
From: [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br
CC: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] Probleminhas faceis que não saio..
Date: Sun, 20 Feb 2005 11:01:49 EST
1)
Sen(x-110º) = p, o valor de cos (20-x) é:
a) p b)- p c ) p/2 d) 0 e ) 1
2)
Se x E |R  a equação :
tg2k x tg3k =1
tem quantas soluções no intervalo [ 0, 2pi]
a) 5 b) 6 c) 8 d) 9 e) 10
3)
F(x) = senx - sen11x/ sen 14x + sen2x  calcule f(pi/13)
a) -1 b) 1 c) 0 d) 1/2
abços
Junior
_
MSN Messenger: converse online com seus amigos .  
http://messenger.msn.com.br

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] Probleminhas faceis que não saio..

[SiarJoes]

1)
Sen(x-110º) = p, o valor de cos (20-x) é:

a) p b)- p c ) p/2 d) 0 e ) 1

2)
Se x E |R a equação :

tg2k x tg3k =1


tem quantas soluções no intervalo [ 0, 2pi]

a) 5 b) 6 c) 8 d) 9 e) 10

3)
F(x) = senx - sen11x/ sen 14x + sen2x calcule f(pi/13)

a) -1 b) 1 c) 0 d) 1/2

abços
Junior

[obm-l] Re:[obm-l] Probleminhas faceis que não saio..

[bbonagura]

1)Sen(x-110º) = p, o valor de cos (20-x) é:
cos(20º-x) = cos(x - 20º) = sin[90º - (x - 20º)] = sin[90º - x + 20º] = sin(x - 110º)= p

Re: [obm-l] Re:[obm-l] Probleminhas faceis que n ão saio..

[SiarJoes]

Em um e-mail de 20/2/2005 14:28:02 Hora oficial do Brasil, [EMAIL PROTECTED] escreveu:

1)
Sen(x-110º) = p, o valor de cos (20-x) é:


cos(20º-x) = cos(x - 20º) = sin[90º - (x - 20º)] = sin[90º - x + 20º] = sin(x - 110º) = p




A resposta é letra b. "-p".

abços
Junior

Re: [obm-l] Re:[obm-l] Probleminhas facei s que n ão saio..

[Bruno Bruno]

Mas o raciocínio está certo, só peca no final.
sin(90 - x + 20) = SIN(110 - X) = -sin(x-110) = -p


On Sun, 20 Feb 2005 15:18:46 EST, [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] wrote:
 Em um e-mail de 20/2/2005 14:28:02 Hora oficial do Brasil,
 [EMAIL PROTECTED] escreveu:
 
 1)
 Sen(x-110º) = p, o valor de cos (20-x) é:
 
 
 cos(20º-x) = cos(x - 20º) = sin[90º - (x - 20º)] = sin[90º - x + 20º] =
 sin(x - 110º) = p
 
 
 
 
 A resposta é letra b. -p.
 
 abços
 Junior

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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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[obm-l] Probleminhas

[Alexandre Bastos]

Boa tarde, galera. Sem querer incomodar, mas já incomodando

1 - Seja P o conjunto cujos elementos são os números inteiros positivos com cinco dígitos obtidos com as permutações dos algarismos 2, 3, 4, 8 e 9. Sepusermos os elementos de P em ordem crescente, o número 43928 ocuparia que posição?

2 - Se o número 2 é uma raíz de multiplicidade dois da equação ax^3+bx+16=0, então o valor de a+b é:

3 - Se -1 é raíz da equação 3x^2+bx+c=0, onde b e c são inteiros positivos e primos, então a outra raíz será igual a:

4 - um cubo de madeira, cuja aresta mede 4cm, está pintado de azul. Realizam-se cortes paralelos 'as faces dividindo-o em 64 cubinhos cada um deles com aresta medindo 1cm. A quantidade destes cubinhos que tem exatamente duas faces azuis é:

5 - A equação da circunferência inscrita no triângulo retângulo cujos catetos estão sobre os eixos coordenados no plano cartesiano e a hipotenusa está sobre a reta 4x-3y+4=0 é:

6 - Para os números complexos z=3+4i e w=4-3i, a soma z/w+w/z é:

Valeu, turma.
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Re: [obm-l] Probleminhas

[Felipe Sardinha]

Caro colega Alexandre,

Vou tentar te dar uma maozinha aqui... Blz ?!

