[obm-l] [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] [obm-l] RE: [obm-l] Número de partições de um conjunto - ERRATA
Ooopa... escrever dormindo nao e' facil... Corrigindo o final, temos: As brancas podem ser divididas de binom( 11 , 3 ) = 165 formas diferentes. As pretas podem ser divididas de binom( 13 , 3 ) = 286 formas diferentes. E as azuis podem ser divididas de binom( 18 , 3 ) = 816 formas diferentes. Logo, ha' 165*286*816 formas diferentes de se distribuir todas bolas entre 4 pessoas. []'s Rogerio Ponce PS: Paulo, de fato aparece o termo binom(11,3), e estamos considerando bolas brancas iguais entre si. Repare que estamos contando o numero de distribuicoes diferentes de bolas brancas entre 4 pessoas. --- Em 25 de maio de 2011 05:19, Rogerio Ponce abrlw...@gmail.com escreveu: Ola' Paulo e colegas da lista, o problema e' encontrar a quantidade de divisoes de 8 bolas brancas, 10 pretas e 15 azuis entre 4 pessoas. Para isso, basta multiplicarmos a quantidade de formas de se dividir as bolas de cada cor entre as pessoas. Para as brancas, por exemplo, equivale a encontrarmos o numero de solucoes nao negativas da equacao: X1 + X2 + X3 + X4 = 8 e assim por diante. Lembrando que o numero de solucoes nao negativas de X1+...+Xn = p e' binom(n-1+p,n-1), obtemos o seguinte: As brancas podem ser divididas de binom( 10 , 2 ) = 45 formas diferentes. As pretas podem ser divididas de binom( 12 , 2 ) = 66 formas diferentes. E as azuis podem ser divididas de binom( 17 , 2 ) = 136 formas diferentes. Logo, ha' 45*66*136 formas diferentes de se distribuir todas bolas entre 4 pessoas. []'s Rogerio Ponce Em 25 de maio de 2011 00:38, Paulo Santa Rita paulosantar...@hotmail.comescreveu: Oi Willy e Rogerio e demais colegas desta lista ... OBM-L, Não consigo entender o raciocínio de vocês. Vejam se é isso que vocês estão falando : Uma das duas pessoas ( digamos, o José ) pode receber 1) 0,1,2, ..., 8 bolas brancas. Seja A o conjunto dessas possibilidades 2) 0,1,2,...,10 bolas pretas. Seja B o conjunto dessas possibilidades 3) 0,1,2,...,15 bolas azuis. Seja C o conjunto dessas possibilidades A cardinalidade do produto cartesianos AxBxC encerra o total das possíveis maneiras de José receber as bolas. O restante é a parte da outra pessoa, digamos, da Maria. Assim, uma 3-upla (0,1,4) significa que Jose recebeu 1 bola preta e 4 azuis, ficando a Maria, portanto, com (8-0,10-1,15-4)=(8,9,11), ou seja, com 8 brancas, 9 pretas e 11 azuis. Se esse é o raciocínio, então ele está certo. NESTE CASO PARTICULAR ! Com mais pessoas - se entendi o que vocês disseram - o simples uso de combinações não resolve. Por exemplo, ao tomar Binom(11,3), estaremos considerando conjuntos identicos de 3 bolas brancas como se fossem distintos ... Confirmem se eu realmente entendi como vocês pensaram. Um abração PSR,425051100A1 -- Date: Tue, 24 May 2011 18:29:40 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] [obm-l] RE: [obm-l] Número de partições de um conjunto From: wgapetre...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br 2011/5/23 Rogerio Ponce abrlw...@gmail.com Ola' Paulo e colegas da lista, minha sugestao e' calcular de quantas formas podemos dividir as bolas de cada cor ( -- #solucoes nao negativas), e multiplicar tudo no final. []'s Rogerio Ponce Isso me parece ser a maneira mais simples Existem 9 maneiras de se dividir 8 bolas identicas entre duas pessoas (e C(11,3) de dividir entre 4 pessoas). Faz a mesma coisa para as demais e depois multiplica. Obtemos 9*11*16, para 2 pessoas e obtemos C(11,3)*C(18,3)*C(13,3) para as 4 pessoas.
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] [obm-l] RE: [obm-l] Número de partições de um conjunto
Ola' Paulo e colegas da lista, o problema e' encontrar a quantidade de divisoes de 8 bolas brancas, 10 pretas e 15 azuis entre 4 pessoas. Para isso, basta multiplicarmos a quantidade de formas de se dividir as bolas de cada cor entre as pessoas. Para as brancas, por exemplo, equivale a encontrarmos o numero de solucoes nao negativas da equacao: X1 + X2 + X3 + X4 = 8 e assim por diante. Lembrando que o numero de solucoes nao negativas de X1+...+Xn = p e' binom(n-1+p,n-1), obtemos o seguinte: As brancas podem ser divididas de binom( 10 , 2 ) = 45 formas diferentes. As pretas podem ser divididas de binom( 12 , 2 ) = 66 formas diferentes. E as azuis podem ser divididas de binom( 17 , 2 ) = 136 formas diferentes. Logo, ha' 45*66*136 formas diferentes de se distribuir todas bolas entre 4 pessoas. []'s Rogerio Ponce Em 25 de maio de 2011 00:38, Paulo Santa Rita paulosantar...@hotmail.comescreveu: Oi Willy e Rogerio e demais colegas desta lista ... OBM-L, Não consigo entender o raciocínio de vocês. Vejam se é isso que vocês estão falando : Uma das duas pessoas ( digamos, o José ) pode receber 1) 0,1,2, ..., 8 bolas brancas. Seja A o conjunto dessas possibilidades 2) 0,1,2,...,10 bolas pretas. Seja B o conjunto dessas possibilidades 3) 0,1,2,...,15 bolas azuis. Seja C o conjunto dessas possibilidades A cardinalidade do produto cartesianos AxBxC encerra o total das possíveis maneiras de José receber as bolas. O restante é a parte da outra pessoa, digamos, da Maria. Assim, uma 3-upla (0,1,4) significa que Jose recebeu 1 bola preta e 4 azuis, ficando a Maria, portanto, com (8-0,10-1,15-4)=(8,9,11), ou seja, com 8 brancas, 9 pretas e 11 azuis. Se esse é o raciocínio, então ele está certo. NESTE CASO PARTICULAR ! Com mais pessoas - se entendi o que vocês disseram - o simples uso de combinações não resolve. Por exemplo, ao tomar Binom(11,3), estaremos considerando conjuntos identicos de 3 bolas brancas como se fossem distintos ... Confirmem se eu realmente entendi como vocês pensaram. Um abração PSR,425051100A1 -- Date: Tue, 24 May 2011 18:29:40 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] [obm-l] RE: [obm-l] Número de partições de um conjunto From: wgapetre...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br 2011/5/23 Rogerio Ponce abrlw...@gmail.com Ola' Paulo e colegas da lista, minha sugestao e' calcular de quantas formas podemos dividir as bolas de cada cor ( -- #solucoes nao negativas), e multiplicar tudo no final. []'s Rogerio Ponce Isso me parece ser a maneira mais simples Existem 9 maneiras de se dividir 8 bolas identicas entre duas pessoas (e C(11,3) de dividir entre 4 pessoas). Faz a mesma coisa para as demais e depois multiplica. Obtemos 9*11*16, para 2 pessoas e obtemos C(11,3)*C(18,3)*C(13,3) para as 4 pessoas.
