[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Sequências
Repita e translade:
1 3 4 8 / 2 5 6 7
Abraco, Ralph.
2016-11-16 23:28 GMT-02:00 Pedro Júnior :
> É da forma 4x. Logo A_1, A_2, A_3, ..., A_n a soma de seus elementos é um
> múltiplo de 4, logo múltiplo de 2, ou seja, par.
> Ou seja, 4n^{2} + n tem que ser par, logo, n é par. E a segunda parte do
> problema Ralph?
>
> Em 16 de novembro de 2016 22:09, Ralph Teixeira
> escreveu:
>
>> Dica para comecar: se A_k={a,b,c,x} onde x eh a media de a,b e c, o que
>> voce pode dizer sobre a soma dos elementos de A_k?
>>
>> Abraco, Ralph.
>>
>> 2016-11-16 21:58 GMT-02:00 Pedro Júnior :
>>
>>> Ainda não consegui esse problema. Ele foi do livro do Caminha.
>>> Ache todos os valores de $n$ para os quais possamos escrever o conjunto
>>> A={1,2,3,..., 4n} como união de n conjuntos, dois a dois disjuntos e com
>>> 4 elementos cada, tais que em cada um deles um dos elementos seja igual à
>>> média aritmética dos três demais (sugestão: suponha inicialmente $ A= A_{1}
>>> \cup \ldots \cup A_{n} $ com $ A_{1}, \ldots, A_{n} $ satisfazendo as
>>> condições do enunciado, e conclua daí que $n$ deve ser par. Em seguida,
>>> mostre - exibindo uma maneira de escrever $A$ como pedido - que para todo
>>> $n$ par serve).
>>>
>>> --
>>>
>>> Pedro Jerônimo S. de O. Júnior
>>>
>>> Professor de Matemática
>>>
>>> Geo João Pessoa – PB
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>
>
> --
>
> Pedro Jerônimo S. de O. Júnior
>
> Professor de Matemática
>
> Geo João Pessoa – PB
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Sequências
É da forma 4x. Logo A_1, A_2, A_3, ..., A_n a soma de seus elementos é um
múltiplo de 4, logo múltiplo de 2, ou seja, par.
Ou seja, 4n^{2} + n tem que ser par, logo, n é par. E a segunda parte do
problema Ralph?
Em 16 de novembro de 2016 22:09, Ralph Teixeira
escreveu:
> Dica para comecar: se A_k={a,b,c,x} onde x eh a media de a,b e c, o que
> voce pode dizer sobre a soma dos elementos de A_k?
>
> Abraco, Ralph.
>
> 2016-11-16 21:58 GMT-02:00 Pedro Júnior :
>
>> Ainda não consegui esse problema. Ele foi do livro do Caminha.
>> Ache todos os valores de $n$ para os quais possamos escrever o conjunto
>> A={1,2,3,..., 4n} como união de n conjuntos, dois a dois disjuntos e com
>> 4 elementos cada, tais que em cada um deles um dos elementos seja igual à
>> média aritmética dos três demais (sugestão: suponha inicialmente $ A= A_{1}
>> \cup \ldots \cup A_{n} $ com $ A_{1}, \ldots, A_{n} $ satisfazendo as
>> condições do enunciado, e conclua daí que $n$ deve ser par. Em seguida,
>> mostre - exibindo uma maneira de escrever $A$ como pedido - que para todo
>> $n$ par serve).
>>
>> --
>>
>> Pedro Jerônimo S. de O. Júnior
>>
>> Professor de Matemática
>>
>> Geo João Pessoa – PB
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
--
Pedro Jerônimo S. de O. Júnior
Professor de Matemática
Geo João Pessoa – PB
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Sequências
Dica para comecar: se A_k={a,b,c,x} onde x eh a media de a,b e c, o que
voce pode dizer sobre a soma dos elementos de A_k?
Abraco, Ralph.
2016-11-16 21:58 GMT-02:00 Pedro Júnior :
> Ainda não consegui esse problema. Ele foi do livro do Caminha.
