Re:[obm-l] Provas da Cone Sul(vamos resolve-las!!!!!)
Oi turmaConsegui fazer esse com os poderes da trigonometria.Vejam so a maravilha de conta logo abaixo.As sagradas Leis dos Senos nao foram explicitadas pra nao sobrecarregar demais...:Fábio Dias Moreira [EMAIL PROTECTED] wrote: -BEGIN PGP SIGNED MESSAGE-Hash: SHA1Em Qui 29 Mai 2003 16:16, Thiago Sobral escreveu: Aih vai a 3aa entaum.. 3.Seja ABC um triângulo acutângulo tal que o ângulo B mede 60º. A circunferência de diâmetro AC intersecta as bissetrizes internas de A e C nos pontos M e N respectivamente (M != A, N != C). A bissetriz interna do ângulo B intersecta MN e AC nos pontos R e S, respectivamente. Demonstrar que BR = RS. [...] Sejam X e Y os pontos onde a reta MNencontra BA e BC(resp.).Seja a=MAC e g=NAC.Seja I o incentro de ABC.As bissetrizes sao AR,BS e CT. Por bissetrizes a gente acha alguns angulos:BAC=2a,BCA=2g.E ja que o outro angulo e 60,ve-se que a+g=60.E com isso NIC=60°.Como AC e diametro ANC=90°.Assim ICN=30 e NCY=30-g,assim MNA=g e CYN=60,logo BR e perpendicular a XY A desigualdade proposta inicialmente e meio feia.Vamos melhorar:BR=RS e o mesmo que 2BR=BS.Esses caras sao mais faceis de achar que os outros.Esse sera nosso plano. BR/BY=cos 30.Vamos calcular CY para ajudar,pois BY=BC-CY CY/sen(90+g)=CN/sen60 ou CY=CN*cos g/cos 30. CN/CA=sen a,CN=CA*sen a. CY=CA*sen a*cos g/cos 30 BC/sen 2a=CA/sen 60,BC=CA*sen 2a/sen 60 BY=CA* 2*sen a*cos a/cos 30-CA*sen a*cos g/cos 30 BY=sen a*CA/sen 60(2*cos a-cos g)=sen a*CA/sen 60*2*sen 60*sen g=2*CA*sen a*sen g BR=BY*sen 60=2*CA*sen 60*sen a*cos (30+a). Vamos calcular BS: BS/sen 2a=BA/sen (30+2a),e BS=BA*sen 2a/sen(30+2a).E BA=CA*sen(60+2a)/sen 60. BS=CA*sen (60+2a)*sen 2a/sen(30+2a)*sen 60 Queremos que 2*2*sen 60*sen a*cos(30+a)=sen(60+a)*sen 2a/sen60*sen(30+2a). 3 sen a cos(30+a) cos(60-2a)=sen(60+a) sen 2a 6sen(30+2a) cos(30+a)=4 sen(60+a) cos a 3 sen(60+3a)+3 sen a=2 sen (60+2a)+2 sen 60 Agora e so abrir e correr pro abraço!Yahoo! Mail Mais espaço, mais segurança e gratuito: caixa postal de 6MB, antivírus, proteção contra spam.
Re: RES: [obm-l] Provas da Cone Sul(vamos resolve-las!!!!!)
Eu tinha feito de um modo bem parecido.A diferença da minha generalizaçao e a sua,bem mais potente,e de que o expoente pode ser qualquer funçao maluca de n e com valores naturais.Por exemplo ,o expoente constante.Basta testar uns casos pequenos!!Alex Abreu [EMAIL PROTECTED] wrote:
Prob 6)
Prove que existe uma permutação dos inteiros (x_i) tq Sum[x_i,{i,1,n}] = S_n eh multiplo de n^n
Construa x_i dá seguinte maneira:
x_1=1
e suponha que sabemos x_1,x_2,..,x_(n-1) então definimos x_(n+1) como sendo o menor número q ainda não apareceu digamos k. Vamos agora achar x_(n)
temos que x_n = -S_(n-1) (mod n^n) e x_n = - S_n -x_(n+1) (mod (n+1)^(n+1)) como n e n+1 são primos entre si, pelo Teo chines dos restos existe classe de congruencia x satisfazendo as equações acima e eh soh tomarmos x_n grande o suficiente de maneira que x_n /= x_i para i = 1,2,3,,n-1,n+1 e x_n = x (mod n^n*(n+1)^(n+1)) e eh fácil ver que cada inteiro positivo aparece exatamente uma vez.