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] [obm-l] RE: [obm-l] Número de partições de um conjunto
Ola Rogerio e demaiscolegas desta lista ... OBM-L,
Agora entendi. Esta solução está correta :
Se Y é o total de bolas de uma mesma cor e P1, P2, ..., Pn são as pessoas,
então consideramos assoluções inteiras nao-negativas da equação linear
X1 + X2 + ... + Xn = Y
E para cada solução (x1, x2, ...,xn ) desta equação consideramos que x1 será o
total de bolas dacor Y que serão dadas a pessoa P1, x2 será o total de bolas da
cor Y que serão dadas a pessoa P2e assim sucessivamente.
O produto entre as quantidades de soluções para cada cor será a resposta.
Agora, considere que nesta solução nos sabemos a quem será dadas as bolas, ou
seja, existem aspessoas P1, P2, ..., Pn. E se o nosso interesse fosse somente
em montar partiçoes de um conjuntocom elementos repetidos ?
Num conjunto A existem :
8 bolas brancas, iguais e indistinguiveis entre si10 bolas prestas, iguais e
indistinguiveis entre si15 bolas azuis, iguais e indistinguiveis entre si
De quantas maneiras podemos particionar o conjunto A em 4 conjuntos ?
No problema anterior { A,{},{},{}} e {{},{},{},A} são autenticas e
corretassoluções distintas. Neste agora, não.
Um AbraçoPSR,425051108A1
Date: Wed, 25 May 2011 05:19:03 -0300
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] [obm-l] RE: [obm-l] Número
de partições de um conjunto
From: abrlw...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Ola' Paulo e colegas da lista,
o problema e' encontrar a quantidade de divisoes de 8 bolas brancas, 10 pretas
e 15 azuis entre 4 pessoas.
Para isso, basta multiplicarmos a quantidade de formas de se dividir as bolas
de cada cor entre as pessoas.
Para as brancas, por exemplo, equivale a encontrarmos o numero de solucoes nao
negativas da equacao:
X1 + X2 + X3 + X4 = 8
e assim por diante.
Lembrando que o numero de solucoes nao negativas de
X1+...+Xn = p
e' binom(n-1+p,n-1), obtemos o seguinte:
As brancas podem ser divididas de binom( 10 , 2 ) = 45 formas diferentes.
As pretas podem ser divididas de binom( 12 , 2 ) = 66 formas diferentes.
E as azuis podem ser divididas de binom( 17 , 2 ) = 136 formas diferentes.
Logo, ha' 45*66*136 formas diferentes de se distribuir todas bolas entre 4
pessoas.
[]'s
Rogerio Ponce
Em 25 de maio de 2011 00:38, Paulo Santa Rita paulosantar...@hotmail.com
escreveu:
Oi Willy e Rogerio e demaiscolegas desta lista ... OBM-L,
Não consigo entender o raciocínio de vocês. Vejam se é isso que vocês estão
falando :
Uma das duas pessoas ( digamos, o José ) pode receber
1) 0,1,2, ..., 8 bolas brancas. Seja A o conjunto dessas possibilidades
2) 0,1,2,...,10 bolas pretas. Seja B o conjunto dessas possibilidades3)
0,1,2,...,15 bolas azuis. Seja C o conjunto dessas possibilidades
A cardinalidade do produto cartesianos AxBxC encerra o total das possíveis
maneiras de José receber as bolas. O restante é a parte da outra pessoa,
digamos, da Maria. Assim, uma 3-upla (0,1,4) significa que Jose recebeu 1
bola preta e 4 azuis, ficando a Maria,
portanto, com (8-0,10-1,15-4)=(8,9,11), ou seja, com 8 brancas, 9 pretas e 11
azuis.
Se esse é o raciocínio, então ele está certo. NESTE CASO PARTICULAR !
Com mais pessoas - se entendi o que vocês disseram - o simples uso de
combinações não resolve. Por exemplo, ao tomar Binom(11,3),
estaremos considerando conjuntos identicos de 3 bolas brancas como se fossem
distintos ...
Confirmem se eu realmente entendi como vocês pensaram.
Um abração
PSR,425051100A1
Date: Tue, 24 May 2011 18:29:40 -0300
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] [obm-l] RE: [obm-l] Número de partições de um
conjunto
From: wgapetre...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
2011/5/23 Rogerio Ponce abrlw...@gmail.com
Ola' Paulo e colegas da lista,
minha sugestao e' calcular de quantas formas podemos dividir as bolas de cada
cor ( -- #solucoes nao negativas), e multiplicar tudo no final.
[]'s
Rogerio Ponce
Isso me parece ser a maneira mais simplesExistem 9 maneiras de se dividir 8
bolas identicas entre duas pessoas (e C(11,3) de dividir entre 4 pessoas). Faz
a mesma coisa para as demais e depois multiplica.
Obtemos 9*11*16, para 2 pessoas e obtemos C(11,3)*C(18,3)*C(13,3) para as 4
pessoas.
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] [obm-l] RE: [obm-l] Número de partições de um conjunto
Ola' Paulo e colegas da lista,
para este novo problema basta dividirmos a solução do problema anterior pelo
numero de permutacoes entre os participantes.
Ou seja, basta dividir o resultado anterior por 4! = 24.
[]'s
Rogerio Ponce.
PS: enviei para a lista a seguinte correcao:
As brancas podem ser divididas de binom( 11 , 3 ) = 165 formas diferentes.
As pretas podem ser divididas de binom( 13 , 3 ) = 286 formas diferentes.
E as azuis podem ser divididas de binom( 18 , 3 ) = 816 formas diferentes.
