Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] áreas vs semelhança

2018-04-21 Por tôpico Claudio Buffara 
A altura relativa à hipotenusa divide o triangulo retângulo em dois outros 
semelhantes a ele.
Daí e’ só operar com as proporções resultantes.

Ceva por áreas tem logo no cap 1 do Geometry Revisited.

Menelaus é equivalente a Ceva. Mas provar que Ceva ==> Menelaus é bem mais 
difícil.

O livro do Elon q eu mencionei tem uma definição axiomática de área.

Abs

Enviado do meu iPhone

Em 21 de abr de 2018, à(s) 16:18, Anderson Torres 
 escreveu:

> Em 21 de abril de 2018 10:28, Claudio Buffara
>  escreveu:
>> Por exemplo, Pitágoras pode ser demonstrado por áreas e por semelhança.
>> Ceva também.
> 
> As demos de Pitágoras que conheço costumam usar recorta-e-cola.
> Conheço uma muito boa que usa áreas e semelhança. Basicamente,
> substitua os quadrados nos lados por triângulos retângulos semelhantes
> ao próprio.
> 
> Ceva? Bem, eu já vi Menelaus com áreas, devo dizer.
> 
>> E nos elementos de Euclides, a proposição 3 do livro VI (essencialmente o 
>> teorema de Tales) sai por áreas (apesar de depender da teria das 
>> proporções de Eudoxo, descrita no livro V).
>> 
>> De fato, minha conjectura deveria ser: dados os axiomas dos números reais, 
>> áreas e semelhança são equivalentes.
>> 
> 
> Novamente, não lembro de nenhum tratamento sistemático/axiomático de
> áreas. Ainda não consigo imaginar um Cavalieri com semelhanças.
> 
>> Abs
>> 
>> Enviado do meu iPhone
>> 
>> Em 21 de abr de 2018, Ã (s) 08:12, Anderson Torres 
>>  escreveu:
>> 
>>> Em 18 de abril de 2018 08:53, Claudio Buffara
>>>  escreveu:
 Considere o seguinte problema (fácil):
 No triângulo ABC, H é o pé da altura relativa ao vértice B e K 
 o pé da
 altura relativa ao vértice C (logo, H pertence à reta suporte de AC e 
 K Ã
 reta suporte de AB).
 Prove que AB*CK = AC*BH.
 
 Solução 1:
 2*área(ABC) = AB*CK = AC*BH
 
 Solução 2:
 Os triângulos retângulos AHB e AKC são semelhantes (AHB = AKC = 1 
 reto e A
 comum).
 Logo, AB/AC = BH/CK.
 Mas isso é equivalente a AB*CK = AC*BH.
 
 Este problema me levou à seguinte pergunta: será que as teorias de 
 área e de
 semelhança são equivalentes?
 Em outras palavras, será que tudo que pode ser provado via 
 considerações de
 área também pode ser provado por semelhança (e vice-versa)?
 
>>> 
>>> Acredito que não. Não lembro muito bem de axiomas sobre áreas de
>>> figuras geométricas, mas sobre semelhança o mais importante é o 
>>> caso
>>> LAL. Na verdade, este é um postulado sobre congruências: "dois
>>> triângulo com dois lados e o ângulo entre eles iguais são iguais".
>>> 
>>> Não imagino um postulado sobre áreas equivalente a isso.
>>> 
>>> Por outro lado, também não conheço nenhum equivalente ao 
>>> Princípio de
>>> Cavalieri em termos de semelhança. De fato, isso parece insano :)
>>> 
 []s,
 Claudio.
 
 
 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.
>>> 
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>> 
>>> 
>>> =
>>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>>> =
>> 
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>> 
>> 
>> =
>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> =
> 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
> 
> 
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] áreas vs semelhança

2018-04-21 Por tôpico Anderson Torres 
Em 21 de abril de 2018 10:28, Claudio Buffara
 escreveu:
> Por exemplo, Pitágoras pode ser demonstrado por áreas e por semelhança.
> Ceva também.

