Re: [obm-l] produtos notaveis - SIM SOLUÇÂO por PRODUTOS NOTÁVEIS
-rio.br Subject: Re: [obm-l] produtos notaveis Oi, Luís, Comigo também. Desanimador. Eu diria que de cada 2 mensagens minhas uma vai e a outra não. Fora o fato de, muitas vezes, a mensagem chegar lá mais de 24 horas depois, em especial nos fins de semana. Acho que o Nicolau viaja e o servidor aproveita para dar uma descansadinha... A propósito, era para calcular x^200 + (1/x)^200 (se é o problema que estou pensando) Grande abraço, Nehab Luís Lopes escreveu: Sauda,c~oes, Oi Márcio Pinheiro, Se não estou enganado, a sugestão era calcular [x + x^(-1)]^2. Mas realmente não me lembro se houve tal mensagem. E não quero olhar os arquivos. Tento mandar esta mensagem fazendo nova mensagem. Com reply minhas mensagens ou não chegam ou preciso mandá-las diversas vezes. Isso acontece com mais alguém? Agradeço as últimas mensagens do PSR e Nehab sobre DG. []'s Luís = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = Novo Internet Explorer 8: mais rápido e muito mais seguro. Baixe agora, é grátis! http://brasil.microsoft.com.br/IE8/mergulhe/?utm_source=MSN%3BHotmailutm_medium=Taglineutm_campaign=IE8 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] produtos notaveis - SIM SOLUÇÂO por PRODUTOS NOTÁVEIS
Oi, Luís Primeiro vamos ao exercício e 'a sugestão que você lembrou: Produtos Notáveis Repetindo o enunciado para quem nos acompanha (mudei apenas letra): Se a + 1/a = (raiz(5) + 1)/2 calcule a^2000 + 1/a^2000 A solução clássica e a mais elegante (por complexos) é de fato a que o Macio Pinheiro postou, mas dá para fazer usando a sugestão. Obs (apenas para quem já estudou um pouquinho de recorrência linear) Por recorrência linear, que também seria um caminho imediato enrola pois as raízes do polinômio característico são nojentas e obviamente complexas. Veja: se A(n) = a^n + 1/a^n é imediato que A(n) = a.A(n-1) - A(n-2) e a equação característica é z^2 - az +1 = 0 onde a é o (raiz(5) +1)/2. Nojento (se alguém encontrar uma saída por ai, por favor, poste-a) **Solução (sem complexos - metaforicamente ou não... :-) ) Vamos então: Como 2000 = 5^3.2^4, temos que ver se conseguimos (sem muitas contas chatas) replicar o cálculo de x^5 + 1/x^5 a partir de x + 1/x, três vezes, para calcularmos x^125 + 1/x^125 e y^2 + 1/y^2 a partir de y + 1/y quatro vezes, para calcularmos y^16 + 1/y^16 (onde, é claro, o y será x^125 e assim obteremos o x^2000 + 1/x^2000) Não é tão enrolado assim, se formos com calma: Vamos fazer (raiz(5) +1)/2 = P e (0) (raiz(5) -1)/2 = p (0) Para calcularmos x^5 + 1/x^5 a partir de X = x + 1/x, passamos pelo x^2 + 1/x^2 e x^3 + 1/x^3 (simples e clássicos) Vejamos (produtinhos notáveis): x^2 + 1/x^2 = (x + 1/x)^2 - 2 = X^2 - 2(1) x^3 + 1/x^3 = (x + 1/x)^3 - 3 (x +1/x) = X^3 - 3X = X(X^2 -3) (2) Logo, x^5 + 1/x^5 = (x^3 + 1/x^3).(x^2 +1/x^2) - (x +1/x) x^5 + 1/x^5 = (X^3 - 3X).