[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Valor máximo
> > Se a, b e c são positivos e a^2+b^2+c^2 = 1, qual o valor máximo de > (1-a)(1-b)(1-c)? > >> Desde já agradeço >> > Podemos usar multiplicadores de Lagrange. Seja f(a,b,c,L) = (1-a)(1-b)(1-c) -L(a^2 + b^2 + c^2 - 1) Tomando as derivadas parciais de f com relação a a, b, c e L e igualando a 0, obtemos 2a = L(1- b)(1 - c) 2b= L(1- a)(1 - c) 2c = L(1- a)(1 -c) a^2+b^2+c^2 = 1 Se L <> 0 e se nenhuma variável for 1, obtemos a/(1 - b) = b/(1 - a), sendo as outras 2 equações permutações circulares da 1a. Segue-se que a - a^2 = b - b^2 a - b = (a - b)(a + b) ==> a + b = 1. Considerando as outras 2 equações chegamos a a = b = c = raiz(3)/3. Isto leva a que a que (1 - a)(1-b)(1- c) = (1 - raiz(3)/3)^3 Se L = 0 as equações conduzem às ternas (1,0,0), (0,1,0) e a (0, 0, 1) para as quais (1 - a)(1-b)(1- c) = 0 < (1 - raiz(3)/3)^3 Como se trata de função contínua em conjunto compacto, as ternas acima dão o mínimo absoluto e (raiz(3)/3,raiz(3)/3), raiz(3)/3) dá o máximo absoluto no valor já citado Nesse problemas geralmente há tambén uma solução baseada em desugualdades como MA, MG, etc Artur Km -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Valor máximo
Eu não entendi ´´esse polinomio deve ter uma raiz dupla´´.Pensei que o polinomio poderia ter uma raiz real e duas complexas,por exemplo.Obrigado pela atenção. Date: Fri, 2 Aug 2013 14:07:43 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Valor máximo From: mffmartine...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Eu, de fato, não demonstrei nada... só quis justificar uma abordagem para desvendar o mistério da inequação que eu propus. Por isso que falei No rascunho. Para esse caso, como existe o máximo absoluto entre - 1 e + 1, a abordagem funcionou. Daí é só fazer a volta, com a inequação. Espero ter esclarecido de onde a ineq surgiu. Abs. Em 2 de agosto de 2013 12:16, marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com escreveu: A função h não poderia ter duas raízes complexas? Date: Fri, 2 Aug 2013 01:07:37 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Valor máximo From: mffmartine...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br No rascunho, você pode tentar fazer o seguinte: vamos admitir que g(t) = - 2t^3 + 2t possui um máximo M. Esse máximo deve ser positivo já que g(t) = 2t . (1 - t^2) é positivo para 0 t 1. Agora você pode definir o seguinte polinômio h(t) = - 2t^3 + 2t - M. Essa função de terceiro grau deve tocar o eixo dos x e não ultrapassá-lo quando - 1 = t = + 1. Isso significa que esse polinômio deve ter uma raiz dupla. Sejam, portanto, k, k e alpha as raízes do polinómio. Podemos calculá-las usando as relações de Girard: i) k + k + alpha = 0 (o coeficiente de t^2 em h(t) é nulo) - alpha = - 2kii) k.k + k.alpha + k.alpha = - 1 - k^2 - 4k^2 = - 1. Há dois valores de k mas, para termos M 0, devemos tomar k = sqrt(3)/3. Assim: ii) k.k.alpha = - M/2 - 3/9 . - 2 . sqrt(3)/3 = - M/2 - M = 4.sqrt(3)/9. Agora, vc pode colocar tudo isso em forma de inequação e deixar a solução mais elegante. Depois de estudar Cálculo, esse problema fica bem mais fácil de ser resolvido também. Flw. Em quinta-feira, 1 de agosto de 2013, marcone augusto araújo borges escreveu: Obrigado.Eu gostei.Por que escolher sqrt(3)/3 e a expressão (t - sqrt(3))^2 . (t + 2srt(3)/3)?Depois de feito agente entende,mas como vislumbrar um caminho para questões do tipo? Date: Wed, 31 Jul 2013 15:34:29 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Valor máximo From: mffmartine...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br f(x) = sex(x) . sex(2x) = sen(x) . [2sen(x)cos(x)] = 2cos(x)sen^2(x) = 2cos(x).