Re: [obm-l] Dois problemas
Para o (1), observar que a_n é periódico e tem período igual a 20, daí Abraços Carlos Victor Em 26/04/2020 19:21, Rogério Possi Júnior escreveu: > Boa noite. > > Quem pode ajudar com esses dois problemas: > > 1) (Ibero-1992) Para cada inteiro positivo n, seja a_n o último dígito de > 1+2+3+...+n. Calcule a_1+a_2+...+a_n. > > 2) (UK-1997) N é um número inteiro de 4 dígitos não terminado em zero, e R(N) > é o número inteiro de 4 dígitos obtido pela reversão dos dígitos de N; por > exemplo R(3275)=5723. Determine todos os inteiros N ára os quais R(N)=4N+3. > > Sds, > > Rogério > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Dois problemas
Hum , para o primeiro problema, acredito que deve existir alguma sequencia periódica, tal que a_n+k=a_n, ou seja, n(n+1)/2=(n+k)(n+k+1)/2 (mod10). Logo 2nk+k^2+k=0 (mod20), fácil ver que k=20 satisfaz o problema, logo a_n+20=a_n, para todo n. Vamos calcular a_1+a_2+a_3+a_4+...a_20=70. Acredito que para cada valor de n, podemos fazer o seguinte que n=20t+r, onde r é o resto na divisão de n por 20. Assim a soma a_1+a_2+a_3+a_4+...+a_n=tx70+a_1+a_2+a_3+...+a_r, desta forma, fica dependendo do valor de n. É isso. Forte abraço Douglas Oliveira Em dom., 26 de abr. de 2020 às 19:35, Rogério Possi Júnior < roposs...@hotmail.com> escreveu: > Boa noite. > > Quem pode ajudar com esses dois problemas: > > 1) (Ibero-1992) Para cada inteiro positivo n, seja a_n o último dígito de > 1+2+3+...+n. Calcule a_1+a_2+...+a_n. > > 2) (UK-1997) N é um número inteiro de 4 dígitos não terminado em zero, e > R(N) é o número inteiro de 4 dígitos obtido pela reversão dos dígitos de N; > por exemplo R(3275)=5723. Determine todos os inteiros N ára os quais > R(N)=4N+3. > > Sds, > > Rogério > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Dois problemas legais
Legal, quando vi o problema pensei em colocar pares e ímpares separados, já que a soma de dois pares ou dois ímpares é composta, e não tentei resolver o meio, mas agora vi que é bem simples, seria necessário escolher no máximo 10 pares (ou 10 ímpares) e trocar pelos pares (ou ímpares) de modo que a soma com os outros ímpares (ou pares) seja composta, caso a soma já não seja composta. 2013/7/10 Benedito > Uma sugestão para o problema 2: > > Divida o tabuleiro 10 por 10 em dois sub- tabuleiros 5 por 10. > > Com 25 movimentos ou menos você coloca todos os pares em um dos > sub-tabuleiros e no outro os ímpares. > > Questão: Como resolver o problema para as duas colunas (5 e 6), do > encontro dos pares com os ímpares, em, no máximo, 10 movimentos? > > Benedito > > ** ** > > *De:* owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] *Em > nome de *Henrique Rennó > *Enviada em:* quarta-feira, 10 de julho de 2013 13:06 > *Para:* obm-l@mat.puc-rio.br > *Assunto:* Re: [obm-l] Dois problemas legais > > ** ** > > Eu havia pensado que o 35 teria uma relação (e deve ter) com a quantidade > de primos máxima (cada primo seria uma soma), mas a quantidade de primos > possíveis é 45 e não 35 (desconsiderando o 2, já que não é possível > representá-lo pela soma de dois números no tabuleiro). > > 2013/7/10 saulo nilson > > os numeros primos possiveis de se encontrar tem o valor e no maximo 199, > que contando tudo da 35 numeros entao vc tem que fazer no maximo 35 > operaçoes para nao enconrar eles. > > ** ** > > 2013/7/6 Benedito > > *Problema 1* > > Divide-se as faces de um cubo de dimensões 9 por 9 por 9 em quadradinhos > unitários. Dispõe-se de 243 cartões na forma retangular 2 por 1, com os > quais vamos cobrir todas a superfície do cubo, sem deixar espaços livres, e > sem sobreposição de cartões. Para poder fazer isto, alguns cartões devem > ser dobrados ao meio. > > Prove que a quantidade de cartões dobrados é ímpar. > > * * > > *Problema 2* > > Escrevem-se os números 1,2,3,...,100 nas casas de um tabuleiro 10 por 10, > sem repetir qualquer um deles e colocando um só número em cada casa. Uma > operação permitida é escolher duas casas e trocar de posição os números que > estão escritos nelas. > > Demonstre que é possível realizar 35 operações ou menos, de maneira tal > que se consiga que para duas casas vizinhas quaisquer a soma dos números > nelas escritas seja um número composto. > > OBS.: Duas casas são vizinhas se possuem um lado em comum. > > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > ** ** > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > > > > ** ** > > -- > Henrique > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Henrique -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Dois problemas legais