(X^2 - 2) - X = X[(X^2 -3)(X^2 -2) - 1] (3) Parece que as contas serão esquisitas, mas nem tanto, pois P e p são MUITO simpáticos... e razoavelmente bonzinhos... Aplicando (1), (2) e (3) várias vezes e lembrando de (0), onde definimos P e p, chegaremos no resultado. Vejamos: De x = a e X = a + 1/a = P em (3) obtemos a^5 + 1/a^5 = X(X^2 -3)(X^2 -1) - X= P[(P^2 -3)(P^2 - 2) - 1] = -2 (valor já esperado - vide solução do Marcio: a = cis 36, logo a^5 = -1 e 1/a^5 = -1). De x = a^5 e X = a^5 + 1/a^5 = -2 em (3), obtemos a^25 + 1/a^25 = X[(X^2 -3)(X^2 -2) - 1] = -2 (que também é óbvio para quem viu o cis 36) De x = a^25 e X = a^25 + 1/a^25 = -2 em (3) obtemos a^125 + 1/a^125 = X[(X^2 -3)(X^2 -2) - 1] = -2 Agora basta usar (1) 4 vezes e as contas são óbvias e iguais a 2, sempre... De x = a^125 e X = a^125 + 1/a^125 = -2 em (1) a^250 + 1/a^250 = (2)^2 -2 = 2 De x = a^250 e X = a^250 + 1/a^250 = 2 em (1) a^250 + 1/a^250 = 2^2 -2 = 2 De x = a^250 e X = a^250 + 1/a^250 = 2 em (1) a^500 + 1/a^500 = 2^2 -2 = 2 De x = a^250 e X = a^250 + 1/a^250 = 2 em (1) a^500 + 1/a^500 = 2^2 -2 = 2 Na verdade (como era de se esperar), a^250 + 1/a^250 = a^500 + 1/a^500 = a^1000 + 1/a^1000 = a^2000 + 1/a^2000 = 2 Abração, Nehab PS: Caramba, Luis, apostila de Trigonometria? Pois é, eu lembrei que fiz a primeira apostila de Algebra Linear (com o Cesar Salim) quando este negócio começou a entrar no Vestibular do Rio (acho que em 1971 ou 2). O Ponce aqui da lista (o quase velho :-) ) recentemente teve a gentileza de me emprestar as apostilas de Cálculo e Lógica que eu andei fazendo lá pelos idos de 1970 (caramba, que loucura) nas turmas IME/ITA (ih, nem devolvi ainda !!! ). Não há a menor chance de usar este material hoje. As coisas mudaram um pouquinho. Eu enfatizava o aprendizado de Lógica com o primeiro passo para os alunos se alfabetizarem em Matemática. Hoje isto tem pouquíssimo ibope...mas ainda funciona.. :-D , alías funciona desde o início dos tempos, né, desde pelo menos um tal de Aristóteles que também não tem muito ibope hoje... Como diz o Zygmund Bauman (um sociólogo que alguns acham meio pessimista, mas eu particularmente sou seu admirador), é um sinal da Modernidade Líquida..., título de seu livro mais interessante (uma bela metáfora para os tempos pós modernos, né?)... Aliás é o único livro que indico dele. O cara é extremamente criativo. Luís Lopes escreveu: Oi Nehab, É verdade. Mas isso está acontecendo com outras listas também. A propósito, era para calcular x^200 + (1/x)^200 (se é o problema que estou pensando) Acho que era x^2000 + (1/x)^2000 (detalhe). Mas a sugestão(?) era pra começar calculando [x + x^(-1)]^2. Tentei nessa linha e não consegui nada. Mas a solução mandada é muito boa. Ah, me lembrei que tenho também uma apostila de G. Espacial do Célio. Mas como ela apareceu um dia lá em casa (irmãos mais velhos, amigos dos irmãos mais velhos que estudavam lá m casa etc) não me lembro da sua procedência. E nunca me detive nela. E já que toquei nisso tenho também uma sua de Trigonometria, espólio do material do Impacto de um irmão nesse caso mais novo. []'s Luís Date: Fri, 8 May 2009 16:23:26 -0300 From: ne...@infolink.com.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] produtos notaveis
[obm-l] RE: [obm-l] produtos notaveis - SIM SOLU ÇÂO por PRODUTOS NOT ÁVEIS
