Re: [obm-l] Exercicios de Analise 4
Oi Claudio !
Nao ha do que agradecer, mas a sua iniciativa nos motiva a prosseguir
: as vezes passa pela minha cabeca que ninguem se interessa por estas
solucoes e que estou apenas enchendo o saco dos membros da lista.
Quando algumas pessoas, como voce fez, se manifesta, nos vemos que o
nosso trabalho esta sendo util e a duvida se dissipa.
A Matematica e Universal e patrimonio de toda a Humanidade. Assim, EU
PENSO que, sempre que possivel, devemos divulgar livremente aquilo que
sabemos, sobretudo quando trata-se de solucoes de um tema CUJOS
FUNDAMENTO ja e amplamente dominado. Estas solucoes ajudam os
estudantes a descobrirem MODELOS DE ATAQUE a outros problemas
similares.
Para que esta mensagem nao seja inteiramente pessoal, aqui vai a
solucao do problema 4.12
( EXERCICIO 4.12 )
Doravante, sempre que precisar usar somatorios, vou adotar a notacao :
Si[1,N : F(i)] = F(1) + F(2) + ... + F(N)
Seja r um numero real, 0 r 1. Fazendo b=r*a, temos que 0 b a.
Ao real F = a - b 0 correspondera um N0 tal que n N0 implica | Xn
– a | F, pois LIM Xn= a. Daqui seguira que para n N0, a – F Xn,
vale dizer, n N0 = b Xn. Agora, usando as propriedades dos numeros
reais, e facil ver que para quaisquer naturais POSITIVOS i e K ( n
N0 ) :
0 b^(i/K) (Xn)^(i/K) = 0 (b^(i/K))*(a^(K-i-1) ) (
(Xn)^(i/K) )*(a^(K-i-1) )
Logo : 0 Si[0,K- 1:(b^(i/K))*(a^(K-i-1) )]
Si[0,K-1:((Xn)^(i/K))*(a^(K-i-1) )] =
0 | Si[0,K- 1:(b^(i/K))*(a^(K-i-1) )] ||
Si[0,K-1:((Xn)^(i/K))*(a^(K-i-1) )] |
Fazendo c = | Si[0,K- 1:(b^(i/K))*(a^(K-i-1) )] | e multiplicando
tudo por |(Xn)^(1/K)–a^(1/K)|, segue :
( DESIGUALDADE 1 )
|(Xn)^(1/K)–a^(1/K)|*c | (Xn)^(1/K)–a^(1/K) |*|
Si[0,K-1:((Xn)^(i/K))*(a^(K-i-1) )] |=|Xn-a|
Dado um E 0
( DESIGUALDADE 2 ) :
Como LIM Xn=a, existe um N1 tal que n N1 = | Xn-a| c*E
Vemos portanto que se tomarmos um N2=max{N0,N1}, para todo n N2 as
duas desigualdades ficarao satisfeitas. Usando a transitividade das
desigualdades chegamos a :
n N2 = |(Xn)^(1/K)–a^(1/K)| E
Assim, para um E 0 qualquer sempre podemos exibir um natural N2 tal
que n N2 implica que |(Xn)^(1/K)–a^(1/K)| E. Isto estabelece que
LIM (Xn)^(1/K) = a^(1/K) , como queriamos demonstrar.
***
Seja LIM Xn=a e r=P/Q. Já sabemos que LIM (Xn)^(1/Q) = a^(1/Q). Mas :
LIM (Xn)^(P/Q) = LIM [ (Xn)^(1/Q)*...*(Xn)^(1/Q) ] onde dentro dos
colchetes há P fatores. Logo :
LIM (Xn)^(P/Q) = LIM (Xn)^(1/Q)*LIM (Xn)^(1/Q)*...*LIM (Xn)^(1/Q)
LIM (Xn)^(P/Q) = a^(1/Q)*a^(1/Q)* ... *a^(1/Q) = a^(P/Q)
O caso P/Q 0 vai seguir a mesma linha, bastando eliminar o sinal de -
OBS : Quem se interessar pelos exercicios dos capitulos 1 e 2 eu
enviei uma copia do arquivo com todas as solucoes para o Tio Cabri.
Ele zipou o arquivo e colocou num ciber-lugar. E so falar com ele. Eu
tenho as solucoes de todas as questoes, conforme for encontrando, vou
disponibilizando pra voces. Enquanto isso vou publicando as solucoes
aqui. Sejam magnanimos e mostrem e expliquem as solucoes para os seus
colegas.
Um Abracao a Todos
Paulo Santa Rita
6,0630,040408
2008/4/3 Claudio Gustavo [EMAIL PROTECTED]:
Oi Paulo.
Estou respondendo essa mensagem apenas pra agradecer sua iniciativa. Pois
essas soluções tenho certeza que ajudarão a muitos outros além de mim.
Abraços,
Claudio Gustavo.
Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] escreveu:
Ola Pessoal,
Tenho publicado algumas solucoes de exercicios de Analise retirados do
excelente Livro :
Curso de Analise - Volume 1 - Projeto Euclides - IMPA
11 edicao - 2 impressao
Autor : Elon Lages Lima
Eu nao publiquei nenhuma solucao dos capitulos 1, 2 e 3 porque sao
assuntos que, em geral, o estudante ja viu em cursos anteriores,
principalmente na Graduacao. Alem disso, eles sao bastante simples.
Entretanto, algumas pessoas me escreveram em off e pediram que eu
publicasse 2 ou 3 solucoes desses capitulos. Assim, selecionei 3
exercicios do capitulo 1 e estou publicando agora. Escolhi os que
achei mais interessantes ou/e desafiadore. Seguem as solucoes :
NOTACAO : A letra lambda sera representada nestes exercicios por
m. Os simbolos de uniao e intersecao serao representados
respectivamente pelos prefixos UNI e INTER. Os simbolos e
representarao, respectivamente, contem e esta contido. O Simbolo
de pertence a sera representado pela letra E e f_a representa a
letra f com indice a. A barra / representara a expressao tal
que
( EXERCICIO 1.14)
NOTACAO : Seja f : A - B uma funcao. Se Y B, f(-1)(Y) sera o
conjunto de todos os elementos x E A tais que f(x) E Y. No caso de Y
ser unitario, tal como em Y={b}, f(-1)(Y) sera representado por
f(-1)(b)
ITEM A :
Seja X A, a E X. Existe b E f(X) / b = f(a) = a E f(-1)(b) = a
E f(-1)( f(a) ). Como f(a) = b E f(X) = f(-1)( f(X) ) f(-1)(f(a))
= a E f(-1)( f(X) ). Assim, a E X = a E f(-1)( f(X) ). Isto
estabelece que X f(-1)(f(X)), qualquer que seja o X A, tal como
queriamos demonstrar.