Eu havia pensado que o 35 teria uma relação (e deve ter) com a quantidade de primos máxima (cada primo seria uma soma), mas a quantidade de primos possíveis é 45 e não 35 (desconsiderando o 2, já que não é possível representá-lo pela soma de dois números no tabuleiro). 2013/7/10 saulo nilson > os numeros primos possiveis de se encontrar tem o valor e no maximo 199, > que contando tudo da 35 numeros entao vc tem que fazer no maximo 35 > operaçoes para nao enconrar eles. > > > 2013/7/6 Benedito > >> *Problema 1* >> >> Divide-se as faces de um cubo de dimensões 9 por 9 por 9 em quadradinhos >> unitários. Dispõe-se de 243 cartões na forma retangular 2 por 1, com os >> quais vamos cobrir todas a superfície do cubo, sem deixar espaços livres, e >> sem sobreposição de cartões. Para poder fazer isto, alguns cartões devem >> ser dobrados ao meio. >> >> Prove que a quantidade de cartões dobrados é ímpar. >> >> * * >> >> *Problema 2* >> >> Escrevem-se os números 1,2,3,...,100 nas casas de um tabuleiro 10 por >> 10, sem repetir qualquer um deles e colocando um só número em cada casa. >> Uma operação permitida é escolher duas casas e trocar de posição os números >> que estão escritos nelas. >> >> Demonstre que é possível realizar 35 operações ou menos, de maneira tal >> que se consiga que para duas casas vizinhas quaisquer a soma dos números >> nelas escritas seja um número composto. >> >> OBS.: Duas casas são vizinhas se possuem um lado em comum. >> >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Henrique -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Dois problemas legais
os numeros primos possiveis de se encontrar tem o valor e no maximo 199, que contando tudo da 35 numeros entao vc tem que fazer no maximo 35 operaçoes para nao enconrar eles. 2013/7/6 Benedito > *Problema 1* > > Divide-se as faces de um cubo de dimensões 9 por 9 por 9 em quadradinhos > unitários. Dispõe-se de 243 cartões na forma retangular 2 por 1, com os > quais vamos cobrir todas a superfície do cubo, sem deixar espaços livres, e > sem sobreposição de cartões. Para poder fazer isto, alguns cartões devem > ser dobrados ao meio. > > Prove que a quantidade de cartões dobrados é ímpar. > > * * > > *Problema 2* > > Escrevem-se os números 1,2,3,...,100 nas casas de um tabuleiro 10 por 10, > sem repetir qualquer um deles e colocando um só número em cada casa. Uma > operação permitida é escolher duas casas e trocar de posição os números que > estão escritos nelas. > > Demonstre que é possível realizar 35 operações ou menos, de maneira tal > que se consiga que para duas casas vizinhas quaisquer a soma dos números > nelas escritas seja um número composto. > > OBS.: Duas casas são vizinhas se possuem um lado em comum. > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Dois problemas legais
Também seriam outras possibilidades. 2013/7/9 Nehab > Oi Rennó, > > Dúvida: Porque você não poderia usar na primeira face, por exemplo, 42 > cartões, sendo 3 dobrados? Ou 44, sendo 7 dobrados? > > Abraços, > Nehab > > > On 07/07/2013 21:32, Henrique Rennó wrote: > > Problema 1: > Para cobrir uma face do cubo que contém 9*9 = 81 quadrados são necessários > 41 cartões, sendo que um foi dobrado ao meio (são 9*4 = 36 cartões para > cobrir um retângulo 9x8 da face mais 4 cartões para uma coluna 8x1 e outro > cartão dobrado para o quadrado restante). Assim, como cada cartão dobrado > cobre dois quadrados restantes de duas faces adjacentes no cubo e existem 6 > faces, sendo dobrados 3 cartões. > > 2013/7/6 Benedito > >> *Problema 1* >> >> Divide-se as faces de um cubo de dimensões 9 por 9 por 9 em quadradinhos >> unitários. Dispõe-se de 243 cartões na forma retangular 2 por 1, com os >> quais vamos cobrir todas a superfície do cubo, sem deixar espaços livres, e >> sem sobreposição de cartões. Para poder fazer isto, alguns cartões devem >> ser dobrados ao meio. >> >> Prove que a quantidade de cartões dobrados é ímpar. >> >> * * >> >> *Problema 2* >> >> Escrevem-se os números 1,2,3,...,100 nas casas de um tabuleiro 10 por >> 10, sem repetir qualquer um deles e colocando um só número em cada casa. >> Uma operação permitida é escolher duas casas e trocar de posição os números >> que estão escritos nelas. >> >> Demonstre que é possível realizar 35 operações ou menos, de maneira tal >> que se consiga que para duas casas vizinhas quaisquer a soma dos números >> nelas escritas seja um número composto. >> >> OBS.: Duas casas são vizinhas se possuem um lado em comum. >> >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> > > > > -- > Henrique > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Henrique -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Dois problemas legais
