Re: [obm-l] Sobre Recorrência

2018-04-23 Por tôpico luciano rodrigues 
Dá uma olhada nesse material:
http://repositorio.unb.br/bitstream/10482/17255/1/2014_MarcusViniciusPereira.pdf

> Em 23 de abr de 2018, às 19:48, Bruno Lopes  
> escreveu:
> 
> Prezados Colegas. 
> 
> Boa noite. 
> 
> Para quem quer iniciar os estudos sobre Recorrência, qual a bibliografia?
> 
> Já separei o livro Matemática do Ensino Médio - Vol 2, da SBM. 
> 
> Gostaria de alguma indicação com problemas iniciais mostrando a montagem 
> das equações de recorrência. 
> 
> Agradeço desde já. 
> 
> 
> Bruno Lopes
> -- 
> Bruno Lopes
> IFPE - Campus Pesqueira
> 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Questão de derivada

2018-04-23 Por tôpico Igor Caetano Diniz 
na verdade eu não fiz rsrs.

Eu queria ver um modo claro de mostrar. Se não puder usar L'Hospital, acho
que tem que fazer uma sequência por baixo e uma por cima aplicando TVM em
cada intervalo. Aí usa o fato dessa sequencia ser limitada, e monotona,
portanto, convergente. Logo lim f'(xn) = L tanto por cima, quanto por
baixo. como existem esses limites laterais e de mesmo valor, a derivada
existe.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Sobre Recorrência

2018-04-23 Por tôpico Bruno Lopes 
Prezados Colegas.

Boa noite.

Para quem quer iniciar os estudos sobre Recorrência, qual a bibliografia?

Já separei o livro Matemática do Ensino Médio - Vol 2, da SBM.

Gostaria de alguma indicação com problemas iniciais mostrando a montagem
das equações de recorrência.

Agradeço desde já.


Bruno Lopes
-- 
Bruno Lopes
IFPE - Campus Pesqueira

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Questão de derivada

2018-04-23 Por tôpico Artur Steiner 
Eu li errado, temos que lim x --> 0 f'
(x) = L. Assim,  a Regra de l' Hopital conforme mostrei demonstra que, de
fato, f'(c) = L.

Mas o que vc fez não mostra que f'(c) = L.

Artur Costa Steiner

Em Seg, 23 de abr de 2018 14:31, Igor Caetano Diniz 
escreveu:

> Se a questão tivesse um intervalo explícito [a,b] e diferenciável em todo
> ponto (a,b) exceto possivelmente num ponto c em (a,b) tal que lim f '(x) =
> L, x-> c, o que eu fiz estaria correto?
>
> 2018-04-23 14:11 GMT-03:00 Artur Steiner :
>
>> Como f é contínua em 0, então, pela regra de L'Hopital,
>>
>> lim x --> 0+  (f(x) - f0))/(x - 0) = lim x --> 0+ f'(x) = L
>>
>> Pela definição de derivada lateral, o limite do primeiro membro é a
>> derivada à direita de 0. É só o que podemos concluir do enunciado. Nada
>> garante que a derivada à esquerda de 0 sequer exista.
>>
>> Artur Costa Steiner
>>
>> Em Dom, 22 de abr de 2018 22:45, Igor Caetano Diniz <
>> icaetanodi...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Boa noite,
>>> Gostaria de uma ajuda numa questão. Primeiro saber se pensei
>>> corretamente na maneira (1) e se é possível resolver como pensei também na
>>> maneira (2).
>>> Aí vai:
>>> Questão 5.3.8 do livro do Stephen Abbot, Understanding Analysis:
>>>
>>> Assuma que f é contínua em um intervalo que contém o zero e
>>> diferenciável em todo ponto diferente de zero. Se lim f ' (x) = L, x->0,
>>> prove que f ' (0) existe e é igual a L.
>>>
>>> O que pensei em fazer:
>>>
>>> Pensei em duas maneiras.
>>> 1)Se o limite existe em 0, então existem os limites laterais, limite a
>>> esquerda e limite a direita: lim x->0- f ' (x) = L e lim x->0+ f ' (x) = L.
>>> Lema: f ' (c) = lim f(c+h)-f(c-h)/2h = lim [ f(c+h)-f(c) +f(c) - f(c-h)
>>> ]/2h = 1/2 lim x->c-[f(c+h)-f(c)/h] + 1/2 lim x->c+ [f(c+h)-f(c)/h]
>>>
>>> Logo como existem esses limites laterais, existe a derivada em 0, e
>>> portanto, é L
>>>
>>> 2) queria tentar fazer, usando uma sequência xn<0 com limxn = 0 e yn>0
>>> com lim yn = 0 e provar que lim(f(yn)-f(xn)/(yn-xn)) = f'(0) = L. Mas sinto
>>> que isso é verdade e não sei provar
>>>
>>> Abraços
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Inequação Modular