Dava para generalizar para, em vez de n^n, f(n) onde mdc(f(n),f(n+1))=1 para infinitos n's.
Alex Correa Abreu
-Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]Em noome de Johann Peter Gustav Lejeune DirichletEnviada em: quinta-feira, 29 de maio de 2003 13:56Para: [EMAIL PROTECTED]Assunto: [obm-l] Provas da Cone Sul(vamos resolve-las!)
E ai turma,que tal a gente resolver a provba da Cone Sul??Olimpiada Brasileira de Matematica [EMAIL PROTECTED] wrote:
Caros(as) amigos(as) da lista,Ja' estao no nosso arquivo de provas os testes do 1 e 2 diasda XIV Olimpiada de Matematica do Cone Sul.http://www.obm.org.br/provas.htmAbracos, Nelly.=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=
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Re: [obm-l] Provas da Cone Sul(vamos resolve-las!!!!!)
PuxaO pior e que eu nem tive muito tempo de mandar meus parabens pessoalmente ao Fabio Moreira.Alias ele ficou devendo o problema do supercomposto Parabens Fabio!!!Parabens ao "A. C. Morgado" [EMAIL PROTECTED] wrote: Esquecemos de dar os parabens aos representantes do Brasil pela brilhante participação na Cone Sul. Em especial, ao Fábio, que é participante ativo da lista.Parabens!Fábio Dias Moreira wrote: -BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 On Thursday 29 May 2003 18:00, João Gilberto Ponciano Pereira wrote: [...] A prova está no número de tangências de caba bolinha branca com bolinhas vermelhas na borda (2 no máximo) e no interior (3 no máximo). Vou tentar formalizar algo mais concreto e envio. [...] Também tive essa idéia durante a prova, mas ela fura: * . . . * . * . . * . . * . . . * . . * . * . . * . . * * . . * . * . . . . * . * . * . . . . . . * . * . * . * O primeiro arranjo cumpre a condição de que cada bola não pintada tem o número máximo de vizinhos (2 na borda, 3 no centro), mas o segundo tem o mesmo número de bolas, não tem bolas tangentes pintadas, e as bolas brancas centrais tem apenas dois vizinhos. No caso geral, porquê eu não posso pegar o seu arranjo, mexer algumas bolas, reduzir o número de tangências e abrir espaço para mais uma bola? []s, - -- Fábio "ctg \pi" Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.0.6 (GNU/Linux) Comment: For info see http://www.gnupg.org iD8DBQE+2hgZalOQFrvzGQoRAuKpAKC7esZAw5lzPA7z6oLR6o/+OrV2sACg3dAl MmwPmIoYyrAdGngQWOLCX6o= =whZg -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Yahoo! Mail Mais espaço, mais segurança e gratuito: caixa postal de 6MB, antivírus, proteção contra spam.
Re: [obm-l] Provas da Cone Sul(vamos resolve-las!!!!!)
