[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Polinômios ( RPM)
Valeu Esdras !!!
Em sex, 21 de set de 2018 às 01:40, Esdras Muniz
escreveu:
> Suponha por absurdo que (7-Ri)>=0 para toda raiz Ri, i=1,...,100.
> Daí, por Ma>=Mg, temos:
> 1>=\sqer[100]{(7-R1)(7-R2)...(7-R100)}>1 então 1>1, o que é um absurdo.
>
> Em sex, 21 de set de 2018 às 01:05, Jeferson Almir <
> jefersonram...@gmail.com> escreveu:
>
>> Este problema é de uma R.P.M que não sei qual o exemplar e peço ajuda.
>>
>> Seja P(x) um polinômio de grau 100 tal que P(x) = x^100 -600x^99 +
>> 98x^98+97x^97 +... + a_1x + a_o tem 100 raizes reais e que P(7) > 1 .
>> Mostre que existe pelo menos uma raiz maior que 7 .
>>
>> Desconfio muito de usar médias mas não estou conseguindo adequar para
>> aplica-las .
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>
> --
> Esdras Muniz Mota
> Mestrando em Matemática
> Universidade Federal do Ceará
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] polinômios
Pior que quando eu escrevei aquilo, eu pensei mesmo duas vezes se devia explicar este detalhe... Mas, em vista de discussoes passadas (como esta que voce citou), achei que podia passar batido e esperar alguem perguntar, se fosse o caso... Tipo, recentemente, numa olimpiada dessas, houve uma breve discussao desse tipo para fazer um criterio de correcao -- "vamos tirar ponto se o cara nao argumentar porque o polinomio tem coeficientes inteiros?" -- e lembro que a decisao foi: "nao, isso nao vale ponto no criterio"... :D :D :D :D :D (Tambem achei que alguem podia reclamar do "nao existem 4 inteiros distintos cujo produto eh +-1, +-2"... mas essa eh bem mais engolivel, acho.) :D Abracos, Ralph. :D 2017-11-28 16:23 GMT-02:00 Carlos Nehab : > Oi, Mateus et alli > > Eu cutuquei o Ralph porque há tempos ele colocou exatamente essa sua > explicação "vindo em defesa" de uma solução que eu havia postado de outro > problema". Rsrsr. > Achei importante explicitar esse detalhe pra galera. > > Grande abraço > Nehab > > > Em 28 de novembro de 2017 12:07, Matheus Secco > escreveu: > >> Para ver que Q(x), basta ver que (x-a)(x-b)(x-c)(x-d) tem coeficiente >> lider 1 e ao fazer a divisão longa de P(x) por este polinomio com >> coeficiente lider 1, não há riscos de introduzir frações. >> >> Abs, >> Secco >> >> Em 28 de nov de 2017 11:58 AM, "Carlos Nehab" >> escreveu: >> >> Oi, Ralph >> >> E o detalhe que Q(x) tem coeficientes inteiros..., "exprica prá nóis"! >> >> Abraços >> Nehab >> >> Em 27 de novembro de 2017 21:51, Ralph Teixeira >> escreveu: >> >>> Acho que eles queriam 4 raizes inteiras distintas. >>> >>> Neste caso, temos P(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)Q(x) onde Q(x) tem >>> coeficientes inteiros e a,b,c,d sao as 4 raizes inteiras distintas. >>> >>> Se P(x)=2 tivesse raiz inteira, digamos, x=n, entao teriamos >>> P(n)=(n-a)(n-b)(n-c)(n-d)Q(n)=2. Mas entao n-a, n-b, n-c e n-d seriam 4 >>> inteiros distintos cujo produto seria +-1 ou +-2, o que nao eh possivel. >>> >>> Abraco, Ralph. >>> >>> 2017-11-27 20:09 GMT-02:00 André Lauer : >>> Boa noite, preciso de ajuda no seguinte problema: Um polinômio P(x) tem coeficientes inteiros e admite quatro raízes inteiras. Prove que a equação P(x) = 2 não admite raízes inteiras. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] polinômios
Oi, Mateus et alli Eu cutuquei o Ralph porque há tempos ele colocou exatamente essa sua explicação "vindo em defesa" de uma solução que eu havia postado de outro problema". Rsrsr. Achei importante explicitar esse detalhe pra galera. Grande abraço Nehab Em 28 de novembro de 2017 12:07, Matheus Secco escreveu: > Para ver que Q(x), basta ver que (x-a)(x-b)(x-c)(x-d) tem coeficiente > lider 1 e ao fazer a divisão longa de P(x) por este polinomio com > coeficiente lider 1, não há riscos de introduzir frações. > > Abs, > Secco > > Em 28 de nov de 2017 11:58 AM, "Carlos Nehab" > escreveu: > > Oi, Ralph > > E o detalhe que Q(x) tem coeficientes inteiros..., "exprica prá nóis"! > > Abraços > Nehab > > Em 27 de novembro de 2017 21:51, Ralph Teixeira > escreveu: > >> Acho que eles queriam 4 raizes inteiras distintas. >> >> Neste caso, temos P(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)Q(x) onde Q(x) tem >> coeficientes inteiros e a,b,c,d sao as 4 raizes inteiras distintas. >> >> Se P(x)=2 tivesse raiz inteira, digamos, x=n, entao teriamos >> P(n)=(n-a)(n-b)(n-c)(n-d)Q(n)=2. Mas entao n-a, n-b, n-c e n-d seriam 4 >> inteiros distintos cujo produto seria +-1 ou +-2, o que nao eh possivel. >> >> Abraco, Ralph. >> >> 2017-11-27 20:09 GMT-02:00 André Lauer : >> >>> Boa noite, preciso de ajuda no seguinte problema: >>> Um polinômio P(x) tem coeficientes inteiros e admite quatro raízes >>> inteiras. Prove que a equação P(x) = 2 não admite raízes inteiras. >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] polinômios
Para ver que Q(x), basta ver que (x-a)(x-b)(x-c)(x-d) tem coeficiente lider 1 e ao fazer a divisão longa de P(x) por este polinomio com coeficiente lider 1, não há riscos de introduzir frações. Abs, Secco Em 28 de nov de 2017 11:58 AM, "Carlos Nehab" escreveu: Oi, Ralph E o detalhe que Q(x) tem coeficientes inteiros..., "exprica prá nóis"! Abraços Nehab Em 27 de novembro de 2017 21:51, Ralph Teixeira escreveu: > Acho que eles queriam 4 raizes inteiras distintas. > > Neste caso, temos P(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)Q(x) onde Q(x) tem coeficientes > inteiros e a,b,c,d sao as 4 raizes inteiras distintas. > > Se P(x)=2 tivesse raiz inteira, digamos, x=n, entao teriamos > P(n)=(n-a)(n-b)(n-c)(n-d)Q(n)=2. Mas entao n-a, n-b, n-c e n-d seriam 4 > inteiros distintos cujo produto seria +-1 ou +-2, o que nao eh possivel. > > Abraco, Ralph. > > 2017-11-27 20:09 GMT-02:00 André Lauer : > >> Boa noite, preciso de ajuda no seguinte problema: >> Um polinômio P(x) tem coeficientes inteiros e admite quatro raízes >> inteiras. Prove que a equação P(x) = 2 não admite raízes inteiras. >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] polinômios
Oi, Ralph E o detalhe que Q(x) tem coeficientes inteiros..., "exprica prá nóis"! Abraços Nehab Em 27 de novembro de 2017 21:51, Ralph Teixeira escreveu: > Acho que eles queriam 4 raizes inteiras distintas. > > Neste caso, temos P(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)Q(x) onde Q(x) tem coeficientes > inteiros e a,b,c,d sao as 4 raizes inteiras distintas. > > Se P(x)=2 tivesse raiz inteira, digamos, x=n, entao teriamos > P(n)=(n-a)(n-b)(n-c)(n-d)Q(n)=2. Mas entao n-a, n-b, n-c e n-d seriam 4 > inteiros distintos cujo produto seria +-1 ou +-2, o que nao eh possivel. > > Abraco, Ralph. > > 2017-11-27 20:09 GMT-02:00 André Lauer : > >> Boa noite, preciso de ajuda no seguinte problema: >> Um polinômio P(x) tem coeficientes inteiros e admite quatro raízes >> inteiras. Prove que a equação P(x) = 2 não admite raízes inteiras. >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] polinômios