As demos de Pitágoras que conheço costumam usar recorta-e-cola.
Conheço uma muito boa que usa áreas e semelhança. Basicamente,
substitua os quadrados nos lados por triângulos retângulos semelhantes
ao próprio.

Ceva? Bem, eu já vi Menelaus com áreas, devo dizer.

> E nos elementos de Euclides, a proposição 3 do livro VI (essencialmente o 
> teorema de Tales) sai por áreas (apesar de depender da teria das proporções 
> de Eudoxo, descrita no livro V).
>
> De fato, minha conjectura deveria ser: dados os axiomas dos números reais, 
> áreas e semelhança são equivalentes.
>

Novamente, não lembro de nenhum tratamento sistemático/axiomático de
áreas. Ainda não consigo imaginar um Cavalieri com semelhanças.

> Abs
>
> Enviado do meu iPhone
>
> Em 21 de abr de 2018, à(s) 08:12, Anderson Torres 
>  escreveu:
>
>> Em 18 de abril de 2018 08:53, Claudio Buffara
>>  escreveu:
>>> Considere o seguinte problema (fácil):
>>> No triângulo ABC, H é o pé da altura relativa ao vértice B e K o pé da
>>> altura relativa ao vértice C (logo, H pertence à  reta suporte de AC e K Ã
>>> reta suporte de AB).
>>> Prove que AB*CK = AC*BH.
>>>
>>> Solução 1:
>>> 2*área(ABC) = AB*CK = AC*BH
>>>
>>> Solução 2:
>>> Os triângulos retângulos AHB e AKC são semelhantes (AHB = AKC = 1 reto e 
>>> A
>>> comum).
>>> Logo, AB/AC = BH/CK.
>>> Mas isso é equivalente a AB*CK = AC*BH.
>>>
>>> Este problema me levou à seguinte pergunta: será que as teorias de área 
>>> e de
>>> semelhança são equivalentes?
>>> Em outras palavras, será que tudo que pode ser provado via considerações 
>>> de
>>> área também pode ser provado por semelhança (e vice-versa)?
>>>
>>
>> Acredito que não. Não lembro muito bem de axiomas sobre áreas de
>> figuras geométricas, mas sobre semelhança o mais importante é o caso
>> LAL. Na verdade, este é um postulado sobre congruências: "dois
>> triângulo com dois lados e o ângulo entre eles iguais são iguais".
>>
>> Não imagino um postulado sobre áreas equivalente a isso.
>>
>> Por outro lado, também não conheço nenhum equivalente ao Princípio de
>> Cavalieri em termos de semelhança. De fato, isso parece insano :)
>>
>>> []s,
>>> Claudio.
>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
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>> =
>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> =
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
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> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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Re: [obm-l] Re: [obm-l] áreas vs semelhança

2018-04-21 Por tôpico Claudio Buffara 
Tem um livro do Elon Lages Lima chamado Medida e Forma em Geometria que trata 
destes assuntos muito bem.

Abs,
Claudio.

Enviado do meu iPhone

Em 21 de abr de 2018, à(s) 08:12, Anderson Torres 
 escreveu:

> Em 18 de abril de 2018 08:53, Claudio Buffara
>  escreveu:
>> Considere o seguinte problema (fácil):
>> No triângulo ABC, H é o pé da altura relativa ao vértice B e K o pé da
>> altura relativa ao vértice C (logo, H pertence à reta suporte de AC e K à 
>> reta suporte de AB).
>> Prove que AB*CK = AC*BH.
>> 
>> Solução 1:
>> 2*área(ABC) = AB*CK = AC*BH
>> 
>> Solução 2:
>> Os triângulos retângulos AHB e AKC são semelhantes (AHB = AKC = 1 reto e A
>> comum).
>> Logo, AB/AC = BH/CK.
>> Mas isso é equivalente a AB*CK = AC*BH.
>> 
>> Este problema me levou à seguinte pergunta: será que as teorias de área e 
>> de
>> semelhança são equivalentes?
>> Em outras palavras, será que tudo que pode ser provado via considerações 
>> de
>> área também pode ser provado por semelhança (e vice-versa)?
>> 
> 
> Acredito que não. Não lembro muito bem de axiomas sobre áreas de
> figuras geométricas, mas sobre semelhança o mais importante é o caso
> LAL. Na verdade, este é um postulado sobre congruências: "dois
> triângulo com dois lados e o ângulo entre eles iguais são iguais".
> 
> Não imagino um postulado sobre áreas equivalente a isso.
> 
> Por outro lado, também não conheço nenhum equivalente ao Princípio de
> Cavalieri em termos de semelhança. De fato, isso parece insano :)
> 
>> []s,
>> Claudio.
>> 
>> 
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
> 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
> 
> 
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


