[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: Equações funcionais
Em ter., 16 de fev. de 2021 às 21:26, joao pedro b menezes escreveu: > > Eu sei, temos f(-1)= 0, f(0) = 1, e f é bijetora. Após trabalhar a equação > que cheguei na expressão: > f( x + f(x) ) - f( f(x)) = x. Queria saber se essa identidade, junto com a > do enunciado, é suficiente para provar a linearidade de f. > Seriosamente, não me parece útil perder tempo provando que isso é linear. O processo que você levaria provando que f(x)=Ax+B basicamente se resumiria a finalizar o problema. Outra identidade que pode ser útil para você é provar que f(f(x)) - f(x) = f(x) -x. Essa, junto com a identidade acima que você provou, te deixam em 70% do problema. > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: Equações funcionais
Eu sei, temos f(-1)= 0, f(0) = 1, e f é bijetora. Após trabalhar a equação que cheguei na expressão: f( x + f(x) ) - f( f(x)) = x. Queria saber se essa identidade, junto com a do enunciado, é suficiente para provar a linearidade de f. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: Equações funcionais
Em ter., 16 de fev. de 2021 às 20:43, joao pedro b menezes escreveu: > > Foi da OBM 2006, nível 3, 3° fase: > “Determine todas as funções f: R -> R tais que > f( xf(y) + f(x) ) = 2f(x) + xy Isso dá bem mais informação! Por exemplo essa função é sobrejetora. Afinal, qualquer número pode ser escrito na forma 2f(x)+xy - faça por exemplo x=1 e y=z-2f(1). Daí a ideia é resolver as equacoes f(A)=0 e f(B)=1. > para todos x,y reais” > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Sequência Injetiva
Nada como uma bijeção N -> Q para encerrar o dia! Se pensar nas operacoes INC e REV, podemos usar um algoritmo assim: - Se o número é maior que 1, usa DEC (inversa de INC) - Se o número é menor que 1, usa INV - Se o número é 1, pare Como demonstrar que este procedimento sempre encerrará em 1, não importando que número racional começou? Acho que no fundo isso é só uma maneira de encodar fracoes continuas mesmo. Em ter., 16 de fev. de 2021 às 20:35, Matheus Secco escreveu: > > Esse problema caiu na Olimpíada Iberoamericana de 2009 que eu participei. Foi > o problema 5 da prova e lá pedia para provar injetividade e sobrejetividade. > > Em qua, 17 de fev de 2021 00:16, Anderson Torres > escreveu: >> >> Em dom., 14 de fev. de 2021 às 17:20, Claudio Buffara >> escreveu: >> > >> > Será que essa sequência é sobrejetiva (sobre os racionais positivos)? >> > Porque como a(2^n) = n+1, ela certamente atinge todos os naturais, de modo >> > que é ilimitada, superiormente e inferiormente (já que a(2^n + 1) = >> > 1/(n+1) ). >> > Mesmo que não seja, seria interessante descobrir que racionais positivos >> > ela não atinge. >> > É suficiente provar que todos os racionais entre 0 e 1 são atingidos (no >> > caso, pelos termos de ordem ímpar), mas não sei se isso facilita. >> > Vale uma exploração numérica, talvez com uma planilha. >> >> >> Se eu não errei as contas, acredito que sim. Afinal basta reverter a >> fracao continua. >> >> As operacoes parecem ser bem limitadas, contudo nao e necessario muito >> mais que isso para gerar um racional qualquer: >> >> - Função INC: x -> x+1 >> - Função REV: x -> 1/x >> >> Talvez haja algum invariante que permita prever que cada operacao esta >> fadada a cair em 1 >> >> > >> > >> > Abs, >> > Claudio. >> > >> > Enviado do meu iPhone >> > >> > Em 14 de fev. de 2021, à(s) 13:57, Anderson Torres >> > escreveu: >> > >> > >> > >> > >> > Em sáb., 13 de fev. de 2021 à s 17:56, Jeferson Almir >> > escreveu: >> >> >> >> Amigos, peço ajuda em provar a injetividade dessa sequência que seria >> >> uma saÃda para provar a unica ocorrência do racional que aparece nela. >> >> Estou andando em cÃrculos tentando montar uma possÃvel indução. >> >> >> >> >> >> Dado a sequência a_1 = 1 e a_2n = a_n  + 1 e a_2n+1 = 1/a_2n. >> >> >> >> Prove que para todo racional positivo que ocorre na sequência, ocorre >> >> uma única vez. >> >> >> >> >> > >> > Acho que e