[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Análise Combinatória

[Marcos Xavier]

Obrigado Hugo. Excelente. Gostei muito da sua solução.
Abç.

Date: Thu, 18 Feb 2016 13:00:19 -0200
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Análise Combinatória
From: hfernande...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br

Seja A = { x | x é anagrama de PIRAMIDAL começando por PIR, nessa ordem }
e B = { x | x é anagrama de PIRAMIDAL cujas últimas 4 letras são A, D, I, L, 
não necessariamente nessa ordem }

Queremos calcular n(A U B) = n(A) + n(B) - n(A interseção B)

Calculando, temos: n(A) = P 6,2 = 6!/2! = 360 (fixo PIR e permuto AMIDAL, com 
repetição dos 2 A's)
n(B) = P4 * P5 = 4! * 5! = 120 * 24 = 2880 ( permuto PIRAM nas cinco primeiras 
posições E permuto IDAL nas 4 últimas)
n(A interseção B) = P2 * P4 = 2! * 4! = 48 ( fixo PIR, permuto AM nas duas 
posições seguintes E IDAL nas 4 últimas)

Logo, n(A U B) = 2880 + 360 - 48 = 3192

Att.
Hugo Fernando Marques FernandesMinistro Leigo da Igreja Episcopal Anglicana do 
Brasil (IEAB)Diocese Anglicana do RJ - DARJCatedral do Redentor


Em 18 de fevereiro de 2016 12:09, Marcos Xavier  
escreveu:



Prezados amigos, preciso de ajuda para resolver esse problema.
Quantos são os anagramas da palavra PIRAMIDAL que começam por PIR, nessa ordem, 
ou cujas últimas 4 letras são A, D, I, L, não necessariamente nessa ordem?
Gabarito: 3192.
Obrigado pela ajuda.
Marcos X. 

  

Re: [obm-l] Re: [obm-l] Análise combinatória

[Gabriel Tostes]

Sim... Dividi em casos pra "tirar" a permutacao circular. O 136 de cada caso 
significa 136 modos de organizar as Cadeiras em "vazias" e "com Pessoas". Temos 
5! Maneiras de distribuir as Pessoas nelas.
> On Dec 10, 2015, at 17:34, Vanderlei Nemitz  wrote:
> 
> Gabriel:
> É justamente esse último 5! que eu tenho dúvidas. A permutação é 
> circular, certo? Mesmo assim multiplicamos por 5!? Sim, percebi o erro de 
> digitação, mas isso não é o principal. 
> 
> Em 10 de dezembro de 2015 17:23, Gabriel Tostes  escreveu:
>> A respostas 45360 está correta... Numere as cadeiras de 1 a 15 e dívida em 
>> 3 em casos:Â 
>> 1-> 15 ocupada
>> 2-> 1 ocupada (análogo ao 1º)
>> 3-> 1 e 15 vazias.
>> 
>> No primeiro caso temos que 1 e 14 devem estar vazias, logo, temos 4 pessoas 
>> para distribuir nas 12 cadeiras restantes... 
>> Como cada pessoa deve ocupar uma dessas cadeiras restam 8 vazias pra 
>> distribuir entre as pessoas, mas entre duas pessoas deve ter ao menos 
>> cadeira vazia, então -> 9!/5!x4!=136
>> No terceiro caso temos 13 cadeiras pra colocar 5 pessoas, logo 8 vazias, mas 
>> entre duas pessoas devemos ter uma cadeira vazia pelo menos uma vazia -> 
>> 9!/4!x5!=136
>> Total-> (2x136+136)x5!=45360
>> 
>>> On Dec 10, 2015, at 16:45, Vanderlei Nemitz  wrote:
>>> 
>>> Pessoal, gostaria de uma ajuda com essa questão. Vi em um site a 
>>> resposta 45360, mas não concordo. Encontrei um valor bem menor. Obrigado!
>>> 
>>> Vanderlei
>>> 
>>> Cinco pessoas devem se sentar em 15 cadeiras colocadas em torno de uma mesa 
>>> circular. De quantos modos isso pode ser feito se não deve haver 
>>> ocupação simultânea de duas cadeiras adjacentes? 
>>> 
>>> -- 
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>> 
>> -- 
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
>> acredita-se estar livre de perigo.
> 
> 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Análise combinatória

[Vanderlei Nemitz]

Mas então é levado em consideração a posição relativa das pessoas e das
cadeiras vazias? Por exemplo, se um pessoa A está nas mesmas posições
relativas em relação às pessoas B, C, D, E, mas ao seu lados estão outras
cadeiras vazias, a distribuição é considerada diferente? Pois caso não
seja, pensei que deveríamos multiplicar por (5 - 1)! = 24. Claro que meu
raciocínio pode estar falho!

