Oi Hermógenes,
--> A coisa dos "modelos pensantes" é simplesmente um jargão. Dizer que um
modelo M "pensa" uma certa asserção phi é simplesmente
dizer que M modela phi, i.e., que phi é válida em M, que phi é verificada
em M.
Exemplo: por Lowenheim-Skolem "pra baixo", a teoria dos reais (em primeira
ordem) tem modelo enumerável. Então podemos ter uma
estrutura enumerável M no qual todas as sentenças sobre os reais são
válidas, quando relativizadas a M (existe x = existe x em M, para todo x =
para todo x em M, e assim por diante).
O que choca inicialmente as pessoas é: como pode existir um modelo
enumerável de algo que é não-enumerável ? Esse seria o tal do
Paradoxo de Skolem...
Pois é, o que ocorre é que o tal modelo enumerável "pensa" que é
não-enumerável. Pois todas as funções que
sobrejetam os naturais em M estão FORA do modelo: eu olhando de fora sei
que ele é enumerável, mas "lá dentro" as tais
funções que o enumeram não estão, essas funções não pertencem a M. "Na
opinião dele", ele é enumerável - pois a sentença "Não existe bijeção entre
a estrutura
e os naturais" é verificada, é válida lá.
(É a velha historinha de que a formiguinha que está andando sobre a mesa
não consegue enxergar a terceira dimensão: ela "pensa" que
o mundo é bidimensional, porque o modelo onde ela vive é assim).
--> você pergunta "por quê" estamos usando o Teorema de Completude para
ZFC, então não tenho certeza
se realmente a sua pergunta é sobre "por quê" ou "como", então vou
aproveitar a oportunidade para
dar respostas rápidas para ambas...
"Por quê ?": se a pergunta foi essa, talvez você esteja confundindo
completude SEMÂNTICA (= "se é consistente, tem modelo") com
completude SINTÁTICA (="toda sentença pode ser provada ou refutada").
ZFC = ZFC de primeira ordem aí no nosso contexto, portanto, por ser uma
teoria de primeira ordem, vale o Teorema de Completude para
ZFC - o que dá a completude semântica de ZFC. Notar que
"Se é consistente, tem modelo" é um enunciado equivalente a "Consequências
semânticas são consequências sintáticas"
(aqui estou falando como lógico; se eu estivesse falando como matemático,
eu possivelmente diria que os dois teoremas acima
são equivalentes, hehe, mas na verdade sabemos que são dois enunciados
equivalentes para o mesmo teorema, digamos)
As recíprocas são o Teorema da Correção (Soundness), cujos enunciados
equivalentes são
"Se tem modelo, é consistente" <=====> "Consequências sintáticas são
consequências semânticas"
(o que é mesmo o lado fácil: se phi é uma consequência sintática de T
(i.e., se T prova phi), então a correção do sistema
garante que phi vai ser válida em todos os modelos de T (i.e., phi é
consequência semântica de T))
... Ou seja, o Teorema de Completude garante a completude semântica de ZFC
com primeira ordem, enquanto que
o Teorema de Incompletude mostrou a incompletude sintática de ZFC.
--> "Como": Seja Con(ZFC) a declaração de que ZFC é consistente (que eu
comentei na outra mensagem ser equivalente à
Sentença de Gödel).
Então, pelo primeiro ou pelo segundo teorema de incompletude, meio que
tanto faz porque no fundo é a mesma
coisa,
ZFC não prova Con(ZFC) - ou seja, Con(ZFC) não é consequência sintática de
ZFC. ("Claro que na verdade não prova nem refuta, mas sigamos só disso")
Por Completude, se não é consequência sintática então não é consistência
semântica.
Então não é verdade que Con(ZFC) seja válido em todos os modelos de ZFC.
Portanto, existe um modelo de ZFC no qual Con(ZFC) não é válido. Esse é um
tal modelo que "pensa que não existe" - pois, dentro dele,
a asserção "existem modelos de ZFC" (que é equivalente a "ZFC é
consistente", por Soundness + Completeness) não é verificada.
... Notar que, também por completude, deverão existir modelos de ZFC onde
Con(ZFC) é válido e também deverão
existir modelos de ZFC onde Con(ZFC) não é válido ("se todos os modelos
concordassem, existiria uma prova", essencialmente é isso
que Completude diz). Aí podemos aplicar Soundness e chegar em Con(Con(ZFC))
e Con(não Con(ZFC)), ou seja,
Con(ZFC) é independente de ZFC.
... Espero que ajude,
Até,
[]s Samuel
On Wednesday, June 15, 2016 at 2:18:53 PM UTC-3, Joao Marcos wrote:
>
> Partilho uma pergunta interessante, com respostas instrutivas:
>
> Is there a model of ZFC inside which ZFC does not have a model?
>
> http://math.stackexchange.com/questions/1826423/is-there-a-model-of-zfc-inside-which-zfc-does-not-have-a-model
>
>
>
> JM
>
--
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