Re: [obm-l] RE: [obm-l] 8ª Cone Sul - tabuleiro
Boa resolução também ! São 3 entradas para 3 opções em cada entrada {0,1,2}, logo 3^3 = 27.
Em uma mensagem de 20/9/2004 13:59:38 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu:
Estava pensando... O movimento descrito (altera 3 e mantém 1) não seria o
equivalente ao oposto (mantém 3 e altera 1?)
Tentei isso e deu certo. Seria mais ou menos em trabalhar com algarismos na
base 3. o resultado inicial seria:
1000
2000
0100
1100
...
Traduzindo para o movimento normal, teríamos:
0111
0222
1200
1011
...
Logo, fica fácil ver que poderíamos obter as 27 combinações sem repetição.
Só para dar a resposta completa:
0111
0222
1200
1011
1122
2100
2211
2022
0120
0201
0012
1020
1101
1212
2220
2001
2112
0210
0021
0102
1110
1221
1002
2010
2121
2202
SDS
JG
-Original Message-
From: Domingos Jr. [mailto:[EMAIL PROTECTED]
Sent: Sunday, September 19, 2004 10:06 AM
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: [obm-l] 8ª Cone Sul - tabuleiro
[EMAIL PROTECTED] wrote:
Valeu Domingos,
A única passagem que não entendi de sua solução foi:
(... suponha que tenhamos 0 = x = 3 elementos {0, 1} dentre os
elementos da
linha anterior sem incluir o elemento selecionado e há 3 - x elementos 2
dentre esses mesmos caras ...)
a linha anterior (a inicial, por exemplo) tem 4 elementos, sendo que um
deles será mantido na linha seguinte.
desconsiderando esse cara que está fixo, sobram 3 elementos: sendo que x
deles são entradas 0 ou 1 e os outros 3 - x são entradas 2.
acho que agora fica claro por que a soma da linha seguinte é S' = S + x
- 2(3 - x), certo?
sinceramente, eu acho que 27 é um número grandinho, eu não teria saco
para 'escrever' a solução de um problema desses.
[ ]'s
Re: [obm-l] Curiosidades Matemáticas
Olá Valdery... Outro dia pensamento semelhante me ocorreu. Procurei encontrar um termo geral que definisse a relação, mas não obtive succeso. Um abraço AlanValdery Sousa [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá Pessoal! Faz algum tempo atrás q eu descobri coisas interessantes e gostaria de repassar para vcs. Lembram-se daqueles assuntos de desenvonvimento binomial e números binomiais? Pois é , quem diria sua relação sutil com 'séries de potências'?... Veja soh: 0² 1² 2² 3² 4² 5² 6² 7² ... 0 1 4 9 16 25 36 49 ... 13 5 7 9 11 13 ... 22 2 2 2 2 ... Observe q a soma dos n primeiros números é uma Progressão Aritmética. O q tem a ver isto com números binomiais? Simples: Observe q após efetuarmos subtrações sucessivas chegamos a uma razão constante, q é, no caso acima igual a 2. Essa constante eh dada por N! , sendo N o expoente da série de potências. Veja uma série com expoente 3: 0³ 1³ 2³ 3³ 4³ 5³ 6³ 7³ ... 0 1 82764125 216 343 ... 1 7 19 34 61 91127 ... 6 12 18 24 30 36 ... 6 6 6 6 6 ... A constante no final de todas as subtrações é 3!= 3* 2 *1 = 6. Testem com outros valores para o expoente! Talvez não tenha , aparentemente, utilidade agora; mas algum dia talvez o tenha... Cordialmente, Valdery Sousa. __Do You Yahoo!?Tired of spam? Yahoo! Mail has the best spam protection around http://mail.yahoo.com Yahoo! Messenger 6.0 - jogos, emoticons sonoros e muita diversão. Instale agora!
Re: [obm-l] Triste fato
Citando Rhilbert Rivera [EMAIL PROTECTED]: faltou dizer porque esse fato é triste. Amigos, gostaria de uma prova para o triste fato abaixo: Mostre que se f(x)=a(n) +a(n-1)x^n-1 +...+a(1) x +a(0), com n=1 e a(n) # 0, sendo os coeficientes a(n),...,a(0) todos inteiros, então existe um inteiro a tal que f(a) é composto. Aviso: Os (n), (n-1), ..., (0) são os índices dos coeficientes do polinômio e usei o símbolo # para significar diferente. Abraços (^_^) _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = - URI - Campus de Santo Angelo-RS http://www.urisan.tche.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] inteiros