Em 10 de dezembro de 2015 17:45, Gabriel Tostes 
escreveu:

> Sim... Dividi em casos pra "tirar" a permutacao circular. O 136 de cada
> caso significa 136 modos de organizar as Cadeiras em "vazias" e "com
> Pessoas". Temos 5! Maneiras de distribuir as Pessoas nelas.
> On Dec 10, 2015, at 17:34, Vanderlei Nemitz  wrote:
>
> Gabriel:
> É justamente esse último 5! que eu tenho dúvidas. A permutação é
> circular, certo? Mesmo assim multiplicamos por 5!? Sim, percebi o erro de
> digitação, mas isso não é o principal.Â
>
> Em 10 de dezembro de 2015 17:23, Gabriel Tostes 
> escreveu:
>
>> A respostas 45360 está correta... Numere as cadeiras de 1 a 15 e dívida
>> em 3 em casos:Â
>> 1-> 15 ocupada
>> 2-> 1 ocupada (análogo ao 1º)
>> 3-> 1 e 15 vazias.
>>
>> No primeiro caso temos que 1 e 14 devem estar vazias, logo, temos 4
>> pessoas para distribuir nas 12 cadeiras restantes...Â
>> Como cada pessoa deve ocupar uma dessas cadeiras restam 8 vazias pra
>> distribuir entre as pessoas, mas entre duas pessoas deve ter ao menos
>> cadeira vazia, então -> 9!/5!x4!=136
>> No terceiro caso temos 13 cadeiras pra colocar 5 pessoas, logo 8 vazias,
>> mas entre duas pessoas devemos ter uma cadeira vazia pelo menos uma vazia
>> -> 9!/4!x5!=136
>> Total-> (2x136+136)x5!=45360
>>
>> On Dec 10, 2015, at 16:45, Vanderlei Nemitz 
>> wrote:
>>
>> Pessoal, gostaria de uma ajuda com essa questão. Vi em um site a
>> resposta 45360, mas não concordo. Encontrei um valor bem menor. Obrigado!
>>
>> Vanderlei
>>
>> *Cinco pessoas devem se sentar em 15 cadeiras colocadas em torno de uma
>> mesa circular. De quantos modos isso pode ser feito se não deve haver
>> ocupação simultânea de duas cadeiras adjacentes? *
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
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> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Análise combinatória

[Artur Costa Steiner]

Muito obrigado a todos, excelentes respostas!

Artur Costa Steiner

Em 12/07/2013, às 09:34, Marcos Martinelli mffmartine...@gmail.com escreveu:

 Blza. Entendi agora. Obrigado.
 
 
 Em 12 de julho de 2013 09:29, Rogerio Ponce abrlw...@gmail.com escreveu:
 Ola' Marcos,
 eu escrevi errado.
 Como os blocos representam 4 elementos, que ocupam 7 casas, e' como se 
 houvesse 93 casas livres e 4 ocupadas, com um total de 100-(2+2+2+1)+4=97 
 casas.
 Ou seja, existem binom(97,4) formas de distribuirmos os 4 blocos dentro de 
 [1,100].
 
 []'s
 Rogerio Ponce
 
 
 2013/7/12 Marcos Martinelli mffmartine...@gmail.com
 Só não entendi essa parte: 100-(2+2+2+1)=97.
 
 
 Em 12 de julho de 2013 09:08, Marcos Martinelli mffmartine...@gmail.com 
 escreveu:
 Legal.
 
 
 Em 12 de julho de 2013 09:02, Rogerio Ponce abrlw...@gmail.com escreveu:
 
 Ola' Artur,
 como queremos que a distancia minima entre os elementos seja de pelo 
 menos 2, podemos imaginar que devemos distribuir , dentro do segmento 
 [0,100], 3 blocos com comprimento 2 , e um bloco com comprimento 1 (o 
 bloco mais 'a direita).
 Como existem 100-(2+2+2+1)=97 vagas, o resultado vale binom(97,4)=3464840.
 
 []'s
 Rogerio Ponce
 
 
 2013/7/11 Artur Costa Steiner steinerar...@gmail.com
 Não consegui achar uma forma de resolver isto sem recorrer a um 
 computador.
 
 Com os inteiros de 1 a 100, quantos conjuntos de 4 elementos podemos 
 formar de modo que a diferença positiva entre dois elementos do 
 conjunto seja maior ou igual a 2?
 
 Abraços.
 
 Artur Costa Steiner
 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
  acredita-se estar livre de perigo.
 
 
 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 =
 
 
 -- 
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
 acredita-se estar livre de perigo.
 
 
 -- 
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
 acredita-se estar livre de perigo.
 
 
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 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
 acredita-se estar livre de perigo.
 
 
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 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
 acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Análise combinatória

[Lucas Prado Melo]

2013/7/12 Marcos Martinelli mffmartine...@gmail.com

 Seja {A_n} a quantidade de seqüências com 4 números escolhidos de 1 a n
 tais que a diferença positiva seja maior ou igual a 2 (n=4).

 Seja {B_n} a quantidade de seqüências com 3 números escolhidos de 1 a n
 tais que a diferença positiva seja maior ou igual a 2 (n=3).

 Seja {C_n} a quantidade de seqüências com 2 números escolhidos de 1 a n
 tais que a diferença positiva seja maior ou igual a 2 (n=2).

 Para sabermos quanto vale A_(n+1), devemos dividir nossa contagem em duas
 partes:

 i) escolher 4 números dentre os que vão de 1 a n tais que a diferença
 positiva seja maior ou igual a 2. Isto pode ser feito de A_n maneiras.

 ii) escolher o (n+1) como um número obrigatório a constar no nosso
 conjunto de 4. Após isso, escolher 3 números entre os que vão de 1 a (n-1),
 cuja diferença positiva seja maior ou igual a 2. Isto pode ser feito de
 B_(n-1) maneiras.

 Podemos escrever: A_(n+1) = A_n + B_(n-1) (n=4).

