> Estou com um problema: > Sei que a derivada de y=f(x) no ponto de abcissa xo � o coeficiente > angular da reata tangente � fun��o y=f(x) no ponto P(Xo,yo). > Gostaria de saber o que significaria a derivada segunda de xo, a derivada > terceira de xo, a derivada n de xo, em rela��o a fun��o original.
Se eu estiver falando besteiras algu�m vai me corrigir r�pido, ent�o eu arrisco. Outro dia eu soltei uma de confundir dist�ncia em espa�o m�trico com norma em espa�o vetorial que me deu uma vergonha depois... Mas, bem, tentar � preciso. A gente s� aprende assim. E em todo caso, o Nicolau tem mais o que fazer do que ficar ensinando c�lculo zero. � o seguinte: pense em f�sica. A avenida das Am�ricas � uma longa estrada em linha reta que vai do in�cio da Barra at� o Grumari, ou mais longe. A cada 5 quil�metros, tem um cartaz marcando "Km 10", "Km 15". Voc� tem uma fun��o s(t) - escalar, por enquanto - que te diz em que ponto da Avenida das Am�ricas est� o seu carro em um determinado instante do tempo. A menos que voc� d� voltas e pegue retornos, a sua fun��o s(t) ser� estritamente crescente. Como � que voc� calcula a velocidade m�dia que o seu carro desenvolveu, digamos, do 10o. ao 15o. minuto? Voc� v� quanto o seu carro andou e divide pelo tempo percorrido. Vme(10,15) = [s(15)-s(10)]/(15-10). Em geral, Vme (a,b) = [s(b) - s(a)]/(b-a). Onde a e b s�o "pontos no tempo"; voc� inicia um cron�metro no come�o da brincadeira, e olha para ele em dois momentos a e b. Mas rola o seguinte: a velocidade m�xima permitida na Av. das Am�ricas � de 80 km/h. Mas no espa�o de tempo [a,b] que voc� mediu, voc� foi metade do trajeto a 20 km/h, e metade a 120 km/h, dando uma velocidade m�dia menor que oitenta quil�metros por hora. Quando o policial te parar, voc� pode sacar a sua HP 49-G, fazer umas duas integrais para calcular precisamente sua velocidade m�dia, e explicar para ele que na m�dia, voc� estava dentro da lei. Pode? O chato � que dif�cilmente os nossos policiais sabem c�lculo. Eles s� sabem o que � velocidade instant�nea. E velocidade instant�nea �, grosseiramente, a Vme em um espa�o curtinho de tempo. Mas o nosso policial s� � policial enquanto espera a gradua��o e o mestrado por not�rio saber sa�rem da burocracia, ent�o ele saca o bloquinho de papel e faz um limite. lim Vme(a,b) = V(a) b-->a Se voc� for fazer a conta, vai achar a f�rmula da derivada que tem no livro. V(a) = s'(a) E ele te mostra que, dado o momento b em que ele te parou, existe um epsilon, mesmo que pequeno, tal que Vme(b-epsilon, b) > 80. E l� se vai a sua permiss�o de motorista. Tudo culpa do Cauchy, que inventou essa hist�ria de limites. *Derivada � isso: uma velocidade*. A hist�ria de inclina��o da tangente ajuda a ver se tiver o gr�fico - mas eu n�o vou ficar desenhando um gr�fico pra voc� quando tenho prova de microeconomia na ter�a. Agora imagine que a nossa fun��o inicial n�o � a posi��o na Av. das Am�ricas, mas a sua velocidade. O vento levou os cartazes que marcavam os quil�metros, e voc� s� tem o seu veloc�metro e a sua namorada anotando as velocidades a cada 60 segundos. O que vai ser a derivada da fun��o velocidade? A "velocidade" com que a velocidade muda - ou seja, a acelera��o. Aquela hist�ria de "vai de 0 a 100 em 40 segundos". Qualquer fan�tico por autom�veis vai te dizer que o que voc� sente n�o � a velocidade, � a acelera��o. Se o carro vai de 0 a 360 m/s em 60 segundos, a "acelera��o m�dia" � Ame(0,60) = V(60) - V(0) / (60-0) = 360 / 60 = 6 m/s^2 Mas ser� que ele come�a a desenvolver 6 m/s^2 desde o momento que voc� vira a chave? Provavelmente ele come�a aos pouquinhos e vai "acelerando cada vez mais r�pido". Se voc� puxar um limite na velocidade, vai achar a acelera��o instant�nea. lim Ame(a,b) = A(b) = V'(b) b-->a E como v(b) = s(b), v'(b) = s''(b). Que � a segunda derivada. Segunda derivada de qualquer coisa � a "taxa de acelera��o". Pense num exemplo diferente agora. Uma fun��o demanda diz quanto os consumidores est�o dispostos a comprar dado um pre�o. Suponha, para