Tio Cabri st wrote: Se K é um número Natural então K^5 possui o mesmo algarismo das unidades. TEntei fazer por indução empaquei. Tentei demonstrar que k^5-K é múltiplo de dez empaquei novamente Se você quiser fazer por indução, então o mais fácil é quebrar o problema em dois: prove que k^5-k é par, e depois que k^5-k é multiplo de 5. Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk [EMAIL PROTECTED] kimitatino kitiwa subete CATS ga itadaita -- União contra o forward - crie suas proprias piadas -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Problemas IME
Ola, eu estou com duvida nos seguintes problemas: (IME 94/95) Prove que o polinômio P(x)= x^999 + x^888 + x^777 + ... x^111 +1 é divisível por x^9 + x^8 + x^7 + ... + x + 1. (IME 95/96) Sejam w(0)= 1, w(1)= j, w(2)= j² as raízes cúbicas da unidade no plano complexo(considere w(1) o número complexo de módulo 1 e argumento 2pi/3). Sabendo que se c pertence aos Complexos, a rotação R em torno do ponto c e amplitude igual a pi/3 é dada por R(z)= -j²z -jc , para todo z pertencente aos complexos, menos o ponto c. pede-se: (a) Determinar as relações existentes entre a,b,c,j,j² onde a,b pertencem aos complexos, de modo que o triângulo a, b,c seja equilátero. (b) Determinar z para que o triângulo i, z, iz seja equilátero. Dado: i = (-1)^1/2 (IME 80/81) Seja C o conjunto dos numeros complexos e h pertencente a C. Diz-se que o ponto h eh um ponto de Hurwitz se modulo de h e igual a 1, e, para todo numero natural n, h^n e diferente de 1. Prove que o ponto z=(2-i)/(2+i) é um ponto de Hurwitz. (IME 80/81) Mostre que nao existem matrizes quadradas A e B, quem verifiquem AB-BA = I, onde I e a matriz identidade de uma ordem n qualquer. Flw pessoal. _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] inteiros
Hermann, Eu tenho uma idéia: Pelo método da multiplicação, sabemos que a unidade resultante depende apenas de uma operação, que é a multiplicação dos algarismos das unidades dos fatores. Desta forma, podemos provar diretamente para cada um dos possíveis algarimos das unidades ([0;9]). Para o número x=ABC...N0: ABC...N0 ^2 = A'B'C'...N'0 (x*x=x^2) A'B'C'...N'0 * ABC...N0 = A''B''C''...N''0 (x^2 * x = x^3) A''B''C''...N''0 * A'B'C'...N'0 = A'''B'''C'''...N'''0 (x^3 * x^2 = x^5) Para o número x=ABC...N1: ABC...N01^2 = A'B'C'...N'1 (x*x=x^2) A'B'C'...N'1 * ABC...N1 = A''B''C''...N''1 (x^2 * x = x^3) A''B''C''...N''1 * A'B'C'...N'1 = A'''B'''C'''...N'''1 (x^3 * x^2 = x^5) Para o número x=ABC...N2: ABC...N2 ^2 = A'B'C'...N'4 (x*x=x^2) A'B'C'...N'4 * ABC...N2 = A''B''C''...N''8 (x^2 * x = x^3) A''B''C''...N''4 * A'B'C'...N'8 = A'''B'''C'''...N'''2 (x^3 * x^2 = x^5) Para o número x=ABC...N3: ABC...N3 ^2 = A'B'C'...N'9 (x*x=x^2) A'B'C'...N'9 * ABC...N3 = A''B''C''...N''7 (x^2 * x = x^3) A''B''C''...N''7 * A'B'C'...N'9 = A'''B'''C'''...N'''3 (x^3 * x^2 = x^5) Para o número x=ABC...N4: ABC...N4 ^2 = A'B'C'...N'6 (x*x=x^2) A'B'C'...N'6 * ABC...N4 = A''B''C''...N''4 (x^2 * x = x^3) A''B''C''...N''4 * A'B'C'...N'6 = A'''B'''C'''...N'''4 (x^3 * x^2 = x^5) Para o número x=ABC...N5: ABC...N5 ^2 = A'B'C'...N'5 (x*x=x^2) A'B'C'...N'5 * ABC...N5 = A''B''C''...N''5 (x^2 * x = x^3) A''B''C''...N''5 * A'B'C'...N'5 = A'''B'''C'''...N'''5 (x^3 * x^2 = x^5) Para o número x=ABC...N6: ABC...N6 ^2 = A'B'C'...N'6 (x*x=x^2) A'B'C'...N'6 * ABC...N6 = A''B''C''...N''6 (x^2 * x = x^3) A''B''C''...N''6 * A'B'C'...N'6 = A'''B'''C'''...N'''6 (x^3 * x^2 = x^5) Para o número x=ABC...N7: ABC...N7 ^2 = A'B'C'...N'9 (x*x=x^2) A'B'C'...N'9 * ABC...N7 = A''B''C''...N''3 (x^2 * x = x^3) A''B''C''...N''3 * A'B'C'...N'9 = A'''B'''C'''...N'''7 (x^3 * x^2 = x^5) Para o número x=ABC...N8: ABC...N8 ^2 = A'B'C'...N'4 (x*x=x^2) A'B'C'...N'4 * ABC...N8 = A''B''C''...N''2 (x^2 * x = x^3) A''B''C''...N''2 * A'B'C'...N'4 = A'''B'''C'''...N'''8 (x^3 * x^2 = x^5) Para o número x=ABC...N9: ABC...N9 ^2 = A'B'C'...N'1 (x*x=x^2) A'B'C'...N'1 * ABC...N9 = A''B''C''...N''9 (x^2 * x = x^3) A''B''C''...N''9 * A'B'C'...N'1 = A'''B'''C'''...N'''9 (x^3 * x^2 = x^5) (C.Q.D.) Apesar de não muito elegante, é uma demonstração válida. (Mas estou pensando na prova que K^5-K é múltiplo de 10) Beijos, -- -- Fernando Aires [EMAIL PROTECTED] Em tudo Amar e Servir -- On Tue, 21 Sep 2004 17:03:05 -0300, Tio Cabri st [EMAIL PROTECTED] wrote: Por favor... Como demonstro o seguinte: Se K é um número Natural então K^5 possui o mesmo algarismo das unidades. TEntei fazer por indução empaquei. Tentei demonstrar que k^5-K é múltiplo de dez empaquei novamente espero que alguém da lista saiba Obrigado, Hermann = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] inteiros