--Questao 2--

P(x) = ax³ + bx + 16

Através das relacoes de Girard, concluímos que a soma das raízes eh 0. Certo ?!
x1 + x2 + x3 = 0
(2) + (2) + x3 = 0
x3 = -4. (Achamos, entao, a terceira raiz da equacao).

Novamente, pela relacao de Girard, vemos que o produto das 3 raízes é -16/a.

x1.x2.x3 = -16/a
(2)(2)(-4) = -16/a = a = 1

P(2) = 0= 8 + b(2) + 16 = 0
2b = -24 = b = -12

a+b = -11. 
-

-- Questão 3 --

P(x) = 3x² + bx + c
P(-1) = 0 = 3(-1)² + b(-1) + c = 0
b - c = 3 (Blz ? )

Agora pense comigo e corrija-me se estiver errado:
O problema diz que b e c sao inteiros e primos,e sabemos queo único número primo positivo que nao é impar é o número 2. Certo ?!
Entao, para que a diferenca entre dois números primos e positivos resultar no número 3 ( ímpar ), só podemos obter isso com o c valendo 2. Nao concorda ?! Pois para quaisquer valores de b e c primos e positivos(com c diferente de 2) resultaria em um número par. Certo ?!
Assim, concluímos que c = 2.

Entao, b - c = 3. == b = 5.

P(x) = 3x² + 5x + 2.

E agora, com a supimpa fórmula de Bhaskara,
vemos que as raízes são -1 e -2/3.

x1 = (-5-sqrt(25-24))/6 = -1
x2 = (-5+sqrt(25-24))/6 =-2/3.

Bem, espero de coração ter ajudado.Então é isso aí.

Aquele abraço a todos da lista,
Felipe Marinho de O. SardinhaAlexandre Bastos [EMAIL PROTECTED] wrote:

Boa tarde, galera. Sem querer incomodar, mas já incomodando

1 - Seja P o conjunto cujos elementos são os números inteiros positivos com cinco dígitos obtidos com as permutações dos algarismos 2, 3, 4, 8 e 9. Sepusermos os elementos de P em ordem crescente, o número 43928 ocuparia que posição?

2 - Se o número 2 é uma raíz de multiplicidade dois da equação ax^3+bx+16=0, então o valor de a+b é:

3 - Se -1 é raíz da equação 3x^2+bx+c=0, onde b e c são inteiros positivos e primos, então a outra raíz será igual a:

4 - um cubo de madeira, cuja aresta mede 4cm, está pintado de azul. Realizam-se cortes paralelos 'as faces dividindo-o em 64 cubinhos cada um deles com aresta medindo 1cm. A quantidade destes cubinhos que tem exatamente duas faces azuis é:

5 - A equação da circunferência inscrita no triângulo retângulo cujos catetos estão sobre os eixos coordenados no plano cartesiano e a hipotenusa está sobre a reta 4x-3y+4=0 é:

6 - Para os números complexos z=3+4i e w=4-3i, a soma z/w+w/z é:

Valeu, turma.