alguem poderia dar uma ideia de como determinar todos os pares de inteiros positivos (m,n) tais que (n^3+1)/(mn-1) seja um inteiro?Obrigado. Date: Sat, 9 May 2009 12:00:36 -0300 From: ne...@infolink.com.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] produtos notaveis - SIM SOLUÇÂO por PRODUTOS NOTÁVEIS Oi, Luís Primeiro vamos ao exercício e 'a sugestão que você lembrou: Produtos Notáveis Repetindo o enunciado para quem nos acompanha (mudei apenas letra): Se a + 1/a = (raiz(5) + 1)/2 calcule a^2000 + 1/a^2000 A solução clássica e a mais elegante (por complexos) é de fato a que o Macio Pinheiro postou, mas dá para fazer usando a sugestão. Obs (apenas para quem já estudou um pouquinho de recorrência linear) Por recorrência linear, que também seria um caminho imediato enrola pois as raízes do polinômio característico são nojentas e obviamente complexas. Veja: se A(n) = a^n + 1/a^n é imediato que A(n) = a.A(n-1) - A(n-2) e a equação característica é z^2 - az +1 = 0 onde a é o (raiz(5) +1)/2. Nojento (se alguém encontrar uma saída por ai, por favor, poste-a) Solução (sem complexos - metaforicamente ou não... :-) ) Vamos então: Como 2000 = 5^3.2^4, temos que ver se conseguimos (sem muitas contas chatas) replicar o cálculo de x^5 + 1/x^5 a partir de x + 1/x, três vezes, para calcularmos x^125 + 1/x^125 e y^2 + 1/y^2 a partir de y + 1/y quatro vezes, para calcularmos y^16 + 1/y^16 (onde, é claro, o y será x^125 e assim obteremos o x^2000 + 1/x^2000) Não é tão enrolado assim, se formos com calma: Vamos fazer (raiz(5) +1)/2 = P e (0) (raiz(5) -1)/2 = p (0) Para calcularmos x^5 + 1/x^5 a partir de X = x + 1/x, passamos pelo x^2 + 1/x^2 e x^3 + 1/x^3 (simples e clássicos) Vejamos (produtinhos notáveis): x^2 + 1/x^2 = (x + 1/x)^2 - 2 = X^2 - 2(1) x^3 + 1/x^3 = (x + 1/x)^3 - 3 (x +1/x) = X^3 - 3X = X(X^2 -3) (2) Logo, x^5 + 1/x^5 = (x^3 + 1/x^3).(x^2 +1/x^2) - (x +1/x) x^5 + 1/x^5 = (X^3 - 3X).(X^2 - 2) - X = X[(X^2 -3)(X^2 -2) - 1] (3) Parece que as contas serão esquisitas, mas nem tanto, pois P e p são MUITO simpáticos... e razoavelmente bonzinhos... Aplicando (1), (2) e (3) várias vezes e lembrando de (0), onde definimos P e p, chegaremos no resultado. Vejamos: De x = a e X = a + 1/a = P em (3) obtemos a^5 + 1/a^5 = X(X^2 -3)(X^2 -1) - X= P[(P^2 -3)(P^2 - 2) - 1] = -2 (valor já esperado - vide solução do Marcio: a = cis 36, logo a^5 = -1 e 1/a^5 = -1). De x = a^5 e X = a^5 + 1/a^5 = -2 em (3), obtemos a^25 + 1/a^25 = X[(X^2 -3)(X^2 -2) - 1] = -2 (que também é óbvio para quem viu o cis 36) De x = a^25 e X = a^25 + 1/a^25 = -2 em (3) obtemos a^125 + 1/a^125 = X[(X^2 -3)(X^2 -2) - 1] = -2 Agora basta usar (1) 4 vezes e as contas são óbvias e iguais a 2, sempre... De x = a^125 e X = a^125 + 1/a^125 = -2 em (1) a^250 + 1/a^250 = (2)^2 -2 = 2 De x = a^250 e X = a^250 + 1/a^250 = 2 em (1) a^250 + 1/a^250 = 2^2 -2 = 2 De x = a^250 e X = a^250 + 1/a^250 = 2 em (1) a^500 + 1/a^500 = 2^2 -2 = 2 De x = a^250 e X = a^250 + 1/a^250 = 2 em (1) a^500 + 1/a^500 = 2^2 -2 = 2 Na verdade (como era de se esperar), a^250 + 1/a^250 = a^500 + 1/a^500 = a^1000 + 1/a^1000 = a^2000 + 1/a^2000 = 2 Abração, Nehab PS: Caramba, Luis, apostila de Trigonometria? Pois é, eu lembrei que fiz a primeira apostila de Algebra Linear (com o Cesar Salim) quando este negócio começou a entrar no Vestibular do Rio (acho que em 1971 ou 2). O Ponce aqui da lista (o quase velho :-) ) recentemente teve a gentileza de me emprestar as apostilas de Cálculo e Lógica que eu andei fazendo lá pelos idos de 1970 (caramba, que loucura) nas turmas IME/ITA (ih, nem devolvi ainda !!! ). Não há a menor chance de usar este material hoje. As coisas mudaram um pouquinho. Eu enfatizava o aprendizado de Lógica com o primeiro passo para os alunos se alfabetizarem em Matemática. Hoje isto tem pouquíssimo ibope...mas ainda funciona.. :-D , alías funciona desde o início dos tempos, né, desde pelo menos um tal de Aristóteles que também não tem muito ibope hoje... Como diz o Zygmund Bauman (um sociólogo que alguns acham meio pessimista, mas eu particularmente sou seu admirador), é um sinal da Modernidade Líquida..., título de seu livro mais interessante (uma bela metáfora para os tempos pós modernos, né?)