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http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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Re: [obm-l] Re: [obm-l] áreas vs semelhança

2018-04-21 Por tôpico Claudio Buffara 
Por exemplo, Pitágoras pode ser demonstrado por áreas e por semelhança.
Ceva também.
E nos elementos de Euclides, a proposição 3 do livro VI (essencialmente o 
teorema de Tales) sai por áreas (apesar de depender da teria das proporções de 
Eudoxo, descrita no livro V).

De fato, minha conjectura deveria ser: dados os axiomas dos números reais, 
áreas e semelhança são equivalentes.

Abs

Enviado do meu iPhone

Em 21 de abr de 2018, à(s) 08:12, Anderson Torres 
 escreveu:

> Em 18 de abril de 2018 08:53, Claudio Buffara
>  escreveu:
>> Considere o seguinte problema (fácil):
>> No triângulo ABC, H é o pé da altura relativa ao vértice B e K o pé da
>> altura relativa ao vértice C (logo, H pertence à reta suporte de AC e K à 
>> reta suporte de AB).
>> Prove que AB*CK = AC*BH.
>> 
>> Solução 1:
>> 2*área(ABC) = AB*CK = AC*BH
>> 
>> Solução 2:
>> Os triângulos retângulos AHB e AKC são semelhantes (AHB = AKC = 1 reto e A
>> comum).
>> Logo, AB/AC = BH/CK.
>> Mas isso é equivalente a AB*CK = AC*BH.
>> 
>> Este problema me levou à seguinte pergunta: será que as teorias de área e 
>> de
>> semelhança são equivalentes?
>> Em outras palavras, será que tudo que pode ser provado via considerações 
>> de
>> área também pode ser provado por semelhança (e vice-versa)?
>> 
> 
> Acredito que não. Não lembro muito bem de axiomas sobre áreas de
> figuras geométricas, mas sobre semelhança o mais importante é o caso
> LAL. Na verdade, este é um postulado sobre congruências: "dois
> triângulo com dois lados e o ângulo entre eles iguais são iguais".
> 
> Não imagino um postulado sobre áreas equivalente a isso.
> 
> Por outro lado, também não conheço nenhum equivalente ao Princípio de
> Cavalieri em termos de semelhança. De fato, isso parece insano :)
> 
>> []s,
>> Claudio.
>> 
>> 
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
> 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
> 
> 
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Cantor

2018-04-21 Por tôpico Anderson Torres 
Em 18 de abril de 2018 07:47, Claudio Buffara
 escreveu:
> Agora, uma pergunta:
>
> E se fossemos fazer uma lista de todos os racionais (dízimas periódicas)
> entre 0 e 1 (por exemplo, escolhendo, quando houver ambiguidade, a versão
> que termina por ...)?
> Neste caso, o método da diagonal deveria falhar, certo, já que Q inter (0,1)
> é enumerável?

Sim.

> Mas, de cara, me parece possível escolher, para todo i em N, um algarismo
> b(i) diferente de a(i,i) (= i-ésimo algarismo do número na i-ésima linha da
> lista).
> Como pode?
>

O número gerado por este método de diagonal não pode ser racional.

Bem, a demonstração é a mesma: se este número fosse racional, ele
apareceria em algum momento, o que é impossível dado que ele nunca
será igual a nenhum dos números. Esta é a resposta do seu "deveria
falhar".