(1-cos^2(x)). Fazendo cox(x) = t (- 1 = t = + 1), devemos descobrir o máximo da seguinte função: g(t) = - 2t^3 + 2t. Sabemos que para t = - 1, temos: t + 2sqrt(3)/3 = 0 (- 2sqrt(3)/3 - 1) - (t - sqrt(3)/3)^2 . (t + 2sqrt(3)/3) = 0 - t^3 - t + 2.sqrt(3)/9 = 0 - -2.t^3 + 2t = 4.sqrt(3)/9. Portanto o máximo é 4.sqrt(3)/9, que ocorre quando t = cos(x) = sqrt(3)/3. Em 31 de julho de 2013 15:01, marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com escreveu: Determinar o valor máximo de sen(x)sen(2x) -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Valor máximo
Eu, de fato, não demonstrei nada... só quis justificar uma abordagem para desvendar o mistério da inequação que eu propus. Por isso que falei No rascunho. Para esse caso, como existe o máximo absoluto entre - 1 e + 1, a abordagem funcionou. Daí é só fazer a volta, com a inequação. Espero ter esclarecido de onde a ineq surgiu. Abs. Em 2 de agosto de 2013 12:16, marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com escreveu: A função h não poderia ter duas raízes complexas? -- Date: Fri, 2 Aug 2013 01:07:37 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Valor máximo From: mffmartine...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br No rascunho, você pode tentar fazer o seguinte: vamos admitir que g(t) = - 2t^3 + 2t possui um máximo M. Esse máximo deve ser positivo já que g(t) = 2t . (1 - t^2) é positivo para 0 t 1. Agora você pode definir o seguinte polinômio h(t) = - 2t^3 + 2t - M. Essa função de terceiro grau deve tocar o eixo dos x e não ultrapassá-lo quando - 1 = t = + 1. Isso significa que esse polinômio deve ter uma raiz dupla. Sejam, portanto, k, k e alpha as raízes do polinómio. Podemos calculá-las usando as relações de Girard: i) k + k + alpha = 0 (o coeficiente de t^2 em h(t) é nulo) - alpha = - 2k ii) k.k + k.alpha + k.alpha = - 1 - k^2 - 4k^2 = - 1. Há dois valores de k mas, para termos M 0, devemos tomar k = sqrt(3)/3. Assim: ii) k.k.alpha = - M/2 - 3/9 . - 2 . sqrt(3)/3 = - M/2 - M = 4.sqrt(3)/9. Agora, vc pode colocar tudo isso em forma de inequação e deixar a solução mais elegante. Depois de estudar Cálculo, esse problema fica bem mais fácil de ser resolvido também. Flw. Em quinta-feira, 1 de agosto de 2013, marcone augusto araújo borges escreveu: Obrigado.Eu gostei.Por que escolher sqrt(3)/3 e a expressão (t - sqrt(3))^2 . (t + 2srt(3)/3)? Depois de feito agente entende,mas como vislumbrar um caminho para questões do tipo? -- Date: Wed, 31 Jul 2013 15:34:29 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Valor máximo From: mffmartine...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br f(x) = sex(x) . sex(2x) = sen(x) . [2sen(x)cos(x)] = 2cos(x)sen^2(x) = 2cos(x).(1-cos^2(x)). Fazendo cox(x) = t (- 1 = t = + 1), devemos descobrir o máximo da seguinte função: g(t) = - 2t^3 + 2t. Sabemos que para t = - 1, temos: t + 2sqrt(3)/3 = 0 (- 2sqrt(3)/3 - 1) - (t - sqrt(3)/3)^2 . (t + 2sqrt(3)/3) = 0 - t^3 - t + 2.sqrt(3)/9 = 0 - -2.t^3 + 2t = 4.sqrt(3)/9. Portanto o máximo é 4.sqrt(3)/9, que ocorre quando t = cos(x) = sqrt(3)/3. Em 31 de julho de 2013 15:01, marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com escreveu: Determinar o valor máximo de sen(x)sen(2x) -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Valor máximo
