[obm-l] CALCULADORAS SOB SUSPEITA!
Turma! Vejam algumas surpresas que nos pode causar a Aritmética das Calculadoras... Numa calculadora qualquer, efetue as operações 1/x.x-1 para x=3. Numa TI-57 LCD da Texas Instruments obtivemos -1.10^-10. Ora, mas sendo x pertencente aos Reais, x não nulo, é sempre verdade que 1/x.x-1=0. A máquina não sabia isso? Numa HP-15C da Hewlett-Packard, pusemo-nos a calcular o valor da expressão 1/1^1 + 1/2^2 + 1/3^3 + 1/4^4 + 1/5^5 + 1/6^6 começando pela soma da 1a. parcela com a 2a., à qual somamos a 3a. e assim por diante. O resultado foi 1,291284720. Para conferir, repetimos o cálculo, agora somando, antes as duas últimas parcelas e depois a anterior e assim até somarmos a 1a. quando obtivemos o resultado 1,291284721. Em outras palavras, a associatividade da adição não funcionou. Onde está o erro? O problema que mais gosto envolvendo calculadoras de oito dígitos é efetuar a multiplicação, cujas teclas de produto e divisão estejam danificadas... (Ver resolução na lista!) Divirtam-se! _ Seja um dos primeiros a testar o novo Windows Live Mail Beta. Acesse http://www.ideas.live.com/programpage.aspx?versionId=5d21c51a-b161-4314-9b0e-4911fb2b2e6d = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Questão facil e interessante
Os opérario de hoje fabricam em uma semana o que seus colegas do século XVIII fariam em 4 anos. Esse aumento de produção fez com que se elevasse o ocnsumo de tal maneira que, em 2000, registrou-se uma produção quatro vezes maior que a de 1960. Com bases nesses dados, o percentual da produção de 1960 em relaçÃo ao de 2000 é : a)16% b)20% c)25% d)28% Yahoo! Acesso Grátis Internet rápida e grátis. Instale o discador agora!
[obm-l] 3 Questões de Programação - Linguagem C!
Olá pessoal... Gostaria de saber se alguem da lista sabe programar em linguagem C. Eu fiz todos os programas aqui listados..e gostaria de poder ver algumas outras possibilidades de programar uma mesma tarefa. Aí vai: 1) Fazer um programa em "C" que pergunta um valor em metros e imprime o correspondente em centímetros, decímetrose milímetros. 2) Faça um programa em "C" que lê dois números e utiliza uma função chamada "soma" e outra função chamada "subtração" para imprimir a soma e a diferença entre os dois inteiros. Ambas funções devem receber dois inteiros como parâmetro e retornar um número inteiro como resultado. 3) Fazer uma função em "C" que retorna a razão entre dois números. A função deve retornar pelo comando "RETURN" o valor 1 se a operação foi possível e o valor 0 se a operação não foi possível (divisão por zero, por exemplo). O resultado da divisão deve retornar por um parâmetrode referência. Vlw Abraços! João Vitor Fortaleza - Ceará
[obm-l] 4 é igual a 6?
Onde está o erro da demonstração de que4 é igual a 6? Começamos com a seguinte igualdade: -24 = -24 Escrevemos o número -24 em duas formas diferentes: 16 - 40 = 36 - 60 Os números 16, 40 , 36 e 60 podem ser escritos da seguinte forma: 4x4 - 2x4x5 = 6x6 - 2x6x5 Podemos somar 25 nos dois lados da equação sem a alterar: 4x4 - 2x4x5 + 5x5 = 6x6 - 2x6x5 + 5x5 Agora vemos que tanto no lado esquerdo como no lado direito temos um binômio ao quadrado (o primeiro termo ao quadrado, menos duas vezes o produto dos dois termos mais o quadrado do segundo) (4 - 5)2 = (6 - 5)2 Eliminando o quadrado nos dois lados da equação temos: 4 - 5 = 6 - 5 Finalmente, somando 5 nos dois lados, obtemos o resultado: 4 = 6
Re: [obm-l] Espaço percorrido por um corpo
Voce deve ter esquecido que e^0 = 1. Henrique Rennó [EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá Eduardo!!!Não entendi como encontrar o valor 10^4 utilizando infinito comolimite superior, pois [-t.e^(-0,01.t)]/0,01 = 0 quando t -- inf, comovocê havia mencionado (gostaria, se possível, um demonstração desselimite, assim como há uma demonstração geométrica para limite sen(x)/x= 1 quando x -- 0).O termo [e^(-0,01.t)]/(0,01^2) também vale zero, pois e^(-0,01.t)quando t -- inf vale zero. Dessa forma esse termo também vale zero.Para achar o valor 10^4, que é a resposta do exercício, o numeradordesse termo precisa valer "1", mas como?Coloco aqui o exercício novamente:A velocidade de um ponto em movimento é dada pela equaçãov(t) = t.e^(-0,01.t) m/sO espaço percorrido desde o instante que o ponto começou a se moveraté a sua parada total é(a) 10^4 m(b) 10^3.e^(-0,01) m(c) 10^2.e^(-1) m(d) e^(-100) - 1 m(e) 10^2 mEm t = 0 a velocidade inicial é zero, ou seja, o ponto está parado.Para achar o espaço percorrido utilizei integral por partes com u = te dw = e^(-0,01.t) e achei a integral = [-t.e^(-0,01.t)]/0,01 -[e^(-0,01.t)]/(0,01^2). Não sei qual o valor de t quando o pontochegará em sua parada total, pois os limites da integral serial a = 0e b = ?.Abraços Os limites de integração são de t=0 até t-oo(infinto). Esbarra-se numa indeterminação tipo x.e^-(x) quando x-oo,cujo limite ézero. Você deverá obter s=10^4.--Henrique=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= Yahoo! Acesso Grátis Internet rápida e grátis. Instale o discador agora!
