Para isso, eh suficiente conhecer a expansao de Taylor do arcsenx em
torno do ponto x=0.
a)Note que arcsenx eh a integral indefinida de (1-x^2)^(-1/2), cuja
série voce obtem pelo binomio de Newton.
b)Sendo u = arcsen x, y=u^2 implica y' = 2uu', e em geral, a derivada
n-esima de y'/2 eh
Meus parabens ao pessoal do Brasil!! Em especial para o Yuri, pelo
excelente resultado, e para Alex, Stein e Humberto, que embora tenham ficado
com a prata pelo jeito mereciam o ouro!
Abraços a todos!
Marcio
- Original Message -
From: alex.abreu [EMAIL PROTECTED]
To: obm-l
Oi
gente.. Tentei fazer as questoes do 1o dia da imc. Estamos ansiosospor
noticias de como o pessoal esta indo na prova! Ao contrario da IMO, naIMC
nao eh o lider que corrige as provas do pais. Ele participa da banca deuma
determinada questao e depois participa da revisao de notas dos
Claro que não. Pegue um exemplo qualquer tipo f(x,y,z) = -x^2 e
provavelmente voce já vai se dar conta de que nao tem relacao nenhuma.
- Original Message -
From: leonardo mattos [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Friday, July 02, 2004 11:01 PM
Subject: [obm-l] polinomio
Não consigo dizer se voce está certo ou errado. A conclusão está correta
(a resposta é de fato o equilátero), mas eu pelo menos não consegui enxergar
nenhuma ligação direta entre o fato de a área ser A = abc/4R e o seu máximo
ser atingido no equilátero.. Por que o fato de se ter A = abc / 4r
É bem simples formalizar que
essa equação só tem uma raiz negativa (2^x - x^2 eh crescente e vem de -oo até
1), mas nao eh tao obvio assim a formalizacao de que no total só temos tres
raizes. Uma maneira de formalizar eh a q se segue:
Seja f(x) = 2^x - x^2.
Como f(-1) = 1/2 - 1 0 e f(0)
É bem simples formalizar que
essa equação só tem uma raiz negativa (2^x - x^2 eh crescente e vem de -oo até
1), mas nao eh tao obvio assim a formalizacao de que no total só temos tres
raizes. Uma maneira eh a q se segue:
Seja f(x) = 2^x - x^2.
Como f(-1) = 1/2 - 1 0 e f(0) = 1 0, f tem
Inicialmente, veja que a desigualdade das medias potenciais M(7)=M(5)
implica (x^7 + y^7) = 2[(x^5 + y^5)/2]^(7/5), de modo que:
(x^7+y^7)/(x^5+y^5) = [(x^5+y^5)/2]^(2/5) = [(x+y)/2]^2 (na ultima
passagem usei M(5)=M(1))
Portanto, LE = [(a+b)/2]^2 + [(c+b)/2]^2 + [(a+c)/2]^2
Mas,
Dado um vetor u =(u1, u2, ...,
un) de coordenadas reais nao negativas, define-se T(u) da seguinte forma:
Pegamos u_i,a menor das coordenadas de u e u_j, a maior delas (em ambos os
casos, se houver mais de um, pega-se o de menor indice) e trocamos ambas pela
média (u_i + u_j)/2.
Mostre
:
Finalmente publicamos o resultado da VI OIMU
no site da OBM.
Confiram também as provas, soluções e resultados
internacionais.
Abraços, Nelly.
Resultado Brasileiro:
Humberto Silva Naves Ouro (S.J. dos Campos - SP)
Marcio Afonso Assad Cohen Prata (Rio de Janeiro - RJ)
Carlos
Nao cheguei a escrever no papel, mas essa solucao parece estar perfeita.
Legal! Foi a solucao do Leandro, de Fortaleza, uma das mais bonitas da
prova. Eu fiz uma solucao bem mais feinha soh pra mostrar pra eles que dava
pra fazer por complexos sem nem desenhar a figura..
Legal!! Tentem o 3
Em parte. Tudo que voce diz eh
verdade, mas eu exigiria uma explicacao um pouquinho melhor de pq n! eh maior
que n^2. Mas a ideia eh otima e funciona. Eu acho qfaria algo como: p/
n3,1! + 2! + ... + n! = n! + (n-1)!+1 n(n-1) + (n-1) + 1 =
n^2.
Uma outra opcao eh olhar mod
10.
