Re: [obm-l] Grupo Abeliano
Oi, Duda:
Infelizmente, tenho que discordar. H_(n+1) soh teria n elementos se a ordem
de g fosse n. Mas nesse caso, G seria ciclico e, portanto, abeliano.
Um abraco,
Claudio.
on 31.10.03 00:12, Eduardo Casagrande Stabel at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Oi Cláudio!
Seja G um grupo de n elementos não-abeliano.
Defina o grupo H = G x G x ... x G,
onde é o produto é tomado n vezes e estamos falando em produto
cartesiano. Definimos a operação de grupo em H a multiplicação das
coordenadas correspondentes de dois elementos quaisquer. Esta operação herda
a associatividade de G, tem elemento neutro (e, e, ..., e) e todo elemento
tem único inverso (g_1,g_2,...,g_n)^(-1)=(g_1^(-1),g_2^(-1),...,g_n^(-1)).
Como G é não-abeliano existem g, h em G tais que gh é diferente de hg,
portanto (g,e,e,...,e)(h,e,e,...,e) é diferente de
(h,e,e,...,e)(g,e,e,...,e) e H é não-abeliano. H possui exatamente n^2
elementos. Agora considere os subgrupos
H_i = { (e,e,...,e,g,e,...,e) onde o g está na i-ésima posição : para g em
G} para 1 = i = n
e H_(n+1) = { (g,g,g,...,g) : para g em G }
Não é difícil de demonstrar que cada H_i é um grupo, subgrupo de H. Também
não é difícil de mostrar que cada um desses H_i possui exatamente n
elementos. Ou seja, o que está sendo pedido para demonstrar não é verdade.
From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED]
Oi, pessoal:
Me mandaram esse problema ontem e ainda nao consegui fazer:
Um grupo G de ordem n^2 tem n+1 subgrupos de ordem n tais que a
interseccao
de quaisquer dois deles eh a trivial (ou seja, igual a {e}). Prove que G
eh
abeliano.
Um abraco,
Claudio.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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[obm-l] Auto-espaços
Bom dia, obm-l. Bom, vou falar sobre uns assuntos de matemática universitária, qualquer dúvida sobre terminologia podem perguntar! É um fato conhecido sobre transformações lineares que os auto-espaços pertencentes a auto-valores distintos da transformação são independentes(ou seja, a intersecção de dois quaisquer é o sub-espaço nulo). Em quais casos estes auto-espaços são ortogonais? Existe alguma condição necessária e suficiente para isso? Eu acho que se a multiplicidade algébrica dos auto-valores for sempre 1 dá para garantir, mas pode haver outros casos... Obrigado pela ajuda, Bernardo Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Auto-espaços
on 31.10.03 08:19, [EMAIL PROTECTED] at [EMAIL PROTECTED] wrote: Bom dia, obm-l. Bom, vou falar sobre uns assuntos de matemática universitária, qualquer dúvida sobre terminologia podem perguntar! É um fato conhecido sobre transformações lineares que os auto-espaços pertencentes a auto-valores distintos da transformação são independentes(ou seja, a intersecção de dois quaisquer é o sub-espaço nulo). Em quais casos estes auto-espaços são ortogonais? Existe alguma condição necessária e suficiente para isso? Eu acho que se a multiplicidade algébrica dos auto-valores for sempre 1 dá para garantir, mas pode haver outros casos... Obrigado pela ajuda, Bernardo Bernardo Freitas Paulo da Costa Oi, Bernardo: Considere T:R^2 - R^2 dada por: T(x,y) = (x+y,2y). O polinomio caracteristico de T eh x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2) == os autovalores 1 e 2 tem ambos multiplicidade algebrica 1 e os auto-espacos associados sao, respectivamente, aqueles gerados por (1,0) e por (1,1), os quais nao sao ortogonais (pelo menos em relacao ao produto interno usual de R^2). Por outro lado, se T for auto-adjunto, entao acho que auto-espacos associados a autovalores distintos sao ortogonais, pois se Tv1 = k1v1 e Tv2 = k2v2, onde k1 e k2 sao autovalores distintos, entao: (k1 - k2)*v1,v2 = k1v1,v2 - v1,k2v2 = Tv1,v2 - v1,Tv2 = 0, pois T eh auto-adjunto (um operador auto-adjunto tem autovalores reais). Infelizmente, nao tenho certeza de se a condicao de T ser auto-ajunto tambem eh necessaria. Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Auto-espaços