Logo, ha' 165*286*816 formas diferentes de se distribuir todas bolas entre
4 pessoas.
Em 25 de maio de 2011 08:46, Paulo Santa Rita
paulosantar...@hotmail.comescreveu:
Ola Rogerio e demais
colegas desta lista ... OBM-L,
Agora entendi. Esta solução está correta :
Se Y é o total de bolas de uma mesma cor e P1, P2, ..., Pn são as pessoas,
então consideramos as
soluções inteiras nao-negativas da equação linear
X1 + X2 + ... + Xn = Y
E para cada solução (x1, x2, ...,xn ) desta equação consideramos que x1
será o total de bolas da
cor Y que serão dadas a pessoa P1, x2 será o total de bolas da cor Y que
serão dadas a pessoa P2
e assim sucessivamente.
O produto entre as quantidades de soluções para cada cor será a resposta.
Agora, considere que nesta solução nos sabemos a quem será dadas as bolas,
ou seja, existem as
pessoas P1, P2, ..., Pn. E se o nosso interesse fosse somente em montar
partiçoes de um conjunto
com elementos repetidos ?
Num conjunto A existem :
8 bolas brancas, iguais e indistinguiveis entre si
10 bolas prestas, iguais e indistinguiveis entre si
15 bolas azuis, iguais e indistinguiveis entre si
De quantas maneiras podemos particionar o conjunto A em 4 conjuntos ?
No problema anterior { A,{},{},{}} e {{},{},{},A} são autenticas e corretas
soluções distintas. Neste agora, não.
Um Abraço
PSR,425051108A1
--
Date: Wed, 25 May 2011 05:19:03 -0300
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] [obm-l] RE: [obm-l]
Número de partições de um conjunto
From: abrlw...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Ola' Paulo e colegas da lista,
o problema e' encontrar a quantidade de divisoes de 8 bolas brancas, 10
pretas e 15 azuis entre 4 pessoas.
Para isso, basta multiplicarmos a quantidade de formas de se dividir as
bolas de cada cor entre as pessoas.
Para as brancas, por exemplo, equivale a encontrarmos o numero de solucoes
nao negativas da equacao:
X1 + X2 + X3 + X4 = 8
e assim por diante.
Lembrando que o numero de solucoes nao negativas de
X1+...+Xn = p
e' binom(n-1+p,n-1), obtemos o seguinte:
As brancas podem ser divididas de binom( 10 , 2 ) = 45 formas diferentes.
As pretas podem ser divididas de binom( 12 , 2 ) = 66 formas diferentes.
E as azuis podem ser divididas de binom( 17 , 2 ) = 136 formas diferentes.
Logo, ha' 45*66*136 formas diferentes de se distribuir todas bolas entre 4
pessoas.
[]'s
Rogerio Ponce
Em 25 de maio de 2011 00:38, Paulo Santa Rita
paulosantar...@hotmail.comescreveu:
Oi Willy e Rogerio e demais
colegas desta lista ... OBM-L,
Não consigo entender o raciocínio de vocês. Vejam se é isso que vocês estão
falando :
Uma das duas pessoas ( digamos, o José ) pode receber
1) 0,1,2, ..., 8 bolas brancas. Seja A o conjunto dessas possibilidades
2) 0,1,2,...,10 bolas pretas. Seja B o conjunto dessas possibilidades
3) 0,1,2,...,15 bolas azuis. Seja C o conjunto dessas possibilidades
A cardinalidade do produto cartesianos AxBxC encerra o total das possíveis
maneiras de José receber as bolas. O restante é a parte
da outra pessoa, digamos, da Maria. Assim, uma 3-upla (0,1,4) significa
que Jose recebeu 1 bola preta e 4 azuis, ficando a Maria,
portanto, com (8-0,10-1,15-4)=(8,9,11), ou seja, com 8 brancas, 9 pretas e
11 azuis.
Se esse é o raciocínio, então ele está certo. NESTE CASO PARTICULAR !
Com mais pessoas - se entendi o que vocês disseram - o simples uso de
combinações não resolve. Por exemplo, ao tomar Binom(11,3),
estaremos considerando conjuntos identicos de 3 bolas brancas como se
fossem distintos ...
Confirmem se eu realmente entendi como vocês pensaram.
Um abração
PSR,425051100A1
--
Date: Tue, 24 May 2011 18:29:40 -0300
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] [obm-l] RE: [obm-l] Número de partições de um
conjunto
From: wgapetre...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
2011/5/23 Rogerio Ponce abrlw...@gmail.com
Ola' Paulo e colegas da lista,
minha sugestao e' calcular de quantas formas podemos dividir as bolas de
cada cor ( -- #solucoes nao negativas), e multiplicar tudo no final.
[]'s
Rogerio Ponce
Isso me parece ser a maneira mais simples
Existem 9 maneiras de se dividir 8 bolas identicas entre duas pessoas (e
C(11,3) de dividir entre 4 pessoas). Faz a mesma coisa para as demais e
depois multiplica.
