Res: [obm-l] russia 1999
Agora sim. Entendi. Idéia que o Nicolau usou realmente foi bastante artificial! Bom, valeu Mauricio, desculpe o incômodo. Um abraço. - Mensagem original De: Maurício Collares [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Domingo, 1 de Julho de 2007 11:14:58 Assunto: Re: [obm-l] russia 1999 Tome inicialmente t = -1/2 e a = 1/2. Temos, pela desigualdade que o Nicolau enunciou, que: c(-1,1/2) c(-1, 0) c(-1/2, 0) A segunda dessas desigualdades vai ser usada. Se colocarmos agora t = -1/4 e a = 1/4: c(-1/2, -1/4) c(-1/2, 0) c(-1/4, 0) ou seja, obtemos c(-1,0) c(-1/2,0) c(-1/4, 0) c(-1/8, 0) ..., se continuarmos com valores de t e a apropriados indefinidamente. Por outro lado, colocando t = 1/2 e a = 1/2, temos c(0,1/2) c(0,1) c(1/2, 1) Para t = 1/4 e a = 1/4, temos: c(0, 1/4) c(0, 1/2) c(1/4, 1/2) Ou seja, conseguimos ... c(0, 1/4) c(0, 1/2) c(0, 1) se continuarmos o procedimento indefinidamente. Mas, colocando t = 0 e a = 1, temos: c(-1, 0) c(-1, 1) c(0, 1) Agora, colocando t = 0 e a = 1/2: c(-1/2, 0) c(-1/2, 1/2) c(0,1/2). Ou seja, se continuarmos indefinidamente, temos que as desigualdades encaixam (c(-1/2,0) c(0,1/2), mas pela desigualdades anteriores, c(-1, 0) c(-1/2, 0) e c(0, 1/2) c(0, 1). Logo c(-1, 0) c(-1/2, 0) c(0, 1/2) c(0,1)). Talvez tenha um jeito mais fácil de visualizar isso, mas foi assim que eu entendi. -- Abraços, Maurício On 7/1/07, Klaus Ferraz [EMAIL PROTECTED] wrote: Só não entendi como que a partir da desigualdade c(t-a,t) c(t-a,t+a)c(t,t+a) ele chegou que: c(-1,0) c(-1/2,0) c(-1/4,0) c(-1/8,0) ... ... c(0,1/8) c(0,1/4) c(0,1/2) c(0,1). Vlw. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Novo Yahoo! Cadê? - Experimente uma nova busca. http://yahoo.com.br/oqueeuganhocomisso
Re: Res: [obm-l] russia 1999
Normalmente eu não mando mensagens só para agradecer, mas eu acho que realmente devo agradecer ao Mauricio pela paciência que ele teve em explicar a minha solução enquanto eu não estava por aqui! Valeu! []s, N. On Mon, Jul 02, 2007 at 04:08:22AM -0700, Klaus Ferraz wrote: Agora sim. Entendi. Idéia que o Nicolau usou realmente foi bastante artificial! Bom, valeu Mauricio, desculpe o incômodo. Um abraço. - Mensagem original De: Maurício Collares [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Domingo, 1 de Julho de 2007 11:14:58 Assunto: Re: [obm-l] russia 1999 Tome inicialmente t = -1/2 e a = 1/2. Temos, pela desigualdade que o Nicolau enunciou, que: c(-1,1/2) c(-1, 0) c(-1/2, 0) ... = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] russia 1999
Na desigualdade, o = seria apenas , não? On 6/30/07, Maurício Collares [EMAIL PROTECTED] wrote: On 6/30/07, Danilo Nascimento [EMAIL PROTECTED] wrote: bom ele chamou r=t+a e s=t-a. ficando (f(t+a)+f(t-a))/2f(t). Agora Devemos ter c(t-a,t) c(t-a,t+a) c(t,t+a) se a 0. Que desigualdade eh essa? Imaginando o gráfico fica mais fácil. Estamos supondo que a condição do problema não vale para nenhum par de pontos, logo o ponto (t, f(t)) está abaixo da reta que liga os pontos (t-a, f(t-a)) e (t+a, f(t+a)) (faça o desenho para visualizar melhor). Assim, o coeficiente angular da reta que liga os pontos de abscissas t-a e t+a é *maior* que o coeficiente angular da reta que liga os ponto de abscissas t-a, pois o coeficiente angular da primeira é (f(t+a) - f(t-a))/2a e o da segunda é (f(t) - f(t-a))/a. Assim, usando a desigualdade (f(r)+f(s))/2 f((r+s)/2), temos (lembre que a desigualdade citada está sendo usada porque estamos executando uma prova por contradição): (f(t+a) - f(t-a))/2a = (f(t+a) + f(t-a) - 2f(t-a))/2a = ((f(t+a) + f(t-a))/2 - f(t-a))/a = f(t)/a - f(t-a)/a = (f(t) - f(t-a))/a Isso prova a primeira metade da desigualdade enunciada pelo Nicolau (c(t-a,t) c(t-a,t+a)). Podemos fazer algo similar para a segunda desigualdade, mas, sinceramente, fazer isso algebricamente é apenas um exercício de formalismo: as idéias estão contidas no desenho, e podem ser traduzidas. Se você não conseguir, me avise que eu refaço. Os coeifcientes precisam ser inteiros porque o contradomínio da função é o conjunto Z. Como o coeficiente angular é definido por (delta Y)/(delta X) e temos que o delta Y é inteiro (pois o contradomínio é Z) e o delta X foi escolhido para ser um inverso de inteiro (estes são os 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, ... da mensagem do Nicolau), acabamos concluindo que tal quociente é inteiro. -- Abraços, Maurício = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- Henrique
Re: [obm-l] russia 1999
Sim, é verdade, a desigualdade é realmente estrita. Eu mandei um email corrigindo isso, mas peço desculpas pela confusão. -- Abraços, Maurício On 7/2/07, Henrique Rennó [EMAIL PROTECTED] wrote: = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Res: [obm-l] russia 1999
Só não entendi como que a partir da desigualdade c(t-a,t) c(t-a,t+a)c(t,t+a) ele chegou que: c(-1,0) c(-1/2,0) c(-1/4,0) c(-1/8,0) ... ... c(0,1/8) c(0,1/4) c(0,1/2) c(0,1). Vlw. - Mensagem original De: Maurício Collares [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Sábado, 30 de Junho de 2007 18:03:48 Assunto: Re: [obm-l] russia 1999 On 6/30/07, Danilo Nascimento [EMAIL PROTECTED] wrote: bom ele chamou r=t+a e s=t-a. ficando (f(t+a)+f(t-a))/2f(t). Agora Devemos ter c(t-a,t) c(t-a,t+a) c(t,t+a) se a 0. Que desigualdade eh essa? Imaginando o gráfico fica mais fácil. Estamos supondo que a condição do problema não vale para nenhum par de pontos, logo o ponto (t, f(t)) está abaixo da reta que liga os pontos (t-a, f(t-a)) e (t+a, f(t+a)) (faça o desenho para visualizar melhor). Assim, o coeficiente angular da reta que liga os pontos de abscissas t-a e t+a é *maior* que o coeficiente angular da reta que liga os ponto de abscissas t-a, pois o coeficiente angular da primeira é (f(t+a) - f(t-a))/2a e o da segunda é (f(t) - f(t-a))/a. Assim, usando a desigualdade (f(r)+f(s))/2 f((r+s)/2), temos (lembre que a desigualdade citada está sendo usada porque estamos executando uma prova por contradição): (f(t+a) - f(t-a))/2a = (f(t+a) + f(t-a) - 2f(t-a))/2a = ((f(t+a) + f(t-a))/2 - f(t-a))/a = f(t)/a - f(t-a)/a = (f(t) - f(t-a))/a Isso prova a primeira metade da desigualdade enunciada pelo Nicolau (c(t-a,t) c(t-a,t+a)). Podemos fazer algo similar para a segunda desigualdade, mas, sinceramente, fazer isso algebricamente é apenas um exercício de formalismo: as idéias estão contidas no desenho, e podem ser traduzidas. Se você não conseguir, me avise que eu refaço. Os coeifcientes precisam ser inteiros porque o contradomínio da função é o conjunto Z. Como o coeficiente angular é definido por (delta Y)/(delta X) e temos que o delta Y é inteiro (pois o contradomínio é Z) e o delta X foi escolhido para ser um inverso de inteiro (estes são os 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, ... da mensagem do Nicolau), acabamos concluindo que tal quociente é inteiro. -- Abraços, Maurício = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Novo Yahoo! Cadê? - Experimente uma nova busca. http://yahoo.com.br/oqueeuganhocomisso
Re: [obm-l] russia 1999