... Aliás é o único livro que indico dele. O cara é extremamente criativo. Luís Lopes escreveu: Oi Nehab, É verdade. Mas isso está acontecendo com outras listas também. A propósito, era para calcular x^200 + (1/x)^200 (se é o problema que estou pensando) Acho que era x^2000 + (1/x)^2000 (detalhe). Mas a sugestão(?) era pra começar calculando [x + x^(-1)]^2. Tentei nessa linha e não consegui nada. Mas a solução mandada é muito boa. Ah, me lembrei que tenho também uma apostila de G. Espacial do Célio. Mas como ela apareceu um dia lá em casa (irmãos mais velhos, amigos dos irmãos mais velhos que estudavam lá m casa etc) não me lembro da sua
[obm-l] produtos notaveis
Sauda,c~oes, Oi Márcio Pinheiro, Se não estou enganado, a sugestão era calcular [x + x^(-1)]^2. Mas realmente não me lembro se houve tal mensagem. E não quero olhar os arquivos. Tento mandar esta mensagem fazendo nova mensagem. Com reply minhas mensagens ou não chegam ou preciso mandá-las diversas vezes. Isso acontece com mais alguém? Agradeço as últimas mensagens do PSR e Nehab sobre DG. []'s Luís = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] produtos notaveis
Oi, Luís, Comigo também. Desanimador. Eu diria que de cada 2 mensagens minhas uma vai e a outra não. Fora o fato de, muitas vezes, a mensagem chegar lá mais de 24 horas depois, em especial nos fins de semana. Acho que o Nicolau viaja e o servidor aproveita para dar uma descansadinha... A propósito, era para calcular x^200 + (1/x)^200 (se é o problema que estou pensando) Grande abraço, Nehab Luís Lopes escreveu: Sauda,c~oes, Oi Márcio Pinheiro, Se não estou enganado, a sugestão era calcular [x + x^(-1)]^2. Mas realmente não me lembro se houve tal mensagem. E não quero olhar os arquivos. Tento mandar esta mensagem fazendo nova mensagem. Com reply minhas mensagens ou não chegam ou preciso mandá-las diversas vezes. Isso acontece com mais alguém? Agradeço as últimas mensagens do PSR e Nehab sobre DG. []'s Luís = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
RE: [obm-l] produtos notaveis
Oi Nehab, É verdade. Mas isso está acontecendo com outras listas também. A propósito, era para calcular x^200 + (1/x)^200 (se é o problema que estou pensando) Acho que era x^2000 + (1/x)^2000 (detalhe). Mas a sugestão(?) era pra começar calculando [x + x^(-1)]^2. Tentei nessa linha e não consegui nada. Mas a solução mandada é muito boa. Ah, me lembrei que tenho também uma apostila de G. Espacial do Célio. Mas como ela apareceu um dia lá em casa (irmãos mais velhos, amigos dos irmãos mais velhos que estudavam lá m casa etc) não me lembro da sua procedência. E nunca me detive nela. E já que toquei nisso tenho também uma sua de Trigonometria, espólio do material do Impacto de um irmão nesse caso mais novo. []'s Luís Date: Fri, 8 May 2009 16:23:26 -0300 From: ne...@infolink.com.