Obrigado.Eu gostei.Por que escolher sqrt(3)/3 e a expressão (t - sqrt(3))^2 . (t + 2srt(3)/3)?Depois de feito agente entende,mas como vislumbrar um caminho para questões do tipo? Date: Wed, 31 Jul 2013 15:34:29 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Valor máximo From: mffmartine...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br f(x) = sex(x) . sex(2x) = sen(x) . [2sen(x)cos(x)] = 2cos(x)sen^2(x) = 2cos(x).(1-cos^2(x)). Fazendo cox(x) = t (- 1 = t = + 1), devemos descobrir o máximo da seguinte função: g(t) = - 2t^3 + 2t. Sabemos que para t = - 1, temos: t + 2sqrt(3)/3 = 0 (- 2sqrt(3)/3 - 1) - (t - sqrt(3)/3)^2 . (t + 2sqrt(3)/3) = 0 - t^3 - t + 2.sqrt(3)/9 = 0 - -2.t^3 + 2t = 4.sqrt(3)/9. Portanto o máximo é 4.sqrt(3)/9, que ocorre quando t = cos(x) = sqrt(3)/3. Em 31 de julho de 2013 15:01, marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com escreveu: Determinar o valor máximo de sen(x)sen(2x) -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Valor máximo
Em 9 de novembro de 2012 20:58, Athos Couto athos...@hotmail.com escreveu: a,b,c positivos mesmo, desculpa, esqueci disso... E agora... preciso provar isso algebricamente! hahaha Outro problema que envolve os mesmos a, b e c que eu não consegui encarar foi um da Eureka!: Problema 152) Sejam a; b; c n umeros reais positivos tais que a + b + c = 1. Prove que (a - bc)/(a + bc) + (b - ac)/ (b + ac) + (c - ab)/(c + ab) = 3/2 Se tiver alguma luz... aprecio Acredite: a luz é 'abra tudo com vontade'! Mas, primeiro, demonstre a seguinte forma equivalente: (aS - bc)/(aS + bc) + (bS - ac)/ (bS + ac) + (cS - ab)/(cS + ab) = 3/2 em que S=a+b+c Substitua, faça as contas e seja feliz! Bem, eu vou te falar a verdade: minha solução não é bem neste formato, mas é essencialmente equivalente. Para facilitar as contas, eu basicamente tratei todas as expressões (depois de tirar o mínimo) como polinômios em S. Obrigado pela ajuda, Att. Athos Cotta Couto Date: Fri, 9 Nov 2012 19:19:24 -0200 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Valor máximo From: ralp...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br H Você quer a,b,c positivos? Então eu aposto (por simetria) que o máximo é quando a=b=c=1/3, quando dá 1/81. Aliás, roubei um pouquinho aqui: botei no Wolfram Alpha: maximize a^2b^2c^2/(a^3+b^3+c^3) subject to a+b+c=1 e ele também acha que é (1/3,1/3,1/3). Link: http://www.wolframalpha.com/input/?i=maximize+a%5E2b%5E2c%5E2%2F%28a%5E3%2Bb%5E3%2Bc%5E3%29+subject+to+a%2Bb%2Bc%3D1 E agora? Abraço, Ralph On Fri, Nov 9, 2012 at 6:17 PM, Athos Couto athos...@hotmail.com wrote: Sendo a+b+c = 1: Qual o valor máximo de: (abc)²/(a³+b³+c³) ? E quais as tríades de (a,b,c) que atingem esse valor? -- /**/ 神が祝福 Torres = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Valor máximo
a,b,c positivos mesmo, desculpa, esqueci disso... E agora... preciso provar isso algebricamente! hahaha Outro problema que envolve os mesmos a, b e c que eu não consegui encarar foi um da Eureka!:Problema 152)Sejam a; b; c numeros reais positivos tais que a + b + c = 1. Prove que(a - bc)/(a + bc) + (b - ac)/ (b + ac) + (c - ab)/(c + ab) = 3/2Se tiver alguma luz... aprecio Obrigado pela ajuda,Att.Athos Cotta Couto Date: Fri, 9 Nov 2012 19:19:24 -0200 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Valor máximo From: ralp...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br H Você quer a,b,c positivos? Então eu aposto (por simetria) que o máximo é quando a=b=c=1/3, quando dá 1/81. Aliás, roubei um pouquinho aqui: botei no Wolfram Alpha: maximize a^2b^2c^2/(a^3+b^3+c^3) subject to a+b+c=1 e ele também acha que é (1/3,1/3,1/3). Link: http://www.wolframalpha.com/input/?i=maximize+a%5E2b%5E2c%5E2%2F%28a%5E3%2Bb%5E3%2Bc%5E3%29+subject+to+a%2Bb%2Bc%3D1 E agora? Abraço, Ralph On Fri, Nov 9, 2012 at 6:17 PM, Athos Couto athos...@hotmail.com wrote: Sendo a+b+c = 1: Qual o valor máximo de: (abc)²/(a³+b³+c³) ?E quais as tríades de (a,b,c) que atingem esse valor?