2018-04-23 Por tôpico Pedro José 
Boa tarde!

Se x <0 não precisa resolver, não tem solução.
|x-2|>2 e -x. |×+2| >0.
Portanto será sempre maior do que dois.
Saudações,
PJMS.

Em 23 de abr de 2018 16:57, "Luiz Antonio Rodrigues" 
escreveu:

> Olá, Rodrigo!
> Olá, Claudio!
> Muito obrigado pela ajuda!
> Um abração!
> Luiz
>
> On Mon, Apr 23, 2018, 3:09 PM Rodrigo Ângelo 
> wrote:
>
>> Olá, Luiz Antonio
>>
>> Não é muito sofisticado, mas eu geralmente analiso separadamente:
>> Se x >= 0, então:
>> x.|x+2| = | x(x+2) |
>>
>> |x-2| - | x(x+2) | < 1
>> |x-2| < 1 + | x(x+2) |
>> 1 + | x(x+2) |  > |x-2|
>> | x(x+2) |  > |x-2| - 1
>> x(x+2)   < 1 - |x-2|
>> ou  x(x+2)   > |x-2| - 1
>> |x-2|< 1 - x(x+2)
>> ou   |x-2|  < x(x+2)  + 1
>> x(x+2) - 1  < x-2 <  1 - x(x+2)
>> ou  -x(x+2) -1  < x-2  <  x(x+2)  + 1
>> x(x+2) - 1  < x-2   E x-2 <  1 - x(x+2)ou
>> -x(x+2) -1  < x-2 E  x-2  <  x(x+2)  + 1
>> x(x+2) - 1 - x +2  < 0E x-2 <  1 - x(x+2)ou
>> -x(x+2) -1  + 2 - x < 0 E  x(x+2)  + 1 +2 -x > 0
>> x²+x+1 < 0   Ex-2 <  1 - x(x+2)  ou
>> -x²-3x+1 < 0   E  x² + x + 3 > 0
>> ... não tem solução neste caso ou  x
>> > (raiz(13) - 3 )/2 E x pertence aos reais
>>
>> logo, se x >= 0, para x satisfazer a inequação devemos ter x > (raiz(13)
>> - 3 )/2
>>
>> Se x < 0, então
>> x.|x+2| = | (-x) . (x+2)|
>> ... (segue de forma semelhante)
>>
>>
>> On Mon, Apr 23, 2018 at 1:30 PM Luiz Antonio Rodrigues <
>> rodrigue...@gmail.com> wrote:
>>
>>> Olá, pessoal!
>>> Estou tentando resolver esta inequação:
>>>
>>> |x-2| - x.|x + 2| < 1
>>>
>>> Tentei a técnica do "varalzinho" mas não  deu certo!
>>> Será que alguém pode me ajudar?
>>> Não quero resolver graficamente...
>>> Muito obrigado e um abraço!
>>> Luiz
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Inequação Modular

2018-04-23 Por tôpico Luiz Antonio Rodrigues 
Olá, Rodrigo!
Olá, Claudio!
Muito obrigado pela ajuda!
Um abração!
Luiz