Obtemos 9*11*16, para 2 pessoas e obtemos C(11,3)*C(18,3)*C(13,3) para as 4
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] [obm-l] RE: [obm-l] Número de partições de um conjunto
2011/5/25 Rogerio Ponce abrlw...@gmail.com: Ola' Paulo e colegas da lista, o problema e' encontrar a quantidade de divisoes de 8 bolas brancas, 10 pretas e 15 azuis entre 4 pessoas. Para isso, basta multiplicarmos a quantidade de formas de se dividir as bolas de cada cor entre as pessoas. Para as brancas, por exemplo, equivale a encontrarmos o numero de solucoes nao negativas da equacao: X1 + X2 + X3 + X4 = 8 e assim por diante. Lembrando que o numero de solucoes nao negativas de X1+...+Xn = p e' binom(n-1+p,n-1), obtemos o seguinte: As brancas podem ser divididas de binom( 10 , 2 ) = 45 formas diferentes. As pretas podem ser divididas de binom( 12 , 2 ) = 66 formas diferentes. E as azuis podem ser divididas de binom( 17 , 2 ) = 136 formas diferentes. Como n-1 = 3, seriam C(11,3), C(13,3) e C(18,3), não? Logo, ha' 45*66*136 formas diferentes de se distribuir todas bolas entre 4 pessoas. []'s Rogerio Ponce Em 25 de maio de 2011 00:38, Paulo Santa Rita paulosantar...@hotmail.com escreveu: Oi Willy e Rogerio e demais colegas desta lista ... OBM-L, Não consigo entender o raciocínio de vocês. Vejam se é isso que vocês estão falando : Uma das duas pessoas ( digamos, o José ) pode receber 1) 0,1,2, ..., 8 bolas brancas. Seja A o conjunto dessas possibilidades 2) 0,1,2,...,10 bolas pretas. Seja B o conjunto dessas possibilidades 3) 0,1,2,...,15 bolas azuis. Seja C o conjunto dessas possibilidades A cardinalidade do produto cartesianos AxBxC encerra o total das possíveis maneiras de José receber as bolas. O restante é a parte da outra pessoa, digamos, da Maria. Assim, uma 3-upla (0,1,4) significa que Jose recebeu 1 bola preta e 4 azuis, ficando a Maria, portanto, com (8-0,10-1,15-4)=(8,9,11), ou seja, com 8 brancas, 9 pretas e 11 azuis. Se esse é o raciocínio, então ele está certo. NESTE CASO PARTICULAR ! Com mais pessoas - se entendi o que vocês disseram - o simples uso de combinações não resolve. Por exemplo, ao tomar Binom(11,3), estaremos considerando conjuntos identicos de 3 bolas brancas como se fossem distintos ... Confirmem se eu realmente entendi como vocês pensaram. Um abração PSR,425051100A1 Date: Tue, 24 May 2011 18:29:40 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] [obm-l] RE: [obm-l] Número de partições de um conjunto From: wgapetre...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br 2011/5/23 Rogerio Ponce abrlw...@gmail.com Ola' Paulo e colegas da lista, minha sugestao e' calcular de quantas formas podemos dividir as bolas de cada cor ( -- #solucoes nao negativas), e multiplicar tudo no final. []'s Rogerio Ponce Isso me parece ser a maneira mais simples Existem 9 maneiras de se dividir 8 bolas identicas entre duas pessoas (e C(11,3) de dividir entre 4 pessoas). Faz a mesma coisa para as demais e depois multiplica. Obtemos 9*11*16, para 2 pessoas e obtemos C(11,3)*C(18,3)*C(13,3) para as 4 pessoas. -- Henrique = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] [obm-l] RE: [obm-l] Número de partições de um conjunto
Olá Rogério e demais colegas desta lista ... OBM-L,
Esta resposta está errada, pois ela pressupõe que as soluções do problema
anterior podem ser agrupadas em grupos de 4!=24soluções, o que só ocorre quando
a solução e formada por conjuntos dois a dois distintos. Por exemplo,
{ {1B,1P}, {1P,1A}, {1B,1A}, {6B,8P,13A} }
é uma solução no primeiro problema e qualquer uma das suas 4!=24 também são,
formando portanto 24 soluções distintasque podem ser agrupadas em uma única
partição ( na qual a ordem dos conjuntos é irrelevante ), a saber :
{ {1B,1P}, {1P,1A}, {1B,1A}, {6B,8P,13A} } que será uma única solução para o
segundo problema.
Mas agora considere a solução do primeiro problema :
{ {1B,1P},{1P,1A},{1B,1P},{6B,9P,14A} }
Devido a igualdade entre o primeiro e terceiro conjuntos, não há 4!=24
permutações duas a duas distintas que podem seragrupadas para formar a partição
( solução do segundo problema ) seguinte :
{ {1B,1P},{1P,1A},{1B,1P},{6B,9P,14A} } que é uma solução válida para o segundo
problema.
Um AbraçoPSR,42505110B2A
Date: Wed, 25 May 2011 11:05:27 -0300
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l]
[obm-l] RE: [obm-l] Número de partições de um conjunto
From: abrlw...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Ola' Paulo e colegas da lista,
para este novo problema basta dividirmos a solução do problema anterior pelo
numero de permutacoes entre os participantes.
Ou seja, basta dividir o resultado anterior por 4! = 24.
[]'s
Rogerio Ponce.
PS: enviei para a lista a seguinte correcao:
As brancas podem ser divididas de binom( 11 , 3 ) = 165 formas diferentes.
As pretas podem ser divididas de binom( 13 , 3 ) = 286 formas diferentes.
E as azuis podem ser divididas de binom( 18 , 3 ) = 816 formas diferentes.
Logo, ha' 165*286*816 formas diferentes de se distribuir todas bolas entre 4
pessoas.
Em 25 de maio de 2011 08:46, Paulo Santa Rita paulosantar...@hotmail.com
escreveu:
Ola Rogerio e demaiscolegas desta lista ... OBM-L,
Agora entendi. Esta solução está correta :
Se Y é o total de bolas de uma mesma cor e P1, P2, ..., Pn são as pessoas,
então consideramos as
soluções inteiras nao-negativas da equação linear
X1 + X2 + ... + Xn = Y
E para cada solução (x1, x2, ...,xn ) desta equação consideramos que x1 será o
total de bolas da
cor Y que serão dadas a pessoa P1, x2 será o total de bolas da cor Y que serão
dadas a pessoa P2e assim sucessivamente.
O produto entre as quantidades de soluções para cada cor será a resposta.
Agora, considere que nesta solução nos sabemos a quem será dadas as bolas, ou
seja, existem aspessoas P1, P2, ..., Pn. E se o nosso interesse fosse somente
em montar partiçoes de um conjunto
com elementos repetidos ?
Num conjunto A existem :
8 bolas brancas, iguais e indistinguiveis entre si10 bolas prestas, iguais e
indistinguiveis entre si
15 bolas azuis, iguais e indistinguiveis entre si
De quantas maneiras podemos particionar o conjunto A em 4 conjuntos ?
No problema anterior { A,{},{},{}} e {{},{},{},A} são autenticas e corretas
soluções distintas. Neste agora, não.
Um AbraçoPSR,425051108A1
Date: Wed, 25 May 2011 05:19:03 -0300
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] [obm-l] RE: [obm-l] Número
de partições de um conjunto
From: abrlw...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Ola' Paulo e colegas da lista,
o problema e' encontrar a quantidade de divisoes de 8 bolas brancas, 10 pretas
e 15 azuis entre 4 pessoas.
Para isso, basta multiplicarmos a quantidade de formas de se dividir as bolas
de cada cor entre as pessoas.
Para as brancas, por exemplo, equivale a encontrarmos o numero de solucoes nao
negativas da equacao:
X1 + X2 + X3 + X4 = 8
e assim por diante.
Lembrando que o numero de solucoes nao negativas de
X1+...+Xn = p
e' binom(n-1+p,n-1), obtemos o seguinte:
As brancas podem ser divididas de binom( 10 , 2 ) = 45 formas diferentes.
As pretas podem ser divididas de binom( 12 , 2 ) = 66 formas diferentes.