> Ache todos os valores de $n$ para os quais possamos escrever o conjunto
> A={1,2,3,..., 4n} como união de n conjuntos, dois a dois disjuntos e com 4
> elementos cada, tais que em cada um deles um dos elementos seja igual à
> média aritmética dos três demais (sugestão: suponha inicialmente $ A= A_{1}
> \cup \ldots \cup A_{n} $ com $ A_{1}, \ldots, A_{n} $ satisfazendo as
> condições do enunciado, e conclua daí que $n$ deve ser par. Em seguida,
> mostre - exibindo uma maneira de escrever $A$ como pedido - que para todo
> $n$ par serve).
>
> --
>
> Pedro Jerônimo S. de O. Júnior
>
> Professor de Matemática
>
> Geo João Pessoa – PB
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Sequências
Obrigado Vanderlei Em Quarta-feira, 25 de Fevereiro de 2015 17:05, Vanderlei Nemitz escreveu: Como cada número n aparece n vezes, vamosprocurar o maior valor de n tal que 1 + 2 + 3 + ... + n < 1000.Assim:(1 + n)·n/2 < 1000 ⇒ n·(n + 1) < 2000O maior valor de n que satisfaz adesigualdade anterior é n = 44Assim, após escrevermos os 44 números44, teremos escrito (1 + 44)·45/2 = 990 números. Portanto, o número de ordem1000 é 45, pois será escrito 45 vezes. Se a pergunta fosse o algarismo de ordem 1000, a resposta seria outra. Em 25 de fevereiro de 2015 16:09, Jefferson Franca escreveu: Boa tarde para todos. Um aluno me enviou este problema que não consigo resolver: "Juquinha gosta de diversões matemáticas, uma delas consiste em descobrir números de sequências. Por exemplo, 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,..., onde cada número natural n é escrito n vezes. Determine o número de ordem 1000."Será que alguém aqui saberia elucidar este mistério?AttJefferson -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�us e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Sequências
Sendo tn o n-esimo número triangular. Em 25 de fevereiro de 2015 16:44, Esdras Muniz escreveu: > Se tn<=k > Em 25 de fevereiro de 2015 16:09, Jefferson Franca > escreveu: > >> Boa tarde para todos. Um aluno me enviou este problema que não consigo >> resolver: "Juquinha gosta de diversões matemáticas, uma delas consiste em >> descobrir números de sequências. Por exemplo, >> 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,..., onde cada número natural n é escrito n >> vezes. Determine o número de ordem 1000." >> Será que alguém aqui saberia elucidar este mistério? >> Att >> Jefferson >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> > > > > -- > Esdras Muniz Mota > Mestrando em Matemática > Universidade Federal do Ceará > > > -- Esdras Muniz Mota Mestrando em Matemática Universidade Federal do Ceará -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Sequências
Se tn<=k escreveu: > Boa tarde para todos. Um aluno me enviou este problema que não consigo > resolver: "Juquinha gosta de diversões matemáticas, uma delas consiste em > descobrir números de sequências. Por exemplo, > 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,..., onde cada número natural n é escrito n > vezes. Determine o número de ordem 1000." > Será que alguém aqui saberia elucidar este mistério? > Att > Jefferson > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esdras Muniz Mota Mestrando em Matemática Universidade Federal do Ceará -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Sequências
Pense no seguinte triângulo: 1 22 333 ... Esse triângulo gera uma propriedade bem interessante, que são os números triangulares. Para a sua questão, verifique o primeiro número triangular acima de 1000 e o primeiro abaixo de 1000. Olhando dessa forma, você consegue descobrir a resposta e fechar uma fórmula, se desejar Abs -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Sequências