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] produtos notaveis Oi, Luís, Comigo também. Desanimador. Eu diria que de cada 2 mensagens minhas uma vai e a outra não. Fora o fato de, muitas vezes, a mensagem chegar lá mais de 24 horas depois, em especial nos fins de semana. Acho que o Nicolau viaja e o servidor aproveita para dar uma descansadinha... A propósito, era para calcular x^200 + (1/x)^200 (se é o problema que estou pensando) Grande abraço, Nehab Luís Lopes escreveu: Sauda,c~oes, Oi Márcio Pinheiro, Se não estou enganado, a sugestão era calcular [x + x^(-1)]^2. Mas realmente não me lembro se houve tal mensagem. E não quero olhar os arquivos. Tento mandar esta mensagem fazendo nova mensagem. Com reply minhas mensagens ou não chegam ou preciso mandá-las diversas vezes. Isso acontece com mais alguém? Agradeço as últimas mensagens do PSR e Nehab sobre DG. []'s Luís = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = _ Conheça os novos produtos Windows Live! Clique aqui. http://www.windowslive.com.br
RE: [obm-l] produtos notaveis
Olá. Não reparei na solução (ou início dela). Como seria? Devo ter apagado a mensagem, sem prestar atenção. Até. --- Em ter, 5/5/09, Luís Lopes qedte...@escolademestres.com escreveu: De: Luís Lopes qedte...@escolademestres.com Assunto: RE: [obm-l] produtos notaveis Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Terça-feira, 5 de Maio de 2009, 17:11 Sauda,c~oes, Oi Márcio Pinheiro, Legal, gostei. Mas me parece que o Bernardo(?) deu uma sugestão para um começo de solução. Ou não? Se sim, como seria esta solução? []'s Luís Date: Thu, 30 Apr 2009 05:41:38 -0700 From: profmar...@yahoo.com.br Subject: Re: [obm-l] produtos notaveis To: obm-l@mat.puc-rio.br Saudações. O melhor caminho que vislumbro pra resolver esse tipo de questão não é exatamente por produtos notáveis, mas por números complexos. LEMA: Sendo x um número complexo, não real, x + 1/x é real se, e somente se, x tem módulo unitário. Adotar-se-á a notação cisk para significar cosk + isenk, sendo k um número real e i^2 = - 1. Seja x = pcisk, em que p = módulo de x (número real positivo, já que x não é nulo). Pela 1ª Lei de De Moivre, x^n = p^ncis(nk), qualquer que seja n inteiro. PROVA DO LEMA: x + 1/x = x + x^(-1) = pcis k + p^(-1)cis(-k)= (p + 1/p)cosk + i(p - 1/p)senk, que é um número real se, e somente se, p = 1/p, pois senk é diferente de zero. Daí, p = 1, como se desejava demonstrar. Assim, sendo x + x^(-1) = (1+sqrt5)/2 (o número de ouro, por sinal), é fácil ver que x não pode ser real, porque o discriminante (delta) é negativo. Logo, de acordo com o lema precedente, x = cisk, com k real. Daí, x + x^(-1) = 2cosk = (1+sqrt5)/2, ou seja, cosk = (1+sqrt5)/4 = cos (pi/5). Portanto, usando o argumento principal (isto é, de 0 a pi) para o valor de k, pode-se tomar x = cis (pi/5). Pela 1ª Lei de De Moivre, conclui-se que: x^2000 + x^(-2000) = 2cis(400pi) = 2(1 + 0i) = 2. Espero ter ajudado. Márcio Pinheiro. --- Em qua, 29/4/09, Marcus marcusaureli...@globo.com escreveu: De: Marcus marcusaureli...@globo.com Assunto: [obm-l] produtos notaveis Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Quarta-feira, 29 de Abril de 2009, 21:00 Alguem sabe como se faz essa questão? Se X + X^-1 = (1+sqrt5)/2 então x^2000 + x^-2000 vale? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados http://br.maisbuscados.yahoo.com
RE: [obm-l] produtos notaveis
