Se a sequência é: a(1) = 1 a(2n) = a(n) + 1 a(2n+1) = 1/a(2n), então: Como os termos da sequência são positivos, os termos de ordem par são maiores do que 1 e os de ordem ímpar (e maior do que 1) são menores do que 1. Se houver alguma repetição, então o primeiro termo a(n) a ser repetido deverá índice n par, já que cada termo de ordem ímpar > 1 é simplesmente o inverso do termo anterior. Assim, suponhamos que m seja o menor natural tal que a(2m) = a(2m+2k), para algum k > 0. Mas isso implica que a(m) + 1 = a(m+k) + 1 ==> a(m) = a(m+k). Se m for par, isso é uma contradição à escolha de m. Se m for ímpar, então k é par (já que m+k terá que ser ímpar também) e, pela definição da sequência, a(m-1) = a(m+k-1) ==> contradição à escolha de m. Logo, a sequência é injetiva.
[]s, Claudio. On Sat, Feb 13, 2021 at 5:56 PM Jeferson Almir <[email protected]> wrote: > Amigos, peço ajuda em provar a injetividade dessa sequência que seria uma > saída para provar a unica ocorrência do racional que aparece nela. Estou > andando em círculos tentando montar uma possível indução. > > > Dado a sequência a_1 = 1 e a_2n = a_n + 1 e a_2n+1 = 1/a_2n. > > Prove que para todo racional positivo que ocorre na sequência, ocorre uma > única vez. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