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Re: [obm-l] Probleminhas

[Qwert Smith]

Caro colega Alexandre,
Vou tentar te dar uma maozinha aqui... Blz ?!
--Questao 2--
P(x) = ax³ + bx + 16
Através das relacoes de Girard, concluímos que a soma das raízes eh 0. 
Certo ?!

x1 + x2 + x3 = 0
(2) + (2) + x3 = 0
x3 = -4.   (Achamos, entao, a terceira raiz da equacao).
Novamente, pela relacao de Girard, vemos que o produto das 3 raízes é 
-16/a.

x1.x2.x3 = -16/a
(2)(2)(-4) = -16/a=   a = 1
P(2) = 0 = 8 + b(2) + 16 = 0
2b = -24 =  b = -12
Aki vc podia ter usado novamente a relacao de Girard
b/a = b = (2*-4) + (2*-4) + (2*2) = -12
a+b = -11.
-
 -- Questão 3 --
ta ok... so cortei pra incurtar o email
1 - Seja P o conjunto cujos elementos são os números inteiros positivos com 
cinco dígitos obtidos com as permutações dos algarismos 2, 3, 4, 8 e 9. Se 
pusermos os elementos de P em ordem crescente, o número 43928 ocuparia que 
posição?

4 eh o terceiro em order crescente logo exixtem 2*4! numeros menores ki 
4

3 eh o segundo em order crescente dentre os numeros ki faltam
logo exixtem 1*3! numeros menores ki 43000 e maiores ki 4
9 eh o terceiro em order crescente dentre os numeros ki faltam
logo exixtem 2*2! numeros menores ki 43900 e maiores ki 43000
2 eh o primeiro em order crescente dentre os numeros ki faltam
logo nao exitem numeros menores ki 43920 e maiores ki 43900
2*4! + 1*3! + 2*2! = 48 + 6 + 4 = 58 numeros menores ki 43928
ou 43928 eh o quinquagesimo-nono numero dentre as combinacoes possiveis
2 - Se o número 2 é uma raíz de multiplicidade dois da equação 
ax^3+bx+16=0, então o valor de a+b é:

veja resposta do Felipe acima
3 - Se -1 é raíz da equação 3x^2+bx+c=0, onde b e c são inteiros positivos 
e primos, então a outra raíz será igual a:
veja resposta do Felipe
4 - um cubo de madeira, cuja aresta mede 4cm, está pintado de azul. 
Realizam-se cortes paralelos 'as faces dividindo-o em 64 cubinhos cada um 
deles com aresta medindo 1cm. A quantidade destes cubinhos que tem 
exatamente duas faces azuis é:
as arestas do cubo unem 2 planos, os vertices 3... como dividimos cada 
aresta em 4, as
2 partes do meio sao cubos com 2 faces pintadas.  Um cubo tem 12 arestas 
entao
12*2 = 24 cubinhos

Leva a mal nao mas 5 e 6 vou deixar pra depois... ja sao 8:15 e tenho ki 
ralar

_
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[obm-l] probleminhas...

[Marlen Lincoln Silva]

 
 Por favor, uma ajudinha neste problema em queme enrolei... 
Prove que quaisquer que sejam os números a e b, mdc (a,b) x mmc (a,b) = ax bMSN Messenger: converse com os seus amigos online.  Instale grátis. Clique aqui.  
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Re: [obm-l] probleminhas...

[Rafael]

Marlen,


Eu me enrolei exatamente com esse problema no mês passado. Leia:

http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.200403/msg00252.html

Aí você vai encontrar a demonstração do Cláudio, incrivelmente clara!


Um forte abraço,

Rafael de A. Sampaio





- Original Message -
From: Marlen Lincoln Silva
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Saturday, April 03, 2004 11:46 PM
Subject: [obm-l] probleminhas...



Por favor, uma ajudinha neste problema em que me enrolei...
Prove que quaisquer que sejam os números a e b, mdc (a,b)  x  mmc (a,b) = a
x b



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[obm-l] Probleminhas

[Patrick Passos]

Será q alguem poderia dar uma maozinha nesses dois problemas de derivada?

Um deseja saber a equação da reta tangente em p, f(x)= sen x, para p=0.
E o outro e uma aplicação de propriedade para calcular a primeira 
 x
derivada da função f(x)= x * e * cos x
OEé elevado a X.