Fernando vc acabou demonstrando tb que K^5 - k e multiplo de 10, pois vc demonstrou que o algarismo das unidades e igual ao de algarismo das unidades de k, quando vc subtrair o novo algarismo vai ser 0. From: Fernando Aires [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] inteiros Date: Tue, 21 Sep 2004 17:59:21 -0300 Hermann, Eu tenho uma idéia: Pelo método da multiplicação, sabemos que a unidade resultante depende apenas de uma operação, que é a multiplicação dos algarismos das unidades dos fatores. Desta forma, podemos provar diretamente para cada um dos possíveis algarimos das unidades ([0;9]). Para o número x=ABC...N0: ABC...N0 ^2 = A'B'C'...N'0 (x*x=x^2) A'B'C'...N'0 * ABC...N0 = A''B''C''...N''0 (x^2 * x = x^3) A''B''C''...N''0 * A'B'C'...N'0 = A'''B'''C'''...N'''0 (x^3 * x^2 = x^5) Para o número x=ABC...N1: ABC...N01^2 = A'B'C'...N'1 (x*x=x^2) A'B'C'...N'1 * ABC...N1 = A''B''C''...N''1 (x^2 * x = x^3) A''B''C''...N''1 * A'B'C'...N'1 = A'''B'''C'''...N'''1 (x^3 * x^2 = x^5) Para o número x=ABC...N2: ABC...N2 ^2 = A'B'C'...N'4 (x*x=x^2) A'B'C'...N'4 * ABC...N2 = A''B''C''...N''8 (x^2 * x = x^3) A''B''C''...N''4 * A'B'C'...N'8 = A'''B'''C'''...N'''2 (x^3 * x^2 = x^5) Para o número x=ABC...N3: ABC...N3 ^2 = A'B'C'...N'9 (x*x=x^2) A'B'C'...N'9 * ABC...N3 = A''B''C''...N''7 (x^2 * x = x^3) A''B''C''...N''7 * A'B'C'...N'9 = A'''B'''C'''...N'''3 (x^3 * x^2 = x^5) Para o número x=ABC...N4: ABC...N4 ^2 = A'B'C'...N'6 (x*x=x^2) A'B'C'...N'6 * ABC...N4 = A''B''C''...N''4 (x^2 * x = x^3) A''B''C''...N''4 * A'B'C'...N'6 = A'''B'''C'''...N'''4 (x^3 * x^2 = x^5) Para o número x=ABC...N5: ABC...N5 ^2 = A'B'C'...N'5 (x*x=x^2) A'B'C'...N'5 * ABC...N5 = A''B''C''...N''5 (x^2 * x = x^3) A''B''C''...N''5 * A'B'C'...N'5 = A'''B'''C'''...N'''5 (x^3 * x^2 = x^5) Para o número x=ABC...N6: ABC...N6 ^2 = A'B'C'...N'6 (x*x=x^2) A'B'C'...N'6 * ABC...N6 = A''B''C''...N''6 (x^2 * x = x^3) A''B''C''...N''6 * A'B'C'...N'6 = A'''B'''C'''...N'''6 (x^3 * x^2 = x^5) Para o número x=ABC...N7: ABC...N7 ^2 = A'B'C'...N'9 (x*x=x^2) A'B'C'...N'9 * ABC...N7 = A''B''C''...N''3 (x^2 * x = x^3) A''B''C''...N''3 * A'B'C'...N'9 = A'''B'''C'''...N'''7 (x^3 * x^2 = x^5) Para o número x=ABC...N8: ABC...N8 ^2 = A'B'C'...N'4 (x*x=x^2) A'B'C'...N'4 * ABC...N8 = A''B''C''...N''2 (x^2 * x = x^3) A''B''C''...N''2 * A'B'C'...N'4 = A'''B'''C'''...N'''8 (x^3 * x^2 = x^5) Para o número x=ABC...N9: ABC...N9 ^2 = A'B'C'...N'1 (x*x=x^2) A'B'C'...N'1 * ABC...N9 = A''B''C''...N''9 (x^2 * x = x^3) A''B''C''...N''9 * A'B'C'...N'1 = A'''B'''C'''...N'''9 (x^3 * x^2 = x^5) (C.Q.D.) Apesar de não muito elegante, é uma demonstração válida. (Mas estou pensando na prova que K^5-K é múltiplo de 10) Beijos, -- -- Fernando Aires [EMAIL PROTECTED] Em tudo Amar e Servir -- On Tue, 21 Sep 2004 17:03:05 -0300, Tio Cabri st [EMAIL PROTECTED] wrote: Por favor... Como demonstro o seguinte: Se K é um número Natural então K^5 possui o mesmo algarismo das unidades. TEntei fazer por indução empaquei. Tentei demonstrar que k^5-K é múltiplo de dez empaquei novamente espero que alguém da lista saiba Obrigado, Hermann = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] inteiros
Edward, Sim, é verdade. Mas eu me referia ao método sugerido por outro membro da lista (eu não especifiquei, perdoem-me), que consistia em provar que K^5-K é par, e que K^5-K é múltiplo de 5... Beijos, -- -- Fernando Aires [EMAIL PROTECTED] Em tudo Amar e Servir -- On Tue, 21 Sep 2004 21:09:34 +, Edward Elric [EMAIL PROTECTED] wrote: Fernando vc acabou demonstrando tb que K^5 - k e multiplo de 10, pois vc demonstrou que o algarismo das unidades e igual ao de algarismo das unidades de k, quando vc subtrair o novo algarismo vai ser 0. From: Fernando Aires [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] inteiros Date: Tue, 21 