Bom dia! O Ralph seguiu o caminho certo. Contagem é para coisas distintas. Multiplicidade da raiz já é outro conceito. A solução do Ralph foi perfeita, pois, além de considerar as quatros raízes, não fez restrição à multiplicidade dessas raízes. Em 27 de novembro de 2017 21:51, Ralph Teixeira escreveu: > Acho que eles queriam 4 raizes inteiras distintas. > > Neste caso, temos P(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)Q(x) onde Q(x) tem coeficientes > inteiros e a,b,c,d sao as 4 raizes inteiras distintas. > > Se P(x)=2 tivesse raiz inteira, digamos, x=n, entao teriamos > P(n)=(n-a)(n-b)(n-c)(n-d)Q(n)=2. Mas entao n-a, n-b, n-c e n-d seriam 4 > inteiros distintos cujo produto seria +-1 ou +-2, o que nao eh possivel. > > Abraco, Ralph. > > 2017-11-27 20:09 GMT-02:00 André Lauer : > >> Boa noite, preciso de ajuda no seguinte problema: >> Um polinômio P(x) tem coeficientes inteiros e admite quatro raízes >> inteiras. Prove que a equação P(x) = 2 não admite raízes inteiras. >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] polinômios
2x^4 também é contra-exemplo Em 27 de nov de 2017 19:41, "Bruno Visnadi" escreveu: > As raízes precisam ser distintas? Se podem ser iguais, x^4 - 3 x^3 + 3x^2 > - 1x é um contra-exemplo ao problema. > > Em 27 de novembro de 2017 20:09, André Lauer > escreveu: > >> Boa noite, preciso de ajuda no seguinte problema: >> Um polinômio P(x) tem coeficientes inteiros e admite quatro raízes >> inteiras. Prove que a equação P(x) = 2 não admite raízes inteiras. >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Polinômios
Muito boa explicação Carlos Gomes, observações muito inteligentes Em 25 de julho de 2017 23:01, Pedro Júnior escreveu: > Obrigado, não havia percebido o deslize! > > Em 25 de jul de 2017 10:48 PM, "Carlos Gomes" > escreveu: > > > Pelo teorema do resto, > > p(2)=p(3)=p(4)=r e p(1)=0 > > Considerando o polinômio q(x)=p(x)-r, segue que q(2)=q(3)=q(4)=0. Assim, > > q(x)=A.(x-2)(x-3)(x-4), com A real. Portanto, > > p(x)-r=q(x)=A.(x-2)(x-3)(x-4) ==> p(x)=A.(x-2)(x-3)(x-4)+r. > > Ora, como p(1)=0, segue que 0=A(1-2)(1-3)(1-4)+r ==> r=6A > > Assim, p(x)=A.(x-2)(x-3)(x-4)+¨6A > > Variando o A nos reais (A não nulo) temos infinitos polinômios p cumprindo > as condições requeridas. > > Cgomes. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Israel Meireles Chrisostomo -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Polinômios
Obrigado, não havia percebido o deslize! Em 25 de jul de 2017 10:48 PM, "Carlos Gomes" escreveu: Pelo teorema do resto, p(2)=p(3)=p(4)=r e p(1)=0 Considerando o polinômio q(x)=p(x)-r, segue que q(2)=q(3)=q(4)=0. Assim, q(x)=A.(x-2)(x-3)(x-4), com A real. Portanto, p(x)-r=q(x)=A.(x-2)(x-3)(x-4) ==> p(x)=A.(x-2)(x-3)(x-4)+r. Ora, como p(1)=0, segue que 0=A(1-2)(1-3)(1-4)+r ==> r=6A Assim, p(x)=A.(x-2)(x-3)(x-4)+¨6A Variando o A nos reais (A não nulo) temos infinitos polinômios p cumprindo as condições requeridas. Cgomes. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Polinômios
Pelo teorema do resto, p(2)=p(3)=p(4)=r e p(1)=0 Considerando o polinômio q(x)=p(x)-r, segue que q(2)=q(3)=q(4)=0. Assim, q(x)=A.(x-2)(x-3)(x-4), com A real. Portanto, p(x)-r=q(x)=A.(x-2)(x-3)(x-4) ==> p(x)=A.(x-2)(x-3)(x-4)+r. Ora, como p(1)=0, segue que 0=A(1-2)(1-3)(1-4)+r ==> r=6A Assim, p(x)=A.(x-2)(x-3)(x-4)+¨6A Variando o A nos reais (A não nulo) temos infinitos polinômios p cumprindo as condições requeridas. Cgomes. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Polinômios
Vou ajeitar a ideia do Bruno, que eh muito boa -- vou botar um parametro arbitrario na frente do primeiro polinomio: Entao, crio P(x)=k(x-2)(x-3)(x-4) -> P(1)=-6k (onde k<>0) Entao R(x)=k(x-2)(x-3)(x-4)+6k eh tal que R(1)=0; mais ainda, R(2)=R(3)=R(4)=6k, portanto R(x) deixa o mesmo resto 6k na divisao por (x-2), (x-3) ou (x-4). (Ou entao, pegue o polinomio Q(x) do Bruno, e multiplique por uma constante real arbitraria k<>0) Abraco, Ralph. 2017-07-25 21:41 GMT-03:00 Bruno Visnadi : > Seja P(x) = (x-2)(x-3)(x-4) = x³ - 9x² + 26x - 24 -> P(1) = -6 > > Seja Q(x) = P(x) + 6 -> Q(1) = 0 -> Q(x) é múltiplo de (x-1) > > Perceba que Q(x) deixa resto 6 por (x-2), (x-3) e (x-4). Todo polinômio no > formato Q(x) + n*P(x), para todo n, deixa resto 6 por > (x-2), (x-3) e (x-4). > > Em 25 de julho de 2017 21:22, Pedro Júnior > escreveu: > >> Prove que existem infinitos polinômios de grau 3 de coeficientes reais >> que são divisíveis por x - 1 e que deixam o mesmo resto por x - 2, x - 3 e >> x - 4. >> >> Quem tiver uma boa dica fica meus agradecimentos. >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Polinômios
Os polinômios que mencionei no formato Q(x) + nP(x) não são necessariamente múltiplos de (x-1). Mas Q(x) é um exemplo de polinômio que estamos procurando. Pelo o que entendi, dois polinômios diferentes podem deixar restos diferentes, desde que seja o mesmo resto para (x-1), (x-2) e (x-3), certo? Neste caso, basta tormarmos Qm(x) = m*P(x) + 6m, para todo m. Cada polinômio deixará resto 6t por (x-1), (x-2) e (x-3). Qm(x) = mx³ - 9mx² + 26mx - 12m -> Qm(1) = 0. Então, dessa vez eles são todos múltiplos de (x-1) :) Em 25 de julho de 2017 22:13, Bruno Visnadi escreveu: > Opa, deixei passar um erro bem básico! Estou corrigindo, um momentinho > > Em 25 de julho de 2017 22:04, Pedro Júnior > escreveu: > >> Obrigado, didático e criativo. >> Valeu mesmo! >> >> Em 25 de jul de 2017 9:55 PM, "Bruno Visnadi" < >> brunovisnadida...@gmail.com> escreveu: >> >>> Seja P(x) = (x-2)(x-3)(x-4) = x³ - 9x² + 26x - 24 -> P(1) = -6 >>> >>> Seja Q(x) = P(x) + 6 -> Q(1) = 0 -> Q(x) é múltiplo de (x-1) >>> >>> Perceba que Q(x) deixa resto 6 por (x-2), (x-3) e (x-4). Todo polinômio >>> no formato Q(x) + n*P(x), para todo n, deixa resto 6 por >>> (x-2), (x-3) e (x-4). >>> >>> Em 25 de julho de 2017 21:22, Pedro Júnior >>> escreveu: >>> Prove que existem infinitos polinômios de grau 3 de coeficientes reais que são divisíveis por x - 1 e que deixam o mesmo resto por x - 2, x - 3 e x - 4. Quem tiver uma boa dica fica meus agradecimentos. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> > > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Polinômios
