[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina

2015-10-15 Por tôpico Israel Meireles Chrisostomo 
Na verdade Pedro eu parti do princípio que ao ler minha pergunta vcs iriam
ler a solução que está no link que deixei ´na pergunta, e lá no link está
claro que ele toma valores de x>=4, foi  mal!

Em 15 de outubro de 2015 16:05, Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> Pessoal, gostaria de agradecer ao pessoal do grupo, vcs são demais, vcs
> entendem muito e raciocinam para kralho!Além disso são humildes ao
> responderem minhas dúvidas, vcs são 10!
>
> Em 15 de outubro de 2015 15:43, Pedro José  escreveu:
>
>> Boa tarde!
>>
>> Fácil de achar há duas soluções. (1,0); (3,2). Não sei se são únicas.
>> Porém, nem 0 nem 2 são congruentes a 20 (mod54).
>> Procure expressar melhor o que você deseja.
>>
>>
>>
>> Mas quanto ao seu questionamento que há um período na função 5^y, onde a
>> congruência se repete...
>>
>> Teorema de Euler-Fermat: Se mdc(a,m) = 1==> a^Ф(m) ≡ 1 (mod m), onde Ф(m)
>> é a função totiente de Euler que nada mais é que a quantidade de 0> tal que mdc(d,m) = 1., ou seja, a cardinalidade do grupo (Z /Zm)*.
>> Para calcular Ф(m), onde a fatoração de m é p1^y1 * p2^y2 *...* pn^yn
>> teremos:
>>  Ф(m)=m *(1-1/p1)*(1-1/p2)*...*(1-1/pn) (i)
>>
>> assim para m=81, como mdc (5,81) =1 temos por Euler-Fermat que 5^Ф(81)  ≡
>> 1 (mod 81),
>>
>> 81= 3^4, logo por (i) Ф(81) = 81 (2/3)= 54 ==> 5^54 ≡ 1 (mod 81), ==>
>> 5^p+n*54 ≡ 5^p*(5^54)^n (mod 81),
>> ==> 5^p+n*54 ≡ 5^p*(1)^n ≡ 5^p  (mod 81)
>>
>> Porém, Ф(m) não é necessariamente o mínimo valor de p em que ocorre a^p ≡
>> 1 (mod m),.
>>
>> Definição: sejam a,m inteiros e mdc(a,m) = 1. A ordem de a módulo m,
>> representada por ordma, é o menor inteiro d > 0 tal que; a^d  ≡ 1 (mod
>> m).
>>
>> Portanto temos que: ordma divide Ф(m).
>>
>> E quando ordma = Ф(m), dizemos que a é uma raiz primitiva de m.
>>
>> No caso 5 é uma raiz primitiva de 3^4 =81.
>>
>> Recomendo você dar uma lida:
>> http://www.icmc.usp.br/~etengan/imersao/imersao.pdf
>>
>> Saudações,
>> PJMS.
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>> Saudações.
>>
>> Em 15 de outubro de 2015 13:53, Israel Meireles Chrisostomo <
>> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Não quero que resolvam a equação pois já tenho a solução, só quero
>>> entender uma parte da solução...Na equação 3^x-5^y=2, como posso concluir
>>> que y é congruente 20 módulo 54(sem fazer todas as congruências é
>>> claro)?Alguém poderia me explicar como concluir isso de forma simples?
>>> Aqui está a solução da equação diofantina:
>>> http://diego.mat.unb.br/click.html
>>> No caso ele fez a congruência módulo 81 e concluiu que 5^y é congruente
>>> a -2 que é congruente 79 módulo 81(até aqui tudo bem), e depois daí partiu
>>> para dizer que y é congruente a 20 módulo 54.Mas sinceramente para eu
>>> concluir isso eu teria que fazer todas as congruências de 5^y módulo 81
>>> até que percebesse que na vez 54 a congruência daria 1 e daí em diante se
>>> repetiria, mas eu tenho a impressão que ele não fez todas as congruências
>>> módulo 81 para concluir isso, isso simplesmente seria inviável por ser
>>> impensável.Então, como ele conclui fazendo congruência módulo 81 que as
>>> potências de 5 deixam o mesmo resto módulo 81 a cada 54 vezes?Se alguém
>>> pudesse me explicar ficaria muito grato, teoria dos números é algo novo
>>> para mim, desde já agradeço!
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina

2015-10-15 Por tôpico Israel Meireles Chrisostomo 
Pessoal, gostaria de agradecer ao pessoal do grupo, vcs são demais, vcs
entendem muito e raciocinam para kralho!Além disso são humildes ao
responderem minhas dúvidas, vcs são 10!

Em 15 de outubro de 2015 15:43, Pedro José  escreveu:

> Boa tarde!
>
> Fácil de achar há duas soluções. (1,0); (3,2). Não sei se são únicas.
> Porém, nem 0 nem 2 são congruentes a 20 (mod54).
> Procure expressar melhor o que você deseja.
>
>
>
> Mas quanto ao seu questionamento que há um período na função 5^y, onde a
> congruência se repete...
>
> Teorema de Euler-Fermat: Se mdc(a,m) = 1==> a^Ф(m) ≡ 1 (mod m), onde Ф(m)
> é a função totiente de Euler que nada mais é que a quantidade de 0 tal que mdc(d,m) = 1., ou seja, a cardinalidade do grupo (Z /Zm)*.
> Para calcular Ф(m), onde a fatoração de m é p1^y1 * p2^y2 *...* pn^yn
> teremos:
>  Ф(m)=m *(1-1/p1)*(1-1/p2)*...*(1-1/pn) (i)
>
> assim para m=81, como mdc (5,81) =1 temos por Euler-Fermat que 5^Ф(81)  ≡
> 1 (mod 81),
>
> 81= 3^4, logo por (i) Ф(81) = 81 (2/3)= 54 ==> 5^54 ≡ 1 (mod 81), ==>
> 5^p+n*54 ≡ 5^p*(5^54)^n (mod 81),
> ==> 5^p+n*54 ≡ 5^p*(1)^n ≡ 5^p  (mod 81)
>
> Porém, Ф(m) não é necessariamente o mínimo valor de p em que ocorre a^p ≡ 1
> (mod m),.
>
> Definição: sejam a,m inteiros e mdc(a,m) = 1. A ordem de a módulo m,
> representada por ordma, é o menor inteiro d > 0 tal que; a^d  ≡ 1 (mod m).
>
> Portanto temos que: ordma divide Ф(m).
>
> E quando ordma = Ф(m), dizemos que a é uma raiz primitiva de m.
>
> No caso 5 é uma raiz primitiva de 3^4 =81.
>
> Recomendo você dar uma lida:
> http://www.icmc.usp.br/~etengan/imersao/imersao.pdf
>
> Saudações,
> PJMS.
>
>
>
>
>
>
>
> Saudações.
>
> Em 15 de outubro de 2015 13:53, Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>
>> Não quero que resolvam a equação pois já tenho a solução, só quero
>> entender uma parte da solução...Na equação 3^x-5^y=2, como posso concluir
>> que y é congruente 20 módulo 54(sem fazer todas as congruências é
>> claro)?Alguém poderia me explicar como concluir isso de forma simples?
>> Aqui está a solução da equação diofantina:
>> http://diego.mat.unb.br/click.html
>> No caso ele fez a congruência módulo 81 e concluiu que 5^y é congruente a
>> -2 que é congruente 79 módulo 81(até aqui tudo bem), e depois daí partiu
>> para dizer que y é congruente a 20 módulo 54.Mas sinceramente para eu
>> concluir isso eu teria que fazer todas as congruências de 5^y módulo 81
>> até que percebesse que na vez 54 a congruência daria 1 e daí em diante se
>> repetiria, mas eu tenho a impressão que ele não fez todas as congruências
>> módulo 81 para concluir isso, isso simplesmente seria inviável por ser
>> impensável.Então, como ele conclui fazendo congruência módulo 81 que as
>> potências de 5 deixam o mesmo resto módulo 81 a cada 54 vezes?Se alguém
>> pudesse me explicar ficaria muito grato, teoria dos números é algo novo
>> para mim, desde já agradeço!
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina

2015-10-15 Por tôpico Pedro José 
Boa tarde!

Fácil de achar há duas soluções. (1,0); (3,2). Não sei se são únicas.
Porém, nem 0 nem 2 são congruentes a 20 (mod54).
Procure expressar melhor o que você deseja.



Mas quanto ao seu questionamento que há um período na função 5^y, onde a
congruência se repete...

Teorema de Euler-Fermat: Se mdc(a,m) = 1==> a^Ф(m) ≡ 1 (mod m), onde Ф(m) é
a função totiente de Euler que nada mais é que a quantidade de 0 5^54 ≡ 1 (mod 81), ==>
5^p+n*54 ≡ 5^p*(5^54)^n (mod 81),
==> 5^p+n*54 ≡ 5^p*(1)^n ≡ 5^p  (mod 81)

Porém, Ф(m) não é necessariamente o mínimo valor de p em que ocorre a^p ≡ 1
(mod m),.

Definição: sejam a,m inteiros e mdc(a,m) = 1. A ordem de a módulo m,
representada por ordma, é o menor inteiro d > 0 tal que; a^d  ≡ 1 (mod m).

Portanto temos que: ordma divide Ф(m).

E quando ordma = Ф(m), dizemos que a é uma raiz primitiva de m.

No caso 5 é uma raiz primitiva de 3^4 =81.

Recomendo você dar uma lida:
http://www.icmc.usp.br/~etengan/imersao/imersao.pdf

Saudações,
PJMS.







Saudações.

Em 15 de outubro de 2015 13:53, Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> Não quero que resolvam a equação pois já tenho a solução, só quero
> entender uma parte da solução...Na equação 3^x-5^y=2, como posso concluir
> que y é congruente 20 módulo 54(sem fazer todas as congruências é
> claro)?Alguém poderia me explicar como concluir isso de forma simples?
> Aqui está a solução da equação diofantina:
> http://diego.mat.unb.br/click.html
> No caso ele fez a congruência módulo 81 e concluiu que 5^y é congruente a
> -2 que é congruente 79 módulo 81(até aqui tudo bem), e depois daí partiu
> para dizer que y é congruente a 20 módulo 54.Mas sinceramente para eu
> concluir isso eu teria que fazer todas as congruências de 5^y módulo 81
> até que percebesse que na vez 54 a congruência daria 1 e daí em diante se
> repetiria, mas eu tenho a impressão que ele não fez todas as congruências
> módulo 81 para concluir isso, isso simplesmente seria inviável por ser
> impensável.Então, como ele conclui fazendo congruência módulo 81 que as
> potências de 5 deixam o mesmo resto módulo 81 a cada 54 vezes?Se alguém
> pudesse me explicar ficaria muito grato, teoria dos números é algo novo
> para mim, desde já agradeço!
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] equação diofantina

2015-10-14 Por tôpico Israel Meireles Chrisostomo 
ah sim é verdade!

Em 14 de outubro de 2015 11:20, Gabriel Tostes 
escreveu:

> (1,0) nao eh solucao tbm?
>
>
>
> Sent from my iPad
> On Oct 14, 2015, at 11:04, Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com> wrote:
>
> Está aqui no site do professor Diego Marques:
> http://diego.mat.unb.br/click.html
> Só possui uma solução, que é a solução trivial(x=3 e y=2).Mas  o
> difícil é provar que a solução é única, veja que raciocínio
> fantástico!
>
> Em 14 de outubro de 2015 07:41, marcone augusto araújo borges <
> marconeborge...@hotmail.com> escreveu:
>
>> E a solução da equação 3^x - 5^y = 2 ?
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Re: [obm-l] equação diofantina

2015-10-14 Por tôpico Gabriel Tostes 
(1,0) nao eh solucao tbm?