ADVERTENCIA : No meu livro o enunciado esta errado,
Re: [obm-l] Exercicios de Analise 4
Paulo,
Ja que eh assim, resolvi escrever entao pra engrossar o coro daqueles que
acham otima sua iniciativa. Eu tambem tenho interesse pelas solucoes.
Estou pensando ateh em, quando eu tiver um tempinho sobrando, fazer um
arquivo Latex com elas. Voce permite?
Um abraco,
Joao Luis
- Original Message -
From: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED]
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Friday, April 04, 2008 6:46 AM
Subject: Re: [obm-l] Exercicios de Analise 4
Oi Claudio !
Nao ha do que agradecer, mas a sua iniciativa nos motiva a prosseguir
: as vezes passa pela minha cabeca que ninguem se interessa por estas
solucoes e que estou apenas enchendo o saco dos membros da lista.
Quando algumas pessoas, como voce fez, se manifesta, nos vemos que o
nosso trabalho esta sendo util e a duvida se dissipa.
A Matematica e Universal e patrimonio de toda a Humanidade. Assim, EU
PENSO que, sempre que possivel, devemos divulgar livremente aquilo que
sabemos, sobretudo quando trata-se de solucoes de um tema CUJOS
FUNDAMENTO ja e amplamente dominado. Estas solucoes ajudam os
estudantes a descobrirem MODELOS DE ATAQUE a outros problemas
similares.
Para que esta mensagem nao seja inteiramente pessoal, aqui vai a
solucao do problema 4.12
( EXERCICIO 4.12 )
Doravante, sempre que precisar usar somatorios, vou adotar a notacao :
Si[1,N : F(i)] = F(1) + F(2) + ... + F(N)
Seja r um numero real, 0 r 1. Fazendo b=r*a, temos que 0 b a.
Ao real F = a - b 0 correspondera um N0 tal que n N0 implica | Xn
– a | F, pois LIM Xn= a. Daqui seguira que para n N0, a – F Xn,
vale dizer, n N0 = b Xn. Agora, usando as propriedades dos numeros
reais, e facil ver que para quaisquer naturais POSITIVOS i e K ( n
N0 ) :
0 b^(i/K) (Xn)^(i/K) = 0 (b^(i/K))*(a^(K-i-1) ) (
(Xn)^(i/K) )*(a^(K-i-1) )
Logo : 0 Si[0,K- 1:(b^(i/K))*(a^(K-i-1) )]
Si[0,K-1:((Xn)^(i/K))*(a^(K-i-1) )] =
0 | Si[0,K- 1:(b^(i/K))*(a^(K-i-1) )] ||
Si[0,K-1:((Xn)^(i/K))*(a^(K-i-1) )] |
Fazendo c = | Si[0,K- 1:(b^(i/K))*(a^(K-i-1) )] | e multiplicando
tudo por |(Xn)^(1/K)–a^(1/K)|, segue :
( DESIGUALDADE 1 )
|(Xn)^(1/K)–a^(1/K)|*c | (Xn)^(1/K)–a^(1/K) |*|
Si[0,K-1:((Xn)^(i/K))*(a^(K-i-1) )] |=|Xn-a|
Dado um E 0
( DESIGUALDADE 2 ) :
Como LIM Xn=a, existe um N1 tal que n N1 = | Xn-a| c*E
Vemos portanto que se tomarmos um N2=max{N0,N1}, para todo n N2 as
duas desigualdades ficarao satisfeitas. Usando a transitividade das
desigualdades chegamos a :
n N2 = |(Xn)^(1/K)–a^(1/K)| E
Assim, para um E 0 qualquer sempre podemos exibir um natural N2 tal
que n N2 implica que |(Xn)^(1/K)–a^(1/K)| E. Isto estabelece que
LIM (Xn)^(1/K) = a^(1/K) , como queriamos demonstrar.
***
Seja LIM Xn=a e r=P/Q. Já sabemos que LIM (Xn)^(1/Q) = a^(1/Q). Mas :
LIM (Xn)^(P/Q) = LIM [ (Xn)^(1/Q)*...*(Xn)^(1/Q) ] onde dentro dos
colchetes há P fatores. Logo :
LIM (Xn)^(P/Q) = LIM (Xn)^(1/Q)*LIM (Xn)^(1/Q)*...*LIM (Xn)^(1/Q)
LIM (Xn)^(P/Q) = a^(1/Q)*a^(1/Q)* ... *a^(1/Q) = a^(P/Q)
O caso P/Q 0 vai seguir a mesma linha, bastando eliminar o sinal de -
OBS : Quem se interessar pelos exercicios dos capitulos 1 e 2 eu
enviei uma copia do arquivo com todas as solucoes para o Tio Cabri.
Ele zipou o arquivo e colocou num ciber-lugar. E so falar com ele. Eu
tenho as solucoes de todas as questoes, conforme for encontrando, vou
disponibilizando pra voces. Enquanto isso vou publicando as solucoes
aqui. Sejam magnanimos e mostrem e expliquem as solucoes para os seus
colegas.
Um Abracao a Todos
Paulo Santa Rita
6,0630,040408
2008/4/3 Claudio Gustavo [EMAIL PROTECTED]:
Oi Paulo.
Estou respondendo essa mensagem apenas pra agradecer sua iniciativa.
Pois
essas soluções tenho certeza que ajudarão a muitos outros além de mim.
Abraços,
Claudio Gustavo.
Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] escreveu:
Ola Pessoal,
Tenho publicado algumas solucoes de exercicios de Analise retirados do
excelente Livro :
Curso de Analise - Volume 1 - Projeto Euclides - IMPA
11 edicao - 2 impressao
Autor : Elon Lages Lima
Eu nao publiquei nenhuma solucao dos capitulos 1, 2 e 3 porque sao
assuntos que, em geral, o estudante ja viu em cursos anteriores,
principalmente na Graduacao. Alem disso, eles sao bastante simples.
