Re: [obm-l] Quadrados perfeitos

[Pedro José]

Boa dia!
Para 11n +10^10 ser um quadrado perfeito
se faz necessário que seja da forma
(10^5+a)^2 com a > 0; pois,  n>=1 e a <= [raiz(12)-1*10^5] onde[x]= parts
inteira de x; pois,
(10^5+a)^2 <=11*10^10+10^10
10^5+a <=raiz(12)*10^5
a <= (raiz(12)-1)*10^5
Temos também que 11| 2*10^5a +a^2; pois, (10^5+a)^2=
10^10+2*10^5*a+a^2=10^10 +11*n
10^5=-1mod11 então:
-2a +a^2=0 mod11; a(a-2)=0 mod11.
Como 11 é primo a=2 ou a=0 mod11.
Agora é só contar quantos temos.
n11=[[(raiz(12)-1)*10^5]/11]=22.400
n2=[([(raiz(12)-1)*10^5]-2)/11)]=22400
Nt=44.800
Saudações,
PJMS

Em qua, 27 de nov de 2019 20:36, Esdras Muniz 
escreveu:

> Percebi agora que tô errado. Desculpa.
>
> Em qua, 27 de nov de 2019 19:22, Esdras Muniz 
> escreveu:
>
>> Pensei assim, o 10^10= (10^5)^2 é qp, daí, (10^5+1)^2, (10^5+2)^2, ...,
>> [Sqrt{12×10^5}] são só quadrados que queremos contar.
>>
>> Estou usando [x] para demorar a parte interna de x.
>>
>> Em qua, 27 de nov de 2019 15:30, Caio Costa 
>> escreveu:
>>
>>> 10^5([sqrt{2}]-1) ??
>>>
>>>
>>> Em qua., 27 de nov. de 2019 às 13:41, Esdras Muniz <
>>> esdrasmunizm...@gmail.com> escreveu:
>>>
 10^5([sqrt{12}]-1)

 Em qua, 27 de nov de 2019 08:57, marcone augusto araújo borges <
 marconeborge...@hotmail.com> escreveu:

> Seja n E N tal que 1 < = n < = 10^10. Quantos  números M = 11n +
> 10^10  são quadrados perfeitos?
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

 --
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>>>
>>>
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>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
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> acredita-se estar livre de perigo

-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Quadrados perfeitos

[Esdras Muniz]

Percebi agora que tô errado. Desculpa.

Em qua, 27 de nov de 2019 19:22, Esdras Muniz 
escreveu:

> Pensei assim, o 10^10= (10^5)^2 é qp, daí, (10^5+1)^2, (10^5+2)^2, ...,
> [Sqrt{12×10^5}] são só quadrados que queremos contar.
>
> Estou usando [x] para demorar a parte interna de x.
>
> Em qua, 27 de nov de 2019 15:30, Caio Costa 
> escreveu:
>
>> 10^5([sqrt{2}]-1) ??
>>
>>
>> Em qua., 27 de nov. de 2019 às 13:41, Esdras Muniz <
>> esdrasmunizm...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> 10^5([sqrt{12}]-1)
>>>
>>> Em qua, 27 de nov de 2019 08:57, marcone augusto araújo borges <
>>> marconeborge...@hotmail.com> escreveu:
>>>
 Seja n E N tal que 1 < = n < = 10^10. Quantos  números M = 11n + 10^10
 são quadrados perfeitos?
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>> acredita-se estar livre de perigo.
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Re: [obm-l] Quadrados perfeitos

[Esdras Muniz]

Pensei assim, o 10^10= (10^5)^2 é qp, daí, (10^5+1)^2, (10^5+2)^2, ...,
[Sqrt{12×10^5}] são só quadrados que queremos contar.

Estou usando [x] para demorar a parte interna de x.

Em qua, 27 de nov de 2019 15:30, Caio Costa  escreveu:

> 10^5([sqrt{2}]-1) ??
>
>
> Em qua., 27 de nov. de 2019 às 13:41, Esdras Muniz <
> esdrasmunizm...@gmail.com> escreveu:
>
>> 10^5([sqrt{12}]-1)
>>
>> Em qua, 27 de nov de 2019 08:57, marcone augusto araújo borges <
>> marconeborge...@hotmail.com> escreveu:
>>
>>> Seja n E N tal que 1 < = n < = 10^10. Quantos  números M = 11n + 10^10
>>> são quadrados perfeitos?
>>> --
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> acredita-se estar livre de perigo.