Oi Rennó, Dúvida: Porque você não poderia usar na primeira face, por exemplo, 42 cartões, sendo 3 dobrados? Ou 44, sendo 7 dobrados? Abraços, Nehab On 07/07/2013 21:32, Henrique Rennó wrote: Problema 1: Para cobrir uma face do cubo que contém 9*9 = 81 quadrados são necessários 41 cartões, sendo que um foi dobrado ao meio (são 9*4 = 36 cartões para cobrir um retângulo 9x8 da face mais 4 cartões para uma coluna 8x1 e outro cartão dobrado para o quadrado restante). Assim, como cada cartão dobrado cobre dois quadrados restantes de duas faces adjacentes no cubo e existem 6 faces, sendo dobrados 3 cartões. 2013/7/6 Benedito mailto:bened...@ufrnet.br>> *Problema 1* Divide-se as faces de um cubo de dimensões 9 por 9 por 9 em quadradinhos unitários. Dispõe-se de 243 cartões na forma retangular 2 por 1, com os quais vamos cobrir todas a superfície do cubo, sem deixar espaços livres, e sem sobreposição de cartões. Para poder fazer isto, alguns cartões devem ser dobrados ao meio. Prove que a quantidade de cartões dobrados é ímpar. ** *Problema 2* Escrevem-se os números 1,2,3,...,100 nas casas de um tabuleiro 10 por 10, sem repetir qualquer um deles e colocando um só número em cada casa. Uma operação permitida é escolher duas casas e trocar de posição os números que estão escritos nelas. Demonstre que é possível realizar 35 operações ou menos, de maneira tal que se consiga que para duas casas vizinhas quaisquer a soma dos números nelas escritas seja um número composto. OBS.: Duas casas são vizinhas se possuem um lado em comum. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Henrique -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Dois problemas legais
Problema 1: Para cobrir uma face do cubo que contém 9*9 = 81 quadrados são necessários 41 cartões, sendo que um foi dobrado ao meio (são 9*4 = 36 cartões para cobrir um retângulo 9x8 da face mais 4 cartões para uma coluna 8x1 e outro cartão dobrado para o quadrado restante). Assim, como cada cartão dobrado cobre dois quadrados restantes de duas faces adjacentes no cubo e existem 6 faces, sendo dobrados 3 cartões. 2013/7/6 Benedito > *Problema 1* > > Divide-se as faces de um cubo de dimensões 9 por 9 por 9 em quadradinhos > unitários. Dispõe-se de 243 cartões na forma retangular 2 por 1, com os > quais vamos cobrir todas a superfície do cubo, sem deixar espaços livres, e > sem sobreposição de cartões. Para poder fazer isto, alguns cartões devem > ser dobrados ao meio. > > Prove que a quantidade de cartões dobrados é ímpar. > > * * > > *Problema 2* > > Escrevem-se os números 1,2,3,...,100 nas casas de um tabuleiro 10 por 10, > sem repetir qualquer um deles e colocando um só número em cada casa. Uma > operação permitida é escolher duas casas e trocar de posição os números que > estão escritos nelas. > > Demonstre que é possível realizar 35 operações ou menos, de maneira tal > que se consiga que para duas casas vizinhas quaisquer a soma dos números > nelas escritas seja um número composto. > > OBS.: Duas casas são vizinhas se possuem um lado em comum. > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Henrique -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
RE: Re;[obm-l] Dois problemas "complexos"
Olá! É preciso tomar muito cuidado com o domínio e o contradomínio das funções trigonométricas quando se lida com complexos – veja: Vou escrever “z” na forma polar: z = r cis(t) = r e^(it) “r” e “t” são reais ; -pihttp://video.msn.com/?mkt=pt-br
Re: Re;[obm-l] Dois problemas "complexos"
[1]
x^x = i
Mas x^x = e^xlnxe i = e^(i pi/2)
Logo
xlnx = i pi/2
fazendo x=e^y
y e^y = i pi/2
Assim y=W(i pi/2) , onde W(z) é a funcao W de lambert
(http://mathworld.wolfram.com/LambertW-Function.html )
x=e^(W(i pi/2))
[2]
z^i = e^(i lnz )= e^(i/z/ - arg[z]) ,para o ramo principal, arg[z]
pertence a 0 2pi
logo /z^i/ = e^( -arg[z] ) <=1 < e^pi
On 12/19/08, Eduardo Wilner wrote:
>
> Parece que há algum problema com o item [2] pois, se z=a+bi, com a e b
> reais, | z^i|= e^{arc tg (b/a)}.
>
>
>
> Albert Bouskela
>
> Thu, 18 Dec 2008 10:19:09 -0800
>
>
>
>
>
>
>
>
> [1]
> Resolva, analiticamente, a seguinte equação:
>
> x^x = i
>
> [2]
> Demonstre que:
>
> / z^i / <= e^pi
>
> Sendo:
> "z" um número complexo qualquer; e
> / z^i / representa o módulo de z^i .abbousk...@msn.com
>
>
>
> Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados
> http://br.maisbuscados.yahoo.com
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
Re;[obm-l] Dois problemas "complexos"
Parece que há algum problema com o item [2] pois, se z=a+bi, com a e b reais, |
z^i|= e^{arc tg (b/a)}.