Entretanto, algumas pessoas me escreveram em off e pediram que eu
publicasse 2 ou 3 solucoes desses capitulos. Assim, selecionei 3
exercicios do capitulo 1 e estou publicando agora. Escolhi os que
achei mais interessantes ou/e desafiadore. Seguem as solucoes :
NOTACAO : A letra lambda sera representada nestes exercicios por
m. Os simbolos de uniao e intersecao serao representados
respectivamente pelos prefixos UNI e INTER. Os simbolos e
representarao, respectivamente, contem e esta contido. O Simbolo
de pertence a sera representado pela letra E e f_a representa a
letra f com indice a. A barra / representara a expressao tal
que
( EXERCICIO 1.14)
NOTACAO : Seja f : A - B uma funcao. Se Y B, f(-1)(Y) sera o
conjunto de todos os elementos x E A tais que
[obm-l] Corolário
Mostre que entre 0 e 1 não existe nenhum número natural. Bom na realidade esse corolário está demonstrado no livro do Hefez, infelizmente não consegui entender tal demonstração, será que alguém poderia mmostrar de outra maneira ou me explicar o que claramente o autor quis dizer? Agradeço antecipadamente. Pedro Jr
Re: [obm-l] Corolário
De onde você quer partir? Quer dizer, quais axiomas vc quer admitir para demonstrar tal fato? 2008/4/4 Pedro Júnior [EMAIL PROTECTED]: Mostre que entre 0 e 1 não existe nenhum número natural. Bom na realidade esse corolário está demonstrado no livro do Hefez, infelizmente não consegui entender tal demonstração, será que alguém poderia mmostrar de outra maneira ou me explicar o que claramente o autor quis dizer? Agradeço antecipadamente. Pedro Jr -- Bruno FRANÇA DOS REIS msn: [EMAIL PROTECTED] skype: brunoreis666 tel: +33 (0)6 28 43 42 16 e^(pi*i)+1=0
Re: [obm-l] Exercicios de Analise 4
Ola Joao !
Tranquilo. Fique a vontade : o meu interesse e que aqui nesta lista
seja praticado Matematica de Qualidade. Assim, um bom exemplo e fazer
as questoes do Projeto Euclides, IMPA. Se achar valido, apenas cite
que trata-se de solucao de um membro da LISTA DE DISCUSSAO DE
PROBLEMAS DE MATEMATICA OLIMPICA da PUC-RIO.
Um Abracao
Paulo Santa Rita
6,0911,040408
2008/4/4 João Luís [EMAIL PROTECTED]:
Paulo,
Ja que eh assim, resolvi escrever entao pra engrossar o coro daqueles que
acham otima sua iniciativa. Eu tambem tenho interesse pelas solucoes.
Estou pensando ateh em, quando eu tiver um tempinho sobrando, fazer um
arquivo Latex com elas. Voce permite?
Um abraco,
Joao Luis
- Original Message - From: Paulo Santa Rita
[EMAIL PROTECTED]
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Friday, April 04, 2008 6:46 AM
Subject: Re: [obm-l] Exercicios de Analise 4
Oi Claudio !
Nao ha do que agradecer, mas a sua iniciativa nos motiva a prosseguir
: as vezes passa pela minha cabeca que ninguem se interessa por estas
solucoes e que estou apenas enchendo o saco dos membros da lista.
Quando algumas pessoas, como voce fez, se manifesta, nos vemos que o
nosso trabalho esta sendo util e a duvida se dissipa.
A Matematica e Universal e patrimonio de toda a Humanidade. Assim, EU
PENSO que, sempre que possivel, devemos divulgar livremente aquilo que
sabemos, sobretudo quando trata-se de solucoes de um tema CUJOS
FUNDAMENTO ja e amplamente dominado. Estas solucoes ajudam os
estudantes a descobrirem MODELOS DE ATAQUE a outros problemas
similares.
Para que esta mensagem nao seja inteiramente pessoal, aqui vai a
solucao do problema 4.12
( EXERCICIO 4.12 )
Doravante, sempre que precisar usar somatorios, vou adotar a notacao :
Si[1,N : F(i)] = F(1) + F(2) + ... + F(N)
Seja r um numero real, 0 r 1. Fazendo b=r*a, temos que 0 b a.
Ao real F = a - b 0 correspondera um N0 tal que n N0 implica | Xn
– a | F, pois LIM Xn= a. Daqui seguira que para n N0, a – F Xn,
vale dizer, n N0 = b Xn. Agora, usando as propriedades dos numeros
reais, e facil ver que para quaisquer naturais POSITIVOS i e K ( n
N0 ) :
0 b^(i/K) (Xn)^(i/K) = 0 (b^(i/K))*(a^(K-i-1) ) (
(Xn)^(i/K) )*(a^(K-i-1) )
Logo : 0 Si[0,K- 1:(b^(i/K))*(a^(K-i-1) )]
Si[0,K-1:((Xn)^(i/K))*(a^(K-i-1) )] =
0 | Si[0,K- 1:(b^(i/K))*(a^(K-i-1) )] ||
Si[0,K-1:((Xn)^(i/K))*(a^(K-i-1) )] |
Fazendo c = | Si[0,K- 1:(b^(i/K))*(a^(K-i-1) )] | e multiplicando
tudo por |(Xn)^(1/K)–a^(1/K)|, segue :
( DESIGUALDADE 1 )
|(Xn)^(1/K)–a^(1/K)|*c | (Xn)^(1/K)–a^(1/K) |*|
Si[0,K-1:((Xn)^(i/K))*(a^(K-i-1) )] |=|Xn-a|
Dado um E 0
( DESIGUALDADE 2 ) :
Como LIM Xn=a, existe um N1 tal que n N1 = | Xn-a| c*E
Vemos portanto que se tomarmos um N2=max{N0,N1}, para todo n N2 as
duas desigualdades ficarao satisfeitas. Usando a transitividade das
desigualdades chegamos a :
n N2 = |(Xn)^(1/K)–a^(1/K)| E
Assim, para um E 0 qualquer sempre podemos exibir um natural N2 tal
que n N2 implica que |(Xn)^(1/K)–a^(1/K)| E. Isto estabelece que
LIM (Xn)^(1/K) = a^(1/K) , como queriamos demonstrar.