-
Tome r = (r1+r2)/2. Acho que nao
era exatamente esse o enunciado que voce queria :)
- Original Message -
From:
Marcelo
Augusto Pereira
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Saturday, April 24, 2004 6:20
PM
Subject: [obm-l] Exercício
Mostrar que se r1 e r2 são
Em geral esse tipo de questão pede por uma resposta que envolva apenas
os dados do enunciado.. Quando se deseja que a resposta fique em função de
BC por exemplo, é comum dizer algo como Conidere BC = a..
Num outro email foi discutida a opcao de se usar trigonometria em
problemas de
Continuo achando que a letra (a) eh verdadeira (embora ache que esse
tipo de questao nao seja lah tao importante). Por exemplo, dado S'={{},
1,3,{5},{7,8}}, seria bem natural dizer que {} pertence a S. Retirando o {}
de S', obteriamos o conjunto S dado e faria sentido dizer que {} nao
] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] pertinência
Se {} fosse um elemento de S, este conjunto teria 5 elementos e não 4.
-Mensagem Original-
De: Marcio Afonso A. Cohen [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED]
Enviada em: quarta-feira, 10 de março de 2004 08:36
Assunto: [obm-l] Re
Sim. Como voce fala em derivada para todo x, a hipotese de continuidade
na verdade deve ser de diferenciabilidade. Seja h(x) = f(x) - g(x). Entao,
h'(x) 0 sempre, donde h eh uma funcao estritamente crescente, de modo que
a equacao h(x) = 0 pode ter no maximo uma solucao. Nao vejo a
Bom gente, eu mandei esse
problema pra lista, acompanhei os emails do Arthur, do Cláudio e do Nicolau
sobre ele, inclusive chegando a solucao final. Legal. Segue abaixo uma outra
solucao, bastante interessante, para o problema. (o fanático por
polinomios de chebyshev da lista vai adorar :)
Onde está inteiro, leia-se racionais.
- Original Message -
From:
Marcio Afonso A. Cohen
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Thursday, January 29, 2004 11:09
PM
Subject: [obm-l]
arccos((raiz(5)-1)/2)
Bom gente, eu mandei esse
problema pra lista, acompanhei os
Oi Álvaro! Eu dei uma aula justamente sobre a aplicação de numeros
complexos na geometria euclidiana na ultima semana olimpica. Voce pode
baixar o conteudo da aula em www.obm.org.br . Qualquer dificuldade em
resolver os problemas, pode perguntar. Vale a pena tambem ver o artigo do
Edmilson,
Oi Domingos, no meu último email para essa lista eu mostrei que se a e b
sao algebricos, entao a+b e ab tmb sao, adaptando a ideia que o Carlos usou
para resolver a questao 5 da obm-u do ano passado.. De uma lida nesse email
e tente adaptar (note que eh muito parecido dizer que a satisfaz a^n
Oi Arthur, tudo bem?
Eu vi a demonstracao de que os nrs algebricos sao fechados para soma e
multiplicacao num livro chamado Numeros irracionais e transcedentes, de
Djairo Figueiredo. Eu achei o livro interessante, pois nele eu vi pela
primeira vez a demonstracao de que Pi era transcendente
Mostre
que o numero [arccos((sqrt(5)-1)/2 )] / pi eh
irracional.
Bom, o Morgado e o Claudio ja
comentaram que o que se pode afiramar eh que BA eh sempre nao inversivel. Isso
ja foi inclusive provado aqui na lista se nao em engano. Esse problema ja caiu,
dessa forma, no vestibular do IME, e de uma forma mais generica no vestibular da
Unicamp. Uma solucao
Bom, o Morgado e o Claudio ja
comentaram que o que se pode afiramar eh que BA eh sempre nao inversivel. Isso
ja foi inclusive provado aqui na lista se nao em engano. Esse problema ja caiu,
dessa forma, no vestibular do IME, e de uma forma mais generica no vestibular da
Unicamp. Uma solucao
Mostre
que o numero [arccos((sqrt(5)-1)/2 )] / pi eh
irracional.
Na hora da prova eu interpretei errado o problema e acabei fazendo um
mais legal!! Pensem na seguinte variação desse problema:
Um tenista tem 30 dias para prepar-se para um torneio. Se ele treina 3 dias
seguidos, ele tem fadiga muscular e nao pode treinar o proximo. Ele entao
decide que irá
Nessa semana, excepcionalmente,
nao havera reuniao de treinamento na terca feira no impa.