Tome inicialmente t = -1/2 e a = 1/2. Temos, pela desigualdade que o Nicolau enunciou, que: c(-1,1/2) c(-1, 0) c(-1/2, 0) A segunda dessas desigualdades vai ser usada. Se colocarmos agora t = -1/4 e a = 1/4: c(-1/2, -1/4) c(-1/2, 0) c(-1/4, 0) ou seja, obtemos c(-1,0) c(-1/2,0) c(-1/4, 0) c(-1/8, 0) ..., se continuarmos com valores de t e a apropriados indefinidamente. Por outro lado, colocando t = 1/2 e a = 1/2, temos c(0,1/2) c(0,1) c(1/2, 1) Para t = 1/4 e a = 1/4, temos: c(0, 1/4) c(0, 1/2) c(1/4, 1/2) Ou seja, conseguimos ... c(0, 1/4) c(0, 1/2) c(0, 1) se continuarmos o procedimento indefinidamente. Mas, colocando t = 0 e a = 1, temos: c(-1, 0) c(-1, 1) c(0, 1) Agora, colocando t = 0 e a = 1/2: c(-1/2, 0) c(-1/2, 1/2) c(0,1/2). Ou seja, se continuarmos indefinidamente, temos que as desigualdades encaixam (c(-1/2,0) c(0,1/2), mas pela desigualdades anteriores, c(-1, 0) c(-1/2, 0) e c(0, 1/2) c(0, 1). Logo c(-1, 0) c(-1/2, 0) c(0, 1/2) c(0,1)). Talvez tenha um jeito mais fácil de visualizar isso, mas foi assim que eu entendi. -- Abraços, Maurício On 7/1/07, Klaus Ferraz [EMAIL PROTECTED] wrote: Só não entendi como que a partir da desigualdade c(t-a,t) c(t-a,t+a)c(t,t+a) ele chegou que: c(-1,0) c(-1/2,0) c(-1/4,0) c(-1/8,0) ... ... c(0,1/8) c(0,1/4) c(0,1/2) c(0,1). Vlw. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Res: [obm-l] russia 1999
bom ele chamou r=t+a e s=t-a. ficando (f(t+a)+f(t-a))/2f(t). Agora Devemos ter c(t-a,t) c(t-a,t+a) c(t,t+a) se a 0. Que desigualdade eh essa? Assim c(-1,0) c(-1/2,0) c(-1/4,0) c(-1/8,0) ... ... c(0,1/8) c(0,1/4) c(0,1/2) c(0,1). Tb nao sei de onde veio? Por que os coeficientes angulares devem ser inteiros? Grato. - Mensagem original De: Maurício Collares [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Sexta-feira, 29 de Junho de 2007 21:12:37 Assunto: Re: [obm-l] russia 1999 Klaus, A solução do Nicolau é muito bonita. Tem algum detalhe em específico que você não tenha entendido? Ele só chamou o coeficiente angular da reta que liga os pontos (r,f(r)) e (s, f(s)) de c(r,s) para deixar a notação um pouco mais leve, eu acho. A idéia é que, se não existissem pontos que satisfizessem isso, então, (f(t+a) + f(t-a))/2 f(t), ou seja, teríamos que a reta que liga o ponto de abscissa t-a ao ponto de abscissa t+a estaria acima do ponto de abscissa t. Assim, a desigualdade dos coeficientes está estabelecida (basta aplicar a definição de coeficiente angular). Substituindo pelos pontos que o Nicolau escolheu, temos uma contradição (pois os coeficientes angulares das retas que ligam os pares de pontos na solução do Nicolau são inteiros, visto que são a divisão de um inteiro por um inverso de inteiro, e entre dois inteiros existem apenas um número finito de inteiros.) -- Abraços, Maurício On 6/29/07, Klaus Ferraz [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá prof. Nicolau, poderia ser mais claro? Entendi nada da solução do problema. Porque vc chamou c(r,s) o coeficiente angular da reta? de onde veio isso? a idéia q eu propus da desigualdade de jensen, nao vale? Grato. - Mensagem original De: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Sexta-feira, 29 de Junho de 2007 11:09:43 Assunto: Re: [obm-l] russia 1999 On Fri, Jun 29, 2007 at 05:26:32AM -0700, Klaus Ferraz wrote: (Russia-1999) Suponha f: Q--Z, mostre que existem dois racionais distintos r e s tais que (f(r)+f(s))/2=f((r+s)/2). Chamemos de c(r,s) o coeficiente angular da reta que passa por (r,f(r)) e (s,f(s)). Suponha por absurdo que falhe a conclusão do problema. Devemos ter c(t-a,t) c(t-a,t+a) c(t,t+a) se a 0. Assim c(-1,0) c(-1/2,0) c(-1/4,0) c(-1/8,0) ... ... c(0,1/8) c(0,1/4) c(0,1/2) c(0,1). Mas estes coeficientes angulares são todos inteiros, o que é um absurdo. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Novo Yahoo! Cadê? - Experimente uma nova busca. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Novo Yahoo! Cadê? - Experimente uma nova busca. http://yahoo.com.br/oqueeuganhocomisso
Re: [obm-l] russia 1999