Albert Bouskela
Thu, 18 Dec 2008 10:19:09 -0800
[1]
Resolva, analiticamente, a seguinte equação:
x^x = i
[2]
Demonstre que:
/ z^i / <= e^pi
Sendo:
"z" um número complexo qualquer; e
/ z^i / representa o módulo de z^i .abbousk...@msn.com
Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados
http://br.maisbuscados.yahoo.com
Re: [obm-l] Dois problemas
Olá Aline. Acho que neste caso o problema está mais na definição do que sejam "sólidos semelhantes". Eu usaria coordenadas polares para fazer essa definição. Assim dois sólidos são semelhantes se um é obtido através do outro pela aplicação de uma homotetia tridimensional, multiplicando o raio r por uma constante. Supondo o centro do sólido na origem e sendo ele parametrizado por r, theta e phi, a transformação seria uma transformação de R^3 em R^3 que levaria (r,theta, phi) em (n*r, theta,phi) sendo n a razão de semelhança. O volume seria uma integral tripla em r, theta e phi. V = int int int r(theta,phi) dr d(theta) d(phi) V' = int int int n r(theta,phi) dr d(theta) d(phi) note que o raio r é função de theta e phi e não e esses ângulos não são afetados pela transformação de escala. Agora se vc escrever em coordenadas cartesianas, o volume do sólido original será z(theta,phi) = r(theta,phi) sen (theta) x(theta,phi) = r(theta,phi) cos (theta) sin (phi) y(theta,phi) = r(theta,phi) cos (theta) cos (phi) e do sólido transformado (aquele que é semelhante) será: z(theta,phi) = n r(theta,phi) sen (theta) x(theta,phi) = n r(theta,phi) cos (theta) sin (phi) y(theta,phi) = n r(theta,phi) cos (theta) cos (phi) diferencie x, y e z em relação a theta e phi e resolva o sistema. Vc vai achar dr, d(theta) e d(phi) em relação a dx,dy,dx. O volume do sólido em coordenadas cartesianas será V = int int int f(x,y,z) dxdydz e do sólido transformado será: V' = int int int n^3 f(x,y,z) dxdydz Vc chegará a conclusão que V' = n^3 V.A esfera e o cubo são casos particulares deste caso geral. --- Tem um outro problema: Provar que dos sólidos de mesmo volume a esfera é a que possui a menor superfície. Esse eu ainda não consegui fazer. Parece bem difícil. --- Agora só para descontrair: O que é um urso polar? Resposta: É um urso cartesiano após a troca de coordenadas (muito boa!) Abraços Ronaldo. == ALINE Marconcin wrote: > > > Boa Noite a todos, estou em dúvida em mais dois problemas e ficaria > muito grata se alguém pudesse me ajudar mais uma vez... > > Mostrar que: > > 1- A razão entre os volumes de dois sólidos semelhantes é igual ao > cubo da razão de semelhança. > > 2- Dois cubos ou duas esferas quaisquer são figuras semelhantes. > > Desde de já muito obrigada. > > > --- > MSN Busca: fácil, rápido, direto ao ponto. Encontre o que você quiser. > Clique aqui. > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > =
Re: [obm-l] Dois problemas
Olá Aline. Acho que neste caso o problema está mais na definição do que sejam "sólidos semelhantes". Eu usaria coordenadas polares para fazer essa definição. Assim dois sólidos são semelhantes se um é obtido através do outro pela aplicação de uma homotetia tridimensional, multiplicando o raio r por uma constante. Supondo o centro do sólido na origem e sendo ele parametrizado por r, theta e phi, a transformação seria uma transformação de R^3 em R^3 que levaria (r,theta, phi) em (n*r, theta,phi) sendo n a razão de semelhança. O volume seria uma integral tripla em r, theta e phi. V = int int int r(theta,phi) dr d(theta) d(phi) V' = int int int n r(theta,phi) dr d(theta) d(phi) note que o raio r é função de theta e phi e não e esses ângulos não são afetados pela transformação de escala. Agora se vc escrever em coordenadas cartesianas, o volume do sólido original será z(theta,phi) = r(theta,phi) sen (theta) x(theta,phi) = r(theta,phi) cos (theta) sin (phi) y(theta,phi) = r(theta,phi) cos (theta) cos (phi) e do sólido transformado (aquele que é semelhante) será: z(theta,phi) = n r(theta,phi) sen (theta) x(theta,phi) = n r(theta,phi) cos (theta) sin (phi) y(theta,phi) = n r(theta,phi) cos (theta) cos (phi) diferencie x, y e z em relação a theta e phi e resolva o sistema. Vc vai achar dr, d(theta) e d(phi) em relação a dx,dy,dx. O volume do sólido em coordenadas cartesianas será V = int int int f(x,y,z) dxdydz e do sólido transformado será: V' = int int int n^3 f(x,y,z) dxdydz Vc chegará a conclusão que V' = n^3 V.A esfera e o cubo são casos particulares deste caso geral. --- Tem um outro problema: Provar que dos sólidos de mesmo volume a esfera é a que possui a menor superfície. Esse eu ainda não consegui fazer. Parece bem difícil. --- ALINE Marconcin wrote: > > > Boa Noite a todos, estou em dúvida em mais dois problemas e ficaria > muito grata se alguém pudesse me ajudar mais uma vez... > > Mostrar que: > > 1- A razão entre os volumes de dois sólidos semelhantes é igual ao > cubo da razão de semelhança. > > 2- Dois cubos ou duas esferas quaisquer são figuras semelhantes. > > Desde de já muito obrigada. > > > --- > MSN Busca: fácil, rápido, direto ao ponto. Encontre o que você quiser. > Clique aqui. > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > =
Re: [obm-l] Dois Problemas Russos
Obrigado Paulo
Inclusive o historico eh muito interessante.
Vc. poderia precisar a data ou epoca?
Sobre as poligonais transcrevo abaixo as
mensagens.
(Nao estou transcrevendo a mensagem "Geometria
quase Analitica", do P.S., porque consta da lista e
para nao sobrecarregar ainda mais esta. Se quiser,
transcrevo na proxima.)
Abraços
Eduardo Wilner
De: "Paulo Santa Rita" <[EMAIL PROTECTED]>
Adicionar endereçoAdicionar endereço
Para: [EMAIL PROTECTED]
Assunto:RE: Um problema interessante
Data: Thu, 18 Aug 2005 10:26:53 +
Ola Eduardo,
Recebi a sua mensagem, reproduzida abaixo. No proximo
fim de semana vou
le-la com calma e te respondo com mais detalhes.