Como cada número *n* aparece *n* vezes, vamos procurar o maior valor de n tal que 1 + 2 + 3 + ... + n < 1000. Assim: (1 + n)·n/2 < 1000 ⇒ n·(n + 1) < 2000 O maior valor de n que satisfaz a desigualdade anterior é n = 44 Assim, após escrevermos os 44 números 44, teremos escrito (1 + 44)·45/2 = 990 números. Portanto, o número de ordem 1000 é 45, pois será escrito 45 vezes. Se a pergunta fosse o algarismo de ordem 1000, a resposta seria outra. Em 25 de fevereiro de 2015 16:09, Jefferson Franca escreveu: > Boa tarde para todos. Um aluno me enviou este problema que não consigo > resolver: "Juquinha gosta de diversões matemáticas, uma delas consiste em > descobrir números de sequências. Por exemplo, > 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,..., onde cada número natural n é escrito n > vezes. Determine o número de ordem 1000." > Será que alguém aqui saberia elucidar este mistério? > Att > Jefferson > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Sequências de Funções
E além disto, o Rudin gostava do grupo dos inteiros Z Antes de morrer ainda vou conseguir digitar em um iPad sem errar Artur Costa Steiner Em 10/02/2013, às 11:43, Bernardo Freitas Paulo da Costa escreveu: > 2013/2/10 Artur Costa Steiner : >> Estes dois livros são excelentes. Tem também o do Zrudin eo do Apostol. > Zrudin é porque ele usa variáveis complexas? > > -- > Bernardo Freitas Paulo da Costa > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > = = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Sequências de Funções
2013/2/10 Artur Costa Steiner : > Estes dois livros são excelentes. Tem também o do Zrudin eo do Apostol. Zrudin é porque ele usa variáveis complexas? -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Sequências de Funções
Estes dois livros são excelentes. Tem também o do Zrudin eo do Apostol. Artur Costa Steiner Em 09/02/2013, às 21:14, Jeferson Almir escreveu: > Aproveitando o momento eu queria saber que tipo de literatura voces poderiam > me indicar sobre analise na reta pois irei fazer uma prova de selecao de > mestrado e tenho como inicio o livro do Elon e o do Bartle. > > Em 7 de fevereiro de 2013 21:15, Artur Costa Steiner > escreveu: >> Há um teorema que diz que, se f_n é uma sequência de funções reais contínuas >> que converge em um intervalo de R para uma função f, então o conjunto dos >> elementos em que f é descontínua é de 1a categoria na classificação de >> Baire, isto é, está contido numa união enumerável de conjuntos fechados com >> interior vazio. Isto implica que o conjunto das descontinuidades de f tenha >> interior vazio. >> >> Mas sua função é descontínua em todo o [0, 1], que não tem interior vazio. >> Logo, sua função não pode ser o limite de uma sequência de funções contínuas. >> >> Artur >> >> Em 07/02/2013 21:54, "Sandoel Vieira" escreveu: >> >>> Na hora de escrever torna-se um pouco complicado. Tentei mostrar supondo >>> que existe e depois tentando, por exemplo, limitar a imagem de f numa >>> vizinhança de um racional, por um número menor que 1, mas não consegui >>> argumentar direito. >>> >>> Att. >>> Sandoel Vieira >>> (86) 8117-6966 >>> >>> >>> > Date: Thu, 7 Feb 2013 12:16:28 -0500 >>> > Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Sequências de Funções >>> > From: bernardo...@gmail.com >>> > To: obm-l@mat.puc-rio.br >>> > >>> > 2013/2/7 Sandoel Vieira : >>> > > Mostre que não existe uma sequências de funções contínuas f_n:[0,1]-->R, >>> > > convergindo simplesmente para a função f:[0,1]-->R tal que f(x)=0 para x >>> > > racional e f(x)=1 quando x é irracional. >>> > Pense no que acontece para que f_n(1/2) -> 0, e nos pontos da >>> > vizinhança de 1/2 para este n fixo. Agora, pense nos outros pontos >>> > pontos racionais perto de 1/2, e repita o argumento. Agora, lembre que >>> > os racionais são densos, e que você tem um monte de vizinhanças em >>> > todos os pontos racionais. >>> > -- >>> > Bernardo Freitas Paulo da Costa >>> > >>> > = >>> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >>> > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >>> > = >
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Sequências de Funções