Re: [obm-l] Espaço percorrido por um corpo
Olá pessoal da lista!!! Estou repetindo a mensagem, pois gostaria de uma ajuda na solução deste exercício. Abraços!!! On 2/10/06, Henrique Rennó [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá Eduardo!!! Não entendi como encontrar o valor 10^4 utilizando infinito como limite superior, pois [-t.e^(-0,01.t)]/0,01 = 0 quando t -- inf, como você havia mencionado (gostaria, se possível, um demonstração desse limite, assim como há uma demonstração geométrica para limite sen(x)/x = 1 quando x -- 0). O termo [e^(-0,01.t)]/(0,01^2) também vale zero, pois e^(-0,01.t) quando t -- inf vale zero. Dessa forma esse termo também vale zero. Para achar o valor 10^4, que é a resposta do exercício, o numerador desse termo precisa valer 1, mas como? Coloco aqui o exercício novamente: A velocidade de um ponto em movimento é dada pela equação v(t) = t.e^(-0,01.t) m/s O espaço percorrido desde o instante que o ponto começou a se mover até a sua parada total é (a) 10^4 m (b) 10^3.e^(-0,01) m (c) 10^2.e^(-1) m (d) e^(-100) - 1 m (e) 10^2 m Em t = 0 a velocidade inicial é zero, ou seja, o ponto está parado. Para achar o espaço percorrido utilizei integral por partes com u = t e dw = e^(-0,01.t) e achei a integral = [-t.e^(-0,01.t)]/0,01 - [e^(-0,01.t)]/(0,01^2). Não sei qual o valor de t quando o ponto chegará em sua parada total, pois os limites da integral serial a = 0 e b = ?. Abraços Os limites de integração são de t=0 até t-oo(infinto). Esbarra-se numa indeterminação tipo x.e^-(x) quando x-oo,cujo limite ézero. Você deverá obter s=10^4. -- Henrique -- Henrique = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] 4 é igual a 6?
(4 - 5)2 = (6 - 5)2 Eliminando o quadrado nos dois lados da equação temos: 4 - 5 = 6 - 5 O erro está aqui porque((x)^2)^1/2 é |x| e não x |4 - 5| = 1 = |6 - 5| = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] 4 é igual a 6?
(4 - 5)^2 = (6 - 5)^2Tirando a raiz dos dois lados, temos |4-5| = |6-5|, onde |x| eh modulo.|4-5|=1|6-5|=1A igualdade é verdadeira. On 2/12/06, Alamir Rodrigues [EMAIL PROTECTED] wrote: Onde está o erro da demonstração de que4 é igual a 6? Começamos com a seguinte igualdade: -24 = -24 Escrevemos o número -24 em duas formas diferentes: 16 - 40 = 36 - 60 Os números 16, 40 , 36 e 60 podem ser escritos da seguinte forma: 4x4 - 2x4x5 = 6x6 - 2x6x5 Podemos somar 25 nos dois lados da equação sem a alterar: 4x4 - 2x4x5 + 5x5 = 6x6 - 2x6x5 + 5x5 Agora vemos que tanto no lado esquerdo como no lado direito temos um binômio ao quadrado (o primeiro termo ao quadrado, menos duas vezes o produto dos dois termos mais o quadrado do segundo) (4 - 5)2 = (6 - 5)2 Eliminando o quadrado nos dois lados da equação temos: 4 - 5 = 6 - 5 Finalmente, somando 5 nos dois lados, obtemos o resultado: 4 = 6
[obm-l] Álgebra linear
Alguem pode me ajudar a resolver este problema? Os vetores a e b no espaço são tais que módulo de a é igual a 12 e módulo de b é igual a 2. Determine os valores de m, sendo que m pertence ao conjunto dos números reais R, de modo que os vetores v = a + mb e u = a - mb sejam perpendiculares. Eu estou tentando resolver procurando as coordenadas dos vetores pelo módulo, mas não estou obtendo sucesso. Qualquer ajuda será bem vinda. Um abraço a todos
Re: [obm-l] 4 � igual a 6?