Opa, deixei passar um erro bem básico! Estou corrigindo, um momentinho Em 25 de julho de 2017 22:04, Pedro Júnior escreveu: > Obrigado, didático e criativo. > Valeu mesmo! > > Em 25 de jul de 2017 9:55 PM, "Bruno Visnadi" > escreveu: > >> Seja P(x) = (x-2)(x-3)(x-4) = x³ - 9x² + 26x - 24 -> P(1) = -6 >> >> Seja Q(x) = P(x) + 6 -> Q(1) = 0 -> Q(x) é múltiplo de (x-1) >> >> Perceba que Q(x) deixa resto 6 por (x-2), (x-3) e (x-4). Todo polinômio >> no formato Q(x) + n*P(x), para todo n, deixa resto 6 por >> (x-2), (x-3) e (x-4). >> >> Em 25 de julho de 2017 21:22, Pedro Júnior >> escreveu: >> >>> Prove que existem infinitos polinômios de grau 3 de coeficientes reais >>> que são divisíveis por x - 1 e que deixam o mesmo resto por x - 2, x - 3 e >>> x - 4. >>> >>> Quem tiver uma boa dica fica meus agradecimentos. >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Polinômios
Obrigado, didático e criativo. Valeu mesmo! Em 25 de jul de 2017 9:55 PM, "Bruno Visnadi" escreveu: > Seja P(x) = (x-2)(x-3)(x-4) = x³ - 9x² + 26x - 24 -> P(1) = -6 > > Seja Q(x) = P(x) + 6 -> Q(1) = 0 -> Q(x) é múltiplo de (x-1) > > Perceba que Q(x) deixa resto 6 por (x-2), (x-3) e (x-4). Todo polinômio no > formato Q(x) + n*P(x), para todo n, deixa resto 6 por > (x-2), (x-3) e (x-4). > > Em 25 de julho de 2017 21:22, Pedro Júnior > escreveu: > >> Prove que existem infinitos polinômios de grau 3 de coeficientes reais >> que são divisíveis por x - 1 e que deixam o mesmo resto por x - 2, x - 3 e >> x - 4. >> >> Quem tiver uma boa dica fica meus agradecimentos. >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Polinômios
Muito obrigado, Douglas! Eu não conhecia esse teorema. Com certeza é muito valioso! Em 27 de maio de 2017 17:08, Douglas Oliveira de Lima < profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu: > Então: > > *Podemos usar o seguinte teorema: Na divisão de um polinômio p(x) por > h1(x) o resto é r1(x); na divisão de p(x) por h2(x) o resto é r2(x); na > divisão de p(x) por h1(x).h2(x) o resto é r(x). Se r(x) é dividido por > h1(x) o resto é r1(x) e dividido por h2(x) o resto é r2(x).* > > *O resto da divisão de P(x) por x4 + x2 + 1 possui de grau menor ou igual > a 3: r(x) = ax3 + bx2 + cx + d* > > *De acordo com o teorema, ax3 + bx2 + cx + d dividido por x2 + x + 1 > deixa resto – x + 1 e dividido por x2 – x + 1 deixa resto 3x + 5. > Então: i) ax3 + bx2 + cx + d = (x2 + x + 1)(ax + e) – x + 1 =>* > > *ax3 + bx2 + cx + d = ax3 + (a + e)x2 + (a + e – 1)x + e + 1* > > *ii) ax3 + bx2 + cx + d = (x2 – x + 1)(ax + f) + 3x + 5 =>* > > *ax3 + bx2 + cx + d = ax3 + (f – a)x2 + (a – f + 3)x + f + 5* > > *\**e + 1 = f + 5 => e – f = 4 **\**a + e – 1 = a – f + 3 => > e + f = 4 => e = 4 e f = 0* > > *\**d = e + 1 => d = 5 **\**a + e = f – a => 2a = – 4 => > a = – 2 **\**b = f – a => b = 2* > > *\**c = a + e – 1 = – 2 + 4 – 1 => c = 1**\**Ou seja: r(x) > = – 2x3 + 2x2 + x + 5* > > > *Observação: O que fiz nada mais foi do que congruência aplicada a > polinômios.* > > > *Abraços * > > *Douglas Oliveira* > > Em 27 de maio de 2017 11:17, Vanderlei Nemitz > escreveu: > >> Bom dia! >> >> Alguém poderia dar uma ideia na seguinte questão? Já tentes algumas >> estratégias, mas sem êxito. >> >> Um polinômio P(x) dividido por x^2 + x + 1 dá resto -x + 1 e dividido por >> x^2 -x + 1 dá resto 3x + 5. Qual o resto da divisão de P(x) por x^4 + x^2 + >> 1? >> >> A resposta que tenho é -2x^3 + 2x^2 + x + 5. >> >> Obrigado! >> >> Vanderlei >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Polinômios
Boa tarde! É um pouco complicado pois as soluções podem ser negativas pelo enunciado. A restrição quanto a ser positivo é somente para m e n. a+b+c = 17 abc = n^2. Podemos ter raizes com a seguinte configuração. *s, s e t^2 com t Ɛ 2Z+1 * t =1==> s= 8 ==> (1,8,8) é solução ==> n= 8 e m = 80. t=3 ==> s= 4 ==> (4,4,9) é solução ==> n= 12 e m = 88. *s st t* s=2 e t=5 ==> (2,5,10) é solução ==> n= 10 e m = 80. Para s= 1 é facil ver que repete (1,8,8) e apartir de 3 não atende. s st e t*u^2 Só há solução para (3,6,8) ==> n=12 e m = 90. Temos que procurar soluções com duas parcelas negativas: *a e b <0 e c>17.* *==> *ab + ac + bc >0, pois m >0 ab > - c (a+b) ==> ab > c (c-17) Para um dado c, ab é máximo se a=b pois ab = 17-c= constante assim: a^2 < c^2 - 17 c a = (17-c)/2 ==> 17^2/2 - 17 c +c^2/2 > c^2 - 17c c^2 < 17^2 ==> |c| < 17, absurdo, pois, c> 17. Se não atende para o máximo, não atenderá para os demais. Assim não há solução com raízes negativas. Só há as soluções destacadas em amarelo. Creio que para achar todas as soluções teria sido mais simples listar todas as soluções de a + b + c = 17, excetuando-se as permutações pois as operações para achar m e n são comutativas e escolher as que abc dão um quadrado perfeito. Sds, PJMS Em 18 de junho de 2015 14:16, saulo nilson escreveu: > a+b+c=17 > ab+ac+bc=m > abc=n^2 > abc tem que dar um quadrado perfeito > a=6,b=3,c=8 > n=12 > m=90 > > 2015-06-18 14:13 GMT-03:00 saulo nilson : > >> e uma soluçao >> >> >> 2015-06-18 14:13 GMT-03:00 saulo nilson : >> >>> a+b+c=17 >>> ab+ac+bc=m >>> abc=n^2 >>> abc tem que dar um quadrado perfeito >>> a=6,b=3,c=8 >>> n=12 >>> m=92 >>> >>> 2015-05-18 7:23 GMT-03:00 marcone augusto araújo borges < >>> marconeborge...@hotmail.com>: >>> Encontrar todos os inteiros positivos m e n tais que todas as soluções de x^3 - 17x^2 + mx - n^2 = 0 são inteiras -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >> > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Polinômios
Oi Maldonado. Gostaria de entender a notação: parece que cp seriam as raizes, mas, em cp=1/ap, ap seriam os coeficientes? Como? [ ]'s De: João Maldonado Para: "obm-l@mat.puc-rio.br" Enviadas: Terça-feira, 24 de Setembro de 2013 23:00 Assunto: [obm-l] RE: [obm-l] Polinômios Sendo cp = 1/ap a1a2...an = +-1/an a1a2...an(1/a1 + 1/a2+...+1/an) = -+1/an a1a2...an(1/a1a2 + 1/a1a3 +... +1/an-1an) = +-1/an Logo: (1/a1 + 1/a2+...+1/an) = -1 (1/a1a2 + 1/a1a3 +... +1/an-1an) =1 x=c1+c2+ ... +cn = -1 y=c1c2+c1c3+...+cn-1cn = 1 c1²+c2² +... +cn² = (c1+c2+ ... +cn)² -2(c1c2+c1c3+...+cn-1cn) = -1, absurdo, logo para n par temos que pelo menos 2 raízes são complexas []'s João From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Polinômios Date: Wed, 25 Sep 2013 01:00:58 + Prove que um polinômio do tipo a(n)x^n + a(n-1)x^(n-1) + ...+ a(3)x^3 + x^2 + x + 1 com coeficientes reais não pode ter todas as raízes reais. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
