[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Números inteiros

[Mauricio de Araujo]

​Bernardo, acho que esta solução se complica por conta da imposição de
termos os valores das incógnitas A, B, C e D menores ou iguais a 5... Acho
que fica mais fácil usando a função abaixo:

f(x) = (x^3 + x^4 + x^5 + x^6 + x^7 + x^8) ^4

e então descobrindo o valor do coeficiente de x^27...​

Resposta: 56 soluções.

Em 24 de janeiro de 2016 22:50, Bernardo Freitas Paulo da Costa <
bernardo...@gmail.com> escreveu:

> 2016-01-24 22:30 GMT-02:00 marcone augusto araújo borges
> :
> > Determinar o número de soluções inteiras da equação a + b + c + d = 27
> > onde cada variável toma valores entre 3 e 8
>
> Faça a = A + 3, idem para B, C, D. Isso dá
>
> A+B+C+D = 27 - 4*3 = 15, onde A,B,C,D estão entre 0 e 5. Daqui em
> diante, o argumento de separar pedras (os 15 totais) com pauzinhos
> (para escolher quantas vão para A,B,C ou D) mata.
>
> Abraços,
> --
> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>



-- 

Abraços,
oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ

[obm-l] Re: [obm-l] Números inteiros

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2016-01-24 22:30 GMT-02:00 marcone augusto araújo borges
:
> Determinar o número de soluções inteiras da equação a + b + c + d = 27
> onde cada variável toma valores entre 3 e 8

Faça a = A + 3, idem para B, C, D. Isso dá

A+B+C+D = 27 - 4*3 = 15, onde A,B,C,D estão entre 0 e 5. Daqui em
diante, o argumento de separar pedras (os 15 totais) com pauzinhos
(para escolher quantas vão para A,B,C ou D) mata.

Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

RE: [obm-l] Re: [obm-l] Números inteiros

[Fred Costa Milhome]

Quero sair da lista obm-l

Enviado pelo meu Windows Phone

De: Bernardo Freitas Paulo da Costa
Enviada em: 24/01/2016 22:56
Para: Lista de E-mails da OBM
Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Números inteiros

2016-01-24 22:30 GMT-02:00 marcone augusto araújo borges
<marconeborge...@hotmail.com>:
> Determinar o número de soluções inteiras da equação a + b + c + d = 27
> onde cada variável toma valores entre 3 e 8

Faça a = A + 3, idem para B, C, D. Isso dá

A+B+C+D = 27 - 4*3 = 15, onde A,B,C,D estão entre 0 e 5. Daqui em
diante, o argumento de separar pedras (os 15 totais) com pauzinhos
(para escolher quantas vão para A,B,C ou D) mata.

Abraços,
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa

=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Números Inteiros

[Pedro José]

Bom dia!

Sempre deixo uma sujeirinha.

Onde: Assim x = 2k(2n+2k) = 4k(n+1) Assim qualquer múltiplo de 4 pode ser
escrito como a diferença de dois quadrados de interios.

Corrigir: Assim x = 2k(2n+2k) = 4k(n+*k*) Assim qualquer múltiplo de 4 pode
ser escrito como a diferença de dois quadrados de interios.

Realmente atribuindo-se 1 a k. Cobrimos qualquer múltiplo de 4.


Em 14 de maio de 2014 01:46, jamil silva wowels...@gmail.com escreveu:

 Muito bom seu argumento, PJMS. Obrigado !


 Em 13 de maio de 2014 15:25, Pedro José petroc...@gmail.com escreveu:

 Boa tarde!

 Sejam dois inteiros  consecutivos,  n e n + 1.

 Portanto seus quadrados são: n^2 e n^2 + 2n + 1.

 Fazendo a diferença entre o maior e o menor temos : 2n +1. Portanto,
 qualquer inteiro ímpar pode ser escrito como a diferença de dois quadrados
 de inteiros.

 Escolhando dois inteiros aleatótios, n e n + h.

 Temos que x = (n+h)^2 - n^2 == x = 2nh+h^2 = h(2n+h)
 h Ɛ  2Z+1 == x  Ɛ  2Z+1 (não nos interessa, pois, já vimos que qualquer
 inteiro ímpar pode ser igualado a uma diferença de dois quadrados de
 inteiros.

 Sendo assim, resta h Ɛ  2Z == Ǝ k Ɛ  2Z | h = 2k.

 Assim x = 2k(2n+2k) = 4k(n+1) Assim qualquer múltiplo de 4 pode ser
 escrito como a diferença de dois quadrados de interios.

 Porém, um inteiro par que não divida 4, não pode ser escrito como a
 diferença de quadrados de dois inteiros.

 R: { x Ɛ  2Z  | x = 2m, m Ɛ  2Z+1}

 Saudações

 PJMS.







 Em 13 de maio de 2014 12:25, Listeiro 037 
 listeiro_...@yahoo.com.brescreveu:

  Em Tue, 13 May 2014 11:18:29 -0300
 jamil silva wowels...@gmail.com escreveu:

  Que tipo de número inteiro não é a diferença de quadrados inteiros
 ?
 


 Números da forma 2k, com k ímpar?


 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
  acredita-se estar livre de perigo.


 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 =



 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.



 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.


-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: Re: Re: [obm-l] Números Inteiros

[Listeiro 037]

Nada. A demonstração que o colega demonstrou é objetiva e suficiente.

É sobre uma prova de números que podem ser escritos como soma de dois
quadrados que usa a descida. Inclusive que Fermat estudou esses dois
problemas. Há um algoritmo de fatoração atribuído a Fermat que usa
diferença de quadrados. No caso seria uma prova dessas para diferença
de quadrados.


Em Wed, 14 May 2014 00:02:40 -0300
terence thirteen peterdirich...@gmail.com escreveu:

 Por que temeis o caso a caso, irmão? XD
 
 
 Em 13 de maio de 2014 17:48, Listeiro 037
 listeiro_...@yahoo.com.brescreveu:
 
 
 
  Essa afirmação pode ser provada com redução ao absurdo ou descida
  infinita? Há como fugir do caso a caso?
 
