Caro Igor: Achei uma solu��o razoavelmente intuitiva para este problema:
> "Let C1, C2, ... , Cn and Z be complex numbers such that > 1/(Z -C1) + 1/(Z -C2) + .. + 1/(Z -Cn) = 0. Prove that > if the numbers C1, C2, ... , Cn are represented in the > complex plane by the vertices of a convex n-gon then the > number Z is represented by a point lying inside that n- > gon." A id�ia � supor que Z n�o � interior ao pol�gono e tentar chegar a uma contradi��o. Suponha que Z n�o seja interior ao pol�gono. Ent�o, de duas uma: 1. Z � externo ao pol�gono; ou 2. Z pertence alguma aresta do pol�gono (mas n�o � um dos v�rtices, uma vez que, nesse caso Z = Ck, para algum k e, 1/(Z-Ck) n�o estaria definido). Como o pol�gono � convexo, no caso (1) ser� poss�vel achar uma reta que contenha Z mas que n�o intercepte o pol�gono (em outras palavras, o pol�gono estar� inteiramente contido num dos semi-planos determinados pela reta). Tome esta reta. No caso (2), tome a reta suporte da aresta que cont�m Z. Nesse caso, o restante do pol�gono (excetuando-se a tal aresta)estar� inteiramente contido num dos semi-planos determinados pela reta. Em seguida, efetue uma transla��o dos eixos coordenados de forma que Z passe a coincidir coma origem do plano complexo. As novas coordenadas dos v�rtices ser�o: Dk = Ck - Z k =1, ..., n Uma vez feita a transla��o, efetue uma rota��o dos eixos em torno da origem, de modo que o pol�gono (ou no caso da reta conter uma aresta, do restante do pol�gono) fique inteiramente contido no semi-plano real positivo (quadrabntes 1 e 4). Se a rota��o foi de um �ngulo "theta", as novas coordenadas dos v�rtices ser�o: Ek = Dk*exp(i*Theta) k = 1, ..., n . Agora, observe que SOMA 1/(Z-Ck) = 0 se e somente se SOMA 1/Ek = 0. Os Ek's tem todos parte real positiva (se o eixo imagin�rio contiver uma aresta, ent�o dois deles ter�o parte real = 0, mas isso n�o afeta a an�lise que se segue). Portanto, 1/Ek tamb�m ter� parte real positiva. Mas, nesse caso, SOMA 1/Ek ter� parte real positiva ==> Contradi��o Logo, Z tem de ser interior ao pol�gono. Um abra�o, Claudio. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista � <[EMAIL PROTECTED]> =========================================================================