A última desigualdade na linha abaixo é estrita, claro. Desculpe pelo erro de digitação. -- Abraços, Maurício On 6/30/07, Maurício Collares [EMAIL PROTECTED] wrote: On 6/30/07, Danilo Nascimento [EMAIL PROTECTED] wrote: (f(t+a) - f(t-a))/2a = (f(t+a) + f(t-a) - 2f(t-a))/2a = ((f(t+a) + f(t-a))/2 - f(t-a))/a = f(t)/a - f(t-a)/a = (f(t) - f(t-a))/a = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] russia 1999
On 6/30/07, Danilo Nascimento [EMAIL PROTECTED] wrote: bom ele chamou r=t+a e s=t-a. ficando (f(t+a)+f(t-a))/2f(t). Agora Devemos ter c(t-a,t) c(t-a,t+a) c(t,t+a) se a 0. Que desigualdade eh essa? Imaginando o gráfico fica mais fácil. Estamos supondo que a condição do problema não vale para nenhum par de pontos, logo o ponto (t, f(t)) está abaixo da reta que liga os pontos (t-a, f(t-a)) e (t+a, f(t+a)) (faça o desenho para visualizar melhor). Assim, o coeficiente angular da reta que liga os pontos de abscissas t-a e t+a é *maior* que o coeficiente angular da reta que liga os ponto de abscissas t-a, pois o coeficiente angular da primeira é (f(t+a) - f(t-a))/2a e o da segunda é (f(t) - f(t-a))/a. Assim, usando a desigualdade (f(r)+f(s))/2 f((r+s)/2), temos (lembre que a desigualdade citada está sendo usada porque estamos executando uma prova por contradição): (f(t+a) - f(t-a))/2a = (f(t+a) + f(t-a) - 2f(t-a))/2a = ((f(t+a) + f(t-a))/2 - f(t-a))/a = f(t)/a - f(t-a)/a = (f(t) - f(t-a))/a Isso prova a primeira metade da desigualdade enunciada pelo Nicolau (c(t-a,t) c(t-a,t+a)). Podemos fazer algo similar para a segunda desigualdade, mas, sinceramente, fazer isso algebricamente é apenas um exercício de formalismo: as idéias estão contidas no desenho, e podem ser traduzidas. Se você não conseguir, me avise que eu refaço. Os coeifcientes precisam ser inteiros porque o contradomínio da função é o conjunto Z. Como o coeficiente angular é definido por (delta Y)/(delta X) e temos que o delta Y é inteiro (pois o contradomínio é Z) e o delta X foi escolhido para ser um inverso de inteiro (estes são os 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, ... da mensagem do Nicolau), acabamos concluindo que tal quociente é inteiro. -- Abraços, Maurício = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] russia 1999
Putz! Eu não sei mais digitar, desculpem pelo flood :) Onde eu disse é *maior* que o coeficiente angular da reta que liga os ponto de abscissas t-a, eu quis dizer é *maior* que o coeficiente angular da reta que liga os pontos de abscissas t-a e t. -- Abraços, Maurício On 6/30/07, Maurício Collares [EMAIL PROTECTED] wrote: = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] russia 1999
Ola senhores, (Russia-1999) Suponha f: Q--Z, mostre que existem dois racionais distintos r e s tais que (f(r)+f(s))/2=f((r+s)/2). Minha idéia: Tentei aplicar jensen mas eu num sei se vale. Tomei r e s em um um intervalo (a,b) contido em Q e tomei f côncova nesse intervalo. num sei se tah ok!? Novo Yahoo! Cadê? - Experimente uma nova busca. http://yahoo.com.br/oqueeuganhocomisso
Re: [obm-l] russia 1999
On Fri, Jun 29, 2007 at 05:26:32AM -0700, Klaus Ferraz wrote: (Russia-1999) Suponha f: Q--Z, mostre que existem dois racionais distintos r e s tais que (f(r)+f(s))/2=f((r+s)/2). Chamemos de c(r,s) o coeficiente angular da reta que passa por (r,f(r)) e (s,f(s)). Suponha por absurdo que falhe a conclusão do problema. Devemos ter c(t-a,t) c(t-a,t+a) c(t,t+a) se a 0. Assim c(-1,0) c(-1/2,0) c(-1/4,0) c(-1/8,0) ... ... c(0,1/8) c(0,1/4) c(0,1/2) c(0,1). Mas estes coeficientes angulares são todos inteiros, o que é um absurdo. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Res: [obm-l] russia 1999
