[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Sequência Injetiva
Sim, voce tem razao -- eu achei que era a_2n = a_{2n-1} +1. Que pena, era
uma boa questao com Fibonacci. :)
On Sun, Feb 14, 2021 at 12:35 AM Claudio Buffara
wrote:
> Oi, Ralph:
>
> Eu posso ter entendido errado a definição da sequência, mas achei termos
> diferentes dos seus:
> 1: 1
> 2: 2
> 3: 1/2
> 4: 3
> 5: 1/3
> 6: 3/2
> 7: 2/3
> 8: 4
> 9: 1/4
> 10: 4/3
> 11: 3/4
> 12: 5/2
> 13: 2/5
> 14: 5/3
> 15: 3/5
> 16: 5
> ...
>
> []s,
> Claudio.
>
>
> On Sat, Feb 13, 2021 at 7:59 PM Ralph Costa Teixeira
> wrote:
>
>> Meio enrolado, vou escrever meio vagamente.
>>
>> Eu sugiro olhar primeiro para os caras com indice impar. Sao eles:
>> a1=1/1
>> a3=1/2
>> a5=2/3
>> a7=3/5
>> a8=5/8
>> ...
>> Ou seja, mostre que eles sao quocientes de numeros de Fibonacci
>> consecutivos (os caras de indice par sao os inversos desses). Agora tem
>> varias maneiras de continuar:
>>
>> -- Voce pode mostrar que os numeros de Fibonacci consecutivos sao primos
>> entre si; portanto cada fracao dessas fica unicamente determinada por
>> numerador e denominador, e (como os numeros de Fibonacci formam uma
>> sequencia crescente) vao ser distintos entre si;
>> -- Se voce nao quiser entrar no merito do Fibonacci, tente mostrar (pode
>> ser por inducao) que a3 < a7 < a11 <...> < ... < a13 < a9 < a5 < 1 (phi ali seria (raiz(5)-1) / 2, acho).
>>
>> De qualquer forma, como a_(2n+1)<1, a1=1 e os "a_2n" sao os inversos dos
>> "a_2n+1, vao ser todos diferentes.
>>
>> Abraco, Ralph.
>>
>>
>> On Sat, Feb 13, 2021 at 5:56 PM Jeferson Almir
>> wrote:
>>
>>> Amigos, peço ajuda em provar a injetividade dessa sequência que seria
>>> uma saída para provar a unica ocorrência do racional que aparece nela.
>>> Estou andando em círculos tentando montar uma possível indução.
>>>
>>>
>>> Dado a sequência a_1 = 1 e a_2n = a_n + 1 e a_2n+1 = 1/a_2n.
>>>
>>> Prove que para todo racional positivo que ocorre na sequência, ocorre
>>> uma única vez.
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Sequência Injetiva
Oi, Ralph: Eu posso ter entendido errado a definição da sequência, mas achei termos diferentes dos seus: 1: 1 2: 2 3: 1/2 4: 3 5: 1/3 6: 3/2 7: 2/3 8: 4 9: 1/4 10: 4/3 11: 3/4 12: 5/2 13: 2/5 14: 5/3 15: 3/5 16: 5 ... []s, Claudio. On Sat, Feb 13, 2021 at 7:59 PM Ralph Costa Teixeira wrote: > Meio enrolado, vou escrever meio vagamente. > > Eu sugiro olhar primeiro para os caras com indice impar. Sao eles: > a1=1/1 > a3=1/2 > a5=2/3 > a7=3/5 > a8=5/8 > ... > Ou seja, mostre que eles sao quocientes de numeros de Fibonacci > consecutivos (os caras de indice par sao os inversos desses). Agora tem > varias maneiras de continuar: > > -- Voce pode mostrar que os numeros de Fibonacci consecutivos sao primos > entre si; portanto cada fracao dessas fica unicamente determinada por > numerador e denominador, e (como os numeros de Fibonacci formam uma > sequencia crescente) vao ser distintos entre si; > -- Se voce nao quiser entrar no merito do Fibonacci, tente mostrar (pode > ser por inducao) que a3 < a7 < a11 <... < ... < a13 < a9 < a5 < 1 (phi ali seria (raiz(5)-1) / 2, acho). > > De qualquer forma, como a_(2n+1)<1, a1=1 e os "a_2n" sao os inversos dos > "a_2n+1, vao ser todos diferentes. > > Abraco, Ralph. > > > On Sat, Feb 13, 2021 at 5:56 PM Jeferson Almir > wrote: > >> Amigos, peço ajuda em provar a injetividade dessa sequência que seria uma >> saída para provar a unica ocorrência do racional que aparece nela. Estou >> andando em círculos tentando montar uma possível indução. >> >> >> Dado a sequência a_1 = 1 e a_2n = a_n + 1 e a_2n+1 = 1/a_2n. >> >> Prove que para todo racional positivo que ocorre na sequência, ocorre uma >> única vez. >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Sequência Injetiva