PuxaO pior e que eu nem tive muito tempo de mandar meus parabens pessoalmente ao Fabio Moreira.Alias ele ficou devendo o problema do supercomposto Parabens Fabio!!!Parabens ao cearense "A. C. Morgado" [EMAIL PROTECTED] wrote: Esquecemos de dar os parabens aos representantes do Brasil pela brilhante participação na Cone Sul. Em especial, ao Fábio, que é participante ativo da lista.Parabens!Fábio Dias Moreira wrote: -BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 On Thursday 29 May 2003 18:00, João Gilberto Ponciano Pereira wrote: [...] A prova está no número de tangências de caba bolinha branca com bolinhas vermelhas na borda (2 no máximo) e no interior (3 no máximo). Vou tentar formalizar algo mais concreto e envio. [...] Também tive essa idéia durante a prova, mas ela fura: * . . . * . * . . * . . * . . . * . . * . * . . * . . * * . . * . * . . . . * . * . * . . . . . . * . * . * . * O primeiro arranjo cumpre a condição de que cada bola não pintada tem o número máximo de vizinhos (2 na borda, 3 no centro), mas o segundo tem o mesmo número de bolas, não tem bolas tangentes pintadas, e as bolas brancas centrais tem apenas dois vizinhos. No caso geral, porquê eu não posso pegar o seu arranjo, mexer algumas bolas, reduzir o número de tangências e abrir espaço para mais uma bola? []s, - -- Fábio "ctg \pi" Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.0.6 (GNU/Linux) Comment: For info see http://www.gnupg.org iD8DBQE+2hgZalOQFrvzGQoRAuKpAKC7esZAw5lzPA7z6oLR6o/+OrV2sACg3dAl MmwPmIoYyrAdGngQWOLCX6o= =whZg -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Yahoo! Mail Mais espaço, mais segurança e gratuito: caixa postal de 6MB, antivírus, proteção contra spam.
Re:[obm-l] Provas da Cone Sul(vamos resolve-las!!!!!)
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 Em Qui 29 Mai 2003 16:16, Thiago Sobral escreveu: Aih vai a 3a entaum.. 3.Seja ABC um triângulo acutângulo tal que o ângulo B mede 60º. A circunferência de diâmetro AC intersecta as bissetrizes internas de A e C nos pontos M e N respectivamente (M != A, N != C). A bissetriz interna do ângulo B intersecta MN e AC nos pontos R e S, respectivamente. Demonstrar que BR = RS. [...] Transcrevo a solução que achei (por complexos) hoje à tarde no IMPA. Seja B = 0, A = 4 cis 30, C = 4a cis 30. Se P é médio de AC, então P = sqrt(3)(1 + a) + i(1 - a). Como S está em AC, seja S = bA + (1-b)C. Como S está na bissetriz do ângulo B, ele é real. Logo b - (1-b)a = 0 == b = a/1+a (no fundo isso é o teorema das bissetrizes internas). Logo S = 4sqrt(3)a/1+a. Seja MAC = c. Então MNC = c já que MNAC é inscritível. Como PCN = 60-c, PNC = 60-c, pois PNC é isósceles. Logo MNP é equilátero. Mas BSC = 30+2c, pois é externo de BAS. Se I é o incentro de ABC, RIC = 90+c, pois é externo de ISC. Como RIC é externo de RNI, IRN = 90-c+c = 90, logo MN é perpendicular a BS. PLANO: Achar o raio da circunferência AMNC (digamos r) e achar a parte real de P-r*sqrt(3)/2, que vale R, pois r*sqrt(3)/2 é a altura do triângulo equilátero. Se provarmos que R está à esquerda do ponto médio de BS, i.e. R 2sqrt(3)a/1+a, acabamos. Mas A-P = sqrt(3)(1-a) + i(1+a), logo r^2 = 3 - 6a + 3a^2 + 1 + 2a + a^2 == r = 2sqrt(1 - a + a^2) Então R = sqrt(3)(1+a) - sqrt(3)sqrt(1-a+a^2). Mas sqrt(3)(1+a) - sqrt(3)sqrt(1-a+a^2) = 2sqrt(3)a/1+a == sqrt(1-a+a^2) = (1+a) - 2a/1+a == (1+a)^2(1-a+a^2) = (1 + a^2)^2 == a^3 + a = 2a^2 == a(1-a)^2 = 0. Como a é positivo, acabou. Eu acho que gastei uns 45 minutos fazendo essa solução (isso porque escrevi que cis 30 = 1/2 + sqrt(3)/2). Eu tirei um ponto nessa questão na prova, por ter provado que MN = AC/2 e MN perpend. a BS. Eu tirei 42 pontos. O primeiro ouro da Cone Sul foi 50. Droga! []s, - -- Fábio ctg \pi Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.0.6 (GNU/Linux) Comment: For info see http://www.gnupg.org iD8DBQE+2+dKalOQFrvzGQoRAgPJAJ91buzSfdRN9wtckuhDacJcySj5UgCgxKwg W+KTeUk55LSB6QPcvDQ4Ofg= =Ilsx -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Provas da Cone Sul(vamos resolve-las!!!!!)