Olá prof. Nicolau, poderia ser mais claro? Entendi nada da solução do problema. Porque vc chamou c(r,s) o coeficiente angular da reta? de onde veio isso? a idéia q eu propus da desigualdade de jensen, nao vale? Grato. - Mensagem original De: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Sexta-feira, 29 de Junho de 2007 11:09:43 Assunto: Re: [obm-l] russia 1999 On Fri, Jun 29, 2007 at 05:26:32AM -0700, Klaus Ferraz wrote: (Russia-1999) Suponha f: Q--Z, mostre que existem dois racionais distintos r e s tais que (f(r)+f(s))/2=f((r+s)/2). Chamemos de c(r,s) o coeficiente angular da reta que passa por (r,f(r)) e (s,f(s)). Suponha por absurdo que falhe a conclusão do problema. Devemos ter c(t-a,t) c(t-a,t+a) c(t,t+a) se a 0. Assim c(-1,0) c(-1/2,0) c(-1/4,0) c(-1/8,0) ... ... c(0,1/8) c(0,1/4) c(0,1/2) c(0,1). Mas estes coeficientes angulares são todos inteiros, o que é um absurdo. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Novo Yahoo! Cadê? - Experimente uma nova busca. http://yahoo.com.br/oqueeuganhocomisso
Re: [obm-l] russia 1999
Klaus, A solução do Nicolau é muito bonita. Tem algum detalhe em específico que você não tenha entendido? Ele só chamou o coeficiente angular da reta que liga os pontos (r,f(r)) e (s, f(s)) de c(r,s) para deixar a notação um pouco mais leve, eu acho. A idéia é que, se não existissem pontos que satisfizessem isso, então, (f(t+a) + f(t-a))/2 f(t), ou seja, teríamos que a reta que liga o ponto de abscissa t-a ao ponto de abscissa t+a estaria acima do ponto de abscissa t. Assim, a desigualdade dos coeficientes está estabelecida (basta aplicar a definição de coeficiente angular). Substituindo pelos pontos que o Nicolau escolheu, temos uma contradição (pois os coeficientes angulares das retas que ligam os pares de pontos na solução do Nicolau são inteiros, visto que são a divisão de um inteiro por um inverso de inteiro, e entre dois inteiros existem apenas um número finito de inteiros.) -- Abraços, Maurício On 6/29/07, Klaus Ferraz [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá prof. Nicolau, poderia ser mais claro? Entendi nada da solução do problema. Porque vc chamou c(r,s) o coeficiente angular da reta? de onde veio isso? a idéia q eu propus da desigualdade de jensen, nao vale? Grato. - Mensagem original De: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Sexta-feira, 29 de Junho de 2007 11:09:43 Assunto: Re: [obm-l] russia 1999 On Fri, Jun 29, 2007 at 05:26:32AM -0700, Klaus Ferraz wrote: (Russia-1999) Suponha f: Q--Z, mostre que existem dois racionais distintos r e s tais que (f(r)+f(s))/2=f((r+s)/2). Chamemos de c(r,s) o coeficiente angular da reta que passa por (r,f(r)) e (s,f(s)). Suponha por absurdo que falhe a conclusão do problema. Devemos ter c(t-a,t) c(t-a,t+a) c(t,t+a) se a 0. Assim c(-1,0) c(-1/2,0) c(-1/4,0) c(-1/8,0) ... ... c(0,1/8) c(0,1/4) c(0,1/2) c(0,1). Mas estes coeficientes angulares são todos inteiros, o que é um absurdo. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Novo Yahoo! Cadê? - Experimente uma nova busca. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] russia 1999
Quanto a tomar f côncava... Seja f a função definida por f(p/q) = q, onde p e q são primos entre si. É possível provar que existe um intervalo no qual essa função é côncava? Além do que, isso é questão de notação (e eu entendi o que você quis dizer), mas... Nenhum intervalo (a, b), com a b, está contido nos racionais. -- Abraços, Maurício On 6/29/07, Klaus Ferraz [EMAIL PROTECTED] wrote: Ola senhores, (Russia-1999) Suponha f: Q--Z, mostre que existem dois racionais distintos r e s tais que (f(r)+f(s))/2=f((r+s)/2). Minha idéia: Tentei aplicar jensen mas eu num sei se vale. Tomei r e s em um um intervalo (a,b) contido em Q e tomei f côncova nesse intervalo. num sei se tah ok!? Novo Yahoo! Cadê? - Experimente uma nova busca. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