> []s,
> Claudio.
>
>
> 2018-04-17 22:52 GMT-03:00 Anderson Torres :
>>
>> Em 15 de abril de 2018 09:43, Luiz Antonio Rodrigues
>>  escreveu:
>> > Olá, Ronei!
>> > Fiz essa pergunta para o Bernardo...
>> > Um abraço!
>> > Luiz
>> >
>> >
>> > On Sun, Apr 15, 2018, 7:23 AM Ronei Lima Badaró 
>> > wrote:
>> >>
>> >> Não é a tal diagonal de Cantor?
>>
>> Sim, é este o nome.
>>
>> >>
>> >> Em Dom, 15 de abr de 2018 07:05, Bernardo Freitas Paulo da Costa
>> >>  escreveu:
>> >>>
>> >>> 2018-04-15 5:36 GMT-03:00 Luiz Antonio Rodrigues
>> >>> :
>> >>> > Olá, amigos!
>> >>> > Bom dia!
>> >>> > Estou lendo "Matemática Discreta" da SBM e me deparei com o trecho
>> >>> > que
>> >>> > eu
>> >>> > reproduzi abaixo.
>> >>> >
>> >>> >
>> >>> > A principal contribuição de Cantor foi exibir casos em que não é
>> >>> > possível
>> >>> > obter uma bijeção entre dois conjuntos infinitos.
>> >>> > (...)
>> >>> > Seja C o conjunto de todas as sequências infinitas em que todos os
>> >>> > termos
>> >>> > são iguais a zero ou um.
>> >>> > Suponhamos que fosse possível uma função f: N -> C, em que cada
>> >>> > sequência de
>> >>> > C aparecesse exatamente uma vez como imagem. Vamos construir uma
>> >>> > sequência s
>> >>> > formada por 0s e 1s (ou seja, um elemento de C) do seguinte modo: se
>> >>> > o
>> >>> > primeiro termo da sequência f(1) é zero, o primeiro termo de s é 1;
>> >>> > senão, é
>> >>> > zero. Se o segundo termo da sequência f(2) é zero, o segundo termo
>> >>> > de s
>> >>> > é 1;
>> >>> > senão, é zero. Prosseguimos, sempre escolhendo o n-ésimo termo s(n)
>> >>> > como
>> >>> > sendo o oposto do n-ésimo termo da sequência f(n). A sequência s
>> >>> > assim
>> >>> > construída difere pelo menos na posição n de cada sequência f(n).
>> >>> > Logo,
>> >>> > não
>> >>> > pertence à imagem de f. Mas nossa suposição era de que todos os
>> >>> > elementos de
>> >>> > C aparecessem como imagem!
>> >>> > Temos, assim, uma contradição, que mostra a impossibilidade de
>> >>> > construir uma
>> >>> > bijeção de N em C.
>> >>> >
>> >>> > Já o reli diversas vezes. Eu "travei" na frase "A sequência s assim
>> >>> > construída difere pelo menos na posição n de cada sequência f(n)."
>> >>>
>> >>> Acho que ajuda a entender se você fizer um exemplo.  Claro que um
>> >>> exemplo não prova nada, mas espero que ilumine a construção usada.
>> >>>
>> >>> Suponha, assim, que f seja da seguinte forma:
>> >>> 1 -> 0100101010101
>> >>> 2 -> 010101010101
>> >>> 3 -> 11001
>> >>> 4 -> 
>> >>> 5 -> 1110111010101
>> >>>
>> >>> Agora, vou construir a tal da sequência s, "descobrindo" o valor de
>> >>> cada um dos elementos, um a um:
>> >>>
>> >>> O primeiro elemento de s é o "oposto" do primeiro elemento de f(1).
>> >>> Como o primeiro elemento de f(1) é 0, vai ser um:
>> >>>
>> >>> s = 1
>> >>>
>> >>> O segundo elemento de s é o oposto do segundo elemento de f(2) (que é
>> >>> 1):
>> >>>
>> >>> s = 10
>> >>>
>> >>> O terceiro elemento, oposto do terceiro de f(3), dá s = 100...
>> >>> O quarto, s = 1001...
>> >>> O quinto, s = 10010
>> >>>
>> >>> Agora, repare s não pode ser f(1), nem f(2), nem f(3), nem f(4), ...
>> >>> Porque o primeiro elemento de s é diferente do primeiro de f(1).  O
>> >>> segundo de s, diferente do segundo de f(2). E assim por diante.
>> >>> Muitas vezes, num quadro-negro, o pessoal faz a tabela que eu esbocei
>> >>> acima, e envolve os elementos da "diagonal descendente", e depois cria
>> >>> a sequência dos opostos.
>> >>>
>> >>> Abraços,
>> >>> --
>> >>> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>> >>>
>> >>> --
>> >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> >>>  acredita-se estar livre de perigo.
>> >>>
>> >>>
>> >>>
>> >>> =
>> >>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> >>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> >>>
>> >>> =
>> >>
>> >>
>> >> --
>>