***
Seja LIM Xn=a e r=P/Q. Já sabemos que LIM (Xn)^(1/Q) = a^(1/Q). Mas :
LIM (Xn)^(P/Q) = LIM [ (Xn)^(1/Q)*...*(Xn)^(1/Q) ] onde dentro dos
colchetes há P fatores. Logo :
LIM (Xn)^(P/Q) = LIM (Xn)^(1/Q)*LIM (Xn)^(1/Q)*...*LIM (Xn)^(1/Q)
LIM (Xn)^(P/Q) = a^(1/Q)*a^(1/Q)* ... *a^(1/Q) = a^(P/Q)
O caso P/Q 0 vai seguir a mesma linha, bastando eliminar o sinal de -
OBS : Quem se interessar pelos exercicios dos capitulos 1 e 2 eu
enviei uma copia do arquivo com todas as solucoes para o Tio Cabri.
Ele zipou o arquivo e colocou num ciber-lugar. E so falar com ele. Eu
tenho as solucoes de todas as questoes, conforme for encontrando, vou
disponibilizando pra voces. Enquanto isso vou publicando as solucoes
aqui. Sejam magnanimos e mostrem e expliquem as solucoes para os seus
colegas.
Um Abracao a Todos
Paulo Santa Rita
6,0630,040408
2008/4/3 Claudio Gustavo [EMAIL PROTECTED]:
Oi Paulo.
Estou respondendo essa mensagem apenas pra agradecer sua iniciativa. Pois
essas soluções tenho certeza que ajudarão a muitos outros além de mim.
Abraços,
Claudio Gustavo.
Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] escreveu:
Ola Pessoal,
Tenho publicado algumas solucoes de exercicios de Analise retirados do
excelente Livro :
Curso de Analise - Volume 1 - Projeto Euclides - IMPA
11 edicao - 2 impressao
Autor : Elon Lages Lima
Eu nao publiquei nenhuma solucao dos capitulos 1, 2 e 3 porque sao
assuntos que, em geral, o estudante ja viu em cursos anteriores,
principalmente na Graduacao. Alem disso, eles sao bastante simples.
Entretanto, algumas pessoas me escreveram em off e pediram que eu
publicasse 2 ou 3 solucoes desses capitulos. Assim, selecionei 3
exercicios do capitulo 1 e estou publicando agora.
Re: [obm-l] Exercicios de Analise 4
Sim, sim, claro. Citarei o seu nome, inclusive. E colocarei que versao para
o Latex foi feita por mim
Alias, pra dar seriedade a coisa, acho que devo colocar que se trata de uma
lista de solucoes do livro tal, de autoria do Prof. Elon, que nao tem
responsabilidade sobre as mesmas. Nao acha que assim fica melhor? Ate pq, em
email anterior, vc disse que o prof Elon nao se oporia a que vc publicasse
suas solucoes, nao eh mesmo?
Se voce quiser sugerir um pequeno texto que explique essas coisas, por favor
me envie. De qq modo, nao vai ser um trabalho pra ficar pronto logo, vou
precisar de alguns meses talvez, pois estou com muito trabalho.
Um abracao pra vc,
Joao
- Original Message -
From: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED]
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Friday, April 04, 2008 9:21 AM
Subject: Re: [obm-l] Exercicios de Analise 4
Ola Joao !
Tranquilo. Fique a vontade : o meu interesse e que aqui nesta lista
seja praticado Matematica de Qualidade. Assim, um bom exemplo e fazer
as questoes do Projeto Euclides, IMPA. Se achar valido, apenas cite
que trata-se de solucao de um membro da LISTA DE DISCUSSAO DE
PROBLEMAS DE MATEMATICA OLIMPICA da PUC-RIO.
Um Abracao
Paulo Santa Rita
6,0911,040408
2008/4/4 João Luís [EMAIL PROTECTED]:
Paulo,
Ja que eh assim, resolvi escrever entao pra engrossar o coro daqueles que
acham otima sua iniciativa. Eu tambem tenho interesse pelas solucoes.
Estou pensando ateh em, quando eu tiver um tempinho sobrando, fazer um
arquivo Latex com elas. Voce permite?
Um abraco,
Joao Luis
- Original Message - From: Paulo Santa Rita
[EMAIL PROTECTED]
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Friday, April 04, 2008 6:46 AM
Subject: Re: [obm-l] Exercicios de Analise 4
Oi Claudio !
Nao ha do que agradecer, mas a sua iniciativa nos motiva a prosseguir
: as vezes passa pela minha cabeca que ninguem se interessa por estas
solucoes e que estou apenas enchendo o saco dos membros da lista.
Quando algumas pessoas, como voce fez, se manifesta, nos vemos que o
nosso trabalho esta sendo util e a duvida se dissipa.
A Matematica e Universal e patrimonio de toda a Humanidade. Assim, EU
PENSO que, sempre que possivel, devemos divulgar livremente aquilo que
sabemos, sobretudo quando trata-se de solucoes de um tema CUJOS
FUNDAMENTO ja e amplamente dominado. Estas solucoes ajudam os
estudantes a descobrirem MODELOS DE ATAQUE a outros problemas
similares.
Para que esta mensagem nao seja inteiramente pessoal, aqui vai a
solucao do problema 4.12
( EXERCICIO 4.12 )
Doravante, sempre que precisar usar somatorios, vou adotar a notacao :
Si[1,N : F(i)] = F(1) + F(2) + ... + F(N)
Seja r um numero real, 0 r 1. Fazendo b=r*a, temos que 0 b a.
Ao real F = a - b 0 correspondera um N0 tal que n N0 implica | Xn
– a | F, pois LIM Xn= a. Daqui seguira que para n N0, a – F Xn,
vale dizer, n N0 = b Xn. Agora, usando as propriedades dos numeros
reais, e facil ver que para quaisquer naturais POSITIVOS i e K ( n
N0 ) :
0 b^(i/K) (Xn)^(i/K) = 0 (b^(i/K))*(a^(K-i-1) ) (
(Xn)^(i/K) )*(a^(K-i-1) )
Logo : 0 Si[0,K- 1:(b^(i/K))*(a^(K-i-1) )]
Si[0,K-1:((Xn)^(i/K))*(a^(K-i-1) )] =
0 | Si[0,K- 1:(b^(i/K))*(a^(K-i-1) )] ||
Si[0,K-1:((Xn)^(i/K))*(a^(K-i-1) )] |
Fazendo c = | Si[0,K- 1:(b^(i/K))*(a^(K-i-1) )] | e multiplicando
tudo por |(Xn)^(1/K)–a^(1/K)|, segue :
( DESIGUALDADE 1 )
|(Xn)^(1/K)–a^(1/K)|*c | (Xn)^(1/K)–a^(1/K) |*|
Si[0,K-1:((Xn)^(i/K))*(a^(K-i-1) )] |=|Xn-a|
Dado um E 0
( DESIGUALDADE 2 ) :
Como LIM Xn=a, existe um N1 tal que n N1 = | Xn-a| c*E
Vemos portanto que se tomarmos um N2=max{N0,N1}, para todo n N2 as
duas desigualdades ficarao satisfeitas. Usando a transitividade das
desigualdades chegamos a :
n N2 = |(Xn)^(1/K)–a^(1/K)| E
Assim, para um E 0 qualquer sempre podemos exibir um natural N2 tal
que n N2 implica que |(Xn)^(1/K)–a^(1/K)| E. Isto estabelece que
LIM (Xn)^(1/K) = a^(1/K) , como queriamos demonstrar.