Sent from my iPad
> On Oct 14, 2015, at 11:04, Israel Meireles Chrisostomo 
>  wrote:
> 
> Está aqui no site do professor Diego Marques: 
> http://diego.mat.unb.br/click.html
> Só possui uma solução, que é a solução trivial(x=3 e y=2).Mas  o 
> difícil é provar que a solução é única, veja que raciocínio 
> fantástico!
> 
> Em 14 de outubro de 2015 07:41, marcone augusto araújo borges 
>  escreveu:
>> E a solução da equação 3^x - 5^y = 2 ?
>> 
>> -- 
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
>> acredita-se estar livre de perigo.
> 
> 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina

2015-10-14 Por tôpico Israel Meireles Chrisostomo 
Obrigado Gabriel Tostes foi de grande ajuda

Em 13 de outubro de 2015 22:39, Gabriel Tostes 
escreveu:

> Usando : pros tres pauzinhos da congruencias.
>
> 3^x=2 + 5^y
> 3^x:2 (mod5)
> X=4K+3
> 3^(4k+3)=2+5^y
> 5^y:7(mod9)
> y=6k+2
> 5^6k+2:25:4(mod7)
> 3^x:2+4(mod7)
>
>
> > On Oct 13, 2015, at 22:00, Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com> wrote:
> >
> > Não quero que resolvam a equação pois já tenho a solução, só
> quero entender uma parte da solução...Na equação 3^x-5^y=2, como posso
> concluir que 3^x é congruente 6 módulo 7?Alguém poderia me explicar como
> concluir isso?
> >
> > --
> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> > acredita-se estar livre de perigo.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] equação diofantina

2015-10-14 Por tôpico Israel Meireles Chrisostomo 
Está aqui no site do professor Diego Marques:
http://diego.mat.unb.br/click.html
Só possui uma solução, que é a solução trivial(x=3 e y=2).Mas  o difícil é
provar que a solução é única, veja que raciocínio fantástico!

Em 14 de outubro de 2015 07:41, marcone augusto araújo borges <
marconeborge...@hotmail.com> escreveu:

> E a solução da equação 3^x - 5^y = 2 ?
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina (de novo)

2015-04-22 Por tôpico Pedro José 
Bom dia!

Desculpe-me, não vi a restrição do método.

Sds,
PJMS

Em 22 de abril de 2015 12:04, Pedro Chaves brped...@hotmail.com escreveu:

 Obrigado, Pedro José!

 O que desejo, entretanto, é resolver a equação por congruência.

 Um abraço!
 Pedro Chaves

 
  Date: Wed, 22 Apr 2015 11:32:17 -0300
  Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina (de novo)
  From: petroc...@gmail.com
  To: obm-l@mat.puc-rio.br
 
  Bom dia!
 
  Pelo teorema de Bèzout a equação ax + by = c tem solução se e somente
  se m.d.c.(a,b) divide c.
 
  Como 7 e 12 são primos entre si, temos que 1 divide 11 e tem solução.
 
  Primeiro passo achar o m.d.c. entre 7 e 12 pelo algorítimo de Euclides.
 
  12 = 7 * 1 + 5
  7 = 5 * 1 + 2
  5 = 2 * 2 + 1
 
  Segundo passo: expressar a unidade como uma Z combinação linear de 12 e
  7. (embora para o caso seja fácil achar 1 = 3 * 12 - 7 * 5, faremos de
  modo sistemático, pois as vezez não o é fácil.)
 
  5 = 12 - 7 (i)
  2 = 7 - 5 (ii)
  1 = 5 - 2 *2 (iii)
 
  (ii) e (iii) == 1 = 5 - ( 7 -5) *2 = 3*5 - 7 * 2 (iv)
 
  (iv) e (i) == 1 = 3 * (12 - 7) - 7*2 = 3 * 12 - 7 * 5
 
  então podemos afirmar que - 5 *7 -12 * (-3) =1.
 
  então (-5,-3) é uma solução da equação : 7x -12 y = 1
 
  Se multiplicarmos por 11, teremos que (-55,-33) é uma solução da
  equação 7 x - 12 y = 11.
 
  Agora use a solução encontrada 7 x - 12 y = 7 * (-55) - 12 * (-33)
  == 7 * (x+55) = 12 (y+33) (v)
 
  pelo fechamento da adição em Z temos que 7 divide 12 (y +33)
 
  Usando o teorema: se d divede ab e m.d.c.(d,a) = 1 == d divide b.
 
  m.d.c (7,12) = 1 == 7 divide (y+33) == existe t Ɛ Z, 7* t = (y+33)
  == y = -33 + 7*t (vi)
 
  (vi) e (v) == 7* (x+55) = 12 * 7*T) == x = -55 +12*t
 
  Então a solução completa é { (x,y) Ɛ Z^2 | x= -55+ 12*t , y = -33 +
  7*t, t ƐZ }
 
  Caso os coeficientes a e b, da equação a x+ by = c, não sejam primos
  entre si, para que se possa aplicar o destacado em vermelho, basta
  dividir todos os membros por m.d.c(a,b), pois por Bèzout só existem
  soluções se m.d.c.(a,b) divide c.
 
  Tem o artigo do eduardo Tengan:
  http://www.icmc.usp.br/~etengan/imersao/imersao.pdf, onde há
  demonstrações e muito mais. Foi lá que aprendi a resolver essas
  equações.
 
  Saudações,
  PJMS
 
 
 
 
 
  Em 22 de abril de 2015 07:43, Benedito Tadeu V. Freire
  b...@ccet.ufrn.brmailto:b...@ccet.ufrn.br escreveu:
  Pedro,
 
  7 é o inverso de 7 módulo 12
 
  --
  Open WebMail Project (http://openwebmail.orghttp://openwebmail.org/)
 
 
  -- Original Message ---
  From: Pedro Chaves brped...@hotmail.commailto:brped...@hotmail.com
  To: obm-l@mat.puc-rio.brmailto:obm-l@mat.puc-rio.br
  obm-l@mat.puc-rio.brmailto:obm-l@mat.puc-rio.br
  Sent: Wed, 22 Apr 2015 12:46:28 +0300
  Subject: [obm-l] Equação diofantina (de novo)
 
  Caros Colegas,
 
  A equação diofantina 7x - 12y = 11 pode ser resolvida por
  congruência? Não consegui.
 
  Sei que 7x é congruente a -1 (mod 12), mas não sei como ir em frente.
 
  Abraços.
  Pedro Chaves
  --
  Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
  acredita-se estar livre de perigo.
 
 
 =
  Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
  http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 
 =
  --- End of Original Message ---
 
  --
  Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
  acredita-se estar livre de perigo.
 
 
  --
  Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
  acredita-se estar livre de perigo.

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
  acredita-se estar livre de perigo.


 =
 Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 =


-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina (de novo)

2015-04-22 Por tôpico Pedro Chaves 
Obrigado, Pedro José!

O que desejo, entretanto, é resolver a equação por congruência.