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Sim,-1,claro.Enfim,acabei entendendo tudo.Valeu! From: esdrasmunizm...@gmail.com Date: Thu, 26 Sep 2013 11:31:55 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Polinômios To: obm-l@mat.puc-rio.br Obs: eu estou mostrando que as raizes de Q não podem ser todas reais, então as de P tambem não podem. Em 26 de setembro de 2013 11:29, Esdras Muniz escreveu: Q(y)=a(n) + a(n-1)y + ...+ a(3)y^(n-3) + y^(n-2) + y^(n-1) + y^n pelas equações de Girard, a soma das raizers é dada por menos o coeficiente de y^(n-1), ou seja, -1. Em 25 de setembro de 2013 21:14, marcone augusto araújo borges escreveu: Por que r1+r2+...+rn = -1? From: esdrasmunizm...@gmail.com Date: Wed, 25 Sep 2013 13:28:35 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Polinômios To: obm-l@mat.puc-rio.br Tome o polinomioQ(y)= P(1/x) fazendo y=1/x, temos:Q(y)=a(n) + a(n-1)y + ...+ a(3)y^(n-3) + y^(n-2) + y^(n-1) + y^n sendo r1, r2, ..., rn as raizes de Q(y) (com repetição). note que se R1, R2,..., Rn são as raizes de P(x), Ri=1/ri (note que an é diferente de zero, então Q não possui raiz nula) Então: r1+r2+...+rn=-1;(soma sobre i>j)(ri*rj)=1; então (r1)²+(r2)²+...+(rn)²=(r1+r2+...+rn)²-2*(soma sobre i>j)(ri*rj)= -1 - 2*1=-3. Então não podemos ter todas as raízes reais. Em 25 de setembro de 2013 12:51, marcone augusto araújo borges escreveu: As expressões entre parêntesis na penúltima linha não são ambas iguais a 1?E por que ´´para n par...´´? From: joao_maldona...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Polinômios Date: Tue, 24 Sep 2013 23:00:14 -0300 Sendo cp = 1/ap a1a2...an = +-1/an a1a2...an(1/a1 + 1/a2+...+1/an) = -+1/an a1a2...an(1/a1a2 + 1/a1a3 +... +1/an-1an) = +-1/an Logo: (1/a1 + 1/a2+...+1/an) = -1 (1/a1a2 + 1/a1a3 +... +1/an-1an) =1 x=c1+c2+ ... +cn = -1 y=c1c2+c1c3+...+cn-1cn = 1 c1²+c2² +... +cn² = (c1+c2+ ... +cn)² -2(c1c2+c1c3+...+cn-1cn) = -1, absurdo, logo para n par temos que pelo menos 2 raízes são complexas []'s João From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Polinômios Date: Wed, 25 Sep 2013 01:00:58 + Prove que um polinômio do tipo a(n)x^n + a(n-1)x^(n-1) + ...+ a(3)x^3 + x^2 + x + 1 com coeficientes reais não pode ter todas as raízes reais. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esdras Muniz Mota Graduando em Matemática Bacharelado Universidade Federal do Ceará -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esdras Muniz Mota Graduando em Matemática Bacharelado Universidade Federal do Ceará "Se algum dia ele recuou, foi para dar um grande salto" -- Esdras Muniz Mota Graduando em Matemática Bacharelado Universidade Federal do Ceará "Se algum dia ele recuou, foi para dar um grande salto" -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Polinômios
Obs: eu estou mostrando que as raizes de Q não podem ser todas reais, então as de P tambem não podem. Em 26 de setembro de 2013 11:29, Esdras Muniz escreveu: > Q(y)=a(n) + a(n-1)y + ...+ a(3)y^(n-3) + y^(n-2) + y^(n-1) + y^n > pelas equações de Girard, a soma das raizers é dada por menos o > coeficiente de y^(n-1), ou seja, -1. > > > > Em 25 de setembro de 2013 21:14, marcone augusto araújo borges < > marconeborge...@hotmail.com> escreveu: > > Por que r1+r2+...+rn = -1? >> >> -- >> From: esdrasmunizm...@gmail.com >> Date: Wed, 25 Sep 2013 13:28:35 -0300 >> Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Polinômios >> To: obm-l@mat.puc-rio.br >> >> >> Tome o polinomioQ(y)= P(1/x) fazendo y=1/x, temos: >> Q(y)=a(n) + a(n-1)y + ...+ a(3)y^(n-3) + y^(n-2) + y^(n-1) + y^n >> sendo r1, r2, ..., rn as raizes de Q(y) (com repetição). note que se R1, >> R2,..., Rn são as raizes de P(x), Ri=1/ri (note que an é diferente de >> zero, então Q não possui raiz nula) >> Então: >> r1+r2+...+rn=-1; >> (soma sobre i>j)(ri*rj)=1; >> então (r1)²+(r2)²+...+(rn)²=(r1+r2+...+rn)²-2*(soma sobre i>j)(ri*rj)= >> -1 - 2*1=-3. >> Então não podemos ter todas as raízes reais. >> >> >> Em 25 de setembro de 2013 12:51, marcone augusto araújo borges < >> marconeborge...@hotmail.com> escreveu: >> >> As expressões entre parêntesis na penúltima linha não são ambas iguais a >> 1? >> E por que ´´para n par...´´? >> >> >> >> >> -- >> From: joao_maldona...@hotmail.com >> To: obm-l@mat.puc-rio.br >> Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Polinômios >> Date: Tue, 24 Sep 2013 23:00:14 -0300 >> >> >> Sendo cp = 1/ap >> a1a2...an = +-1/an >> a1a2...an(1/a1 + 1/a2+...+1/an) = -+1/an >> a1a2...an(1/a1a2 + 1/a1a3 +... +1/an-1an) = +-1/an >> >> Logo: (1/a1 + 1/a2+...+1/an) = -1 >> (1/a1a2 + 1/a1a3 +... +1/an-1an) =1 >> x=c1+c2+ ... +cn = -1 >> y=c1c2+c1c3+...+cn-1cn = 1 >> >> c1²+c2² +... +cn² = (c1+c2+ ... +cn)² -2(c1c2+c1c3+...+cn-1cn) = -1, >> absurdo, logo para n par temos que pelo menos 2 raízes são complexas >> >> []'s >> João >> >> >> -- >> From: marconeborge...@hotmail.com >> To: obm-l@mat.puc-rio.br >> Subject: [obm-l] Polinômios >> Date: Wed, 25 Sep 2013 01:00:58 + >> >> Prove que um polinômio do tipo a(n)x^n + a(n-1)x^(n-1) + ...+ a(3)x^3 + >> x^2 + x + 1 com >> coeficientes reais não pode ter todas as raízes reais. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> >> >> -- >> Esdras Muniz Mota >> Graduando em Matemática Bacharelado >> Universidade Federal do Ceará >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> > > > > -- > Esdras Muniz Mota > Graduando em Matemática Bacharelado > Universidade Federal do Ceará > > "Se algum dia ele recuou, foi para dar um grande salto" > -- Esdras Muniz Mota Graduando em Matemática Bacharelado Universidade Federal do Ceará "Se algum dia ele recuou, foi para dar um grande salto" -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Polinômios