Há um teorema que diz que, se f_n é uma sequência de funções reais contínuas que converge em um intervalo de R para uma função f, então o conjunto dos elementos em que f é descontínua é de 1a categoria na classificação de Baire, isto é, está contido numa união enumerável de conjuntos fechados com interior vazio. Isto implica que o conjunto das descontinuidades de f tenha interior vazio. Mas sua função é descontínua em todo o [0, 1], que não tem interior vazio. Logo, sua função não pode ser o limite de uma sequência de funções contínuas. Artur Em 07/02/2013 21:54, "Sandoel Vieira" escreveu: > Na hora de escrever torna-se um pouco complicado. Tentei mostrar supondo > que existe e depois tentando, por exemplo, limitar a imagem de f > numa vizinhança de um racional, por um número menor que 1, mas não consegui > argumentar direito. > > *Att.* > *Sandoel Vieira* > *(86) 8117-6966* > > > > Date: Thu, 7 Feb 2013 12:16:28 -0500 > > Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Sequências de Funções > > From: bernardo...@gmail.com > > To: obm-l@mat.puc-rio.br > > > > 2013/2/7 Sandoel Vieira : > > > Mostre que não existe uma sequências de funções contínuas > f_n:[0,1]-->R, > > > convergindo simplesmente para a função f:[0,1]-->R tal que f(x)=0 para > x > > > racional e f(x)=1 quando x é irracional. > > Pense no que acontece para que f_n(1/2) -> 0, e nos pontos da > > vizinhança de 1/2 para este n fixo. Agora, pense nos outros pontos > > pontos racionais perto de 1/2, e repita o argumento. Agora, lembre que > > os racionais são densos, e que você tem um monte de vizinhanças em > > todos os pontos racionais. > > -- > > Bernardo Freitas Paulo da Costa > > > > = > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > > = >
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Sequências de Funções
Na hora de escrever torna-se um pouco complicado. Tentei mostrar supondo que existe e depois tentando, por exemplo, limitar a imagem de f numa vizinhança de um racional, por um número menor que 1, mas não consegui argumentar direito. Att.Sandoel Vieira(86) 8117-6966 > Date: Thu, 7 Feb 2013 12:16:28 -0500 > Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Sequências de Funções > From: bernardo...@gmail.com > To: obm-l@mat.puc-rio.br > > 2013/2/7 Sandoel Vieira : > > Mostre que não existe uma sequências de funções contínuas f_n:[0,1]-->R, > > convergindo simplesmente para a função f:[0,1]-->R tal que f(x)=0 para x > > racional e f(x)=1 quando x é irracional. > Pense no que acontece para que f_n(1/2) -> 0, e nos pontos da > vizinhança de 1/2 para este n fixo. Agora, pense nos outros pontos > pontos racionais perto de 1/2, e repita o argumento. Agora, lembre que > os racionais são densos, e que você tem um monte de vizinhanças em > todos os pontos racionais. > -- > Bernardo Freitas Paulo da Costa > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > =
[obm-l] Re: [obm-l] Sequências de Funções
2013/2/7 Sandoel Vieira : > Mostre que não existe uma sequências de funções contínuas f_n:[0,1]-->R, > convergindo simplesmente para a função f:[0,1]-->R tal que f(x)=0 para x > racional e f(x)=1 quando x é irracional. Pense no que acontece para que f_n(1/2) -> 0, e nos pontos da vizinhança de 1/2 para este n fixo. Agora, pense nos outros pontos pontos racionais perto de 1/2, e repita o argumento. Agora, lembre que os racionais são densos, e que você tem um monte de vizinhanças em todos os pontos racionais. -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] Sequências
Sim, existem infinitos padrões para isso! GratoCoulbert Date: Sun, 29 Jan 2012 16:28:57 -0800 From: mathhawk2...@yahoo.com.br Subject: [obm-l] Sequências To: obm-l@mat.puc-rio.br Senhores, Resolvendo uma questão de concurso para um aluno, deparei-me com a seguinte questão: 01. Calcule o próximo termo da sequência 2,5,67,... Não seria essa questão passível de recurso, uma vez que existem infinitas sequências que contemplam tais valores? Grato, Alan
[obm-l] Re: [obm-l] Sequências Binárias e Concatenação
Bruno, você poderia explicar a sua notação... essa é uma lista de
matemática olímpica, e não foi todo mundo que entendeu o que era A^2.
E, dos que compreenderam porque as letras a,b,c dão "seqüências
binárias" (eu acho que estou nessa categoria, mas aguardo a sua
resposta... principalmente para a c), nem todos sabem o que é "gerada
univocamente". Nem sempre é fácil dosar o quanto de definições dar
(com o risco de parecer redundante), mas se você der as definições
após o enunciado (por exemplo) aqueles que souberem, já terão
"entendido tudo" e podem te ajudar, e os que não tiverem entendido mas
ficado curiosos e querendo fazer o problema, lerão o resto e poderão
tentar resolver e em seguida te responder.