***
Seja LIM Xn=a e r=P/Q. Já sabemos que LIM (Xn)^(1/Q) = a^(1/Q). Mas :
LIM (Xn)^(P/Q) = LIM [ (Xn)^(1/Q)*...*(Xn)^(1/Q) ] onde dentro dos
colchetes há P fatores. Logo :
LIM (Xn)^(P/Q) = LIM (Xn)^(1/Q)*LIM (Xn)^(1/Q)*...*LIM (Xn)^(1/Q)
LIM (Xn)^(P/Q) = a^(1/Q)*a^(1/Q)* ... *a^(1/Q) = a^(P/Q)
O caso P/Q 0 vai seguir a mesma linha, bastando eliminar o sinal de -
OBS : Quem se interessar pelos exercicios dos capitulos 1 e 2 eu
enviei uma copia do arquivo com todas as solucoes para o Tio Cabri.
Ele zipou o arquivo e colocou num ciber-lugar. E so falar com ele. Eu
tenho as solucoes de todas as questoes, conforme for encontrando, vou
disponibilizando pra voces. Enquanto isso vou publicando as solucoes
aqui. Sejam magnanimos e mostrem e expliquem as solucoes para os seus
colegas.
Um Abracao a Todos
Paulo Santa Rita
6,0630,040408
2008/4/3 Claudio Gustavo [EMAIL PROTECTED]:
Oi Paulo.
Estou respondendo essa mensagem apenas pra agradecer sua
[obm-l] Equação
Ajude-me nessa equação Quantas soluções reais tem a equação 6x^2 - 77[x] + 147=0 onde [x] maior inteiro que não supera x
Re: [obm-l] Inteiros!!!
Ola Pedro e demais
colegas desta lista ... OBM-L,
Obviamente que todo par (X,Y) da forma (X,-X) e solucao, pois :
X^3 + (-X)^3 = 0 = (X+(-X))/2. Em particular, (0,0) e solucao.
Se, porem, X+Y # 0, teremos :
X^3 + Y^3 = (X+Y)*(X^2 -XY + Y^2) = (X+Y)/2. = X^2 - XY + Y^2 = 1/2
= (X-Y)^2 = - (X^2 +Y^2) .
A possibilidade aqui, logicamente, e : X-Y=0 e X^2+Y^2 = 0. Mas isso
da (X,Y)=(0,0)
o que contraria a hipotese X+Y # 0
Assim, todas as solucoes inteiras sao {(X,-X) / X e inteiro }
Um Abracao a Todos
Paulo Santa Rita
6,0A2D,040408
2008/4/4 Pedro Júnior [EMAIL PROTECTED]:
02. Ache todos os pares tais de números inteiros (x, y) tais que:
x^3 + y^3 = (x + y)^2
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
RES: [obm-l] lim (n -- oo) e^(-n) (1 + n + (n^2)/2!...+(n^n)/n!)
Mas como concluir que é 1/2? Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Rogerio Ponce Enviada em: quarta-feira, 2 de abril de 2008 16:58 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] lim (n -- oo) e^(-n) (1 + n + (n^2)/2!...+(n^n)/n!) Ola' Artur, acho que e' mais simples que voce imagina. O numero de termos da expansao de Taylor ja' e' infinito. E quando n aumenta, a 2a parte da sua expressao simplesmente se aproxima da expansao de Taylor. No limite, havera' infinitos termos (e todos iguais) nas duas expressoes. []'s Rogerio Ponce Em 02/04/08, Artur Costa Steiner[EMAIL PROTECTED] escreveu: Não, não. Seria 1 se fosse um limite do tipo e^(x) (1 + x + x^2/2!...+x^n/n!), com x independente de n. Mas não é o caso. Veja q ue x =n, x depende de n. Quando você aumenta o n, além de aumentar o número de termos no polinômio de Taylor, aumenta o argumento, Temos algo bem mais complicado. Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Rogerio Ponce Enviada em: quarta-feira, 2 de abril de 2008 10:26 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] lim (n -- oo) e^(-n) (1 + n + (n^2)/2!...+(n^n)/n!) Oi Artur, a expansao de Taylor para e^n vale e^n = 1 + n + n^2/2! + n^3/3! + ... Assim, esse limite deve ser igual a 1. []'s Rogerio Ponce Em 02/04/08, Artur Costa Steiner[EMAIL PROTECTED] escreveu: Este limite é 1/2, mas não sei como demonstrar. Já tentei várias soluções, mas não deu certo. Uma possibilidade é mostra que este limite iguala-se a uma integral, mas não consegui sair. Outra possibilidade, conforme me disseram, é aplicar o teorema do limite central a distribuicoes de Poisson com média 1. Também não consegui ver como. Alguem tem alguma sugestao? Abracos Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Sufoco
Saulo, bom dia! Uma vez eu vi fórmulas para expressões semelhantes à que você enviou para a lista em um livro, se não me engano foi o do Demidovitch. Também pode ter sido em um livro cujo título ALGEBRA (um daqueles livros cheios de exercícios resolvidos e propostos), de capa em preto e branco, se não me engano, escrito por um militar (este livro é bem antigo), não me lembro mais do autor. Amplexo. Fernando Pinto - Original Message - From: saulo nilson To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, April 03, 2008 9:00 PM Subject: Re: [obm-l] Sufoco nao da pra transformar em soma de raizes. 2008/4/3 Marcelo Costa [EMAIL PROTECTED]: Será que alguém poderia me ajudar nesta questão, já tentei de tudo. Determine o valor de: ( 9 + 10.( 5)^1/2 )^1/2 Agradeço desde já vossas atenções Obrigado
Re: [obm-l] Equação
Olhe para esse problema como uma busca pelas intersecções dos graficos de 6x² + 147 e de 77[x]. 2001/11/1 Pedro [EMAIL PROTECTED]: Ajude-me nessa equação Quantas soluções reais tem a equação 6x^2 - 77[x] + 147=0 onde [x] maior inteiro que não supera x -- Bruno FRANÇA DOS REIS msn: [EMAIL PROTECTED] skype: brunoreis666 tel: +33 (0)6 28 43 42 16 e^(pi*i)+1=0
[obm-l] Reminder: Jamil Silva has invited you to join Friendster