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Re: [obm-l] Quadrados perfeitos

[Caio Costa]

10^5([sqrt{2}]-1) ??


Em qua., 27 de nov. de 2019 às 13:41, Esdras Muniz <
esdrasmunizm...@gmail.com> escreveu:

> 10^5([sqrt{12}]-1)
>
> Em qua, 27 de nov de 2019 08:57, marcone augusto araújo borges <
> marconeborge...@hotmail.com> escreveu:
>
>> Seja n E N tal que 1 < = n < = 10^10. Quantos  números M = 11n + 10^10
>> são quadrados perfeitos?
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
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> acredita-se estar livre de perigo.

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Re: [obm-l] Quadrados perfeitos

[Esdras Muniz]

10^5([sqrt{12}]-1)

Em qua, 27 de nov de 2019 08:57, marcone augusto araújo borges <
marconeborge...@hotmail.com> escreveu:

> Seja n E N tal que 1 < = n < = 10^10. Quantos  números M = 11n + 10^10
> são quadrados perfeitos?
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

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[obm-l] Quadrados perfeitos

[marcone augusto araújo borges]

Seja n E N tal que 1 < = n < = 10^10. Quantos  números M = 11n + 10^10  são 
quadrados perfeitos?

-- 
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[obm-l] Quadrados perfeitos

[Carlos Monteiro]

 Dois quadrados perfeitos são ditos amigáveis se um é obtido a partir do
outro acrescentando o dígito 1 à esquerda. Por exemplo, 1225 = 352 e 225 =
152 são amigáveis. Prove que existem infinitos pares de quadrados perfeitos
amigáveis e ímpares.

-- 
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Re: [obm-l] quadrados perfeitos

[Claudio Buffara]

A idéia é chegar numa equação de Pell.

Começamos com 3x^2 - 2y^2 = 1.
Multiplicando por 2: 6x^2 - 4y^2 = 2
Pondo z = 2y: z^2 - 6x^2 = -2

Elevando ao quadrado: (z^2 - 6x^2)^2 = 4 ==> (z^2 + 6x^2)^2 - 24x^2z^2 = 4
  (usando o bom e velho (a-b)^2 = (a+b)^2 - 4ab)
Mas 6x^2 = z^2 + 2 ==> (2z^2 + 2)^2 - 24x^2z^2 = 4
Dividindo por 4: (z^2 + 1)^2 - 6x^2z^2 = 1.
Pondo u = xz e v = z^2 + 1, obtemos: ´
v^2 - 6u^2 = 1.
Esta nós sabemos resolver. É uma equação de Pell, cujas soluções são
obtidas a partir da solução fundamental (u,v) = (2,5), usando-se uma
relação de recorrência na linha do que sugeriu o Anderson:

u(0) = 2v(0) = 5

u(k+1)*raiz(6) + v(k+1) = (u(k)*raiz(6) + v(k))*(2*raiz(6) + 5) ==>

u(k+1) = 5*u(k)  + 2*v(k)
v(k+1) = 12*u(k) + 5*v(k)

As soluções (u,v) são (2,5), (20,49), (198,485), (1960,4801),
(19402,47525), ...

Agora, u = xz = 2xy  e  v = z^2 + 1 = 4y^2 + 1 ==> y = raiz(v - 1)/2   e
 x = u/2y = u/raiz(v - 1)

Os (x,y) correspondentes são:
k = 0: (2,5) <==> (1,1)
k = 2: (198,485) <==> (9,11)
k = 4: (19402,47525) <==> (89,109)
k = 6: (1901198,4656965) <==> (881,1079)
...

Repare que só os (u(k),v(k)) com k par produzem soluções INTEIRAS da
equação original.
Aqueles com k ímpar também produzem soluções (x,y) de 3x^2 - 2y^2 = 1, mas
não são inteiras (nem mesmo racionais).
Isso é porque nós passamos de (x,y) (ou (x,z)) para (u,v) através de uma
transformação quadrática (u = xz  e  v = z^2 - 1)
Ao fazer isso, nós passamos a admitir que x e z pudessem ser, além de
inteiros, irracionais quadráticos tais que xz e z^2 - 1 fossem inteiros.