Abracos,
Marcio
Mostre como escrever qualquer
inteiro n utilizando-seexatamente 3 algarismos, todos iguais a 2, e
operações elementares (soma, subtração, multiplicação, divisão, log,
exponencial, etc...).
Por exemplo,1 = 2^(2-2), 2
= 2+ 2 - 2, 3 = 2+(2/2), ..., generalize.
Abraços,
Marcio
Somando (2) e (3), x = (2+m)/2.
Subtraindo-as, y = (2-m)/2. O sistema eh possivel sse essas equacoes satisfazem
(1). Substituindo:
m(2+m) + (2-m) = 2 sse m^2 + m = 0 sse m=0 ou m=-1.
Para m diferente disso, o
sistema é impossível (pois não há solução).
[]'s
- Original Message
Na verdade, nao acho que isso seja exatamente um problema da questao...
Se P eh o vertice da parabola, entao as retas do problema ficam
paralelas.. Pode-se dizer que elas se encontram num ponto da reta do
infinito por onde a nossa hiperbole tmb passa (veja a direcao da assintota).
Alem
Bom, a mensagem original nao eh
minha, mas a ideia eh muito parecida com a sua solucao original. Seja P o ponto
de encontro de duas das 4 circunferencias circunscritas. Pelo
teorema da reta de simpson, as 4 projecoes de P nas retas dadas sao colineares
(vc deve considera-las em dois grupos
Oi Domingos. Nao cheguei a ler a sua solucao toda, apenas dei uma olhada
em diagonal, mas ela parece estar certa. Inclusive, essa generalizacao foi
exatamente a solucao do Carlos na prova do ano passado (pelo que eu
conversei com ele), com uma abordagem extremamente parecida com a sua. Bem
Acabaram de sair as notas de
corte para a ultima fase no site da obm!
Marcio
Porque o numero de termos eh arbitrariamente grande.
- Original Message -
From: Felipe Pina [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Wednesday, October 01, 2003 11:32 PM
Subject: [obm-l] Sequencias de Cauchy
Gostaria que alguém esclarecesse a segunite dúvida.
Seja
XY - X - Y = 0 =
XY - X - Y + 1 = 1 =
(Y-1)(X-1)=1 = Y-1 = -1 ou Y-1 = 1.
- Original Message -
From: Carlos [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Tuesday, September 30, 2003 8:32 PM
Subject: [obm-l] Equação
Um aluno me passou uma equação de 1. Grau com duas
incôgnitas.
Quais
Meus parabéns ao Fábio, ao Alex, ao Morgado e aos demais participantes
da lisdta belo resultado! Muito legal o fato de dois alunos fecharem a
prova! Parabéns!
Abracos,
Marcio
PS: O banco da Ibero tambem precisa ficar em segredo durante um certo tempo?
Ou ele pode ser divulgado
Bom, voce jamais deve usar uma frase como essa: Isso nao eh usado em
nenhum lugar do mundo. No seu caso especifico, a frase eh falsa. Isso é
usado sim, bastante até! Por exemplo, quando se esta analisando carteiras de
acoes, em que os juros podem ser reinvestidos praticamente
Foi 24 na primeira fase, e no ano retrasado foi 15.
- Original Message -
From: Eduardo Casagrande Stabel [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Saturday, September 13, 2003 9:34 PM
Subject: [obm-l] QUESTÃO OBM-U
Olá!
Não vou falar sobre questão alguma. O título é só para
Seguem alguns comentarios rapidos sobre esse
problema.. Eh provavel que eu tenha errado as contas (nao conferi e fiz meio
rapido), mas desse jeito foi bom que a resposta ficou simpatica..
Chame de x(n) as palavras de n letras sem dois A's
adjacentes.
Quantas palavras x(n+2) existem?
Se a
Espero que esteja certo, de uma conferida..
Se a eh irracional positivo, olhe para as aproximacoes por fracoes
continuas de a.
Temos a = a0 + 1/[a1 + 1/[a2+ e as reduzidas p_n/q_n (p0/q0 = a0,
p1/q1= a0+1/a1, p2/q2=a0+1/[a1+1/a2]... )
com n par satisfazem 0 a - p_n/q_n (1/q_n)^2
Apenas confirmando, seremos eu e o Rodrigo Villard juntos. A gente vai
levar uma lista de problemas, metade temática (estilo semana olimpica) e o
resto sortido. O horario eh 14hs.