facilitar, que voc� � um monopolista - o �nico cara que tem um show do Malevolent Creation no Rio este ano - e por isso define o pre�o que quiser. A quantidade de ingressos que voc� vai vender � igual a Q = D(p) E o dinheiro que voc� vai ganhar com isso (a sua Receita) � R = p*q = p*d(p). Qual � o pre�o que maximiza a sua receita? Supondo que voc� � um padeiro tijucano que n�o estudou c�lculo, a sua melhor estrat�gia vai ser experimentar aumentar o pre�o aos pouquinhos. Eu sei que a fun��o demanda � D(p) = 500 - p, mas para usar um truque hitchockiano, vou deixar voc� sem saber isso. Ent�o voc� vai e experimenta o pre�o p = 100. E verifica, at�nito, que R (100) = 100*d(100) = 100*(500-100) = 40.000. Agora aumenta o pre�o para p=200 R(200) = 200*d(200) = 200*(500-200) = 60.000. Esse neg�cio de promover shows de rock � _muito_ lucrativo. Aumente logo para 300, diz o diabinho no seu ombro. E voc� verifica que R(300) = 300*d(300)=300*(500-300) = 60.000. Quer dizer, a sua receita parou de crescer. E se voc� aumentar o pre�o para 400, R(400) = 40.000 de novo. Portanto, o seu pre�o �timo deve estar em algum ponto entre 200 e 300. Ent�o voc� volta para 200, e come�a a dar passinhos menores. Ou, se voc� descobrir a sua fun��o demanda, usa c�lculo. Eu te disse que a demanda � D(p) = 500 - p, certo? Ent�o a receita � R(p) = p* (500-p) = p^2 - 500p. C� entre n�s, essa fun��o quadr�tica � conhecida, e a gente sabe que fica uma par�bola, com um �nico ponto de m�ximo. Ent�o voc� quer saber em que ponto ela p�ra de crescer para come�ar a diminuir, e faz a conta direto: em que ponto a sua *receita marginal* � zero? R'(p) = 0 ==> 2p-500=0 ==> p=250 Que � o seu pre�o �timo. Mas se a gente n�o conhecesse a natureza dessa fun��o receita? Se ela tiver v�rios pontos de inflex�o (pontos onde ela muda de dire��o) e s� um deles for o m�ximo? Se ela n�o tiver m�ximo, mas m�nimo? Pra saber isso melhor, a gente vai estudar o comportamento da derivada - pelo menos para saber se tem mais de um ponto onde ela p�ra de crescer e passa a diminuir. E para isso, a gente vai derivar a derivada da derivada. R''(p) = 2 E s� da� voc� tira que a derivada n�o prega pe�as na gente. Como a derivada � a taxa de varia��o da receita, a receita cai onde ela � menor que zero, e sobe onde ela � maior que zero. Como a derivada da derivada � uma constante, voc� sabe que a derivada primeira � uma fun��o linear, e s� passa pelo zero uma vez. E a gente j� viu que quando a derivada passa pelo zero (e _cruza_ o zero, o que n�o vai acontecer num polin�mio de grau 3, por exemplo), a fun��o muda de comportamento. No nosso caso, p�ra de crescer e come�a a decrescer. E n�s, como capitalistas fominhas que somos, queremos o m�ximo poss�vel. S� um caveat: nem todo ponto onde a derivada � igual a zero � um ponto de _inflex�o_ (de mudan�a de comportamento). D� uma olhada na seguinte f: f(x) = x^3. Logo, f'(x) = 3*x^2. A derivada vai ser zero em 3x^2 = 0 ==> x=0. Mas d� uma olhada na segunda derivada: f''(x) = 6x. Acho que j� deu pra ver que a derivada primeira n�o � linear. E pior, � medida que x aumenta, a _derivada segunda_ sempre aumenta, o que quer dizer que a _derivada primeira_ aumenta a taxas cada vez maiores. Se voc� olhar o gr�fico da derivada primeira, vai ver uma par�bola. Tem um ponto onde ela amea�a cruzar o zero e ficar negativa, mas encosta e volta. E se voc� for ver o gr�fico de x^3, a fun��o amea�a dar a volta e come�ar a cair, mas d� uma paradinha e continua. Puxa, como escrevi. Acho que gosto de fazer isso. Ah, se a matem�tica me amasse como eu a amo... > > Agrade�o a ajuda, > Thiago > > _________________________________________________________________ > MSN Messenger: converse com os seus amigos online. > http://messenger.msn.com.br > > ========================================================================= > Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ========================================================================= > ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