On Mon, Apr 23, 2018, 3:09 PM Rodrigo Ângelo  wrote:

> Olá, Luiz Antonio
>
> Não é muito sofisticado, mas eu geralmente analiso separadamente:
> Se x >= 0, então:
> x.|x+2| = | x(x+2) |
>
> |x-2| - | x(x+2) | < 1
> |x-2| < 1 + | x(x+2) |
> 1 + | x(x+2) |  > |x-2|
> | x(x+2) |  > |x-2| - 1
> x(x+2)   < 1 - |x-2|
> ou  x(x+2)   > |x-2| - 1
> |x-2|< 1 - x(x+2)
> ou   |x-2|  < x(x+2)  + 1
> x(x+2) - 1  < x-2 <  1 - x(x+2)ou
> -x(x+2) -1  < x-2  <  x(x+2)  + 1
> x(x+2) - 1  < x-2   E x-2 <  1 - x(x+2)ou
> -x(x+2) -1  < x-2 E  x-2  <  x(x+2)  + 1
> x(x+2) - 1 - x +2  < 0E x-2 <  1 - x(x+2)ou
> -x(x+2) -1  + 2 - x < 0 E  x(x+2)  + 1 +2 -x > 0
> x²+x+1 < 0   Ex-2 <  1 - x(x+2)  ou
> -x²-3x+1 < 0   E  x² + x + 3 > 0
> ... não tem solução neste caso ou  x >
> (raiz(13) - 3 )/2 E x pertence aos reais
>
> logo, se x >= 0, para x satisfazer a inequação devemos ter x > (raiz(13) -
> 3 )/2
>
> Se x < 0, então
> x.|x+2| = | (-x) . (x+2)|
> ... (segue de forma semelhante)
>
>
> On Mon, Apr 23, 2018 at 1:30 PM Luiz Antonio Rodrigues <
> rodrigue...@gmail.com> wrote:
>
>> Olá, pessoal!
>> Estou tentando resolver esta inequação:
>>
>> |x-2| - x.|x + 2| < 1
>>
>> Tentei a técnica do "varalzinho" mas não  deu certo!
>> Será que alguém pode me ajudar?
>> Não quero resolver graficamente...
>> Muito obrigado e um abraço!
>> Luiz
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Inequação Modular

2018-04-23 Por tôpico Rodrigo Ângelo 
Olá, Luiz Antonio

Não é muito sofisticado, mas eu geralmente analiso separadamente:
Se x >= 0, então:
x.|x+2| = | x(x+2) |

|x-2| - | x(x+2) | < 1
|x-2| < 1 + | x(x+2) |
1 + | x(x+2) |  > |x-2|
| x(x+2) |  > |x-2| - 1
x(x+2)   < 1 - |x-2|
ou  x(x+2)   > |x-2| - 1
|x-2|< 1 - x(x+2)
ou   |x-2|  < x(x+2)  + 1
x(x+2) - 1  < x-2 <  1 - x(x+2)ou
-x(x+2) -1  < x-2  <  x(x+2)  + 1
x(x+2) - 1  < x-2   E x-2 <  1 - x(x+2)ou
-x(x+2) -1  < x-2 E  x-2  <  x(x+2)  + 1
x(x+2) - 1 - x +2  < 0E x-2 <  1 - x(x+2)ou
-x(x+2) -1  + 2 - x < 0 E  x(x+2)  + 1 +2 -x > 0
x²+x+1 < 0   Ex-2 <  1 - x(x+2)  ou
-x²-3x+1 < 0   E  x² + x + 3 > 0
... não tem solução neste caso ou  x >
(raiz(13) - 3 )/2 E x pertence aos reais

logo, se x >= 0, para x satisfazer a inequação devemos ter x > (raiz(13) -
3 )/2

Se x < 0, então
x.|x+2| = | (-x) . (x+2)|
... (segue de forma semelhante)