Se a sequência é: a(1) = 1 a(2n) = a(n) + 1 a(2n+1) = 1/a(2n), então: Como os termos da sequência são positivos, os termos de ordem par são maiores do que 1 e os de ordem ímpar (e maior do que 1) são menores do que 1. Se houver alguma repetição, então o primeiro termo a(n) a ser repetido deverá índice n par, já que cada termo de ordem ímpar > 1 é simplesmente o inverso do termo anterior. Assim, suponhamos que m seja o menor natural tal que a(2m) = a(2m+2k), para algum k > 0. Mas isso implica que a(m) + 1 = a(m+k) + 1 ==> a(m) = a(m+k). Se m for par, isso é uma contradição à escolha de m. Se m for ímpar, então k é par (já que m+k terá que ser ímpar também) e, pela definição da sequência, a(m-1) = a(m+k-1) ==> contradição à escolha de m. Logo, a sequência é injetiva. []s, Claudio. On Sat, Feb 13, 2021 at 5:56 PM Jeferson Almir wrote: > Amigos, peço ajuda em provar a injetividade dessa sequência que seria uma > saída para provar a unica ocorrência do racional que aparece nela. Estou > andando em círculos tentando montar uma possível indução. > > > Dado a sequência a_1 = 1 e a_2n = a_n + 1 e a_2n+1 = 1/a_2n. > > Prove que para todo racional positivo que ocorre na sequência, ocorre uma > única vez. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Sequência Injetiva
Meio enrolado, vou escrever meio vagamente. Eu sugiro olhar primeiro para os caras com indice impar. Sao eles: a1=1/1 a3=1/2 a5=2/3 a7=3/5 a8=5/8 ... Ou seja, mostre que eles sao quocientes de numeros de Fibonacci consecutivos (os caras de indice par sao os inversos desses). Agora tem varias maneiras de continuar: -- Voce pode mostrar que os numeros de Fibonacci consecutivos sao primos entre si; portanto cada fracao dessas fica unicamente determinada por numerador e denominador, e (como os numeros de Fibonacci formam uma sequencia crescente) vao ser distintos entre si; -- Se voce nao quiser entrar no merito do Fibonacci, tente mostrar (pode ser por inducao) que a3 < a7 < a11 <... wrote: > Amigos, peço ajuda em provar a injetividade dessa sequência que seria uma > saída para provar a unica ocorrência do racional que aparece nela. Estou > andando em círculos tentando montar uma possível indução. > > > Dado a sequência a_1 = 1 e a_2n = a_n + 1 e a_2n+1 = 1/a_2n. > > Prove que para todo racional positivo que ocorre na sequência, ocorre uma > única vez. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Sequência Injetiva
Amigos, peço ajuda em provar a injetividade dessa sequência que seria uma saída para provar a unica ocorrência do racional que aparece nela. Estou andando em círculos tentando montar uma possível indução. Dado a sequência a_1 = 1 e a_2n = a_n + 1 e a_2n+1 = 1/a_2n. Prove que para todo racional positivo que ocorre na sequência, ocorre uma única vez. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