Q(y)=a(n) + a(n-1)y + ...+ a(3)y^(n-3) + y^(n-2) + y^(n-1) + y^n pelas equações de Girard, a soma das raizers é dada por menos o coeficiente de y^(n-1), ou seja, -1. Em 25 de setembro de 2013 21:14, marcone augusto araújo borges < marconeborge...@hotmail.com> escreveu: > Por que r1+r2+...+rn = -1? > > -- > From: esdrasmunizm...@gmail.com > Date: Wed, 25 Sep 2013 13:28:35 -0300 > Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Polinômios > To: obm-l@mat.puc-rio.br > > > Tome o polinomioQ(y)= P(1/x) fazendo y=1/x, temos: > Q(y)=a(n) + a(n-1)y + ...+ a(3)y^(n-3) + y^(n-2) + y^(n-1) + y^n > sendo r1, r2, ..., rn as raizes de Q(y) (com repetição). note que se R1, > R2,..., Rn são as raizes de P(x), Ri=1/ri (note que an é diferente de > zero, então Q não possui raiz nula) > Então: > r1+r2+...+rn=-1; > (soma sobre i>j)(ri*rj)=1; > então (r1)²+(r2)²+...+(rn)²=(r1+r2+...+rn)²-2*(soma sobre i>j)(ri*rj)= -1 > - 2*1=-3. > Então não podemos ter todas as raízes reais. > > > Em 25 de setembro de 2013 12:51, marcone augusto araújo borges < > marconeborge...@hotmail.com> escreveu: > > As expressões entre parêntesis na penúltima linha não são ambas iguais a 1? > E por que ´´para n par...´´? > > > > > -- > From: joao_maldona...@hotmail.com > To: obm-l@mat.puc-rio.br > Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Polinômios > Date: Tue, 24 Sep 2013 23:00:14 -0300 > > > Sendo cp = 1/ap > a1a2...an = +-1/an > a1a2...an(1/a1 + 1/a2+...+1/an) = -+1/an > a1a2...an(1/a1a2 + 1/a1a3 +... +1/an-1an) = +-1/an > > Logo: (1/a1 + 1/a2+...+1/an) = -1 > (1/a1a2 + 1/a1a3 +... +1/an-1an) =1 > x=c1+c2+ ... +cn = -1 > y=c1c2+c1c3+...+cn-1cn = 1 > > c1²+c2² +... +cn² = (c1+c2+ ... +cn)² -2(c1c2+c1c3+...+cn-1cn) = -1, > absurdo, logo para n par temos que pelo menos 2 raízes são complexas > > []'s > João > > > -- > From: marconeborge...@hotmail.com > To: obm-l@mat.puc-rio.br > Subject: [obm-l] Polinômios > Date: Wed, 25 Sep 2013 01:00:58 + > > Prove que um polinômio do tipo a(n)x^n + a(n-1)x^(n-1) + ...+ a(3)x^3 + > x^2 + x + 1 com > coeficientes reais não pode ter todas as raízes reais. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > > > -- > Esdras Muniz Mota > Graduando em Matemática Bacharelado > Universidade Federal do Ceará > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esdras Muniz Mota Graduando em Matemática Bacharelado Universidade Federal do Ceará "Se algum dia ele recuou, foi para dar um grande salto" -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Polinômios
Por que r1+r2+...+rn = -1? From: esdrasmunizm...@gmail.com Date: Wed, 25 Sep 2013 13:28:35 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Polinômios To: obm-l@mat.puc-rio.br Tome o polinomioQ(y)= P(1/x) fazendo y=1/x, temos:Q(y)=a(n) + a(n-1)y + ...+ a(3)y^(n-3) + y^(n-2) + y^(n-1) + y^nsendo r1, r2, ..., rn as raizes de Q(y) (com repetição). note que se R1, R2,..., Rn são as raizes de P(x), Ri=1/ri (note que an é diferente de zero, então Q não possui raiz nula) Então: r1+r2+...+rn=-1;(soma sobre i>j)(ri*rj)=1; então (r1)²+(r2)²+...+(rn)²=(r1+r2+...+rn)²-2*(soma sobre i>j)(ri*rj)= -1 - 2*1=-3. Então não podemos ter todas as raízes reais. Em 25 de setembro de 2013 12:51, marcone augusto araújo borges escreveu: As expressões entre parêntesis na penúltima linha não são ambas iguais a 1?E por que ´´para n par...´´? From: joao_maldona...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Polinômios Date: Tue, 24 Sep 2013 23:00:14 -0300 Sendo cp = 1/ap a1a2...an = +-1/an a1a2...an(1/a1 + 1/a2+...+1/an) = -+1/an a1a2...an(1/a1a2 + 1/a1a3 +... +1/an-1an) = +-1/an Logo: (1/a1 + 1/a2+...+1/an) = -1 (1/a1a2 + 1/a1a3 +... +1/an-1an) =1 x=c1+c2+ ... +cn = -1 y=c1c2+c1c3+...+cn-1cn = 1 c1²+c2² +... +cn² = (c1+c2+ ... +cn)² -2(c1c2+c1c3+...+cn-1cn) = -1, absurdo, logo para n par temos que pelo menos 2 raízes são complexas []'s João From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Polinômios Date: Wed, 25 Sep 2013 01:00:58 + Prove que um polinômio do tipo a(n)x^n + a(n-1)x^(n-1) + ...+ a(3)x^3 + x^2 + x + 1 com coeficientes reais não pode ter todas as raízes reais. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esdras Muniz Mota Graduando em Matemática Bacharelado Universidade Federal do Ceará -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Polinômios
Esquece o "para n par" (vale para par ou ímpar, não sei por que escrevi isso) Na verdade o certo era dividir em dois casos, n par e n ímpar, mas quis embutir os dois juntos quando coloquei o sinal +- e -+ A primeira expressão entre parêntesis é o x e a segunda o y From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Polinômios Date: Wed, 25 Sep 2013 15:51:07 + As expressões entre parêntesis na penúltima linha não são ambas iguais a 1?E por que ´´para n par...´´? From: joao_maldona...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Polinômios Date: Tue, 24 Sep 2013 23:00:14 -0300 Sendo cp = 1/ap a1a2...an = +-1/an a1a2...an(1/a1 + 1/a2+...+1/an) = -+1/an a1a2...an(1/a1a2 + 1/a1a3 +... +1/an-1an) = +-1/an Logo: (1/a1 + 1/a2+...+1/an) = -1 (1/a1a2 + 1/a1a3 +... +1/an-1an) =1 x=c1+c2+ ... +cn = -1 y=c1c2+c1c3+...+cn-1cn = 1 c1²+c2² +... +cn² = (c1+c2+ ... +cn)² -2(c1c2+c1c3+...+cn-1cn) = -1, absurdo, logo para n par temos que pelo menos 2 raízes são complexas []'s João From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Polinômios Date: Wed, 25 Sep 2013 01:00:58 + Prove que um polinômio do tipo a(n)x^n + a(n-1)x^(n-1) + ...+ a(3)x^3 + x^2 + x + 1 com coeficientes reais não pode ter todas as raízes reais. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Polinômios
Tome o polinomioQ(y)= P(1/x) fazendo y=1/x, temos: Q(y)=a(n) + a(n-1)y + ...+ a(3)y^(n-3) + y^(n-2) + y^(n-1) + y^n sendo r1, r2, ..., rn as raizes de Q(y) (com repetição). note que se R1, R2,..., Rn são as raizes de P(x), Ri=1/ri (note que an é diferente de zero, então Q não possui raiz nula) Então: r1+r2+...+rn=-1; (soma sobre i>j)(ri*rj)=1; então (r1)²+(r2)²+...+(rn)²=(r1+r2+...+rn)²-2*(soma sobre i>j)(ri*rj)= -1 - 2*1=-3. Então não podemos ter todas as raízes reais. Em 25 de setembro de 2013 12:51, marcone augusto araújo borges < marconeborge...@hotmail.com> escreveu: > As expressões entre parêntesis na penúltima linha não são ambas iguais a 1? > E por que ´´para n par...´´? > > > > > -- > From: joao_maldona...@hotmail.com > To: obm-l@mat.puc-rio.br > Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Polinômios > Date: Tue, 24 Sep 2013 23:00:14 -0300 > > > Sendo cp = 1/ap > a1a2...an = +-1/an > a1a2...an(1/a1 + 1/a2+...+1/an) = -+1/an > a1a2...an(1/a1a2 + 1/a1a3 +... +1/an-1an) = +-1/an > > Logo: (1/a1 + 1/a2+...+1/an) = -1 > (1/a1a2 + 1/a1a3 +... +1/an-1an) =1 > x=c1+c2+ ... +cn = -1 > y=c1c2+c1c3+...+cn-1cn = 1 > > c1²+c2² +... +cn² = (c1+c2+ ... +cn)² -2(c1c2+c1c3+...+cn-1cn) = -1, > absurdo, logo para n par temos que pelo menos 2 raízes são complexas > > []'s > João > > > -- > From: marconeborge...@hotmail.com > To: obm-l@mat.puc-rio.br > Subject: [obm-l] Polinômios > Date: Wed, 25 Sep 2013 01:00:58 + > > Prove que um polinômio do tipo a(n)x^n + a(n-1)x^(n-1) + ...+ a(3)x^3 + > x^2 + x + 1 com > coeficientes reais não pode ter todas as raízes reais. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esdras Muniz Mota Graduando em Matemática Bacharelado Universidade Federal do Ceará -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Polinômios
