Re: [obm-l] ajudinha básica com complexos
Fábio Dias Moreira ([EMAIL PROTECTED]) escreveu: Thiago Addvico escreveu: [...] Sendo x^2 + y^2 = 1, Prove que (1 + x + y . i)/(1 + x - y . i) = x + y . i [...] Isso não faz sentido no caso x = -1 e y = 0. Com a hipótese adicional (x,y) (-1,0), o problema equivale a: Prove que para todo z complexo não nulo, com |z - 1| = 1, vale z/z* = z - 1, onde z* é o conjugado de z. []s, Daniel = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] desigualdade( ajuda)
a questão esta nesse site http://img237.exs.cx/img237/2624/desigualdade3fh.gif ou em anexo ___ Yahoo! Acesso Grátis - Instale o discador do Yahoo! agora. http://br.acesso.yahoo.com/ - Internet rápida e grátisinline: desigualdade.GIF
Re: [obm-l] desigualdade( ajuda)
use o PIM, princípio da indução matemática abraço alan --- fagner almeida [EMAIL PROTECTED] escreveu: a questão esta nesse site http://img237.exs.cx/img237/2624/desigualdade3fh.gif ou em anexo ___ Yahoo! Acesso Grátis - Instale o discador do Yahoo! agora. http://br.acesso.yahoo.com/ - Internet rápida e grátis ATTACHMENT part 2 image/gif name=desigualdade.GIF ___ Yahoo! Acesso Grátis - Instale o discador do Yahoo! agora. http://br.acesso.yahoo.com/ - Internet rápida e grátis = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] 3 problemas
Bruno Bruno ([EMAIL PROTECTED]) escreveu: Estou com dificuldades com esses daqui: 1) Qual o algarismo das unidades do número x = 1^1 + 2^2 + 3^3 + + n^n ? Seja x(n) = 1^1 + 2^2 + 3^3 + ... + n^n. De maneira geral, se p e q são primos distintos, x == a (mod p) e x == b (mod q), temos x = k*p + a x = m*q + b logo q*x = k*p*q + a*q p*x = m*p*q + b*p o que somando dá (p + q)*x == a*q + b*p (mod p*q) Mas p + q é invertível mod p*q, portanto x == (a*q + b*p)/(p + q) (mod p*q). Seja x_2(n) a classe de congruência de x(n) mod 2. Analogamente para x_5(n). Se n = 2*k + a, a = 0 ou 1, uma simples indução mostra que x_2(n) == (k + a - 1) (mod 2). Para x_5(n), usando o teorema de Euler-Fermat (se u == v (mod 5) e u == w (mod fi(5) = 4) então u^u == v^u == v^w (mod 5)) vem x_5(n) == (1^1 + 2^2 + 3^3 + 4^4) + (1^2 + 2^3 + 3^4 + 4^1) + (1^3 + 2^4 + 3^1 + 4^2) + ... (mod 5) A soma das parcelas em parênteses são claramente cíclicas em mmc(4,5) = 20, portanto se n = 20*m + b, então x_5(n) = m*x_5(20) + x_5(b). Felizmente não é difícil construir uma tabela de valores x_5(b), b = 1, 2, ..., 19; os valores a serem somados são assim: 1^1 2^2 3^3 4^4 0 1^2 2^3 3^4 4^1 0 1^3 2^4 3^1 4^2 0 1^4 2^1 3^2 4^3 0 Ordenadamente em b, da esquerda pra direita e de cima para baixo, estes são os valores de b^b mod (5). Isto pode ser melhorado: 1-1210 1 21 -10 1 1 -210 1 2 -1 -10 Portanto, para obter x_5(b) basta ir somando, mod 5, ordenadamente até a b- ésima casa. Em particular, x_5(20) = 4, portanto se n = 20*m + b, b = 1, 2, ..., 19, tem-se x_5(n) = 4*m + x_5(b). Os valores de x_5(b) são (b = 1, 2, ..., 20) 1 0 3 4 4 0 2 3 2 2 3 4 2 3 3 4 1 0 4 4 Temos 2 + 5 = 7, e o inverso de 7 mod 10 é 3. Pelas observações iniciais, x == 3*(2*x_5(n) + 5*x_2(n)) == 6*x_5(n) + 15*x_2(n) == 6*x_5(n) + 5*x_2(n) (mod 10). O x_2(n) é facilmente calculável, o x_5(n) dá um pouco mais de trabalho, e admito que a solução é feia. Seria ótimo se alguém obtivesse uma fórmula fechada para x_5(n).. []s, Daniel = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] 3 problemas
Nicolau C. Saldanha ([EMAIL PROTECTED]) escreveu:
On Fri, Feb 18, 2005 at 04:53:43AM -0300, Bruno Bruno wrote:
3) Demontre que não existe função f: N - N tal que f( f(n)) = n+1
Vou supor N = .