 
  Em Tue, 13 May 2014 15:25:40 -0300
  Pedro José petroc...@gmail.com escreveu:
 
   Boa tarde!
  
   Sejam dois inteiros  consecutivos,  n e n + 1.
  
   Portanto seus quadrados são: n^2 e n^2 + 2n + 1.
  
   Fazendo a diferença entre o maior e o menor temos : 2n +1.
   Portanto, qualquer inteiro ímpar pode ser escrito como a
   diferença de dois quadrados de inteiros.
  
   Escolhando dois inteiros aleatótios, n e n + h.
  
   Temos que x = (n+h)^2 - n^2 == x = 2nh+h^2 = h(2n+h)
   h Ɛ  2Z+1 == x  Ɛ  2Z+1 (não nos interessa, pois, já vimos que
   qualquer inteiro ímpar pode ser igualado a uma diferença de dois
   quadrados de inteiros.
  
   Sendo assim, resta h Ɛ  2Z == Ǝ k Ɛ  2Z | h = 2k.
  
   Assim x = 2k(2n+2k) = 4k(n+1) Assim qualquer múltiplo de 4 pode
   ser escrito como a diferença de dois quadrados de interios.
  
   Porém, um inteiro par que não divida 4, não pode ser escrito como
   a diferença de quadrados de dois inteiros.
  
   R: { x Ɛ  2Z  | x = 2m, m Ɛ  2Z+1}
  
   Saudações
  
   PJMS.
  
  
  
  
  
  
  
   Em 13 de maio de 2014 12:25, Listeiro 037
   listeiro_...@yahoo.com.brescreveu:
  
Em Tue, 13 May 2014 11:18:29 -0300
jamil silva wowels...@gmail.com escreveu:
   
 Que tipo de número inteiro não é a diferença de quadrados
 inteiros ?

   
   
Números da forma 2k, com k ímpar?
   
   
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.
   
   
   
  =
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
   
  =
   
  
 
 
  --
  Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
   acredita-se estar livre de perigo.
 
 
  =
  Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
  http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
  =
 
 
 
 

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Números Inteiros

[Listeiro 037]

Em Tue, 13 May 2014 11:18:29 -0300
jamil silva wowels...@gmail.com escreveu:

 Que tipo de número inteiro não é a diferença de quadrados inteiros ?
 


Números da forma 2k, com k ímpar?


-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Números Inteiros

[Pedro José]

Boa tarde!

Sejam dois inteiros  consecutivos,  n e n + 1.

Portanto seus quadrados são: n^2 e n^2 + 2n + 1.

Fazendo a diferença entre o maior e o menor temos : 2n +1. Portanto,
qualquer inteiro ímpar pode ser escrito como a diferença de dois quadrados
de inteiros.

Escolhando dois inteiros aleatótios, n e n + h.

Temos que x = (n+h)^2 - n^2 == x = 2nh+h^2 = h(2n+h)
h Ɛ  2Z+1 == x  Ɛ  2Z+1 (não nos interessa, pois, já vimos que qualquer
inteiro ímpar pode ser igualado a uma diferença de dois quadrados de
inteiros.

Sendo assim, resta h Ɛ  2Z == Ǝ k Ɛ  2Z | h = 2k.

Assim x = 2k(2n+2k) = 4k(n+1) Assim qualquer múltiplo de 4 pode ser escrito
como a diferença de dois quadrados de interios.

Porém, um inteiro par que não divida 4, não pode ser escrito como a
diferença de quadrados de dois inteiros.

R: { x Ɛ  2Z  | x = 2m, m Ɛ  2Z+1}

Saudações

PJMS.







Em 13 de maio de 2014 12:25, Listeiro 037 listeiro_...@yahoo.com.brescreveu:

 Em Tue, 13 May 2014 11:18:29 -0300
 jamil silva wowels...@gmail.com escreveu:

  Que tipo de número inteiro não é a diferença de quadrados inteiros ?
 


 Números da forma 2k, com k ímpar?


 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
  acredita-se estar livre de perigo.


 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 =


-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: Re: [obm-l] Números Inteiros

[Listeiro 037]

Essa afirmação pode ser provada com redução ao absurdo ou descida
infinita? Há como fugir do caso a caso?


Em Tue, 13 May 2014 15:25:40 -0300
Pedro José petroc...@gmail.com escreveu:

 Boa tarde!
 
 Sejam dois inteiros  consecutivos,  n e n + 1.
 
 Portanto seus quadrados são: n^2 e n^2 + 2n + 1.
 
 Fazendo a diferença entre o maior e o menor temos : 2n +1. Portanto,
 qualquer inteiro ímpar pode ser escrito como a diferença de dois
 quadrados de inteiros.
 
 Escolhando dois inteiros aleatótios, n e n + h.
 
 Temos que x = (n+h)^2 - n^2 == x = 2nh+h^2 = h(2n+h)
 h Ɛ  2Z+1 == x  Ɛ  2Z+1 (não nos interessa, pois, já vimos que
 qualquer inteiro ímpar pode ser igualado a uma diferença de dois
 quadrados de inteiros.
 
 Sendo assim, resta h Ɛ  2Z == Ǝ k Ɛ  2Z | h = 2k.
 
 Assim x = 2k(2n+2k) = 4k(n+1) Assim qualquer múltiplo de 4 pode ser
 escrito como a diferença de dois quadrados de interios.
 
 Porém, um inteiro par que não divida 4, não pode ser escrito como a
 diferença de quadrados de dois inteiros.
 
 R: { x Ɛ  2Z  | x = 2m, m Ɛ  2Z+1}
 
 Saudações
 
 PJMS.
 