Certamente que 4 nao eh igual a 6. O erro estah aqui: (4 - 5)2 = (6 - 5)2 Isto nao implica que 4 - 5 = 6 -5 Se x e y sao numeros reais, entao x = y = x^2 = y^2. Mas x^2 = y^2 NAO implica que x =y, pois podemos tambem ter x = -y. Artur __ Do You Yahoo!? Tired of spam? Yahoo! Mail has the best spam protection around http://mail.yahoo.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RES: [obm-l] 4 é igual a 6?
-Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de Alamir RodriguesEnviada em: domingo, 12 de fevereiro de 2006 07:29Para: obm-lAssunto: [obm-l] 4 é igual a 6? Onde está o erro da demonstração de que4 é igual a 6? Começamos com a seguinte igualdade: -24 = -24 Escrevemos o número -24 em duas formas diferentes: 16 - 40 = 36 - 60 Os números 16, 40 , 36 e 60 podem ser escritos da seguinte forma: 4x4 - 2x4x5 = 6x6 - 2x6x5 Podemos somar 25 nos dois lados da equação sem a alterar: 4x4 - 2x4x5 + 5x5 = 6x6 - 2x6x5 + 5x5 Agora vemos que tanto no lado esquerdo como no lado direito temos um binômio ao quadrado (o primeiro termo ao quadrado, menos duas vezes o produto dos dois termos mais o quadrado do segundo) (4 - 5)2 = (6 - 5)2 Eliminando o quadrado nos dois lados da equação temos: 4 - 5 = 6 - 5 Finalmente, somando 5 nos dois lados, obtemos o resultado: 4 = 6
[obm-l] Re:Espa�os M�tricos
Estou com uma duvida: este teorema vale em qualquer
espaco topologico ou apenas em espacos metricos e
espacos metrizaveis? Em um espaco topologico nao
metrizavel, a prova dada nao vale, pois o fato de x
ser ponto de acumulacao de X nao implica que exista
uma sequencia em X que convirja para x. Se
substituirmos sequencia por rede, a prova torna-se
valida?
Se o espaco satisfizer ao primeiro axioma da
enumerabilidade (cada um de seus pontos tiver uma base
enumeravel), entao a prova dada permanece valida,
pois, em tais espacos, se x pertence ao fecho de X,
entao existe uma sequencia em X que converge para x. E
pontos de acumulacao de um conjunto pretencem ao seu
fecho.
Artur
Mostre que se X inter K é fechado de K para todo
compacto K C ou igual
M, então X é fechado do espaço M
(inter = intersecção e C ou igual = Contido ou
igual
a)
Suponhamos, por contraposicao, que X nao seja
fechado. Entao, X possui um
ponto de acumulacao x, em M, que nao pertence a X.
Adicionalmente, existe
uma sequencia (x_n) em X que converge para x
(propriedade de espacos
metricos).
O conjunto A = (x1, x2x_n} nao eh
fechado,
pois x eh ponto de
acumulacao de A mas nao pertence a A.
Por outo lado, K = A Uniao {x} = {x, x1,
x2x_n...} eh compacto (qualquer
cobertura aberta de K contem um membro que contem
x
e que, desta forma, com
possivel excecao de um numero finito de elementos
de
K, cobre a totalidade
dos elementos de K. Isto decorre do fato de que
x_n
- x).
Como X inter K = A, deduzimos existir um compacto
K
tal que X inter K = A
nao eh fechado. Por contaposicao, concluimos que a
afirmacao eh verdadeira.
__
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[obm-l] pontos de condensacao
Em um espaco metrico (ou mesmo em um espaco topologico
geral) que nao seja separavel (isto eh, nao possua
nenhuma base enumeravel), eh possivel que um conjunto
nao enumeravel nao possua pontos de condensacao? (se o
espaco for separavel, sabemos que nao eh possivel)
Dizemos que p eh ponto de condensacao de um conjunto A
se, para toda vizinhanca V de p, V inter A nao for
enumeravel. Por exemplo, na reta real, 2 eh ponto de
condensacao do intervalo (2,3). 0 eh ponto de
acumulacao de {1, 1/2, 1/31/n}, mas nao eh
ponto de condensacao. Eh facil ver que conjuntos
ewnumeraveis nao possuem pontos de condensacao.