Sauda,c~oes, Oi Márcio Pinheiro, Legal, gostei. Mas me parece que o Bernardo(?) deu uma sugestão para um começo de solução. Ou não? Se sim, como seria esta solução? []'s Luís Date: Thu, 30 Apr 2009 05:41:38 -0700 From: profmar...@yahoo.com.br Subject: Re: [obm-l] produtos notaveis To: obm-l@mat.puc-rio.br Saudações. O melhor caminho que vislumbro pra resolver esse tipo de questão não é exatamente por produtos notáveis, mas por números complexos. LEMA: Sendo x um número complexo, não real, x + 1/x é real se, e somente se, x tem módulo unitário. Adotar-se-á a notação cisk para significar cosk + isenk, sendo k um número real e i^2 = - 1. Seja x = pcisk, em que p = módulo de x (número real positivo, já que x não é nulo). Pela 1ª Lei de De Moivre, x^n = p^ncis(nk), qualquer que seja n inteiro. PROVA DO LEMA: x + 1/x = x + x^(-1) = pcis k + p^(-1)cis(-k)= (p + 1/p)cosk + i(p - 1/p)senk, que é um número real se, e somente se, p = 1/p, pois senk é diferente de zero. Daí, p = 1, como se desejava demonstrar. Assim, sendo x + x^(-1) = (1+sqrt5)/2 (o número de ouro, por sinal), é fácil ver que x não pode ser real, porque o discriminante (delta) é negativo. Logo, de acordo com o lema precedente, x = cisk, com k real. Daí, x + x^(-1) = 2cosk = (1+sqrt5)/2, ou seja, cosk = (1+sqrt5)/4 = cos (pi/5). Portanto, usando o argumento principal (isto é, de 0 a pi) para o valor de k, pode-se tomar x = cis (pi/5). Pela 1ª Lei de De Moivre, conclui-se que: x^2000 + x^(-2000) = 2cis(400pi) = 2(1 + 0i) = 2. Espero ter ajudado. Márcio Pinheiro. --- Em qua, 29/4/09, Marcus marcusaureli...@globo.com escreveu: De: Marcus marcusaureli...@globo.com Assunto: [obm-l] produtos notaveis Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Quarta-feira, 29 de Abril de 2009, 21:00 Alguem sabe como se faz essa questão? Se X + X^-1 = (1+sqrt5)/2 então x^2000 + x^-2000 vale? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] produtos notaveis
Saudações. O melhor caminho que vislumbro pra resolver esse tipo de questão não é exatamente por produtos notáveis, mas por números complexos. LEMA: Sendo x um número complexo, não real, x + 1/x é real se, e somente se, x tem módulo unitário. Adotar-se-á a notação cisk para significar cosk + isenk, sendo k um número real e i^2 = - 1. Seja x = pcisk, em que p = módulo de x (número real positivo, já que x não é nulo). Pela 1ª Lei de De Moivre, x^n = p^ncis(nk), qualquer que seja n inteiro. PROVA DO LEMA: x + 1/x = x + x^(-1) = pcis k + p^(-1)cis(-k)= (p + 1/p)cosk + i(p - 1/p)senk, que é um número real se, e somente se, p = 1/p, pois senk é diferente de zero. Daí, p = 1, como se desejava demonstrar. Assim, sendo x + x^(-1) = (1+sqrt5)/2 (o número de ouro, por sinal), é fácil ver que x não pode ser real, porque o discriminante (delta) é negativo. Logo, de acordo com o lema precedente, x = cisk, com k real. Daí, x + x^(-1) = 2cosk = (1+sqrt5)/2, ou seja, cosk = (1+sqrt5)/4 = cos (pi/5). Portanto, usando o argumento principal (isto é, de 0 a pi) para o valor de k, pode-se tomar x = cis (pi/5). Pela 1ª Lei de De Moivre, conclui-se que: x^2000 + x^(-2000) = 2cis(400pi) = 2(1 + 0i) = 2. Espero ter ajudado. Márcio Pinheiro. --- Em qua, 29/4/09, Marcus marcusaureli...@globo.com escreveu: De: Marcus marcusaureli...@globo.com Assunto: [obm-l] produtos notaveis Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Quarta-feira, 29 de Abril de 2009, 21:00 Alguem sabe como se faz essa questão? Se X + X^-1 = (1+sqrt5)/2 então x^2000 + x^-2000 vale? Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados http://br.maisbuscados.yahoo.com