 
 
 
 
 
 
 Em 13 de maio de 2014 12:25, Listeiro 037
 listeiro_...@yahoo.com.brescreveu:
 
  Em Tue, 13 May 2014 11:18:29 -0300
  jamil silva wowels...@gmail.com escreveu:
 
   Que tipo de número inteiro não é a diferença de quadrados
   inteiros ?
  
 
 
  Números da forma 2k, com k ímpar?
 
 
  --
  Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
   acredita-se estar livre de perigo.
 
 
  =
  Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
  http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
  =
 
 


-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Números Inteiros

[jamil silva]

Muito bom seu argumento, PJMS. Obrigado !


Em 13 de maio de 2014 15:25, Pedro José petroc...@gmail.com escreveu:

 Boa tarde!

 Sejam dois inteiros  consecutivos,  n e n + 1.

 Portanto seus quadrados são: n^2 e n^2 + 2n + 1.

 Fazendo a diferença entre o maior e o menor temos : 2n +1. Portanto,
 qualquer inteiro ímpar pode ser escrito como a diferença de dois quadrados
 de inteiros.

 Escolhando dois inteiros aleatótios, n e n + h.

 Temos que x = (n+h)^2 - n^2 == x = 2nh+h^2 = h(2n+h)
 h Ɛ  2Z+1 == x  Ɛ  2Z+1 (não nos interessa, pois, já vimos que qualquer
 inteiro ímpar pode ser igualado a uma diferença de dois quadrados de
 inteiros.

 Sendo assim, resta h Ɛ  2Z == Ǝ k Ɛ  2Z | h = 2k.

 Assim x = 2k(2n+2k) = 4k(n+1) Assim qualquer múltiplo de 4 pode ser
 escrito como a diferença de dois quadrados de interios.

 Porém, um inteiro par que não divida 4, não pode ser escrito como a
 diferença de quadrados de dois inteiros.

 R: { x Ɛ  2Z  | x = 2m, m Ɛ  2Z+1}

 Saudações

 PJMS.







 Em 13 de maio de 2014 12:25, Listeiro 037 listeiro_...@yahoo.com.brescreveu:

 Em Tue, 13 May 2014 11:18:29 -0300
 jamil silva wowels...@gmail.com escreveu:

  Que tipo de número inteiro não é a diferença de quadrados inteiros ?
 


 Números da forma 2k, com k ímpar?


 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
  acredita-se estar livre de perigo.


 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 =



 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.


-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Números inteiros

[Ralph Teixeira]

xy-143x-143y=0
(x-143)(y-143)=143^2=11^2.13^2

Olhando os divisores daquele numero a direita, sai.

Abraco,
   Ralph


2013/9/10 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com

 Encontre todos os inteiros positivos x e y tais que 1/x + 1/y = 1/143

 Eu encontrei y = x^2/(x -143) - x e deu pra ver que
 x = 144 e y = 144*143 satisfaz.Mas foi só.
 Alguém ajuda?


 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.


-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Números inteiros

[Johann Dirichlet]

Talvez a pergunta dele tenha sido
Determine o numero de soloçoes de 1/x + 1/y = 1/1998 com x e y
inteiros positivos.

E é fácil:

(x+y)*1998 = xy
1998x-xy+1998y=0
x(1998-y)+1998y-1998^2=-1998^2
x(1998-y)+1998(y-1998)=-1998^2
(1998-y)(x-1998)=-1998^2
(1998-y)(1998-x)=1998^2


Em 22/09/11, João Maldonadojoao_maldona...@hotmail.com escreveu:



 1) É impossível que  1/x +  1/y seja maior que 2 né?
 2)   4m²   +m(4n  -49) + 4n²  - 49n = 0
 delta  = 2401 + 392 n - 48 n   ²
 delta=0,  -4=n=12Testando  achamos( 6,10)(10,6)
 []'s
 João

 From: marconeborge...@hotmail.com
 To: obm-l@mat.puc-rio.br
 Subject: [obm-l] Números inteiros
 Date: Thu, 22 Sep 2011 21:23:47 +








 1) Determine o numero de soloçoes de 1/x + 1/y = 1998 com x e y inteiros
 positivos.



 2) Se m e n sao naturais tais que (m + n)/(m^2 + mn + n^2) = 4/49,determinar
 m + n



 Agradeço a quem puder ajudar.



 Abraço,



 Marcone.
   


-- 
/**/
神が祝福

Torres

=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] RE: [obm-l] Números inteiros

[João Maldonado]

1) É impossível que  1/x +  1/y seja maior que 2 né?
2)   4m²   +m(4n  -49) + 4n²  - 49n = 0
delta  = 2401 + 392 n - 48 n   ²
delta=0,  -4=n=12Testando  achamos( 6,10)(10,6)
[]'s
João

From: marconeborge...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Números inteiros
Date: Thu, 22 Sep 2011 21:23:47 +








1) Determine o numero de soloçoes de 1/x + 1/y = 1998 com x e y inteiros 
positivos.

 

2) Se m e n sao naturais tais que (m + n)/(m^2 + mn + n^2) = 4/49,determinar m 
+ n

 

Agradeço a quem puder ajudar.

 

Abraço,

 

Marcone.  

  

[obm-l] Re: [obm-l] Números inteiros

[Ralph Teixeira]

Eh fiquei tambem com a impressao que, em geral, ac eh bem maior que a+c em
modulo.

Vejamos como formalizar isto. Primeiro vou me livrar de uns casos pequenos
(que soh vi serem necessarios depois que terminei o problema :P):

CASO 0: Se um deles for 0 (digamos a=0)
Entao -2=b+c, que tem uma infinidade de solucoes. Assim, temos as inumeras
solucoes do tipo (0,n,-2-n) com n inteiro, e suas permutacoes.