Obrigado
Artur
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[obm-l] Re: [obm-l] Racionalização
Considerando x=R(3)3 teremos (x^2-1)/(x-1) = (x+1)(x-1)/(x-1) = x+1 = R(3) +1 - Original Message - From: gustavo To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Monday, February 06, 2006 10:14 PM Subject: [obm-l] Racionalização Esta é de G. Iezzi, a solução é 1 + R(3) 3. Sendo :R(3) 3 = raiz cúbica de 3. Racionalize[ R(3)9 -1] / [R(3)3 - 1] = ?? obrigado !!! No virus found in this incoming message.Checked by AVG Free Edition.Version: 7.1.375 / Virus Database: 267.15.2/251 - Release Date: 4/2/2006
[obm-l] Re:Espa�os M�tricos
Estou com uma duvida: este teorema vale em qualquer
espaco topologico ou apenas em espacos metricos e
espacos metrizaveis? Em um espaco topologico nao
metrizavel, a prova dada nao vale, pois o fato de x
ser ponto de acumulacao de X nao implica que eista uma
sequencia em X que convirja para x. Se substituirmos
sequencia por rede, a prova torna-se valida?
Artur
Mostre que se X inter K é fechado de K para todo
compacto K C ou igual
M, então X é fechado do espaço M
(inter = intersecção e C ou igual = Contido ou igual
a)
Suponhamos, por contraposicao, que X nao seja
fechado. Entao, X possui um
ponto de acumulacao x, em M, que nao pertence a X.
Adicionalmente, existe
uma sequencia (x_n) em X que converge para x
(propriedade de espacos
metricos).
O conjunto A = (x1, x2x_n} nao eh fechado,
pois x eh ponto de
acumulacao de A mas nao pertence a A.
Por outo lado, K = A Uniao {x} = {x, x1,
x2x_n...} eh compacto (qualquer
cobertura aberta de K contem um membro que contem x
e que, desta forma, com
possivel excecao de um numero finito de elementos de
K, cobre a totalidade
dos elementos de K. Isto decorre do fato de que x_n
- x).
Como X inter K = A, deduzimos existir um compacto K
tal que X inter K = A
nao eh fechado. Por contaposicao, concluimos que a
afirmacao eh verdadeira.
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[obm-l] Re:Espa�os M�tricos
Se o espaco satisfizer ao primeiro axioma da enumerabilidade (cada um de seus pontos tiver uma base enumeravel), entao a prova dada permanece valida, pois, em tais espacos, se x pertence ao fecho de X, entao existe uma sequencia em X que converge para x. E pontos de acumulacao de um conjunto pretencem ao seu fecho. Artur __ Do You Yahoo!? Tired of spam? Yahoo! Mail has the best spam protection around http://mail.yahoo.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Espaço percorrido por um corpo
lim x-inf (x.e^-x) = lim x-inf (x/e^x) por L´Hopital = lim x-inf (1/e^x) = 0 - Original Message - From: Henrique Rennó [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Friday, February 10, 2006 7:16 PM Subject: Re: [obm-l] Espaço percorrido por um corpo Olá Eduardo!!! Não entendi como encontrar o valor 10^4 utilizando infinito como limite superior, pois [-t.e^(-0,01.t)]/0,01 = 0 quando t -- inf, como você havia mencionado (gostaria, se possível, um demonstração desse limite, assim como há uma demonstração geométrica para limite sen(x)/x = 1 quando x -- 0). O termo [e^(-0,01.t)]/(0,01^2) também vale zero, pois e^(-0,01.t) quando t -- inf vale zero. Dessa forma esse termo também vale zero. Para achar o valor 10^4, que é a resposta do exercício, o numerador desse termo precisa valer 1, mas como? Coloco aqui o exercício novamente: A velocidade de um ponto em movimento é dada pela equação v(t) = t.e^(-0,01.t) m/s O espaço percorrido desde o instante que o ponto começou a se mover até a sua parada total é (a) 10^4 m (b) 10^3.e^(-0,01) m (c) 10^2.e^(-1) m (d) e^(-100) - 1 m (e) 10^2 m Em t = 0 a velocidade inicial é zero, ou seja, o ponto está parado. Para achar o espaço percorrido utilizei integral por partes com u = t e dw = e^(-0,01.t) e achei a integral = [-t.e^(-0,01.t)]/0,01 - [e^(-0,01.t)]/(0,01^2). Não sei qual o valor de t quando o ponto chegará em sua parada total, pois os limites da integral serial a = 0 e b = ?. Abraços Os limites de integração são de t=0 até t-oo(infinto). Esbarra-se numa indeterminação tipo x.e^-(x) quando x-oo,cujo limite ézero. Você deverá obter s=10^4. -- Henrique = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- No virus found in this incoming message. Checked by AVG Free Edition. Version: 7.1.375 / Virus Database: 267.15.6/257 - Release Date: 10/2/2006 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] pontos de condensacao
Boa tarde a todos.