Um abraço!
Pedro Chaves


 Date: Wed, 22 Apr 2015 11:32:17 -0300 
 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina (de novo) 
 From: petroc...@gmail.com 
 To: obm-l@mat.puc-rio.br 
 
 Bom dia! 
 
 Pelo teorema de Bèzout a equação ax + by = c tem solução se e somente 
 se m.d.c.(a,b) divide c. 
 
 Como 7 e 12 são primos entre si, temos que 1 divide 11 e tem solução. 
 
 Primeiro passo achar o m.d.c. entre 7 e 12 pelo algorítimo de Euclides. 
 
 12 = 7 * 1 + 5 
 7 = 5 * 1 + 2 
 5 = 2 * 2 + 1 
 
 Segundo passo: expressar a unidade como uma Z combinação linear de 12 e 
 7. (embora para o caso seja fácil achar 1 = 3 * 12 - 7 * 5, faremos de 
 modo sistemático, pois as vezez não o é fácil.) 
 
 5 = 12 - 7 (i) 
 2 = 7 - 5 (ii) 
 1 = 5 - 2 *2 (iii) 
 
 (ii) e (iii) == 1 = 5 - ( 7 -5) *2 = 3*5 - 7 * 2 (iv) 
 
 (iv) e (i) == 1 = 3 * (12 - 7) - 7*2 = 3 * 12 - 7 * 5 
 
 então podemos afirmar que - 5 *7 -12 * (-3) =1. 
 
 então (-5,-3) é uma solução da equação : 7x -12 y = 1 
 
 Se multiplicarmos por 11, teremos que (-55,-33) é uma solução da 
 equação 7 x - 12 y = 11. 
 
 Agora use a solução encontrada 7 x - 12 y = 7 * (-55) - 12 * (-33) 
 == 7 * (x+55) = 12 (y+33) (v) 
 
 pelo fechamento da adição em Z temos que 7 divide 12 (y +33) 
 
 Usando o teorema: se d divede ab e m.d.c.(d,a) = 1 == d divide b. 
 
 m.d.c (7,12) = 1 == 7 divide (y+33) == existe t Ɛ Z, 7* t = (y+33) 
 == y = -33 + 7*t (vi) 
 
 (vi) e (v) == 7* (x+55) = 12 * 7*T) == x = -55 +12*t 
 
 Então a solução completa é { (x,y) Ɛ Z^2 | x= -55+ 12*t , y = -33 + 
 7*t, t ƐZ } 
 
 Caso os coeficientes a e b, da equação a x+ by = c, não sejam primos 
 entre si, para que se possa aplicar o destacado em vermelho, basta 
 dividir todos os membros por m.d.c(a,b), pois por Bèzout só existem 
 soluções se m.d.c.(a,b) divide c. 
 
 Tem o artigo do eduardo Tengan: 
 http://www.icmc.usp.br/~etengan/imersao/imersao.pdf, onde há 
 demonstrações e muito mais. Foi lá que aprendi a resolver essas 
 equações. 
 
 Saudações, 
 PJMS 
 
 
 
 
 
 Em 22 de abril de 2015 07:43, Benedito Tadeu V. Freire 
 b...@ccet.ufrn.brmailto:b...@ccet.ufrn.br escreveu: 
 Pedro, 
 
 7 é o inverso de 7 módulo 12 
 
 -- 
 Open WebMail Project (http://openwebmail.orghttp://openwebmail.org/) 
 
 
 -- Original Message --- 
 From: Pedro Chaves brped...@hotmail.commailto:brped...@hotmail.com 
 To: obm-l@mat.puc-rio.brmailto:obm-l@mat.puc-rio.br 
 obm-l@mat.puc-rio.brmailto:obm-l@mat.puc-rio.br 
 Sent: Wed, 22 Apr 2015 12:46:28 +0300 
 Subject: [obm-l] Equação diofantina (de novo) 
 
 Caros Colegas, 
 
 A equação diofantina 7x - 12y = 11 pode ser resolvida por 
 congruência? Não consegui. 
 
 Sei que 7x é congruente a -1 (mod 12), mas não sei como ir em frente. 
 
 Abraços. 
 Pedro Chaves 
 -- 
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
 acredita-se estar livre de perigo. 
 
 = 
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em 
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html 
 = 
 --- End of Original Message --- 
 
 -- 
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
 acredita-se estar livre de perigo. 
 
 
 -- 
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e 
 acredita-se estar livre de perigo. 
  
-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina (de novo)

2015-04-22 Por tôpico Pacini Bores 
Oi Pedro,

7x=-1(12),

35x =-5(12),

36x-x=-5(12),

-x=-5(12),

x=5(12).

Abs

Pacini


Em 22 de abril de 2015 07:43, Benedito Tadeu V. Freire b...@ccet.ufrn.br
escreveu:

  Pedro,

 7 é o inverso de 7 módulo 12

 --
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 *-- Original Message ---*
 From: Pedro Chaves brped...@hotmail.com
 To: obm-l@mat.puc-rio.br obm-l@mat.puc-rio.br
 Sent: Wed, 22 Apr 2015 12:46:28 +0300
 Subject: [obm-l] Equação diofantina (de novo)

  Caros Colegas,
 
  A equação diofantina 7x - 12y = 11 pode ser resolvida por congruência?
 Não consegui.
 
  Sei que 7x é congruente a -1 (mod 12), mas não sei como ir em frente.
 
  Abraços.
  Pedro Chaves
  --
  Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
  acredita-se estar livre de perigo.
 
 
 =
  Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
  http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 
 =
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[obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina (de novo)

2015-04-22 Por tôpico Pedro José 
Bom dia!

Pelo teorema de Bèzout a equação ax + by = c tem solução se e somente se
m.d.c.(a,b) divide c.

Como 7 e 12 são primos entre si, temos que 1 divide 11 e tem solução.

Primeiro passo achar o m.d.c. entre 7 e 12 pelo algorítimo de Euclides.

12 = 7 * 1 + 5
 7  = 5 * 1 + 2
 5 = 2  * 2 + 1

Segundo passo: expressar a unidade como uma Z combinação linear de 12 e 7.
(embora para o caso seja fácil achar 1 = 3 * 12 - 7 * 5, faremos de modo
sistemático, pois as vezez não o é fácil.)