CASO 1: Se um deles for 1 (digamos a=1).
Entao bc-2=b+c+1, isto eh, (b-1)(c-1)=4. Temos entao
{b-1,c-1}={2,2},{-2,-2},{1,4} ou {-1,-4}. Daqui vem as solucoes novas:
(1,3,3), (1,-1,-1), (1,2,5) -- e permutacoes.

CASO 2: Se um deles for -1 (digamos a=-1)
Entao -bc-2=-1+b+c
bc+b+c+1=0
(b+1)(c+1)=0
Entao b=-1 ou c=-1. Assim temos as solucoes do tipo (-1,-1,n) e permutacoes.

Acho que agora jah dah para fazer o caso geral, onde vou supor que todos
sao, em modulo, maiores que 2. Mas os sinais atrapalham, entao vou
subdividir em mais casos:

CASO 3: Todos positivos (digamos a=b=c=2).
a(bc-1)=b+c+2 (como bc-10, a=2 e c=b)
2(bc-1)=2b+2
bc-1=b+1
b(c-1)=2
Que nao dah muitas opcoes Como b=c=2, soh fica a opcao b=c=2!
Em suma, achamos apenas a resposta (2,2,2).

CASO 4: Dois positivos, um negativo (digamos a=b=2 mas c=-2)
Entao troco (a,b,c) por (A,B,-C) para ficar com A,B,C positivos. Fica:
-ABC-2=A+B-C
ABC+A+B=C-2
Mas ABC+A+B=4C+2+2, entao:
C-2=4C+4
C=-2 (impossivel)

CASO 5: Dois negativos, um positivo (digamos a=2 e -2=b=c)
Troco (a,b,c) por (A,-B,-C). Fica:
ABC-2=A-B-C
ABC+B+C=A+2
Mas ABC+B+C=4A+2+2, entao:
A+2=4A+4
3A=-2 (impossivel)

CASO 6: Todos negativos (digamos, 0c=b=a)
Troco (a,b,c) por (-A,-B,-C) (com A=B=C)
-ABC-2=-A-B-C
A(BC-1)=B+C-2
Como BC-10, A=2 e C=B, vem:
2(BC-1)=2B-2
BC-1=B-1
B(C-1)=0 (impossivel, pois B,C=2)



Resumindo tudo, as solucoes sao:
(0,n,-2-n), (-1,-1,n), (1,3,3), (1,2,5), (2,2,2) e permutacoes.

Abraco,
 Ralph

2011/6/27 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com

  Achar todas as soluções inteiras da equação abc - 2 = a + b + c .

É fácil achar algumas soluções.Como (2,2,2) ou (3,3,1),por exemplo.
Isolando b,obtemos b=(a+c+2)/(ac - 1),a impressão que dá é que em geral
 o módulo de ac é maior que o módulo de a+c,
 o módulo do denominador é maior que o módulo do numerador e b não é
 inteiro.
Tentei uma maneira de restringir ao máximo os possíveis valores de a e
 c,mas...emperrei.
Obrigado a quem puder ajudar.

[obm-l] Re: [obm-l] Números inteiros

[Ralph Teixeira]

1) Suponho n natural. Como 28n^2+1 eh impar e tem que ser quadrado perfeito,
escrevo

28n^2+1=(2k-1)^2 (com k inteiro)
7n^2=k^2-k=k(k-1)

(Note que a expressao toda eh 2+2(2k-1)=4k; entao nosso objetivo eh mostrar
que k eh quadrado perfeito)

Leminha: Como k e k-1 sao primos entre si, um deles eh um quadrado perfeito,
o outro eh 7 vezes um quadrado perfeito.
Provinha: Um dos fatores k e k-1 nao eh divisivel por 7, o outro eh. Seja 7A
o divisivel por 7, e B o outro.
Temos n^2=AB com A e B primos entre si. Entao A e B sao quadrados perfeitos
(Se p eh um fator de A, entao p tem de ser fator de n. Mas entao p aparece
do lado esquerdo um numero par de vezes (em n^2).
Como A e B sao primos entre si, p nao aparece em B -- entao p aparece um
numero par de vezes em A.
Todo fator primo de A aparece um numero par de vezes em A? Entao, A eh um
quadrado perfeito. Idem para B.)

Caso 1: k=a^2, k-1=7b^2 -- entao a expressao eh k=a^2, acabou.
Caso 2: k=7a^2, k-1=b^2. Entao 7a^2-b^2=1, isto eh, 7a^2=b^2+1. Mas isto eh
impossivel: b^2=(0 ou 1) mod 4, enquanto 7a^2=(0 ou 3) mod 4.

2) Este eh o Problema 1 da IMO 1986 (Polonia). Eu lembro... :)
Um jeito de fazer eh olhar tudo mod 16. Os quadrados perfeitos mod 16 sao
0,1,4,9. Vou escrever tudo mod 16, e vou botar = ao inves de pertence:
2d-1={0,1,4,9} implica em 2d={1,2,5,10}, isto eh, 2d={2,10}, e d={1,5,9,13}.
Respectivamente, viria 5d-1={4,8,12,1}. Soh os dois das pontas podem ser
quadrados perfeitos, isto eh, d={1,13}.
Mas entao 13d-1={12,8}, e nenhum deles eh quadrado perfeito mod 16.

3) (x+1)(x^2+1)=2^y. Entao ambos x+1 e x^2+1 tem de ser potencias de 2.
Como 2^y e x^2+1 sao positivos, x+1 tambem terah de ser positivo, isto eh, x
eh um inteiro nao-negativo.
CASO 1: x+1=1, dah x=0, entao y=0. (x,y)=(0,0) serve.
CASO 2: x+1=2, dah x=1, entao y=2. (x,y)=(1,2) serve.
CASO 3: x+1 eh divisivel por 4. Entao (x^2+1)=(x+1)(x-1)+2=2 (mod 4)...
Assim, os unicos jeitos de x^2+1 ser potencia de 2 sao:

-- x^2+1=1, isto eh, x=0, que jah foi.
-- x^2+1=2, isto eh, x=1, que jah foi.