Sep 2004 17:59:21 -0300 Hermann, Eu tenho uma idéia: Pelo método da multiplicação, sabemos que a unidade resultante depende apenas de uma operação, que é a multiplicação dos algarismos das unidades dos fatores. Desta forma, podemos provar diretamente para cada um dos possíveis algarimos das unidades ([0;9]). Para o número x=ABC...N0: ABC...N0 ^2 = A'B'C'...N'0 (x*x=x^2) A'B'C'...N'0 * ABC...N0 = A''B''C''...N''0 (x^2 * x = x^3) A''B''C''...N''0 * A'B'C'...N'0 = A'''B'''C'''...N'''0 (x^3 * x^2 = x^5) Para o número x=ABC...N1: ABC...N01^2 = A'B'C'...N'1 (x*x=x^2) A'B'C'...N'1 * ABC...N1 = A''B''C''...N''1 (x^2 * x = x^3) A''B''C''...N''1 * A'B'C'...N'1 = A'''B'''C'''...N'''1 (x^3 * x^2 = x^5) Para o número x=ABC...N2: ABC...N2 ^2 = A'B'C'...N'4 (x*x=x^2) A'B'C'...N'4 * ABC...N2 = A''B''C''...N''8 (x^2 * x = x^3) A''B''C''...N''4 * A'B'C'...N'8 = A'''B'''C'''...N'''2 (x^3 * x^2 = x^5) Para o número x=ABC...N3: ABC...N3 ^2 = A'B'C'...N'9 (x*x=x^2) A'B'C'...N'9 * ABC...N3 = A''B''C''...N''7 (x^2 * x = x^3) A''B''C''...N''7 * A'B'C'...N'9 = A'''B'''C'''...N'''3 (x^3 * x^2 = x^5) Para o número x=ABC...N4: ABC...N4 ^2 = A'B'C'...N'6 (x*x=x^2) A'B'C'...N'6 * ABC...N4 = A''B''C''...N''4 (x^2 * x = x^3) A''B''C''...N''4 * A'B'C'...N'6 = A'''B'''C'''...N'''4 (x^3 * x^2 = x^5) Para o número x=ABC...N5: ABC...N5 ^2 = A'B'C'...N'5 (x*x=x^2) A'B'C'...N'5 * ABC...N5 = A''B''C''...N''5 (x^2 * x = x^3) A''B''C''...N''5 * A'B'C'...N'5 = A'''B'''C'''...N'''5 (x^3 * x^2 = x^5) Para o número x=ABC...N6: ABC...N6 ^2 = A'B'C'...N'6 (x*x=x^2) A'B'C'...N'6 * ABC...N6 = A''B''C''...N''6 (x^2 * x = x^3) A''B''C''...N''6 * A'B'C'...N'6 = A'''B'''C'''...N'''6 (x^3 * x^2 = x^5) Para o número x=ABC...N7: ABC...N7 ^2 = A'B'C'...N'9 (x*x=x^2) A'B'C'...N'9 * ABC...N7 = A''B''C''...N''3 (x^2 * x = x^3) A''B''C''...N''3 * A'B'C'...N'9 = A'''B'''C'''...N'''7 (x^3 * x^2 = x^5) Para o número x=ABC...N8: ABC...N8 ^2 = A'B'C'...N'4 (x*x=x^2) A'B'C'...N'4 * ABC...N8 = A''B''C''...N''2 (x^2 * x = x^3) A''B''C''...N''2 * A'B'C'...N'4 = A'''B'''C'''...N'''8 (x^3 * x^2 = x^5) Para o número x=ABC...N9: ABC...N9 ^2 = A'B'C'...N'1 (x*x=x^2) A'B'C'...N'1 * ABC...N9 = A''B''C''...N''9 (x^2 * x = x^3) A''B''C''...N''9 * A'B'C'...N'1 = A'''B'''C'''...N'''9 (x^3 * x^2 = x^5) (C.Q.D.) Apesar de não muito elegante, é uma demonstração válida. (Mas estou pensando na prova que K^5-K é múltiplo de 10) Beijos, -- -- Fernando Aires [EMAIL PROTECTED] Em tudo Amar e Servir -- On Tue, 21 Sep 2004 17:03:05 -0300, Tio Cabri st [EMAIL PROTECTED] wrote: Por favor... Como demonstro o seguinte: Se K é um número Natural então K^5 possui o mesmo algarismo das unidades. TEntei fazer por indução empaquei. Tentei demonstrar que k^5-K é múltiplo de dez empaquei novamente espero que alguém da lista saiba Obrigado, Hermann = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] inteiros
Outra soluçao para k^5 - k multiplo de 10: Pelo pequeno teorema de Fermat temos: x^5 = x (mod 5) -- x^5 -x = 0 (mod 5) -- x(x^4 -1)= 0 (mod5) -- x(x^4 -1) é multiplo de 5. Agora suponha x impar: Temos x(x^4 -1) par Suponha x par: Temos x(x^4 -1) par Então x^5 -x é multiplo de 5 e par, logo é multiplo de 10. On Tue, 21 Sep 2004 17:03:05 -0300, Tio Cabri st [EMAIL PROTECTED] wrote: Por favor... Como demonstro o seguinte: Se K é um número Natural então K^5 possui o mesmo algarismo das unidades. TEntei fazer por indução empaquei. Tentei demonstrar que k^5-K é múltiplo de dez empaquei novamente espero que alguém da lista saiba Obrigado, Hermann = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] inteiros