You're invited to join Jamil Silva's network of friends. In addition to seeing what Jamil is up to, you can reconnect with old friends, meet new friends, start a blog, build a custom profile, keep track of birthdays, and so much more! Click below to join Jamil's network. http://www.friendster.com/join.php?inviteref=34280739amp;invite=bwi4XTAfuME9LV-4-BHCKxDvM_Ib03PueIDaNQlEeS0* * If you do not wish to receive notification emails from Friendster, please click below: http://www.friendster.com/blockemails.php?invite=b2JtLWxAbWF0LnB1Yy1yaW8uYnI*
Re: [obm-l] Problema envolvendo conjuntos
Olá João, você foi muito bem claro na explicação, valeu! Eu estava fazendo 3 diagramas, o terceiro era para as pessoas que não estudavam e nem praticavam esporte. Iria ficar todo o tempo do mundo e não iria conseguir achar a resposta. Até! On 4/4/08, João Luís [EMAIL PROTECTED] wrote: Emanuel, Desenhe um diagrama de Euler-Venn para 2 conuntos A e B. O conjunto A representa o conjunto de pessoas que praticam esporte. O conjunto B representa o conjunto de pessoas que estudam. Se 12 estudam e nao praticam esporte, existem 12 elementos na regiao do conjunto B que estah fora da interseccao AinterB. Consideremos agora que ha x elementos em AinterB. Se 52 praticam esporte, existem 52-x pessoas que praticam esporte e nao estudam. Esse eh o numero procurado. Va completando seu diagrama ai. Se 56 pessoas nao estudam, ha 56 elementos no complementar de B em relacao ao universo (que tem 100 elementos). Note que B tem x+12 elementos e que seu complementar tem 56 elementos. Logo, x+12+56 = 100, portanto x = 32. Como procuramos pela quantidade 52-x, conclui-se que ha 20 pessoas que praticam esporte e nao estudam. Fui claro? Um abraco, Joao Luis = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Corolário
Os numeros naturais formam pa de razao 1, se houver um numero natural entre eles a razao da pa sera menor do que um, nao sendo, portanto, um numero natural. 2008/4/4 Pedro Júnior [EMAIL PROTECTED]: Mostre que entre 0 e 1 não existe nenhum número natural. Bom na realidade esse corolário está demonstrado no livro do Hefez, infelizmente não consegui entender tal demonstração, será que alguém poderia mmostrar de outra maneira ou me explicar o que claramente o autor quis dizer? Agradeço antecipadamente. Pedro Jr
Re: [obm-l] Corolário
Um dos axiomas que definem os números naturais é o Princípio da Indução. Com ele, você consegue provar o principio da boa ordenação, que diz que todo subconjunto não vazio dos naturais tem um menor elemento. Chamemos de z o menor número natural, então. Se existisse um número entre 0 e 1, teríamos que 0 z 1, donde 0 z^2 z 1, o que é absurdo (pois z^2 z e z é o menor número natural). -- Abraços, Maurício On 4/4/08, Pedro Júnior [EMAIL PROTECTED] wrote: Mostre que entre 0 e 1 não existe nenhum número natural. Bom na realidade esse corolário está demonstrado no livro do Hefez, infelizmente não consegui entender tal demonstração, será que alguém poderia mmostrar de outra maneira ou me explicar o que claramente o autor quis dizer? Agradeço antecipadamente. Pedro Jr = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] lim (n -- oo) e^(-n) (1 + n + (n^2)/2!...+(n^n)/n!)
Olá Ponce, quanto tempo...
eu penso um pouco diferente, vejamos:
e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ... = lim {u-inf} Sum{k=0 .. u} x^k/k!
não vejo sentido, fazermos x = k do somatório... entende?
vejamos:
1 = e^(-x) * e^(x) = e^(-x) * lim {u-inf} Sum{k=0 .. u} x^k/k!
lim {x-inf} e^(-x) * lim {u-inf} Sum{k=0 .. u} x^k/k!
lim {x-inf} lim {u-inf} e^(-x) . Sum{k=0 .. u} x^k/k!
vou chamar x de n, entao:
1 = lim {n-inf} lim {u-inf} e^(-n) . Sum{k=0 .. u} n^k/k!
ou então:
1 = lim {n-inf} lim {u-inf} e^(-n) . (1 + n + n^2/2! + ... + n^u/u!)
agora vem minha dúvida.. n e u tendem a infinito.. podemos dizer que:
lim {n-inf} lim {u-inf} e^(-n) . (1 + n + n^2/2! + ... + n^u/u!) = lim
{n-inf} e^(-n) . (1 + n + n^2/2! + ... + n^n/n!) ??
se sim, como provamos isso? vou tentar provar, caso consiga, mando aqui..
abraços,
Salhab
2008/4/4 Rogerio Ponce [EMAIL PROTECTED]:
Oi Artur,
minha conclusao e' que vale o mesmo que
e^(-n) * e^(n) = 1.
[]'s
Rogerio Ponce
Em 04/04/08, Artur Costa Steiner[EMAIL PROTECTED] escreveu:
Mas como concluir que é 1/2?
Artur
-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
nome de Rogerio Ponce
Enviada em: quarta-feira, 2 de abril de 2008 16:58
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] lim (n -- oo) e^(-n) (1 + n +
(n^2)/2!...+(n^n)/n!)
Ola' Artur,
acho que e' mais simples que voce imagina.
O numero de termos da expansao de Taylor ja' e' infinito.
E quando n aumenta, a 2a parte da sua expressao simplesmente se
aproxima da expansao de Taylor.
No limite, havera' infinitos termos (e todos iguais) nas duas
expressoes.
[]'s
Rogerio Ponce
Em 02/04/08, Artur Costa Steiner[EMAIL PROTECTED] escreveu:
Não, não. Seria 1 se fosse um limite do tipo e^(x) (1 + x +
x^2/2!...+x^n/n!), com x independente de n. Mas não é o caso. Veja q ue x
=n, x depende de n. Quando você aumenta o n, além de aumentar o número de
termos no polinômio de Taylor, aumenta o argumento, Temos algo bem mais
complicado.