Suponha por absurdo que exista tal f. Claramente f é injetiva
pois f(a) = f(b) implica a+1 = f(f(a)) = f(f(b)) = b+1 donde a = b.
Seja a = f(0) 0 (pois f(0) = 0 implicaria f(f(0)) = 0+1 = 0).
Se b = a-1 temos f(f(b)) = a = f(0) donde f(b) = 0.
Não podemos ter b = 0 assim f(b-1) + 1 = 0, absurdo.
Apenas complementando a solução para o caso N = { 1, 2, 3, ... }, que acaba
incluindo o caso N = { 0, 1, ... }:
Se houvesse f com a propriedade, então
f(f(1)) = 2 == f(2) = f(f(f(1))) = f(1) + 1
f(1) + 2 = f(1) + 1 + 1 = f(f(f(1) + 1)) = f(f(2)) = 3 == f(1) = 1.
Mas então f(f(1)) = f(1) = 1, absurdo.
[]s,
Daniel
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] 3 problemas
As duas últimas tabelas estavam com alguns erros de conta... Abaixo, espero ter consertado todos (setas indicam onde estava errado) Bruno Bruno ([EMAIL PROTECTED]) escreveu: Estou com dificuldades com esses daqui: 1) Qual o algarismo das unidades do número x = 1^1 + 2^2 + 3^3 + + n^n ? Seja x(n) = 1^1 + 2^2 + 3^3 + ... + n^n. De maneira geral, se p e q são primos distintos, x == a (mod p) e x == b (mod q), temos x = k*p + a x = m*q + b logo q*x = k*p*q + a*q p*x = m*p*q + b*p o que somando dá (p + q)*x == a*q + b*p (mod p*q) Mas p + q é invertível mod p*q, portanto x == (a*q + b*p)/(p + q) (mod p*q). Seja x_2(n) a classe de congruência de x(n) mod 2. Analogamente para x_5(n). Se n = 2*k + a, a = 0 ou 1, uma simples indução mostra que x_2(n) == (k + a - 1) (mod 2). Para x_5(n), usando o teorema de Euler-Fermat (se u == v (mod 5) e u == w (mod fi(5) = 4) então u^u == v^u == v^w (mod 5)) vem x_5(n) == (1^1 + 2^2 + 3^3 + 4^4) + (1^2 + 2^3 + 3^4 + 4^1) + (1^3 + 2^4 + 3^1 + 4^2) + ... (mod 5) A soma das parcelas em parênteses são claramente cíclicas em mmc(4,5) = 20, portanto se n = 20*m + b, então x_5(n) = m*x_5(20) + x_5(b). Felizmente não é difícil construir uma tabela de valores x_5(b), b = 1, 2, ..., 19; os valores a serem somados são assim: 1^1 2^2 3^3 4^4 0 1^2 2^3 3^4 4^1 0 1^3 2^4 3^1 4^2 0 1^4 2^1 3^2 4^3 0 Ordenadamente em b, da esquerda pra direita e de cima para baixo, estes são os valores de b^b mod (5). Isto pode ser melhorado: 1-1210 1-21 -10 1 1 -210 1 2 -1 -10 Portanto, para obter x_5(b) basta ir somando, mod 5, ordenadamente até a b- ésima casa. Em particular, x_5(20) = 4, portanto se n = 20*m + b, b = 1, 2, ..., 19, tem-se x_5(n) = 4*m + x_5(b). Os valores de x_5(b) são (b = 1, 2, ..., 20) 1 0 2 3 3 4 2 3 2 2 3 4 2 3 3 4 1 0 4 4 Temos 2 + 5 = 7, e o inverso de 7 mod 10 é 3. Pelas observações iniciais, x == 3*(2*x_5(n) + 5*x_2(n)) == 6*x_5(n) + 15*x_2(n) == 6*x_5(n) + 5*x_2(n) (mod 10). O x_2(n) é facilmente calculável, o x_5(n) dá um pouco mais de trabalho, e admito que a solução é feia. Seria ótimo se alguém obtivesse uma fórmula fechada para x_5(n).. []s, Daniel = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] 3 problemas