E, voltando ao tema "matemática olímpica", isso é de uma olimpíada de
informática/programação ?
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa
2010/10/5 Bruno Collares :
> Seja A={01,100,101}, e B={0,1,11}. Decida se as sequências binárias abaixo
> são geradas univocamente:
>
> a) A*
> b) B*
> c) {00}*A*
>
> Obs: A*=EUAUA²UA³U...
>
> Grato
>
>
> BRUNO MARQUES COLLARS
>
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Sequências
Se eu não me engano, esse exercício vem muito antes de saber a aproximação de Stirling que você deu. Aline, o capítulo que você está estudando te dá vários métodos de cálculo de limites : primeiro, você pode usar toda a álgebra possível (soma de limites = limite da soma, vale para produto, divisão desde que sejam operações bem definidas) e além disso você tem dois testes para ver se vai pra infinito ou para zero, que são o teste da razão e o teste da raiz. Use e abuse deles, que são muito úteis não só em sequências, mas também em séries. Conhecer (e demonstrar) equivalentes é uma técnica muito poderosa, mas as noções de base são mais importantes ainda, porque permitem memorizar menos, e dar respostas mais claras do que "tirar um equivalente do chapéu" :) Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa 2009/7/18 Carlos Alberto da Silva Victor : > Olá Aline, > use o fato de que n! é equivalente a (n^n).(e^(-n)).sqrt(2.pi.n),ok ? > > Abraços > > Carlos Victor > > 2009/7/17 Aline Correa >> >> Olá pessoal, não estou conseguindo resolver a questão abaixo do livro de >> Análise I do Elon, alguém pode me ajudar? >> Questão 3 da seção 4 do capítulo 3: >> Dados k pertence a N e a > 0, determine o limite >> (n tendendo a infinito)-> lim n! / n(elevado a K).a(elevado a n) >> Supondo a > 0 e a diferente de e calcule >> (n tendendo a infinito)-> lim a(elevado a n).n! / n(elevado a n) >> e (n tendendo a infinito)-> lim n(elevado a K).a(elevado a n)n! / >> n(elevado a n) >> >> Grata, >> >> Aline. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Sequências
Olá Aline, use o fato de que n! é equivalente a (n^n).(e^(-n)).sqrt(2.pi.n),ok ? Abraços Carlos Victor 2009/7/17 Aline Correa > Olá pessoal, não estou conseguindo resolver a questão abaixo do livro de > Análise I do Elon, alguém pode me ajudar? > Questão 3 da seção 4 do capítulo 3: > Dados k pertence a N e a > 0, determine o limite > (n tendendo a infinito)-> lim n! / n(elevado a K).a(elevado a n) > Supondo a > 0 e a diferente de e calcule > (n tendendo a infinito)-> lim a(elevado a n).n! / n(elevado a n) > e (n tendendo a infinito)-> lim n(elevado a K).a(elevado a n)n! / n(elevado > a n) > > Grata, > > Aline. >
[obm-l] Re: [obm-l] Sequências de números reais
tente por absurdo!vai concluir que a>=b 2009/7/6 Aline Correa > Estou tentando resolver os exercícios do capítulo 3 do livro de Análise > Real I do Elon e não estou conseguindo fazer algumas questões. Alguém > poderia me ajudar? > Segue abaixo as questões: > > Sejam lim xn = a e lim yn = b. Se a < b, prove que existe n0 pertence N tal > que n > n0 => xn < yn. > > Diz-se que (xn) é uma sequência de Cauch quando, para todo E > 0 dado, > existe n0 pertence N tal que m, n > n0 => |xm - xn| < E. > > Desde já grata. >
[obm-l] Re: [obm-l] Sequências de números reais
Ola Aline,
A demonstracao direta costuma esconder a "essencia da coisa". E
necessário voce visualiza-la antes de monta-la. No caso particular sob
consideracao, IMAGINE o ponto medio entre "a" e "b", isto e, imagine
c=(a+b) / 2. Vai chegar um momento que os Yn's ESTARAO e PERMANECERAO
a direita de "c" e os X's ESTARAO e PERMANECERAO a esquerda de "c".