As expressões entre parêntesis na penúltima linha não são ambas iguais a 1?E por que ´´para n par...´´? From: joao_maldona...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Polinômios Date: Tue, 24 Sep 2013 23:00:14 -0300 Sendo cp = 1/ap a1a2...an = +-1/an a1a2...an(1/a1 + 1/a2+...+1/an) = -+1/an a1a2...an(1/a1a2 + 1/a1a3 +... +1/an-1an) = +-1/an Logo: (1/a1 + 1/a2+...+1/an) = -1 (1/a1a2 + 1/a1a3 +... +1/an-1an) =1 x=c1+c2+ ... +cn = -1 y=c1c2+c1c3+...+cn-1cn = 1 c1²+c2² +... +cn² = (c1+c2+ ... +cn)² -2(c1c2+c1c3+...+cn-1cn) = -1, absurdo, logo para n par temos que pelo menos 2 raízes são complexas []'s João From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Polinômios Date: Wed, 25 Sep 2013 01:00:58 + Prove que um polinômio do tipo a(n)x^n + a(n-1)x^(n-1) + ...+ a(3)x^3 + x^2 + x + 1 com coeficientes reais não pode ter todas as raízes reais. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] polinômios
Nossa, genial ! Era a última do tópico fatoração de polinômios do majorando,não sei de onde ele tirou mas estive batendo muita cabeça nela. Obrigado =] Abraços,Luan Gabriel > Date: Thu, 13 Oct 2011 22:25:39 +0200 > Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] polinômios > From: bernardo...@gmail.com > To: obm-l@mat.puc-rio.br > > 2011/10/13 Luan Gabriel : > > Sem querer ser chato,mas ainda > > sobrou mais uma questão desse tipo,mas não consegui resolver: > > > > Prove que se P(x) tem coeficientes inteiros, então P(x^4).P(x^3).P(X^2).P(x) > > +1 não possui raízes inteiras. > > Bom, tentando resolver Q(x) = 0, você chega a > P(x^4) P(x^3) P(x^2) P(x) = -1 > > Como você tem um produto de inteiros que dá -1, você precisa que todos > eles sejam 1 ou -1. E, inclusive, um número ímpar de -1. Essa simples > observação mostra que x != 0, 1 e -1, porque teríamos o produto de > dois quadrados (>= 0) à esquerda. > > Bom, a idéia é tentar achar uma contradição, por exemplo achando um > dos caras de módulo maior do que 1. Eu consegui assim: > > P(x^2) - P(x) = Soma a_n (x^2n - x^n) = Soma a_n x^n (x^n - 1) = (x-1) > * Soma a_n x^n (x^(n-1) + ... + x + 1) > > Como x é diferente de 1, temos duas possibilidades: > P(x) = P(x^2), e daí a Soma = 0. > P(x) = -P(x^2) e daí temos (x-1) * Soma = +- 2. > > Repare que esse mesmo argumento serve para P(x^3) - P(x) e P(x^4) - > P(x), sendo que o fator que sobra passa a ser > x^2 - 1 => porque x^(3n) - x^n = x^n (x^(2n) - 1) = x^n (x^2 - > 1)(x^(2n - 2) + ... + x^2 + 1) > x^3 - 1 => porque x^(4n) - x^n = x^n (x^(3n) - 1) = x^n (x^3 - > 1)(x^(3n - 3) + ... + x^3 + 1) > > Agora, repare que como x != 0, 1 e -1, os fatores x^2 - 1 e x^3 - 1 > são maiores do que 2. Assim, não podemos ter P(x) = -P(x^3) nem P(x) = > -P(x^4). Senão, a diferença seria 2 ou -2, mas seria também divisível > por x^2 - 1 ou x^3 - 1 que são maiores do que 2. > > Portanto, P(x) = P(x^3) = P(x^4). > > Mas agora faça a mesma coisa para P(x^4) - P(x^2). Dá a mesma coisa > que P(x^2) - P(x), com x trocado por x^2. Portanto, essa diferença > também é divisível por x^2 - 1. Que continua sendo maior do que 2. O > que quer dizer que P(x^2) = P(x^4). Mas daí temos o produto de 4 > fatores iguais, isso não dá um número negativo. > > Ufa! > > Abraços, > -- > Bernardo Freitas Paulo da Costa > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > =
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] polinômios
2011/10/13 Luan Gabriel : > Sem querer ser chato,mas ainda > sobrou mais uma questão desse tipo,mas não consegui resolver: > > Prove que se P(x) tem coeficientes inteiros, então P(x^4).P(x^3).P(X^2).P(x) > +1 não possui raízes inteiras. Bom, tentando resolver Q(x) = 0, você chega a P(x^4) P(x^3) P(x^2) P(x) = -1 Como você tem um produto de inteiros que dá -1, você precisa que todos eles sejam 1 ou -1. E, inclusive, um número ímpar de -1. Essa simples observação mostra que x != 0, 1 e -1, porque teríamos o produto de dois quadrados (>= 0) à esquerda. Bom, a idéia é tentar achar uma contradição, por exemplo achando um dos caras de módulo maior do que 1. Eu consegui assim: P(x^2) - P(x) = Soma a_n (x^2n - x^n) = Soma a_n x^n (x^n - 1) = (x-1) * Soma a_n x^n (x^(n-1) + ... + x + 1) Como x é diferente de 1, temos duas possibilidades: P(x) = P(x^2), e daí a Soma = 0. P(x) = -P(x^2) e daí temos (x-1) * Soma = +- 2. Repare que esse mesmo argumento serve para P(x^3) - P(x) e P(x^4) - P(x), sendo que o fator que sobra passa a ser x^2 - 1 => porque x^(3n) - x^n = x^n (x^(2n) - 1) = x^n (x^2 - 1)(x^(2n - 2) + ... + x^2 + 1) x^3 - 1 => porque x^(4n) - x^n = x^n (x^(3n) - 1) = x^n (x^3 - 1)(x^(3n - 3) + ... + x^3 + 1) Agora, repare que como x != 0, 1 e -1, os fatores x^2 - 1 e x^3 - 1 são maiores do que 2. Assim, não podemos ter P(x) = -P(x^3) nem P(x) = -P(x^4). Senão, a diferença seria 2 ou -2, mas seria também divisível por x^2 - 1 ou x^3 - 1 que são maiores do que 2. Portanto, P(x) = P(x^3) = P(x^4). Mas agora faça a mesma coisa para P(x^4) - P(x^2). Dá a mesma coisa que P(x^2) - P(x), com x trocado por x^2. Portanto, essa diferença também é divisível por x^2 - 1. Que continua sendo maior do que 2. O que quer dizer que P(x^2) = P(x^4). Mas daí temos o produto de 4 fatores iguais, isso não dá um número negativo. Ufa! Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] polinômios
Valeu cara,bateu com a minha solução =] Sem querer ser chato,mas ainda sobrou mais uma questão desse tipo,mas não consegui resolver: Prove que se P(x) tem coeficientes inteiros, então P(x^4).P(x^3).P(X^2).P(x) +1 não possui raízes inteiras. From: re_nato_mor...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RE: [obm-l] polinômios Date: Thu, 13 Oct 2011 06:25:38 + Jogando valores , P(0)=0, P(1)=1, P(2)=2 , P(5)=5 , ... Já deu para desconfiar de P(x)=x .Dado um P(n)=n , smp conseguimos gerar P(n^2+1)=n^2 +1 , O que nos garante infinitos valores de x tais que P(x)=x. Seja F(x)=P(x)-x , F(x) possui infinitas raízez. Logo F(x) é identicamente nulo. O que no leva aonde queriamos chegar.P(x)=x . From: luan_gabrie...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] polinômios Date: Wed, 12 Oct 2011 17:34:08 +0300 Galera, resolvi uma questão, mas como não tenho o gabarito dela queria confirmar... Determinar todos os polinômios P tais que P(0)=0 e P(x^2+1)= (P(x))^2 + 1, para todo x.