[]s,
Claudio.


2018-02-15 23:37 GMT-02:00 Anderson Torres :

> Em 15 de fevereiro de 2018 22:02, marcone augusto araújo borges
>  escreveu:
> > Existem infinitos n tais que 2n+1 e 3n+1 são ambos quadrados perfeitos?
> > Claudio encontrou  n = 3960
>
> x^2=2n+1
> y^2=3n+1
>
> 3x^2-2y^2=1
>
> Usando algum truque, como (x*raiz(3) + y*raiz(2)) * (x*raiz(3) -
> y*raiz(2)) = 1, eleva à N-ésima potência e expande, pode-se obter
> outras soluções.
>
> >
> > --
> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> > acredita-se estar livre de perigo.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] quadrados perfeitos

[Anderson Torres]

Em 15 de fevereiro de 2018 22:02, marcone augusto araújo borges
 escreveu:
> Existem infinitos n tais que 2n+1 e 3n+1 são ambos quadrados perfeitos?
> Claudio encontrou  n = 3960

x^2=2n+1
y^2=3n+1

3x^2-2y^2=1

Usando algum truque, como (x*raiz(3) + y*raiz(2)) * (x*raiz(3) -
y*raiz(2)) = 1, eleva à N-ésima potência e expande, pode-se obter
outras soluções.

>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] quadrados perfeitos

[marcone augusto araújo borges]

Existem infinitos n tais que 2n+1 e 3n+1 são ambos quadrados perfeitos?
Claudio encontrou  n = 3960

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] quadrados perfeitos

[Claudio Buffara]

2n + 1 = a^2 ==>
a é ímpar ==>
2n = a^2 - 1 é múltiplo de 8 ==>
2n = 8m ==> n = 4m

3n + 1 = b^2 ==>
12m + 1 = b^2 ==>
b é ímpar ==>
12m = b^2 - 1 é múltiplo de 8 ==>
12m = 8k ==> 3m = 2k ==> m é par ==> n = 4m  é múltiplo de 8  (i)


Agora, precisamos provar que n é múltiplo de 5.

2n + 1 = a^2
3n + 1 = b^2 ==>

Somando e subtraindo estas duas equações, obtemos:
5n + 2 = a^2 + b^2 == 2 (mod 5)
n = b^2 - a^2

Mas os quadrados mod 5 são 0, 1 e 4.
Logo, uma soma de dois quadrados só será congruente a 2 mod 5 se ambos
forem congruentes a 1.
Ou seja a^2 == b^2 == 1 (mod 5) ==> n = b^2 - a^2 == 0 (mod 5) ==> n é
divisível por 5  (ii)

(i) e (ii) ==> n é múltiplo de 40.

***

Além da solução n = 40, eu achei n = 3960 ==> 2n + 1 = 7921 = 89^2  e  3n +
1 = 11881 = 109^2

[]s,
Claudio.


2018-02-14 21:57 GMT-02:00 marcone augusto araújo borges <
marconeborge...@hotmail.com>:

> Se 2n+1 e 3n+1 são quadrados perfeitos, então 40 divide n.
> Não é dificil mostrar.
> Para n = 40, temos 81= 9^2 e 121 = 11^2
> Há outros valores de n tais que 2n +1 e 3n+1 são ambos quadrados?
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
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Re: [obm-l] quadrados perfeitos

[Bianca Gagli]

 blockquote, div.yahoo_quoted { margin-left: 0 !important; border-left:1px 
#715FFA solid !important; padding-left:1ex !important; background-color:white 
!important; }  Não quero mais receber essas mensagens.


Enviado do Yahoo Mail para iPhone


Em quarta-feira, fevereiro 14, 2018, 9:32 PM, marcone augusto araújo borges 
 escreveu:

 #yiv2809240828 P {margin-top:0;margin-bottom:0;}Se 2n+1 e 3n+1 são quadrados 
perfeitos, então 40 divide n.Não é dificil mostrar.Para n = 40, temos 81= 9^2 e 
121 = 11^2Há outros valores de n tais que 2n +1 e 3n+1 são ambos quadrados?
--
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 acredita-se estar livre de perigo.
 