Abraco, Ralph


2011/6/21 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com

  1) Prove que se 2+2raiz(28n^2 + 1) é um inteiro,então é um quadrado
 perfeito.

 2) Mostre que não existe um natural d tal que os nùmeros 2d - 1,5d - 1 e
 13d - 1 sejam quadrados perfeitos.

 3) Encontre todas as soluções de 1 + x +x^2 + x^3 = 2^y em inteiros x e y

 Agradeço antecipadamente a quem puder ajudar.

[obm-l] RE: [obm-l] Números Inteiros

[João Maldonado]

Ollá
Fazendo n = (10a+b), temos - (10a+b) - ab = 12
Substituindo de b=0 para b=9 -
b=0  10a = 12b=1  9a = 11b=2  8a = 10b=3  7a = 9b=4  6a = 8b=5  5a 
= 7b=6  4a = 6b=7  3a = 5b=8  2a = 4, solução 28b=9  1a = 3, solucão 39


Logo temos 2 soluções, 28 (28-16 = 12) e 39 (39-27=12)
[]'sJoão
Date: Sun, 29 May 2011 09:35:00 -0300
Subject: [obm-l] Números Inteiros
From: pedromatematic...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br

10ª Questão da Olimpíada Campinense de Matemática - 2011 - Realizada em 28 de 
Maio de 2011.

10. Qual da quantidade de números inteiros positivos de dois algarismos tais 
que a diferença entre o número e o produto seja 12.

-- 


Pedro Jerônimo S. de O.
Júnior

Professor
de Matemática

Geo João Pessoa
– PB 


  

[obm-l] RE: [obm-l] Números Inteiros

[Letícia e Felipe]

10a+b-ab = 12
a(10-b) = 12-b

Então, veja que 10-b | 12-b = 10-b | 12-b -(10-b) = 10-b | 2
Logo, temos 2 possibilidades: b = 9 ou b = 8

Para b = 9, temos a = 3 e para b = 8, a = 2

Portanto, a quantidade de números inteiros positivos de dois algarismos tais 
que a diferença entre o número e o produto seja 12 é 2. 



Date: Sun, 29 May 2011 09:35:00 -0300
Subject: [obm-l] Números Inteiros
From: pedromatematic...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br

10ª Questão da Olimpíada Campinense de Matemática - 2011 - Realizada em 28 de 
Maio de 2011.

10. Qual da quantidade de números inteiros positivos de dois algarismos tais 
que a diferença entre o número e o produto seja 12.

-- 


Pedro Jerônimo S. de O.
Júnior

Professor
de Matemática

Geo João Pessoa
– PB 


  

RE: [obm-l] Números Inteiros

[LEANDRO L RECOVA]

Pedro, A redacao da questao esta correta? O produto que voce se refere e o 
produto dos algarismos? Leandro Sent from my HTC Touch Pro2 on the Now Network 
from Sprint®.


-Original Message-
From: Pedro Júnior
Sent: 5/29/2011 12:35:00 PM
To: obm-l
Subject: [obm-l] Números Inteiros
10ª Questão da Olimpíada Campinense de Matemática - 2011 - Realizada em 28 de 
Maio de 2011.

10. Qual da quantidade de números inteiros positivos de dois algarismos tais 
que a diferença entre o número e o produto seja 12.

--

Pedro Jerônimo S. de O. Júnior

Professor de Matemática

Geo João Pessoa - PB

[obm-l] RE: [obm-l] Números Inteiros

[LEANDRO L RECOVA]

Pedro,
 
Eu pensei assim: Seja x o numero que voce quer determinar. Ja que x tem dois 
algarismos, entao, x  e da forma ab:
 
x = 10a + b, com a,b numeros naturais com a entre 1 e 9 e b entre 0 e 9.
 
Eu fiquei em duvida na redacao da questao e entendi que que voce quer 
determinar a diferenca entre x e o produto dos algarismos a e b. Se nao for 
esse caso, me corrija.
 
Entao, queremos determinar o numero de inteiros positivos de dois algarismos 
tais que x-ab=12. Ou seja,
 
(10a + b) - ab = 12
 
Isolando a, temos: a=(12-b)/(10-b). 
 
Para que isso esteja bem definido temos que ter b  10. Entao, voce tem que 
testar os numeros de 0 a 9 e ver quais te dao um valor de a inteiro. 
 
As possibilidades sao: b=8, a=2 portanto x=28, e b=9, a=3, portanto x=39. Dessa 
forma voce tem somente dois numeros que satisfazem a condicao do problema. 
 
Observe que 28-(8.2)=28-16=12 e 39-(9.3)=39-27=12. 
 
Saudacoes,
 
Leandro Recova
Los Angeles, EUA.

 


Date: Sun, 29 May 2011 09:35:00 -0300
Subject: [obm-l] Números Inteiros
From: pedromatematic...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br

10ª Questão da Olimpíada Campinense de Matemática - 2011 - Realizada em 28 de 
Maio de 2011.

10. Qual da quantidade de números inteiros positivos de dois algarismos tais 
que a diferença entre o número e o produto seja 12.
-- 

Pedro Jerônimo S. de O. Júnior
Professor de Matemática
Geo João Pessoa – PB 

  

[obm-l] Re: [obm-l] Números inteiros

[Ralph Teixeira]

Mexendo, temos:
(an-c)^2=b^2.n
n=((an-c)/b)^2

Se n eh inteiro, entao (an-c)/b eh racional. Portanto, n eh o quadrado
de um racional. Como n eh inteiro, serah quadrado perfeito.

Abraco, Ralph.

2011/1/9 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com:
 Considere a equação (a^2)(x^2) - (b^2 - 2ac)x + c^2 = 0,onde a,b,c são
 números inteiros positivos.
 Se n é um nùmero natural tal que p(n) = 0,mostre que n é um quadrado
 perfeito.