uma boa usar fracao continua aqui. >> > >> > Se a_n = [c0; c1, c2, ..., ck], temos entao a_1 = [1] e >> > >> > a_2n = [(1+c0); c1, c2, ..., ck] (chamemos isso de operacao E) >> > a_2n+1 = [0; (1+c0), c1, c2, ..., ck] (chamemos isso de operacao O) >> > >> > >> > A partir disso, acredito que a bijecao fica quase obvia, bastando >> > formalizar algumas inducoes marotas. >> > >> > Primeiramente, nenhuma representacao da forma [...,N,1] vai surgir dai a >> > partir de a_2. Isso pode ser demonstrado por inducao mesmo: ck=1 somente >> > no caso [1], e depois dele a funcao a_n so modifica o comeco da cadeia, >> > nunca o final dela. >> > >> > Assim sendo, temos certeza que nao tem como um racional aparecer uma vez >> > na forma canonica e outra na forma alternativa. E, por conseguinte, se >> > duas fracoes tem comprimentos diferentes, elas devem ser diferentes. E >> > fracoes com comprimentos iguais diferem se e somente se pelo menos um dos >> > componentes diferir. >> > >> > Agora, a funcao recursiva age de duas formas. Uma delas altera o >> > comprimento em 1, e a outra mantém. A que altera, só altera >> > acrescentando o 0 na cabeceira. A que não altera, incrementa a cabeceira. >> > >> > Desta forma, é possÃvel gerar de maneira unica qualquer numero racional >> > comecando do 1. >> > >> > - Qualquer fracao de comprimento 1 pode ser gerada simplesmente aplicando >> > a operacao E tantas vezes quantas forem necessarias. E tambem nao e >> > possivel fazer isso de outra maneira, pois a operacao O aumentara o >> > comprimento de maneira irreversivel. >> > >> > - Dada uma fracao com comprimento K, temos duas sub inducoes para fazer: >> > >> > + A fracao tem comprimento K e comeca com 0. >> > >> >  Entao ela foi gerada por uma operacao O. O elemento que a gerou tinha >> > menos componentes, os quais satisfazem a hipotese de inducao. >> > >> > + A fracao tem comprimento K e comeca com algo maior que 0. >> > >> > Entao ela foi gerada por uma operacao E. A fracao da qual ela foi gerada >> > difere unicamente no primeiro elemento, o qual antes era menor. Assim >> > sendo, e possivel reduzir isso ate chegar no caso anterior. >> > >> > E isso demonstra recursivamente a unicidade e existencia! >> > >> > >> > >> >> -- >> >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e >> >> acredita-se estar livre de perigo. >> > >> > >> > -- >> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> > acredita-se estar livre de perigo. >> > >> > >> > -- >> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: Equações funcionais
Foi da OBM 2006, nível 3, 3° fase: “Determine todas as funções f: R -> R tais que f( xf(y) + f(x) ) = 2f(x) + xy para todos x,y reais” -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Sequência Injetiva
Esse problema caiu na Olimpíada Iberoamericana de 2009 que eu participei. Foi o problema 5 da prova e lá pedia para provar injetividade e sobrejetividade. Em qua, 17 de fev de 2021 00:16, Anderson Torres < torres.anderson...@gmail.com> escreveu: > Em dom., 14 de fev. de 2021 às 17:20, Claudio Buffara > escreveu: > > > > Será que essa sequência é sobrejetiva (sobre os racionais positivos)? > > Porque como a(2^n) = n+1, ela certamente atinge todos os naturais, de > modo que é ilimitada, superiormente e inferiormente (já que a(2^n + 1) = > 1/(n+1) ). > > Mesmo que não seja, seria interessante descobrir que racionais positivos > ela não atinge. > > É suficiente provar que todos os racionais entre 0 e 1 são atingidos (no > caso, pelos termos de ordem ímpar), mas não sei se isso facilita. > > Vale uma exploração numérica, talvez com uma planilha. > > > Se eu não errei as contas, acredito que sim. Afinal basta reverter a > fracao continua. > > As operacoes parecem ser bem limitadas, contudo nao e necessario muito > mais que isso para gerar um racional qualquer: > > - Função INC: x -> x+1 > - Função REV: x -> 1/x > > Talvez haja algum invariante que permita prever que cada operacao esta > fadada a cair em 1 > > > > > > > Abs, > > Claudio. > > > > Enviado do meu iPhone > > > > Em 14 de fev. de 2021, à(s) 13:57, Anderson Torres < > torres.anderson...