Usando a forca bruta, concluimos por enumeracao - um metodo tao veho quanto a humanidade - que a proposicao eh verdadeira para todo numero par =0 de 1 digito, isto eh, 0, 2, 4 , 6, 8. Deve haver como fazer isto de modo cientifico, mas neste caso eh tao simples que parece que aqui o processo exaustivo eh mais eficiente que o criativo. Mas para generalizar, vamos ser um pouco mais cientificos. Se k eh um numero par, entao o seu algarismo da unidades, p, eh um par de um algarismo. Temos entao que k = p (modulo 10), onde, aqui, = significa congruente. Pelas propriedades da congruencias, temos que k^5 = p^5 (mod 10). E como p^5 tem o proprio p como o algarismo das unidades, segue-se que p^5 = p (mod 10). Logo, k^5 = p (mod 10), o que equivale a dizer que k^5 -p tem 0 como algarismo das unidades, o que, a seu turno, implica que p eh o algarismo das unidades de k^5. Logo, k^5 e k tem o mesmo algarismo das unidades. Artur --- Qwert Smith [EMAIL PROTECTED] wrote: Por favor... Como demonstro o seguinte: Se K é um número Natural então K^5 possui o mesmo algarismo das unidades. TEntei fazer por indução empaquei. Tentei demonstrar que k^5-K é múltiplo de dez empaquei novamente espero que alguém da lista saiba Obrigado, Hermann Ki tal na forca bruta? 0^5 = 0 1^5 = 1 2^5 = 32 3^5 = 243 4^5 = 1024 5^5 = 3125 6^5 = 7776 7^5 = 16807 8^5 = 32768 9^5 = 59049 todos servem... agora pra K = 10 K = 10 - K = 10a + b (a e b inteiros, 0=b=9) K^5 = (10a + b)^5 = (10a)^5 + + b^5 = 10n + b^5 e cai em um dos casos acima _ Express yourself instantly with MSN Messenger! Download today - it's FREE! hthttp://messenger.msn.click-url.com/go/onm00200471ave/direct/01/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Do you Yahoo!? Take Yahoo! Mail with you! Get it on your mobile phone. http://mobile.yahoo.com/maildemo = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Curiosidades Matemáticas
Com licença, estudei este asunto no curso do Impa dado para os professores de segundo grau. Obviamente após 8 anos não tenho as provas mas espero que essa informação ajude. dada qualquer função polinomial do tipo f(x)= Ax^n+...+An se fizermos as diferenças das diferenças de f(inteiros0) isto é colocando em correspondência biunívoca com N como uma sequência teremos após n+1 subtrações dessas uma sequência constante. Qual a vantagem? Se eu tenho uma sequência e quero saber qual função quea formou(se existir) teremos dois caminhos: se após as n+1 subtrações der uma sequência constante posso afirmar que a lei de formação é polinomial, caso contrário posso afirmar também que essa sequência não é de uma função polinomial. Sei que não é uma ajud mas se procurarem pelo material estudado em 96 com certeza terão mais informações. Abraços Staib ps: POSTEI UM EXERCÍCIO E NÃO O VEJO POR AÍ É O SEGUINTE Se K é um número Natural então K^5 possui o mesmo algarismo das unidades.TEntei fazer por indução empaquei.Tentei demonstrar que k^5-K é múltiplo de dez empaquei novamenteespero que alguém da lista saibaObrigado,Hermann - Original Message - From: Alan Pellejero To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, September 21, 2004 12:38 PM Subject: Re: [obm-l] Curiosidades Matemáticas Olá Valdery... Outro dia pensamento semelhante me ocorreu. Procurei encontrar um termo geral que definisse a relação, mas não obtive succeso. Um abraço AlanValdery Sousa [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá Pessoal! Faz algum tempo atrás q eu descobri coisas interessantes e gostaria de repassar para vcs. Lembram-se daqueles assuntos de desenvonvimento binomial e números binomiais? Pois é , quem diria sua relação sutil com 'séries de potências'?... Veja soh: 0² 1² 2² 3² 4² 5² 6² 7² ... 0 1 4 9 16 25 36 49 ... 13 5 7 9 11 13 ... 22 2 2 2 2 ... Observe q a soma dos n primeiros números é uma Progressão Aritmética. O q tem a ver isto com números binomiais? Simples: Observe q após efetuarmos subtrações sucessivas chegamos a uma razão constante, q é, no caso acima igual a 2. Essa constante eh dada por N! , sendo N o expoente da série de potências. Veja uma série com expoente 3: 0³ 1³ 2³ 3³ 4³ 5³ 6³ 7³ ... 0 1 82764125 216 343 ... 1 7 19 34 61 91127 ... 6 12 18 24 30 36 ... 6 6 6 6 6 ... A constante no final de todas as subtrações é 3!= 3* 2 *1 = 6. Testem com outros valores para o expoente! Talvez não tenha , aparentemente, utilidade agora; mas algum dia talvez o tenha... Cordialmente, Valdery Sousa. __Do You Yahoo!?Tired of spam? Yahoo! Mail has the best spam protection around http://mail.yahoo.com Yahoo! Messenger 6.0 - jogos, emoticons sonoros e muita diversão. Instale agora!