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 On Thursday 29 May 2003 18:00, João Gilberto Ponciano Pereira wrote: [...] A prova está no número de tangências de caba bolinha branca com bolinhas vermelhas na borda (2 no máximo) e no interior (3 no máximo). Vou tentar formalizar algo mais concreto e envio. [...] Também tive essa idéia durante a prova, mas ela fura: * . . . * . * . . * . . * . . . * . . * . * . . * . . * * . . * . * . . . . * . * . * . . . . . . * . * . * . * O primeiro arranjo cumpre a condição de que cada bola não pintada tem o número máximo de vizinhos (2 na borda, 3 no centro), mas o segundo tem o mesmo número de bolas, não tem bolas tangentes pintadas, e as bolas brancas centrais tem apenas dois vizinhos. No caso geral, porquê eu não posso pegar o seu arranjo, mexer algumas bolas, reduzir o número de tangências e abrir espaço para mais uma bola? []s, - -- Fábio ctg \pi Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.0.6 (GNU/Linux) Comment: For info see http://www.gnupg.org iD8DBQE+2hgZalOQFrvzGQoRAuKpAKC7esZAw5lzPA7z6oLR6o/+OrV2sACg3dAl MmwPmIoYyrAdGngQWOLCX6o= =whZg -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Provas da Cone Sul(vamos resolve-las!!!!!)
Esquecemos de dar os parabens aos representantes do Brasil pela brilhante participao na Cone Sul. Em especial, ao Fbio, que participante ativo da lista. Parabens! Fbio Dias Moreira wrote: -BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 On Thursday 29 May 2003 18:00, Joo Gilberto Ponciano Pereira wrote: [...] A prova est no nmero de tangncias de caba bolinha branca com bolinhas vermelhas na borda (2 no mximo) e no interior (3 no mximo). Vou tentar formalizar algo mais concreto e envio. [...] Tambm tive essa idia durante a prova, mas ela fura: * . . . * . * . . * . . * . . . * . . * . * . . * . . * * . . * . * . . . . * . * . * . . . . . . * . * . * . * O primeiro arranjo cumpre a condio de que cada bola no pintada tem o nmero mximo de vizinhos (2 na borda, 3 no centro), mas o segundo tem o mesmo nmero de bolas, no tem bolas tangentes pintadas, e as bolas brancas centrais tem apenas dois vizinhos. No caso geral, porqu eu no posso pegar o seu arranjo, mexer algumas bolas, reduzir o nmero de tangncias e abrir espao para mais uma bola? []s, - -- Fbio "ctg \pi" Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.0.6 (GNU/Linux) Comment: For info see http://www.gnupg.org iD8DBQE+2hgZalOQFrvzGQoRAuKpAKC7esZAw5lzPA7z6oLR6o/+OrV2sACg3dAl MmwPmIoYyrAdGngQWOLCX6o= =whZg -END PGP SIGNATURE- = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RES: [obm-l] Provas da Cone Sul(vamos resolve-las!!!!!)
Prob
6)
Prove
que existe uma permutação dos inteiros (x_i) tq Sum[x_i,{i,1,n}] = S_n eh
multiplo de n^n
Construa x_i dá seguinte maneira:
x_1=1
e
suponha que sabemos x_1,x_2,..,x_(n-1) então definimos x_(n+1) como sendo o
menor número q ainda não apareceu digamos k. Vamos agora achar x_(n)
temos
que x_n = -S_(n-1) (mod n^n) e x_n = - S_n -x_(n+1) (mod (n+1)^(n+1)) como n e
n+1 são primos entre si, pelo Teo chines dos restos existe classe de congruencia
x satisfazendo as equações acima e eh soh tomarmos x_n grande o suficiente de
maneira que x_n /= x_i para i = 1,2,3,,n-1,n+1 e x_n = x (mod
n^n*(n+1)^(n+1)) e eh fácil ver que cada inteiro positivo aparece exatamente uma
vez.