Artur
-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
nome de Rogerio Ponce
Enviada em: quarta-feira, 2 de abril de 2008 10:26
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] lim (n -- oo) e^(-n) (1 + n +
(n^2)/2!...+(n^n)/n!)
Oi Artur,
a expansao de Taylor para e^n vale
e^n = 1 + n + n^2/2! + n^3/3! + ...
Assim, esse limite deve ser igual a 1.
[]'s
Rogerio Ponce
Em 02/04/08, Artur Costa Steiner[EMAIL PROTECTED] escreveu:
Este limite é 1/2, mas não sei como demonstrar. Já tentei várias
soluções,
mas não deu certo.
Uma possibilidade é mostra que este limite iguala-se a uma
integral, mas não
consegui sair. Outra possibilidade, conforme me disseram, é
aplicar o
teorema do limite central a distribuicoes de Poisson com média 1.
Também não
consegui ver como.
Alguem tem alguma sugestao?
Abracos
Artur
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html
=
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html
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=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Exercicios de Analise 4
Olá Paulo,
gostaria de parabenizá-lo pelas soluções. Tem o interesse de postar estas
soluções diretamente em uma wiki?
Você utilizaria os benefícios do Latex, de forma prática e que fica
disponível para toda a comunidade, não sendo necessário procurar nos
arquivos da lista. E para enviar para a lista, basta postar o link. ;)
Pensei em criarmos alguma coisa assim:
== Análise na reta - Elon ==
* Capítulo 1
** Exercício 1
** Exercício 2
** :
* Capítulo 2
** ...
e assim por diante.
Se quiser, crio para você e mando o link por pvt.
Um grande abraço,
Salhab
2008/4/3 Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED]:
Ola Pessoal,
Tenho publicado algumas solucoes de exercicios de Analise retirados do
excelente Livro :
Curso de Analise - Volume 1 - Projeto Euclides - IMPA
11 edicao - 2 impressao
Autor : Elon Lages Lima
Eu nao publiquei nenhuma solucao dos capitulos 1, 2 e 3 porque sao
assuntos que, em geral, o estudante ja viu em cursos anteriores,
principalmente na Graduacao. Alem disso, eles sao bastante simples.
Entretanto, algumas pessoas me escreveram em off e pediram que eu
publicasse 2 ou 3 solucoes desses capitulos. Assim, selecionei 3
exercicios do capitulo 1 e estou publicando agora. Escolhi os que
achei mais interessantes ou/e desafiadore. Seguem as solucoes :
NOTACAO : A letra lambda sera representada nestes exercicios por
m. Os simbolos de uniao e intersecao serao representados
respectivamente pelos prefixos UNI e INTER. Os simbolos e
representarao, respectivamente, contem e esta contido. O Simbolo
de pertence a sera representado pela letra E e f_a representa a
letra f com indice a. A barra / representara a expressao tal
que
( EXERCICIO 1.14)
NOTACAO : Seja f : A - B uma funcao. Se Y B, f(-1)(Y) sera o
conjunto de todos os elementos x E A tais que f(x) E Y. No caso de Y
ser unitario, tal como em Y={b}, f(-1)(Y) sera representado por
f(-1)(b)
ITEM A :
Seja X A, a E X. Existe b E f(X) / b = f(a) = a E f(-1)(b) = a
E f(-1)( f(a) ). Como f(a) = b E f(X) = f(-1)( f(X) ) f(-1)(f(a))
= a E f(-1)( f(X) ). Assim, a E X = a E f(-1)( f(X) ). Isto
estabelece que X f(-1)(f(X)), qualquer que seja o X A, tal como
queriamos demonstrar.
ADVERTENCIA : No meu livro o enunciado esta errado, pois la pede-se
para demonstrar que f(-1)(f(X)) X para todo X A. Isto e
evidentemente impossivel. Basta considerar a funcao f:{1,2,3} -{4,5,6
} tal que f(1)=f(2)=f(3)=4. Tomado X={1,2} temos que
f(-1)(f(X))={1,2,3}, isto e, f(-1)(f(X)) NAO ESTA CONTIDO em X
ITEM B :
No item anterior, mostramos que se f:A - B e uma funcao qualquer
entao para todo X A, f(-1)( f(X) ) X. Agora, supondo que f:A-B e
injetiva, mostraremos que vale tambem f(-1)( f(X) ) X. Faremos isso
por reducao ao absurdo.
Com efeito, suponhamos que f(-1)( f(X) ) NAO ESTA CONTIDO X. Nests
caso, existe um a E f(-1)( f(X) ) tal que a NAO PERTENCE a X,
vale dizer, existe b E f(X) tal que b=f(a) mas a NAO PERTENCE a X.
Como b E f(X), existe c E X tal que b=f(c). Assim, existem a e
c, a # c, tal que f(a) = f(c) = b = f nao e injetiva ... ABSURDO
!
Portanto, f:A- B injetiva = f(-1)( f(X) ) X, para todo X ªA.
Como f(-1)( f(X) ) X vale para qualquer funcao, seja injetiva ou
não, segue que :
f:A- B injetiva = f(-1)( f(X) ) = X
IMPLICACAO 1
Agora, suponhamos que f: A - B e uma funcao e sabemos que f(-1)( f(X)
)=X para todo conjunto X A. Queremos mostrar que f:A - B e
injetiva.
Suponha que f:A-B não e injetiva. Neste caso, existem a, b E A tais
que a # b e c=f(a)=f(b). Tomando o conjunto X={a} vemos que f(X)={c} e
que f(-1)(f(X))={a,b}, isto e, f(-1)(f(X)) # X ... ABSURDO ! Logo :
f(-1)( f(X) ) = X, para todo X A = f:A-B injetiva IMPLICACAO 2
As IMPLICACOES 1 e 2 estabelecem que f:A-B e injetiva se, e somente
se, f(-1)(f(X))=X, para todo X A, tal como queriamos demonstrar.