RE: [obm-l] inteiros
Hum... Vamos de um jeito mais bonito então Chamando Mod(k^5,10) = M (M é o resto da divisão de k^5 por M) Quando k = 0, M=0 Sabemos também que: (K+1)^5 = K^5 + 5*k^4 + 10*K^3 + 10*K^2 + 5*K + 1 (K+1)^5 = K^5 + 5*k*(k^3+1) + 10*K^2(K+1) + 1 Observem que o termo 5*k*(k^3+1) será sempre múltiplo de 10 para k inteiro. (Se k é impar, k^3+1 é par) Tirando o módulo da divisão por 10 de tudo isso, temos: mod((k+1)^5) = mod(k^5) + 1 e como mod(0) = 0 -Original Message- From: Fernando Aires [mailto:[EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, September 21, 2004 5:59 PM To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] inteiros Hermann, Eu tenho uma idéia: Pelo método da multiplicação, sabemos que a unidade resultante depende apenas de uma operação, que é a multiplicação dos algarismos das unidades dos fatores. Desta forma, podemos provar diretamente para cada um dos possíveis algarimos das unidades ([0;9]). Para o número x=ABC...N0: ABC...N0 ^2 = A'B'C'...N'0 (x*x=x^2) A'B'C'...N'0 * ABC...N0 = A''B''C''...N''0 (x^2 * x = x^3) A''B''C''...N''0 * A'B'C'...N'0 = A'''B'''C'''...N'''0 (x^3 * x^2 = x^5) Para o número x=ABC...N1: ABC...N01^2 = A'B'C'...N'1 (x*x=x^2) A'B'C'...N'1 * ABC...N1 = A''B''C''...N''1 (x^2 * x = x^3) A''B''C''...N''1 * A'B'C'...N'1 = A'''B'''C'''...N'''1 (x^3 * x^2 = x^5) Para o número x=ABC...N2: ABC...N2 ^2 = A'B'C'...N'4 (x*x=x^2) A'B'C'...N'4 * ABC...N2 = A''B''C''...N''8 (x^2 * x = x^3) A''B''C''...N''4 * A'B'C'...N'8 = A'''B'''C'''...N'''2 (x^3 * x^2 = x^5) Para o número x=ABC...N3: ABC...N3 ^2 = A'B'C'...N'9 (x*x=x^2) A'B'C'...N'9 * ABC...N3 = A''B''C''...N''7 (x^2 * x = x^3) A''B''C''...N''7 * A'B'C'...N'9 = A'''B'''C'''...N'''3 (x^3 * x^2 = x^5) Para o número x=ABC...N4: ABC...N4 ^2 = A'B'C'...N'6 (x*x=x^2) A'B'C'...N'6 * ABC...N4 = A''B''C''...N''4 (x^2 * x = x^3) A''B''C''...N''4 * A'B'C'...N'6 = A'''B'''C'''...N'''4 (x^3 * x^2 = x^5) Para o número x=ABC...N5: ABC...N5 ^2 = A'B'C'...N'5 (x*x=x^2) A'B'C'...N'5 * ABC...N5 = A''B''C''...N''5 (x^2 * x = x^3) A''B''C''...N''5 * A'B'C'...N'5 = A'''B'''C'''...N'''5 (x^3 * x^2 = x^5) Para o número x=ABC...N6: ABC...N6 ^2 = A'B'C'...N'6 (x*x=x^2) A'B'C'...N'6 * ABC...N6 = A''B''C''...N''6 (x^2 * x = x^3) A''B''C''...N''6 * A'B'C'...N'6 = A'''B'''C'''...N'''6 (x^3 * x^2 = x^5) Para o número x=ABC...N7: ABC...N7 ^2 = A'B'C'...N'9 (x*x=x^2) A'B'C'...N'9 * ABC...N7 = A''B''C''...N''3 (x^2 * x = x^3) A''B''C''...N''3 * A'B'C'...N'9 = A'''B'''C'''...N'''7 (x^3 * x^2 = x^5) Para o número x=ABC...N8: ABC...N8 ^2 = A'B'C'...N'4 (x*x=x^2) A'B'C'...N'4 * ABC...N8 = A''B''C''...N''2 (x^2 * x = x^3) A''B''C''...N''2 * A'B'C'...N'4 = A'''B'''C'''...N'''8 (x^3 * x^2 = x^5) Para o número x=ABC...N9: ABC...N9 ^2 = A'B'C'...N'1 (x*x=x^2) A'B'C'...N'1 * ABC...N9 = A''B''C''...N''9 (x^2 * x = x^3) A''B''C''...N''9 * A'B'C'...N'1 = A'''B'''C'''...N'''9 (x^3 * x^2 = x^5) (C.Q.D.) Apesar de não muito elegante, é uma demonstração válida. (Mas estou pensando na prova que K^5-K é múltiplo de 10) Beijos, -- -- Fernando Aires [EMAIL PROTECTED] Em tudo Amar e Servir -- On Tue, 21 Sep 2004 17:03:05 -0300, Tio Cabri st [EMAIL PROTECTED] wrote: Por favor... Como demonstro o seguinte: Se K é um número Natural então K^5 possui o mesmo algarismo das unidades. TEntei fazer por indução empaquei. Tentei demonstrar que k^5-K é múltiplo de dez empaquei novamente espero que alguém da lista saiba Obrigado, Hermann = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] novamente k^5 com resposta
Fuçando a lista descobri que já tinham postado este exercício e havia uma resposta GOSTARIA DE SABER SE ALGUÉM SABE FAZER POR INDUÇÃO? Provar que para qualquer número inteiro k, os números k e k^5 terminam sempre com o mesmo algarismo (algarismo das unidades). Vejam a solução do Ricardo usando congruência em dez de 2003 escrito pelo colaborador da lista Ricardo Bittencourt [EMAIL PROTECTED] Se você não souber o pequeno teorema de Fermat, então dá pra demonstrar isso por indução finita. Se você souber, então fica bem mais fácil! k^5=k (mod 10) é igual às duas afirmações abaixo: k^5=k (mod 2) e k^5=k (mod 5) A parte com mod 2 é simples, se k for ímpar, então k^5 é ímpar também e o mesmo vale pra pares. Pelo pequeno teorema de Fermat, k^(p-1)=1 (mod p) sempre que p for primo. Mas 5 é primo, então: k^(5-1)=1 (mod 5) k^4=1 (mod 5) e portanto: k^5=k (mod 5) Abraços Hermann = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] espécies
olá pessoal da lista! Estava tentando resolver um problema de análise combinatóriae não entendi a pergunta. Gostaria que alguém me ajudasse a interpretar o enunciado (não quero a resposta). O enunciado é o seguinte: Quantas espécies de polígonos regulares de 100 lados existem? Do jeito que estou entendendo a resposta seria 1. Mas, não é esta a resposta. Agradeço a quem puder me ajudar. Jesualdo __Do You Yahoo!?Tired of spam? Yahoo! Mail has the best spam protection around http://mail.yahoo.com