 Analogamente teremos: B_(n+1) = B_n + C_(n-1) (n=3).

 Pensando de maneira similar, temos também: C_(n+1) = C_n + (n-1) (n=2).

 Temos três séries telescópicas. Resolvendo e lembrando que a soma das
 colunas do triângulo de Pascal é o número binomial localizado na diagonal à
 direita do último elemento do somatório, obteremos:

 C_n = binomial (n-1,2) = (n-1).(n-2)/2!

 B_n = binomial (n-2,3) = (n-2)(n-3)(n-4)/3!

 A_n = binomial (n-3,4) = (n-3)(n-4)(n-5)(n-6)/4!


Interessante a solução, ela me faz pensar o seguinte:
há uma bijeção entre uma escolha (x1, x2, x3, x4) em números de 1 a n com a
restrição, e uma escolha (x1, x2-1, x3-2, x4-3) para números de 1 a n-3 sem
a restrição. Como este último pode ser escolhido de binomial(n-3, 4)
formas, então o primeiro também poderia.

-- 
[]'s
Lucas

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Análise combinatória

[Lucas Prado Melo]

2013/7/12 Marcos Martinelli mffmartine...@gmail.com

 Mas vc conseguiu mostrar que existe mesmo a bijeção?


Um representante do primeiro tera um único representante no segundo e
vice-versa pois só é feita uma subtração/soma.

A questão é somente se as restrições são respeitadas.

x2-1  x1 sse x2-x1 = 2
x3-2  x2-1 sse x3-x2 = 2
x4-3  x3-2 sse x4-x3 = 2

x4 = n sse x4-3 = n-3
x1 = 1 sse x1 = 1

-- 
[]'s
Lucas

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Análise combinatória

[Marcos Martinelli]

Só não entendi essa parte: 100-(2+2+2+1)=97.


Em 12 de julho de 2013 09:08, Marcos Martinelli
mffmartine...@gmail.comescreveu:

 Legal.


 Em 12 de julho de 2013 09:02, Rogerio Ponce abrlw...@gmail.com escreveu:

 Ola' Artur,
 como queremos que a distancia minima entre os elementos seja de pelo
 menos 2, podemos imaginar que devemos distribuir , dentro do segmento
 [0,100], 3 blocos com comprimento 2 , e um bloco com comprimento 1 (o
 bloco mais 'a direita).
 Como existem 100-(2+2+2+1)=97 vagas, o resultado vale binom(97,4)=3464840.

 []'s
 Rogerio Ponce


 2013/7/11 Artur Costa Steiner steinerar...@gmail.com

 Não consegui achar uma forma de resolver isto sem recorrer a um
 computador.

 Com os inteiros de 1 a 100, quantos conjuntos de 4 elementos podemos
 formar de modo que a diferença positiva entre dois elementos do conjunto
 seja maior ou igual a 2?

 Abraços.

 Artur Costa Steiner
 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
  acredita-se estar livre de perigo.


 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 =



 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.




-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Análise combinatória

[Rogerio Ponce]

Ola' Marcos,
eu escrevi errado.
Como os blocos representam 4 elementos, que ocupam 7 casas, e' como se
houvesse 93 casas livres e 4 ocupadas, com um total de 100-(2+2+2+1)+4=97
casas.
Ou seja, existem binom(97,4) formas de distribuirmos os 4 blocos dentro de
[1,100].

[]'s
Rogerio Ponce


2013/7/12 Marcos Martinelli mffmartine...@gmail.com

 Só não entendi essa parte: 100-(2+2+2+1)=97.


 Em 12 de julho de 2013 09:08, Marcos Martinelli 
 mffmartine...@gmail.comescreveu:

 Legal.


 Em 12 de julho de 2013 09:02, Rogerio Ponce abrlw...@gmail.comescreveu:

 Ola' Artur,
 como queremos que a distancia minima entre os elementos seja de pelo
 menos 2, podemos imaginar que devemos distribuir , dentro do segmento
 [0,100], 3 blocos com comprimento 2 , e um bloco com comprimento 1 (o
 bloco mais 'a direita).
 Como existem 100-(2+2+2+1)=97 vagas, o resultado vale
 binom(97,4)=3464840.

 []'s
 Rogerio Ponce


 2013/7/11 Artur Costa Steiner steinerar...@gmail.com

 Não consegui achar uma forma de resolver isto sem recorrer a um
 computador.

 Com os inteiros de 1 a 100, quantos conjuntos de 4 elementos podemos
 formar de modo que a diferença positiva entre dois elementos do conjunto
 seja maior ou igual a 2?

 Abraços.

 Artur Costa Steiner
 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
  acredita-se estar livre de perigo.



 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html

 =



 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.




