Re: [Logica-l] Re: Is there a model of ZFC inside which ZFC does not have a model?

[Joao Marcos]

PessoALL:

Eu também diria que há aqui gente muito mais competente do que eu para
falar sobre tudo isto (e sobre qualquer outra coisa a respeito da qual
eu possa falar).  Faço contudo um esclarecimento breve.  Se pensamos
em *teorias* como conjuntos de fórmulas fechados sob derivabilidade,
então as teorias clássicas proposicionais são ("sintaticamente")
completas no sentido de Post.  Estas coisas são bem conhecidas e estão
discutidas, por exemplo, no artigo do Zach, "Completeness before
Post".

No caso clássico *de primeira ordem*, contudo, isto não vale em geral.
Aparentemente este resultado aparece pela primeira vez no livro
clássico de Hilbert & Ackermann de 1928.  Vale notar que a "completude
sintática" equivale à "completude de Post", a saber, a propriedade de
uma teoria não poder ser dedutivamente estendida sem se tornar
inconsistente.  Há em Teoria dos Modelos um critério útil para a
completude de Post, dado pelo chamado "Teste de Łoś–Vaught" (a saber,
para a "completude sintática" é suficiente uma teoria ser satisfatível
sem ter modelos finitos e também ser categórica para algum cardinal
com cardinalidade maior ou igual à cardinalidade da linguagem).

* * *

Sei que com estas observações já vou mudando o rumo da discussão
original, mas uma mensagem da FOM que eu mencionei aqui há duas
semanas trata de alguns pontos históricos interessantes sobre as
várias "completudes":
https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/d/msg/logica-l/VGpLWarJiYM/zoxKzN5yAgAJ
Logo no primeiro parágrafo de sua mensagem, o Franks chama a atenção
para as evidências de que Hilbert estaria interessado quase que
exclusivamente no conceito de "Post-completeness" ("completude
sintática"), tendo deixado a completude semântica mais ou menos de
lado.  (É preciso tomar cuidado, contudo, com o fato de que o termo
"Post-completeness" também é às vezes usado para algo bem diferente, a
saber, para a *completude funcional*, também conhecida mais
propriamente como "expressive completeness".)

* * *

Abraços,
Joao Marcos


2016-06-16 16:19 GMT-03:00 Hermógenes Oliveira
:
> Samuel Gomes escreveu:
>
>> Olás,
>
> Olá.
>
>> Hermógenes: [...]
>
> Novamente, obrigado pela resposta.
>
>> João Marcos:
>>
>> *
>> Mas no segundo sentido (assumindo que, para eliminar inteiramente a
>> semântica desta conversa, por "refutação de S" estamos nos referindo à
>> "demonstração de ~S") nem mesmo a própria teoria correspondente à
>> *lógica clássica de primeira ordem* seria completa, né?
>> *
>>
>> ... Imagino que aí tenha gente que consiga explicar melhor do que eu,
>> mas essencialmente os teoremas de incompletude necessitam de um pouco
>> de Aritmética, não ? Então, só pegando a Lógica de primeira ordem, não
>> vejo (pelo menos não agora de imediato) como justificar uma
>> incompletude sintática.
>
> Ué.  Eu pensei a coisa muito mais simples do que isso:
>
> A lógica de primeira ordem pura, na sua formulação padrão, é obviamente
> incompleta (sintaticamente), pois, dada uma variável proposicional p,
> não é possível obter uma demonstração ou refutação de p.
>
> A questão da completude sintática só faz mesmo sentido quando temos uma
> teoria formal na qual a lógica de primeira ordem é calibrada para
> própositos aritméticos (matemáticos).  Por exemplo, na aritmética de
> Peano, onde não há variáveis proposicionais e todas as sentenças
> atômicas são compostas usando a constante 0, a função sucessor S e
> demais funções artiméticas.  Ou em ZF, onde as sentenças atômicas tratam
> de conjuntos e suas relações de pertinência.  Em outras palavras, na AP
> todos os termos e variáveis estão para números, a igualdade e os
> predicados se aplicam a números.  Analogamente para ZF, mas com
> conjuntos.
>
> Para teorias aritméticas (matemáticas), faz sentido esperar que, dada
> uma sentença qualquer A, A ou ¬A seja demonstrável, pois não há nenhuma
> sentença contingente.
>
> Estou sendo ingênuo?  Ou não entendi direito a pergunta do João Marcos?
>
> --
> Hermógenes Oliveira

