Esse problema caiu na Olimpíada Iberoamericana de 2009 que eu participei. Foi o problema 5 da prova e lá pedia para provar injetividade e sobrejetividade.
Em qua, 17 de fev de 2021 00:16, Anderson Torres < torres.anderson...@gmail.com> escreveu: > Em dom., 14 de fev. de 2021 às 17:20, Claudio Buffara > <claudio.buff...@gmail.com> escreveu: > > > > Será que essa sequência é sobrejetiva (sobre os racionais positivos)? > > Porque como a(2^n) = n+1, ela certamente atinge todos os naturais, de > modo que é ilimitada, superiormente e inferiormente (já que a(2^n + 1) = > 1/(n+1) ). > > Mesmo que não seja, seria interessante descobrir que racionais positivos > ela não atinge. > > É suficiente provar que todos os racionais entre 0 e 1 são atingidos (no > caso, pelos termos de ordem ímpar), mas não sei se isso facilita. > > Vale uma exploração numérica, talvez com uma planilha. > > > Se eu não errei as contas, acredito que sim. Afinal basta reverter a > fracao continua. > > As operacoes parecem ser bem limitadas, contudo nao e necessario muito > mais que isso para gerar um racional qualquer: > > - Função INC: x -> x+1 > - Função REV: x -> 1/x > > Talvez haja algum invariante que permita prever que cada operacao esta > fadada a cair em 1 > > > > > > > Abs, > > Claudio. > > > > Enviado do meu iPhone > > > > Em 14 de fev. de 2021, à(s) 13:57, Anderson Torres < > torres.anderson...@gmail.com> escreveu: > > > > > > > > > > Em sáb., 13 de fev. de 2021 à s 17:56, Jeferson Almir < > jefersonram...@gmail.com> escreveu: > >> > >> Amigos, peço ajuda em provar a injetividade dessa sequência que seria > uma saÃda para provar a unica ocorrência do racional que aparece nela. > Estou andando em cÃrculos tentando montar uma possÃvel indução. > >> > >> > >> Dado a sequência a_1 = 1 e a_2n = a_n  + 1 e a_2n+1 = 1/a_2n. > >> > >> Prove que para todo racional positivo que ocorre na sequência, ocorre > uma única vez. > >> > >> > > > > Acho que e uma boa usar fracao continua aqui. > > > > Se a_n = [c0; c1, c2, ..., ck], temos entao a_1 = [1] e > > > > a_2n = [(1+c0); c1, c2, ..., ck] (chamemos isso de operacao E) > > a_2n+1 = [0; (1+c0), c1, c2, ..., ck] (chamemos isso de operacao O) > > > > > > A partir disso, acredito que a bijecao fica quase obvia, bastando > formalizar algumas inducoes marotas. > > > > Primeiramente, nenhuma representacao da forma [...,N,1] vai surgir dai a > partir de a_2. Isso pode ser demonstrado por inducao mesmo: ck=1 somente > no caso [1], e depois dele a funcao a_n so modifica o comeco da cadeia, > nunca o final dela. > > > > Assim sendo, temos certeza que nao tem como um racional aparecer uma vez > na forma canonica e outra na forma alternativa. E, por conseguinte, se duas > fracoes tem comprimentos diferentes, elas devem ser diferentes. E fracoes > com comprimentos iguais diferem se e somente se pelo menos um dos > componentes diferir. > > > > Agora, a funcao recursiva age de duas formas. Uma delas altera o > comprimento em 1, e a outra mantém. A que altera, só altera acrescentando > o 0 na cabeceira. A que não altera, incrementa a cabeceira. > > > > Desta forma, é possÃvel gerar de maneira unica qualquer numero > racional comecando do 1. > > > > - Qualquer fracao de comprimento 1 pode ser gerada simplesmente > aplicando a operacao E tantas vezes quantas forem necessarias. E tambem > nao e possivel fazer isso de outra maneira, pois a operacao O aumentara o > comprimento de maneira irreversivel. > > > > - Dada uma fracao com comprimento K, temos duas sub inducoes para fazer: > > > > + A fracao tem comprimento K e comeca com 0. > > > >  Entao ela foi gerada por uma operacao O. O elemento que a gerou tinha > menos componentes, os quais satisfazem a hipotese de inducao. > > > > + A fracao tem comprimento K e comeca com algo maior que 0. > > > > Entao ela foi gerada por uma operacao E. A fracao da qual ela foi gerada > difere unicamente no primeiro elemento, o qual antes era menor. Assim > sendo, e possivel reduzir isso ate chegar no caso anterior. > > > > E isso demonstra recursivamente a unicidade e existencia! > > > > > > > >> -- > >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e > >> acredita-se estar livre de perigo. > > > > > > -- > > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > > acredita-se estar livre de perigo. > > > > > > -- > > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > > acredita-se estar livre de perigo. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > ========================================================================= > Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > ========================================================================= > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