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 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Análise Combinatória

[marcone augusto araújo borges]

Onde estou errando?n(intersecção de dois) = ?AA e BB por exemplo.Escolho 4 
posições (para essas 4 letras) entre 10 possíveis:C10,4 = 210Para cada uma 
delas vale AABB ou BBAADepois faço 6!/2^3Dai encontro 210.2.6!/2^3  8!/2^3
  Date: Sun, 24 Feb 2013 17:35:56 -0800
 From: cysh...@yahoo.com
 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Análise Combinatória
 To: obm-l@mat.puc-rio.br
 
 Inclusão-exclusão. Sendo A, B, C, D, E os conjuntos dos anagramas com As, Bs, 
 Cs, Ds, Es seguidos, temos que calcular 10!/2^5 - n(A U B U C U D U E). Mas 
 n(A) = n(B) = ... = n(E) = 9!/2^4, n(interseção de dois) = 8!/2^3, 
 n(interseção de três) = 7!/2^2, n(interseção de quatro) = 6!/2 e n(interseção 
 dos cinco) = 5!. Aí o total é 10!/2^5 - 5.9!/2^4 + 10.8!/2^3 - 10.7!/2^2 + 
 5.6!/2 - 5!, e aí é fazer a conta. Não acho que haja uma fórmula bonitinha no 
 caso geral, como é de praxe nos problemas de inclusão-exclusão.
 
 []'s
 Shine
 
 
 
 
 
 From: Artur Costa Steiner steinerar...@gmail.com
 To: obm-l@mat.puc-rio.br obm-l@mat.puc-rio.br 
 Sent: Sunday, February 24, 2013 8:31 PM
 Subject: Re: [obm-l] Análise Combinatória
 
 
 Acho que podemos raciocinar assim:
 
 Para a 1a posição, a partir da esquerda, temos 5 opções de letra. Escolhida 
 uma, restam 4 possibilidades para a segunda posição. E assim, até a 10a 
 posição. Se não cometi nenhum engano, vai haver 5 x 4^9 modos atendendo ao 
 desejado.
 
 Abraços
 
 Artur Costa Steiner
 
 Em 24/02/2013, às 19:27, Anderson Weber anderswe...@bol.com.br escreveu:
 
 
 
 Boa noite, amigos.
  
 Tem-se 10 letras: AA BB CC DD EE.
 De quantos modos podemos permutá-las, tal que não 
 haja duas letras consecutivas iguais?
  
  
 Um abraço.
  
  
 Anderson
 
 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 =
  

[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Análise Combinatória

[Carlos Yuzo Shine]

Desculpa, eu não fui muito claro na hora de fazer as contas (eu devia estar com 
pressa na hora que escrevi o outro e-mail). Aí vai:

Para calcular a interseção de dois, ou seja, as sequências com AA e BB, trate 
AA e BB como blocos. Aí precisamos calcular a quantidade de anagramas com 8 
símbolos (dois Cs, dois Ds, dois Es, o bloco AA e o bloco BB). Como três 
símbolos repetem, a quantidade é 8!/2^3. Os outros são parecidos.


O que você fez, escolher 4 posições entre 10, pode fazer com que os As e/ou os 
Bs fiquem separados. Por exemplo, se você escolher as posições 1, 2, 4 e 6 e 
AABB, sua sequência fica, inicialmente, AA_B_B_,_,_,_. Os As ficaram juntos, 
mas os Bs não. Outro exemplo é _B_B_,_A_A_. Por isso o seu resultado é maior: 
você está contando sequências a mais.

[]'s
Shine


From: marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br 
Sent: Monday, February 25, 2013 11:51 AM
Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Análise Combinatória



Onde estou errando?
n(intersecção de dois) = ?
AA e BB por exemplo.
Escolho 4 posições (para essas 4 letras) entre 10 possíveis:C10,4 = 210
Para cada uma delas vale AABB ou BBAA
Depois faço 6!/2^3
Dai encontro 210.2.6!/2^3  8!/2^3


 Date: Sun, 24 Feb 2013 17:35:56 -0800
 From: cysh...@yahoo.com
 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Análise Combinatória
 To: obm-l@mat.puc-rio.br
 
 Inclusão-exclusão. Sendo A, B, C, D, E os conjuntos dos anagramas com As, Bs, 
 Cs, Ds, Es seguidos, temos que calcular 10!/2^5 - n(A U B U C U D U E). Mas 
 n(A) = n(B) = ... = n(E) = 9!/2^4, n(interseção de dois) = 8!/2^3, 
 n(interseção de três) = 7!/2^2, n(interseção de quatro) = 6!/2 e n(interseção 
 dos cinco) = 5!. Aí o total é 10!/2^5 - 5.9!/2^4 + 10.8!/2^3 - 10.7!/2^2 + 
 5.6!/2 - 5!, e aí é fazer a conta. Não acho que haja uma fórmula bonitinha no 
 caso geral, como é de praxe nos problemas de inclusão-exclusão.
 
 []'s
 Shine
 
 
 
 
 
 From: Artur Costa Steiner steinerar...@gmail.com
 To: obm-l@mat.puc-rio.br obm-l@mat.puc-rio.br 
 Sent: Sunday, February 24, 2013 8:31 PM
 Subject: Re: [obm-l] Análise Combinatória
 
 
 Acho que podemos raciocinar assim:
 
 Para a 1a posição, a partir da esquerda, temos 5 opções de letra. Escolhida 
 uma, restam 4 possibilidades para a segunda posição. E assim, até a 10a 
 posição. Se não cometi nenhum engano, vai haver 5 x 4^9 modos atendendo ao 
 desejado.
 
 Abraços
 
 Artur Costa Steiner
 
 Em 24/02/2013, às 19:27, Anderson Weber anderswe...@bol.com.br escreveu:
 
 
 
 Boa noite, amigos.
  
 Tem-se 10 letras: AA BB CC DD EE.
 De quantos modos podemos permutá-las, tal que não 
 haja duas letras consecutivas iguais?
  