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] polinômios
É melhor deixar o pessoal pensar do que ser logo induzido à alguma solução =P (não sei se demora entrar a msg na lista,talvez eu acabe mandando duas msg ou uma errada hehehe desculpa) > Date: Wed, 12 Oct 2011 16:33:01 +0200 > Subject: [obm-l] Re: [obm-l] polinômios > From: bernardo...@gmail.com > To: obm-l@mat.puc-rio.br > > 2011/10/12 Luan Gabriel : > > Galera, resolvi uma questão, mas como não tenho o gabarito dela queria > > confirmar... > Neste caso, o melhor a fazer é explicar o que, como (e se der, > "porquê") você fez!! E talvez incluir algo dizendo "eu estou em tal > ano" para o pessoal calibrar a resposta ;) > > > Determinar todos os polinômios P tais que P(0)=0 e P(x^2+1)= (P(x))^2 + 1, > > para todo x. > > Abraços > -- > Bernardo Freitas Paulo da Costa > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > =
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] polinômios
É melhor deixar os outros pensarem a questão do começo do que serem induzidos :P > Date: Wed, 12 Oct 2011 16:33:01 +0200 > Subject: [obm-l] Re: [obm-l] polinômios > From: bernardo...@gmail.com > To: obm-l@mat.puc-rio.br > > 2011/10/12 Luan Gabriel : > > Galera, resolvi uma questão, mas como não tenho o gabarito dela queria > > confirmar... > Neste caso, o melhor a fazer é explicar o que, como (e se der, > "porquê") você fez!! E talvez incluir algo dizendo "eu estou em tal > ano" para o pessoal calibrar a resposta ;) > > > Determinar todos os polinômios P tais que P(0)=0 e P(x^2+1)= (P(x))^2 + 1, > > para todo x. > > Abraços > -- > Bernardo Freitas Paulo da Costa > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Polinômios(ajud a)
Bernardo, acho que você se esqueceu de um detalhe, o argumento não funcionaria para 3 raízes. Seja o polinômio P(x) = x³ - 10x² + 16x + 7. Temos P(0) = P(2) = P(8) = 7 e P(1) = 14. Qual é o detalhe? Bem, acho que vou deixar pra você descobrir. O polinômio acima é bem sugestivo... Fernando
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Polinômios(ajuda)
Então na verdade, 4 >= 3 e 14 = 7 + primo, é isso ? A única parte a mais do "exercício" acima é ver porque o argumento do Johann não funciona com apenas 2 raízes iguais a 7, e porquê funcionaria com 3. -- Bernardo Freitas Paulo da Costa 2010/11/2 Johann Dirichlet : > P(x)-7=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)*Q(x), em que Q é um polinomio de > coeficientes inteiros > 7=14-7=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)*Q(x), o que se torna impossívl pois 7 é primo > > > Em 02/11/10, marcone augusto araújo > borges escreveu: >> >> Mostre q,se um polinômio P(x),com coeficientes inteiros,assume o valor 7 >> para 4 valores inteiros e distintos de x,então ele não pode assumir o valor >> 14 para nenhum valor inteiro de x. > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Polinômios de variável complexa
Amigos, Foi uma questão da UFRJ. Uma ajuda por favor.. * *Um novo exame para detectar certa doença foi testado em trezentas pessoas, sendo duzentas sadias e cem portadoras da tal doença. Após o teste verificou-se que, dos laudos referentes a pessoas sadias, cento e setenta resultaram negativos e, dos laudos referentes a pessoas portadoras da doença, noventa resultaram positivos. *a) *Sorteando ao acaso um desses trezentos laudos, calcule a probabilidade de que ele seja positivo. *b) *Sorteado um dos trezentos laudos, verificou-se que ele era positivo. Determine a probabilidade de que a pessoa correspondente ao laudo sorteado tenha realmente a doença.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Polinômios de vari ável complexa
Olha, isso encaixa direitinho num assunto da disciplina de controle, no curso de engenharia eletrica. O assunto se chama root locus, ou lugar das raizes. (procura no google) Inclusive, o matlab traça esse lugar para vc, no plano complexo, para todo valor de k possivel. O comando é rlocus. Abracos - Original Message - From: Ojesed Mirror To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Saturday, May 17, 2008 6:16 PM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Polinômios de variável complexa Ribamar, o método de Cardano/Tartaglia, resulta nas raizes de um polinômio de grau 3, sendo elas reais ou complexas. - Original Message - From: J. R. Smolka To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, May 15, 2008 10:06 AM Subject: Re: [obm-l] Polinômios de variável complexa Obrigado ao Ojesed pela idéia de fazer uma substituição de variável do tipo z=(x+1) para simplificar a análise. Deve ser útil. Mas não dá para aplicar Cardano diretamente, porque (repito) este é um polinômio de variável complexa. Cardano serve para resolver equações cúbicas de variável real (possivelmente válido até se os coeficientes forem complexos), que não é o caso aqui. Não é a primeira vez que esta confusão acontece. Será porque a variável usada é x (que induz a pensar em números reais) em vez de z (como é comum para números complexos)? Pensar em x como um "vetor" de coordenadas cartesianas (a,b) ou polares (|x|,arg(x)) ajuda o raciocínio. Para os que (ainda) se interessarem no problema, lembro que uma função de C em C tem como domínio todo o plano de Argand, e a imagem será pelo menos um subconjunto (não necessariamente contínuo) de todo o plano de Argand. Neste caso, como a função é um polinômio de grau 3, cada ponto x do plano domínio é mapeado para um ponto do plano imagem através das translações e rotações provocadas pela potenciação de x e pela multiplicação de x por números reais. A questão inicial, então, é descobrir que região do plano de Argand pode possuir raízes de P(x)=0. Depois determinar a localização destes pontos nesta região (em função de k, que é um número real). E, finalmente, analisar a figura geométrica descrita pelo deslocamento destes pontos no plano de argand quando k varia entre 0 e +inf. Exemplo do raciocínio da primeira parte: não existe x tal que P(x)=0 na região do plano de Argand definida por 0<=arg(x)0, im(x^2)>0 e im(x^3)>0, o que torna impossível que im(P(z))=0. Como disse antes, consigo enxergar as regiões do plano de Argand definidas por arg(z)=pi/2 (o semi-eixo imaginário positivo, excluída a origem) e por arg(z)=pi (o semi-eixo real negativo, também excluída a origem) como candidatas a hospedeiras das raízes de P(x)=0. Mas será que a minha visão geométrica está correta e completa? Ainda não desenvolvi a álgebra destes casos para verificar se um, outro ou ambos são compatíveis com P(x) (afinal de contas, estou fazendo isto por puro diletantismo, e o tempo livre para raciocinar livremente anda meio curto ;-)). Mas continuo interessado em idéias a respeito. [ ]'s Esta questão foi da prova de álgebra do IME 1976/1977. Vou transliterar um pouco o enunciado. Seja P(x)=(x+1)(x+3)(x+5)+k(x+2)(x+4), com x complexo e k real positivo. Desenhar no plano complexo o lugar geométrico das raízes de P(x)=0 para todos os valores possíveis de k. Tentei o seguinte: se z=a+bi é raiz de P(x), então P(z)=0, o que implica que Re[P(z)]=0 e Im[P(z)]=0, então daria para obter expressões em função de a e b que descrevessem o lugar geométrico procurado. Só que as expressões parecem intratáveis. Alguma outra idéia? J. R. Smolka
[obm-l] Re: [obm-l] Re:[obm-l] Re: [obm-l] polinômios
On Fri, Jan 23, 2004 at 09:21:35PM -0200, André Martin Timpanaro wrote: > Na verdade a era uma função de n, consegui fazer uma simplificação e percebi > que basta que > x^n - nx +1 - n seja solúvel por radicais (no caso do meu problema e não se > a for um real qualquer) Ok, agora faz mais sentido separar o caso em que n é ímpar. Se n for ímpar -1 é raiz dupla e dividindo o seu polinômio por (x+1)^2 temos o polinômio x^(n-2) - 2 x^(n-3) + 3 x^(n-4) - 4 x^(n-5) + + (n-2) x - (n-1) Este polinômio *parece* ser sempre irredutível e ter grupo de Galois o grupo simétrico S(n-2) (digo que parece pq testei alguns casos no maple). É isto que você gostaria de demonstrar? []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re:[obm-l] Re: [obm-l] polinômios
On Thu, Jan 22, 2004 at 07:41:00PM -0200, André Martin Timpanaro wrote:
Se n é um número impar e a é um real qualquer, quando a equação abaixo pode
ser resolvida por radicais?
x^n + a(x+1)=0
Se for possível, quais são as raízes reais dessa equação?
Não entendi pq n ímpar; talvez para garantir que existe raiz real,
mas isto não tem muito a ver, tem?
Isto é um problema de teoria de Galois e não sei se entendi bem a pergunta.
Acho que você quer a resposta em função de n e não em função de n e a,
certo?
Ou seja, você quer saber para quais valores de n existe uma fórmula com
radicais que dê a raiz em termos de a. É isso?
Se for isso você quer saber para que valores de n o grupo de Galois
de x^n + a*x + a é solúvel, onde os coeficientes estão no corpo Q(a),
sendo a um transcendente que pode igualmente bem ser tratado como
outra viariável desde que entendamos que o grupo é em relação à variável x.
Eu *acho* que este grupo de Galois é sempre o grupo simétrico S_n.