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[obm-l] quadrados perfeitos

[marcone augusto araújo borges]

Se 2n+1 e 3n+1 são quadrados perfeitos, então 40 divide n.
Não é dificil mostrar.
Para n = 40, temos 81= 9^2 e 121 = 11^2
Há outros valores de n tais que 2n +1 e 3n+1 são ambos quadrados?

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Re: [obm-l] Quadrados perfeitos

[Carlos Nehab]

Oi Marconi.
Pq qualquer cara depois do 1444 qdo dividido por 4 dá um ímpar do tipo
36111 e esse ímpar pra ser quadrado de um sujeitinho tb ímpar deveria
deixar resto 1 qdo dividido por 4. E não deixa, pois 36...110 qdo dividido
por 4 deixa resto 2.

Abs
Nehab
Em 15/05/2015 23:47, marcone augusto araújo borges 
marconeborge...@hotmail.com escreveu:

 Mostre que entre os números da forma 14,144,1444,144...4,... os únicos que
 são quadrados perfeitos
 são 144 e 1444

 --
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[obm-l] Quadrados perfeitos

[marcone augusto araújo borges]

Mostre que entre os números da forma 14,144,1444,144...4,... os únicos que são 
quadrados perfeitossão 144 e 1444  
-- 
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[obm-l] Quadrados perfeitos

[marcone augusto araújo borges]

Determine todos os n tais que n! é quadrado perfeito.
Eu diria n = 0 e n = 1.Mas como justificar?
Se n é primo, n! não é quadrado perfeito.
  
-- 
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Re: [obm-l] Quadrados perfeitos

[Marcos Martinelli]

Os casos 0! e 1! são os únicos exemplos em que um fatorial pode ser um
quadrado perfeito.

Vamos considerar N = 2.

Seja {p_i} (i natural) a sequência dos primos. Vamos usar a seguinte
desigualdade (Chebychev): p_(n+1)  2 * p_(n) para todo n natural.

Seja também j natural tal que p_(j) = N  p_(j+1). Assim, vamos ter: p_(j)
= N  p_(j+1)  2 * p(j) = (p(j))^2. Podemos reparar, então, que o piso
de (N / p_(j)) = 1 e ainda que o piso de (N / p_(j)^(alpha)) = 0 para todo
alpha = 2.

A fórmula de Polygnac afirma que o expoente de um primo p_(i) qualquer na
expansão de N! é dado por: somatório_{alpha = 1}^{+ infty} piso((N /
p_(i)^(alpha))). No caso do nosso primo p_(j), esse somatório é unitário.
Assim, N! não pode ser um quadrado perfeito.

-- 
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Re: [obm-l] Quadrados perfeitos

[Artur Steiner]

Sim, se n é primo, n! não é quadrado perfeito. Além disto, se n é primo, então 
n + 1, n + 2 n + n - 1 = 2n - 1 não têm em suas fatorações o fator n. Logo, 
nas decomposições primas dos fatoriais destes números, n aparece com expoente 
1, o que significa que nenhum destes fatoriais é quadrado perfeito. Disto 
concluimos que se um composto está ente um primo p e 2p, então n! não é 
quadrado perfeito.

Mas todo composto está entre um primo p e 2p. Sendo m um composto, seja p o 
maior primo menor que m. Segundo um teorema, há um primo p' tal que p  p'  
2p. Como p é o maior primo menor que m, temos que p  m  p'  2p, mostrando 
que m está entre p e 2p. 

Assim, para nenhum composto n! é quadrado perfeito. E como para n primo também 
não é, segue-se que n! só é quadrado perfeito para n = 0 ou n = 1.

Isto mostra que, para todo n  1, na decomposição de n! em fatores primos, há 
um p que aparece com expoente 1. Assim, na realidade, para n  1, n! não é 
potência inteira   1 de nenhum inteiro. 

Veja se cometi algum engano.

Abraços

Artur



Artur Costa Steiner

 Em 18/12/2014, às 22:59, marcone augusto araújo borges 
 marconeborge...@hotmail.com escreveu:
 
 Determine todos os n tais que n! é quadrado perfeito.
 
 Eu diria n = 0 e n = 1.Mas como justificar?
 
 Se n é primo, n! não é quadrado perfeito.
 