-- 
Você está recebendo esta mensagem porque se inscreveu no grupo "LOGICA-L" dos 
Grupos do Google.
Para cancelar inscrição nesse grupo e parar de receber e-mails dele, envie um 
e-mail para logica-l+unsubscr...@dimap.ufrn.br.
Para postar neste grupo, envie um e-mail para logica-l@dimap.ufrn.br.
Visite este grupo em https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/group/logica-l/.
Para ver esta discussão na web, acesse 
https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/d/msgid/logica-l/CAO6j_LiHB88b8vrLAoUxP4shkh1ae2XOeGMarcLsLZdcMWyWjg%40mail.gmail.com.

Re: [Logica-l] Re: Is there a model of ZFC inside which ZFC does not have a model?

[Famadoria]

Bell, Set Theory, 2005, p. 109. 

Sent from my iPhone

> On Jun 16, 2016, at 4:25 PM, 'Samuel Gomes' via LOGICA-L 
>  wrote:
> 
> Oi Hermógenes,
> 
> Como eu disse, tem gente melhor do que eu na comunidade pra discutir isso 
> (Doria, Rodrigo Freire, entre outros). 
> 
> Eu sempre pensei em incompletude a partir de um pouquinho de Aritmética. Para 
> a lógica de primeira ordem, sempre pensei
> em termos da outra completude (a semântica). 
> 
> Seu argumento com variáveis proposicionais aparentemente procede, mas não 
> seria o caso
> de se pensar em demonstrações/refutações do fecho universal de fórmulas que 
> tenham pelo menos algum símbolo relacional ou funcional ? 
> 
> Atés,
> 
> []s  Samuel
> 
> 
> 
>> On Wednesday, June 15, 2016 at 2:18:53 PM UTC-3, Joao Marcos wrote:
>> Partilho uma pergunta interessante, com respostas instrutivas: 
>> 
>> Is there a model of ZFC inside which ZFC does not have a model? 
>> http://math.stackexchange.com/questions/1826423/is-there-a-model-of-zfc-inside-which-zfc-does-not-have-a-model
>>  
>> 
>> 
>> JM
> 
> -- 
> Você recebeu essa mensagem porque está inscrito no grupo "LOGICA-L" dos 
> Grupos do Google.
> Para cancelar inscrição nesse grupo e parar de receber e-mails dele, envie um 
> e-mail para logica-l+unsubscr...@dimap.ufrn.br.
> Para postar nesse grupo, envie um e-mail para logica-l@dimap.ufrn.br.
> Acesse esse grupo em 
> https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/group/logica-l/.
> Para ver essa discussão na Web, acesse 
> https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/d/msgid/logica-l/7463a84a-c180-4e43-90c5-58a0d675598e%40dimap.ufrn.br.

-- 
Você está recebendo esta mensagem porque se inscreveu no grupo "LOGICA-L" dos 
Grupos do Google.
Para cancelar inscrição nesse grupo e parar de receber e-mails dele, envie um 
e-mail para logica-l+unsubscr...@dimap.ufrn.br.
Para postar neste grupo, envie um e-mail para logica-l@dimap.ufrn.br.
Visite este grupo em https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/group/logica-l/.
Para ver esta discussão na web, acesse 
https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/d/msgid/logica-l/9525BB17-05DA-4964-98AF-12F4F1E2D7FC%40gmail.com.

Re: [Logica-l] Re: Is there a model of ZFC inside which ZFC does not have a model?

[Famadoria]

Colapso de cardinais: vc vê na prova, direitinho, essas aplicações que existem 
ou não, conforme o modelo. 

