Meio enrolado, vou escrever meio vagamente. Eu sugiro olhar primeiro para os caras com indice impar. Sao eles: a1=1/1 a3=1/2 a5=2/3 a7=3/5 a8=5/8 ... Ou seja, mostre que eles sao quocientes de numeros de Fibonacci consecutivos (os caras de indice par sao os inversos desses). Agora tem varias maneiras de continuar:
-- Voce pode mostrar que os numeros de Fibonacci consecutivos sao primos entre si; portanto cada fracao dessas fica unicamente determinada por numerador e denominador, e (como os numeros de Fibonacci formam uma sequencia crescente) vao ser distintos entre si; -- Se voce nao quiser entrar no merito do Fibonacci, tente mostrar (pode ser por inducao) que a3 < a7 < a11 <...<a_(4k+3)<...< phi < ... < a_(4k+1) < ... < a13 < a9 < a5 < 1 (phi ali seria (raiz(5)-1) / 2, acho). De qualquer forma, como a_(2n+1)<1, a1=1 e os "a_2n" sao os inversos dos "a_2n+1, vao ser todos diferentes. Abraco, Ralph. On Sat, Feb 13, 2021 at 5:56 PM Jeferson Almir <[email protected]> wrote: > Amigos, peço ajuda em provar a injetividade dessa sequência que seria uma > saída para provar a unica ocorrência do racional que aparece nela. Estou > andando em círculos tentando montar uma possível indução. > > > Dado a sequência a_1 = 1 e a_2n = a_n + 1 e a_2n+1 = 1/a_2n. > > Prove que para todo racional positivo que ocorre na sequência, ocorre uma > única vez. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