E as azuis podem ser divididas de binom( 17 , 2 ) = 136 formas diferentes.
Logo, ha' 45*66*136 formas diferentes de se distribuir todas bolas entre 4
pessoas.
[]'s
Rogerio Ponce
Em 25 de maio de 2011 00:38, Paulo Santa Rita paulosantar...@hotmail.com
escreveu:
Oi Willy e Rogerio e demaiscolegas desta lista ... OBM-L,
Não consigo entender o raciocínio de vocês. Vejam se é isso que vocês estão
falando :
Uma das duas pessoas ( digamos, o José ) pode receber
1) 0,1,2, ..., 8 bolas brancas. Seja A o conjunto dessas possibilidades
2) 0,1,2,...,10 bolas pretas. Seja B o conjunto dessas possibilidades3)
0,1,2,...,15 bolas azuis. Seja C o conjunto dessas possibilidades
A cardinalidade do produto cartesianos AxBxC encerra o total das possíveis
maneiras de José receber as bolas. O restante é a parte da outra pessoa,
digamos, da Maria. Assim, uma 3-upla (0,1,4) significa que Jose recebeu 1
bola preta e 4 azuis, ficando a Maria,
portanto, com (8-0,10-1,15-4
RE: [obm-l] [obm-l] RE: [obm-l] Número de partições de um conjunto
Oi Rogério e demais colegas desta lista ... OBM-L,
Não consegui entender a sua sugestão. Entretanto, dentre as diversas maneiras
de resolver que conheço há uma cuja estruturase assemelha, a saber :
1) Como vamos dividir 33 bolas entre duas pessoas então basta determinar
quantas vamos dar a uma particular pessoa,pois o que restar será
necessariamente da segunda pessoa. Para uma pessoa particular podemos dar
0,1,2,3,...,33bolas2) Fixada uma das opções de doação acima, digamos, K,
precisamos escolher K bolas do total disponível. Seja portantoP as bolas
pretas, B as brancas e A as azuis. Devemos ter :
A + B + P = K
3) As solucoes inteiras não negativas da equação acima são as diversas maneiras
de dar K bolas a uma das pessoas ( eportanto, a maneira de dar 33-K bolas a
outra )
4) Note que a equação anterior precisa ser trata com cuidado se K 8, pois
dispomos apenas de 8 bolas brancas eportanto não podemos considerar as soluções
com B8; igualmente, temos que tomar algum cuidado com assoluções em que K15,
pois so dispomos de 15 bolas azuis.
5) Em síntese, para cada K em {0,1,2,...,33} as soluções de A + B + P = K
constituem as maneiras de doar Kbolas a uma particular pessoa ( e 33-K a
outra ). Toda a dificuldade do problema consiste em saber como cuidardos
intervalos de K's : 0 = K = 8, 9= K = 15 e 16=k= 33.
O item 5 anterior desloca o problema para outro, mais simples. Como abordar
este novo problema, agora ?Além disso, como atacar o caso de 4 pessoas ?
Um abraço a todosPSR,31405110925
Date: Mon, 23 May 2011 21:10:55 -0300
Subject: [obm-l] [obm-l] RE: [obm-l] Número de partições de um conjunto
From: abrlw...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Ola' Paulo e colegas da lista,
minha sugestao e' calcular de quantas formas podemos dividir as bolas de cada
cor ( -- #solucoes nao negativas), e multiplicar tudo no final.
[]'s
Rogerio Ponce
Em 22 de maio de 2011 19:44, Paulo Santa Rita paulosantar...@hotmail.com
escreveu:
Oi Pedro e demaiscolegas desta lista ... OBM-L,
Este problema de dividir um conjunto em grupos de 2 ou mais subconjuntos é
relativamente bem conhecido ... um problema próximoa este e talvez mais
desafiador consiste em determinar de quantas maneiras distintas podemos dividir
um conjunto com elementos
repetidos entre duas ou mais pessoas. Por exemplo. Seja :
10 bolas pretas ( iguais entre si e indistinguíveis )8 bolas brancas ( iguais
entre si e indistinguíveis )15 bolas azuis ( iguais entre si e
indistinguíveis )
De quantas maneiras distintas podemos dividir as bolas acima entre 2 pessoas ?
E entre 4 pessoas ?
Um AbraçãoPSR,1220511132D
Date: Sun, 22 May 2011 18:26:04 -0300
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Número de
partições de um conjunto
From: pedromatematic...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Falou cara muitíssimo obriado.
Olá Paulo Santa Rita, há quanto tempo não conversávamos não é mesmo?
Olha meu erro foi fazer o r variar de 1 até n-r salvo o engano, depois somei
todos os resultados, por isso deu aquele somatório. Mas sua solução como sempre
foi brilhante.
Abração e muito obrigado.
Em 20 de maio de 2011 12:54, Alessandro Madruga Correia
amcorr...@viaconnect.com.br escreveu:
Olá,
me intrometendo...
Caro Wily como fizestes para aparecer a imagem?
Paulo volto a falar contigo!
Ele utilizou esse site, http://www.codecogs.com/latex/htmlequations.php
--
,= ,-_-. =. [o] Alessandro Madruga Correia
((_/)o o(\_)) Viaconnect -- Suporte Técnico +55 (54) 4009 3444
`-'(. .)`-' Certamente, tenho arriscado minha saúde algumas vezes pelo
\_/ excesso de trabalho, mas e daí? Somente os repolhos não têm
nervos, nem preocupações. E o que conseguem com seu bem-estar
perfeito? (Carl Gustav Jacob Jacobi)
--
Pedro Jerônimo S. de O.
Júnior
Professor
de Matemática
Geo João Pessoa
– PB
[obm-l] Re: [obm-l] [obm-l] RE: [obm-l] Número de partições de um conjunto
2011/5/23 Rogerio Ponce abrlw...@gmail.com Ola' Paulo e colegas da lista, minha sugestao e' calcular de quantas formas podemos dividir as bolas de cada cor ( -- #solucoes nao negativas), e multiplicar tudo no final. []'s Rogerio Ponce Isso me parece ser a maneira mais simples Existem 9 maneiras de se dividir 8 bolas identicas entre duas pessoas (e C(11,3) de dividir entre 4 pessoas). Faz a mesma coisa para as demais e depois multiplica. Obtemos 9*11*16, para 2 pessoas e obtemos C(11,3)*C(18,3)*C(13,3) para as 4 pessoas.