Sent from my iPhone

> On Jun 16, 2016, at 10:16 AM, Hermógenes Oliveira 
>  wrote:
> 
> Samuel Gomes escreveu:
> 
>> Oi Hermógenes,
> 
> Oi, Samuel.  Obrigado pelos esclarecimentos!  Ainda tenho algumas
> questões, se não for abusar demais da sua paciência (e da lista).
> 
>> --> A coisa dos "modelos pensantes" é simplesmente um jargão. Dizer
>> que um modelo M "pensa" uma certa asserção phi é simplesmente
>> dizer que M modela phi, i.e., que phi é válida em M, que phi é
>> verificada em M.
> 
> Hum.  Acho o jargão meio esquisito, mas tudo bem.
> 
> Então, baseado nas suas explicações abaixo, a frase "this model must
> think that ZFC has no model" significa que um certo modelo M de ZFC
> modela, ou satisfaz, a sentença gödeliana ⌜φ⌝ que "expressa" a
> inconsistência de ZFC.  É isso?
> 
>> Exemplo: por Lowenheim-Skolem "pra baixo", a teoria dos reais (em
>> primeira ordem) tem modelo enumerável. Então podemos ter uma estrutura
>> enumerável M no qual todas as sentenças sobre os reais são válidas,
>> quando relativizadas a M (existe x = existe x em M, para todo x = para
>> todo x em M, e assim por diante).
>> 
>> O que choca inicialmente as pessoas é: como pode existir um modelo
>> enumerável de algo que é não-enumerável ? Esse seria o tal do Paradoxo
>> de Skolem...
>> 
>> Pois é, o que ocorre é que o tal modelo enumerável "pensa" que é
>> não-enumerável. Pois todas as funções que sobrejetam os naturais em M
>> estão FORA do modelo: eu olhando de fora sei que ele é enumerável, mas
>> "lá dentro" as tais funções que o enumeram não estão, essas funções
>> não pertencem a M. "Na opinião dele", ele é enumerável - pois a
>> sentença "Não existe bijeção entre a estrutura e os naturais" é
>> verificada, é válida lá.
> 
> Imagino que aqui você quis dizer: "Na opinião dele, ele *não* é
> enumerável — pois a sentença "Não existe bijeção entre a estrutura e os
> naturais" é verificada, é válida lá."
> 
> Ou eu perdi alguma sutileza?
> 
>> (É a velha historinha de que a formiguinha que está andando sobre a
>> mesa não consegue enxergar a terceira dimensão: ela "pensa" que
>> o mundo é bidimensional, porque o modelo onde ela vive é assim).
>> 
>> --> você pergunta "por quê" estamos usando o Teorema de Completude
>> para ZFC, então não tenho certeza
>> se realmente a sua pergunta é sobre "por quê" ou "como", então vou
>> aproveitar a oportunidade para
>> dar respostas rápidas para ambas...
>> 
>> "Por quê ?": se a pergunta foi essa, talvez você esteja confundindo
>> completude SEMÂNTICA (= "se é consistente, tem modelo") com
>> completude SINTÁTICA (="toda sentença pode ser provada ou refutada").
> 
> De fato, eu estava pensando em completude sintática.
> 
> Quando o Noah Schweber começou uma frase com "by completeness" e a frase
> seguinte com "by incompleteness", minha cabeça girou...
> 
> Por isso, prefiro chamar o primeiro teorema de Gödel de teorema de
> *indecidibilidade*, pois, caso contrário, sempre acabo metendo os pés
> pelas mãos com a distinção que você faz acima.
> 
>> [...]
>> 
>> ZFC não prova Con(ZFC) - ou seja, Con(ZFC) não é consequência
>> sintática de ZFC. ("Claro que na verdade não prova nem refuta, mas
>> sigamos só disso")
>> 
>> Por Completude, se não é consequência sintática então não é
>> consistência semântica.
>> 
>> Então não é verdade que Con(ZFC) seja válido em todos os modelos de
>> ZFC.
>> 
>> Portanto, existe um modelo de ZFC no qual Con(ZFC) não é válido. Esse
>> é um tal modelo que "pensa que não existe" - pois, dentro dele, a
>> asserção "existem modelos de ZFC" (que é equivalente a "ZFC é
>> consistente", por Soundness + Completeness) não é verificada.
>> 
>> ... Notar que, também por completude, deverão existir modelos de ZFC
>> onde Con(ZFC) é válido e também deverão existir modelos de ZFC onde
>> Con(ZFC) não é válido ("se todos os modelos concordassem, existiria
>> uma prova", essencialmente é isso que Completude diz). Aí podemos
>> aplicar Soundness e chegar em Con(Con (ZFC)) e Con(não Con(ZFC)), ou
>> seja, Con(ZFC) é independente de ZFC.
> 
> Achei a sua explicação bem melhor do que a do Noah.  Ademais, talvez por
> causa da dissolução do jargão, sua explicação não soa tão misteriosa.
> 
> Além do jargão, algo que me escapou na resposta do Noah e que ficou mais
> claro na sua é como usar consistência, que Gödel mostrou como codificar
> para dentro da teoria, e completude semântica (consistência ≡ existência
> de modelo) para "expressar" noções como "(não) tem modelo" dentro da
> teoria.
> 
> Agora, devo admitir que essa conversa toda de "modelo pensante" e
> "modelo de ZFC dentro do qual ZFC não tem modelo", me soa *muito*
> suspeita: terminologia, alegações e asserções tão misteriosas (eu diria
> até mesmo místicas) para expressar algo tão simples.  Deve ser por isso
> que eu fujo de teoria dos modelos que nem o diabo da 