 
 -- 
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
 acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] quadrados perfeitos

[Felipe Sardinha]

Olá Raul e lista,Tive problemas no recebimento durante alguns dias dos emails da lista.  E gostaria saber se alguem postou alguma solução para este problema.Grande abraço,Felipe SardinhaRaul [EMAIL PROTECTED] escreveu:   Boa noite! Encontrar todos os números naturais cujos quadrados se escrevem, na base 10, usando apenas algarismos ímpares. Agradeço soluções. Raul  
		 
Yahoo! Search 
Dê uma espiadinha e saiba tudo sobre o Big Brother Brasil.

Re: [obm-l] quadrados perfeitos

[Ronaldo Luiz Alonso]

Esse problema é bastante difícil. 

Consultando os arquivos, verifiquei que não houve 
resposta.
Vou tentar esboçar alguns caminhos para 
solução.

Primeiro note que oÚLTIMO algarismo do número 
é impar.

Então para algarismos de 1 número temos 
que
--1
--9 
são os únicos 
númerosímpares que satisfazem esse critério.

Ao pesquisar algarismos com dois números, 
verificamos que eles não
existem. OU SEJA não existem algarismos de 2 
números com quadrado perfeito
composto apenas por algarismos ímpares. Vamos 
tentar entender porque:

(10x + y)^2 = 100x^2 + 10xy + 
y^2

onde x e y são dígitos
veja que temos 3 dígitos de modo que para o número 
ter 2 dígitos temos que x = 0.
Neste caso resta apenas y^2. Examinando todos 
os quadrados perfeitos até 100 descobrimos
que não há nenhum número nestas 
condições.

Troque agora x por 10x_1 +x_2 e repita o raciocínio 
acima.
Tentaremos verificar todos os números de 3 dígitos 
que tem quadrado perfeito composto por ímpares.

(10(10x_1 +x_2)+y)^2 = 100(10x_1+x_2)^2 + 10(10x_1 
+x_2) + y^2
 
= 100 (100x_1^2 + 20x_1x_2 + x_2^2) + 100x_1 + 20x_1x_2 +x_2^2 _ 
y_2^2
 
= 1000x_1^2 + 2020x_1x_2 + 100x_1 + (x_2^2 + y_2^2)

Note que se x_2^2 + y_2^2 for um quadrado perfeito 
de dois números então tem que ter os dois 
algarismos ímpares, o que não é possível. 
Também não podem ser de um número pois a combinação
dá par. Então concluímos que x_2^2 + y_2^2 
tem 3 números...

 Não sei se dá para ir adiante com 
essas idéias. 
Prefiro deixar as pessoas mais especialistas como 
Yuzo Shinecriticarem-nas.

Ronaldo L . Alonso




  - Original Message - 
  From: 
  Felipe Sardinha 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Tuesday, March 21, 2006 12:41 
  PM
  Subject: Re: [obm-l] quadrados 
  perfeitos
  
  Olá Raul e lista,Tive problemas no recebimento durante alguns dias 
  dos emails da lista.
  E gostaria saber se alguem postou alguma solução para este 
  problema.Grande abraço,Felipe SardinhaRaul [EMAIL PROTECTED] 
  escreveu:
  



 Boa noite!

 Encontrar todos os números 
naturais cujos quadrados se escrevem, na base 10, usando apenas algarismos 
ímpares.

 Agradeço 
soluções.
 
  
  Raul

  
  
  Yahoo! SearchDê uma espiadinha e saiba tudo sobre o Big 
  Brother Brasil.

Re: [obm-l] quadrados perfeitos

[Raul]

 Pensei na seguinte 
solução:
 Para que o algarismo das 
unidades do quadrado do número seja ímpar, o número deve ser 
ímpar.Podemosrepresentar qualquer natural ímpar como sendo 10a+b, onde a é 
natural e b é ímpar entre 1 e 9.
 (10a + b)^2 = 100a^2 + 20ab + 
b^2
 Vamos verificar a paridade do 
algarismo da dezena:
 - veja que o primeiro termo é 
multiplo de 100, portanto não altera o algarismo da dezena.
 - veja que o segundo termo é um 
número par (2ab) multiplicado por 10, logo só pode gerar um algarismo par para 
dezena.
 - veja que b^2 é o quadrado de 
um ímpar entre 1 e 9, logo deve ser:1, 9, 25, 49 ou 81. Assim sendo ele só pode 
contribiur para dezena adicionando 2, 4 ou 8. Não altera assim o fato da dezena 
ser par.