  
 Um abraço.
  
  
 Anderson
 
 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 = 

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Análise Combinatória - mais um

[João Maldonado]

Valeu Hugo, 
Mas só pra ver se eu entendi,  se fossem as  soluções inteiras = -1,  seria 
C(u+ 2w-1, w-1)?
[]'sJoão

Date: Tue, 13 Sep 2011 15:55:09 -0300
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Análise Combinatória - mais um
From: hfernande...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br

Seja a equação linear com coeficientes unitários x1 + x2 +...+ xw  = u
Escrevemos: 1 + 1 + 1 + ... + 1 = u (u parcelas iguais a 1).
Cada solução inteira e positiva dessa equação corresponde a escolha de w-1 
sinais mais dentre o u-1 existentes na igualdade acima.

Por exemplo, a solução x1=x2=x3=...=x(w-1)=1 e xw=u-w+1 pode ser vista como:
1 + 1 + 1 +  ... + 1 +1 +1... + 1 = u (onde escolhemos os primeiros w-1 sinais 
de mais)

Ora, podemos fazer isso de C(u-1,w-1) maneiras distintas.
Logo, existem C(u-1,w-1) soluções inteiras e positivas da equação.
Para soluções inteiras não negativas, fazemos, para cada i variando de 1 a w

yi = xi-1
Agora, a equação fica: y1 - 1 + y2 - 1 +...+ yw - 1  = uDaí, y1 + y2 + ... + yw 
= u+w
Note que cada solução inteira positiva da equação acima corresponde uma solução 
não negativa da equação original.

Mas já sabemos que a equação acima possui C(u+w-1, w-1) soluções inteiras 
positivas.
Assim, a equação original possui C(u+w-1, w-1) soluções inteiras não negativas.

Não sei se chega a ser uma demonstração o que escrevi, mas é uma boa maneira de 
ver essas fórmulas.
Abraços.
Hugo.
Em 12 de setembro de 2011 17:11, João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com 
escreveu:






 Olá, 
Queria saber como provar a que  a  quantidade de soluções inteiras positivas  
de um sistema  com w variáveis da formax1 + x2 +...+ xw  = ué  C(u-1, w-1)

E que a quantidade  de soluções inteiras  não negativas é
C(w+u-1, w-1)

[]'sJoão  

  

[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Análise Combinatória - mais um

[Hugo Fernando Marques Fernandes]

Isso mesmo.
Nesse caso, você aplicaria mudança de variáveis: yi = xi-2

Em geral, para soluções inteiras maiores ou iguais a p, você deve aplicar a
mudança de variável yi=xi+p-1

Abraços.

Hugo

Em 13 de setembro de 2011 19:55, João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com
 escreveu:




 Valeu Hugo,

 Mas só pra ver se eu entendi,  se fossem as  soluções inteiras = -1,
  seria C(u+ 2w-1, w-1)?

 []'s
 João

 --
 Date: Tue, 13 Sep 2011 15:55:09 -0300
 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Análise Combinatória - mais um
 From: hfernande...@gmail.com
 To: obm-l@mat.puc-rio.br


 Seja a equação linear com coeficientes unitários x1 + x2 +...+ xw  = u

 Escrevemos: 1 + 1 + 1 + ... + 1 = u (u parcelas iguais a 1).

 Cada solução inteira e positiva dessa equação corresponde a escolha de w-1
 sinais mais dentre o u-1 existentes na igualdade acima.

 Por exemplo, a solução x1=x2=x3=...=x(w-1)=1 e xw=u-w+1 pode ser vista
 como:

 1 *+* 1 *+* 1 *+*  ... *+* 1 +1 +1... + 1 = u (onde escolhemos os
 primeiros w-1 sinais de mais)

 Ora, podemos fazer isso de C(u-1,w-1) maneiras distintas.

 Logo, existem C(u-1,w-1) soluções inteiras e positivas da equação.

 Para soluções inteiras não negativas, fazemos, para cada i variando de 1 a
 w

 yi = xi-1

 Agora, a equação fica: y1 - 1 + y2 - 1 +...+ yw - 1  = u
 Daí, y1 + y2 + ... + yw = u+w

 Note que cada solução inteira positiva da equação acima corresponde uma
 solução não negativa da equação original.

 Mas já sabemos que a equação acima possui C(u+w-1, w-1) soluções inteiras
 positivas.

 Assim, a equação original possui C(u+w-1, w-1) soluções inteiras não
 negativas.

 Não sei se chega a ser uma demonstração o que escrevi, mas é uma boa
 maneira de ver essas fórmulas.

 Abraços.

 Hugo.