Bem, Obrigado novamente.. T+Yahoo! Mail 
Mais espaço, mais segurança e gratuito: caixa postal de 6MB, antivírus, proteção contra spam.

Re: [obm-l] Probleminhas

[Fábio \ctg \\pi\ Dias Moreira]

-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE-
Hash: SHA1

Em Qua 25 Jun 2003 17:40, Patrick Passos escreveu:
 Será q alguem poderia dar uma maozinha nesses dois problemas de derivada?

 Um deseja saber a equação da reta tangente em p, f(x)= sen x, para p=0.
 [...]

A derivada de sen(x) é cos(x). Logo a inclinação da reta tangente ao gráfico 
de f(x) em p é cos(p). Como p=0, cos(p) = cos(0) = 1, logo a reta tem 
inclinação 1 e passa pelo ponto (p, sen(p)) = (0, sen(0)) = (0, 0), logo a 
reta possui equação x = y.

 [...]
 E o outro e uma aplicação de  propriedade para calcular a primeira
   x
 derivada da função f(x)= x * e   * cos x
 O E é elevado a X.
 [...]

Uma notação bastante comum para a exponenciação é escrever a^b como a elevado 
à b-ésima potência.

(f(x)*g(x))' = f'(x)*g(x) + f(x)*g'(x).

[]s,

- -- 
Fábio ctg \pi Dias Moreira
-BEGIN PGP SIGNATURE-
Version: GnuPG v1.0.6 (GNU/Linux)
Comment: For info see http://www.gnupg.org

iD8DBQE++lXualOQFrvzGQoRAlM2AJ0Xt7gmBG5b9EnMcic3k9g0O9gYGwCfYDmO
XeDcNNM9OAVP15k10cCPeQY=
=AA0U
-END PGP SIGNATURE-

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Re: [obm-l] Probleminhas legais

[Domingos Jr.]

 1. O produto de alguns primos é igual a 10 vezes  a soma desses primos.
 Quais são esses primos( não necessariamente distintos)?

sejam p1, p2 ... p[n] tais primos:

(p1 + p2 + ... + p[n]).2.5 = p1.p2.p3...p[n]
assuma sem perda de generalidade então que p1 = 2 e p2 = 5 já que esses dois
primos devem aparecer em ambos os lados.
7 + p3 + p4 + ... + p[n] = p3.p4...p[n]
2 + 3 = 5  2 * 3 = 6
tome r, s = 0 inteiros
(2 + r) + (3 + s) = 5 + r + s
(2 + r).(3 + s) = 6 + r*s + 3r + 2s
é evidente que (2 + r) + (3 + s)  (2 + r).(3 + s)
isso nos demonstra a idéia intuitiva de que o produto de dois primos que não
sejam 2 e 2 é maior que a soma desses mesmos primos!
essa idéia segue para um número maior de fatores também:
2 + 2 + 2 + ... + 2 = k*2
2*2*2...*2 = 2^k
k*2  2^k para todo k  2
sejam r1, r2, ... rk = 0 inteiros e pelo menos um k[i] = 1
(2 + r1)(2 + r2)...(2 + rk)  2^k + r1 + r2 + ... + rk  2*k + r1 + r2 + ...
+ rk = (2 + r1) + (2 + r2) + ... + (2 + rk)