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Valor máximo e mínimo
Valeu Bernardo, pelo jeito que eu tinha feito usava até derivada, assim é muito mais prático Fazendo y = kx, temos (3k²+k+2)x² +(-20k - 11)x + 40 = 0Delta = -80 k²+280 k-199 Como x e y são reais, Temos Delta=0, ou seja, os valores máximos e mínimos de k são as raízes da equação!Logo a soma é -b/a = 7/2 Valeu Bernardo []'s, João Date: Tue, 21 Feb 2012 08:45:20 +0100 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Valor máximo e mínimo From: bernardo...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br 2012/2/21 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com: Se a e b são respectivamente os valores máximos mínimos de y/x, com x, y0 que satisfazem a quação 2x²+xy + 3y² - 11x - 20y + 40 = 0 então, o valor de a + b é igual a : a) 3 b) sqrt(10)c) 7/2 d) 9/2 e) 2sqrt(14) Mais um problema de retas tangentes! Repare que a equação acima é de uma elipse, eu espero que ela esteja bem longe da origem. Desta forma, y/x é a inclinação de uma reta passando pela origem, e os valores máximos e mínimos correspondem às inclinações das tangentes (isso supondo que a elipse não contém um quadrante inteiro, mas nesse caso y/x = +- infinito, e não tem um N.D.A. na questão). Daí, você pode substituir y = k*x na equação, e fazer como antes : Delta = 0. Vai dar uma equação provavelmente do segundo grau (tem k^2 tanto no A quanto no B) e a soma das raízes você nem precisa resolver a equação! P.S.: Não é tão difícil de ver que (0,0) não está contido na elipse: quando você substitui, dá 40, que é 0, logo está do lado de fora. Isso funciona que nem num círculo, você calcula x² + y², se for maior que R², está do lado de fora, se for menor, do lado de dentro. O que é importante é que o sinal na frente do coeficiente de segundo grau (homogêneo) seja positivo (como no caso do círculo) para você poder usar isso. Pensando de outra forma, você vê que (x,0) também não está, porque 2x² - 11x + 40 tem discriminante 11² - 4*2*40 = 121 - 320 0, nem (0,y), mais uma vez porque 3y² - 20y + 40 tem discriminante 400 - 4*3*40 = 4*(100 - 120) 0. Assim, a elipse está contida em um único quadrante, e tudo que eu falei lá em cima é realmente verdade ;) Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Valor máximo e mínimo
Percebi que aqui na lista preferem a forma sqrt( ) em vez de ( )^1/2 ! Algum motivo especial? 2012/2/21 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com: Valeu Bernardo, pelo jeito que eu tinha feito usava até derivada, assim é muito mais prático Fazendo y = kx, temos (3k²+k+2)x² +(-20k - 11)x + 40 = 0 Delta = -80 k²+280 k-199 Como x e y são reais, Temos Delta=0, ou seja, os valores máximos e mínimos de k são as raízes da equação! Logo a soma é -b/a = 7/2 Valeu Bernardo []'s, João Date: Tue, 21 Feb 2012 08:45:20 +0100 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Valor máximo e mínimo From: bernardo...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br 2012/2/21 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com: Se a e b são respectivamente os valores máximos mínimos de y/x, com x, y0 que satisfazem a quação 2x²+xy + 3y² - 11x - 20y + 40 = 0 então, o valor de a + b é igual a : a) 3 b) sqrt(10) c) 7/2 d) 9/2 e) 2sqrt(14) Mais um problema de retas tangentes! Repare que a equação acima é de uma elipse, eu espero que ela esteja bem longe da origem. Desta forma, y/x é a inclinação de uma reta passando pela origem, e os valores máximos e mínimos correspondem às inclinações das tangentes (isso supondo que