RES: [obm-l] produtos notaveis
X elevado a menos 1 De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de luiz silva Enviada em: quinta-feira, 30 de abril de 2009 07:51 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] produtos notaveis O que --- Em qua, 29/4/09, Marcus marcusaureli...@globo.com escreveu: De: Marcus marcusaureli...@globo.com Assunto: [obm-l] produtos notaveis Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Quarta-feira, 29 de Abril de 2009, 21:00 Alguem sabe como se faz essa questão? Se X + X^-1 = (1+sqrt5)/2 então x^2000 + x^-2000 vale? _ Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http:/br.maisbuscados.yahoo.com/ Top 10 - http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http:/br.maisbuscados.yahoo.com/ celebridades/ Celebridades - http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http:/br.maisbuscados.yahoo.com/ m%C3%BAsica/ Música - http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http:/br.maisbuscados.yahoo.com/ esportes/ Esportes
Re: [obm-l] produtos notaveis
O que --- Em qua, 29/4/09, Marcus marcusaureli...@globo.com escreveu: De: Marcus marcusaureli...@globo.com Assunto: [obm-l] produtos notaveis Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Quarta-feira, 29 de Abril de 2009, 21:00 Alguem sabe como se faz essa questão? Se X + X^-1 = (1+sqrt5)/2 então x^2000 + x^-2000 vale? Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados http://br.maisbuscados.yahoo.com
Re: [obm-l] produtos notaveis
O que significa ^-? Abs Felipe --- Em qua, 29/4/09, Marcus marcusaureli...@globo.com escreveu: De: Marcus marcusaureli...@globo.com Assunto: [obm-l] produtos notaveis Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Quarta-feira, 29 de Abril de 2009, 21:00 Alguem sabe como se faz essa questão? Se X + X^-1 = (1+sqrt5)/2 então x^2000 + x^-2000 vale? Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados http://br.maisbuscados.yahoo.com
Re: [obm-l] produtos notaveis
Oi Felipe ! O ^ significa potência, em geral. Antigamente, se usava nos computadores a flecha pra cima para significar potência (na verdade, superscripts), o que ainda pode se ver no TeXbook. Neste caso, temos um (ab)uso (pouco) comum de indicar um expoente negativo sem os parênteses, o que leva à formuleta um pouco misteriosa... mas bem clara se você adivinhar daonde vêm o 1+sqrt(5) / 2 (leia os mails do PSR !!) Para quem quiser pensar na soluçao, uma idéia é calcular X^2 + X^(-2) e continuar a partir dai. -- Bernardo Freitas Paulo da Costa 2009/4/30 luiz silva luizfelipec...@yahoo.com.br: O que significa ^-? Abs Felipe --- Em qua, 29/4/09, Marcus marcusaureli...@globo.com escreveu: De: Marcus marcusaureli...@globo.com Assunto: [obm-l] produtos notaveis Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Quarta-feira, 29 de Abril de 2009, 21:00 Alguem sabe como se faz essa questão? Se X + X^-1 = (1+sqrt5)/2 então x^2000 + x^-2000 vale? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] produtos notaveis
Alguem sabe como se faz essa questão? Se X + X^-1 = (1+sqrt5)/2 então x^2000 + x^-2000 vale?