Re: [Logica-l] Re: Is there a model of ZFC inside which ZFC does not have a model?

[Hermógenes Oliveira]

Samuel Gomes escreveu:

> Olás,

Olá.

> Hermógenes: [...]

Novamente, obrigado pela resposta.

> João Marcos:
>
> *
> Mas no segundo sentido (assumindo que, para eliminar inteiramente a
> semântica desta conversa, por "refutação de S" estamos nos referindo à
> "demonstração de ~S") nem mesmo a própria teoria correspondente à
> *lógica clássica de primeira ordem* seria completa, né?
> *
>
> ... Imagino que aí tenha gente que consiga explicar melhor do que eu,
> mas essencialmente os teoremas de incompletude necessitam de um pouco
> de Aritmética, não ? Então, só pegando a Lógica de primeira ordem, não
> vejo (pelo menos não agora de imediato) como justificar uma
> incompletude sintática.

Ué.  Eu pensei a coisa muito mais simples do que isso:

A lógica de primeira ordem pura, na sua formulação padrão, é obviamente
incompleta (sintaticamente), pois, dada uma variável proposicional p,
não é possível obter uma demonstração ou refutação de p.

A questão da completude sintática só faz mesmo sentido quando temos uma
teoria formal na qual a lógica de primeira ordem é calibrada para
própositos aritméticos (matemáticos).  Por exemplo, na aritmética de
Peano, onde não há variáveis proposicionais e todas as sentenças
atômicas são compostas usando a constante 0, a função sucessor S e
demais funções artiméticas.  Ou em ZF, onde as sentenças atômicas tratam
de conjuntos e suas relações de pertinência.  Em outras palavras, na AP
todos os termos e variáveis estão para números, a igualdade e os
predicados se aplicam a números.  Analogamente para ZF, mas com
conjuntos.

Para teorias aritméticas (matemáticas), faz sentido esperar que, dada
uma sentença qualquer A, A ou ¬A seja demonstrável, pois não há nenhuma
sentença contingente.

Estou sendo ingênuo?  Ou não entendi direito a pergunta do João Marcos?