Um Abracao
Paulo Santa Rita
5,0720,180805
>From: Eduardo Wilner <[EMAIL PROTECTED]>
>To: [EMAIL PROTECTED]
>Subject: Um problema interessante
>Date: Tue, 16 Aug 2005 15:33:44 + (GMT)
Prezado Paulo
Tomo a liberdade de te contactar diretamente, pois
postei na Obm-l a mensagem que aqui reproduzo, ja ah
duas semanas, mas v. nao deve ter percebido, pois no
indice por assunto isto vai la para inicio de Junho.
Sobre o problema abaixo referido,
poderia dizer a fonte de onde o recebeu ?
Aguardei algum comentario sobre ele, mas...
A minha solucao eh:
2*area = soma com j=1 a n-1 {sen(j*2*pi/n)*[soma com
i=j a n-1((i+1)*(i-j+1))]}.
Quanto aos valores de n para os quais a area eh
inteira, pareceu-me que o unico eh 4, e que para os
outros ela resulta irracional...
Gostaria de ouvir, ou melhor, ler sua opiniao.
P.S. Nao sei se o pessoal da lista nao gosta de
poligonais, pois postei um problema a respeito em 25
May deste ano denominado ' Geometria quase analitica'
e ... nada...
Voce nao viu ?
--- Paulo Santa Rita <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
> Ola Pessoal,
>
> Recebi o problema abaixo, que achei interessante.
> Estou repassando pra voces
> :
>
> >Suppose line segments of lengths proportional to
> 1,2,3,...,n taken in that
> >order form a rectilineal >figure each of whose
> exterior angle is 2*pi/n and
> >a polygon is formed by joining the endpoint of >the
> last segment to the
> >starting point. Find a closed form expression for
> the area of the polygon.
> > >For what values of 'n' is the area an integer?
>
> Um Abraco a Todos
> Paulo Santa Rita
> 2,0931,130605
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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Re: [obm-l] Dois Problemas Russos
Ola Eduardo ! O Polinomio P(X) e fixo. Claramente que voce pode supor que o grau dele e, digamos, M. O grau e fundamental na solucao. Sobre a outra pergunta, aqui vai um exemplo : Suponhamos que P(12)=1200789. Entao : A12 = 1+2+0+0+7+8+9 = 27. O indice n de An indica apenas a posicao na sequencia, vale dizer, nao guarda relacao com o grau do polinomio. Apesar de ser uma questao simples e digno de nota que na epoca em que foi proposta as criancas da Russia apenas um estudante acertou completamente a questao : Ciprian Manolescu. Ele participou de 3 Olimpiadas Internacionais de Matematica, tirando 3 ouros, sempre com escore maximo de 42 pontos. Fez Doutorado em Harvard e atualmente faz estagio de pos-doc em Princeton. Ele e Cinefilo, na Musica e apaixonado por Beethoven e Adora ( estuda diariamente ) Filosofia. Nao me lembro desta questao de poligonais. Voce pode me enviar novamente, por favor ? Um Abracao Paulo Santa Rita 3,1305,111005 From: Eduardo Wilner <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Dois Problemas Russos Date: Tue, 11 Oct 2005 12:35:16 -0300 (ART) Ola Paulo Curiosidade: o meu yahoo eh super relativistico?! tua mensagem chegou com data: Tue, 11 Oct 2005 14:07:45?!e agora, "hora Brasilia" eu tenho 12:08. Vamos aos russos. O primeiro Problema eh tao generico assim? Digo, nao depende do grau do polinomio ou o n, no indice de An, eh o grau? O que significa a "Soma dos digitos de P(N)? "Eh pergunta demais"? (mais uma). []s P.S. Ainda estou no agurardo de sua resposta sobre os problemas das poligonais. --- Paulo Santa Rita <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > Ola Pessoal, > > Seguem dois problemas traduzidos das Olimpiadas > Russas : > > PROBLEMA 1) Seja P(X) um polinomio com coeficientes > inteiros e para todo > numero natural N seja An a SOMA DOS DIGITOS de P(N). > Prove que na sequencia > A1, A2, A3, ... ha um numero que se repete infinitas > vezes. > > PROBLEMA 2) Dados os numeros reais A1, A2, ..., An, > B1, B2, ..., Bn e os > números reais positivos P1, P2, ..., Pn, Q1, Q2, > ..., Qn. Com estes numeros > construimos uma matriz N x N onde na posicao (i,k) > colocamos o número : > > (Ai + Bk ) / (Pi + Qk) > > Prove que existe um numero na matriz que construimos > ( "NUMERO SELA" ) com a > seguinte propriedade : ele nao e menor que qualquer > outro de sua linha e nao > e maior que qualquer outro de sua coluna. > > OBS1 : Apesar de nao ser possivel fazer um paralelo > rigoroso entre o ensino > russo e o nosso, eu diria que estas questoes > poderiam ser propostas nas > nossas Olimpiadas para a 7/8 series. Evidentemente > que nao se pode usar > Calculo Diferencial na solucao. > > OBS2 : A traducao e minha. Qualquer erro e de minha > inteira > responsabilidade. Qualquer duvida e so ler > diretamente do idioma eslavo. > > Mais problemas russos em : > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/psr > > Um Abraco a Todos > Paulo Santa Rita > 3,1100,111005 > > _ > Chegou o que faltava: MSN Acesso Grátis. Instale Já! > > http://www.msn.com.br/discador > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e > usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = > ___ Promoção Yahoo! Acesso Grátis: a cada hora navegada você acumula cupons e concorre a mais de 500 prêmios! Participe! http://yahoo.fbiz.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: converse online com seus amigos . http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Dois Problemas Russos
