Nos �ltimos dias o Axioma da Escolha foi bastante mencionado nesta lista, motivado por um interessante problema (viol�ncia), sugerido por uma das participantes, e que involve este axioma.
Eu n�o estou certo, mas, no meio matem�tico, ainda existem hoje restri��es a este axioma, no sentido de que alguma prova nele baseada possa ser considerada question�vel ou mesmo inv�lida? Parece-me que a grande maioria dos matem�ticos o usam sem qualquer problema. Em livros de autores consagrados, como Rudin, Folland e Munkres, h� provas de teoremas que, ao que me parece, involvem implicitamente este axioma. Por exemplo, o conhecido teorema de que um espa�o m�trico � totalmente limitado se, e somente se, qualquer sequencia do mesmo contiver uma subsequencia de Cauchy, envolve, ao que me parece, o Axioma da Escolha. Na parte "se", geralmente se usa um argumento contrapositivo e mostra- se que, se o espa�o n�o for totalmente limitado, ent�o h� nele uma sequencia que n�o pode ser de Cauchy; com este objetivo gera-se uma sequencia escolhendo-se elementos de subconjuntos do espa�o que distem dos anteriores um valor maior ou igual que um dado r>0. Na parte "somente", geralmente cobre-se sequencialmente o espa�o por cole��es finitas de bolas aberta de raio 1/n e escolhem-se termos da sequencia contidos nas intersec��es das bolas selecionada em cada passo. Isto n�o � o axioma da escolha? V�rios teoremas sobre conjuntos compactos tamb�m envolvem escolha. Por exemplo, o que prova que se S (espa�o m�trico) � compacto se, e somente se, for sequencialmente compacto. N�o estou certo se isto � exatamente o axioma da escolha, mas a prova que conhe�o do teorema que diz que todo conjunto aberto de R � dado por uma uni�o numer�vel e disjunta de intervalos abertos tamb�m envolve escolha de n�meros racionais na cole��o de intervalos para mostra que a mesma � numer�vel. N�o sei exatamente porque, mas como h� uma prova de que o conjunto dos racionais � numer�vel, parece que um processo de escolha de racionais n�o envolve o axioma da escolha. Estou um tanto confuso a respeito deste axioma e qualquer contribui��o � bem vinda. Um abra�o Artur ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista � <[EMAIL PROTECTED]> =========================================================================