 Concluímos que todo número ímpar 
elevado ao quadrado possui algarismo da dezena par. Portanto somente há dois 
números naturais cujos quadrados se escrevem utilizando apenas algarismos 
ímpares: 1 e 3. 

 Abraços,

   
Raul

  - Original Message - 
  From: 
  Ronaldo Luiz 
  Alonso 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Tuesday, March 21, 2006 2:46 
  PM
  Subject: Re: [obm-l] quadrados 
  perfeitos
  
  Esse problema é bastante difícil. 
  
  Consultando os arquivos, verifiquei que não houve 
  resposta.
  Vou tentar esboçar alguns caminhos para 
  solução.
  
  Primeiro note que oÚLTIMO algarismo do 
  número é impar.
  
  Então para algarismos de 1 número temos 
  que
  --1
  --9 
  são os únicos 
  númerosímpares que satisfazem esse critério.
  
  Ao pesquisar algarismos com dois números, 
  verificamos que eles não
  existem. OU SEJA não existem algarismos de 
  2 números com quadrado perfeito
  composto apenas por algarismos ímpares. 
  Vamos tentar entender porque:
  
  (10x + y)^2 = 100x^2 + 10xy + 
  y^2
  
  onde x e y são dígitos
  veja que temos 3 dígitos de modo que para o 
  número ter 2 dígitos temos que x = 0.
  Neste caso resta apenas y^2. Examinando 
  todos os quadrados perfeitos até 100 descobrimos
  que não há nenhum número nestas 
  condições.
  
  Troque agora x por 10x_1 +x_2 e repita o 
  raciocínio acima.
  Tentaremos verificar todos os números de 3 
  dígitos que tem quadrado perfeito composto por ímpares.
  
  (10(10x_1 +x_2)+y)^2 = 100(10x_1+x_2)^2 + 
  10(10x_1 +x_2) + y^2
   
  = 100 (100x_1^2 + 20x_1x_2 + x_2^2) + 100x_1 + 20x_1x_2 +x_2^2 _ 
  y_2^2
   
  = 1000x_1^2 + 2020x_1x_2 + 100x_1 + (x_2^2 + y_2^2)
  
  Note que se x_2^2 + y_2^2 for um quadrado 
  perfeito de dois números então tem que ter os dois 
  algarismos ímpares, o que não é possível. 
  Também não podem ser de um número pois a combinação
  dá par. Então concluímos que x_2^2 + y_2^2 
  tem 3 números...
  
   Não sei se dá para ir adiante com 
  essas idéias. 
  Prefiro deixar as pessoas mais especialistas como 
  Yuzo Shinecriticarem-nas.
  
  Ronaldo L . Alonso
  
  
  
  
- Original Message - 
From: 
Felipe Sardinha 
To: obm-l@mat.puc-rio.br 
Sent: Tuesday, March 21, 2006 12:41 
PM
Subject: Re: [obm-l] quadrados 
perfeitos

Olá Raul e lista,Tive problemas no recebimento durante alguns dias 
dos emails da lista.
E gostaria saber se alguem postou alguma solução para este 
problema.Grande abraço,Felipe SardinhaRaul [EMAIL PROTECTED] 
escreveu:

  
  

   Boa noite!
  
   Encontrar todos os números 
  naturais cujos quadrados se escrevem, na base 10, usando apenas algarismos 
  ímpares.
  
   Agradeço 
  soluções.
   

Raul
  


Yahoo! SearchDê uma espiadinha e saiba tudo sobre o Big 
Brother Brasil.
  
  

  No virus found in this incoming message.Checked by AVG Free 
  Edition.Version: 7.1.385 / Virus Database: 268.2.6/287 - Release Date: 
  21/3/2006

[obm-l] quadrados perfeitos

[Raul]

 Boa noite!

 Encontrar todos os números 
naturais cujos quadrados se escrevem, na base 10, usando apenas algarismos 
ímpares.

 Agradeço soluções.
 
  
  Raul

Re: [obm-l] quadrados perfeitos(o que e Ferrari?)