Ola Paulo Curiosidade: o meu yahoo eh super relativistico?! tua mensagem chegou com data: Tue, 11 Oct 2005 14:07:45?!e agora, "hora Brasilia" eu tenho 12:08. Vamos aos russos. O primeiro Problema eh tao generico assim? Digo, nao depende do grau do polinomio ou o n, no indice de An, eh o grau? O que significa a "Soma dos digitos de P(N)? "Eh pergunta demais"? (mais uma). []s P.S. Ainda estou no agurardo de sua resposta sobre os problemas das poligonais. --- Paulo Santa Rita <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > Ola Pessoal, > > Seguem dois problemas traduzidos das Olimpiadas > Russas : > > PROBLEMA 1) Seja P(X) um polinomio com coeficientes > inteiros e para todo > numero natural N seja An a SOMA DOS DIGITOS de P(N). > Prove que na sequencia > A1, A2, A3, ... ha um numero que se repete infinitas > vezes. > > PROBLEMA 2) Dados os numeros reais A1, A2, ..., An, > B1, B2, ..., Bn e os > números reais positivos P1, P2, ..., Pn, Q1, Q2, > ..., Qn. Com estes numeros > construimos uma matriz N x N onde na posicao (i,k) > colocamos o número : > > (Ai + Bk ) / (Pi + Qk) > > Prove que existe um numero na matriz que construimos > ( "NUMERO SELA" ) com a > seguinte propriedade : ele nao e menor que qualquer > outro de sua linha e nao > e maior que qualquer outro de sua coluna. > > OBS1 : Apesar de nao ser possivel fazer um paralelo > rigoroso entre o ensino > russo e o nosso, eu diria que estas questoes > poderiam ser propostas nas > nossas Olimpiadas para a 7/8 series. Evidentemente > que nao se pode usar > Calculo Diferencial na solucao. > > OBS2 : A traducao e minha. Qualquer erro e de minha > inteira > responsabilidade. Qualquer duvida e so ler > diretamente do idioma eslavo. > > Mais problemas russos em : > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/psr > > Um Abraco a Todos > Paulo Santa Rita > 3,1100,111005 > > _ > Chegou o que faltava: MSN Acesso Grátis. Instale Já! > > http://www.msn.com.br/discador > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e > usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = > ___ Promoção Yahoo! Acesso Grátis: a cada hora navegada você acumula cupons e concorre a mais de 500 prêmios! Participe! http://yahoo.fbiz.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] dois problemas de pg
--- Eduardo Wilner <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: >Nao sei como foi parar no e-mail do Felipe > > --- Eduardo Wilner <[EMAIL PROTECTED]> > escreveu: > > > > > > > Eh Felipe ou Joao ? > > > > Ola pra vcs. > > > > 1) Eh preciso tomar muito cuidado com a > > hierarquia > > de operacoes matematicas, senao dah uma tremenda > > massaroca... > > > > A identidade eh > > > > a^(q-r).b^(r-p).c^(p-q) = 1 !!!(dedicado a > um > > > > > >colega da > > lista...) > > > > Se w e s são representam o termo inicial e a razao > > da > > pg., respectivamente, temos > > > > > > > w^(q-r)*s^(p(q-r))*w^(r-p)*s^(q(r-p))*w^(p-q)*s^(r(p-q)) > > > > > > Nao eh dificil verificar que os expoentes somados > de > > s > > e w (cada um) se anulam . > > > > > > 2) A soma dos n termos iniciais de uma pg eh > > > >S(n)=w(s^(n-1)-1)/(s-1) , mantendo os mesmos > > simbolos de 1). > >No caso w=1 e s=1/3 o que nos fornece > > > >S(n)= 1/2*(1-(1/3)^(n-1)) > > > > Se S eh a soma dos infinitos termos da pg. (ou a > > serie infinita), temos > > > > S=lim S(n) (quando n=>OO)=1/2 . > > > > Assim S - S(1000)=(1/2)*(1/3)^999 . > > > > []s > > > > > > --- Felipe Nardes <[EMAIL PROTECTED]> > > escreveu: > > > > > ola Eduardo, desculpe a confusao. A 1) é uma > > > demonstracao e, 1/2. (1/3)^999 > > > (para mais), é a resposta da 2) > > > > > > > > > >From: Eduardo Wilner > <[EMAIL PROTECTED]> > > > >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br > > > >To: obm-l@mat.puc-rio.br > > > >Subject: Re: [obm-l] dois problemas de pg > > > >Date: Wed, 14 Sep 2005 16:51:13 + (GMT) > > > > > > > > > > > > > > > > Ola Joao Artur > > > > > > > > A 1) pede pára demonstrar uma identidade ? > > > > Entao o que é o 1/2 em resp: ? > > > > > > > > > > > > > > > > --- João Artur <[EMAIL PROTECTED]> > escreveu: > > > > > > > > > 1) prove que, se a, b, c sao elementos de > > ordem > > > p, q > > > > > e r, respectivamente, > > > > > da mesma pg. entao: > > > > > > > > > > a^q-r.b^r-p.c^p-q = 1 > > > > > > > > > > 2) qual o erro cometido quando, em vez de > > somar > > > os > > > > > 1000 elementos iniciais, > > > > > calcula-se a soma dos infinitos elementos da > > pg: > > > (1, > > > > > 1/3, 1/9, ...) > > > > > > > > > > resp: 1/2. (1/3)^999 para mais > > > > > > > > > > > > > > > desde ja, obrigado pela ajuda > > > > > > > > > > Joao Artur > > > > > > > > > > > > > > > > >_ > > > > > MSN Messenger: converse online com seus > amigos > > . > > > > > http://messenger.msn.com.br > > > > > > > > > > > > > > > > >= > > > > > Instruções para entrar na lista, sair da > lista > > e > > > > > usar a lista em > > > > > > > > > > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > > > > > > > > > > >= > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > >___ > > > >Yahoo! Messenger com voz: PROMOÇÃO VOCÊ PODE > > LEVAR > > > UMA VIAGEM NA CONVERSA. > > > >Participe! www.yahoo.com.br/messenger/promocao > > > > > > >= > > > >Instruções para entrar na lista, sair da lista > e > > > usar a lista em > > > > > > >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > > > > > >= > > > > > > > > > > > > > > > __ > > Converse com seus amigos em tempo real com o > Yahoo! > > Messenger > > http://br.download.yahoo.com/messenger/ > > > > > __ > Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! > Messenger > http://br.download.yahoo.com/messenger/ > __ Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] dois problemas de pg
2) qual o erro cometido quando, em vez de somar os 1000 elementos iniciais,calcula-se a soma dos infinitos elementos da pg: (1, 1/3, 1/9, ...)resp: 1/2. (1/3)^999 para maisSinf =1/(1-1/3)=3/2 S1000 = ((1/3)^1000 - 1)(1/3 - 1)=3/2 *(3^1000 -1)/3^1000=3/2 - 1/2*3^999 erro = 1/2 *1/3^999 para mais On 9/14/05, Eduardo Wilner <[EMAIL PROTECTED]> wrote: Ola Joao Artur A 1) pede pára demonstrar uma identidade ? Entao o que é o 1/2 em resp: ? --- João Artur <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:> 1) prove que, se a, b, c sao elementos de ordem p, q> e r, respectivamente,> da mesma pg. entao: >> a^q-r.b^r-p.c^p-q = 1>> 2) qual o erro cometido quando, em vez de somar os> 1000 elementos iniciais,> calcula-se a soma dos infinitos elementos da pg: (1,> 1/3, 1/9, ...) >> resp: 1/2. (1/3)^999 para mais>>> desde ja, obrigado pela ajuda>> Joao Artur>>_> MSN Messenger: converse online com seus amigos . > http://messenger.msn.com.br>>=> Instruções para entrar na lista, sair da lista e > usar a lista em> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html>= >___Yahoo! Messenger com voz: PROMOÇÃO VOCÊ PODE LEVAR UMA VIAGEM NA CONVERSA. Participe! www.yahoo.com.br/messenger/promocao=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=
Re: [obm-l] dois problemas de pg
Ola Joao Artur A 1) pede pára demonstrar uma identidade ? Entao o que é o 1/2 em resp: ? --- João Artur <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > 1) prove que, se a, b, c sao elementos de ordem p, q > e r, respectivamente, > da mesma pg. entao: > > a^q-r.b^r-p.c^p-q = 1 > > 2) qual o erro cometido quando, em vez de somar os > 1000 elementos iniciais, > calcula-se a soma dos infinitos elementos da pg: (1, > 1/3, 1/9, ...) > > resp: 1/2. (1/3)^999 para mais > > > desde ja, obrigado pela ajuda > > Joao Artur > > _ > MSN Messenger: converse online com seus amigos . > http://messenger.msn.com.br > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e > usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = > ___ Yahoo! Messenger com voz: PROMOÇÃO VOCÊ PODE LEVAR UMA VIAGEM NA CONVERSA. Participe! www.yahoo.com.br/messenger/promocao = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re:[obm-l] Dois problemas
> Estou com dificuldades nos seguintes problemas, o
primeiro até consegui
> fazer, mas foi de um jeito nada esperto.
>
> 1) Existe um inteiro positivo tal que seus fatores
primos pertencem ao
> conjunto {2,3,5,7} e
> que termina em 11? Se existir, ache o menor deles. Se
não existir, mostre
> porque.
Seja n tal inteiro então, se existir, ele deve ser da
forma n=3^x.7^y, para x e y naturais pois se aparecer 2
em sua decomposição ele terminará em um número par e se
aparecer 5 em sua decomposição ele terminará em 0 ou 5.
Já é um começo.
>
> 2) Em cada vértice de um quadrado há algumas fichas.
Um movimento é escolher
> um vértice, tirar algumas fichas dele, escolher um
vizinho e pôr o dobro de
> fichas retiradas no vizinho. Se no início há 1,0,0,0
fichas, é possivel
> termos 1,9,8,9 fichas em algum momento?
>
>
>
> Edward
>
>
_
> MSN Messenger: converse com os seus amigos online.