5 = 12 - 7 (i)
2 = 7 - 5   (ii)
1 = 5 - 2 *2  (iii)

(ii) e (iii) == 1 = 5 - ( 7 -5) *2 = 3*5 - 7 * 2 (iv)

(iv) e (i) == 1 = 3 * (12 - 7) - 7*2 = 3 * 12 - 7 * 5

então podemos afirmar que - 5 *7 -12 * (-3) =1.

então (-5,-3) é uma solução da equação : 7x -12 y = 1

Se multiplicarmos por 11, teremos que (-55,-33) é uma solução da equação 7
x - 12 y = 11.

Agora use a solução encontrada  7 x  - 12 y = 7 * (-55) - 12 * (-33)  ==
7 * (x+55) = 12 (y+33) (v)

pelo fechamento da adição em Z temos que 7 divide 12 (y +33)

Usando o teorema: se d divede ab e m.d.c.(d,a) = 1 == d divide b.

m.d.c (7,12) = 1 == 7 divide (y+33) == existe t Ɛ Z,  7* t = (y+33) == y
= -33 + 7*t (vi)

(vi) e (v) == 7* (x+55) = 12 * 7*T) == x = -55 +12*t

Então a solução completa é { (x,y) Ɛ Z^2 | x= -55+ 12*t , y = -33 + 7*t, t ƐZ
}

Caso os coeficientes a e b, da equação  a x+ by = c, não sejam primos entre
si, para que se possa aplicar o destacado em vermelho, basta dividir todos
os membros por m.d.c(a,b), pois por Bèzout só existem soluções se
m.d.c.(a,b) divide c.

Tem o artigo do eduardo Tengan:
http://www.icmc.usp.br/~etengan/imersao/imersao.pdf, onde há demonstrações
e muito mais. Foi lá que aprendi a resolver essas equações.

 Saudações,
PJMS





Em 22 de abril de 2015 07:43, Benedito Tadeu V. Freire b...@ccet.ufrn.br
escreveu:

  Pedro,

 7 é o inverso de 7 módulo 12

 --
 Open WebMail Project (http://openwebmail.org)


 *-- Original Message ---*
 From: Pedro Chaves brped...@hotmail.com
 To: obm-l@mat.puc-rio.br obm-l@mat.puc-rio.br
 Sent: Wed, 22 Apr 2015 12:46:28 +0300
 Subject: [obm-l] Equação diofantina (de novo)

  Caros Colegas,
 
  A equação diofantina 7x - 12y = 11 pode ser resolvida por congruência?
 Não consegui.
 
  Sei que 7x é congruente a -1 (mod 12), mas não sei como ir em frente.
 
  Abraços.
  Pedro Chaves
  --
  Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
  acredita-se estar livre de perigo.
 
 
 =
  Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
  http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 
 =
 *--- End of Original Message ---*

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 acredita-se estar livre de perigo.


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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina (de novo)

2015-04-22 Por tôpico Pedro José 
Boa tarde!

Corrigindo... y = 2 + 7m e não 2+ 2m.

Desculpem-me,
PJMS

Em 22 de abril de 2015 14:26, Pedro José petroc...@gmail.com escreveu:

 Boa tarde!

 Não parei para pensar se dá sempre.

 7 * x  ≡ 11 (mod12) == 7*7*x ≡ -1*7 (mod12) == x ≡ 5 (mod12) == x = 5
 + 12* m : m Ɛ Z

 -12*y ≡11 (mod7) == 2*y ≡ 4 (mod7) == 4*2*y ≡ 4*4 (mod7) == y ≡ 2 (mod12)
 == y =2 + 7*n : n ƐZ


  Substituindo na equação original temos:

 7 * (5 +12*m) -12* (2 + 7*n) =11 == 84*m - 84* n = 0 == m=n == x = 5
 +12 m e y = 2 + 2m : m ƐZ.

 Saudações,
 PJMS






 Em 22 de abril de 2015 13:37, Pedro José petroc...@gmail.com escreveu:

 Bom dia!

 Desculpe-me, não vi a restrição do método.

 Sds,
 PJMS

 Em 22 de abril de 2015 12:04, Pedro Chaves brped...@hotmail.com
 escreveu:

 Obrigado, Pedro José!

 O que desejo, entretanto, é resolver a equação por congruência.

 Um abraço!
 Pedro Chaves

 
  Date: Wed, 22 Apr 2015 11:32:17 -0300
  Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina (de novo)
  From: petroc...@gmail.com
  To: obm-l@mat.puc-rio.br
 
  Bom dia!
 
  Pelo teorema de Bèzout a equação ax + by = c tem solução se e somente
  se m.d.c.(a,b) divide c.
 
  Como 7 e 12 são primos entre si, temos que 1 divide 11 e tem solução.
 
  Primeiro passo achar o m.d.c. entre 7 e 12 pelo algorítimo de Euclides.
 
  12 = 7 * 1 + 5
  7 = 5 * 1 + 2
  5 = 2 * 2 + 1
 
  Segundo passo: expressar a unidade como uma Z combinação linear de 12 e
  7. (embora para o caso seja fácil achar 1 = 3 * 12 - 7 * 5, faremos de
  modo sistemático, pois as vezez não o é fácil.)
 
  5 = 12 - 7 (i)
  2 = 7 - 5 (ii)
  1 = 5 - 2 *2 (iii)
 
  (ii) e (iii) == 1 = 5 - ( 7 -5) *2 = 3*5 - 7 * 2 (iv)
 
  (iv) e (i) == 1 = 3 * (12 - 7) - 7*2 = 3 * 12 - 7 * 5
 
  então podemos afirmar que - 5 *7 -12 * (-3) =1.
 
  então (-5,-3) é uma solução da equação : 7x -12 y = 1
 
  Se multiplicarmos por 11, teremos que (-55,-33) é uma solução da
  equação 7 x - 12 y = 11.
 
  Agora use a solução encontrada 7 x - 12 y = 7 * (-55) - 12 * (-33)
  == 7 * (x+55) = 12 (y+33) (v)
 
  pelo fechamento da adição em Z temos que 7 divide 12 (y +33)
 
  Usando o teorema: se d divede ab e m.d.c.(d,a) = 1 == d divide b.
 
  m.d.c (7,12) = 1 == 7 divide (y+33) == existe t Ɛ Z, 7* t = (y+33)
  == y = -33 + 7*t (vi)
 
  (vi) e (v) == 7* (x+55) = 12 * 7*T) == x = -55 +12*t
 
  Então a solução completa é { (x,y) Ɛ Z^2 | x= -55+ 12*t , y = -33 +
  7*t, t ƐZ }
 
  Caso os coeficientes a e b, da equação a x+ by = c, não sejam primos
  entre si, para que se possa aplicar o destacado em vermelho, basta
  dividir todos os membros por m.d.c(a,b), pois por Bèzout só existem
  soluções se m.d.c.(a,b) divide c.
 