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] [obm-l] RE: [obm-l] Número de partições de um conjunto
Oi Willy e Rogerio e demaiscolegas desta lista ... OBM-L, Não consigo entender o raciocínio de vocês. Vejam se é isso que vocês estão falando : Uma das duas pessoas ( digamos, o José ) pode receber 1) 0,1,2, ..., 8 bolas brancas. Seja A o conjunto dessas possibilidades 2) 0,1,2,...,10 bolas pretas. Seja B o conjunto dessas possibilidades3) 0,1,2,...,15 bolas azuis. Seja C o conjunto dessas possibilidades A cardinalidade do produto cartesianos AxBxC encerra o total das possíveis maneiras de José receber as bolas. O restante é a parte da outra pessoa, digamos, da Maria. Assim, uma 3-upla (0,1,4) significa que Jose recebeu 1 bola preta e 4 azuis, ficando a Maria, portanto, com (8-0,10-1,15-4)=(8,9,11), ou seja, com 8 brancas, 9 pretas e 11 azuis. Se esse é o raciocínio, então ele está certo. NESTE CASO PARTICULAR ! Com mais pessoas - se entendi o que vocês disseram - o simples uso de combinações não resolve. Por exemplo, ao tomar Binom(11,3), estaremos considerando conjuntos identicos de 3 bolas brancas como se fossem distintos ... Confirmem se eu realmente entendi como vocês pensaram. Um abraçãoPSR,425051100A1 Date: Tue, 24 May 2011 18:29:40 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] [obm-l] RE: [obm-l] Número de partições de um conjunto From: wgapetre...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br 2011/5/23 Rogerio Ponce abrlw...@gmail.com Ola' Paulo e colegas da lista, minha sugestao e' calcular de quantas formas podemos dividir as bolas de cada cor ( -- #solucoes nao negativas), e multiplicar tudo no final. []'s Rogerio Ponce Isso me parece ser a maneira mais simplesExistem 9 maneiras de se dividir 8 bolas identicas entre duas pessoas (e C(11,3) de dividir entre 4 pessoas). Faz a mesma coisa para as demais e depois multiplica. Obtemos 9*11*16, para 2 pessoas e obtemos C(11,3)*C(18,3)*C(13,3) para as 4 pessoas.
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Número de partições de um conjunto
Olá Paulo, uma solução é colocar todas as bolas em uma linha e adicionar K varetas, onde K=número de pessoas - 1. Então, contar o número de permutações. No seu caso, teríamos 10 bolas pretas, 8 bolas brancas, 15 bolas azuis e 1 vareta (2 pessoas). Assim, o número de permutações é: (10+8+15+1)! / (10! 8! 15! 1!) = 34! / (10! 8! 15!) Para 4 pessoas, vamos utilizar 3 varetas. E ficamos com: (10+8+15+3)! / (10! 8! 15! 3!) = 36! / (10! 8! 15! 3!) Abraços, Salhab 2011/5/22 Paulo Santa Rita paulosantar...@hotmail.com Oi Pedro e demais colegas desta lista ... OBM-L, Este problema de dividir um conjunto em grupos de 2 ou mais subconjuntos é relativamente bem conhecido ... um problema próximo a este e talvez mais desafiador consiste em determinar de quantas maneiras distintas podemos dividir um conjunto com elementos repetidos entre duas ou mais pessoas. Por exemplo. Seja : 10 bolas pretas ( iguais entre si e indistinguíveis ) 8 bolas brancas ( iguais entre si e indistinguíveis ) 15 bolas azuis ( iguais entre si e indistinguíveis ) De quantas maneiras distintas podemos dividir as bolas acima entre 2 pessoas ? E entre 4 pessoas ? Um Abração PSR,1220511132D -- Date: Sun, 22 May 2011 18:26:04 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Número de partições de um conjunto From: pedromatematic...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Falou cara muitíssimo obriado. Olá Paulo Santa Rita, há quanto tempo não conversávamos não é mesmo? Olha meu erro foi fazer o r variar de 1 até n-r salvo o engano, depois somei todos os resultados, por isso deu aquele somatório. Mas sua solução como sempre foi brilhante. Abração e muito obrigado. Em 20 de maio de 2011 12:54, Alessandro Madruga Correia amcorr...@viaconnect.com.br escreveu: Olá, me intrometendo... Caro Wily como fizestes para aparecer a imagem? Paulo volto a falar contigo! Ele utilizou esse site, http://www.codecogs.com/latex/htmlequations.php -- ,= ,-_-. =. [o] Alessandro Madruga Correia ((_/)o o(\_)) Viaconnect -- Suporte Técnico +55 (54) 4009 3444 `-'(. .)`-' Certamente, tenho arriscado minha saúde algumas vezes pelo \_/ excesso de trabalho, mas e daí? Somente os repolhos não têm nervos, nem preocupações. E o que conseguem com seu bem-estar perfeito? (Carl Gustav Jacob Jacobi) -- Pedro Jerônimo S. de O. Júnior Professor de Matemática Geo João Pessoa – PB
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Número de partições de um conjunto
Oi Salhab e demais colegas desta lista ... OBM-L,
A solução está errada. Para ver isso claramente, considere duas bolas pretas e
tres brancas, que representamos por PPBBB. Suponhamos que precisamos dividir
estas bolas entre duas pessoas. Usando a sua solução, teriamos as duas divisões
abaixo :( OBS : o simbolo | representa a vareta )
PB | PBBBP ! PBB
CONTADAS COMO DISTINTAS, quando, em verdade, elas representam A MESMA DIVISÃO :
{B,P} e {P,B,B}. Perceba que aordem com que uma pessoa recebe as bolas é
indiferente ...
Um abraçãoPSR,2230511DC
Date: Mon, 23 May 2011 10:30:03 -0300
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l]
RE: [obm-l] Número de partições de um conjunto
From: msbro...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Olá Paulo,uma solução é colocar todas as bolas em uma linha e adicionar K
varetas, onde K=número de pessoas - 1.Então, contar o número de permutações.
No seu caso, teríamos 10 bolas pretas, 8 bolas brancas, 15 bolas azuis e 1
vareta (2 pessoas).
Assim, o número de permutações é:(10+8+15+1)! / (10! 8! 15! 1!) = 34! / (10! 8!
15!)
Para 4 pessoas, vamos utilizar 3 varetas. E ficamos com:(10+8+15+3)! / (10! 8!
15! 3!) = 36! / (10! 8! 15! 3!)