Obrigado, Cláudio Pensando um pouco mais, achei uns exemplos patológicos com autovetores do tipo (1, 0, 0), (0, 1, 0) e (0, 0, 1) que sejam autovetores de x, x, e y respectivamente... talvez uma matriz da forma x 0 0 0 x 0 0 0 y e então a multiplicidade não é necessária... mas quanto à questão de ser auto-adjunta, vou pensar mais um pouco. Até mais, Bernardo -- Mensagem original -- on 31.10.03 08:19, [EMAIL PROTECTED] at [EMAIL PROTECTED] wrote: Bom dia, obm-l. Bom, vou falar sobre uns assuntos de matemática universitária, qualquer dúvida sobre terminologia podem perguntar! É um fato conhecido sobre transformações lineares que os auto-espaços pertencentes a auto-valores distintos da transformação são independentes(ou seja, a intersecção de dois quaisquer é o sub-espaço nulo). Em quais casos estes auto-espaços são ortogonais? Existe alguma condição necessária e suficiente para isso? Eu acho que se a multiplicidade algébrica dos auto-valores for sempre 1 dá para garantir, mas pode haver outros casos... Obrigado pela ajuda, Bernardo Bernardo Freitas Paulo da Costa Oi, Bernardo: Considere T:R^2 - R^2 dada por: T(x,y) = (x+y,2y). O polinomio caracteristico de T eh x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2) == os autovalores 1 e 2 tem ambos multiplicidade algebrica 1 e os auto-espacos associados sao, respectivamente, aqueles gerados por (1,0) e por (1,1), os quais nao sao ortogonais (pelo menos em relacao ao produto interno usual de R^2). Por outro lado, se T for auto-adjunto, entao acho que auto-espacos associados a autovalores distintos sao ortogonais, pois se Tv1 = k1v1 e Tv2 = k2v2, onde k1 e k2 sao autovalores distintos, entao: (k1 - k2)*v1,v2 = k1v1,v2 - v1,k2v2 = Tv1,v2 - v1,Tv2 = 0, pois T eh auto-adjunto (um operador auto-adjunto tem autovalores reais). Infelizmente, nao tenho certeza de se a condicao de T ser auto-ajunto tambem eh necessaria. Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Grupo Abeliano
Oi Eduardo,
Eu acho que vc se confundiu na definição de H. Do jeito que vc colocou,
H teria n^n elementos. Eu acho que vc estava querendo dizer GxG, estou certo?
Nesse caso, H teria n^2 elementos...
Ateh mais,
Yuri
-- Mensagem original --
Oi, Duda:
Infelizmente, tenho que discordar. H_(n+1) soh teria n elementos se a ordem
de g fosse n. Mas nesse caso, G seria ciclico e, portanto, abeliano.
Um abraco,
Claudio.
on 31.10.03 00:12, Eduardo Casagrande Stabel at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Oi Cláudio!
Seja G um grupo de n elementos não-abeliano.
Defina o grupo H = G x G x ... x G,
onde é o produto é tomado n vezes e estamos falando em produto
cartesiano. Definimos a operação de grupo em H a multiplicação das
coordenadas correspondentes de dois elementos quaisquer. Esta operação
herda
a associatividade de G, tem elemento neutro (e, e, ..., e) e todo elemento
tem único inverso (g_1,g_2,...,g_n)^(-1)=(g_1^(-1),g_2^(-1),...,g_n^(-1)).
Como G é não-abeliano existem g, h em G tais que gh é diferente de hg,
portanto (g,e,e,...,e)(h,e,e,...,e) é diferente de
(h,e,e,...,e)(g,e,e,...,e) e H é não-abeliano. H possui exatamente n^2
elementos. Agora considere os subgrupos
H_i = { (e,e,...,e,g,e,...,e) onde o g está na i-ésima posição : para
g
em
G} para 1 = i = n
e H_(n+1) = { (g,g,g,...,g) : para g em G }
Não é difícil de demonstrar que cada H_i é um grupo, subgrupo de H. Também
não é difícil de mostrar que cada um desses H_i possui exatamente n
elementos. Ou seja, o que está sendo pedido para demonstrar não é verdade.
From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED]
Oi, pessoal:
Me mandaram esse problema ontem e ainda nao consegui fazer:
Um grupo G de ordem n^2 tem n+1 subgrupos de ordem n tais que a
interseccao
de quaisquer dois deles eh a trivial (ou seja, igual a {e}). Prove que
G
eh
abeliano.
Um abraco,
Claudio.
=
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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[]'s, Yuri
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Re: [obm-l] Equacao!!