Última ressalva, agora em (***) x_2(n) == teto(n/2) = quantidade de números ímpares menores ou iguais a n (mod 2), e não conforme eu escrevi... Abaixo, corrigido. As duas últimas tabelas estavam com alguns erros de conta... Abaixo, espero ter consertado todos (setas indicam onde estava errado) Bruno Bruno ([EMAIL PROTECTED]) escreveu: Estou com dificuldades com esses daqui: 1) Qual o algarismo das unidades do número x = 1^1 + 2^2 + 3^3 + + n^n ? Seja x(n) = 1^1 + 2^2 + 3^3 + ... + n^n. De maneira geral, se p e q são primos distintos, x == a (mod p) e x == b (mod q), temos x = k*p + a x = m*q + b logo q*x = k*p*q + a*q p*x = m*p*q + b*p o que somando dá (p + q)*x == a*q + b*p (mod p*q) Mas p + q é invertível mod p*q, portanto x == (a*q + b*p)/(p + q) (mod p*q). Seja x_2(n) a classe de congruência de x(n) mod 2. Analogamente para x_5(n). (***) Módulo 2, as parcelas não nulas em x_2(n) vêm dos ímpares menores ou iguais a n, portanto x_2(n) == teto(n/2) (mod 2). Para x_5(n), usando o teorema de Euler-Fermat (se u == v (mod 5) e u == w (mod fi(5) = 4) então u^u == v^u == v^w (mod 5)) vem x_5(n) == (1^1 + 2^2 + 3^3 + 4^4) + (1^2 + 2^3 + 3^4 + 4^1) + (1^3 + 2^4 + 3^1 + 4^2) + ... (mod 5) A soma das parcelas em parênteses são claramente cíclicas em mmc(4,5) = 20, portanto se n = 20*m + b, então x_5(n) = m*x_5(20) + x_5(b). Felizmente não é difícil construir uma tabela de valores x_5(b), b = 1, 2, ..., 19; os valores a serem somados são assim: 1^1 2^2 3^3 4^4 0 1^2 2^3 3^4 4^1 0 1^3 2^4 3^1 4^2 0 1^4 2^1 3^2 4^3 0 Ordenadamente em b, da esquerda pra direita e de cima para baixo, estes são os valores de b^b mod (5). Isto pode ser melhorado: 1 -1 2 1 0 1 -2 1 -1 0 1 1 -2 1 0 1 2 -1 -1 0 Portanto, para obter x_5(b) basta ir somando, mod 5, ordenadamente até a b- ésima casa. Em particular, x_5(20) = 4, portanto se n = 20*m + b, b = 1, 2, ..., 19, tem-se x_5(n) = 4*m + x_5(b). Os valores de x_5(b) são (b = 1, 2, ..., 20) 1 0 2 3 3 4 2 3 2 2 3 4 2 3 3 4 1 0 4 4 Temos 2 + 5 = 7, e o inverso de 7 mod 10 é 3. Pelas observações iniciais, x == 3*(2*x_5(n) + 5*x_2(n)) == 6*x_5(n) + 15*x_2(n) == 6*x_5(n) + 5*x_2(n) (mod 10). O x_2(n) é facilmente calculável, o x_5(n) dá um pouco mais de trabalho, e admito que a solução é feia. Seria ótimo se alguém obtivesse uma fórmula fechada para x_5(n).. []s, Daniel = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] 3 problemas
Bruno Bruno ([EMAIL PROTECTED]) escreveu: Estou com dificuldades com esses daqui: 1) Qual o algarismo das unidades do número x = 1^1 + 2^2 + 3^3 + + n^n ? Minha solucao eh baseada no fato de que a sequencia n^n (mod 10) tem periodo 20. Mesmo assim, nao encontrei uma formula bonitinha. No que se segue, as igualdades devem ser entendidas como congruencias mod 10. 0^k = 0 == final 0 gera a subsequencia 0, 0, 0, 0, 0, ... - periodo 1. 1^k = 1 == final 1 gera a subsequencia 1, 1, 1, 1, 1, ... - periodo 1. 2^(20k+2) = 4 e 2^(20k+12) = 6 == final 2 gera a subsequencia 4, 6, 4, 6, 4, ... - periodo 2. 3^(20k+3) = 7 e 3^(20k+13) == final 3 gera a subsequencia 7, 3, 7, 3, 7, ... - periodo 2. 4^(10k+4) == final 4 gera a subsequencia 6, 6, 6, 6, 6, ... - periodo 1. 5^k = 5 == final 5 gera a subsequencia 5, 5, 5, 5, 5, ... - periodo 1. 6^k = 6 == final 6 gera a subsequencia 6, 6, 6, 6, 6, ... - periodo 1. 7^(20k+7) = 3 e 7^(20k+17) = 7 == final 7 gera a subsequencia 3, 7, 3, 7, 3, ... - periodo 2. 