[obm-l] Re: [obm-l] áreas vs semelhança

2018-04-21 Por tôpico Anderson Torres 
Em 18 de abril de 2018 08:53, Claudio Buffara
 escreveu:
> Considere o seguinte problema (fácil):
> No triângulo ABC, H é o pé da altura relativa ao vértice B e K o pé da
> altura relativa ao vértice C (logo, H pertence à reta suporte de AC e K à
> reta suporte de AB).
> Prove que AB*CK = AC*BH.
>
> Solução 1:
> 2*área(ABC) = AB*CK = AC*BH
>
> Solução 2:
> Os triângulos retângulos AHB e AKC são semelhantes (AHB = AKC = 1 reto e A
> comum).
> Logo, AB/AC = BH/CK.
> Mas isso é equivalente a AB*CK = AC*BH.
>
> Este problema me levou à seguinte pergunta: será que as teorias de área e de
> semelhança são equivalentes?
> Em outras palavras, será que tudo que pode ser provado via considerações de
> área também pode ser provado por semelhança (e vice-versa)?
>

Acredito que não. Não lembro muito bem de axiomas sobre áreas de
figuras geométricas, mas sobre semelhança o mais importante é o caso
LAL. Na verdade, este é um postulado sobre congruências: "dois
triângulo com dois lados e o ângulo entre eles iguais são iguais".

Não imagino um postulado sobre áreas equivalente a isso.

Por outro lado, também não conheço nenhum equivalente ao Princípio de
Cavalieri em termos de semelhança. De fato, isso parece insano :)

> []s,
> Claudio.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Cantor

2018-04-21 Por tôpico Anderson Torres 
Em 18 de abril de 2018 08:56, Claudio Buffara
 escreveu:
> Com certeza!
> Mas o que eu quero é uma prova DIRETA de que é impossível escolher os b(i)
> de modo que o número 0,b(1)b(2)b(3)... seja irracional.

Isso me parece bem mais chato, e daria a mesma volta. Parece
absurdamente natural se perguntar "se ele é racional, qual é sua
posição na lista?" e não algo como "se ele é racional, qual é o
tamanho de seu período e da parte que não repete?".

>
> []s,
> Claudio.
>
>
> 2018-04-18 8:32 GMT-03:00 Thácio Hahn dos Santos :
>>
>> Não se garante, neste caso, que todo número formado pelos b(i) seja
>> racional, não obtendo-se, portanto, a procurada bijeção entre racionais e
>> naturais. Ela pode ser obtida percorrendo diagonalmente uma tabela contendo
>> todas as frações, começando por 0/1, 1/1, -1/1, 1/2, -1/2, 1/3, -1/3 ... na
>> primeira linha, 2/1, -2/3, 2/2, -2/2, 2/3, -2/3 ... na segunda e assim por
>> diante. O conjunto das frações equivalentes como 1/2 e 2/4 é enumerável e
>> pode ser descartado, restando uma bijeção entre racionais e inteiros (que
>> são enumeráveis).
>>
>> Um abraço.
>>
>> On Wed, Apr 18, 2018, 7:58 AM Claudio Buffara 
>> wrote:
>>>
>>> Agora, uma pergunta:
>>>
>>> E se fossemos fazer uma lista de todos os racionais (dízimas periódicas)
>>> entre 0 e 1 (por exemplo, escolhendo, quando houver ambiguidade, a versão
>>> que termina por ...)?
>>> Neste caso, o método da diagonal deveria falhar, certo, já que Q inter
>>> (0,1) é enumerável?
>>> Mas, de cara, me parece possível escolher, para todo i em N, um algarismo
>>> b(i) diferente de a(i,i) (= i-ésimo algarismo do número na i-ésima linha da
>>> lista).
>>> Como pode?
>>>
>>> []s,
>>> Claudio.
>>>
>>>
>>> 2018-04-17 22:52 GMT-03:00 Anderson Torres
>>> :