Dava
para generalizar para, em vez de n^n, f(n) onde mdc(f(n),f(n+1))=1 para
infinitos n's.
Alex
Correa Abreu
-Mensagem original-De:
[EMAIL PROTECTED]
[mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de Johann Peter
Gustav Lejeune DirichletEnviada em: quinta-feira, 29 de maio de
2003 13:56Para: [EMAIL PROTECTED]Assunto: [obm-l]
Provas da Cone Sul(vamos resolve-las!)
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Sul??Olimpiada Brasileira de Matematica
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RES: [obm-l] Provas da Cone Sul(vamos resolve-las!!!!!)
Olá João Sua solução eh parecida com a minha, mas desconfio que a resposta seja 1+3k(k+1)/2 e dah para formalizar assim: dividimos a figura em triangulos dah seguinte maneira n=4 1n=7 1 1 1 1 1 2 0 32 2 3 2 2 3 3 4 2 3 3 4 4 0 5 5 6 7 7 8 5 9 6 6 7 8 8 9 9 n=10 1 1 1 2 2 3 4 2 3 3 Nos zeros vc repete o caso 4 4 4 0 5 5 6 6 0 0 5 7 8 6 0 0 0 7 7 8 8 0 0 0 0 9 9 a b b c d d e 9 f a a b c c d e e f f Em geral primeiro dividimos a borda e o centro vai cair num caso jah feito. Mas em cada triangulo temos no máximo um bola vermelha e uma no centro. portanto no máximo 1+3(k+1)k/2 bolas e a configuração do João mostra uma com exatamente esse número Alex Correa Abreu -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de João Gilberto Ponciano Pereira Enviada em: quinta-feira, 29 de maio de 2003 18:01 Para: '[EMAIL PROTECTED]' Assunto: RE: [obm-l] Provas da Cone Sul(vamos resolve-las!) Outra interessante da Cone Sul: Ex. 5: Seja n = 3k+1, onde k é um inteiro, k=1. Constrói-se um arranjo triangular de lado n formado por círculos de mesmo raio como o mostrado na figura para n=7. Determinar, para cada k, qual o maior número de círculos vermelhos tangentes entre si. Resposta: 1+3(k-1)(k)/2. A configuração é simples: para cada linha, coloca-se uma bolinha vermelha e duas bolinhas brancas. Mais ou menos assim: V B B B V B V B B V B B V B B B V B B V B V B B V B B V B B V B B V B B B V B B V B B V B V B B V B B V B B V B B V B B V B B V B B B V B B V B B V B B V B V B B V B B V B B V B B V A prova está no número de tangências de caba bolinha branca com bolinhas vermelhas na borda (2 no máximo) e no interior (3 no máximo). Vou tentar formalizar algo mais concreto e envio. -Original Message- From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet [mailto:[EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, May 29, 2003 1:56 PM To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Provas da Cone Sul(vamos resolve-las!) E ai turma,que tal a gente resolver a provba da Cone Sul?? Olimpiada Brasileira de Matematica [EMAIL PROTECTED] wrote: Caros(as) amigos(as) da lista, Ja' estao no nosso arquivo de provas os testes do 1 e 2 dias da XIV Olimpiada de Matematica do Cone Sul. http://www.obm.org.br/provas.htm Abracos, Nelly. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ Yahoo! Mail http://br.mail.yahoo.com/ Mais espaço, mais segurança e gratuito: caixa postal de 6MB, antivírus, proteção contra spam. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Provas da Cone Sul(vamos resolve-las!!!!!)
E ai turma,que tal a gente resolver a provba da Cone Sul??Olimpiada Brasileira de Matematica [EMAIL PROTECTED] wrote: Caros(as) amigos(as) da lista,Ja' estao no nosso arquivo de provas os testes do 1 e 2 diasda XIV Olimpiada de Matematica do Cone Sul.http://www.obm.org.br/provas.htmAbracos, Nelly.=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Yahoo! Mail Mais espaço, mais segurança e gratuito: caixa postal de 6MB, antivírus, proteção contra spam.
RE: [obm-l] Provas da Cone Sul(vamos resolve-las!!!!!)