Abraços,Salhab
2011/5/22 Paulo Santa Rita paulosantar...@hotmail.com
Oi Pedro e demaiscolegas desta lista ... OBM-L,
Este problema de dividir um conjunto em grupos de 2 ou mais subconjuntos é
relativamente bem conhecido ... um problema próximo
a este e talvez mais desafiador consiste em determinar de quantas maneiras
distintas podemos dividir um conjunto com elementosrepetidos entre duas ou mais
pessoas. Por exemplo. Seja :
10 bolas pretas ( iguais entre si e indistinguíveis )8 bolas brancas ( iguais
entre si e indistinguíveis )15 bolas azuis ( iguais entre si e
indistinguíveis )
De quantas maneiras distintas podemos dividir as bolas acima entre 2 pessoas ?
E entre 4 pessoas ?
Um AbraçãoPSR,1220511132D
Date: Sun, 22 May 2011 18:26:04 -0300
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Número de
partições de um conjunto
From: pedromatematic...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Falou cara muitíssimo obriado.
Olá Paulo Santa Rita, há quanto tempo não conversávamos não é mesmo?
Olha meu erro foi fazer o r variar de 1 até n-r salvo o engano, depois somei
todos os resultados, por isso deu aquele somatório. Mas sua solução como sempre
foi brilhante.
Abração e muito obrigado.
Em 20 de maio de 2011 12:54, Alessandro Madruga Correia
amcorr...@viaconnect.com.br escreveu:
Olá,
me intrometendo...
Caro Wily como fizestes para aparecer a imagem?
Paulo volto a falar contigo!
Ele utilizou esse site, http://www.codecogs.com/latex/htmlequations.php
--
,= ,-_-. =. [o] Alessandro Madruga Correia
((_/)o o(\_)) Viaconnect -- Suporte Técnico +55 (54) 4009 3444
`-'(. .)`-' Certamente, tenho arriscado minha saúde algumas vezes pelo
\_/ excesso de trabalho, mas e daí? Somente os repolhos não têm
nervos, nem preocupações. E o que conseguem com seu bem-estar
perfeito? (Carl Gustav Jacob Jacobi)
--
Pedro Jerônimo S. de O.
Júnior
Professor
de Matemática
Geo João Pessoa
– PB
[obm-l] [obm-l] RE: [obm-l] Número de partições de um conjunto
Ola' Paulo e colegas da lista, minha sugestao e' calcular de quantas formas podemos dividir as bolas de cada cor ( -- #solucoes nao negativas), e multiplicar tudo no final. []'s Rogerio Ponce Em 22 de maio de 2011 19:44, Paulo Santa Rita paulosantar...@hotmail.comescreveu: Oi Pedro e demais colegas desta lista ... OBM-L, Este problema de dividir um conjunto em grupos de 2 ou mais subconjuntos é relativamente bem conhecido ... um problema próximo a este e talvez mais desafiador consiste em determinar de quantas maneiras distintas podemos dividir um conjunto com elementos repetidos entre duas ou mais pessoas. Por exemplo. Seja : 10 bolas pretas ( iguais entre si e indistinguíveis ) 8 bolas brancas ( iguais entre si e indistinguíveis ) 15 bolas azuis ( iguais entre si e indistinguíveis ) De quantas maneiras distintas podemos dividir as bolas acima entre 2 pessoas ? E entre 4 pessoas ? Um Abração PSR,1220511132D -- Date: Sun, 22 May 2011 18:26:04 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Número de partições de um conjunto From: pedromatematic...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Falou cara muitíssimo obriado. Olá Paulo Santa Rita, há quanto tempo não conversávamos não é mesmo? Olha meu erro foi fazer o r variar de 1 até n-r salvo o engano, depois somei todos os resultados, por isso deu aquele somatório. Mas sua solução como sempre foi brilhante. Abração e muito obrigado. Em 20 de maio de 2011 12:54, Alessandro Madruga Correia amcorr...@viaconnect.com.br escreveu: Olá, me intrometendo... Caro Wily como fizestes para aparecer a imagem? Paulo volto a falar contigo! Ele utilizou esse site, http://www.codecogs.com/latex/htmlequations.php -- ,= ,-_-. =. [o] Alessandro Madruga Correia ((_/)o o(\_)) Viaconnect -- Suporte Técnico +55 (54) 4009 3444 `-'(. .)`-' Certamente, tenho arriscado minha saúde algumas vezes pelo \_/ excesso de trabalho, mas e daí? Somente os repolhos não têm nervos, nem preocupações. E o que conseguem com seu bem-estar perfeito? (Carl Gustav Jacob Jacobi) -- Pedro Jerônimo S. de O. Júnior Professor de Matemática Geo João Pessoa – PB
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Número de partições de um conjunto
Falou cara muitíssimo obriado. Olá Paulo Santa Rita, há quanto tempo não conversávamos não é mesmo? Olha meu erro foi fazer o r variar de 1 até n-r salvo o engano, depois somei todos os resultados, por isso deu aquele somatório. Mas sua solução como sempre foi brilhante. Abração e muito obrigado. Em 20 de maio de 2011 12:54, Alessandro Madruga Correia amcorr...@viaconnect.com.br escreveu: Olá, me intrometendo... Caro Wily como fizestes para aparecer a imagem? Paulo volto a falar contigo! Ele utilizou esse site, http://www.codecogs.com/latex/htmlequations.php -- ,= ,-_-. =. [o] Alessandro Madruga Correia ((_/)o o(\_)) Viaconnect -- Suporte Técnico +55 (54) 4009 3444 `-'(. .)`-' Certamente, tenho arriscado minha saúde algumas vezes pelo \_/ excesso de trabalho, mas e daí? Somente os repolhos não têm nervos, nem preocupações. E o que conseguem com seu bem-estar perfeito? (Carl Gustav Jacob Jacobi) -- Pedro Jerônimo S. de O. Júnior Professor de Matemática Geo João Pessoa – PB
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Número de partições de um conjunto