Ah! O grande Morgado com a sua didatica que faz tudo parecer simples! Agora que vc explicou, parece trivial que o polinomionao possui raizes racionais. As raizes complexas nao reais do polinomio sao -0.244206191 + 5.223119427 i e -0.244206191 - 5.223119427 i.. PS. Alguem tem interesse em uma macro do Excel que calcula polinomios complexos (coeficientes e argumento complexos)? O Excel tem funcoes embutidas que trabalham com complexos, mas nao sao muito praticas. Se alguem tiver interesse, mande um email para mim.Artur OPEN Internet @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Equacoes
Ah! Depois que o grande Morgado esclareceu fica facil ver que o polinomio nao tem raizes racionais! As raizes complexas nao reais do polinomio sao -0.244206191 + 5.223119427 i e -0.244206191 - 5.223119427i. PS. Algum tem interesse em uma macro do Excel ( macro-funcao) que calcula o valor de um polinomio de coeficientes complexos para argumentos tambem complexos? Se tiver, mande um email para mim. O Excel tem funcoes embutidas que trabalham com complexos, mas nao sao muito praticas. Artur OPEN Internet @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Equacao!!
Eu gostaria de receber esta macro - Original Message - From: Artur Costa Steiner To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Friday, October 31, 2003 12:09 PM Subject: Re: [obm-l] Equacao!! Ah! O grande Morgado com a sua didatica que faz tudo parecer simples! Agora que vc explicou, parece trivial que o polinomionao possui raizes racionais. As raizes complexas nao reais do polinomio sao -0.244206191 + 5.223119427 i e -0.244206191 - 5.223119427 i.. PS. Alguem tem interesse em uma macro do Excel que calcula polinomios complexos (coeficientes e argumento complexos)? O Excel tem funcoes embutidas que trabalham com complexos, mas nao sao muito praticas. Se alguem tiver interesse, mande um email para mim.ArturOPEN Internet@ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Máximo e Mínimo!!!
Sei que sou impertinente, com minhas questões de fácil resolução. Mas como não faço cursinho fica complicado para eu tirar minha dúvidas, e felizmente junto a lista eu estou aprendendo várias coisas. Correndo atrás descobrindo coisas novas. Também pego a presente, utilizar a lista para retirar minhas dúvidas. Bom as questoes são: 1º) Determine o retângulo de maior área contido num triângulo equilátero de lado 4cm, estando a base do retângulo num lado do retângulo. 2º) Uma parede de tijolos será usada como um dos lados de um curral retangular. Para os outros lados iremos usar 400 metros de tela de arema, de modo a produzir área máxima. Qual é o quociente de um lado pelo outro. Grato CarlosYahoo! Mail - o melhor webmail do Brasil. Saiba mais!
Re: [obm-l] probabilidade......
Eu estou meio sem tempo de discutir isto completamente, mas veja que isto e equivalente ao seguint:qual a probabilidade de que entre n pessoas num amigo secreto alguem tire o proprio nome? O maximo que posso dizer e que isto e pertinho de n!*e^(-1)niski [EMAIL PROTECTED] wrote: Ola pessoal, alguem pode me ajudar?um carteiro tem que entregar 8 cartas em 8 diferentes endereços, ele se confundiu e acabou entregando aleatoriamente as correspondencias.Se cada endereço recebeu uma carta, qual é a probabilidade de que pelo menos um deles tenha recebido a carta correta?valeu=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Yahoo! Mail - o melhor webmail do Brasil. Saiba mais!
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Grupo Abeliano
Vôcê tem razão, erro meu...
From: [EMAIL PROTECTED]
Oi Eduardo,
Eu acho que vc se confundiu na definição de H. Do jeito que vc colocou,
H teria n^n elementos. Eu acho que vc estava querendo dizer GxG, estou
certo?
Nesse caso, H teria n^2 elementos...
Ateh mais,
Yuri
-- Mensagem original --
Oi, Duda:
Infelizmente, tenho que discordar. H_(n+1) soh teria n elementos se a
ordem
de g fosse n. Mas nesse caso, G seria ciclico e, portanto, abeliano.
Um abraco,
Claudio.
on 31.10.03 00:12, Eduardo Casagrande Stabel at [EMAIL PROTECTED]
wrote:
Oi Cláudio!
Seja G um grupo de n elementos não-abeliano.