On Mon, Apr 23, 2018 at 1:30 PM Luiz Antonio Rodrigues <
rodrigue...@gmail.com> wrote:

> Olá, pessoal!
> Estou tentando resolver esta inequação:
>
> |x-2| - x.|x + 2| < 1
>
> Tentei a técnica do "varalzinho" mas não  deu certo!
> Será que alguém pode me ajudar?
> Não quero resolver graficamente...
> Muito obrigado e um abraço!
> Luiz
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Questão de derivada

2018-04-23 Por tôpico Igor Caetano Diniz 
Se a questão tivesse um intervalo explícito [a,b] e diferenciável em todo
ponto (a,b) exceto possivelmente num ponto c em (a,b) tal que lim f '(x) =
L, x-> c, o que eu fiz estaria correto?

2018-04-23 14:11 GMT-03:00 Artur Steiner :

> Como f é contínua em 0, então, pela regra de L'Hopital,
>
> lim x --> 0+  (f(x) - f0))/(x - 0) = lim x --> 0+ f'(x) = L
>
> Pela definição de derivada lateral, o limite do primeiro membro é a
> derivada à direita de 0. É só o que podemos concluir do enunciado. Nada
> garante que a derivada à esquerda de 0 sequer exista.
>
> Artur Costa Steiner
>
> Em Dom, 22 de abr de 2018 22:45, Igor Caetano Diniz <
> icaetanodi...@gmail.com> escreveu:
>
>> Boa noite,
>> Gostaria de uma ajuda numa questão. Primeiro saber se pensei corretamente
>> na maneira (1) e se é possível resolver como pensei também na maneira (2).
>> Aí vai:
>> Questão 5.3.8 do livro do Stephen Abbot, Understanding Analysis:
>>
>> Assuma que f é contínua em um intervalo que contém o zero e diferenciável
>> em todo ponto diferente de zero. Se lim f ' (x) = L, x->0, prove que f '
>> (0) existe e é igual a L.
>>
>> O que pensei em fazer:
>>
>> Pensei em duas maneiras.
>> 1)Se o limite existe em 0, então existem os limites laterais, limite a
>> esquerda e limite a direita: lim x->0- f ' (x) = L e lim x->0+ f ' (x) = L.
>> Lema: f ' (c) = lim f(c+h)-f(c-h)/2h = lim [ f(c+h)-f(c) +f(c) - f(c-h)
>> ]/2h = 1/2 lim x->c-[f(c+h)-f(c)/h] + 1/2 lim x->c+ [f(c+h)-f(c)/h]
>>
>> Logo como existem esses limites laterais, existe a derivada em 0, e
>> portanto, é L
>>
>> 2) queria tentar fazer, usando uma sequência xn<0 com limxn = 0 e yn>0
>> com lim yn = 0 e provar que lim(f(yn)-f(xn)/(yn-xn)) = f'(0) = L. Mas sinto
>> que isso é verdade e não sei provar
>>
>> Abraços
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Questão de derivada

2018-04-23 Por tôpico Artur Steiner 
Como f é contínua em 0, então, pela regra de L'Hopital,

lim x --> 0+  (f(x) - f0))/(x - 0) = lim x --> 0+ f'(x) = L

Pela definição de derivada lateral, o limite do primeiro membro é a
derivada à direita de 0. É só o que podemos concluir do enunciado. Nada
garante que a derivada à esquerda de 0 sequer exista.