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

Mas que e Ferrari alem de um carro de luxo?Se for aquele de quarto grau acho que nao da pois nem sempre e garantia de soluçoes bonitinhas.
Wagner [EMAIL PROTECTED] wrote:





Ola para todos!

Seja a^2+4b = (a+c)^2 = a^2+2ac+c^2 = b = (c^2+2ac)/4 = b^2+4a = (c^4 + 4a(c^3) + 4(a^2)(c^2) + 64a)/16 ( I).
Logo os valores de (a,b) válidos são os que satisfazem (a+c) inteiro e (c^4 + 4a(c^3) + 4(a^2)(c^2) + 64a) quadrado perfeito.

É necessário decompor ( I ) em fatores de 1º grau, o que pode ser feito pelo método de Ferrari e a partir desses fatores, fazer novas deduções.


André T.


- Original Message - 
From: Marcelo Souza 
To: [EMAIL PROTECTED] 
Sent: Friday, November 29, 2002 2:26 PM
Subject: [obm-l] quadrados perfeitos


1. Para quais valores de (a,b), temos que (a^2+4b) e (b^2+4a) são ao mesmo tempo quadrados perfeitos?
valeu
[]'s, Marcelo

MSN 8 helps ELIMINATE E-MAIL VIRUSES. Get 2 months FREE*. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>=TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQUE POTIRE
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Re: [obm-l] quadrados perfeitos

[Carlos Victor]

Olá ,
Esta questão é de uma Olimpíada
Asiática de 99 e cuja solução
se encontra em 
http://www.kalva.demon.co.uk/apmo/asoln/asol994.html
[]´s Carlos Victor


At 15:00 1/12/2002 -0200, Wagner wrote:
Oi
pessoal ! 

 Não consegui chegar a uma
resposta, mas consegui perceber alguns detalhes que ajudam a reduzir as
possibilidades de valores para (a,b).
 
Primeiro temos que (a,b) devem ser inteiros e
que se um nº for impar, o outro será par não divisível por 4, logo se
|a|,|b|  2 implica que a e b não podem ser simultaneamente
primos.
Também percebi que se para (a,b) temos (a^2+4b)
e (b^2+4a) quadrados perfeitos, não temos isso para (ax,bx), x inteiro
diferente de 1,0 ou -1.

André T.


- Original Message - 
From: Marcelo
Souza 
To:
[EMAIL PROTECTED] 
Sent: Friday, November 29, 2002 2:26 PM
Subject: [obm-l] quadrados perfeitos

1. Para quais valores de (a,b), temos que (a^2+4b) e (b^2+4a) são ao mesmo tempo quadrados perfeitos?
valeu
[]'s, Marcelo


MSN 8 helps ELIMINATE E-MAIL VIRUSES. Get 2 months FREE*. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é =

Re: [obm-l] quadrados perfeitos

[Wagner]

Ola para todos!

Seja a^2+4b = (a+c)^2 = a^2+2ac+c^2 = b = 
(c^2+2ac)/4 = b^2+4a = (c^4 + 4a(c^3) + 4(a^2)(c^2) + 64a)/16 ( 
I).
Logo os valores de (a,b) válidos são os que 
satisfazem (a+c) inteiro e (c^4 + 4a(c^3) + 4(a^2)(c^2) + 64a) quadrado 
perfeito.

É necessário decompor ( I ) em fatores de 1º grau, 
o que pode ser feito pelo método de Ferrari e a partir desses fatores, fazer 
novas deduções.


André T.


  - Original Message - 
  From: 
  Marcelo Souza 
  To: [EMAIL PROTECTED] 
  Sent: Friday, November 29, 2002 2:26 
  PM
  Subject: [obm-l] quadrados 
perfeitos
  
  
  1. Para quais valores de (a,b), temos que (a^2+4b) e (b^2+4a) são ao 
  mesmo tempo quadrados perfeitos?
  valeu
  []'s, Marcelo
  
  MSN 8 helps ELIMINATE E-MAIL 
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  Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html 
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[obm-l] quadrados perfeitos

[Marcelo Souza]

1. Para quais valores de (a,b), temos que (a^2+4b) e (b^2+4a) são ao mesmo tempo quadrados perfeitos?
valeu
[]'s, MarceloMSN 8 helps ELIMINATE E-MAIL VIRUSES. Get 2 months FREE*.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>
=

Re: [obm-l] quadrados perfeitos

[Luis Lopes]

Sauda,c~oes,

Tive problemas para enviar esta mensagem.
Mando-a em separado e junto com a outra
do assunto original em reply.