a elipse não contém um quadrante inteiro, mas nesse caso y/x = +- infinito, e não tem um N.D.A. na questão). Daí, você pode substituir y = k*x na equação, e fazer como antes : Delta = 0. Vai dar uma equação provavelmente do segundo grau (tem k^2 tanto no A quanto no B) e a soma das raízes você nem precisa resolver a equação! P.S.: Não é tão difícil de ver que (0,0) não está contido na elipse: quando você substitui, dá 40, que é 0, logo está do lado de fora. Isso funciona que nem num círculo, você calcula x² + y², se for maior que R², está do lado de fora, se for menor, do lado de dentro. O que é importante é que o sinal na frente do coeficiente de segundo grau (homogêneo) seja positivo (como no caso do círculo) para você poder usar isso. Pensando de outra forma, você vê que (x,0) também não está, porque 2x² - 11x + 40 tem discriminante 11² - 4*2*40 = 121 - 320 0, nem (0,y), mais uma vez porque 3y² - 20y + 40 tem discriminante 400 - 4*3*40 = 4*(100 - 120) 0. Assim, a elipse está contida em um único quadrante, e tudo que eu falei lá em cima é realmente verdade ;) Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Valor máximo e mínimo
Por mim tanto faz, mas acho que as vezes o pessoal opta por sqrt(x) por ser mais limpo Ex: Digamos sqrt( 2 + sqrt(3) ) e ( 2 + (3)^(1/2) )^(1/2) Na minha opinião o primeiro é mais fácil de enxergarMas isso é comigo, heheAcho que tanto faz na verdade, desde que dê para entender []'s , João Date: Tue, 21 Feb 2012 11:22:02 -0200 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Valor máximo e mínimo From: bardoni...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Percebi que aqui na lista preferem a forma sqrt( ) em vez de ( )^1/2 ! Algum motivo especial? 2012/2/21 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com: Valeu Bernardo, pelo jeito que eu tinha feito usava até derivada, assim é muito mais prático Fazendo y = kx, temos (3k²+k+2)x² +(-20k - 11)x + 40 = 0 Delta = -80 k²+280 k-199 Como x e y são reais, Temos Delta=0, ou seja, os valores máximos e mínimos de k são as raízes da equação! Logo a soma é -b/a = 7/2 Valeu Bernardo []'s, João Date: Tue, 21 Feb 2012 08:45:20 +0100 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Valor máximo e mínimo From: bernardo...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br 2012/2/21 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com: Se a e b são respectivamente os valores máximos mínimos de y/x, com x, y0 que satisfazem a quação 2x²+xy + 3y² - 11x - 20y + 40 = 0 então, o valor de a + b é igual a : a) 3 b) sqrt(10)c) 7/2 d) 9/2 e) 2sqrt(14) Mais um problema de retas tangentes! Repare que a equação acima é de uma elipse, eu espero que ela esteja bem longe da origem. Desta forma, y/x é a inclinação de uma reta passando pela origem, e os valores máximos e mínimos correspondem às inclinações das tangentes (isso supondo que a elipse não contém um quadrante inteiro, mas nesse caso y/x = +- infinito, e não tem um N.D.A. na questão). Daí, você pode substituir y = k*x na equação, e fazer como antes : Delta = 0. Vai dar uma equação provavelmente do segundo grau (tem k^2 tanto no A quanto no B) e a soma das raízes você nem precisa resolver a equação! P.S.: Não é tão difícil de ver que (0,0) não está contido na elipse: quando você substitui, dá 40, que é 0, logo está do lado de fora. Isso funciona que nem num círculo, você calcula x² + y², se for maior que R², está do lado de fora, se for menor, do lado de dentro. O que é importante é que o sinal na frente do coeficiente de segundo grau (homogêneo) seja positivo (como no caso do círculo) para você poder usar isso. Pensando de outra forma, você vê que (x,0) também não está, porque 2x² - 11x + 40 tem discriminante 11² - 4*2*40 = 121 - 320 0, nem (0,y), mais uma vez porque 3y² - 20y + 40 tem discriminante 400 - 4*3*40 = 4*(100 - 120) 0. Assim, a elipse está contida em um único quadrante, e tudo que eu falei lá em cima é realmente verdade ;) Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Valor máximo e mínimo