 Em 12 de setembro de 2011 17:11, João Maldonado 
 joao_maldona...@hotmail.com escreveu:


 Olá,

 Queria saber como provar a que  a  quantidade de soluções inteiras
 positivas  de um sistema  com w variáveis da forma
 x1 + x2 +...+ xw  = u
 é  C(u-1, w-1)

 E que a quantidade  de soluções inteiras  não negativas é

 C(w+u-1, w-1)


 []'s
 João

[obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Análise Combinatória e Probabilidade

[João Maldonado]

Na verdade vale para qualquer número E Z

Um número pode ser da forma 100k, 100k+-1, 100k+-2, ...100k+-48, 100 k+-49, 
100k+50podemos escolher somente 1 número de cada forma 100k +- n, senão a soma  
é divisível por 100. temos 51  maneiras de fazer isso, por isso tempos que com 
52 números pelo menos 1 vai ter soma ou subtração divisível por 100.
Já para a questão 4
A primeira urna não importa.
Para p=2, temos 1.(1/n)Para p = 3, temos 1. (n-1)/n.2/nPara p =  4, temos 
1.(n-1)/n.(n-2)/n.3/nPara p =  p, temos 1.(n-1)/n(n-2)/n...(n-p+2)/n.p/n = 
[(n-1)!/ (n-p+1)!]  (p-1)/n^ (p-1)


From: marconeborge...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Análise Combinatória e Probabilidade
Date: Sat, 23 Jul 2011 18:21:06 +








Sobre a questao 1,acho que tenho uma ideia razoavel,mas pensando apenas em 
inteiros POSITIVOS.

Na divisao de um inteiro positivo por 100 ha 100 restos 
possiveis(0,1,2...,98,99)
Se vc subtrai dois numeros com restos iguais, o resultado tem resto zero e é 
divisivel por 100, e a questao esta resolvida

Entao suponha 52 numeros que deixam restos diferentes quando divididos por 100

Acontece que se vc pega numeros que deixam restos com soma 100(43 e 57,por 
exemplo),a soma deses numeros dá um multiplo de 100,ai acaba.Caso contrario, 
veja que o o resto 1 exclui o resto 99,o resto 2 exclui o resto 98...e cada um 
dos restos possiveis exclui um unico resto e dois restos distintos excluem 
restos distintos

Dai,para  escolher 52  restos diferentes vc tem que eliminar outros 52,o que é 
impossivel,ja que so ha 100 restos possiveis.

Se alguem puder esclarecer melhor,agradeço muito

Abraços.

 

 

 

 

 




From: mat.mo...@gmail.com
Date: Thu, 21 Jul 2011 20:51:24 -0300
Subject: [obm-l] Análise Combinatória e Probabilidade
To: obm-l@mat.puc-rio.br

1) Prove que em qualquer conjunto de 52 inteiros existe um par de inteiros cuja 
soma ou diferença é divisível por 100.

2) Prove que dado qualquer conjunto de dez inteiros positivos de dois dígitos 
cada, é possível obter dois subconjuntos disjuntos cujos elementos têm a mesma 
soma.

3) Sejam x um número real e n um inteiro positivo. Mostre que entre os números 
x, 2x, 3x, . . ., (n – 1)x, existe um cuja distância a algum inteiro é, no 
máximo, 1/n.

4) Tem-se n urnas. Bolas são colocadas ao acaso nas urnas, uma de cada vez, até 
que alguma urna receba duas bolas. Qual é a probabilidade de colocarmos 
exatamente p bolas nas urnas?

  

Re: [obm-l] Re: [obm-l] Análise Combinatória : dúvida...

[cleber vieira]

Valeu Gustavo pela atenção!

Gustavo Duarte [EMAIL PROTECTED] escreveu:   Acho que está certo, eu tb 
resolveria assim  !!
- Original Message - 
   From:clebervieira 
   To: obm-l@mat.puc-rio.br 
   Sent: Wednesday, April 09, 2008 9:53PM
   Subject: [obm-l] Análise Combinatória:dúvida...
   

Amigos gostaria da opinião de vcs sobre a resolução que fiz doseguinte 
problema:

Um dia pode ter uma de sete classificações: MB(muitobom), B(bom), O(ótimo), 
P(péssimo), S(sofrível) e T(terrivel). Os dias de umasemana são: domingo, 
segunda, terça, quarta,quinta, sexta e sábado. Duassemanas se dizem 
distintas se dois dias de mesmo nome  têm classificaçõesdistintas. Quantas 
semanas distintas, segundo o critério dado,existem?

a) 7!b) 7^2c)7*7!d) 7^7e) (7^7)!

Minharesolução foi a seguinte:
segunda = 7 possib.
terça = 7 possib.
quarta =7 possib.
quinta=7 possib.
sexta = 7 possib.
sábado =  7 possib.
domingo =7 possib.
Como cadaclassificação de um dia da semana é independente dos outros dias e 
como cadadia da semana tem 7 possibilidades, teremos 7^7 semanas distintas.
Desde jáagradeço.

  

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   Abra sua conta no Yahoo!Mail, o único sem limite de espaço para 
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Análise Combinatória

[Rafael]

Oi, Claudio:

Se eu não errei ao digitar as expressões indicadas por você, o MathCAD
responde:

1+y^3+y+48*x^10*y^3+432*x^25*y^21+1068*x^23*y^20+1336*x^15*y^17+228*x^15*y^1
8+4*x^15*y^19+16*x^7*y^2+1776*x^27*y^17+1776*x^27*y^18+1776*x^27*y^19+1648*x
^27*y^20+2308*x^26*y^16+2308*x^26*y^17+2308*x^26*y^18+2292*x^26*y^19+1836*x^
26*y^20+692*x^26*y^21+28*x^11*y^17+332*x^11*y^16+719*x^12*y^16+113*x^12*y^17
+x^12*y^18+1290*x^28*y^16+1290*x^28*y^17+1290*x^28*y^18+1290*x^28*y^19+1266*
x^28*y^20+908*x^28*y^21+y^2+y^10+1483*x^24*y^20+4560*x^19*y^13+4560*x^19*y^1
4+4560*x^19*y^15+4560*x^19*y^16+4272*x^19*y^17+233*x^12*y^4+24*x^3*y^3+10*x^
2*y^2+4*x*y+114*x^6*y^3+26*x^4*y^2+4*x^2*y+22*x^6*y^2+y^9+4*x^3*y+2664*x^19*
y^18+4250*x^22*y^14+4250*x^22*y^15+4250*x^22*y^16+4250*x^22*y^17+4018*x^22*y
^18+2522*x^22*y^19+2856*x^25*y^16+2856*x^25*y^17+2856*x^25*y^18+2744*x^25*y^
19+1808*x^25*y^20+1920*x^21*y^19+3876*x^23*y^15+3876*x^23*y^16+3876*x^23*y^1
7+3812*x^23*y^18+2932*x^23*y^19+3395*x^24*y^18+3007*x^24*y^19+1292*x^13*y^16
+316*x^13*y^17+4488*x^21*y^17+3872*x^21*y^18+4*x^12*y^3+6*x^8*y^2+y^8+40*x^3
4*y^15+40*x^34*y^16+40*x^34*y^17+16*x^35*y^15+16*x^35*y^16+16*x^35*y^17+16*x
^35*y^18+344*x^31*y^14+344*x^31*y^15+4*x^36*y^16+4*x^36*y^17+4*x^36*y^18+4*x
^36*y^19+194*x^32*y^15+896*x^29*y^15+580*x^30*y^14+580*x^30*y^15+580*x^30*y^
16+347*x^8*y^4+51*x^4*y^4+896*x^29*y^14+128*x^7*y^3+32*x^5*y^2+4*x^24*y^7+16
*x^21*y^6+24*x^18*y^5+16*x^15*y^4+102*x^20*y^6+88*x^17*y^5+864*x^27*y^21+128
*x^27*y^22+92*x^9*y^3+4*x^4*y+52*x^14*y^4+24*x^11*y^3+236*x^16*y^5+16*x^13*y
^18+128*x^13*y^4+y^4+y^5+52*x^26*y^22+3100*x^16*y^7+50*x^4*y^3+356*x^30*y^22
+16*x^25*y^22+896*x^29*y^18+896*x^29*y^19+896*x^29*y^20+784*x^29*y^21+580*x^
30*y^18+580*x^30*y^19+580*x^30*y^20+564*x^30*y^21+3379*x^20*y^8+948*x^10*y^6
+632*x^9*y^5+284*x^7*y^6+170*x^6*y^5+96*x^5*y^4+284*x^7*y^5+445*x^8*y^6+20*x
^3*y^2+80*x^5*y^3+166*x^6*y^4+634*x^22*y^20+28*x^22*y^21+237*x^24*y^21+x^24*
y^22+92*x^23*y^21+952*x^10*y^7+2516*x^18*y^7+1488*x^16*y^6+696*x^14*y^5+2956
*x^17*y^7+1232*x^20*y^19+124*x^20*y^20+696*x^19*y^19+32*x^19*y^20+308*x^21*y
^20+4*x^21*y^21+1104*x^17*y^18+112*x^17*y^19+1840*x^15*y^6+549*x^16*y^18+28*
x^16*y^19+1854*x^18*y^18+306*x^18*y^19+6*x^18*y^20+892*x^13*y^5+732*x^14*y^1
7+68*x^14*y^18+328*x^11*y^4+96*x^33*y^18+1948*x^14*y^6+997*x^12*y^5+40*x^34*
y^18+408*x^10*y^4+118*x^8*y^3+972*x^11*y^5+96*x^33*y^17+344*x^31*y^16+344*x^
31*y^17+194*x^32*y^16+194*x^32*y^17+194*x^32*y^18+396*x^9*y^4+896*x^29*y^17+
580*x^30*y^17+96*x^33*y^15+96*x^33*y^16+896*x^29*y^16+664*x^9*y^7+445*x^8*y^
7+445*x^8*y^8+2168*x^13*y^7+16*x^34*y^24+80*x^33*y^23+190*x^32*y^22+94*x^32*
y^23+6*x^32*y^24+48*x^30*y^23+280*x^31*y^22+88*x^31*y^23+4196*x^21*y^9+2808*
x^23*y^9+3162*x^24*y^10+96*x^5*y^6+96*x^5*y^5+51*x^4*y^8+284*x^7*y^7+51*x^4*
y^7+3864*x^19*y^8+96*x^33*y^22+312*x^29*y^22+24*x^29*y^23+3616*x^22*y^9+16*x
^35*y^21+16*x^35*y^22+16*x^35*y^23+16*x^35*y^24+96*x^33*y^19+96*x^33*y^20+96
*x^33*y^21+40*x^34*y^19+40*x^34*y^20+40*x^34*y^21+40*x^34*y^22+40*x^34*y^23+
16*x^35*y^19+16*x^35*y^20+2424*x^25*y^10+1058*x^28*y^11+912*x^27*y^10+170*x^
6*y^7+51*x^4*y^5+51*x^4*y^6+4*x^36*y^20+4*x^36*y^21+4*x^36*y^22+4*x^36*y^23+
4*x^36*y^24+4*x^36*y^25+344*x^31*y^18+344*x^31*y^19+344*x^31*y^20+344*x^31*y
^21+194*x^32*y^20+194*x^32*y^21+194*x^32*y^19+4*x*y^5+170*x^6*y^6+4*x*y^2+4*
x*y^3+4*x*y^4+232*x^28*y^22+4*x^28*y^23+24*x^3*y^6+10*x^2*y^3+10*x^2*y^4+10*
x^2*y^5+10*x^2*y^6+24*x^3*y^7+24*x^3*y^4+24*x^3*y^5+1716*x^12*y^8+1304*x^11*
y^7+1603*x^12*y^6+632*x^21*y^7+2256*x^26*y^11+1776*x^27*y^12+288*x^19*y^6+37
84*x^23*y^10+3176*x^15*y^9+1716*x^12*y^9+2840*x^25*y^11+2680*x^14*y^10+2184*
x^13*y^8+1304*x^11*y^8+952*x^10*y^11+3176*x^15*y^10+4060*x^17*y^11+2680*x^14
*y^9+4060*x^17*y^10+1715*x^12*y^7+2680*x^14*y^8+3649*x^16*y^9+4370*x^18*y^11
+4370*x^18*y^10+1916*x^24*y^9+1728*x^22*y^8+1186*x^20*y^7+624*x^18*y^6+3172*
x^15*y^8+284*x^7*y^9+2584*x^21*y^8+445*x^8*y^9+445*x^8*y^10+4060*x^17*y^9+17
0*x^6*y^8+170*x^6*y^9+32*x^9*y^16+96*x^5*y^8+284*x^7*y^8+96*x^5*y^7+4528*x^1
9*y^9+664*x^9*y^8+664*x^9*y^9+4560*x^19*y^10+4504*x^21*y^11+4364*x^18*y^9+95
2*x^10*y^8+952*x^10*y^9+952*x^10*y^10+1896*x^19*y^7+4611*x^20*y^10+4611*x^20
*y^11+4611*x^20*y^12+4500*x^21*y^10+1064*x^17*y^6+4250*x^22*y^11+3399*x^24*y
^12+3649*x^16*y^10+3649*x^16*y^11+3876*x^23*y^11+432*x^15*y^5+4222*x^22*y^10
+3948*x^17*y^8+4487*x^20*y^9+4064*x^18*y^8+16*x^33*y^24+584*x^29*y^11+532*x^
30*y^12+2856*x^25*y^12+2856*x^25*y^15+2184*x^13*y^12+3176*x^15*y^12+3176*x^1
5*y^13+3176*x^15*y^11+3876*x^23*y^14+2184*x^13*y^9+1776*x^27*y^15+1776*x^27*
y^16+2308*x^26*y^13+2308*x^26*y^14+2308*x^26*y^15+382*x^28*y^10+472*x^26*y^9
+1304*x^11*y^11+1304*x^11*y^10+1776*x^27*y^14+1716*x^12*y^10+1716*x^12*y^11+
1716*x^12*y^12+1776*x^27*y^13+1290*x^28*y^14+1290*x^28*y^15+2856*x^25*y^13+2
856*x^25*y^14+4250*x^22*y^12+4250*x^22*y^13+4560*x^19*y^11+4560*x^19*y^12+33
99*x^24*y^13+3399*x^24*y^14+392*x^24*y^8+3398*x^24*y^11+3876*x^23*y^12+3876*