sendo assim, como
7 + 2 + 2 + 2 + 2 = 15  2^4 = 16
não deve haver mais do que 4 primos além de p1 e p2
7 + 2 + 2 + 2 + 3 = 16  2^3*3 = 24, logo não há mais do que 3 primos além
de p1 e p2
7 + 2 + 2 + 3 = 14 != 2*2*3 = 12
7 + 2 + 3 + 3 = 15  2*3*3 = 18, logo não há mais do que 2 primos além de p1
e p2, mas obviamente com 1 primo só eu nunca vou ter 7 + p3 = p3, logo se
existe solução ela possui exatamente 4 primos
7 + 2 + 3 = 12 != 2*3 = 6
7 + 3 + 3 = 13 != 3*3 = 9
7 + 2 + 5 = 14 != 2*5 = 10
7 + 3 + 5 = 15 == 3*5
essa é a única solução, pois, como vimos, para r1, r2 = 0, (3 + r1).(5 +
r2) = 3 + 5 + r1 + r2 = r1 = r2 = 0

logo
2.3.5.5 = 150 = 10(2 + 3 + 5 + 5)

[ ]'s

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Re: [obm-l] Probleminhas legais

[Domingos Jr.]

 2. Considere f:Q - Q tal que f(x + f(y)) = f(x).f(y) para todo x,y
pertencentes
 a Q. Prove que f é constante.

seja f : Q - Q
f(x + f(y)) = f(x).f(y)


i) suponha que existe x0 tq. f(x0) = 0
f(a + f(x0)) = f(a + 0) = f(a)
f(a + f(x0)) = f(a).f(x0) = f(a).0 = 0
logo f(a) = 0 para todo a, sendo assim, f(x) = 0, logo f é constante

ii) suponha que existe y0 tq. f(y0) = 1
f(x + f(y0)) = f(x).f(y0) ou seja f(x + 1) = f(x) para todo x
f(y0 + f(x)) = f(y0).f(x) = f(x)
f(n.y0 + f(x)) = f(x) para todo n = 1 inteiro
seja f(x0) = a != 1
f(n.y0 + a) = f(x0) = a

suponha y0 = u/v com u, v inteiros
f(v.y0 + a) = f(u + a) = a
mas f(u + a) = f(u - 1 + a) = ... = f(a)
f(a) = a
f(a + f(a)) = f(a).f(a) = f(a)² = a^2
f(n.a) = a^n para n = 1 inteiro
se a = w/z com w, z inteiros
f(z.a) = f(w) = a^z
f(2z.a) = f(2w) = a^(2z), mas f(2w) = f(2w - 1) = ... = f(w)
logo a^z = a^(2z) = a^z = 1 = a = 1 (pois z != 0), mas a != 1 logo f(x) =
1.

seja f(0) = c != 0 (estamos excluindo o caso i)

seja n = 1 inteiro:
f(x + n.f(y)) = f(x + (n-1).f(y) + f(y)) = f(x + (n-1).f(y)).f(y)
ou seja:
f(x + n.f(y)) = f(x).f(y)^n

seja y0 tq. f(y) = a/b != 0
f(-a + b.f(y)) = f(-a).f(y)^b
f(-a + b.(a/b)) = f(0) = c = f(-a).(a/b)^b

f(-a) = c.(b/a)^b

mas f(y) = (m.a)/(m.b) para qualquer inteiro m != 0, logo
f(-a) = c(m.b/m.a)^(m.b) = c.(b/a)^(m.b)
logo:
c.(b/a)^b = c.(b/a)^(2b) = c.(b/a)^(3b) = ...
como c != 0 e b/a != 0
c.(b/a)^(2b) = c.(b/a)^b.(b/a)^b = c.(b/a)^b
(b/a)^b = 1
logo b/a = 1 e f(y) = 1, caímos no caso (ii), logo f é constante!

[ ]'s

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[obm-l] Probleminhas legais

[ciceroth]

Ola amigos da lista,

Como carnaval é uma época de resolver problemas então vou mandar uns problemas
que tentei resolver nesse carnaval.

1. O produto de alguns primos é igual a 10 vezes  a soma desses primos.
Quais são esses primos( não necessariamente distintos)?
2. Considere f:Q - Q tal que f(x + f(y)) = f(x).f(y) para todo x,y pertencentes
a Q. Prove que f é constante.
Cícero Thiago



--
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