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm -l] Números inteiros

[marcone augusto araújo borges]

Perfeito!Obrigado.
 
 Date: Sun, 9 Jan 2011 16:44:01 -0200
 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Números inteiros
 From: ralp...@gmail.com
 To: obm-l@mat.puc-rio.br
 
 Mexendo, temos:
 (an-c)^2=b^2.n
 n=((an-c)/b)^2
 
 Se n eh inteiro, entao (an-c)/b eh racional. Portanto, n eh o quadrado
 de um racional. Como n eh inteiro, serah quadrado perfeito.
 
 Abraco, Ralph.
 
 2011/1/9 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com:
  Considere a equação (a^2)(x^2) - (b^2 - 2ac)x + c^2 = 0,onde a,b,c são
  números inteiros positivos.
  Se n é um nùmero natural tal que p(n) = 0,mostre que n é um quadrado
  perfeito.
 
 
 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 =
  

Re: [obm-l] Números Inteiros

[Andre Araujo]

Em 08/03/07, Klaus Ferraz [EMAIL PROTECTED] escreveu:


 1)Mostre que para n 1 natural,  *4^n+n^4* não pode ser primo.



Se n for um numero par eh imediato. Se n for um numero impar, entao:

4^n + n^4 = (2^2)^n + n^4 = (2^n)^2 + n^4 = (2^n + n^2)^2 - 2*(2^n)*(n^2) =
(2^n + n^2)^2 - (2^(n+1))*(n^2) =

= {2^n + n^2 + n*2^[(n+1)/2]} {2^n + n^2 - n*2^[(n+1)/2]}.

Assim, 4^n + n^4 naum pode ser primo para n1 natural.


 2) Determine todos os *n *inteiros tais que n^2-8n+1 é um quadrado

perfeito.



n^2 - 8n + 1 = k^2 = n^2 - 8n + (1 - k^2) = 0 = n = 4 + (15 + k^2)^(1/2)
ou n = 4 - (15 + k^2)^(1/2)

15 + k^2 = m^2 = (m+k)(m-k) = 15 = m+k = 15 e m-k = 1 = k=7 ( k=-7 da
mesmo valor de n)
ou m+k = 5 e m-k =3 = k = 1.

Assim, n = 0, 8, -4 e 12.




Agradeço desde já.

__
Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger
http://br.messenger.yahoo.com/

Re: [obm-l] Números Inteiros

[Iuri]

Olha.. nao sei exatamente como vc quer essas demonstracoes, mas sao quase teoricas.Se um numero natural N é par, ele pode ser escrito na forma N=2x, entao N^2 = 4x^2, e para ser par precisa apenas ter um fator 2.
Se N é impar, entao ele nao possui nenhum fator 2, logo o N^2 tambem nao terá fatores 2.Deve haver alguma demonstracao mais formal, mas nao me vem a cabeca no momento...
Em 02/02/06, Bruna Carvalho [EMAIL PROTECTED] escreveu:
a) Prove que o quadrado de um inteiro par é par;b) Prove que o quadrado de um inteiro ímpar é ímpar.

[obm-l] Re: [obm-l] Números Inteiros

[João Luís Gomes Guimarães]

a) se n é par então n=2k e n^2 = 4k^2; como 4k^2 é obviamente 
par, está provado que n^2 é par.

b) se n é ímpar então n=2k + 1, e n^2 = 4k^2 + 4k + 1; como 
4k^2 + 4k é par, então 4k^2 + 4k + 1 é ímpar, então n^2 será ímpar nesse 
caso.

Um abraço,
João.

  - Original Message - 
  From: 
  Bruna Carvalho 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Thursday, February 02, 2006 1:54 
  PM
  Subject: [obm-l] Números Inteiros
  a) Prove que o quadrado de um inteiro par é par;b) 
  Prove que o quadrado de um inteiro ímpar é ímpar. 

[obm-l] Re:[obm-l] Números Inteiros

[Luiz H\. Barbosa]

a) Prove que o quadrado de um inteiro par é par; 
b) Prove que o quadrado de um inteiro ímpar é ímpar.
==
Um número par pode ser escrito da forma 2k , para todo k inteiro e um número ímoar pode ser escrito da forma 2k+1 para todo k inteiro tb.
a)(2k)^2 = 4K^2 que é par
b)(2k+1)= 2(2K^2+2k) +1 que é ímpar.

[]'s
Luiz H. Barbosa 
MSN: [EMAIL PROTECTED]

[obm-l] Re: [obm-l] Números inteiros

[Marcelo Salhab Brogliato]

Olá Bruna,

1) Sejax um inteiro, entao:
x = 3k + r, onde r pode ser 0, 1 ou 2.
se r = 0, temos x = 3k
se r = 1, temos x = 3k + 1
se r = 2, temos x = 3k + 2 = 3k + 3 - 1 = 3(k+1) - 
1

2) a = 2n + 1, b = 2m + 1
a^2 - b^2 = 4(n^2 - m^2) + 4(n - m) = 4(n + m)(n-m) 
+ 4(n-m) = 4(n-m)(n+m+1)
Agora precisamos provar que ou (n-m) é multiplo de 
2, ou (n+m+1) é multiplo de 2.
Suponha que n-m seja impar, sabemos 
que:
par - par = parpar + par = par
impar + impar = parimpar - impar = 
par
par + impar = imparpar - impar = 
impar

Logo, se n-m é impar, n+m tambem é impar, logo, 
n+m+1 é par.. logo, é multiplo de 2.
No caso de n-m ser par, ele é multiplo de 
2.
E esta provado para todos os casos.

Para demonstrar as relacoes par, impar apresentadas 
acima, suponha a e b impares, ou pares, ou um impar e outro par,
e trabalhe com a ideia de que um par é da forma 2k, 
e um impar da forma 2k+1.