Abracos,
Marcio
- Original Message -
From: Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira [EMAIL
Seja eps 0 dado.
Existe N tq nN implica |a(n) - a| eps.
Seja A = |a(1)+a(2)+...+a(N) - Na|
Agora, fixando N, eps, A, temos que para todo natural n N:
0=(1/n)*|a(1) + a(2) + ... + a(n) - na| = [A +
|a(N+1)-a|+|a(N+2)-a|+...+|a(n)-a|]/n [A + (n-N)eps]/n
Tomando o limite quando n-oo dos dois
Esse problema ocupou minha cabeca durante boa parte de uma palestra
chata que eu tive que assitir hoje. Consegui fazer no finalzinho da
palestra. Eh um bom treino para o pessoal que vai fazer a 2a fase da obm
agora (em particular aos que vao fazer a 1a fase da obm-u).
Numa
Desse jeito que esta escrito,
basta fazer o que o Fabio disse.. Acredito que o determinante que voce procura
tenha um "X" na ultima coluna, ao lado do -1. Nesse caso fica mais interessante.
Uma sugestao legal eh voce fazer os casos pequenos, conjecturar a resposta e
provar por inducao..
Espero que isso nao seja
interpretado comomuito off-topic.
Eh bastante provavel que
saia hoje, no Jornal Nacional, uma reportagem (ou talvez uma simples menção) a
prova da olimpiada internacional de matemática universitaria (IMC) que ocorreu
agora na Romenia, e o resultado do Brasil na
Se nao me engano, essa questao
caiu na prova de admissao para a Escola Navalde 1998/1999, quando eu era
vestibulando. Nenhuma das opcoes correspondia ao valor correto, e por isso a
questao foi oficialmente anulada.
- Original Message -
From:
Webmaster - Centrodador
To:
É verdade! Valeu!
Marcio
- Original Message -
From: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Saturday, July 19, 2003 4:49 PM
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] IMO - P1
Oi Marcio,
Soh hj eu li seu email, depois que eu tbm consegui fazer a questão.
Tem apenas um detalhe que vc não
Eu sei que ninguem gosta muito disso, mas esse problema 4 (que eu ateh
imagino que nao seja dificil por plana) eh bem simples na conta bruta.. Eh
impressionante como complexos ajudam nos problemas de geometria da imo..
aquele artigo da eureka 6 eh realmente muito util!
Coloque o
Acho que consegui fazer o 1o. Confiram ai e vejam se tem algum furo. O
2o eu realmente nao estou conseguindo.. Estou com alguma esperanca de fazer
o 5.. (o 3 eu tentei tmb, mas minhas contas estao muito grandes). Mandem
seus comentarios sobre a prova!
P1:
Note que (Ai inter Aj) != vazio
) #
#
On Tue, 15 Jul 2003, Marcio Afonso A. Cohen wrote:
Eu sei que ninguem gosta muito disso, mas esse problema 4 (que eu
ateh
imagino que nao seja dificil por plana) eh bem simples na conta bruta..
Eh
impressionante como complexos ajudam nos problemas de geometria da
Que triste! Depois de passar boa parte da madrugada catando os problemas
da imo2003, acabo de receber uma msg de outra lista dizendo que eles estao
online.. Justamente na hora que eu preciso sair.. bom, fica como diversao
para o pessoal da lista.. eu vou ter que, infelizmente, esperar um
Nao estou conseguindo fazer a
seguinte questao, do livro de combinatoria do Morgado:
Um enxadrista joga partidas de xadrez durante onze
semanas consecutivas. Sabe-se que ele sempre joga ao menos uma partida por dia,
e jamais joga mais de 12 partidas em uma semana. Mostre que existe um
A questao eh perfeitamente coerente. Agora nao
eh mais matematica.. Eh o minimo de logica.O fato ehque nao deu para
VOCE entender o que a questao pede. Isso nao significa que a questao seja sem
coesao.
14.625 = 117/8 = Inteiro / n.
Logo, n = Inteiro * 8 /117.
Como mdc(8,117) = 1, o menor n
Deparei-me com essa questao
enquanto estudava uma prova antiga de uma olimpiada (imc). Embora tenha a
solucao em (imc-math.org), achei a questao bem interessante e resolvi coloca-la
aqui para que voces pensem nela.. Eu nao consegui fazer quando tentei e
acabeicedendo a tentacao de olhar a
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