Eu sei que o grupo de Galois de x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0
é S_n (onde a_{n-1}, ..., a_0 são algebricamente independentes,
ou, se você preferir, são outras variáveis).
O grupo de Galois de um polinômio de grau n "em geral" é S_n
e acho que este polinômio é bem "geral" (as aspas marcam que isto
não é uma afirmação das mais precisas).
Eu verifiquei no maple para n <= 9 e deu certo
(isto é, para n <= 9 o grupo é mesmo S_n).
Se isto estiver certo a resposta é que a equação pode ser resolvida
por radicais apenas para n <= 4.
[]s, N.
Percebi que esqueci de alguns detalhes (que não achei serem importantes):
Na verdade a era uma função de n, consegui fazer uma simplificação e percebi
que basta que
x^n - nx +1 - n seja solúvel por radicais (no caso do meu problema e não se
a for um real qualquer)
André T.
_
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=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Polinômios irredutíveis
Eu sabia que se p = 2 ou p = 1 (mod 4), então existe um inteiro a tal que a^2 = -1 (mod p) ==> x^2 + 1 é redutível mod p para p = 2 e para p = 1 (mod 4) ( x^2 + 1 = ( x + a )( x - a ) (mod p) ). Assim, só faltava tratar o caso p = 3 (mod 4). Depois de um pouco de tentativa e erro eu passei a considerar x^2 + 2 e x^2 - 2 (mod p) e assim cheguei em x^4 + 1. Infelizmente, ainda não fiz nenhum progresso no caso de um módulo n qualquer. Um abraço, Claudio. - Original Message - From: "Eduardo Casagrande Stabel" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Wednesday, December 18, 2002 11:59 PM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Polinômios irredutíveis Gratíssimo por sua ajuda! Alguma razão especial lhe fez pensar em x^4 + 1 ? Abraço, Eduardo. From: "Cláudio (Prática)" <[EMAIL PROTECTED]> > Caro Eduardo: > > Acho que o resultado a seguir pode ajudar: > > P(x) = x^4 + 1 é irredutível sobre Z mas é redutível sobre Z/(p) para todo > primo p. > > Demonstração: > As raízes de P(x) são exp( i * (2*k+1) * Pi/4 ) k = 0, 1, 2, 3 e a única > fatoração de P(x) em polinômios com coeficientes reais é (x^2 + raiz(2)x + > 1)(x^2 - raiz(2)x + 1), a qual envolve coeficientes irracionais. Assim, P(x) > é irredutível sobre Z. > > Por outro lado, se p é primo, então p = 2, p = 1 (mod 4) ou p = 3 (mod 4). > > p = 2 ==> x^4 + 1 = (x - 1)^4 (mod 2) > > p = 1 (mod 4) ==> -1 é quadrado mod p: > Tome a tal que a^2 = -1 (mod p) ==> x^4 + 1 = (x^2 + a)(x^2 - a) > > p = 3 (mod 4) ==> p = 3 (mod 8) ou p = 7 (mod 8): > Neste caso, procuremos uma fatoração de x^4 + 1 da forma (x^2 + ax + > b)(x^2 - ax + b): > > Multiplicando: x^4 + 1 = x^4 + (2b - a^2)x^2 + b^2 (mod p) > > Igualando os coeficientes: b^2 = 1 (mod p) e a^2 = 2b (mod p) > > b^2 = 1 (mod p) ==> b = 1 (mod p) ou b = -1 (mod p) > > Se b = 1 (mod p), então: a^2 = 2b (mod p) ==> a^2 = 2 (mod p) ==> 2 é > quadrado mod p > > Se b = -1 (mod p), então: a^2 = 2b (mod p) ==> a^2 = -2 (mod p) ==> -2 é > quadrado mod p > > p = 3 (mod 4) e 2 é quadrado mod p <==> p = 7 (mod 8) > > p = 3 (mod 4) e -2 é quadrado mod p <==> p = 3 (mod 8) > > p = 7 (mod 8): > Tome a tal que a^2 = 2 (mod p) e b = 1 ==> x^4 + 1 = (x^2 + ax + > 1)(x^2 - ax + 1) > > p = 3 (mod 8): > Tome a tal que a^2 = -2 (mod p) e b = -1 ==> x^4 + 1 = (x^2 + ax - > 1)(x^2 - ax - 1) > > Fim da demonstração > > > No entanto, você fala em fatoração em Z/(n) para todo n natural, e não > apenas n primo. > > Por exemplo, x^4 + 1 é irredutível sobre Z/(4). > > > Vou continuar pensando no assunto... > > Um abraço, > Claudio Buffara. > > - Original Message - > From: "Eduardo Casagrande Stabel" <[EMAIL PROTECTED]> > To: <[EMAIL PROTECTED]> > Sent: Thursday, December 12, 2002 2:35 AM > Subject: [obm-l] Polinômios irredutíveis > > > Caros colegas da lista, > > é possível que um polinômio de coeficientes inteiros P(X) irredutível se > fatore em Z/(n) para todo n natural ? > > Abraço, > Eduardo. > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> > = > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> > = > > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Polinômios irredutíveis
Gratíssimo por sua ajuda! Alguma razão especial lhe fez pensar em x^4 + 1 ? Abraço, Eduardo. From: "Cláudio (Prática)" <[EMAIL PROTECTED]> > Caro Eduardo: > > Acho que o resultado a seguir pode ajudar: > > P(x) = x^4 + 1 é irredutível sobre Z mas é redutível sobre Z/(p) para todo > primo p. > > Demonstração: > As raízes de P(x) são exp( i * (2*k+1) * Pi/4 ) k = 0, 1, 2, 3 e a única > fatoração de P(x) em polinômios com coeficientes reais é (x^2 + raiz(2)x + > 1)(x^2 - raiz(2)x + 1), a qual envolve coeficientes irracionais. Assim, P(x) > é irredutível sobre Z. > > Por outro lado, se p é primo, então p = 2, p = 1 (mod 4) ou p = 3 (mod 4). > > p = 2 ==> x^4 + 1 = (x - 1)^4 (mod 2) > > p = 1 (mod 4) ==> -1 é quadrado mod p: > Tome a tal que a^2 = -1 (mod p) ==> x^4 + 1 = (x^2 + a)(x^2 - a) > > p = 3 (mod 4) ==> p = 3 (mod 8) ou p = 7 (mod 8): > Neste caso, procuremos uma fatoração de x^4 + 1 da forma (x^2 + ax + > b)(x^2 - ax + b): > > Multiplicando: x^4 + 1 = x^4 + (2b - a^2)x^2 + b^2 (mod p) > > Igualando os coeficientes: b^2 = 1 (mod p) e a^2 = 2b (mod p) > > b^2 = 1 (mod p) ==> b = 1 (mod p) ou b = -1 (mod p) > > Se b = 1 (mod p), então: a^2 = 2b (mod p) ==> a^2 = 2 (mod p) ==> 2 é > quadrado mod p > > Se b = -1 (mod p), então: a^2 = 2b (mod p) ==> a^2 = -2 (mod p) ==> -2 é > quadrado mod p > > p = 3 (mod 4) e 2 é quadrado mod p <==> p = 7 (mod 8) > > p = 3 (mod 4) e -2 é quadrado mod p <==> p = 3 (mod 8) > > p = 7 (mod 8): > Tome a tal que a^2 = 2 (mod p) e b = 1 ==> x^4 + 1 = (x^2 + ax + > 1)(x^2 - ax + 1) > > p = 3 (mod 8): > Tome a tal que a^2 = -2 (mod p) e b = -1 ==> x^4 + 1 = (x^2 + ax - > 1)(x^2 - ax - 1) > > Fim da demonstração > > > No entanto, você fala em fatoração em Z/(n) para todo n natural, e não > apenas n primo. > > Por exemplo, x^4 + 1 é irredutível sobre Z/(4). > > > Vou continuar pensando no assunto... > > Um abraço, > Claudio Buffara. > > - Original Message - > From: "Eduardo Casagrande Stabel" <[EMAIL PROTECTED]> > To: <[EMAIL PROTECTED]> > Sent: Thursday, December 12, 2002 2:35 AM > Subject: [obm-l] Polinômios irredutíveis > > > Caros colegas da lista, > > é possível que um polinômio de coeficientes inteiros P(X) irredutível se > fatore em Z/(n) para todo n natural ? > > Abraço, > Eduardo. > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> > = > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> > = > > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