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] análise combinatória

[Rafael]

Contar o número de soluções da equação x + y + z + t = 20, tais sendo
inteiras e *não-negativas*, como muito bem me lembrou o Prof. Morgado,
equivale ao número de combinações completas de 4 elementos escolhidos 20 a
20, sendo que tais elementos (pessoas) podem aparecer repetidamente: uma
mesma pessoa pode receber mais de uma nota, ou mesmo, nenhuma.

Representando as combinações completas (ou, como preferem outros,
combinações com repetição) por *C(n,k), temos que:

*C(n,k) = C(n+k-1,k) = (n+k-1)!/(k!(n-1)!)

Assim: *C(4,20) = 23!/(20!3!) = 1771.


Abraços,

Rafael de A. Sampaio




- Original Message -
From: Douglas Drumond [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Saturday, March 27, 2004 8:53 PM
Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] análise combinatória


Rafael escreveu:
  Sejam x, y, z, t as quatro pessoas em questão, teremos
  x + y + z + t = 20
 Para contar o número de soluções dessa equação, tais sendo inteiras e
  positivas, faz-se: 23!/(3!20!) = 1771 maneiras diferentes

Por que? Nao consegui entender o porque de 23!/(3!20!)

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] análise combinatória

[Rafael]

Ahhh, agora faz sentido lar do Coelhinho da Páscoa, claro...!

Ainda assim, duas pequenas correções sobre o que você escreveu:

- Chará escreve-se com 'x', portanto, você, provavelmente, é meu *xará*;
- Passárgada escreve-se com apenas um 's', veja: Pasárgada.


Sim, não é só de Matemática que gosto na vida, felizmente... ;-)


Abraços,

Rafael de A. Sampaio




- Original Message -
From: seanjr [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Saturday, March 27, 2004 10:50 PM
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] análise combinatória


Obrigado.

Vc é meu chará e R$ é a moeda imaginária, rafaéis, de uma
nação insular na costa de Passárgada. Lar do Coelhinho da
páscoa. =P




=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=