Em um espaco metrico (ou mesmo em um espaco topologico
geral) que nao seja separavel (isto eh, nao possua
nenhuma base enumeravel), eh possivel que um conjunto
nao enumeravel nao possua pontos de condensacao? (se o
espaco for separavel, sabemos que nao eh possivel)
Dizemos que p eh ponto de condensacao de um conjunto A
se, para toda vizinhanca V de p, V inter A nao for
enumeravel. Por exemplo, na reta real, 2 eh ponto de
condensacao do intervalo (2,3). 0 eh ponto de
acumulacao de {1, 1/2, 1/31/n}, mas nao eh
ponto de condensacao. Eh facil ver que conjuntos
ewnumeraveis nao possuem pontos de condensacao.
Obrigado
Artur
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[obm-l] Re: [obm-l] 4 é igual a 6?
Sejam a2 e b2 os quadrados de a e b respectivamente. O erro estah no fato de que a2 = b2 NAO IMPLICA que a = b, como voce fez na sua ultima simplificacao de "eliminar o quadrado nos dois lados da equacao"; na verdade, a2 = b2 implica em a = b OU a = -b; no presente caso, (4-5)2 = (6-5)2 implica em (4-5) = -(6-5), que eh o correto. Abracos, Joao Luis. - Original Message - From: Alamir Rodrigues To: obm-l Sent: Sunday, February 12, 2006 7:29 AM Subject: [obm-l] 4 é igual a 6? Onde está o erro da demonstração de que4 é igual a 6? Começamos com a seguinte igualdade: -24 = -24 Escrevemos o número -24 em duas formas diferentes: 16 - 40 = 36 - 60 Os números 16, 40 , 36 e 60 podem ser escritos da seguinte forma: 4x4 - 2x4x5 = 6x6 - 2x6x5 Podemos somar 25 nos dois lados da equação sem a alterar: 4x4 - 2x4x5 + 5x5 = 6x6 - 2x6x5 + 5x5 Agora vemos que tanto no lado esquerdo como no lado direito temos um binômio ao quadrado (o primeiro termo ao quadrado, menos duas vezes o produto dos dois termos mais o quadrado do segundo) (4 - 5)2 = (6 - 5)2 Eliminando o quadrado nos dois lados da equação temos: 4 - 5 = 6 - 5 Finalmente, somando 5 nos dois lados, obtemos o resultado: 4 = 6
Re: [obm-l] Álgebra linear
Os vetores a e b no espaço são tais que módulo de a é igual a 12 e módulo de b é igual a 2. Determine os valores de m, sendo que m pertence ao conjunto dos números reais R, de modo que os vetores v = a + mb e u = a - mb sejam perpendiculares. Se u e v são perpendiculares (reversos e coplanares) então o produtoescalar é zerou.v = |u|.|v|.cos(pi/2) = 0 = |u|.|v| = 0|u|.|v| = |a + mb|.|a - mb| = |a|^2 - |mb|^2 = 144 - 4m² = 0m = +-6 outra forma é fazer o desenho lembrando que u e v têm a em comum e quemb e -mb são colineares, dá para resolver por geometria. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] sequencia
OPa
vc pode fazer uma induçaum
para n=1 verifica-se
para n=2 verifica-se tb
suponha q seja válido para n=k
vamos verificarr a validade para n=k+1
1+1/2+1/3*...*1/(2^k-1)k/2 e somamos 1/(2^(k)) +1/(2^(k)+1) +
1/(2^(k)+2) +...+ 1/(2^(k+1)-1) +aos dois membros
logo o membro esquerdo ficará o somatório
1+1/2+...+1/(2^(k+1)-1)
mas o somatório
1/(2^(k)) +1/(2^(k)+1) + 1/(2^(k)+2) +...+ 1/(2^(k+1)-1) q tem 2^k parcelas
(verifique!)
e 1/(2^(k))
+1/(2^(k)+1) + 1/(2^(k)+2) +...+ 1/(2^(k+1)-1)
(2^k)/(2^(k+1)-1)
o q resta provar q (2^k)/(2^(k+1)-1) + k/2 (k+1)/2
q dah em 2^(k+1) 2^(k+1)-1 o q eh sempre verdadeiro pois consideramos n
sendo inteiro positivo
daih completa a demonstraçaum
Sum(1/k){k=1- 2^n-1}n/2
Pode-se notar também q a integral dessa série eh
divergente e crescente sempre podemos tomar um n na sekuência dada
1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n=S tal q S assumas
valores sempre maiores sendo q se assumirmos n=e^k S sempre será maior q
k
abraçaum
Leonardo Broges Avelino
- Original Message -
From:
Klaus
Ferraz
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Saturday, February 11, 2006 11:58
AM
Subject: [obm-l] sequencia
Prove que para todo n. n E N --
1+1/2+1/3*...*1/(2^n-1)n/2
Yahoo! doce lar. Faça
do Yahoo! sua homepage.