8^(20k+8) = 6 e 8^(20k+18) = 4 == final 8 gera a subsequencia 6, 4, 6, 4, 6, ... - periodo 2. 9^(2k+1) = 1 == final 9 gera a subsequencia 1, 1, 1, 1, 1, ... - periodo 1. *** n: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 ultimo algarismo de n^n: 0 1 4 7 6 5 6 3 6 1 0 1 6 3 6 5 6 7 4 1 ultimo algarismo da soma parcial (1^1 + 2^2 + ... + k^k): 0 1 5 2 8 3 9 2 8 9 9 0 6 9 5 0 6 3 7 8 Logo, para n = 20m + r (m = 0 e 0 = n = 19), o ultimo algarismo de 1^1 + 2^2 + ... + n^n serah igual ao ultimo algarismo de A + B, onde: A = 8m (mod 10) e B eh dado por: r: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 B: 0 1 5 2 8 3 9 2 8 9 9 0 6 9 5 0 6 3 7 8 *** Por exemplo, se n = 1234 = 20*61 + 14, teremos: A = 8*61 = 8*1 = 8 e B = 5 == A + B = 13 = 3 == o ultimo algarismo de 1^1 + 2^2 + ... + 1234^1234 eh 3. []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] limites
Acabei de ler que sejam f de X em R e g de Y em R, com f(X)contido em Y, a pertencente ao conjunto X´ e b pertencente ao conjunto Y´inter Y. Se lim(x tende a a)f(x)= b e lim(y tende a b)g(y)= c entao lim(x tende a a)g(f(x))= c desde que c = g(b) ou que x diferente de a implique f(x) diferente de b. Nao entendi estas condiçoes.
[obm-l] desigualdade(ajuda)
a questão esta nesse endereço http://img237.exs.cx/img237/2624/desigualdade3fh.gif ou anexada ___ Yahoo! Acesso Grátis - Instale o discador do Yahoo! agora. http://br.acesso.yahoo.com/ - Internet rápida e grátis ___ Yahoo! Acesso Grátis - Instale o discador do Yahoo! agora. http://br.acesso.yahoo.com/ - Internet rápida e grátisinline: desigualdade.GIF
[obm-l] Matriz
Dadas as matrizes A, 4X2 e B, 2x4 duas matrizes quaisquer, provar que AB não é invertível. Abraços Vinícius Meireles Aleixo
Re: [obm-l] Matriz
Veja que o posto de B é dois (dimensão da imagem que ele gera, só tem dois vetores!) Assim, não importa o que você faça, não vais aumentar essa dimensão. Abraços, On Sat, 19 Feb 2005 20:49:37 -0300, Vinícius Meireles Aleixo [EMAIL PROTECTED] wrote: Dadas as matrizes A, 4X2 e B, 2x4 duas matrizes quaisquer, provar que AB não é invertível. Abraços Vinícius Meireles Aleixo -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re:[obm-l] TRIANGULO ISOSCELES
Não consegui achar não. As duas bissetrizes têm comprimentos iguais. Se alguém puder resolver o problema, agradeço. Igor. Entre nos arquivos da lista e procure uma msg bem antiga do Eduardo Wagner com uma bela demonstracao disso. Ou entre no Google e digite Steiner-Lehmus proof. []s, Claudio. De:[EMAIL PROTECTED] Para:obm-l obm-l@mat.puc-rio.br Cópia:obm-l obm-l@mat.puc-rio.br Data:Thu, 17 Feb 2005 00:29:32 -0200 Assunto:Re:[obm-l] TRIANGULO ISOSCELES O que vc quer dizer com 'duas bissetrizes iguais' por acaso seria duas bissetrizes de mesma medida? Peço ajuda para resolver o seguinte problema: Mostre que se um triângulo possui 2 bissetrizes iguais, então o triângulo é isósceles. OBRIGADo, IGOR = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Atenciosamente, Osvaldo Mello Sponquiado Engenharia Elétrica, 2ºano UNESP - Ilha Solteira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