-- 
Hermógenes Oliveira

-- 
Você está recebendo esta mensagem porque se inscreveu no grupo "LOGICA-L" dos 
Grupos do Google.
Para cancelar inscrição nesse grupo e parar de receber e-mails dele, envie um 
e-mail para logica-l+unsubscr...@dimap.ufrn.br.
Para postar neste grupo, envie um e-mail para logica-l@dimap.ufrn.br.
Visite este grupo em https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/group/logica-l/.
Para ver esta discussão na web, acesse 
https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/d/msgid/logica-l/877fdplz57.fsf%40camelot.oliveira.

Re: [Logica-l] Re: Is there a model of ZFC inside which ZFC does not have a model?

[Francisco Antonio Doria]

Ou seja: como a incompletude, esses outros resultados estranhos têm
consequências fora da lógica.

2016-06-16 8:23 GMT-03:00 'Samuel Gomes' via LOGICA-L <
logica-l@dimap.ufrn.br>:

> Oi Hermógenes,
>
> --> A coisa dos "modelos pensantes" é simplesmente um jargão. Dizer que um
> modelo M "pensa" uma certa asserção phi é simplesmente
> dizer que M modela phi, i.e., que phi é válida em M, que phi é verificada
> em M.
>
> Exemplo: por Lowenheim-Skolem "pra baixo", a teoria dos reais (em primeira
> ordem) tem modelo enumerável. Então podemos ter uma
> estrutura enumerável M no qual todas as sentenças sobre os reais são
> válidas, quando relativizadas a M (existe x = existe x em M, para todo x =
> para todo x em M, e assim por diante).
>
> O que choca inicialmente as pessoas é: como pode existir um modelo
> enumerável de algo que é não-enumerável ? Esse seria o tal do
> Paradoxo de Skolem...
>
> Pois é, o que ocorre é que o tal modelo enumerável "pensa" que é
> não-enumerável. Pois todas as funções que
> sobrejetam os naturais em M estão FORA do modelo: eu olhando de fora sei
> que ele é enumerável, mas "lá dentro" as tais
> funções que o enumeram não estão, essas funções não pertencem a M. "Na
> opinião dele", ele é enumerável - pois a sentença "Não existe bijeção entre
> a estrutura
> e os naturais" é verificada, é válida lá.
>
> (É a velha historinha de que a formiguinha que está andando sobre a mesa
> não consegue enxergar a terceira dimensão: ela "pensa" que
> o mundo é bidimensional, porque o modelo onde ela vive é assim).
>
> --> você pergunta "por quê" estamos usando o Teorema de Completude para
> ZFC, então não tenho certeza
> se realmente a sua pergunta é sobre "por quê" ou "como", então vou
> aproveitar a oportunidade para
> dar respostas rápidas para ambas...
>
> "Por quê ?": se a pergunta foi essa, talvez você esteja confundindo
> completude SEMÂNTICA (= "se é consistente, tem modelo") com
> completude SINTÁTICA (="toda sentença pode ser provada ou refutada").
>
> ZFC = ZFC de primeira ordem aí no nosso contexto, portanto, por ser uma
> teoria de primeira ordem, vale o Teorema de Completude para