Defina o grupo H = G x G x ... x G,
onde é o produto é tomado n vezes e estamos falando em produto
cartesiano. Definimos a operação de grupo em H a multiplicação das
coordenadas correspondentes de dois elementos quaisquer. Esta operação
herda
a associatividade de G, tem elemento neutro (e, e, ..., e) e todo
elemento
tem único inverso
(g_1,g_2,...,g_n)^(-1)=(g_1^(-1),g_2^(-1),...,g_n^(-1)).
Como G é não-abeliano existem g, h em G tais que gh é diferente de hg,
portanto (g,e,e,...,e)(h,e,e,...,e) é diferente de
(h,e,e,...,e)(g,e,e,...,e) e H é não-abeliano. H possui exatamente n^2
elementos. Agora considere os subgrupos
H_i = { (e,e,...,e,g,e,...,e) onde o g está na i-ésima posição : para
g
em
G} para 1 = i = n
e H_(n+1) = { (g,g,g,...,g) : para g em G }
Não é difícil de demonstrar que cada H_i é um grupo, subgrupo de H.
Também
não é difícil de mostrar que cada um desses H_i possui exatamente n
elementos. Ou seja, o que está sendo pedido para demonstrar não é
verdade.
From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED]
Oi, pessoal:
Me mandaram esse problema ontem e ainda nao consegui fazer:
Um grupo G de ordem n^2 tem n+1 subgrupos de ordem n tais que a
interseccao
de quaisquer dois deles eh a trivial (ou seja, igual a {e}). Prove que
G
eh
abeliano.
Um abraco,
Claudio.
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[]'s, Yuri
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Re: [obm-l] Grupo Abeliano
Oi Cláudio!
Na verdade o H_(n+1) tem n elementos. O conjunto H_(n+1) é formado por TODAS
as n-uplas com coordenadas iguais, por definição, acho que você entendeu que
fosse o grupo gerado por um elemento do tipo (g,g,g,...,g).
Mesmo assim, o problema é que H tem n^n elementos e não n^2, como salientou
o Yuri.
Abraço,
Duda.
From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED]
Oi, Duda:
Infelizmente, tenho que discordar. H_(n+1) soh teria n elementos se a
ordem
de g fosse n. Mas nesse caso, G seria ciclico e, portanto, abeliano.
Um abraco,
Claudio.
on 31.10.03 00:12, Eduardo Casagrande Stabel at [EMAIL PROTECTED]
wrote:
Oi Cláudio!
Seja G um grupo de n elementos não-abeliano.
Defina o grupo H = G x G x ... x G,
onde é o produto é tomado n vezes e estamos falando em produto
cartesiano. Definimos a operação de grupo em H a multiplicação das
coordenadas correspondentes de dois elementos quaisquer. Esta operação
herda
a associatividade de G, tem elemento neutro (e, e, ..., e) e todo
elemento
tem único inverso
(g_1,g_2,...,g_n)^(-1)=(g_1^(-1),g_2^(-1),...,g_n^(-1)).
Como G é não-abeliano existem g, h em G tais que gh é diferente de hg,
portanto (g,e,e,...,e)(h,e,e,...,e) é diferente de
(h,e,e,...,e)(g,e,e,...,e) e H é não-abeliano. H possui exatamente n^2
elementos. Agora considere os subgrupos
H_i = { (e,e,...,e,g,e,...,e) onde o g está na i-ésima posição : para g
em
G} para 1 = i = n
e H_(n+1) = { (g,g,g,...,g) : para g em G }
Não é difícil de demonstrar que cada H_i é um grupo, subgrupo de H.
Também
não é difícil de mostrar que cada um desses H_i possui exatamente n
elementos. Ou seja, o que está sendo pedido para demonstrar não é
verdade.
From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED]
Oi, pessoal:
Me mandaram esse problema ontem e ainda nao consegui fazer:
Um grupo G de ordem n^2 tem n+1 subgrupos de ordem n tais que a
interseccao
de quaisquer dois deles eh a trivial (ou seja, igual a {e}). Prove que
G
eh
abeliano.
Um abraco,
Claudio.
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Re: [obm-l] Grupo Abeliano
Verdade! Eu estava com grupos ciclicos na cabeca e acabei nao vendo o mais
obvio.
A unica coisa que eu deduzi ateh agora eh que G eh igual ao produto de
quaisquer dois dos subgrupos mencionados no enunciado. Infelizmente, se H e
K sao dois tais subrupos, a comutatividade HK = KH (=G) nao implica na
comutatividade de dois elementos quaisquer de G.
Um abraco,
Claudio.
on 31.10.03 15:48, Eduardo Casagrande Stabel at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Oi Cláudio!