Quando isso ocorre teremos que Xn < Yn ...
Rigorosamente falando, podemos escrever assim :
Seja E = (b - a) / 2. Entao E > 0, pois b > a. Logo, por definicao de
LIMITE, temos que :
1) Existe um natural N1 tal que n > N1 implica Xn pertence a (a - E, a
+ E). Como E=(b-a)/2 segue que existe N1 tal que n > N1 implica Xn <
a+E = (a+b) /2, isto e, n > N1 => Xn < (a+b) / 2
2) Existe um natural N2 tal que n > N2 implica Yn pertence a
(b-E,b+E). Como E=(b-a)/2 segue que
existe N2 talo que n > N2 implica Yn > b-E = (a+b) /2
Tomando N3 = max{N1,N2} vemos que para n > N3 implica que Xn < (a+b)/2
< Yn, ou seja , para todo natural n > N3 teremos que Xn < Yn, que é o
que queriamos demonstrar.
Um abraco a todos !
PSR,21807091207
Como a < b, seja E = (b - a) / 2. Entao E > 0. Por definicao existe
um natural No tal que N > No implica que Yn pertence a (b-E,b+E), vale
dizer,
2009/7/6 Aline Correa :
> Estou tentando resolver os exercícios do capítulo 3 do livro de Análise Real
> I do Elon e não estou conseguindo fazer algumas questões. Alguém poderia me
> ajudar?
> Segue abaixo as questões:
>
> Sejam lim xn = a e lim yn = b. Se a < b, prove que existe n0 pertence N tal
> que n > n0 => xn < yn.
>
> Diz-se que (xn) é uma sequência de Cauch quando, para todo E > 0 dado,
> existe n0 pertence N tal que m, n > n0 => |xm - xn| < E.
>
> Desde já grata.
=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
[obm-l] Re: [obm-l] sequências....
Oi Crom, Aih vão as soluções: 1) Vamos mostrar por indução. Para n=1, temos a_1^3=a_1^2 => a_1=0 ou a_1=1.OK. Além disso, 1+ 8.a_1 é quadrado perfeito. Suponha por indução que a_1, ...a_(n-1) sejam inteiros e que 1+ 8(a_1+...+a_(n-1)).( Vc vai jah perceber pq essa ultima condição). Logo a_1^3+...+a_n^3= (a_1+...+a_n)^2 => (a_1^3+...+a_(n-1)^3)+ a_n^3= (a_1+...+a_(n-1))^2+ 2.a_n.(a_1+...+a_(n-1))+ a_n^2 => =>a_n^3= 2.a_n.(a_1+...+a_(n-1))+ a_n^2 => => a_n=0 ou a_n^2= 2.(a_1+...+a_(n-1))+ a_n => => a_n^2- a_n- 2.(a_1+...+a_(n-1))=0. delta= 1+ 8(a_1+...+a_(n-1)), que por indução, é quadrado perfeito (e ímpar, como se pode ver). Assim, a_n= [1+- sqr(1+ 8(a_1+...+a_(n-1))]/2, que em qq dos casos é inteiro! Para completar a indução, mostremos que 1+8(a_1+...+a_n) tbm é quadrado perfeito. De fato: a_n^2= 2.(a_1+...+a_(n-1))+ a_n => 1+8(a_1+...+a_n)= 4.a_n^2+ 4.a_n+ 1= (2.a_n+ 1)^2, e assim a indução está completa. 2) Escolha a_1= 1, a_2= -1, a_3= 2, a_4= -2, a_5= 3 e a_6= -3. Logo: muitos termos se cancelam, e o problema se reduz a achar quatro reais a, b, c, d t.q. (x- a)(x- b)(x- c)(x- d)= (x+ a)(x+ b)(x+ c)(x+ d). Vc pode observar que essa igualdade se reduz a um polinômio de grau 3, da forma p(x)= r.x^3+ s.x x=0 satisfaz tal equação, e p(x)/x= r.x^2+ s, que tem duas raízes reais sss r.s <0. Veja que r= (a+b+c+d) e s= abcd(1/a+ 1/b+ 1/c+ 1/d). Tomando a, b, c, d tais que esse produto dê negativo( por exemplo: a= 4, b=5, c=6 e d=-7, temos r>0 e s<0), as raízes 0, x_1 e x_2 de p(x) satisfazem a equação inicial. Além disso, -x_1 e -x_2 tbm satisfazem, como é fácil de se verificar. Daí, temos exatamente cinco soluções distintas. -- Mensagem original -- >1)A sequência de números reais ( a_1,a_2,,a_2000) satisfaz a condição: >a_1^3+a_2^3++a_n^3=(a_1+a_2++a_n)^2 para todo n, 1<=n<=2000. Mostre > >que todo elemento da sequência é um número inteiro. >2) Prove a existência de números reais distintos a_1,a_2,...a_10 tais que >a >equação >(x-a_1)(x-a_2)(x-a_10)=(x+a_1)(x+a_2).