sqrt() lembra o comando LaTeX, e as pessoas não pensam tanto em expoente fracionário. 2012/2/21 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com: Por mim tanto faz, mas acho que as vezes o pessoal opta por sqrt(x) por ser mais limpo Ex: Digamos sqrt( 2 + sqrt(3) ) e ( 2 + (3)^(1/2) )^(1/2) Na minha opinião o primeiro é mais fácil de enxergar Mas isso é comigo, hehe Acho que tanto faz na verdade, desde que dê para entender []'s , João Date: Tue, 21 Feb 2012 11:22:02 -0200 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Valor máximo e mínimo From: bardoni...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Percebi que aqui na lista preferem a forma sqrt( ) em vez de ( )^1/2 ! Algum motivo especial? 2012/2/21 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com: Valeu Bernardo, pelo jeito que eu tinha feito usava até derivada, assim é muito mais prático Fazendo y = kx, temos (3k²+k+2)x² +(-20k - 11)x + 40 = 0 Delta = -80 k²+280 k-199 Como x e y são reais, Temos Delta=0, ou seja, os valores máximos e mínimos de k são as raízes da equação! Logo a soma é -b/a = 7/2 Valeu Bernardo []'s, João Date: Tue, 21 Feb 2012 08:45:20 +0100 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Valor máximo e mínimo From: bernardo...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br 2012/2/21 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com: Se a e b são respectivamente os valores máximos mínimos de y/x, com x, y0 que satisfazem a quação 2x²+xy + 3y² - 11x - 20y + 40 = 0 então, o valor de a + b é igual a : a) 3 b) sqrt(10) c) 7/2 d) 9/2 e) 2sqrt(14) Mais um problema de retas tangentes! Repare que a equação acima é de uma elipse, eu espero que ela esteja bem longe da origem. Desta forma, y/x é a inclinação de uma reta passando pela origem, e os valores máximos e mínimos correspondem às inclinações das tangentes (isso supondo que a elipse não contém um quadrante inteiro, mas nesse caso y/x = +- infinito, e não tem um N.D.A. na questão). Daí, você pode substituir y = k*x na equação, e fazer como antes : Delta = 0. Vai dar uma equação provavelmente do segundo grau (tem k^2 tanto no A quanto no B) e a soma das raízes você nem precisa resolver a equação! P.S.: Não é tão difícil de ver que (0,0) não está contido na elipse: quando você substitui, dá 40, que é 0, logo está do lado de fora. Isso funciona que nem num círculo, você calcula x² + y², se for maior que R², está do lado de fora, se for menor, do lado de dentro. O que é importante é que o sinal na frente do coeficiente de segundo grau (homogêneo) seja positivo (como no caso do círculo) para você poder usar isso. Pensando de outra forma, você vê que (x,0) também não está, porque 2x² - 11x + 40 tem discriminante 11² - 4*2*40 = 121 - 320 0, nem (0,y), mais uma vez porque 3y² - 20y + 40 tem discriminante 400 - 4*3*40 = 4*(100 - 120) 0. Assim, a elipse está contida em um único quadrante, e tudo que eu falei lá em cima é realmente verdade ;) Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- /**/ 神が祝福 Torres = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