> ZFC - o que dá a completude semântica de ZFC. Notar que
>
> "Se é consistente, tem modelo" é um enunciado equivalente a "Consequências
> semânticas são consequências sintáticas"
>
> (aqui estou falando como lógico; se eu estivesse falando como matemático,
> eu possivelmente diria que os dois teoremas acima
> são equivalentes, hehe, mas na verdade sabemos que são dois enunciados
> equivalentes para o mesmo teorema, digamos)
>
> As recíprocas são o Teorema da Correção (Soundness), cujos enunciados
> equivalentes são
>
> "Se tem modelo, é consistente" <=> "Consequências sintáticas são
> consequências semânticas"
>
> (o que é mesmo o lado fácil: se phi é uma consequência sintática de T
> (i.e., se T prova phi), então a correção do sistema
> garante que phi vai ser válida em todos os modelos de T (i.e., phi é
> consequência semântica de T))
>
>
> ... Ou seja, o Teorema de Completude garante a completude semântica de ZFC
> com primeira ordem, enquanto que
> o Teorema de Incompletude mostrou a incompletude sintática de ZFC.
>
>
> --> "Como":  Seja Con(ZFC) a declaração de que ZFC é consistente (que eu
> comentei na outra mensagem ser equivalente à
> Sentença de Gödel).
>
> Então, pelo primeiro ou pelo segundo teorema de incompletude, meio que
> tanto faz porque no fundo é a mesma
> coisa,
>
> ZFC não prova Con(ZFC) - ou seja, Con(ZFC) não é consequência sintática de
> ZFC.   ("Claro que na verdade não prova nem refuta, mas sigamos só disso")
>
> Por Completude, se não é consequência sintática então não é consistência
> semântica.
>
> Então não é verdade que Con(ZFC) seja válido em todos os modelos de ZFC.
>
> Portanto, existe um modelo de ZFC no qual Con(ZFC) não é válido. Esse é um
> tal modelo que "pensa que não existe" - pois, dentro dele,
> a asserção "existem modelos de ZFC" (que é equivalente a "ZFC é
> consistente", por Soundness + Completeness) não é verificada.
>
>
> ... Notar que, também por completude, deverão existir modelos de ZFC onde
> Con(ZFC) é válido e também deverão
> existir modelos de ZFC onde Con(ZFC) não é válido ("se todos os modelos
> concordassem, existiria uma prova", essencialmente é isso
> que Completude diz). Aí podemos aplicar Soundness e chegar em
> Con(Con(ZFC)) e Con(não Con(ZFC)), ou seja,
> Con(ZFC) é independente de ZFC.
>
>
> ... Espero que ajude,
>
> Até,
>
> []s  Samuel
>
>
>
>
> On Wednesday, June 15, 2016 at 2:18:53 PM UTC-3, Joao Marcos wrote:
>>
>> Partilho uma pergunta interessante, com respostas instrutivas:
>>
>> Is there a model of ZFC inside which ZFC does not have a model?
>>
>> http://math.stackexchange.com/questions/1826423/is-there-a-model-of-zfc-inside-which-zfc-does-not-have-a-model
>>
>>
>> JM
>>
> --
> Você recebeu essa mensagem porque está inscrito no grupo "LOGICA-L" dos
> Grupos do Google.
> Para cancelar inscrição nesse grupo e parar de receber 