(x+a_10), possui exatamente >5 >raízes distintas... >Qualquer ajuda, eu agradeço. > Crom > []'s, Yuri ICQ: 64992515 -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] sequências e mais sequências
Interessante esse problema. Acho que dá pra provar um resultado mais abrangente: Dada a relação de recorrência: a(n+1) = 2*a(1)*a(n) + a(n-1), as condições a(0) = 100 e a(100) = 0 só são factíveis se a(1) = 0. Seja n >= 2. Então: a(n) - a(n-2) = 2*a(1)*a(n-1) Se a(1) <> 0 então: a(2) - a(0) = 2*a(1)*a(1) > 0 ==> a(2) > a(0) = 100 Suponhamos inicialmente que a(1) > 0. Nesse caso: a(3) - a(1) = 2*a(1)*a(2) > 0 ==> a(3) > a(1) > 0 a(4) - a(2) = 2*a(1)*a(3) > 0 ==> a(4) > a(2) > a(0) = 100 a(5) - a(3) = 2*a(1)*a(4) > 0 ==> a(5) > a(3) > a(1) > 0 a(6) - a(4) = 2*a(1)*a(5) > 0 ==> a(6) > a(4) > a(2) > a(0) = 100 .. Hipótese de indução: Para todo k com 1 <= k <= n-1, teremos: 0 < a(0) < a(2) < ... < a(2k) e 0 < a(1) < a(3) < ... < a(2k-1) Seja k = n. Então: a(2n) - a(2n-2) = 2*a(1)*a(2n-1) (i) e a(2n-1) - a(2n-3) = 2*a(1)*a(2n-2) (ii) Pela H.I., a(2n-3) = a(2*(n-1) -1) > a(1) > 0 e a(2n-2) = a(2*(n-1)) > 0. Logo, usando (ii), concluímos que a(2n-1) > a(2n-3) > 0. Daí e de (i) vem que a(2n) > a(2n-2) > 0 Portanto, por indução, concluímos que os tanto os termos de de ordem par quanto os de ordem ímpar formam uma subseqûencia crescente. Assim, 0 = a(100) > a(0) = 100 ==> contradição ==> a(1) <= 0. Suponhamos agora que a(1) < 0. Nesse caso: a(3) - a(1) = 2*a(1)*a(2) < 0 ==> a(3) < a(1) < 0 a(4) - a(2) = 2*a(1)*a(3) > 0 ==> a(4) > a(2) > a(0) = 100 a(5) - a(3) = 2*a(1)*a(4) < 0 ==> a(5) < a(3) < a(1) < 0 a(6) - a(4) = 2*a(1)*a(5) > 0 ==> a(6) > a(4) > a(2) > a(0) = 100 De forma análoga ao caso anterior, concluímos, por indução, que os termos de ordem ímpar formam uma subsequência decrescente (e de termos negativos) e os de ordem par formam uma subsequência crescente. Assim, da mesma forma que antes, 0 = a(100) > a(0) = 100 ==> contradição ==> a(1) >= 0. Logo, só pode ser a(1) = 0. Assim, a relação de recorrência fica: a(n) = 2*a(1)*a(n-1) + a(n-2) ==> a(n) = a(n-2) Com as condições: a(0) = 100 e a(1) = 0, teremos: a(2n) = 100 e a(2n-1) = 0, para todo inteiro não negativo n. Assim: a) | a(1) | = 0 <= 1 b) a(2003) = a(2*1001+1) = 0. Um abraço, Claudio. - Original Message - From: Erasmo de Souza Dias To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, January 29, 2003 10:59 AM Subject: [obm-l] sequências e mais sequências Olá amigos da lista! Tenho aqui um pequeno probleminha para pedir ajuda, lá vai: Dada a sequencia a[n+1]= 2a1a[n] + a[n-1] definida para todo n>=1 tal que a[0]=100 e a[100]= 0. a) Mostre que |a1|<=1. b) Determine a[2003]. obs: O que esta entre cochetes é o indice do a. a[n+1] é a de indice n+1. Desde já eu agradeço pela ajuda. Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Sequências