Artur Costa Steiner

Em Dom, 22 de abr de 2018 22:45, Igor Caetano Diniz 
escreveu:

> Boa noite,
> Gostaria de uma ajuda numa questão. Primeiro saber se pensei corretamente
> na maneira (1) e se é possível resolver como pensei também na maneira (2).
> Aí vai:
> Questão 5.3.8 do livro do Stephen Abbot, Understanding Analysis:
>
> Assuma que f é contínua em um intervalo que contém o zero e diferenciável
> em todo ponto diferente de zero. Se lim f ' (x) = L, x->0, prove que f '
> (0) existe e é igual a L.
>
> O que pensei em fazer:
>
> Pensei em duas maneiras.
> 1)Se o limite existe em 0, então existem os limites laterais, limite a
> esquerda e limite a direita: lim x->0- f ' (x) = L e lim x->0+ f ' (x) = L.
> Lema: f ' (c) = lim f(c+h)-f(c-h)/2h = lim [ f(c+h)-f(c) +f(c) - f(c-h)
> ]/2h = 1/2 lim x->c-[f(c+h)-f(c)/h] + 1/2 lim x->c+ [f(c+h)-f(c)/h]
>
> Logo como existem esses limites laterais, existe a derivada em 0, e
> portanto, é L
>
> 2) queria tentar fazer, usando uma sequência xn<0 com limxn = 0 e yn>0 com
> lim yn = 0 e provar que lim(f(yn)-f(xn)/(yn-xn)) = f'(0) = L. Mas sinto que
> isso é verdade e não sei provar
>
> Abraços
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Inequação Modular

2018-04-23 Por tôpico Claudio Buffara 
Trate separadamente os casos:
X < -2, -2 <= x < 2, e 2 <= x

Enviado do meu iPhone

Em 23 de abr de 2018, à(s) 13:21, Luiz Antonio Rodrigues 
 escreveu:

> Olá, pessoal!
> Estou tentando resolver esta inequação:
> 
> |x-2| - x.|x + 2| < 1
> 
> Tentei a técnica do "varalzinho" mas não  deu certo!
> Será que alguém pode me ajudar?
> Não quero resolver graficamente...
> Muito obrigado e um abraço!
> Luiz
> 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Questão de derivada

2018-04-23 Por tôpico Igor Caetano Diniz 
Então,

Se existem os limites laterais, lim f ' (0-) = lim f ' (0+) então, defina
q(x) = [f(x) - f(0)]/x. Para todo x<0, existe y1 entre x e 0 tal que f '
(y) = q(x). Analogamente para x>0, existe z1 entre 0 e x tal que f ' (z) =
q(x).
Defina r(x,0) a distancia de x para 0
Então, seja yn = yn-1 + r(y_n-1,0)/2 e zn = zn-1 + r(z_n-1,0)/2. Tal
sequência converge para o 0 com lim yn = 0 = lim zn. Além disso, lim f '
(yn) = L = lim f ' (zn)

Não estou conseguindo concluir. Alguém poderia ajudar?

Abraços

2018-04-23 11:25 GMT-03:00 Bernardo Freitas Paulo da Costa <
bernardo...@gmail.com>:

> 2018-04-22 22:36 GMT-03:00 Igor Caetano Diniz :
> > Boa noite,
> > Gostaria de uma ajuda numa questão. Primeiro saber se pensei
> corretamente na
> > maneira (1) e se é possível resolver como pensei também na maneira (2).
> > Aí vai:
> > Questão 5.3.8 do livro do Stephen Abbot, Understanding Analysis:
> >
> > Assuma que f é contínua em um intervalo que contém o zero e
> diferenciável em
> > todo ponto diferente de zero. Se lim f ' (x) = L, x->0, prove que f ' (0)
> > existe e é igual a L.
> >
> > O que pensei em fazer:
> >
> > Pensei em duas maneiras.
> > 1)Se o limite existe em 0, então existem os limites laterais, limite a
> > esquerda e limite a direita: lim x->0- f ' (x) = L e lim x->0+ f ' (x) =
> L.
> > Lema: f ' (c) = lim f(c+h)-f(c-h)/2h = lim [ f(c+h)-f(c) +f(c) - f(c-h)
> ]/2h
> > = 1/2 lim x->c-[f(c+h)-f(c)/h] + 1/2 lim x->c+ [f(c+h)-f(c)/h]
> >
> > Logo como existem esses limites laterais, existe a derivada em 0, e
> > portanto, é L
>
> Cuidado, Igor: a existência do limite [f(c+h) - f(c-h)]/2h quando h ->
> 0 não implica que existe a derivada.  Por exemplo, se f(x) = |x|, o
> limite dá zero, mas a derivada não existe.
>
> > 2) queria tentar fazer, usando uma sequência xn<0 com limxn = 0 e yn>0
> com
> > lim yn = 0 e provar que lim(f(yn)-f(xn)/(yn-xn)) = f'(0) = L. Mas sinto
> que
> > isso é verdade e não sei provar
>
> De novo, pelo mesmo exemplo acima, não basta provar que os limites com
> um ponto de cada lado dão certo.  Acho (só acho) que se *todos* os
> limites possíveis derem iguais, então a derivada existe, o que
> justifica a sua abordagem, mas daí você teria que provar o enunciado
> geral
>
> "Se f é contínua, e para TODA sequência x_n < 0 < y_n, com x_n -> 0,
> y_n ->0, vale que [f(y_n) - f(x_n)]/(y_n - x_n) -> L, então f é
> derivável em zero, e f'(0) = L."
>
> Abraços,
> --
> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Inequação Modular