Este problema caiu no 61o Concurso Putnam.Acho que 
corresponde ao ano 2000.

Não me lembrava mais que o prof. Rousseau havia memandado 
a solução deste problema.

Aí vai ela:

SIXTY-FIRST ANNUALWILLIAM LOWELL PUTNAM 
COMPETITION


{\bf Probem A2.} Prove that there exist infinitely many 
integers

$n$ such that $n, n+1$, and $n+2$ are each the sum of two 
squares.

Example: $0 = 0^2 + 0^2; 1 = 0^2 + 1^2; 2 = 1^2 + 
1^2.

{\bf Solution.} For completeness, we first prove the 
following
well-known fact.

{\sc Lemma.} If $m$ and $n$ are each the sum of two squares, 
then
so is $mn$. More generally, if $m_1, m_2, \ldots, m_k$ are 
each
the sum of two squares, then so is $m_1m_2\cdots 
m_k$.

\begin{proof} Suppose $m = a^2 + b^2$ and $n = c^2 + 
d^2$.

Then

\[

mn =(ac - bd)^2 + (ad + bc)^2.

\]

Having proved the result for $k = 2$, the general result 
follows
by an obvious use of mathematical induction.

\end{proof}

Suppose $k$ and $k+1$ are each the sum of two squares, and 
set
$n = (2k+1)^2 - 1 = 4k(k+1)$. 

Since $4 = 2^2 + 0^2$, $k$, and $k+1$ are 
each the sum of two squares, the lemma shows
that $n$ is the sum of two squares. Also 
$n+1 = (2k+1)^2 + 0^2$ and 
$n+2 =(2k+1)^2 + 1^2$ are each the 
sum of two squares. Clearly $n  k$.

The fact that there are infinitely many triples $(n,n+1,n+2)$ where each member is
the sum of two squares follows inductively.

[]'s

Luís

Re: [obm-l] quadrados perfeitos

[Paulo Jose B. G. Rodrigues]

Alguém poderia me ajudar nessa kestão:
Prove q existem infinitos numeros naturais 
x,x+1,x+2 (3 numeros consecutivos) tais q cada um é a soma de dois quadrados 
perfeitos.
ex: 0²+0²=0 0²+1²=1 1²+1²=2.
até agora eu só consegui provar q x é multiplo de 
4... alguém pode pode ajudar?

  
  Umasolução para essa questão foi publicada 
  em Fortaleza na Coluna Olimpíada de Matemática do Jornal O Povo:
  

Re: [obm-l] quadrados perfeitos

[Hugo Iver Vasconcelos Goncalves]

a figura nao chegou aki...

  - Original Message - 
  From: 
  Paulo Jose 
  B. G. Rodrigues 
  To: [EMAIL PROTECTED] 
  Sent: Wednesday, March 13, 2002 8:57 
  AM
  Subject: Re: [obm-l] quadrados 
  perfeitos
  
  Alguém poderia me ajudar nessa 
  kestão:
  Prove q existem infinitos numeros naturais 
  x,x+1,x+2 (3 numeros consecutivos) tais q cada um é a soma de dois quadrados 
  perfeitos.
  ex: 0²+0²=0 0²+1²=1 1²+1²=2.
  até agora eu só consegui provar q x é multiplo de 
  4... alguém pode pode ajudar?
  

Umasolução para essa questão foi 
publicada em Fortaleza na Coluna Olimpíada de Matemática do Jornal O 
Povo:

[obm-l] quadrados perfeitos

[Hugo Iver Vasconcelos Goncalves]

Alguém poderia me ajudar nessa kestão:
Prove q existem infinitos numeros naturais 
x,x+1,x+2 (3 numeros consecutivos) tais q cada um é a soma de dois quadrados 
perfeitos.
ex: 0²+0²=0 0²+1²=1 1²+1²=2.
até agora eu só consegui provar q x é multiplo de 
4... alguém pode pode ajudar?

[]´s hugo