  Tem o artigo do eduardo Tengan:
  http://www.icmc.usp.br/~etengan/imersao/imersao.pdf, onde há
  demonstrações e muito mais. Foi lá que aprendi a resolver essas
  equações.
 
  Saudações,
  PJMS
 
 
 
 
 
  Em 22 de abril de 2015 07:43, Benedito Tadeu V. Freire
  b...@ccet.ufrn.brmailto:b...@ccet.ufrn.br escreveu:
  Pedro,
 
  7 é o inverso de 7 módulo 12
 
  --
  Open WebMail Project (http://openwebmail.orghttp://openwebmail.org/)
 
 
  -- Original Message ---
  From: Pedro Chaves brped...@hotmail.commailto:brped...@hotmail.com
  To: obm-l@mat.puc-rio.brmailto:obm-l@mat.puc-rio.br
  obm-l@mat.puc-rio.brmailto:obm-l@mat.puc-rio.br
  Sent: Wed, 22 Apr 2015 12:46:28 +0300
  Subject: [obm-l] Equação diofantina (de novo)
 
  Caros Colegas,
 
  A equação diofantina 7x - 12y = 11 pode ser resolvida por
  congruência? Não consegui.
 
  Sei que 7x é congruente a -1 (mod 12), mas não sei como ir em frente.
 
  Abraços.
  Pedro Chaves
  --
  Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
  acredita-se estar livre de perigo.
 
 
 =
  Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
  http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 
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  --- End of Original Message ---
 
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  Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
  acredita-se estar livre de perigo.
 
 
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  Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
  acredita-se estar livre de perigo.

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 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
  acredita-se estar livre de perigo.


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 Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina (de novo)

2015-04-22 Por tôpico Pedro José 
Boa tarde!

Não parei para pensar se dá sempre.

7 * x  ≡ 11 (mod12) == 7*7*x ≡ -1*7 (mod12) == x ≡ 5 (mod12) == x = 5 +
12* m : m Ɛ Z

-12*y ≡11 (mod7) == 2*y ≡ 4 (mod7) == 4*2*y ≡ 4*4 (mod7) == y ≡ 2 (mod12)
== y =2 + 7*n : n ƐZ


 Substituindo na equação original temos:

7 * (5 +12*m) -12* (2 + 7*n) =11 == 84*m - 84* n = 0 == m=n == x = 5 +12
m e y = 2 + 2m : m ƐZ.

Saudações,
PJMS






Em 22 de abril de 2015 13:37, Pedro José petroc...@gmail.com escreveu:

 Bom dia!

 Desculpe-me, não vi a restrição do método.

 Sds,
 PJMS

 Em 22 de abril de 2015 12:04, Pedro Chaves brped...@hotmail.com
 escreveu:

 Obrigado, Pedro José!

 O que desejo, entretanto, é resolver a equação por congruência.

 Um abraço!
 Pedro Chaves

 
  Date: Wed, 22 Apr 2015 11:32:17 -0300
  Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina (de novo)
  From: petroc...@gmail.com
  To: obm-l@mat.puc-rio.br
 
  Bom dia!
 
  Pelo teorema de Bèzout a equação ax + by = c tem solução se e somente
  se m.d.c.(a,b) divide c.
 
  Como 7 e 12 são primos entre si, temos que 1 divide 11 e tem solução.
 
  Primeiro passo achar o m.d.c. entre 7 e 12 pelo algorítimo de Euclides.
 
  12 = 7 * 1 + 5
  7 = 5 * 1 + 2
  5 = 2 * 2 + 1
 
  Segundo passo: expressar a unidade como uma Z combinação linear de 12 e
  7. (embora para o caso seja fácil achar 1 = 3 * 12 - 7 * 5, faremos de
  modo sistemático, pois as vezez não o é fácil.)
 
  5 = 12 - 7 (i)
  2 = 7 - 5 (ii)
  1 = 5 - 2 *2 (iii)
 
  (ii) e (iii) == 1 = 5 - ( 7 -5) *2 = 3*5 - 7 * 2 (iv)
 
  (iv) e (i) == 1 = 3 * (12 - 7) - 7*2 = 3 * 12 - 7 * 5
 
  então podemos afirmar que - 5 *7 -12 * (-3) =1.
 
  então (-5,-3) é uma solução da equação : 7x -12 y = 1
 
  Se multiplicarmos por 11, teremos que (-55,-33) é uma solução da
  equação 7 x - 12 y = 11.
 
  Agora use a solução encontrada 7 x - 12 y = 7 * (-55) - 12 * (-33)
  == 7 * (x+55) = 12 (y+33) (v)
 
  pelo fechamento da adição em Z temos que 7 divide 12 (y +33)
 
  Usando o teorema: se d divede ab e m.d.c.(d,a) = 1 == d divide b.
 
  m.d.c (7,12) = 1 == 7 divide (y+33) == existe t Ɛ Z, 7* t = (y+33)
  == y = -33 + 7*t (vi)
 
  (vi) e (v) == 7* (x+55) = 12 * 7*T) == x = -55 +12*t
 
  Então a solução completa é { (x,y) Ɛ Z^2 | x= -55+ 12*t , y = -33 +
  7*t, t ƐZ }
 
  Caso os coeficientes a e b, da equação a x+ by = c, não sejam primos
  entre si, para que se possa aplicar o destacado em vermelho, basta
  dividir todos os membros por m.d.c(a,b), pois por Bèzout só existem
  soluções se m.d.c.(a,b) divide c.
 
  Tem o artigo do eduardo Tengan:
  http://www.icmc.usp.br/~etengan/imersao/imersao.pdf, onde há
  demonstrações e muito mais. Foi lá que aprendi a resolver essas
  equações.
 