@gmail.com> escreveu: > > > > > > > > > > Em sáb., 13 de fev. de 2021 à s 17:56, Jeferson Almir < > jefersonram...@gmail.com> escreveu: > >> > >> Amigos, peço ajuda em provar a injetividade dessa sequência que seria > uma saÃda para provar a unica ocorrência do racional que aparece nela. > Estou andando em cÃrculos tentando montar uma possÃvel indução. > >> > >> > >> Dado a sequência a_1 = 1 e a_2n = a_n  + 1 e a_2n+1 = 1/a_2n. > >> > >> Prove que para todo racional positivo que ocorre na sequência, ocorre > uma única vez. > >> > >> > > > > Acho que e uma boa usar fracao continua aqui. > > > > Se a_n = [c0; c1, c2, ..., ck], temos entao a_1 = [1] e > > > > a_2n = [(1+c0); c1, c2, ..., ck] (chamemos isso de operacao E) > > a_2n+1 = [0; (1+c0), c1, c2, ..., ck] (chamemos isso de operacao O) > > > > > > A partir disso, acredito que a bijecao fica quase obvia, bastando > formalizar algumas inducoes marotas. > > > > Primeiramente, nenhuma representacao da forma [...,N,1] vai surgir dai a > partir de a_2. Isso pode ser demonstrado por inducao mesmo: ck=1 somente > no caso [1], e depois dele a funcao a_n so modifica o comeco da cadeia, > nunca o final dela. > > > > Assim sendo, temos certeza que nao tem como um racional aparecer uma vez > na forma canonica e outra na forma alternativa. E, por conseguinte, se duas > fracoes tem comprimentos diferentes, elas devem ser diferentes. E fracoes > com comprimentos iguais diferem se e somente se pelo menos um dos > componentes diferir. > > > > Agora, a funcao recursiva age de duas formas. Uma delas altera o > comprimento em 1, e a outra mantém. A que altera, só altera acrescentando > o 0 na cabeceira. A que não altera, incrementa a cabeceira. > > > > Desta forma, é possÃvel gerar de maneira unica qualquer numero > racional comecando do 1. > > > > - Qualquer fracao de comprimento 1 pode ser gerada simplesmente > aplicando a operacao E tantas vezes quantas forem necessarias. E tambem > nao e possivel fazer isso de outra maneira, pois a operacao O aumentara o > comprimento de maneira irreversivel. > > > > - Dada uma fracao com comprimento K, temos duas sub inducoes para fazer: > > > > + A fracao tem comprimento K e comeca com 0. > > > >  Entao ela foi gerada por uma operacao O. O elemento que a gerou tinha > menos componentes, os quais satisfazem a hipotese de inducao. > > > > + A fracao tem comprimento K e comeca com algo maior que 0. > > > > Entao ela foi gerada por uma operacao E. A fracao da qual ela foi gerada > difere unicamente no primeiro elemento, o qual antes era menor. Assim > sendo, e possivel reduzir isso ate chegar no caso anterior. > > > > E isso demonstra recursivamente a unicidade e existencia! > > > > > > > >> -- > >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e > >> acredita-se estar livre de perigo. > > > > > > -- > > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > > acredita-se estar livre de perigo. > > > > > > -- > > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > > acredita-se estar livre de perigo. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > = > Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > = > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: Equações funcionais
Eu gostaria de saber da origem desse problema... Em dom., 14 de fev. de 2021 às 14:32, joao pedro b menezes < joaopedrobmene...@gmail.com> escreveu: > Obrigado pela resposta, mas ainda tenho umas dúvidas. Poderia dar um > exemplo de tal função ou explicar como construí-la? E se f fosse somente > injetora, mudaria alguma coisa? > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Sequência Injetiva