Re: [obm-l] Problemas IME
Vou colaborar por ora na primeira e na ultima. As outras parecem mais trabalhosas. Se Q(x) = x^9 + x^8 + x^7 + ... + x + 1, entao a formula das somas dos termos de uma PG mostra que as raizes de Q sao as raizes decimas da unidade, a menos da propria unidade (1 naum zera Q). Eh facil ver que P(x) = Q(x^111) para todo complexo x. Se r eh raiz de Q, entao r^111 = (r^10)^11 * r = 1^11 * r = r, de modo que P(r) = Q(r^111) = Q(r) = 0. Toda raiz de Q eh portanto raiz de P, o que implica automaticamente que P divide Q. Na ultima, observe que Tr(AB) = Tr(BA) e que Tr(AB - BA) = Tr(AB) - Tr(BA) =0 1 = Tr(I). Logo, AB - BA I quaisquer que sejam as marizes quadradas A e B. Artur --- Edward Elric [EMAIL PROTECTED] wrote: Ola, eu estou com duvida nos seguintes problemas: (IME 94/95) Prove que o polinômio P(x)= x^999 + x^888 + x^777 + ... x^111 +1 é divisível por x^9 + x^8 + x^7 + ... + x + 1. (IME 95/96) Sejam w(0)= 1, w(1)= j, w(2)= j² as raízes cúbicas da unidade no plano complexo(considere w(1) o número complexo de módulo 1 e argumento 2pi/3). Sabendo que se c pertence aos Complexos, a rotação R em torno do ponto c e amplitude igual a pi/3 é dada por R(z)= -j²z -jc , para todo z pertencente aos complexos, menos o ponto c. pede-se: (a) Determinar as relações existentes entre a,b,c,j,j² onde a,b pertencem aos complexos, de modo que o triângulo a, b,c seja equilátero. (b) Determinar z para que o triângulo i, z, iz seja equilátero. Dado: i = (-1)^1/2 (IME 80/81) Seja C o conjunto dos numeros complexos e h pertencente a C. Diz-se que o ponto h eh um ponto de Hurwitz se modulo de h e igual a 1, e, para todo numero natural n, h^n e diferente de 1. Prove que o ponto z=(2-i)/(2+i) é um ponto de Hurwitz. (IME 80/81) Mostre que nao existem matrizes quadradas A e B, quem verifiquem AB-BA = I, onde I e a matriz identidade de uma ordem n qualquer. Flw pessoal. _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Do you Yahoo!? Yahoo! Mail - 50x more storage than other providers! http://promotions.yahoo.com/new_mail = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Combinatoria!
Eis o problema que eu nao to conseguindo fazer: De quandos modos podemos colocar 8 cavalos em um tabuleiro de xadrez (8x8) sem que um cavalo capturei outro. Ja passei para todo mundo que eu conheço e ninguem conseguiu, so falta essa lista mesmo. _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] espécies
Infinitos: tome cada lado variando de 0 exclusive a um exclusive :) --- Jesualdo [EMAIL PROTECTED] escreveu: olá pessoal da lista! Estava tentando resolver um problema de análise combinatória e não entendi a pergunta. Gostaria que alguém me ajudasse a interpretar o enunciado (não quero a resposta). O enunciado é o seguinte: Quantas espécies de polígonos regulares de 100 lados existem? Do jeito que estou entendendo a resposta seria 1. Mas, não é esta a resposta. Agradeço a quem puder me ajudar. Jesualdo __ Do You Yahoo!? Tired of spam? Yahoo! Mail has the best spam protection around http://mail.yahoo.com ___ Yahoo! Messenger 6.0 - jogos, emoticons sonoros e muita diversão. Instale agora! http://br.download.yahoo.com/messenger/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Soma de Dígitos
seja r um número inteiro.
como 9 + 1 = 10, se a representação de r em base 10 é r = d_k d_{k-1}
... d_0, temos,
r = d_0 + (9 + 1) d_1 + (9 + 1)^2 d_2 + + (9 + 1)^k d_k.
ou seja, 9 | r se e somente se 9 | d_0 + d_1 + ... + d_k.
vamos dividir os números com a propriedade do enunciado em duas categorias:
1- os números só possuem dígitos 0 ou 1, por exemplo, se n = 4, 0999,
9099, 9909, 9990 tem soma dos dígitos 9(4 - 1), analogamente, temos
0099, 0909, 0990, 9009, 9090, 9900 com soma dos dígitos 9(4 - 2).
é simples argumentar que há mais números desse tipo com soma dos dígitos
9(n-2).
2- se r é um número que não tem apenas dígitos 0's e 9's e a soma de
seus dígitos é 9(n-1), então todo dígito de r deve ser não nulo.
se n = 9, podemos reduzir em um os 9 primeiros dígitos de r, isso nos
dá um número r', que tem soma dos dígitos 9(n-2).
mostre que isto é, de fato, um mapa injetivo, e que nenhum elemento é
mapeado a um número de categoria 1 (isso é simples), isso mostra que a
quantidade de números de categoria 2 com soma dos dígitos igual a 9(n-1)
não pode ser maior do que a quantidade de números de categoria 2 com
soma dos dígitos igual a 9(n-2).
ah, esse argumento só vale pra n = 9, tente adaptá-lo para n menor.
espero que não tenha sido confuso demais!
[ ]'s
Olá pessoal,
O problema abaixo já passou pela lista, mas a solução envolvia
derivadas. Vocês poderiam resolvê-lo sem utilizar conceitos de nível
superior ?
1) Seja n um número natural, n 3.
Demonstrar que entre os múltiplos de 9 menores que 10^n há mais
números com a soma de seus dígitos igual a 9(n-2) que números com a
soma de seus dígitos igual a 9(n-1).