> http://messenger.msn.com.br
>
>
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar
a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>
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>
Atenciosamente,
Osvaldo Mello Sponquiado
Engenharia Elétrica, 2ºano
UNESP - Ilha Solteira
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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Re: [obm-l] dois problemas
Sauda,c~oes, Caro Wagner, Onde estaria o furo nessa solução? Este problema 1 ja e famoso.Eu resolvo com trigonometria.Seja x=anguloCQT.SLS no QCT, 2*sen 60=TQ*sen .No PAT,PT=2/cos x.Pela equilateralidade,tg x=sen 60.E como x=anguloPTA(prove!),PT e facil de ser calculado e vale 7^1/2.Com isso voce finaliza a questao. Te mais Ele fez AC=4, M=P, N=Q (pequena diferença de letras na figura). []'s Luís -Mensagem Original- De: Eduardo Wagner <[EMAIL PROTECTED]> Para: <[EMAIL PROTECTED]> Enviada em: domingo, 7 de julho de 2002 22:54 Assunto: Re: [obm-l] dois problemas > Caro Luis: > > O seu problema 1 so tem solucao se M coincide com A. > Neste caso, se BC = a, o raio da circunferencia > circunscrita ao triangulo ATN eh a/4. > > > -- > >From: "Luis Lopes" <[EMAIL PROTECTED]> > >To: <[EMAIL PROTECTED]> > >Subject: [obm-l] dois problemas > >Date: Wed, Jul 3, 2002, 12:20 PM > > > > > Sauda,c~oes, > > > > Acabo de receber estes dois problemas > > por fax. Alguém saberia resolvê-los? > > > > 1) No triângulo ABC "desenhado" abaixo, > > A=90, B=60. > > > >B > > > > > > > > MN > > > > > > > > ATC > > > > T é ponto médio de AC > > > > O triângulo MNT é equilátero. Calcule a área > > do círculo circunscrito ao triângulo MNT. > > > > 2) Calcule S = 1 / (1+n)^n = > > = 1 + 1/2 + 1/3^2 + 1/4^3 + > > > > []'s > > Luís > > > > > > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] dois problemas
Caro Luis: O seu problema 1 so tem solucao se M coincide com A. Neste caso, se BC = a, o raio da circunferencia circunscrita ao triangulo ATN eh a/4. -- >From: "Luis Lopes" <[EMAIL PROTECTED]> >To: <[EMAIL PROTECTED]> >Subject: [obm-l] dois problemas >Date: Wed, Jul 3, 2002, 12:20 PM > > Sauda,c~oes, > > Acabo de receber estes dois problemas > por fax. Alguém saberia resolvê-los? > > 1) No triângulo ABC "desenhado" abaixo, > A=90, B=60. > >B > > > > MN > > > > ATC > > T é ponto médio de AC > > O triângulo MNT é equilátero. Calcule a área > do círculo circunscrito ao triângulo MNT. > > 2) Calcule S = 1 / (1+n)^n = > = 1 + 1/2 + 1/3^2 + 1/4^3 + > > []'s > Luís > > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> > = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] dois problemas
Sauda, c~oes,
Não verifiquei mas considero o problema 1
resolvido. Obrigado.
Quanto ao 2o, como ninguém se manifestou
e já desconfiado desde o começo, enviei-o
pro prof. Rousseau. Vejam sua resposta:
===
Dear Luis:
I just sent a solution of the Knuth problem via telescoping sums.
As for the other question, I would be exceedingly surprised if
the series in question has closed form sum. Of course, one can
re-express the series sum as an integral; a quick calculation gives
\int_0^1 x^{x+1} dx,
and I am confident that one prove (using the Risch algorithm) that
x^{x+1} has no antiderivative in elementary terms. While this
doesn't completely settle the issue, it comes close.
===
Para registrar, o problema 2 era
2) Calcule S = 1 / (1+n)^n =
= 1 + 1/2 + 1/3^2 + 1/4^3 +
Agora uma pergunta: alguém conhece esse algoritmo
de Risch? Nunca ouvi falar disso. E então aquela outra
soma que apareceu por aqui - S = \sum 1 / n^n -
recentemente deve ter o mesmo tratamento e conclusão:
nada de forma fechada.
[]'s
Luis
-Mensagem Original-
De: Johann Dirichlet <[EMAIL PROTECTED]>
Para: <[EMAIL PROTECTED]>
Enviada em: quarta-feira, 3 de julho de 2002 14:18
Assunto: Re: [obm-l] dois problemas
> Este problema 1 ja e famoso.Eu resolvo com
> trigonometria.Seja x=anguloCQT.SLS no QCT,
> 2*sen 60=TQ*sen .No PAT,PT=2/cos x.Pela
> equilateralidade,tg x=sen 60.E como
> x=anguloPTA(prove!),PT e facil de ser calculado e
> vale 7^1/2.Com isso voce finaliza a questao.
> Te mais
>
>
> --- Luis Lopes <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
> > Sauda,c~oes,
> >
> > Acabo de receber estes dois problemas
> > por fax. Alguém saberia resolvê-los?
> >
> > 1) No triângulo ABC "desenhado" abaixo,
> > A=90, C=60,AC=4.
> >
> >B
> >
> >
> >
> > PQ
> >
> >
> >
> > ATC
> >
> > T é ponto médio de AC
> >
> > O triângulo PQT é equilátero. Calcule a área
> > do círculo circunscrito ao triângulo PQT.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>
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Re: [obm-l] dois problemas
Este problema 1 ja e famoso.Eu resolvo com trigonometria.Seja x=anguloCQT.SLS no QCT, 2*sen 60=TQ*sen .No PAT,PT=2/cos x.Pela equilateralidade,tg x=sen 60.E como x=anguloPTA(prove!),PT e facil de ser calculado e vale 7^1/2.Com isso voce finaliza a questao. Te mais --- Luis Lopes <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > Sauda,c~oes, > > Acabo de receber estes dois problemas > por fax. Alguém saberia resolvê-los? > > 1) No triângulo ABC "desenhado" abaixo, > A=90, C=60,AC=4. > >B > > > > PQ > > > > ATC > > T é ponto médio de AC > > O triângulo PQT é equilátero. Calcule a área > do círculo circunscrito ao triângulo PQT. > = TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQVE POTIRE CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBUERE Fields Medal(john Charles Fields) ___ Yahoo! Encontros O lugar certo para encontrar a sua alma gêmea. http://br.encontros.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