 Em 15 de abril de 2018 09:43, Luiz Antonio Rodrigues
  escreveu:
 > Olá, Ronei!
 > Fiz essa pergunta para o Bernardo...
 > Um abraço!
 > Luiz
 >
 >
 > On Sun, Apr 15, 2018, 7:23 AM Ronei Lima Badaró 
 > wrote:
 >>
 >> Não é a tal diagonal de Cantor?

 Sim, é este o nome.

 >>
 >> Em Dom, 15 de abr de 2018 07:05, Bernardo Freitas Paulo da Costa
 >>  escreveu:
 >>>
 >>> 2018-04-15 5:36 GMT-03:00 Luiz Antonio Rodrigues
 >>> :
 >>> > Olá, amigos!
 >>> > Bom dia!
 >>> > Estou lendo "Matemática Discreta" da SBM e me deparei com o trecho
 >>> > que
 >>> > eu
 >>> > reproduzi abaixo.
 >>> >
 >>> >
 >>> > A principal contribuição de Cantor foi exibir casos em que não é
 >>> > possível
 >>> > obter uma bijeção entre dois conjuntos infinitos.
 >>> > (...)
 >>> > Seja C o conjunto de todas as sequências infinitas em que todos os
 >>> > termos
 >>> > são iguais a zero ou um.
 >>> > Suponhamos que fosse possível uma função f: N -> C, em que cada
 >>> > sequência de
 >>> > C aparecesse exatamente uma vez como imagem. Vamos construir uma
 >>> > sequência s
 >>> > formada por 0s e 1s (ou seja, um elemento de C) do seguinte modo:
 >>> > se o
 >>> > primeiro termo da sequência f(1) é zero, o primeiro termo de s é
 >>> > 1;
 >>> > senão, é
 >>> > zero. Se o segundo termo da sequência f(2) é zero, o segundo termo
 >>> > de s
 >>> > é 1;
 >>> > senão, é zero. Prosseguimos, sempre escolhendo o n-ésimo termo
 >>> > s(n)
 >>> > como
 >>> > sendo o oposto do n-ésimo termo da sequência f(n). A sequência s
 >>> > assim
 >>> > construída difere pelo menos na posição n de cada sequência f(n).
 >>> > Logo,
 >>> > não
 >>> > pertence à imagem de f. Mas nossa suposição era de que todos os
 >>> > elementos de
 >>> > C aparecessem como imagem!
 >>> > Temos, assim, uma contradição, que mostra a impossibilidade de
 >>> > construir uma
 >>> > bijeção de N em C.
 >>> >
 >>> > Já o reli diversas vezes. Eu "travei" na frase "A sequência s
 >>> > assim
 >>> > construída difere pelo menos na posição n de cada sequência f(n)."
 >>>
 >>> Acho que ajuda a entender se você fizer um exemplo.  Claro que um
 >>> exemplo não prova nada, mas espero que ilumine a construção usada.
 >>>
 >>> Suponha, assim, que f seja da seguinte forma:
 >>> 1 -> 0100101010101
 >>> 2 -> 010101010101
 >>> 3 -> 11001
 >>> 4 -> 
 >>> 5 -> 1110111010101
 >>>
 >>> Agora, vou construir a tal da sequência s, "descobrindo" o valor de
 >>> cada um dos elementos, um a um:
 >>>
 >>> O primeiro elemento de s é o "oposto" do primeiro elemento de f(1).
 >>> Como o primeiro elemento de f(1) é 0, vai ser um:
 >>>
 >>> s = 1
 >>>
 >>> O segundo elemento de s é o oposto do segundo elemento de f(2) (que
 >>>