Tá, vai... Imprimi agora e resolvi a primeira que tá babinha Item a: possível. Resultados: a 0 x 1 b a 1 x 1 c a 0 x 2 d b 0 x 2 c b 2 x 2 d c 3 x 3 d Item b: impossível. Os gols sofridos de D (11 gols) está maior do que a soma de todos os gols marcados de A, B e C juntos(10 gols)! -Original Message- From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet [mailto:[EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, May 29, 2003 1:56 PM To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Provas da Cone Sul(vamos resolve-las!) E ai turma,que tal a gente resolver a provba da Cone Sul?? Olimpiada Brasileira de Matematica [EMAIL PROTECTED] wrote: Caros(as) amigos(as) da lista, Ja' estao no nosso arquivo de provas os testes do 1 e 2 dias da XIV Olimpiada de Matematica do Cone Sul. http://www.obm.org.br/provas.htm Abracos, Nelly. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ Yahoo! Mail http://br.mail.yahoo.com/ Mais espaço, mais segurança e gratuito: caixa postal de 6MB, antivírus, proteção contra spam. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re:[obm-l] Provas da Cone Sul(vamos resolve-las!!!!!)
Aih vai a 3a entaum.. 3.Seja ABC um triângulo acutângulo tal que o ângulo B mede 60º. A circunferência de diâmetro AC intersecta as bissetrizes internas de A e C nos pontos M e N respectivamente (M != A, N != C). A bissetriz interna do ângulo B intersecta MN e AC nos pontos R e S, respectivamente. Demonstrar que BR = RS. sol: Sejam P e Q as intersecoes de MN com BA e Bc, I o incentro de ABC. Sendo (XYZ) o angulo XYZ, temos: ACMN inscritivel = (ACN)=(AMN)=(BCN) = IQMC inscritivel, mas (AMC)=90º, logo (IQC)=90º. De modo analogo, (IPA)=90º. Assim, BPIQ eh inscritivel, e como (PBQ)=60º, temos IQ=IP=BI/2 e IR=BI/4. Assim, temos q mostrar q BR = RS sss BI-IR = IR+IS sss IQ = IS. Mas, sendo T sobre AC tal que (ITC)=90º, temos IT=IQ, mas eh claro q IT = IS. []s, thiago sobral E ai turma,que tal a gente resolver a provba da Cone Su l?? __ Seleção de Softwares UOL. 10 softwares escolhidos pelo UOL para você e sua família. http://www.uol.com.br/selecao = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] Provas da Cone Sul(vamos resolve-las!!!!!)
Outra interessante da Cone Sul: Ex. 5: Seja n = 3k+1, onde k é um inteiro, k=1. Constrói-se um arranjo triangular de lado n formado por círculos de mesmo raio como o mostrado na figura para n=7. Determinar, para cada k, qual o maior número de círculos vermelhos tangentes entre si. Resposta: 1+3(k-1)(k)/2. A configuração é simples: para cada linha, coloca-se uma bolinha vermelha e duas bolinhas brancas. Mais ou menos assim: V B B B V B V B B V B B V B B B V B B V B V B B V B B V B B V B B V B B B V B B V B B V B V B B V B B V B B V B B V B B V B B V B B B V B B V B B V B B V B V B B V B B V B B V B B V A prova está no número de tangências de caba bolinha branca com bolinhas vermelhas na borda (2 no máximo) e no interior (3 no máximo). Vou tentar formalizar algo mais concreto e envio. -Original Message- From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet [mailto:[EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, May 29, 2003 1:56 PM To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Provas da Cone Sul(vamos resolve-las!) E ai turma,que tal a gente resolver a provba da Cone Sul?? Olimpiada Brasileira de Matematica [EMAIL PROTECTED] wrote: Caros(as) amigos(as) da lista, Ja' estao no nosso arquivo de provas os testes do 1 e 2 dias da XIV Olimpiada de Matematica do Cone Sul. http://www.obm.org.br/provas.htm Abracos, Nelly. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ Yahoo! Mail http://br.mail.yahoo.com/ Mais espaço, mais segurança e gratuito: caixa postal de 6MB, antivírus, proteção contra spam. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