3) Suponha o inteiro par, entao: x = 2k, x^2 = 4k^2 
.. ok!
Suponha o inteiro impar, entao: x = (2k+1) = 4k^2 + 
4k + 1 = 4(k^2 + k) + 1.. que é da forma 4k' + 1, onde k' = k^2 + k

Abraços,
Salhab



  - Original Message - 
  From: 
  Bruna Carvalho 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Saturday, January 28, 2006 9:09 
  PM
  Subject: [obm-l] Números inteiros
  1. Mostre que todo inteiro pode ser escrito na forma 
  3k-1, 3k e 3k+1.2. Prove que a diferença dos quadrados de dois 
  inteiros ímpares é divisivel por 8.3. Mostre que o quadrado de um 
  número inteiro é da forma 4k ou 4k+1. 

Re: [obm-l] RE: [obm-l] Números inteiros e probabilidade

[Carlos Maçaranduba]

O que é a funçao Zeta de Riemann e que zeros nao
triviais sao esses??

 --- Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] escreveu: 
Ola Rafael e demais
 colegas desta lista ... OBM-L,
 
 Se P1 e um numero  primo, para cada P1 numeros na
 sequencia 1, 2, ..., N, 
 ... havera um numero
 divisivel  por P1, isto e, havera um numero que tem
 P1 como fator primo. 
 Vale dizer que entre os
 numeros naturais, ao escolhermos um ao acaso, a
 probabilidade de que ele 
 tenha P1 como fator
 primo e 1/P1 
 
 Supondo ( o que e razoavel ) que as escolhas sao
 eventos independentes, 
 entao a probabilidade de
 que os tres numeros escolhidos tenham P1 por fator
 primo e :
 
 (1/P1)*(1/P1)*(1/P1) = 1/(P1^3)
 
 O que nos interssa e justamente o contrario, isto e,
 queremos que os tres 
 nao tenham o fator
 primo P1 em comum. Portanto, a probabilidade e :
 
 1 - [1/(P1^3)]
 
 Devemos repetir este raciocinio para todos os
 numeros primos. A  
 probabilidade que procuramos sera
 portanto :
 
 R = {1 - [1/(2^3)]}*{1 - [1/(3^3)]}*{1 -
 [1/(5^3)]}*...*{1 - [1/(P^3)]}*...
 R = 

{[(2^3)-1]/(2^3)]}*{[(3^3)-1]/(3^3)]}*{[(5^3)-1]/(5^3)]}*...*{[(P^3)-1]/(P^3)]}*...
 1/R 

={(2^3)/[(2^3)-1]}*{(3^3)/[(3^3)-1]}*{(5^3)/[(5^3)-1]}*...*{(P^3)/[(P^3)-1]}*...
 1/R 

={1/[1-(2^(-3))]}*{1/[1-(3^(-3))]}*{1/[1-(5^(-3))]}*...*{1/[1-(P^(-3))]}*...
 
 Observe que cada fator e da forma :
 
 {1/[1-(P^(-3))]}= 1 + (1/P)^3 + (1/P)^6 + (1/P)^9 +
 ... + (1/P)^(3*N) + ...
 
 Olhando com tranquilidade, se convenca de que para
 qualquer natural N, o 
 valor de 1/R contem
 1/(N^3), isto e :
 
 1/R = 1 + (1/2)^3 + (1/3)^3 + (1/4)^3 + ... +
 (1/N)^3 + ...
 
 Esta serie e evidentemente convergente. Todavia, se
 voce propor o problema 
 de se determinar
 o seu valor, muito provavelmente, nenhum matematico
 do mundo sabera 
 responder. Euler e Gauss
 se ocuparam dela, sem sucesso. O valor simbolico e
  ZETA(3), onde ZETA e a 
 famoso funcao
 de Riemann sobre a qual  ninguem sabe  provar se
 todos os seus zeros 
 nao-triviais tem realmete
 parte real igual a 1/2.
 
 Portanto :
 
 1/R = ZETA(3) = R = 1/ZETA(3)
 
 Observe que se fossem escolhidos 2 numeros, teriamos
 R=1/ZETA(2)=6/(pi^2). 
 Esta e tambem
 a probabilidade de se escolher um numero natural de
 forma que ele nao tenha 
 fator primo duplicado
 ( alguem ja provou isso aqui nesta lista ). Dai eu
 concluo que para N 
 numeros bastaria saber a
 probabilidade do numero nao ter fator primo elevado
 a N.
 
 Um Abraco
 Paulo Santa Rita
 1,2154,010304
 
 
 
 
 
 From: Rafael [EMAIL PROTECTED]
 Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
 To: OBM-L [EMAIL PROTECTED]
 Subject: [obm-l] Números inteiros e probabilidade
 Date: Sat, 28 Feb 2004 18:51:31 -0300
 
 Boa noite, pessoal.
 
 Por esses dias, deparei-me com o seguinte problema:
 
 Sejam três inteiros escolhidos ao acaso, a
 probabilidade de que não haja
 fator comum que os divida é...?
 
 Não imagino como isso poderia ser calculado. Alguém
 tem alguma idéia?
 
 
 Obrigado,
 
 Rafael de A. Sampaio
 
 

_
 MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. 
 http://www.hotmail.com
 

=
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e
 usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html

= 

__

Yahoo! Mail - O melhor e-mail do Brasil! Abra sua conta agora:
http://br.yahoo.com/info/mail.html
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Números inteiros e probabilidade

[Nicolau C. Saldanha]

On Sat, Feb 28, 2004 at 06:51:31PM -0300, Rafael wrote:
 Sejam três inteiros escolhidos ao acaso, a probabilidade de que não haja
 fator comum que os divida é...?