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Problemas IME
Artur Costa Steiner ([EMAIL PROTECTED]) escreveu: Na ultima, observe que Tr(AB) = Tr(BA) e que Tr(AB - BA) = Tr(AB) - Tr(BA) =0 1 = Tr(I). Logo, AB - BA I quaisquer que sejam as marizes quadradas A e B. Resposta elegantíssima, mas houve um pequenino engano... Tr(I) = n e não 1. []s, Daniel = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] inteiros
Oi! Bem, para 1^5 = 1 o fato é verdade.Agora por indução temos que mostar que: (K+1)^5 termina com k+1 (K+1)^5 = k^5 + 5K^4 + 10K^3 + 10K^2 + 5K + 1 = K^5 + 1 10( K^3 + K^2 ) 5K( k^3 + 1 ) -v v---v--- AB C A: K^5 termina com K, somando um termina em K+1 B: 10xcoisa não atrapalha nada... C: se K é PAR, 5K(...) = 10N(...) logo não atrapalha e se K é ÍMPAR, K^3+1 = P que é PAR, então 5KP = 10KN não atrapalhando também na unidade... Abraços... (Qualquer erro me avisem) = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] inteiros
Veja comentario abaixo From: Felipe Amaral [EMAIL PROTECTED] Oi! Bem, para 1^5 = 1 o fato é verdade.Agora por indução temos que mostar que: (K+1)^5 termina com k+1 (K+1)^5 = k^5 + 5K^4 + 10K^3 + 10K^2 + 5K + 1 = K^5 + 1 10( K^3 + K^2 ) 5K( k^3 + 1 ) -v v---v--- AB C A: K^5 termina com K, somando um termina em K+1 Da onde vc tirou que K^5 termina com K? Voce nao pode usar a propriedade que vc quer provar no meio da sua prova, ne? B: 10xcoisa não atrapalha nada... C: se K é PAR, 5K(...) = 10N(...) logo não atrapalha e se K é ÍMPAR, K^3+1 = P que é PAR, então 5KP = 10KN não atrapalhando também na unidade... Abraços... (Qualquer erro me avisem) _ Express yourself instantly with MSN Messenger! Download today - it's FREE! http://messenger.msn.click-url.com/go/onm00200471ave/direct/01/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problemas IME
cnmplementando, P divide Q porque toda raiz de Q eh raiz de P eh todas as raizes de Q tem multiplicidade 1. Isto garante que Q divide P. E o traco de I eh n, a ordem da matriz,e nao 1... Artur --- [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] wrote: Vou colaborar por ora na primeira e na ultima. As outras parecem mais trabalhosas. Se Q(x) = x^9 + x^8 + x^7 + ... + x + 1, entao a formula das somas dos termos de uma PG mostra que as raizes de Q sao as raizes decimas da unidade, a menos da propria unidade (1 naum zera Q). Eh facil ver que P(x) = Q(x^111) para todo complexo x. Se r eh raiz de Q, entao r^111 = (r^10)^11 * r = 1^11 * r = r, de modo que P(r) = Q(r^111) = Q(r) = 0. Toda raiz de Q eh portanto raiz de P, o que implica automaticamente que P divide Q. Na ultima, observe que Tr(AB) = Tr(BA) e que Tr(AB - BA) = Tr(AB) - Tr(BA) =0 1 = Tr(I). Logo, AB - BA I quaisquer que sejam as marizes quadradas A e B. Artur --- Edward Elric [EMAIL PROTECTED] wrote: Ola, eu estou com duvida nos seguintes problemas: (IME 94/95) Prove que o polinômio P(x)= x^999 + x^888 + x^777 + ... x^111 +1 é divisível por x^9 + x^8 + x^7 + ... + x + 1. (IME 95/96) Sejam w(0)= 1, w(1)= j, w(2)= j² as raízes cúbicas da unidade no plano complexo(considere w(1) o número complexo de módulo 1 e argumento 2pi/3). Sabendo que se c pertence aos Complexos, a rotação R em torno do ponto c e amplitude igual a pi/3 é dada por R(z)= -j²z -jc , para todo z pertencente aos complexos, menos o ponto c. pede-se: (a) Determinar as relações existentes entre a,b,c,j,j² onde a,b pertencem aos complexos, de modo que o triângulo a, b,c seja equilátero. (b) Determinar z para que o triângulo i, z, iz seja equilátero. Dado: i = (-1)^1/2 (IME 80/81) Seja C o conjunto dos numeros complexos e h pertencente a C. Diz-se que o ponto h eh um ponto de Hurwitz se modulo de h e igual a 1, e, para todo numero natural n, h^n e diferente de 1. Prove que o ponto z=(2-i)/(2+i) é um ponto de Hurwitz. (IME 80/81) Mostre que nao existem matrizes quadradas A e B, quem verifiquem AB-BA = I, onde I e a matriz identidade de uma ordem n qualquer. Flw pessoal. _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Do you Yahoo!? Yahoo! Mail - 50x more storage than other providers! http://promotions.yahoo.com/new_mail = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Do you Yahoo!? New and Improved Yahoo! Mail - Send 10MB messages! http://promotions.yahoo.com/new_mail = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Análise novamente
Olá, Estou com duvida neste exercício: Todo caminho retificavel f: [a,b] -- R^n é integrável. Cícero Thiago = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problemas IME
sem duvida,Tr(I)=n,Obrigado! Artur --- [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] wrote: Artur Costa Steiner ([EMAIL PROTECTED]) escreveu: Na ultima, observe que Tr(AB) = Tr(BA) e que Tr(AB - BA) = Tr(AB) - Tr(BA) =0 1 = Tr(I). Logo, AB - BA I quaisquer que sejam as marizes quadradas A e B. Resposta elegantíssima, mas houve um pequenino engano... Tr(I) = n e não 1. []s, Daniel = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = ___ Do you Yahoo!? Declare Yourself - Register online to vote today! http://vote.yahoo.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