[obm-l] RES: [obm-l] Álgebra linear
Alamir, vamos la'... primeiramente, sejam a e b os vetores compostos pelas componentes: a = (a_1, a_2) b = (b_1, b_2) Como |a| = 12 e |b| = 4, sabemos que: a_1^2 + a_2^2 = 144 e b_1^2 + b_2^2 = 4. Sejam, entao, os vetores v e u: v = a + m*b = (a_1 + m*b_1, a_2 + m*b_2) u= a- m*b = (a_1- m*b_1, a_2- m*b_2) Como estes sao perpendiculares, seu produto interno e' nulo (lembre-se que este produto depende do cosseno do angulo entre os vetores). Desta forma: (a_1 + m*b_1)(a_1 - m*b_1) + (a_2 + m*b_2)(a_2 - m*b_2) = 0 a_1^2 - m^2*b_1^2 + a_2^2 + m^2*b_2^2 = 0 == m^2 = (a_1^2 + a_2^2) / (b_1^2 + b_2^2) = 144 / 4 = 36 Logo, m = 6 ou -6. Espero ter ajudado. Abracos, Leo.
Re: [obm-l] fatoração...
Prezado Carlos GomesAcho que o problema fica mais "leve" se levarmos em conta que tanto os termos do primeiro fator, A1+A2+A3, quanto os do segundo B1+B2+B3, podem ser obtidos de um deles pela permutaçao ciclica entre a, b e c , respectivamente.Eh imediato que Ai.Bi=1 para i=1,2,3 , logo Soma(com i de 1 a 3) de (AiBi) =3. O problema reside nos produtos cruzados.Note que, p.ex., A1+A2 =(a-b)/c + (b-c)/a = 2b(c-a)/(ac) que multiplicado pelo "seu cruzado", B3, resulta em (A1+A2).B3 = 2b^2/(ac) = -2.(b/a + b/c) ( lembrando que b = -(a+c) ). Para os demais produtos cruzados basta fazer a permutação ciclica e obteremos para ! p; Soma(i , j ,k diferentes entre si, de 1 a 3) de (Ai+Aj).Bk = = -2.(b/a + b/c + c/b + c/a + a/c + a/b) = -2.[(b+c)/a + (b+a)/c + (c+a)/b] = 6Abraços Wilner Carlos Gomes [EMAIL PROTECTED] escreveu: V se alguem me ajuda com essa...Se a+b+c=0, qual o valor da expressão [(a-b)/c + (b-c)/a + (c-a)/b].[c/(a-b) + a/(b-c) + b/(c-a)] o gabarito dá como resposta 9...tá dando muito trabalho...v se alguem descobre algum atalho...valew...um abraço à todosCgomes-- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de anti-virus eacredita-se estar livre de perigo. Yahoo! Acesso Grátis Internet rápida e grátis. Instale o discador agora!
[obm-l] Uma Curva Interessante'
Tomei a liberdade de colocar ' no problema transmitido pelo Paulo, no sentido de omitir a exigencia de comprimento L. Nesse caso, me parece que o maximo (do tempo de percurso) nao ocorra como maior valor no entorno, mas como limite do intervalo imposto pelo problema.Me explico: acredito que se possa mostrar (alguem se habilita?) que nas trajetorias concavas o tempo de percurso seja maior que nas convexas. Assim o máximo se daria no limite, i. e. na reta que vai de (X1,Y1) a (X2,Y2) Abracos Wilner Yahoo! Acesso Grátis Internet rápida e grátis. Instale o discador agora!
[obm-l] inducao finita
um forte abaco a todos! Um amigo me perguntou a seguinte questao. Mas estou com dificuldade em ajuda-lo. Quem puder me ajudar eu agradeco. 1. SejaScontido ou igual a N(naturais) i) 2^k pertence a S, para todo k pertencente a N(naturais) ii) Se k pertence a S entao K-1 tambem pertence a S Esse exercicio e de um livro de analise em ingles, mas nao tem solucao e nem dica. Grato pela atencao
Fw: [obm-l] sequencia
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From: Leo
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Saturday, February 11, 2006 5:29 PM
Subject: Re: [obm-l] sequencia
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From:
Leo
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Saturday, February 11, 2006 5:10
PM
Subject: Re: [obm-l] sequencia
OPa
vc pode fazer uma induçaum
para n=1 verifica-se
para n=2 verifica-se tb
suponha q seja válido para n=k
vamos verificarr a validade para
n=k+1
1+1/2+1/3*...*1/(2^k-1)k/2 e somamos 1/(2^(k)) +1/(2^(k)+1) +
1/(2^(k)+2) +...+ 1/(2^(k+1)-1) +aos dois membros
logo o membro esquerdo ficará o somatório
1+1/2+...+1/(2^(k+1)-1)
mas o somatório
1/(2^(k)) +1/(2^(k)+1) + 1/(2^(k)+2) +...+ 1/(2^(k+1)-1) q tem 2^k
parcelas (verifique!)