( EXERCICIO 1.18 )
ITEM A :
Claramente que Xm UNI Xm, qualquer que seja m. Aplicando a
propriedade da funcao f, teremos : f(Xm) f(UNI Xm), qualquer que
seja o m. Assim como todo f(Xm) contem f(UNI Xm) entao :
INTER f(Xm) f(UNI Xm ). INCLUSAO 1
Por outro lado, e obvio ululante que f(Xm) INTER f(Xm), qualquer que
seja o m. Aplicando as propriedades enunciadas da funcao, teremos,
sucessivamente :
f( f(Xm) ) f( INTER f(Xm)) = Xm f( INTER f(Xm)) qualquer que
seja o m =
UNI Xm f( INTER f(Xm)) = UNI Xm f(INTER f(Xm)) =
f(UNI Xm) f( f (INTER f(Xm))) = f(UNI Xm) INTER f(Xm) =
INTER f(Xm) f(UNI Xm) INCLUSAO 2
As INCLUSOES 1 e 2 estabelecem que f(UNI Xm) = INTER f(Xm), como
queriamos demonstrar.
***
ITEM B :
Claramente Xm INTER Xm, qualquer que seja o m. Segue, da
propriedade da funcao, que f(Xm) f(INTER Xm), qualquer que seja o
m. Portanto :
UNI f(Xm) f( INTER Xm) INCLUSAO 1
Por outro lado, e obvio ululante que f(Xm) UNI f(Xm), qualquer que
seja o m. Daqui, aplicando sucessivamente as propriedades da funcao,
vem :
f(f(Xm)) f(UNI
Re: [obm-l] lim (n -- oo) e^(-n) (1 + n + (n^2)/2!...+(n^n)/n!)
Oi Marcelo,
quando voces quiserem repetir a dose, e' so' avisar - e juro que o
Nehab tambem vai :-)
Bem, voltando 'a vaca fria, vou explicar um pouquinho melhor o que eu vejo.
A questao original e' calcular
lim (n -- oo) e^(-n) (1 + n + (n^2)/2!...+(n^n)/n!)
Repare que o segundo fator corresponde aos n primeiros termos da
expansao de Taylor para e^n.
O que eu sustento e' que, quando n vai para infinito, o segundo
fator passa a ser EXATAMENTE a expansao de Taylor para e^n. E neste
ponto, tanto faz que o n desse tal fator e^n esteja no infinito ou
nao, porque ele se anula com o -n do primeiro fator e^(-n).
Em outras palavras, a expressao valera' e^(-n) * e^(n) = 1 ,
simplesmente porque aquele segundo termo alcancou o valor de e^n.
Nunca estive preocupado com o valor do numerador de cada parcela, mas
apenas com o numero de parcelas da segundo termo. A partir dai e' que
estabeleco que o limite vale 1.
Grande abraco,
Rogerio Ponce.
Em 04/04/08, Marcelo Salhab Brogliato[EMAIL PROTECTED] escreveu:
Olá Ponce, quanto tempo...
eu penso um pouco diferente, vejamos:
e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ... = lim {u-inf} Sum{k=0 .. u} x^k/k!
não vejo sentido, fazermos x = k do somatório... entende?
vejamos:
1 = e^(-x) * e^(x) = e^(-x) * lim {u-inf} Sum{k=0 .. u} x^k/k!
lim {x-inf} e^(-x) * lim {u-inf} Sum{k=0 .. u} x^k/k!
lim {x-inf} lim {u-inf} e^(-x) . Sum{k=0 .. u} x^k/k!
vou chamar x de n, entao:
1 = lim {n-inf} lim {u-inf} e^(-n) . Sum{k=0 .. u} n^k/k!
ou então:
1 = lim {n-inf} lim {u-inf} e^(-n) . (1 + n + n^2/2! + ... + n^u/u!)
agora vem minha dúvida.. n e u tendem a infinito.. podemos dizer que:
lim {n-inf} lim {u-inf} e^(-n) . (1 + n + n^2/2! + ... + n^u/u!) = lim
{n-inf} e^(-n) . (1 + n + n^2/2! + ... + n^n/n!) ??
se sim, como provamos isso? vou tentar provar, caso consiga, mando aqui..
abraços,
Salhab
2008/4/4 Rogerio Ponce [EMAIL PROTECTED]:
Oi Artur,
minha conclusao e' que vale o mesmo que
e^(-n) * e^(n) = 1.
[]'s
Rogerio Ponce
Em 04/04/08, Artur Costa Steiner[EMAIL PROTECTED] escreveu:
Mas como concluir que é 1/2?
Artur
-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
nome de Rogerio Ponce
Enviada em: quarta-feira, 2 de abril de 2008 16:58
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] lim (n -- oo) e^(-n) (1 + n +
(n^2)/2!...+(n^n)/n!)
Ola' Artur,
acho que e' mais simples que voce imagina.
O numero de termos da expansao de Taylor ja' e' infinito.
E quando n aumenta, a 2a parte da sua expressao simplesmente se
aproxima da expansao de Taylor.
No limite, havera' infinitos termos (e todos iguais) nas duas
expressoes.
[]'s
Rogerio Ponce
Em 02/04/08, Artur Costa Steiner[EMAIL PROTECTED] escreveu:
Não, não. Seria 1 se fosse um limite do tipo e^(x) (1 + x +
x^2/2!...+x^n/n!), com x independente de n. Mas não é o caso. Veja q ue x
=n, x depende de n. Quando você aumenta o n, além de aumentar o número de
termos no polinômio de Taylor, aumenta o argumento, Temos algo bem mais
complicado.
Artur
-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
nome de Rogerio Ponce
Enviada em: quarta-feira, 2 de abril de 2008 10:26
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] lim (n -- oo) e^(-n) (1 + n +
(n^2)/2!...+(n^n)/n!)
Oi Artur,
a expansao de Taylor para e^n vale
e^n = 1 + n + n^2/2! + n^3/3! + ...
Assim, esse limite deve ser igual a 1.
[]'s
Rogerio Ponce
Em 02/04/08, Artur Costa Steiner[EMAIL PROTECTED] escreveu:
Este limite é 1/2, mas não sei como demonstrar. Já tentei várias
soluções,
mas não deu certo.
Uma possibilidade é mostra que este limite iguala-se a uma
integral, mas não
consegui sair. Outra possibilidade, conforme me disseram, é
aplicar o
teorema do limite central a distribuicoes de Poisson com média 1.
Também não
consegui ver como.
Alguem tem alguma sugestao?
Abracos
Artur
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
[obm-l] Combinatória
Fala gente, gostaria de uma ajuda para a seguinte questão de combinatória. Quantas palavras de no máximo 9 letras existem onde o máximo de vezes que uma letra pode aparecer consecutivamente é 3? Obrigado.
