> Estou com um problema: > Sei que a derivada de y=f(x) no ponto de abcissa xo � o coeficiente > angular da reata tangente � fun��o y=f(x) no ponto P(Xo,yo). > Gostaria de saber o que significaria a derivada segunda de xo, a derivada > terceira de xo, a derivada n de xo, em rela��o a fun��o original. > Agrade�o a ajuda, > Thiago
Thiago, As derivadas nos mostram taxas de varia��o e as derivadas segunda, terceira, n-�sima nos ajudam a estudar melhor a fun��o, conforme pontos de m�ximo, m�nimo, inflex�o etc. Nosso outro amigo j� te mandou uma interpreta��o f�sica da quest�o, mas vou arriscar uma matem�tica (sou aluno de C�lculo II, portanto...). Digamos que tenhamos uma fun��o f:R -> R definida por f(x) = x^3 - 3x^2 + 6. Derivando a primeira vez, temos f'(x) = 3x^2 - 6x e, novamente, f''(x) = 6x - 6. Vemos que a derivada primeira � zero em x = 0 e x = 2 e a segunda derivada � zero apenas no ponto x = 1. Atrav�s dessas derivadas e de suas ra�zes podemos estudar a fun��o f em rela��o a seus intervalos de crescimento e decrescimento, m�ximos e m�nimos e pontos de inflex�o. Para determinar os intervalos de crescimento e decrescimento, � s� estudar o sinal da derivada primeira nos intervalos (-inf,0), (0,2) e (2, +inf), tomando um x abitr�rio em cada um desses intervalos e calculando o valor (pelo Teorema do Valor Intermedi�rio, ela ter� o mesmo sinal em todo o intervalo). Onde ela for positiva, a fun��o f � crescente e, claro, onde ela for negativa, a fun��o f � decrescente. A derivada segunda nos indica a concavidade os pontos de inflex�o. Calculando o valor em um ponto dos intervalos (-inf, -1) e (-1, +inf), vemos o seu sinal. Onde a derivada segunda for positiva, a concavidade da fun��o � para cima e, se for negativa, a concavidade � para baixo. Se a concavidade mudar nesses intervalos, x = 1 � ponto de inflex�o. E assim, por diante, se f'(x0) = 0 e f''(x0) < 0, x0 ser� ponto de m�ximo e para f'(x0) = 0 e f''(x0) > 0, x0 ser� ponto de m�ximo. As outras derivadas servem para identifica��o do comportamento da fun��o tamb�m. Por exemplo, se f'(p) = f''(p) = f'''(p) = 0 e f(4)(p) diferente de zero, p, ser� ponto de m�ximo local se f(4)(p) < 0 e ser� ponto de m�nimo local caso contr�rio (isso � Guidorizzi, "Um Curso de C�lculo - Volume I"), fora outras rela��es. � isso, espero que tenha dado uma luz... Abra�os, Henrique. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