Oi Pedro e demaiscolegas desta lista ... OBM-L, Este problema de dividir um conjunto em grupos de 2 ou mais subconjuntos é relativamente bem conhecido ... um problema próximoa este e talvez mais desafiador consiste em determinar de quantas maneiras distintas podemos dividir um conjunto com elementosrepetidos entre duas ou mais pessoas. Por exemplo. Seja : 10 bolas pretas ( iguais entre si e indistinguíveis )8 bolas brancas ( iguais entre si e indistinguíveis )15 bolas azuis ( iguais entre si e indistinguíveis ) De quantas maneiras distintas podemos dividir as bolas acima entre 2 pessoas ? E entre 4 pessoas ? Um AbraçãoPSR,1220511132D Date: Sun, 22 May 2011 18:26:04 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Número de partições de um conjunto From: pedromatematic...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Falou cara muitíssimo obriado. Olá Paulo Santa Rita, há quanto tempo não conversávamos não é mesmo? Olha meu erro foi fazer o r variar de 1 até n-r salvo o engano, depois somei todos os resultados, por isso deu aquele somatório. Mas sua solução como sempre foi brilhante. Abração e muito obrigado. Em 20 de maio de 2011 12:54, Alessandro Madruga Correia amcorr...@viaconnect.com.br escreveu: Olá, me intrometendo... Caro Wily como fizestes para aparecer a imagem? Paulo volto a falar contigo! Ele utilizou esse site, http://www.codecogs.com/latex/htmlequations.php -- ,= ,-_-. =. [o] Alessandro Madruga Correia ((_/)o o(\_)) Viaconnect -- Suporte Técnico +55 (54) 4009 3444 `-'(. .)`-' Certamente, tenho arriscado minha saúde algumas vezes pelo \_/ excesso de trabalho, mas e daí? Somente os repolhos não têm nervos, nem preocupações. E o que conseguem com seu bem-estar perfeito? (Carl Gustav Jacob Jacobi) -- Pedro Jerônimo S. de O. Júnior Professor de Matemática Geo João Pessoa – PB
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Número de partições de um conjunto
Caro Wily como fizestes para aparecer a imagem? Paulo volto a falar contigo! Em 19 de maio de 2011 15:45, Willy George Amaral Petrenko wgapetre...@gmail.com escreveu: Acho que faz sentido ao invés de usar LaTex, usar a imagem, assim fica mais acessível: Acho que todo mundo vai conseguir ler (corrijam-me se eu estiver errado). Bem, me parece que vc quis resolver o problema, não para r e s, mas para quaisquer 2 conjuntos. A resposta do Paulo está correta para o que pede o enunciado. Se você quiser calcular para quaisquer 2 conjuntos, tem que tomar cuidado com o possível termo pois ele não está sendo contado 2 vezes para vc fazer 1/2*. -- Pedro Jerônimo S. de O. Júnior Professor de Matemática Geo João Pessoa – PB
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Número de partições de um conjunto
Olá, me intrometendo... Caro Wily como fizestes para aparecer a imagem? Paulo volto a falar contigo! Ele utilizou esse site, http://www.codecogs.com/latex/htmlequations.php -- ,= ,-_-. =. [o] Alessandro Madruga Correia ((_/)o o(\_)) Viaconnect -- Suporte Técnico +55 (54) 4009 3444 `-'(. .)`-' Certamente, tenho arriscado minha saúde algumas vezes pelo \_/ excesso de trabalho, mas e daí? Somente os repolhos não têm nervos, nem preocupações. E o que conseguem com seu bem-estar perfeito? (Carl Gustav Jacob Jacobi)
[obm-l] RE: [obm-l] Número de partições de um conjunto
Olá Pedro e demaiscolegas desta lista ... OBM-L,
Se eu entendesse a sua notação, opinaria. Acredito que seja Latex, mas eu não
tenho aqui o plugin que permite a visualização.
PROBLEMA 1
Vou supor que r e s são inteiros não-negativos e que r + s = n. Seja A
o conjunto original com n elementos
1) r+s = n e r # s
Neste caso é óbvio que a resposta será Binom(n,r) = Binom(n,n-r) = Binom(n,s)
pois ao escolher um conjunto, digamos, de r elementos, o que sobra no
conjunto A terá n-r=s elementos e será o outro conjunto da partição.
Se r = s, divida o resultado anterior por 2
2) r+s n e r # s
Neste caso, seja t = n - (r+s). Podemos formar um conjunto de t elementos de
Binom(n,t) maneiras. Fixada uma destas maneira, recaímos no caso anterior :
poderemosformar Binom(n-(r+s),r) partições. Pelo principio multiplicativo segue
que a resposta sera : Binom(n,t)*Binom(n-t ,r).
Se r=s, divida o resultado anterior por 2
Note que a resposta 2) engloba a 1), pois se r+s=n então t=n-(r+s)=0 e
Binom(n,t)=Binom(n,0)=1
PROBLEMA 2
Vamos escolher um dentre os n elementos e chama-lo de INTERSECÇÃO. Retirando a
INTERSECÇÃO, sobram n-1 elementos. Sejam r' = r-1 e s' = s-1. É facil ver
que n-1, r' e s' recai no problema anterior, ja resolvido. Então a resposta
aqui é : N*( resposta anterior com a devida adaptação )
Um problema de combinatória que eu acho interessante pode ser enunciado assim :
Seja A um matriz quadrada de ordem N tal que A(i,j) = j + (i -1)*N, onde j e i
variam em K={1,2,...,N } e j representa a coluna e i representa a linha.Quantas
matrizes quadradas B de ordem N podem ser formadas tais que :
1) B não tem elementos repetidos2) Todo elemento de B pertence a {1,2,3,...,
N^2}3) B(i,j) é diferente de A(i,j) para todo par (i,j) pertencente a K^2 (
K^2 é o produto cartesiano de K por si mesmo )
Um abraço a todosPSR,51005111338
Date: Thu, 19 May 2011 18:29:53 +0430
Subject: [obm-l] Número de partições de um conjunto
From: pedromatematic...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
No primeiro problema cheguei a algo do tipo 1/2\cdot [ C_{n}^{1} \cdot
(2^{n-1}-1) + C_{n}^{2} \cdot (2^{n-2}-1) + C_{n}^{3} \cdot (2^{n-3}-1)
+...+C_{n}^{n-1} ]
queria saber se alguém sabe opinaar se estou no caminho correto.
Abraços.
1. Seja X um conjunto com n elementos. Calcule o número de escolhas possíveis
de dois subconjuntos disjuntos de r e s elementos, respectivamente. [E se r
= s?]
2. O mesmo exercício anterior mas em que os dois subconjuntos possam
intersectar-se
num único elemento.
--
Pedro Jerônimo S. de O.
Júnior
Professor
de Matemática
Geo João Pessoa
– PB
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Número de partições de um conjunto
Acho que faz sentido ao invés de usar LaTex, usar a imagem, assim fica mais acessível: Acho que todo mundo vai conseguir ler (corrijam-me se eu estiver errado). Bem, me parece que vc quis resolver o problema, não para r e s, mas para quaisquer 2 conjuntos. A resposta do Paulo está correta para o que pede o enunciado. Se você quiser calcular para quaisquer 2 conjuntos, tem que tomar cuidado com o possível termo pois ele não está sendo contado 2 vezes para vc fazer 1/2*.