Re: [Logica-l] Re: Is there a model of ZFC inside which ZFC does not have a model?

[Marcelo Finger]

Oi Samuel.

É muito divertido isso tudo, com certeza...


Exatamente o que eu pensei :-)

[]s


-- 
 Marcelo Finger
 Departament of Computer Science, IME
 University of Sao Paulo
 http://www.ime.usp.br/~mfinger

-- 
Você está recebendo esta mensagem porque se inscreveu no grupo "LOGICA-L" dos 
Grupos do Google.
Para cancelar inscrição nesse grupo e parar de receber e-mails dele, envie um 
e-mail para logica-l+unsubscr...@dimap.ufrn.br.
Para postar neste grupo, envie um e-mail para logica-l@dimap.ufrn.br.
Visite este grupo em https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/group/logica-l/.
Para ver esta discussão na web, acesse 
https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/d/msgid/logica-l/CABqmzx140gSM9a9gj7wE_z91XSsMkyxKbBiXLCbx6t_Cr_V7OA%40mail.gmail.com.

Re: [Logica-l] Re: Is there a model of ZFC inside which ZFC does not have a model?

[Francisco Antonio Doria]

Sistemas formais são coisa muito estranha. Parecem inocentinhos, mas...

2016-06-16 4:12 GMT-03:00 Francisco Antonio Doria :

> Essas propriedades estranhas aparecem a toda hora, e inesperadamente.
> Recentemente Newton e  eu provamos o seguinte - já me referi a esse
> resultado: seja S um sistema formal (pode ser ZFC) com um conjunto r.e. de
> teoremas, ``bastante aritmética,'' linguagem de 1a ordem, consistente, etc.
> Então S + S é \Sigma_1-sound prova que S não tem uma prova de P não quer dizer que a prova não exista; significa apenas que S + S é
> \Sigma_1-sound não consegue fazer com que S a veja.
>
> 2016-06-16 0:04 GMT-03:00 'Samuel Gomes' via LOGICA-L <
> logica-l@dimap.ufrn.br>:
>
>> ... Essencialmente (e por favor me corrijam se eu estiver sendo
>> excessivamente simplista), em ZFC temos
>>
>> Consistência de ZFC <---> "Sentença de Gödel"
>>
>> onde "Sentença de Gödel" é a asserção de ZFC que declara sua própria
>> não-demonstrabilidade.
>>
>> Ou seja, a sentença que nos garante o Primeiro Teorema de Incompletude
>> (por não ser nem demonstrável nem refutável)
>> acaba dando o Segundo Teorema de Incompletude de graça (afinal, a tal
>> sentença que não podemos nem demonstrar nem refutar
>> é equivalente à própria consistência do sistema). Esse aspecto do Segundo
>> Teorema de Incompletude ser consequência imediata (da demonstração) do
>> Primeiro não é muito comentada por aí...
>>
>> Aí, é só usar o Teorema de Completude para conseguir os tais modelos onde
>> não há modelos.
>>
>> É muito divertido isso tudo, com certeza...
>>
>> Atés,
>>
>> []s  Samuel
>>
>>
>>
>>
>> On Wednesday, June 15, 2016 at 2:18:53 PM UTC-3, Joao Marcos wrote:
>>>
>>> Partilho uma pergunta interessante, com respostas instrutivas:
>>>
>>> Is there a model of ZFC inside which ZFC does not have a model?
>>>
>>> http://math.stackexchange.com/questions/1826423/is-there-a-model-of-zfc-inside-which-zfc-does-not-have-a-model
>>>
>>>
>>> JM
>>>
>> --
>> Você recebeu essa mensagem porque está inscrito no grupo "LOGICA-L" dos
>> Grupos do Google.
>> Para cancelar inscrição nesse grupo e parar de receber e-mails dele,
>> envie um e-mail para logica-l+unsubscr...@dimap.ufrn.br.
>> Para postar nesse grupo, envie um e-mail para logica-l@dimap.ufrn.br.
>> Acesse esse grupo em
>> https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/group/logica-l/.
>> Para ver essa discussão na Web, acesse
>> https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/d/msgid/logica-l/db691fb5-73dc-43f8-9709-29eb384d9422%40dimap.ufrn.br
>> 
>> .
>>
>
>
>
> --
> fad
>
> ahhata alati, awienta Wilushati
>



-- 
fad

ahhata alati, awienta Wilushati

-- 
Você está recebendo esta mensagem porque se inscreveu no grupo "LOGICA-L" dos 
Grupos do Google.
Para cancelar inscrição nesse grupo e parar de receber e-mails dele, envie um 
e-mail para logica-l+unsubscr...@dimap.ufrn.br.
Para postar neste grupo, envie um e-mail para logica-l@dimap.ufrn.br.
Visite este grupo em https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/group/logica-l/.
Para ver esta discussão na web, acesse 
https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/d/msgid/logica-l/CA%2BuR7BLM9pbafqpyWAJvm%3DKc%3Dacp566E3gvC78rW5-iRODjMmA%40mail.gmail.com.

Re: [Logica-l] Re: Is there a model of ZFC inside which ZFC does not have a model?

[Hermógenes Oliveira]

Dankness asked
> Is there a model of ZFC inside which ZFC does not have a model? 

Noah Schweber answered:
> Yes.

> Recall that by the Completeness Theorem, having a model and being
> consistent are the same thing. Also, by Incompleteness, ZFC doesn't
> prove its own consistency. Finally, ZFC can prove the Soundness
> Theorem - that an inconsistent theory has no models!

> So - assuming ZFC has a model - ZFC is consistent. If ZFC is
> consistent, then ZFC can't prove "ZFC is consistent." By completeness,
> this means there's a model of ZFC satisfying "ZFC is inconsistent."
> Since ZFC proves the Soundness Theorem, this model must think that ZFC
> has no model!