  Saudações,
  PJMS
 
 
 
 
 
  Em 22 de abril de 2015 07:43, Benedito Tadeu V. Freire
  b...@ccet.ufrn.brmailto:b...@ccet.ufrn.br escreveu:
  Pedro,
 
  7 é o inverso de 7 módulo 12
 
  --
  Open WebMail Project (http://openwebmail.orghttp://openwebmail.org/)
 
 
  -- Original Message ---
  From: Pedro Chaves brped...@hotmail.commailto:brped...@hotmail.com
  To: obm-l@mat.puc-rio.brmailto:obm-l@mat.puc-rio.br
  obm-l@mat.puc-rio.brmailto:obm-l@mat.puc-rio.br
  Sent: Wed, 22 Apr 2015 12:46:28 +0300
  Subject: [obm-l] Equação diofantina (de novo)
 
  Caros Colegas,
 
  A equação diofantina 7x - 12y = 11 pode ser resolvida por
  congruência? Não consegui.
 
  Sei que 7x é congruente a -1 (mod 12), mas não sei como ir em frente.
 
  Abraços.
  Pedro Chaves
  --
  Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
  acredita-se estar livre de perigo.
 
 
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  Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
  http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 
 =
  --- End of Original Message ---
 
  --
  Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
  acredita-se estar livre de perigo.
 
 
  --
  Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
  acredita-se estar livre de perigo.

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
  acredita-se estar livre de perigo.


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 Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina (de novo)

2015-04-22 Por tôpico Pedro Chaves 
Obrigado a todos! 
Pedro Chaves
__


 Date: Wed, 22 Apr 2015 14:32:35 -0300 
 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina 
 (de novo) 
 From: petroc...@gmail.com 
 To: obm-l@mat.puc-rio.br 
 
 Boa tarde! 
 
 Corrigindo... y = 2 + 7m e não 2+ 2m. 
 
 Desculpem-me, 
 PJMS 
 
 Em 22 de abril de 2015 14:26, Pedro José 
 petroc...@gmail.commailto:petroc...@gmail.com escreveu: 
 Boa tarde! 
 
 Não parei para pensar se dá sempre. 
 
 7 * x ≡ 11 (mod12) == 7*7*x ≡ -1*7 (mod12) == x ≡ 5 (mod12) == x = 
 5 + 12* m : m Ɛ Z 
 
 -12*y ≡11 (mod7) == 2*y ≡ 4 (mod7) == 4*2*y ≡ 4*4 (mod7) == y ≡ 2 
 (mod12) == y =2 + 7*n : n ƐZ 
 
 
 Substituindo na equação original temos: 
 
 7 * (5 +12*m) -12* (2 + 7*n) =11 == 84*m - 84* n = 0 == m=n == x = 5 
 +12 m e y = 2 + 2m : m ƐZ. 
 
 Saudações, 
 PJMS 
 
 
 
 
 
 
 Em 22 de abril de 2015 13:37, Pedro José 
 petroc...@gmail.commailto:petroc...@gmail.com escreveu: 
 Bom dia! 
 
 Desculpe-me, não vi a restrição do método. 
 
 Sds, 
 PJMS 
 
 Em 22 de abril de 2015 12:04, Pedro Chaves 
 brped...@hotmail.commailto:brped...@hotmail.com escreveu: 
 Obrigado, Pedro José! 
 
 O que desejo, entretanto, é resolver a equação por congruência. 
 
 Um abraço! 
 Pedro Chaves 
 
  
 Date: Wed, 22 Apr 2015 11:32:17 -0300 
 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina (de novo) 
 From: petroc...@gmail.commailto:petroc...@gmail.com 
 To: obm-l@mat.puc-rio.brmailto:obm-l@mat.puc-rio.br 
 
 Bom dia! 
 
 Pelo teorema de Bèzout a equação ax + by = c tem solução se e somente 
 se m.d.c.(a,b) divide c. 
 
 Como 7 e 12 são primos entre si, temos que 1 divide 11 e tem solução. 
 
 Primeiro passo achar o m.d.c. entre 7 e 12 pelo algorítimo de Euclides. 
 
 12 = 7 * 1 + 5 
 7 = 5 * 1 + 2 
 5 = 2 * 2 + 1 
 
 Segundo passo: expressar a unidade como uma Z combinação linear de 12 e 
 7. (embora para o caso seja fácil achar 1 = 3 * 12 - 7 * 5, faremos de 
 modo sistemático, pois as vezez não o é fácil.) 
 
 5 = 12 - 7 (i) 
 2 = 7 - 5 (ii) 
 1 = 5 - 2 *2 (iii) 
 
 (ii) e (iii) == 1 = 5 - ( 7 -5) *2 = 3*5 - 7 * 2 (iv) 
 
 (iv) e (i) == 1 = 3 * (12 - 7) - 7*2 = 3 * 12 - 7 * 5 
 
 então podemos afirmar que - 5 *7 -12 * (-3) =1. 
 
 então (-5,-3) é uma solução da equação : 7x -12 y = 1 
 
 Se multiplicarmos por 11, teremos que (-55,-33) é uma solução da 
 equação 7 x - 12 y = 11. 
 
 Agora use a solução encontrada 7 x - 12 y = 7 * (-55) - 12 * (-33) 
 == 7 * (x+55) = 12 (y+33) (v) 
 
 pelo fechamento da adição em Z temos que 7 divide 12 (y +33) 
 
 Usando o teorema: se d divede ab e m.d.c.(d,a) = 1 == d divide b. 
 
 m.d.c (7,12) = 1 == 7 divide (y+33) == existe t Ɛ Z, 7* t = (y+33) 
 == y = -33 + 7*t (vi) 
 
 (vi) e (v) == 7* (x+55) = 12 * 7*T) == x = -55 +12*t 
 
 Então a solução completa é { (x,y) Ɛ Z^2 | x= -55+ 12*t , y = -33 + 
 7*t, t ƐZ } 
 
 Caso os coeficientes a e b, da equação a x+ by = c, não sejam primos 
 entre si, para que se possa aplicar o destacado em vermelho, basta 
 dividir todos os membros por m.d.c(a,b), pois por Bèzout só existem 
 soluções se m.d.c.(a,b) divide c. 
 
 Tem o artigo do eduardo Tengan: 
 http://www.icmc.usp.br/~etengan/imersao/imersao.pdf, onde há 
 demonstrações e muito mais. Foi lá que aprendi a resolver essas 
 equações. 
 