Na verdade o H_(n+1) tem n elementos. O conjunto H_(n+1) é formado por TODAS
as n-uplas com coordenadas iguais, por definição, acho que você entendeu que
fosse o grupo gerado por um elemento do tipo (g,g,g,...,g).
Mesmo assim, o problema é que H tem n^n elementos e não n^2, como salientou
o Yuri.
Abraço,
Duda.
From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED]
Oi, Duda:
Infelizmente, tenho que discordar. H_(n+1) soh teria n elementos se a
ordem
de g fosse n. Mas nesse caso, G seria ciclico e, portanto, abeliano.
Um abraco,
Claudio.
on 31.10.03 00:12, Eduardo Casagrande Stabel at [EMAIL PROTECTED]
wrote:
Oi Cláudio!
Seja G um grupo de n elementos não-abeliano.
Defina o grupo H = G x G x ... x G,
onde é o produto é tomado n vezes e estamos falando em produto
cartesiano. Definimos a operação de grupo em H a multiplicação das
coordenadas correspondentes de dois elementos quaisquer. Esta operação
herda
a associatividade de G, tem elemento neutro (e, e, ..., e) e todo
elemento
tem único inverso
(g_1,g_2,...,g_n)^(-1)=(g_1^(-1),g_2^(-1),...,g_n^(-1)).
Como G é não-abeliano existem g, h em G tais que gh é diferente de hg,
portanto (g,e,e,...,e)(h,e,e,...,e) é diferente de
(h,e,e,...,e)(g,e,e,...,e) e H é não-abeliano. H possui exatamente n^2
elementos. Agora considere os subgrupos
H_i = { (e,e,...,e,g,e,...,e) onde o g está na i-ésima posição : para g
em
G} para 1 = i = n
e H_(n+1) = { (g,g,g,...,g) : para g em G }
Não é difícil de demonstrar que cada H_i é um grupo, subgrupo de H.
Também
não é difícil de mostrar que cada um desses H_i possui exatamente n
elementos. Ou seja, o que está sendo pedido para demonstrar não é
verdade.
From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED]
Oi, pessoal:
Me mandaram esse problema ontem e ainda nao consegui fazer:
Um grupo G de ordem n^2 tem n+1 subgrupos de ordem n tais que a
interseccao
de quaisquer dois deles eh a trivial (ou seja, igual a {e}). Prove que
G
eh
abeliano.
Um abraco,
Claudio.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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[obm-l] Re: [obm-l] Equação biquadrada
From: Fábio Bernardo [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: OBM [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] Equação biquadrada
Date: Sat, 25 Oct 2003 20:43:45 -0200
Pessoal, segue a questão na íntegra já que após ler as respostas verifiquei
que o meu enunciado não estava de acordo com o da questão original.
Desculpem-me pelo erro.
A soma das duas maiores raízes da equação
1992.x^4+1993.x^2+1994=0 é
a) 0
b) -1993/1994
c) - (1993/1994)^2
d) (1993/1994)^2
e) 997/996
Acredito nao ter alternativa correta tal questão, já que:
X^2 = {-1993 ± [(1993)^2 4.1992.1994]^0.5}/2.1992 (Bhaskara)
Sendo [(1993)^2-4.1992.1994] 0
Temos que x^2 é um numero imaginário,
Logo x tb é imaginário
Assim, sendo todas as raízes sao imaginárias. Números imaginários
não tem relação de ordem, então não podemos
dizer que uma
raiz é maior que outra. Portanto não se define a soma
das duas maiores raízes, no problema
enunciado acima.
_
MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
[obm-l] PRINCÍPIO DA VANTAGEM COMPARATIVA!
Boa Noite! meus colegas, vejam abaixo um problema similar ao cobrado no exame da COPPEAD-UFRJ, cunhado pelo economista David Ricardo e já veterano na lista. O trabalho de 120 homens na Inglaterra poderia produzir uma quantidade de vinho produzida em Portugal pelo trabalho de 80 homens, enquanto que uma quantidade de tecidos poderia ser produzida na Inglaterra com o trabalho de 100 homens, e em Portugal com o de 90 homens. Supondo que os bens seriam trocados uns pelos outros na mesma proporção que uma unidade de tecido seria trocada por uma unidade de vinho, a Inglaterra poderia conseguir vinho Português poupando o trabalho de quantos homens? E para Portugal conseguir tecido Inglês, quantos homens poderiam ser poupados? (ECONOMIA INTERNACIONAL-Paul Krugman) Bom final de semana! WebMail UNIFOR - http://www.unifor.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