Algém teria a bondade de esclarecer o que significam "modelos pensantes"
e por quê o teorema de *completude* está sendo invocado para *ZFC*?

-- 
Hermógenes Oliveira

-- 
Você está recebendo esta mensagem porque se inscreveu no grupo "LOGICA-L" dos 
Grupos do Google.
Para cancelar inscrição nesse grupo e parar de receber e-mails dele, envie um 
e-mail para logica-l+unsubscr...@dimap.ufrn.br.
Para postar neste grupo, envie um e-mail para logica-l@dimap.ufrn.br.
Visite este grupo em https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/group/logica-l/.
Para ver esta discussão na web, acesse 
https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/d/msgid/logica-l/877fdp62nn.fsf%40camelot.oliveira.

Re: [Logica-l] Re: Is there a model of ZFC inside which ZFC does not have a model?

['Samuel Gomes' via LOGICA-L]

Oi Walter,

Nos centros de Lógica, creio que sim ! Mas em textos de pura divulgação 
científica, endereçados a matemáticos iniciantes, digamos, os dois teoremas de 
incompletude são "vendidos" como se fossem dois resultados correlatos, porém 
não tão próximos - e isso do segundo ser consequência direta do primeiro, 
então, isso nem sequer é cogitado...

Claro que o buraco pode ser colocado mais embaixo: Acho que 99 por cento dos 
matemáticos não sabem o que diz o teorema da completude mesmo !

Isso causa situações estranhas. Um matemático tende a dizer que dois teoremas 
são equivalentes se assumindo o enunciado de um, prova-se o outro, e vice-versa 
- por exemplo, o teorema da função implícita e o da função inversa são 
equivalentes, nesse sentido.

Devido ao fato da minha formação ter sido feita toda em Matemática, esse jargão 
não me choca. Porém, um dia um colega que tem um conhecimento um pouco mais 
aprofundado de Lógica me chamou a atenção:

- Isso é besteira. Todos os teoremas que demonstramos são equivalentes entre si.

... Só quem entende o que diz o teorema da completude teria clareza disso.

Até,

[]s. Samuel

-- 
Você está recebendo esta mensagem porque se inscreveu no grupo "LOGICA-L" dos 
Grupos do Google.
Para cancelar inscrição nesse grupo e parar de receber e-mails dele, envie um 
e-mail para logica-l+unsubscr...@dimap.ufrn.br.
Para postar neste grupo, envie um e-mail para logica-l@dimap.ufrn.br.
Visite este grupo em https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/group/logica-l/.
Para ver esta discussão na web, acesse 
https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/d/msgid/logica-l/674ad97f-9f3c-44c4-85c6-ab974d93104f%40dimap.ufrn.br.

Re: [Logica-l] Re: Is there a model of ZFC inside which ZFC does not have a model?

[Walter Alexandre Carnielli]

Oi Samuel,

O fato de o Segundo Teorema de Incompletude ser consequência imediata  do
Primeiro é, sim,  bem conhecido  por aí...

Abs
Walter

> Em 16 de jun de 2016, às 00:04, 'Samuel Gomes' via LOGICA-L 
>  escreveu:
> 
> Esse aspecto do Segundo Teorema de Incompletude ser consequência imediata (da 
> demonstração) do
> Primeiro não é muito comentada por aí...

-- 
Você está recebendo esta mensagem porque se inscreveu no grupo "LOGICA-L" dos 
Grupos do Google.
Para cancelar inscrição nesse grupo e parar de receber e-mails dele, envie um 
e-mail para logica-l+unsubscr...@dimap.ufrn.br.
Para postar neste grupo, envie um e-mail para logica-l@dimap.ufrn.br.
Visite este grupo em https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/group/logica-l/.
Para ver esta discussão na web, acesse 
https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/d/msgid/logica-l/1EA28977-DC35-41EA-A679-7E5F5C51BD5C%40gmail.com.