 Saudações, 
 PJMS 
 
 
 
 
 
 Em 22 de abril de 2015 07:43, Benedito Tadeu V. Freire 
 
 b...@ccet.ufrn.brmailto:b...@ccet.ufrn.brmailto:b...@ccet.ufrn.brmailto:b...@ccet.ufrn.br
  
 escreveu: 
 Pedro, 
 
 7 é o inverso de 7 módulo 12 
 
 -- 
 Open WebMail Project (http://openwebmail.orghttp://openwebmail.org/) 
 
 
 -- Original Message --- 
 From: Pedro Chaves 
 brped...@hotmail.commailto:brped...@hotmail.commailto:brped...@hotmail.commailto:brped...@hotmail.com
  
 To: 
 obm-l@mat.puc-rio.brmailto:obm-l@mat.puc-rio.brmailto:obm-l@mat.puc-rio.brmailto:obm-l@mat.puc-rio.br
  
 
 obm-l@mat.puc-rio.brmailto:obm-l@mat.puc-rio.brmailto:obm-l@mat.puc-rio.brmailto:obm-l@mat.puc-rio.br
  
 Sent: Wed, 22 Apr 2015 12:46:28 +0300 
 Subject: [obm-l] Equação diofantina (de novo) 
 
 Caros Colegas, 
 
 A equação diofantina 7x - 12y = 11 pode ser resolvida por 
 congruência? Não consegui. 
 
 Sei que 7x é congruente a -1 (mod 12), mas não sei como ir em frente. 
 
 Abraços. 
 Pedro Chaves 
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 acredita-se estar livre de perigo. 
 
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 Esta mensagem foi verificada

[obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina por congruência

2015-04-21 Por tôpico Bernardo Freitas Paulo da Costa 
2015-04-21 18:13 GMT-03:00 Pedro Chaves brped...@hotmail.com:
 Caros Colegas,

 Estou tentando resolver por congruência a equação diofantina 13x + 7y = 18, 
 mas não estou conseguindo.
 Só consegui  concluir que 13x é congruente a 4 (mod 7).
 Peço-lhes ajuda.
Coragem:

você tem que inverter 13 mod 7 para continuar a simplificar a
equação. No caso específico é fácil, já que 13 == -1 (mod 7). Assim:

13x == 4 (mod 7), implica que (-1)x == 4 e portanto x == -4 == 3 mod
7. Daí, x = 7k + 3. Substitua na equação original, e corra pro abraço.

 Abraços do Pedro Chaves.


Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.


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[obm-l] Re: [obm-l] Equação Diofantina

2011-01-27 Por tôpico Marcelo Salhab Brogliato 
Olá, Marcone,

Seja x = (a, b) e * o produto escalar.
(-2, 5) * x = 8

Conforme sugestão do seu professor, x1 = (1, 2) é solução.
Isto é: (-2, 5)*x1 = (-2, 5)*(1, 2) = 8

Acho que seu professor quis dizer um vetor perpendicular ao vetor (-2, 5).
Seja w = (5, 2), que é perpendicular a (-2, 5).

Veja que x2 = (1, 2) + k(5, 2) sempre é solução.
(-2, 5)*x2 = (-2, 5)*(1,2) + k(-2, 5)*(5, 2) = 8 + 0 = 8

Desta maneira, um subconjunto do espaço de soluções é formado por (1, 2) +
k(5, 2).

Pergunto: Esse subconjunto é igual a todo o espaço de soluções? Demonstre!
:)

Abraços,
Salhab



2011/1/27 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com

  Como resolver a equação diofantina -2x + 5y = 8,usando vetores?
 O professor sugere usar a solução particular (1,2) e o vetor perpendicular
 (-2,1) ...

[obm-l] Re: [obm-l] equação diofantina

2003-10-24 Por tôpico Giselle 
Só uma dúvida, pode parecer idiota, mas o que significa (a,b) = 1?

- Original Message - 
From: luiz frança [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Friday, October 24, 2003 1:53 PM
Subject: [obm-l] equação diofantina




  se  (a,b)=1

  ax +by = k  , x, y e k inteiros

  porvar que sempre existe uma soluma solução x,y
 que satisfaça a equação para qualquer k escolhido.

 será mesmo verdade?  bom... a principio se

 ax +by = 1 tiver solução, então terá pra qualquer K.
 pois basta pegarmos Kx e Ky. Mas como provar que vale
 pra k=1 ???

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Re: [obm-l] Re: [obm-l] equação diofantina

2003-10-24 Por tôpico Augusto Cesar de Oliveira Morgado 
(a,b) eh uma notaçao para o MDC dos numeros a e b.


Em Fri, 24 Oct 2003 19:44:01 -0200, Giselle [EMAIL PROTECTED] disse:

 Só uma dúvida, pode parecer idiota, mas o que significa (a,b) = 1?
 
 - Original Message - 
 From: luiz frança [EMAIL PROTECTED]
 To: [EMAIL PROTECTED]
 Sent: Friday, October 24, 2003 1:53 PM
 Subject: [obm-l] equação diofantina
 
 
 
 
   se  (a,b)=1
 
   ax +by = k  , x, y e k inteiros
 
   porvar que sempre existe uma soluma solução x,y
  que satisfaça a equação para qualquer k escolhido.
 
  será mesmo verdade?  bom... a principio se
 
  ax +by = 1 tiver solução, então terá pra qualquer K.
  pois basta pegarmos Kx e Ky. Mas como provar que vale
  pra k=1 ???
 
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[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] equação diofantina

2003-10-24 Por tôpico Leandro Lacorte Recôva 
Mdc(a,b)=1 

-Original Message-
From: [EMAIL PROTECTED]
[mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of Giselle
Sent: Friday, October 24, 2003 2:44 PM
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] equação diofantina

Só uma dúvida, pode parecer idiota, mas o que significa (a,b) = 1?

- Original Message - 
From: luiz frança [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Friday, October 24, 2003 1:53 PM
Subject: [obm-l] equação diofantina




  se  (a,b)=1

  ax +by = k  , x, y e k inteiros

  porvar que sempre existe uma soluma solução x,y
 que satisfaça a equação para qualquer k escolhido.

 será mesmo verdade?  bom... a principio se

 ax +by = 1 tiver solução, então terá pra qualquer K.
 pois basta pegarmos Kx e Ky. Mas como provar que vale
 pra k=1 ???

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