O problema se generaliza naturalmente para n inteiros.
A resposta no caso geral é 1/zeta(n) e no caso que você enunciou
é 1/zeta(3) ~=  0.8319073727. Aqui
zeta(s) = 1 + 1/2^s + 1/3^s + 1/4^s + 1/5^s + ...
é a função zeta de Riemann. Acredita-se que zeta(3) é um número irracional
que não admite nenhuma expressão simples em termos de outras constantes
como pi e e, mas tanto quanto eu saiba, ninguém sabe provar nada disso.
Por outro lado zeta(2) = pi^2/6, zeta(4) = pi^4/90, zeta(6) = pi^6/945
e zeta(2n) é sempre um múltiplo racional de pi^(2n).

Antes de mais nada vamos ter certeza de que concordamos com a interpretação
do problema. Definimos Xn, um subconjunto de Z^n, da seguinte maneira:
(a1,a2,...,an) pertence a Xn se e somente se mdc(a1,a2,...,an) = 1, i.e.,
se e somente se o único inteiro positivo d para os qual a1/d, a2/d, ... an/d
são todos inteiros é 1. Queremos provar que a densidade de Xn é 1/zeta(n).
A densidade de um subconjunto Y de Z^n é definida pelo limite:

densidade(Y) = lim_{r - infinito} |Y interseção B(r)|/|Z^n interseção B(r)|

onde B(r) é a bola de raio r centrada no origem. Note que a densidade pode
não existir: numa solução completa do problema, precisaríamos provar que
a densidade de Xn existe para todo n.

Eu não vou provar que a densidade existe mas vou provar que se ela existe
ela vale 1/zeta(n). Defina dXn = { dv, v em Xn } = { v em Z^n, mdc(v) = d }.
Assim dXn é semelhante a Xn, mas expandido por um fator d. Não é difícil
ver que densidade(dXn) = (1/d^n) * densidade(Xn). Mas Zn - {0}, que tem
densidade 1, é a união disjunta dos dXn, d um inteiro positivo.
Assim
1 = densidade(Z^n - {0}) = densidade(Xn) + densidade(2Xn) + densidade(3Xn) +...
= (1 + 1/2^n + 1/3^n + ... ) * densidade(Xn) = zeta(n) * densidade(Xn)
ou
densidade(Xn) = 1/zeta(n).

[]s, N.



=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] RE: [obm-l] Números inteiros e probabilidade

[Paulo Santa Rita]

Ola Rafael e demais
colegas desta lista ... OBM-L,
Se P1 e um numero  primo, para cada P1 numeros na sequencia 1, 2, ..., N, 
... havera um numero
divisivel  por P1, isto e, havera um numero que tem P1 como fator primo. 
Vale dizer que entre os
numeros naturais, ao escolhermos um ao acaso, a probabilidade de que ele 
tenha P1 como fator
primo e 1/P1 

Supondo ( o que e razoavel ) que as escolhas sao eventos independentes, 
entao a probabilidade de
que os tres numeros escolhidos tenham P1 por fator primo e :

(1/P1)*(1/P1)*(1/P1) = 1/(P1^3)

O que nos interssa e justamente o contrario, isto e, queremos que os tres 
nao tenham o fator
primo P1 em comum. Portanto, a probabilidade e :

1 - [1/(P1^3)]

Devemos repetir este raciocinio para todos os numeros primos. A  
probabilidade que procuramos sera
portanto :

R = {1 - [1/(2^3)]}*{1 - [1/(3^3)]}*{1 - [1/(5^3)]}*...*{1 - [1/(P^3)]}*...
R = 
{[(2^3)-1]/(2^3)]}*{[(3^3)-1]/(3^3)]}*{[(5^3)-1]/(5^3)]}*...*{[(P^3)-1]/(P^3)]}*...
1/R 
={(2^3)/[(2^3)-1]}*{(3^3)/[(3^3)-1]}*{(5^3)/[(5^3)-1]}*...*{(P^3)/[(P^3)-1]}*...
1/R 
={1/[1-(2^(-3))]}*{1/[1-(3^(-3))]}*{1/[1-(5^(-3))]}*...*{1/[1-(P^(-3))]}*...

Observe que cada fator e da forma :

{1/[1-(P^(-3))]}= 1 + (1/P)^3 + (1/P)^6 + (1/P)^9 + ... + (1/P)^(3*N) + ...

Olhando com tranquilidade, se convenca de que para qualquer natural N, o 
valor de 1/R contem
1/(N^3), isto e :

1/R = 1 + (1/2)^3 + (1/3)^3 + (1/4)^3 + ... + (1/N)^3 + ...

Esta serie e evidentemente convergente. Todavia, se voce propor o problema 
de se determinar
o seu valor, muito provavelmente, nenhum matematico do mundo sabera 
responder. Euler e Gauss
se ocuparam dela, sem sucesso. O valor simbolico e  ZETA(3), onde ZETA e a 
famoso funcao
de Riemann sobre a qual  ninguem sabe  provar se todos os seus zeros 
nao-triviais tem realmete
parte real igual a 1/2.

Portanto :

1/R = ZETA(3) = R = 1/ZETA(3)

Observe que se fossem escolhidos 2 numeros, teriamos R=1/ZETA(2)=6/(pi^2). 
Esta e tambem
a probabilidade de se escolher um numero natural de forma que ele nao tenha 
fator primo duplicado
( alguem ja provou isso aqui nesta lista ). Dai eu concluo que para N 
numeros bastaria saber a
probabilidade do numero nao ter fator primo elevado a N.

Um Abraco
Paulo Santa Rita
1,2154,010304




From: Rafael [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: OBM-L [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] Números inteiros e probabilidade
Date: Sat, 28 Feb 2004 18:51:31 -0300
Boa noite, pessoal.

Por esses dias, deparei-me com o seguinte problema:

Sejam três inteiros escolhidos ao acaso, a probabilidade de que não haja
fator comum que os divida é...?
Não imagino como isso poderia ser calculado. Alguém tem alguma idéia?

Obrigado,

Rafael de A. Sampaio

_
MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil.  http://www.hotmail.com
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=