On Mon, Jan 27, 2003 at 02:17:38PM -0300, Domingos Jr. wrote: > seja x³ = x.x.x > a² - b² = (a+b).(a-b) > tome > a + b = x² ==> a = x² - b > a - b = x > > x² -2b - x = 0 > x(x-1) = 2b > b = x(x-1)/2 > a + x(x-1)/2 = x² > a = x(x+1)/2 > > a² - b² = (a+b).(a-b) = (x²).(x) = x³ > > - Original Message - > From: Wagner > To: [EMAIL PROTECTED] > Sent: Monday, January 27, 2003 11:11 AM > Subject: [obm-l] Sequências > > > Provar que todo cubo de um número inteiro é a diferença de dois quadrados de >números inteiros > > André T. Está certo; faltou talvez observar que a é inteiro já que n e n^2 têm a mesma paridade. Observe que o que está sendo demonstrado é que n pode ser escrito como diferença de dois quadrados desde que possa ser fatorado em dois fatores ímpares ou dois fatores pares. Ou seja, n é diferença de dois quadrado se e somente se *não* é da forma 4k+2. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] Re: [obm-l] Sequências
Use o seguinte fato: Para todo inteiro positivo n, vale: 1^3 + 2^3 + ... + n^3 = (1 + 2 + ... + n)^2 que pode ser demonstrado sem muito problema por indução. Daí: n^3 = (1^3 + 2^3 + ... + n^3) - [1^3 + 2^3 + ... + (n-1)^3] = = (1 + 2 + ... + n)^2 - [1 + 2 + ... + (n-1)]^2 = = [n*(n+1)/2]^2 - [n*(n-1)/2]^2 Um abraço, Claudio. - Original Message - From: Wagner To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, January 27, 2003 12:11 PM Subject: [obm-l] Sequências Provar que todo cubo de um número inteiro é a diferença de dois quadrados de números inteiros André T.
[obm-l] Re: [obm-l] Sequências
seja x³ = x.x.x a² - b² = (a+b).(a-b) tome a + b = x² ==> a = x² - b a - b = x x² -2b - x = 0 x(x-1) = 2b b = x(x-1)/2 a + x(x-1)/2 = x² a = x(x+1)/2 a² - b² = (a+b).(a-b) = (x²).(x) = x³ - Original Message - From: Wagner To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, January 27, 2003 11:11 AM Subject: [obm-l] Sequências Provar que todo cubo de um número inteiro é a diferença de dois quadrados de números inteiros André T.
[obm-l] Re: [obm-l] Sequências de Cauchy
On Mon, Dec 23, 2002 at 10:17:59AM -0200, Wagner wrote: > Olá para todos ! > > Se a é um número irracional e S é uma sequência convergente e com > infinitos termos, tal que > > a = SOMATÓRIO Si . > i = 1 > Pode-se considerar que existe uma sequência S, tal que Si > é um número racional para todo i natural ? Está um pouco confuso. O que eu *acho* que está sendo perguntado é se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa. Para todo número irracional a existe uma seqüência s_i de números racionais tal que a série s_1 + s_2 + s_3 + ... + s_n converge para a. A afirmação é claramente verdadeira, basta pegar as diferenças entre termos consecutivos de uma seqüência de racionais que tenda para a. Para construir uma tal seqüência tome aproximações decimais ou binárias ou dadas por frações continuadas. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