e 1/(2^(k))
+1/(2^(k)+1) + 1/(2^(k)+2) +...+ 1/(2^(k+1)-1)
(2^k)/(2^(k+1)-1)
o q resta provar q (2^k)/(2^(k+1)-1) + k/2 (k+1)/2
q dah em 2^(k+1) 2^(k+1)-1 o q eh sempre verdadeiro pois consideramos
n sendo inteiro positivo
daih completa a demonstraçaum
Sum(1/k){k=1- 2^n-1}n/2
Pode-se notar também q a integral dessa série eh
divergente e crescente sempre podemos tomar um n na sekuência
dada
1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n=S tal q S assumas
valores sempre maiores sendo q se assumirmos n=e^k S sempre será maior q
k
abraçaum
Leonardo Broges Avelino
- Original Message -
From:
Klaus Ferraz
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Saturday, February 11, 2006 11:58
AM
Subject: [obm-l] sequencia
Prove que para todo n. n E N --
1+1/2+1/3*...*1/(2^n-1)n/2
Yahoo! doce lar. Faça
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Re: [obm-l] sequencia
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From:
Leo
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Saturday, February 11, 2006 5:10
PM
Subject: Re: [obm-l] sequencia
OPa
vc pode fazer uma induçaum
para n=1 verifica-se
para n=2 verifica-se tb
suponha q seja válido para n=k
vamos verificarr a validade para
n=k+1
1+1/2+1/3*...*1/(2^k-1)k/2 e somamos 1/(2^(k)) +1/(2^(k)+1) +
1/(2^(k)+2) +...+ 1/(2^(k+1)-1) +aos dois membros
logo o membro esquerdo ficará o somatório
1+1/2+...+1/(2^(k+1)-1)
mas o somatório
1/(2^(k)) +1/(2^(k)+1) + 1/(2^(k)+2) +...+ 1/(2^(k+1)-1) q tem 2^k
parcelas (verifique!)
e 1/(2^(k))
+1/(2^(k)+1) + 1/(2^(k)+2) +...+ 1/(2^(k+1)-1)
(2^k)/(2^(k+1)-1)
o q resta provar q (2^k)/(2^(k+1)-1) + k/2 (k+1)/2
q dah em 2^(k+1) 2^(k+1)-1 o q eh sempre verdadeiro pois consideramos
n sendo inteiro positivo
daih completa a demonstraçaum
Sum(1/k){k=1- 2^n-1}n/2
Pode-se notar também q a integral dessa série eh
divergente e crescente sempre podemos tomar um n na sekuência
dada
1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n=S tal q S assumas
valores sempre maiores sendo q se assumirmos n=e^k S sempre será maior q
k
abraçaum
Leonardo Broges Avelino
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From:
Klaus Ferraz
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Saturday, February 11, 2006 11:58
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Subject: [obm-l] sequencia
Prove que para todo n. n E N --
1+1/2+1/3*...*1/(2^n-1)n/2
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[obm-l] Re: [obm-l] Espaço percorrido por um corpo
Olá, os instantes de tempo são de 0 até +inf.. entao: v = dx/dt = t.e^(kt), k = -0,01 (t.e^(kt))' = e^(kt) + kt.e^(kt) assim, integral(t.e^(kt)) = t.e^(kt) / k - integral(e^(kt) / k) integral(t.e^(kt)) = t.e^(kt) / k - e^(kt) / k^2 de 0 até +inf... para 0, temos: -1/k^2 = - 1/(10^-2)^2 = -10^4 para +inf, temos: lim (t-+inf, e^(kt) / k^2) = 0 .. pois k 0 lim (t-+inf, t.e^(kt)/k)... mas t.e^(kt)/k = t / [k . e^(-kt)] ... qdo t-+inf.. temos indeterminacao do tipo +inf/+inf.. aplicando L'Hopital, temos: 1 / [-k^2 . e^(-kt) ] = e^(kt) / (-k^2) lim (t-+inf, e^(kt) / (-k^2)) = 0 .. pois k 0 assim: o valor da integral é: 0 - (-10^4) = 10^4 abraços, Salhab - Original Message - From: Henrique Rennó [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Friday, February 10, 2006 8:16 PM Subject: Re: [obm-l] Espaço percorrido por um corpo Olá Eduardo!!! Não entendi como encontrar o valor 10^4 utilizando infinito como limite superior, pois [-t.e^(-0,01.t)]/0,01 = 0 quando t -- inf, como você havia mencionado (gostaria, se possível, um demonstração desse limite, assim como há uma demonstração geométrica para limite sen(x)/x = 1 quando x -- 0). O termo [e^(-0,01.t)]/(0,01^2) também vale zero, pois e^(-0,01.t) quando t -- inf vale zero. Dessa forma esse termo também vale zero. Para achar o valor 10^4, que é a resposta do exercício, o numerador desse termo precisa valer 1, mas como? Coloco aqui o exercício novamente: A velocidade de um ponto em movimento é dada pela equação v(t) = t.e^(-0,01.t) m/s O espaço percorrido desde o instante que o ponto começou a se mover até a sua parada total é (a) 10^4 m (b) 10^3.e^(-0,01) m (c) 10^2.e^(-1) m (d) e^(-100) - 1 m (e) 10^2 m Em t = 0 a velocidade inicial é zero, ou seja, o ponto está parado. Para achar o espaço percorrido utilizei integral por partes com u = t e dw = e^(-0,01.t) e achei a integral = [-t.e^(-0,01.t)]/0,01 - [e^(-0,01.t)]/(0,01^2). Não sei qual o valor de t quando o ponto chegará em sua parada total, pois os limites da integral serial a = 0 e b = ?. Abraços Os limites de integração são de t=0 até t-oo(infinto). Esbarra-se numa indeterminação tipo x.e^-(x) quando x-oo,cujo limite ézero. Você deverá obter s=10^4. -- Henrique = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Paradoxo Complexo
Ola' Pessoal, Alguem poderia me explicar o que esta' errado no que segue? e^(2*pi*i) = 1 = e = e*e^(2*pi*i) = e^(1+2*pi*i) = (e)^(1+2*pi*i) = (e^(1+2*pi*i))^(1+2*pi*i) = = e^(1 + 4*pi*i - 4*pi^2) = e^(1-4*pi^2) Um abraco a todos, Bruno = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Espaço percorrido por um corpo
Olá!!! Muito obrigado a todos pela solução do exercício. Realmente eu havia esquecido do segundo termo quando t -- 0 e o zerei. Abraços!!! -- Henrique = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Sudoku
A minha pergunta é: Respeitando as regras de peenchimento do jogo Sudoku, de quantos modos diferentes posso preencher as 81 casas?
Re: [obm-l] Paradoxo Complexo
e^(2*pi*i) = 1 =e = e*e^(2*pi*i) oke = e^(1+2*pi*i) oke = (e)^(1+2*pi*i) oke = (e^(1+2*pi*i))^(1+2*pi*i) operação ilegal :pnão dá para elevar só um lado da equaçãotalvez vc quis fazer assim:e^1 = (e^(1+2*pi*i))^(e^(2*pi*i)) = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re:[obm-l] sequencia
Prove que para todo n. n E N -- 1+1/2+1/3*...*1/(2^n-1) n/2
==
Não entendi a sequencia direitoVeja:
Se vc quis dizer que o último termo do lado esquerdo é 1/(2^n-1) , então para n E N o lado esquerdo não pode ser como esta, seria :
-1 + 1 + 1/3 + 1/7 + ... +1/(2^n-1).
Mas se quis dizer 1/(2^[n-1]) tb não pode ser, seria :
2 + 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... + 1/(2^[n-1]) .
Digamos que n E N* :
Se quis dizer 1/(2^n-1) ,então o lado esquerdo é :
1 + 1/3 + 1/7 + ... + 1/(2^n-1).
Ou então , se o ultimo termo for 1/(2^[n-1]) :
1 + 1/2 + 1/4 + ... + 1/(2^[n-1]).
Mas digamos que quis dizer 1/(2^[n-1]) para n E N* :
Assim o problema proposto se torna :
1 + 1/2 + 1/4 + ... + 1/(2^[n-1]) n/2(i) ,para n E N*
Por indução finita :
Para n=1 :
11/2 (é verdade!)
Para n -- n+1
1 + 1/2 + 1/4 + ... + 1/(2^[n-1]) + 1/2^n n/2 + 1/2 (ii)
Precisamos mostrar que (ii) é verdadeira para todo n E N* ,então partimos de (i) e tentamos chegar a (ii):
1 + 1/2 + 1/4 + ... + 1/(2^[n-1]) n/2 .Somando 1/2^n + 1/2 nos 2 lados da desigualdade :
1 + 1/2 + 1/4 + ... + 1/(2^[n-1]) +1/2^n + 1/2 n/2 + 1/2^n + 1/2 .
Arrumando:
{1 + 1/2 + 1/4 + ... + 1/(2^[n-1]) +1/2^n}+ 1/2 {n/2 + 1/2} +1/2^n
Bom , o que está entre chaves é exatamente (i) , basta mostrar agora que
1/2 1/2^n(iii) para todo nEN* e 1 .Já que quando n=1 os termos se anulam fazendo (ii) ser verdade.
Assim,assumindo a desigualdade (iii) verdadeira(Para formalizar utilize indução novamente e prove) (ii) se torna sempre verdade, complatando nossa prova!
[]'s
Luiz H. Barbosa