Em dom., 14 de fev. de 2021 às 17:20, Claudio Buffara escreveu: > > Será que essa sequência é sobrejetiva (sobre os racionais positivos)? > Porque como a(2^n) = n+1, ela certamente atinge todos os naturais, de modo > que é ilimitada, superiormente e inferiormente (já que a(2^n + 1) = 1/(n+1) ). > Mesmo que não seja, seria interessante descobrir que racionais positivos ela > não atinge. > É suficiente provar que todos os racionais entre 0 e 1 são atingidos (no > caso, pelos termos de ordem ímpar), mas não sei se isso facilita. > Vale uma exploração numérica, talvez com uma planilha. Se eu não errei as contas, acredito que sim. Afinal basta reverter a fracao continua. As operacoes parecem ser bem limitadas, contudo nao e necessario muito mais que isso para gerar um racional qualquer: - Função INC: x -> x+1 - Função REV: x -> 1/x Talvez haja algum invariante que permita prever que cada operacao esta fadada a cair em 1 > > > Abs, > Claudio. > > Enviado do meu iPhone > > Em 14 de fev. de 2021, à(s) 13:57, Anderson Torres > escreveu: > > > > > Em sáb., 13 de fev. de 2021 à s 17:56, Jeferson Almir > escreveu: >> >> Amigos, peço ajuda em provar a injetividade dessa sequência que seria uma >> saÃda para provar a unica ocorrência do racional que aparece nela. Estou >> andando em cÃrculos tentando montar uma possÃvel indução. >> >> >> Dado a sequência a_1 = 1 e a_2n = a_n  + 1 e a_2n+1 = 1/a_2n. >> >> Prove que para todo racional positivo que ocorre na sequência, ocorre uma >> única vez. >> >> > > Acho que e uma boa usar fracao continua aqui. > > Se a_n = [c0; c1, c2, ..., ck], temos entao a_1 = [1] e > > a_2n = [(1+c0); c1, c2, ..., ck] (chamemos isso de operacao E) > a_2n+1 = [0; (1+c0), c1, c2, ..., ck] (chamemos isso de operacao O) > > > A partir disso, acredito que a bijecao fica quase obvia, bastando formalizar > algumas inducoes marotas. > > Primeiramente, nenhuma representacao da forma [...,N,1] vai surgir dai a > partir de a_2. Isso pode ser demonstrado por inducao mesmo: ck=1 somente no > caso [1], e depois dele a funcao a_n so modifica o comeco da cadeia, nunca o > final dela. > > Assim sendo, temos certeza que nao tem como um racional aparecer uma vez na > forma canonica e outra na forma alternativa. E, por conseguinte, se duas > fracoes tem comprimentos diferentes, elas devem ser diferentes. E fracoes com > comprimentos iguais diferem se e somente se pelo menos um dos componentes > diferir. > > Agora, a funcao recursiva age de duas formas. Uma delas altera o comprimento > em 1, e a outra mantém. A que altera, só altera acrescentando o 0 na > cabeceira. A que não altera, incrementa a cabeceira. > > Desta forma, é possÃvel gerar de maneira unica qualquer numero racional > comecando do 1. > > - Qualquer fracao de comprimento 1 pode ser gerada simplesmente aplicando a > operacao E tantas vezes quantas forem necessarias. E tambem nao e possivel > fazer isso de outra maneira, pois a operacao O aumentara o comprimento de > maneira irreversivel. > > - Dada uma fracao com comprimento K, temos duas sub inducoes para fazer: > > + A fracao tem comprimento K e comeca com 0. > >  Entao ela foi gerada por uma operacao O. O elemento que a gerou tinha > menos componentes, os quais satisfazem a hipotese de inducao. > > + A fracao tem comprimento K e comeca com algo maior que 0. > > Entao ela foi gerada por uma operacao E. A fracao da qual ela foi gerada > difere unicamente no primeiro elemento, o qual antes era menor. Assim sendo, > e possivel reduzir isso ate chegar no caso anterior. > > E isso demonstra recursivamente a unicidade e existencia! > > > >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Somatório
Como a função x ---> 1/x3 , x > 0, é postiva e estritamente decrescente, para todo inteiro positivo n temos que Soma(1, n) 1/k^3 = 1 + Soma(2, n) 1/k^3 < 1 + Integral (2,n) 1/x^3 dx < 1 + Integral (2, oo) 1/x^3 dx = 1 + [-1/(2x^2)] [2, oo) = 1 + 1/1/8 = 9/8 < 10/8 = 5/4 Em ter., 16 de fev. de 2021 07:23, escreveu: > Seja n um inteiro positivo. Prove que: > > Somatório(1/k^3)<5/4 , k=1 até n > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > = > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Somatório
Seja n um inteiro positivo. Prove que: Somatório(1/k^3)<5/4 , k=1 até n -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