2018-04-23 Por tôpico Luiz Antonio Rodrigues 
Olá, pessoal!
Estou tentando resolver esta inequação:

|x-2| - x.|x + 2| < 1

Tentei a técnica do "varalzinho" mas não  deu certo!
Será que alguém pode me ajudar?
Não quero resolver graficamente...
Muito obrigado e um abraço!
Luiz

-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Questão de derivada

2018-04-23 Por tôpico Bernardo Freitas Paulo da Costa 
2018-04-22 22:36 GMT-03:00 Igor Caetano Diniz :
> Boa noite,
> Gostaria de uma ajuda numa questão. Primeiro saber se pensei corretamente na
> maneira (1) e se é possível resolver como pensei também na maneira (2).
> Aí vai:
> Questão 5.3.8 do livro do Stephen Abbot, Understanding Analysis:
>
> Assuma que f é contínua em um intervalo que contém o zero e diferenciável em
> todo ponto diferente de zero. Se lim f ' (x) = L, x->0, prove que f ' (0)
> existe e é igual a L.
>
> O que pensei em fazer:
>
> Pensei em duas maneiras.
> 1)Se o limite existe em 0, então existem os limites laterais, limite a
> esquerda e limite a direita: lim x->0- f ' (x) = L e lim x->0+ f ' (x) = L.
> Lema: f ' (c) = lim f(c+h)-f(c-h)/2h = lim [ f(c+h)-f(c) +f(c) - f(c-h) ]/2h
> = 1/2 lim x->c-[f(c+h)-f(c)/h] + 1/2 lim x->c+ [f(c+h)-f(c)/h]
>
> Logo como existem esses limites laterais, existe a derivada em 0, e
> portanto, é L

Cuidado, Igor: a existência do limite [f(c+h) - f(c-h)]/2h quando h ->
0 não implica que existe a derivada.  Por exemplo, se f(x) = |x|, o
limite dá zero, mas a derivada não existe.

> 2) queria tentar fazer, usando uma sequência xn<0 com limxn = 0 e yn>0 com
> lim yn = 0 e provar que lim(f(yn)-f(xn)/(yn-xn)) = f'(0) = L. Mas sinto que
> isso é verdade e não sei provar

De novo, pelo mesmo exemplo acima, não basta provar que os limites com
um ponto de cada lado dão certo.  Acho (só acho) que se *todos* os
limites possíveis derem iguais, então a derivada existe, o que
justifica a sua abordagem, mas daí você teria que provar o enunciado
geral

"Se f é contínua, e para TODA sequência x_n < 0 < y_n, com x_n -> 0,
y_n ->0, vale que [f(y_n) - f(x_n)]/(y_n - x_n) -> L, então f é
derivável em zero, e f'(0) = L."

Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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