PessoALL:
Eu também diria que há aqui gente muito mais competente do que eu para
falar sobre tudo isto (e sobre qualquer outra coisa a respeito da qual
eu possa falar). Faço contudo um esclarecimento breve. Se pensamos
em *teorias* como conjuntos de fórmulas fechados sob derivabilidade,
então as teorias clássicas proposicionais são ("sintaticamente")
completas no sentido de Post. Estas coisas são bem conhecidas e estão
discutidas, por exemplo, no artigo do Zach, "Completeness before
Post".
No caso clássico *de primeira ordem*, contudo, isto não vale em geral.
Aparentemente este resultado aparece pela primeira vez no livro
clássico de Hilbert & Ackermann de 1928. Vale notar que a "completude
sintática" equivale à "completude de Post", a saber, a propriedade de
uma teoria não poder ser dedutivamente estendida sem se tornar
inconsistente. Há em Teoria dos Modelos um critério útil para a
completude de Post, dado pelo chamado "Teste de Łoś–Vaught" (a saber,
para a "completude sintática" é suficiente uma teoria ser satisfatível
sem ter modelos finitos e também ser categórica para algum cardinal
com cardinalidade maior ou igual à cardinalidade da linguagem).
* * *
Sei que com estas observações já vou mudando o rumo da discussão
original, mas uma mensagem da FOM que eu mencionei aqui há duas
semanas trata de alguns pontos históricos interessantes sobre as
várias "completudes":
https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/d/msg/logica-l/VGpLWarJiYM/zoxKzN5yAgAJ
Logo no primeiro parágrafo de sua mensagem, o Franks chama a atenção
para as evidências de que Hilbert estaria interessado quase que
exclusivamente no conceito de "Post-completeness" ("completude
sintática"), tendo deixado a completude semântica mais ou menos de
lado. (É preciso tomar cuidado, contudo, com o fato de que o termo
"Post-completeness" também é às vezes usado para algo bem diferente, a
saber, para a *completude funcional*, também conhecida mais
propriamente como "expressive completeness".)
* * *
Abraços,
Joao Marcos
2016-06-16 16:19 GMT-03:00 Hermógenes Oliveira
<hermogenes.olive...@student.uni-tuebingen.de>:
> Samuel Gomes escreveu:
>
>> Olás,
>
> Olá.
>
>> Hermógenes: [...]
>
> Novamente, obrigado pela resposta.
>
>> João Marcos:
>>
>> *****************************************************************************
>> Mas no segundo sentido (assumindo que, para eliminar inteiramente a
>> semântica desta conversa, por "refutação de S" estamos nos referindo à
>> "demonstração de ~S") nem mesmo a própria teoria correspondente à
>> *lógica clássica de primeira ordem* seria completa, né?
>> *****************************************************************************
>>
>> ... Imagino que aí tenha gente que consiga explicar melhor do que eu,
>> mas essencialmente os teoremas de incompletude necessitam de um pouco
>> de Aritmética, não ? Então, só pegando a Lógica de primeira ordem, não
>> vejo (pelo menos não agora de imediato) como justificar uma
>> incompletude sintática.
>
> Ué. Eu pensei a coisa muito mais simples do que isso:
>
> A lógica de primeira ordem pura, na sua formulação padrão, é obviamente
> incompleta (sintaticamente), pois, dada uma variável proposicional p,
> não é possível obter uma demonstração ou refutação de p.
>
> A questão da completude sintática só faz mesmo sentido quando temos uma
> teoria formal na qual a lógica de primeira ordem é calibrada para
> própositos aritméticos (matemáticos). Por exemplo, na aritmética de
> Peano, onde não há variáveis proposicionais e todas as sentenças
> atômicas são compostas usando a constante 0, a função sucessor S e
> demais funções artiméticas. Ou em ZF, onde as sentenças atômicas tratam
> de conjuntos e suas relações de pertinência. Em outras palavras, na AP
> todos os termos e variáveis estão para números, a igualdade e os
> predicados se aplicam a números. Analogamente para ZF, mas com
> conjuntos.
>
> Para teorias aritméticas (matemáticas), faz sentido esperar que, dada
> uma sentença qualquer A, A ou ¬A seja demonstrável, pois não há nenhuma
> sentença contingente.
>
> Estou sendo ingênuo? Ou não entendi direito a pergunta do João Marcos?
>
> --
> Hermógenes Oliveira
--
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